252圆的对称性导学案2[1]

.图1图22.2 圆的对称性（2）学习目标：1.会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理；2.能利用垂径定理进行相关的计算和证明；3.掌握垂径定理的推论。

学习重点：垂径定理的证明与简单应用。

学习难点：垂径定理的证明及其简单应用。

学习过程： 一、复习提问：1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？ 二、探索新知1、操作、探索拿出事先准备好的透明的纸片，在上面画一个圆O ，再任意画一条非直径的弦CD ，作一直径AB 与CD 垂直，交点为P （如图1）。

沿着直径将圆对折（如图2），你有什么发现？垂径定理：__________________________________ _____________________________________________. 命题的题设与结论为：题设：___________________________________ 结论:______________________________________________________________________.数学表达式表示为：讨论: 如图,在下列五个条件中:① CD 是直径, ② CD ⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC, ⑤AD=BD. 如果具备其中两个条件,能否推出其余三个结论成立？ 推论（1）●OAB CDM └.ABO.ACDBO.CDABO●OA B CD（1）__________________________________________________________. (2)____________________________________________________________. (3)_____________________________________________________________. 说明：根据垂径定理与推论（1）可知对于一个圆和一条直线来说。

圆的对称性导学案设计导学案：圆的对称性一、导入（100字）1.引入：老师出示一张圆形画纸，请同学们观察它有哪些特点。

引导同学们发现圆是没有边界的，它的每一点到圆心的距离相等。

2.提问：圆是否具有对称性？如果有，又有哪些对称性？二、探究（500字）1.小组活动：将同学们分成小组，每组给一张圆形纸板。

让组员们互相交换纸板并观察，发现圆具有哪些对称性。

回到自己组内，同组成员共同探究和总结。

2.学生讨论：让小组成员展示他们发现的各种圆的对称性，并让其他同学提问和讨论。

引导他们探讨圆的对称轴的位置和性质。

三、归纳（300字）1.讲解：引导同学们总结圆的对称性。

圆有无数个对称轴，每一个经过圆心的直径都是圆的对称轴。

圆上的任意两点和圆心连线的中垂线也是圆的对称轴。

2.复习：老师可提问同学们圆上的点关于圆心的对称点是什么位置？让同学们回忆并作答。

四、应用（200字）1.实例分析：引导同学们观察和研究一些实际生活中的圆的应用例子，如太阳、存在对称轴的装饰品等。

让同学们思考并解释它们为何具有对称性。

2.创作：让同学们尝试用圆和它的对称性进行创作，可以画圆形的艺术作品或设计利用对称性来制作圆的折纸作品。

五、拓展（200字）1.拓展问题：让同学们思考圆的对称性在我们日常生活中的实际应用。

比如车轮、钟表等都具有圆的对称性。

让同学们发挥想象力，进一步探究圆的对称性的实际意义。

2.探究案例：引导同学们查阅相关资料，了解大脑的两个半球也具有对称性的结构，以及生物中的对称性的分布规律。

了解圆在不同领域的应用。

六、总结（100字）1.提示：让同学们回答圆的对称性能带给我们什么启示？2.统一讲解：引导同学们归纳总结圆的对称性的定义和特点，强调对称轴的位置和性质。

强调对称性在生活、艺术和科学中的重要性。

3.小结：通过本节课的学习，我们了解并掌握了圆的对称性的相关知识，发现了对称轴的位置和性质，培养了我们观察和分析问题的能力。

七、课后延伸（100字）1.延伸思考：同学们可以在日常生活中继续观察和探究圆的对称性，寻找更多的例子并加以说明和解释。

圆的对称性导学案学习目标：1、理解弧、优弧、劣弧、圆心角等概念。

掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理及应用。

掌握“垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧”这一结论。

2、通过教学内容向学生渗透事物相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美，激发学生的求知欲。

3、经历探索圆的对称性及相关性质的过程，培养学生实验观察、发现新问题，探究和解决问题的能力。

学习重点：圆心角、弧、弦之间关系定理学习难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养。

学习过程：一、新课导入上节课，我们学习了圆的对称性及“垂径定理”，这节课我们将继续探究圆的其它特性。

二、自学探究1、自学提纲P61-63（1）理解下列概念的定义弧、优弧、劣弧、圆心角（2）在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧，所对的弦。

（3）在同一个圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心角，所对的弦。

（4）在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的优弧（或劣弧）。

（5）在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角之间的关系是怎样得到的？（6）垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧吗？你能用符号语言表示吗？（7）圆的两条平等弦所夹的弧相等吗？用符号语言怎么表示？2、小组讨论交流3、小组展示学习成果4、教师点拨（1）讨论圆心角、弧、弦之间的关系的前提是在同圆或等圆中。

（2）在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等。

（3）利用同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系可以证明线段相等产、角相等、弧相等。

三、小结反思这节课你有哪些收获？还有什么疑问？四、作业P63练习T1、2。

义务教育教科书（北师）九年级数学下册第三章圆3.2《圆的对称性》导学案学习目标1.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．（重点）2.圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．（难点）学习任务一、预习导学认识圆的对称性：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？阅读教材，完成预习内容。

二、新知探究11、圆是对称图形吗？（1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴）验证方法：折叠（2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？2、阅读思考了解圆心角的定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．3.探索圆心角定理尝试与交流．按下面的步骤做一做：1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O 和⊙O ′，沿圆周分别将两圆剪下．2．在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′ (如下图示)，圆心固定．注意：∠AOB 和∠A ′O ′B ′时，要使OB 相对于0A 的方向与O ′B ′相对于O ′A ′的方向一致，否则当OA 与O ′A ′重合时，OB 与O ′B ′不能重合．3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．教师叙述步骤，同学们一起动手操作．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由． 三、 自学反馈1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．2、如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 的一点，且AD CE ，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？（过程见课本）3、你的收获还有什么？本节课的疑惑？ A B O A'B'O'。

2.2 圆的对称性（2）导学案-2022-2023学年苏科版九年级数学上册引入在前面的学习中，我们已经了解了圆的基本性质和相关术语。

本节课我们将继续学习圆的对称性及其应用。

1. 圆的对称性圆是几何中最简单的图形之一，它具有很多重要的性质。

其中之一就是对称性。

对称性是指一个图形或一个物体中的一部分能够关于某条线、某个点或某个中心进行翻转、旋转或平移而得到与原来完全相同的图形或物体。

而圆具有无穷多个轴对称线，即任意通过圆心的直线都是圆的对称轴。

2. 圆的旋转对称性除了轴对称外，圆还具有旋转对称性。

当我们将一个图形绕着某个点旋转一定的角度之后，如果旋转后的图形与原图形完全重合，那么这个图形就具有旋转对称性。

对于圆来说，它是唯一一个具有旋转对称性的图形，因为无论是绕圆心旋转多少角度，旋转后的图形都与原图形完全重合。

这也是为什么圆具有无限多个旋转对称轴的原因。

3. 圆对称性的应用圆的对称性在现实生活中有很多应用。

下面我们来看一些例子：(1) 圆柱体和圆锥体的对称性圆柱体和圆锥体都是由平行于底面的圆所围成的。

它们的底面具有圆的对称性，因此整个图形具有旋转对称性。

这在工程建筑中非常重要，因为这些图形的对称性可以减少在设计和制造过程中的测量和调整的工作量，提高了生产效率。

(2) 圆的装饰和设计圆的对称性为装饰和设计提供了很大的创造空间。

无论是古代的建筑、雕塑还是现代的艺术品，圆的对称性都被广泛运用。

圆的旋转对称性可以使装饰品或设计更加美观和和谐。

(3) 圆的光学应用圆的对称性在光学中也有重要的应用。

例如，在显微镜镜片的设计中，圆的对称性可以减少由于镜片形状不规则而产生的畸变。

再比如，太阳能电池板利用了圆的旋转对称性，以最大限度地吸收太阳光。

4. 总结通过本节课的学习，我们了解了圆的对称性及其应用。

圆具有无穷多个轴对称线和旋转对称轴，这使得圆在现实生活中具有很多应用。

我们应该深入理解和运用圆的对称性，以提高解决实际问题的能力。

《§3.2.1圆的对称性》导学案 九数： (02) 班级： 姓名：组名：（一）学习目标:1．圆的轴对称性．垂径定理及其逆定理．运用垂径定理及其逆定理进行有关的 计算和证明．2.经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种 方法．培养学生独立探索，相互合作交流的精神．3.通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神学习重点: 垂径定理及其逆定理学习难点:垂径定理及其逆定理的证明．【温故而知新】1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？（二）学习流程：预习教材第 96至100页内容后，完成下列问题预习自学：学法指导(通过预习，学习圆的概念，探索思考点与圆位置关系；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系)圆的相关概念：圆上任意两点间的部分叫做 ,简称以A,B 两点为端点的 .记作 ,读作“弧AB”.连接圆上任意两点间的线段叫做 (如弦AB).经过圆心的 叫做 (如直径AC). 将圆分成两部分,每一部分都叫做 (如弧ABC).小于半圆的弧叫做 如记作 (用两个字母).大于半圆的弧叫做 ,如记作 (用三个字母).合作探究：1、垂径定理AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD,使CD ⊥AB,垂足为M.下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.规律总结：2、垂径定理的逆定理策略与反思纠错与归纳AB 是⊙O 的一条弦,且AM=BM.过点M 作直径CD.下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.3、讨论：（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧（5）平分弦所对的劣弧由以上两个条件可以推理得到其他三个结论成立的有：课内训练：1如图，已知在圆O 中，弦AB 的长为8㎝，圆心O 到AB 的距离为3 ㎝，求圆O 的半径。

2.2 圆的对称性 2 同步导学案 2022-2023学年苏科版数学九年级上册导学目标•了解圆的对称性概念；•掌握圆内、圆外、圆上各点的对称性；•理解对称轴的概念与性质；•学会运用对称性解决实际问题。

引入在生活中，我们经常接触到各种各样的圆形物体，比如轮胎、饼干、硬币等。

你有没有注意到这些圆形物体在一些方面是具有对称性的呢？那么，圆的对称性是什么呢？圆有哪些具体的对称性呢？让我们一起来探讨一下。

1. 圆的对称性概念圆的对称性是指圆上的点、圆外的点和圆内的点通过某种变换后能保持原来的形状、大小的特性。

2. 圆内、圆上、圆外对称性在圆上可以找到一些特殊的对称性：•圆内的点：通过圆心的任意直径，圆内的点都具有对称性。

圆内的对称性•圆上的点：通过圆心，圆上的点都具有对称性。

假设点 A 和点 B 在圆上，过圆心 O 作 AO 的垂线，那么 AO 和 BO 的长度相等，并且角 AOB 是一个直角。

圆上的对称性•圆外的点：通过圆心的直线，圆外的点都具有对称性。

假设点 C 在圆外，以圆心 O 为中心，画出一条经过 C 的直线，那么与直线上的点 C 对称的点 D 与C 关于直线是对称的。

圆外的对称性3. 对称轴的概念与性质在圆的对称性中，我们还要了解到对称轴的概念与性质。

•对称轴：对称轴是指通过对称中心与圆上的两个点构成的直线。

•对称轴的性质：对称轴上的任意一点与对称中心的距离相等。

4. 运用对称性解决实际问题在解决实际问题中，我们可以灵活地运用圆的对称性来简化问题或找出问题的特殊解。

例如：小明要在他的花园里种植几棵树，他想要绿化效果均匀，于是他设计了一个圆形花坛作为树的种植位置。

他想要在花坛的边缘种植数棵同种树，但他又不希望它们相互挡住光线。

那么，小明应该如何选择树的种植位置呢？根据圆的对称性，我们可以知道：小明只需选择花坛的直径上的几个位置，然后在这些位置处种植树即可。

这样，不仅可以保持绿化效果均匀，还能保证树木之间不会挡住光线。

第2章圆圆的对称性学习目标1．圆的相关概念；2．点与圆的位置关系．3理解圆是中心对称图形及轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．重点：理解圆的有关概念、学习圆的对称性。

难点：会确定点和圆的位置关系。

导学过程【知识回顾】1举例说出生活中的圆。

2你是怎样画圆的你能讲出形成圆的方法有多少种吗【情景导入】1分别用不同的方法作圆，标明圆心、半径，体会圆的形成过程。

2如图，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？【新知探究】探究一、1圆的两个定义各是什么圆：；圆心：；半径：；圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．于是得到圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆．探究二、点和圆的位置关系量一量（1）利用圆规画一个⊙O，使⊙O的半径r=3cm（2）在平面内任意取一点P，点与圆有哪几种位置关系若⊙O 的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆⇔dr 点P在圆⇔dr 点P在圆⇔dr探究三、讨论圆中相关元素的定义如图，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗弦：；直径：；弧：；弧的表示方法：；半圆：；优弧：；劣弧：；探究三、等圆：；等弧：；由问题探究发现知识圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心探究四、复合图形的折叠方法得出圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴探究五、车轮为什么做成圆形【知识梳理】本节课你学到了什么有什么收获和体会还有什么困惑？【随堂练习】1、如图，AB 是⊙O 的直径，C 点在⊙O 上，那么，哪些弧是优弧，哪些弧是劣弧？__________________________________________________________。

2、如图，半圆的直径AB =__________。

3、长方形的四个顶点在以为圆心，以为半径的圆上。

大化坪中心学校数学导学案课题：25.2圆的对称性（1） 主备人：吴家兴 审核人：郑为贵 时间2012.3【学习目标】1、理解圆的描述定义.2、掌握如何确定点和圆的三种位置关系3、如何确定点和圆的位置关系.（重难点）【学习过程】一、学前准备1、说出几个与圆有关的成语和生活中与圆有关的物体。

思考：车轮为什么做成圆形？2、爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。

他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。

如下图中A 、B 、C 三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？二、合作探究:（一）、阅读课本11—12，尝试解决1、圆的定义：_______________ （运动的观点）2、画圆并体会确定一个圆的两个要素是 和3、点和圆的位置关系 量一量（1）利用圆规画一个⊙O ，使⊙O 的半径r=3cm.（2）在平面内任意取一点P ，点与圆有哪几种位置关系？若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么：点P 在圆 d r 点P 在圆 d r点P 在圆 d r（二）、合作与交流已知点P 、Q ，且PQ=4cm ，⑴画出下列图形：到点P 的距离等于2cm 的图形；到点Q 的距离等于3cm 的图形。

⑵在所画图中，到点P 的距离等于2cm ，且到点Q 的距离等于3cm 的点有几个？请在图中将它们表示出来。

⑶在所画图中，到点P 的距离小于或等于2cm ，且到点Q 的距离大于或等于3cm 的点是怎样的图形？把它画出来。

【学习检测】一、基础性练习1、正方形ABCD 的边长为2cm ，以A 为圆心2cm 为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ；点C 在⊙A ；点D 在⊙A 。

2、已知⊙O 的半径为5cm.(1)若OP=3cm ，那么点P 与⊙O 的位置关系是：点P 在⊙O ；(2)若OQ= cm ，那么点Q 与⊙O 的位置关系是：点Q 在⊙O 上；(3)若OR=7cm ，那么点R 与⊙O 的位⇔⇔⇔r r r P P P置关系是：点R 在⊙O .3、⊙O 的半径10cm ，A 、B 、C 三点到圆心的距离分别为8cm 、10cm 、12cm ，则点A 、B 、C 与⊙O 的位置关系是：点A 在 ；点B 在 ；点C 在4、⊙O 的半径6cm ，当OP=6时，点A 在 ；当OP 时点P 在圆内；当OP时，点P 不在圆外。

O0’•o B A年级九班级学科数学课题 3.2圆的对称性2 第3 课时编制人审核人使用时间第周星期使用者课堂流程环节具体内容学法指导学习目标学啥我知情重点难点我知晓1、圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理．2、重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．3、难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件．请把关键词标出来自主学习温故能知新一、新知学习：探究一:如下图，有两个半径相同的圆，请问：它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定在一起。

然后将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个圆还重合吗?利用旋转的方法我们得到：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。

结论：圆是______________，对称中心是_________。

探究二：在等圆⊙O和⊙O'中,若∠AOB=∠A'O'B',那么∠AOB和∠A'O'B'所对的弦、所对的弧相等吗？（1）这两个相等的圆心角所对的弦分别是哪两条？（2）这两个相等的圆心角所对的弧分别是哪两条？结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，所对的_______相等。

要善于从学过的知识中找到新知识学习的根据和基础***中学导学案B'•o'A'A BCD O ABCDOE(独学 、 对 学 、 群学)自 主 、 合 作 、 探 究探究三： 在同圆或等圆中，作两条长度相同的弧（如下图），量一量它们所对的圆心角相等吗？他们所对的弦相等吗？如果两个圆心角相等，那么其余的量也相等吗？如果两条弦相等呢？结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

二、课堂练习1、已知A ，B 是⊙O 上的两点，AOB=120，C 是弧AB 的中点，试确定四边形OACB 的形状，并说明理由。