2021版九年级数学下册27.1圆的认识27.1.2圆的对称性1导学案新版人教版

课题:§27.1.2 《圆的对称性》教学设计(第一课时)教材分析1、地位和作用本课是华师大版九年数学第二十七章第一节第二课时的内容。

本节课是在小学学过的圆的基础上进行进一步的探究和推理，圆的对称性是圆的一个重要性质，它是探索其他性质的基础前提。

圆心角、弦、弧之间的相等关系是证明圆中线段相等，角相等，弧相等的重要依据，同时也为下一节的垂径定理提供了方法和依据。

所以这节内容很重要。

2、学情分析学生在小学已经学习了圆的一些知识，并且初中已经了解了中心对称、三角形全等等相关知识，具有一定的逻辑推理能力；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作与交流的能力。

教法、学法分析现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教学的一切活动都以强调学生的主动性、积极性为出发点。

根据这一教学理念，结合本节课的内容特点，我采用启发式和讲练结合的教学方法.。

在学习本章之前，学生已经通过折纸对称、平移、旋转、推理、证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验，而学习本节充分体现了学生已有的经验的作用，同时在以前的学习中已经经历了很多合作学习的过程，所以我引导学生采用自主探究与合作探究相结合的学法。

教学目标:(一)知识与技能1.使学生知道圆是中心对称图形,并能运用其特有的性质推出在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，2.能运用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的能力，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

(二)过程与方法1.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力。

2.利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间的关系定理。

(三)情感、态度与价值观激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。

教学重点:在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。

教学难点:探索在同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系及应用。

圆的对称性教学目标：使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。

重点难点：1、重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。

2、难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。

教学过程：一、由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。

如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。

由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。

二、新课1、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

实验1、将图形23.1.3中的扇形AOB 绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图23.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现AOB AOB ∠=∠，AB AB =，AB AB =。

实质上，AOB ∠确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。

问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？ 实验2、如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB 、AC ︵与CB ︵，你能发现什么结论？显然，如果CD 是直径，AB 是⊙O 中垂直于直径的弦，那么AP BP =，AC BC =，AD BD =。

请同学们用一句话加以概括。

（ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）图23.1.3图23.1.4 图23.1.72、同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系的应用。

图 1′图 2图 3 课 题：27.1圆的认识第二课时 圆的对称性（一）＆.教学目标：1、理解并掌握圆的对称性，并能运用其特有的性质推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦心距之间的关系。

2、能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学方法。

＆.教学重点、难点：重点：由实验得到在同一个圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系。

难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系解决问题。

＆.教学过程： 一、情景导入1、我们中国的建筑最讲究的是对称美，能举出我们所学过的轴对称、中心对称和旋转对称的例子吗？2、轴对称图形、中心对称图形、旋转对称图形是怎样定义的？3、圆是否为对称图形？是哪种对称图形，又有哪些性质呢？二、探究新知§.探究圆的对称性问题1：请同学们思考并解答下列各题： （1）圆是对称图形吗？它有哪些对称性？ （2）能否用手中的圆演示出它的各种对称性呢？ （3）圆的对称轴在哪里？对称中心和旋转中心在哪里？活动1：让学生画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆是互相重合的.如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。

＆.圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，也是旋转对称图形。

对称轴是过圆心的任意一条直线，对称中心和旋转中心都是圆心，旋转角度可以是任意角度。

思考：如何将圆两等分？四等分？八等分？还可以将圆多少等分？§.探究：同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系（圆心角定理）. 问题2：将图1中的扇形AOB （阴影部分）绕点O 逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？活动2：将图1中的扇形AOB （阴影部分）绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图2中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现B O A AOB ''∠=∠，⌒⌒B A AB ''=，B A AB ''=.实质上，AOB ∠确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。

圆的对称性教学设计课题学习目标重点难点教材分析圆的对称性单元圆学科年级九年级知识目标：经历探索圆的对称性及相关性质；理解圆的对称性及相关性质进一步体会和理解研究几何图形的各种方法德育目标：培养学生科学严谨的学习态度和开拓进取的精神能力目标：培养学生观察、分析、探索能力和创造力对圆心角、弧和弦之间的关系的理解能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性 .同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习.。

教学演示法，提问法，指导探索法等方法教学用具学生用具多媒体课件、两张圆形纸片、教具等两张圆形纸片、纸和笔。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课复习上节课圆的概念，巩固记忆学生自由讨论由学生熟悉的知问题一：前面我们已经认识了圆，你还记得确回答识，以问题形式定圆的两个元素吗？引出课题，回顾生：圆心和半径．旧知的同时明确问题二：你还记得学习圆中的哪些概念吗？新知，激发学生1 ．圆：平面上到 ____________ 等于 ______的的学习热情，引所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定导学生充分体会长为 ________．新旧知识间的联2．弧：圆上 _____叫做圆弧，简称弧，圆的任系意一条 ____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧．3 ． ___________叫做等圆，_________ 叫做等弧．4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角．通过让同学回顾已学知识，复习轴对称图形的概念。

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出自杜甫的《春夜喜雨》原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！随风潜入夜，润物细无声。

出自杜甫的《春夜喜雨》原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！令公桃李满天下，何用堂前更种花。

出自白居易的《奉和令公绿野堂种花》1．理解圆的旋转不变性；(重点)2．掌握圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；(重点)3．能应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题．(难点)一、情境导入我们知道圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心．将图中的扇形AOB(阴影部分)绕点O逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？二、合作探究探究点一：圆的对称性下列说法中，不确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆的每一条直径都是它的对称轴C．圆有无数条称轴D．圆的对称中心是它的圆心解析：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，故B错误；C．圆有无数条对称轴，正确；D．圆的对称中心是它的圆心，正确．故选B．方法总结：由圆的概念以及轴对称和中心对称的意义易得圆既是轴对称图形，也是中心称图形．是轴对称图形时，过圆心的每一条直线都是它的对称轴；是中心对称图形时，对称中心是它的圆心.注意：圆对称性包括旋转不变性，轴对称性和中心对称性.圆的对称轴是直径所在的直线而不是直径.探究点二：圆心角、弧弦之间的关系【类型一】 利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等如图，M 为⊙O 上一点，＝MB ︵，MD ⊥OA 于点D ，ME ⊥OB 于点E ，求证：MD ＝ME .解析：连接O .根据等弧对等圆角，则∠MO ＝∠MOE ，再由角平分线的性质，得出MD ＝ME .证明：连接MO .∵ MA ︵＝MB ︵，∴∠MOD ＝∠MOE ，又∵MD ⊥OA 于点D ，ME ⊥OB于点E ，∴MD ＝ME .方法总结：圆心角、弧弦之间等关系的定理可以用来明线段相等．本题考查了等弧对等圆心角，以及角平分线的性质．【类型二】 利用心角、弧、弦之间的关证明弧相等如图，在⊙O 中，AB 、CD 是直径，CE ∥AB 且交圆于点E ，求证：BD ︵＝BE ︵.解析：首先连接OE ，由CE ∥AB ，可证得∠DOB ＝∠C ，∠BO ＝∠E ，然后由OC ＝OE ，可得∠C ＝∠E ，继而证得∠DOB ＝∠BOE ，则可证得BD ︵＝BE ︵.证明：如图，连接OE .∵CE ∥AB ，∴∠DOB ＝∠C ，∠BOE ＝∠E .∵OC ＝OE ，∴∠C ＝∠E ，∴∠DOB ＝∠BOE ，∴BD ︵＝BE ︵.方法总结：此类题主要运用了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．【类型三】 综合运用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝36°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，交BC 于点E .求AD ︵ 、DE ︵的度数．解析：连接CD .由直角三角形的性质求出∠A 的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD 及∠DCE 的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出AD ︵、DE ︵的度数．解：如图，连接CD .∵△ABC 是直角三角形，∠B ＝36°，∴∠A ＝90°－36°＝54°.∵AC ＝DC ，∴∠ADC ＝∠A ＝54°，∴∠ACD ＝180°－∠A －∠ADC ＝180°－54°－54°＝72°，∴∠BCD ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－72°＝18°.∵∠ACD 、∠BCD 分别是AD ︵、DE ︵所对的圆心角，∴AD ︵的度数为72°，DE ︵的度数为18°.方法总结：解决本题的关键是根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形．三、板书设计圆的对称性1. 圆的对称性2．①圆心角、弧、弦之间的关系②应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题本节课的教学策略是通过学生自己动手画图叠合、观察思考等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态教具引导，让学生感受圆的旋转不变性，并得出圆心角、弧、弦三者之间的关系，能用这一关系定理，解决圆的计算证明问题，同时注重培养学生的探索能力和逻辑推理能力，力求体验数学的生活性、趣味性.【素材积累】不停地工作，即使慢，也一定会获得成功。

圆周角教学目标：使学生知道什么样的角是圆周角，了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征；并能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题，同时，通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知。

重点难点：1、重点：认识圆周角，同一条弧的圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。

2、难点：发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系，利用这个关系进一步得到其他知识，运用所得到的知识解决问题。

教学过程：一、认识圆周角如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。

究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。

同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。

（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）练习：试找出图中所有相等的圆周角。

二、圆周角的度数探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而90︒的圆周角所对的弦是否是直 径？如图23.1.9，线段AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上任意一点（除点A 、B ）， 那 么，∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角.想想看，∠ACB 会是怎么样的角？为什么呢？启发学生用量角器量出ACB ∠的度数，而后让同学们再画几个直径AB 所对的 圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于90︒（或直角），进而给出严谨的说明。

证明：因为OA ＝OB ＝OC ，所以△AOC 、△BOC 都是等腰三角形，所以∠OAC ＝∠OCA ，∠OBC ＝∠OCB . 又 ∠OAC ＋∠OBC ＋∠ACB ＝180°，所以 ∠ACB ＝∠OCA ＋∠OCB＝（第1题）图23.1.92180＝90°.因此，不管点C 在⊙O 上何处（除点A 、B ），∠ACB 总等于90°，即 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。

28.1.2圆的轴对称性教学目标:1、记忆垂经定理。

2、运用垂经定理，构造直角三角形，运用勾股定理，学会弦心距d 半径r 弦a 弓形高h之间的互求。

教学重点：运用垂经定理。

教学设计：1、通过情景导入提出问题——探讨赵州桥构造，来激发学生兴趣。

2、让学生动手实验观察：直径垂直弦圆地对折，从而猜想、归纳、引出命题、证明命题、形成定理。

充分体验探索过程。

3、“1题”是定理证明。

让学生能将定理文字表达转化成数学表达、能分清题设和结论、能画出图形、能证明。

4、“练习2”让学生熟悉垂经定理：分清题设、结论、5个要素。

“练习3—6”让学生学会运用垂经定理计算、学会“弦心距d 半径r 弦a 弓形高h”之间的互求，“知二求二”。

5、学生完成本节小结，教师补充小结。

6、“练习7”让学生运用所学的垂经定理知识解决情景导入提出问题。

让学生的兴趣疑问得以解决。

7、“练习8、学生作业”让学生学会运用垂经定理证明。

过程和方法：教师引导，学生自主学习与小组合作探究相结合的方法。

情感、态度、价值观：了解赵州桥的知识，知道我国古代劳动人民的聪明才干以及数学知识博大精深。

教学过程：〔情境导入〕1300多年前，我国隋代建造的赵州桥，桥拱是圆弧形。

风风雨雨、饱经沧桑一千多年，赵州桥毅然保持它的雄姿。

为什么赵州桥能能存在这么长时间呢？原因之一就是它的构造是石拱形。

这一节我们首先学习圆的知识，然后运用所学知识探讨一下赵州桥构造。

一复习提问：〔师〕1、什么是轴对称图形？我们在前面学过哪些轴对称图形？〔生〕常见轴对称图形有等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形等。

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。

〔师〕2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？对称轴是什么？圆有几条对称轴？〔生〕圆是轴对称图形。

过圆心的直线都是它的对称轴。

有无数条轴对称轴。

二 观察对折〔师〕如图（1）直径CD 与弦AB 是什么位置关系？ 〔生〕垂直弦AB 。