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《等式的性质与方程的解集》等式与不等式PPT(完美版)

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人教高中数学B版必修一等式的性质与方程的解集

人教高中数学B版必修一等式的性质与方程的解集


化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/she ngwu/
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lish i/
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取_任__意__实__数___时等
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式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边___恒__等___．
3．方程的解集 一般地，把一个方程__所__有__解__组成的集合称为这个方程的解集．
栏目 导引
第二章 等式与不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
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人教版高一数学课件-等式的性质与方程的解集

人教版高一数学课件-等式的性质与方程的解集

(3)如图所示，所以 42x2－33x＋6＝(6x－3)(7x－2)．
(4)如图所示，所以 2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x －1)x＋ 26x－ 26.
[方法技巧]
二次项的系数 a 分解成 a1×a2，常数项 c 分解成 c1×c2，并 且把 a1，a2，c1，c2 排列如图： ，这里按斜线交叉相乘，再 相加，就得到 a1c2＋a2c1，如果它正好等于 ax2＋bx＋c 的一次项 系数 b，那么 ax2＋bx＋c 就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中 a1，c1 位于上图上一行，a2，c2 位于下一行．
D．(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)
解析：x2＋7x＋6＝(x＋1)(x＋6)， (x2＋4x＋3)＝(x＋1)(x＋3)， x2＋6x＋8＝(x＋2)(x＋4)， x2＋7x＋10＝(x＋2)(x＋5)， x2＋15x＋44＝(x＋4)(x＋11)．故选 D.
答案：D
2．分解因式 a2＋8ab－33b2 得 A．(a＋11)(a－3) C．(能小试 1．判断正误
(1)所有的方程都有解． (2)一元二次方程的解集中一定有两个元素． 答案：(1)× (2)×
() ()
2．方程 x2－6x＋5＝0 的解集为________． 答案：{1,5}
3．方程 x2－2x＋4＝0 的解集为________． 答案：∅
4．方程 x(x＋1)(x－2)(x－3)＝0 的解集为________． 答案：{0，－1,2,3}
B．解方程 2x2＋6x＝0 时，将方程两边同时除以 2x，
得 x＝－3
C．解方程 x2－3＝2x 时，分解因式得 x(x－2)＝3，解
得 x1＝0，x2＝2 D．解方程 x2＋2x＋1＝0 时，分解因式得(x＋1)2＝0，
2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)PPT

2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)PPT


不等式两边同乘一个正数， 所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，
所得不等式与原不等式反向.
高中数学
二、 不等式性质
性 质 1 : 如 果a=b, 那么b=a. 性 质 2 : 如 果a >b, b>c, 那么a >c.
性质3:如果a >b,那么a+c> b+c.
性 质 4 : 如 果 a>b,c> 0, 那么 ac>bc;
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
追问3:你能从性质3中得到什么结论吗? 由性质3可得
a+b>c→a+b+(-b)>c+(-b)
→a >c-b
如果a>b>0, 那么 a²>b²
性质7:如果 a>b>0, 那么a”>b”
(n∈N*,n≥2)
高中数学
三、 不等式的简单应用
例：已知a>b>0,c<0, 求证
1 2.1.1 等式的性质与方程的解集

1 2.1.1 等式的性质与方程的解集


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)
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
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第二章 等式与不等式
下列各式由左边到右边的变形为因式分解的是( PPT模板：/moban/
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1．等式的性质
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k
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1 2.1 等式性质与不等式性质ppt课件

1 2.1 等式性质与不等式性质ppt课件

栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用不等式的性质证明不等式的方法 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质， 通过对不等式变形得证． (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的 性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形， 根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最 终的符号，完成证明．
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
因此菜园面积 S＝x15－x2， 依题意有 S≥110，即 x15－x2≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为 0<x≤18， x15－x2≥110.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．本例(2)中，若矩形的长、宽都不能超过 11 m，对面积没有 要求，则 x 应满足的不等关系是什么？ 解：因为矩形的另一边 15－x2≤11，所以 x≥8，又 0<x≤18， 且 x≤11，所以 8≤x≤11. 2．本例(2)中，若要求 x∈N，则 x 可以取哪些值？ 解：函数 S＝x15－x2的对称轴方程为 x＝15，令 S≥110，x∈ N，经检验当 x＝13，14，15，16，17 时 S≥110.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
某工厂在招标会上，购得甲材料 x 吨，乙材料 y 吨，若维持
工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要 120 吨，则 x，y
应满足的不等关系是( )
A．x＋y>120
B．x＋y<120
C．x＋y≥120
D．x＋y≤120
答案：C
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
课件2：2.1.1　等式的性质与方程的解集

课件2：2.1.1　等式的性质与方程的解集


[解] (1)(3a－2)－3(a－5)＝3a－2－3a＋15＝13. (2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2＝－x2y＋xy2. (3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)＝2m＋m＋n－2m－2n＝m－n. (4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]＝4a2b－5ab2＋(－6a2b＋8ab2) ＝4a2b－5ab2－6a2b＋8ab2＝－2a2b＋3ab2.
【例3】 十字相乘法分解因式： (1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16.
[解] (1)因为 所以：原式＝(x＋7)(x－8). (2)因为 所以：原式＝(x－2)(x－8).
规律方法 常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异
号. 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括 号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．
【答案】B 【解析】A.两边加不同的数，故 A 不符合题意；B.两边都乘以 c，故 B 符合题意；C.c＝0 时，两边都除以 c 无意义，故 C 不符合题意；D. 两边乘 6c，得到 3x＝2y，故 D 不符合题意．故选 B.
类型 2 恒等式的化简 【例2】 化简： (1)(3a－2)－3(a－5)； (2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2； (3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)； (4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)].
2．(m＋n)－2(m－n)的计算结果是( )
A．3n＋2m
B．3n＋m
C．3n－m 【答案】C
D．3n－2m
【解析】原式＝m＋n－2m＋2n＝－m＋3n，故选 C.
3．下列方程的解正确的是( ) A．x－3＝1的解集是{－2} B．12x－2x＝6的解集是{－4} C．3x－4＝52(x－3)的解集是{3} D．－13x＝2的解集是－32
等式性质与不等式性质ppt课件

等式性质与不等式性质ppt课件

元，现有工人工资预算20 000元，设请木工x人，瓦工y人，则请工人满足的
关系式是（
D）
A.5x+4y<200
B.5x+4y≥200
C.5x+4y＝200
D.5x+4y≤200
2. 已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：




①若ab>0，bc-ad >0，则 - >0；②若ab>0，
bc-ad >0，



- >0，则ab>0.其中正确的是




- >0，则bc-ad>0；③若
.
①②③
➢ 课堂小结
性质6：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
a＞b＞0，c＞d＞0
ac＞bd
(正数同向不等式的可乘性)
证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc，
又因为c>d，b>0，所以bc>bd，
根据不等式的传递性得 ac>bd。
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别
相乘，所得的不等式与原不等式同向。
➢ 新知:不等式的性质
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，
那么a>b.
a＞b b＜a（对称性）
性质1表明，把不等式的左边和右边交
换位置，所得不等式与原不等式异向，我
们把这种性质称为不等式的对称性。
➢ 新知:不等式的性质
性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.
a＞b，b＞c
a＜b，b＜c


a＞c；
《等式的性质与方程的解集》等式与不等式

《等式的性质与方程的解集》等式与不等式


解法的应用与推广
应用
二元一次方程组是数学中常见的方程之一，它在实际生活中也有广泛的应用，比如在物理、化学、经 济等领域中都可以遇到。通过学习二元一次方程组的解法，可以更好地理解和解决这些问题。
推广
学习二元一次方程组的解法还可以为学习更复杂的方程组打下基础，比如三元一次方程组、高次方程 组等。同时，解法中涉及的数学思想和方法也可以应用于其他数学问题的解决中。
传递性
加法单调性
乘法单调性
同号得正
奇偶性
若a>b，b>c，则a>c。
即若a>b，c为任意实数 或整式，则a+c>b+c。
若a>b>0，c>d>0，则 ac>bd。
若a>b>0，c>d>0，则 ac>bd。
若f(x)为奇函数，则对于 定义域内的任意x，都有 f(-x)=-f(x)。若f(x)为偶 函数，则对于定义域内 的任意x，都有f(x)=f(x)。
一元一次方程的解法举例
例子1
解方程 2x + 4 = 10。
去分母
2x + 4 = 10。
去括号
2x + 4 = 10。
一元一次方程的解法举例
移项
01
2x = 6。
合并同类项
02
2x = 6。
化简
03
x = 3。
一元一次方程的解法举例
例子2
解方程 3(x - 2) = 5(x - 1)。
去分母
05
方程的解集与根的判别式
方程的解集的概念与性质
方程的解集的定义
方程的所有解组成的集合称为方程的解 集。
等式性质与不等式性质ppt课件

等式性质与不等式性质ppt课件


3．不加性
可乘性
性质内容
a>b⇔ b<a a>b，b>c⇒ a>c a>b⇔ a＋c>b＋c
a>b⇒ c>0
ac>bc
a>b⇒ c<0
ac<bc
特别提醒 ⇔ ⇒ ⇔
注意 c 的符号
同向可加性 同向同正可乘性
可乘方性 可开方性
a>b⇒ c>d
a＋c>b＋d
a>b>0⇒ ac>bd>0 c>d>0
> ba∈R，b>0， ＝ ba∈R，b>0， < ba∈R，b>0.
2．等式的性质 性质 1 对称性：如果 a＝b，那么 b＝a； 性质 2 传递性：如果 a＝b，b＝c 那么 a＝c； 性质 3 可加(减)性：如果 a＝b，那么 a±c＝b±c； 性质 4 可乘性：如果 a＝b，那么 ac＝bc； 性质 5 可除性：如果 a＝b，c≠0，那么ac＝bc.
【例 2】 (1)对于任意非零实数 a，b，且 a>b，又 c∈R，则( D )
A．lg(a－b)>0
B．ac2<bc2
C.1a<1b
11 D． 3 a< 3 b
(2)(多选)若 a>0>b>－a，c<d<0，则下列命题成立的是( BCD )
A．ad>bc
B.ad＋bc<0
C．a－c>b－d
D．a(d－c)>b(d－c)
2．若 M＝(x－3)2，N＝(x－2)(x－4)，则有( A )
A．M>N
B．M≥N
C．M<N
2.1.1等式的性质与方程的解集课件-高一上学期数学人教B版【04】

2.1.1等式的性质与方程的解集课件-高一上学期数学人教B版【04】


归纳提升：十字相乘法因式分解的形式 尝试把某些二次三项式如 ax2＋bx＋c 分解因式，先把 a 分解成 a＝a1a2，把 c 分解成 c＝c1c2，并且排列如下：
这里按斜线交叉相乘的积的和就是 a1c2＋a2c1，如果它正好等于 二次三项式 ax2＋bx＋c 中一次项的系数 b，那么 ax2＋bx＋c 就可以 分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中 a1，c1 是上图中上面一行的两个数， a2，c2 是下面一行的两个数．
归纳提升：解含有分数系数的一元一次方程时应注意以下三 点：(1)分母含有小数的应先化小数分母为整数分母，再去分 母；(2)分子如果是一个多项式，去掉分母后，要添上括号； (3)去分母时，方程两边所有的项都乘以各分母的最小公倍数。
如果方程x－3 4－8＝－x＋2 2的解集与方程 4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1 的解集相同，求式子 a－1a的值．
(x－x1)(x－x2)=0 典的例精形析 式，那么就能方便地得出原方程的解集了.
例3 求关于x的方程ax=2 的解集，其中 a 是常数
思考2：把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是 这个方程的解(根)吗？ 提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这 个方程的根，也可能是这个方程的增根。
求关于x的方程(a＋3)x＝b－1的解 集． 错因探究：未知数的系数含有字母，a＋3 与 0 的关系不确定， 因此应对 a 进行讨论，切勿直接利用等式的性质得出 x＝ba－ ＋13.
典例剖析
解析：当 a＝－3，b＝1 时， 由(a＋3)x＝b－1 得 0·x＝0，此时解集为 R； 当 a＝－3，b≠1 时， 由(a＋3)x＝b－1 得 0·x＝b－1， 此时解集为∅； 当 a≠－3 时，由(a＋3)x＝b－1， 得 x＝ba－ ＋13，此时解集为{ba－ ＋13}．
2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 教学课件

2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 教学课件

答案
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ ＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.

人教B版高中数学必修第一册精品课件 第2章 等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集

(2)x2+12x+27=(x+3)(x+9).
本 课 结 束
D.方程x2=1的解集为{1,1}
答案:A
)
2.下列式子是恒等式的是(
)
A.t(t+3)=0
B.(m+n)(m2-mn+n2)=m3+n3
C.x2+2x+3>0
D.x+y=5
答案:B
3.化简:(x+2)2-(x-1)2=
.
解析:原式=[(x+2)+(x-1)][(x+2)-(x-1)]=3(2x+1)=6x+3.
2

.
2
∵N⊆M,∴ ∈M.

2
∴ =1
2
或 =3,∴m=2
综上,实数 m 的值为
或
2
m=3.
2
0, ,2.
3
此类问题求解的关键是求出方程的解集,易错点是忽略N=⌀的情况.
【变式训练3】 已知集合M={x|2x=3},N={x|mx=1},若M⊆N,求实数m的值.
解:由题意,得 M=
3
2
.
∵M⊆N,∴N≠⌀,∴N=
答案:6x+3
4.若集合M={x|1-5x=7x},N={x|3x2+6x=0},则M∪N=
解析:由题意,得 M=
则 M∪N=
答案:
1
-2,0,
12
1
-2,0,
12
.
1
12
,N={0,-2}.
.
5.分解因式.
(1)27-t3;
(2)x2+12x+27.
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探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
求方程的解集
例2求方程x(x-2)+x-2=0的解集.
分析:将方程左边整理化成两个一次因式乘积的形式,进而求解.
解:把方程左边因式分解,得(x-2)(x+1)=0,
从而,得x-2=0或x+1=0,
所以x1=2,x2=-1.
所以方程的解集为{-1,2}.
反思感悟 因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:
①将方程右边的各项移到方程左边,使方程右边为0;
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式;
③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;
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课前篇
自主预习
一
二
知识点一、等式的性质与恒等式
1.思考
(1)下列各式是否正确?
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
变式训练 1分解因式:(1)8a3b2-12ab3c;
(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解:(1)8a3b2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc);
(2)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×6(a+b)+36=(a+b-6)2.
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课标阐释
思维脉络
1.了解等式的性质并会应用.
2.会用十字相乘法进行因式分解.
3.会求一元一次方程及一元二次方程
的解集.
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课堂篇
探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
分解因式
例1分解因式:
(1)x2-25;(2)a2-6a+9;(3)4m(x-y)-8n(y-x);(4)(a2+4)2-16a2.
(2)如果a=b,对任意不为零的c,都有ac=bc;
(3)a2-b2=(a+b)(a-b)(平方差公式);
(4)(x+y)2=x2+2xy+y2(两数和的平方公式).
3.做一做
分解因式:x2+2xy+y2-4=
.
解析:x2+2xy+y2-4=(x+y)2-4=(x+y-2)(x+y+2).
答案:(x+y-2)(x+y+2)
自主预习
一
二
知识点二、方程的解集
1.思考
(1)一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根是什么?
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?


2
-± -4
提示:(1)x=- .(2)当 b2-4ac≥0 时,x1,2=
2
.
2.填空
(1)方程的解(或根)是能使方程左右两边相等的未知数的值.
分析:掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.
解:(1)x2-25=(x+5)(x-5);
(2)a2-6a+9=(a-3)2;
(3)4m(x-y)-8n(y-x)=4(x-y)(m+2n);
(4)(a2+4)2-16a2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.
反思感悟 分解因式的常用方法
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课前篇
(2)一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
3.做一做
求方程x2+3x+2=0的解集.
解:∵x2+3x+2=0,∴(x+1)(x+2)=0,
∴x=-1或x=-2,∴方程的解集为{-1,-2}.
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等式与不等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
-1《等式的性质与方程的解集》等式与 不等式P PT（完
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(1)平方差公式法;
(2)完全平方公式法;
(3)提取公因式法;
(4)十字相乘法.
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课前篇
自主预习
一
二
2.填空
(1)如果a=b,对任意c,都有a+c=b+c;
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课堂篇


①若 = ,则 x=y;



x=y,则

;

②若
=
③若x+a=y-a,则x=y;
④若x=y,则ax=by.
(2)什么是立方差与立方和公式?
提示:(1)①正确;②③④错误.
(2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).
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