上海市格致中学2018-2019学年高三下三模数学试题

上海市格致中学2023届高三三模数学试题一、填空题1.在复数集中，若复数z 满足21z =-，则z =___________．【答案】i±【分析】设出i(,R)z a b a b =+∈，再利用复数的运算法则和复数相等的定义即可得出结果.【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则2222i 1z a b ab =-+=-，则2210a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0a =，1b =或1b =-，所以i z =或i z =-，故答案为：iz =±2.双曲线2212y x -=的离心率为____．【详解】试题分析：由题意得：21,123,ca c c e a==+====3.若全集为R ，集合103x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，{}2|2B y y x ==-+，则A B = ___________．【答案】{}|23<<x x 【分析】先求出集合,A B ，再求出B ，再利用集合的运算即可得出结果.【详解】因为103x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，由103x x -<-，得到13x <<，即{}13A x x =<<，又{}2|2B y y x ==-+，易知2y ≤，所以{}|2B y y =>，所以{}|23A B x x =<< ，故答案为：{}|23<<x x 4.已知函数221xy a =-+为奇函数，则实数=a ______【答案】1【分析】根据奇函数的定义结合指数运算求解.【详解】若函数()221xf x a =-+为奇函数，则()()2202121x x f x f x a a -⎛⎫⎛⎫+-=-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即222222222021212121xx x x x a a a -⋅--=--=-=++++，解得：1a =，故答案为：1.5.若nx⎛+ ⎝的展开式中共有7项，则常数项为___________（用数字作答）.【答案】240【分析】由17n +=可得n 的值，再写出展开式的通项，令x 的指数位置等于0即可求解.【详解】因为nx⎛+ ⎝的展开式中共有7项，所以17n +=，可得6n =，所以6x⎛+ ⎝展开式的通项为136622166C 2C 2rr r r r r r T x x x ---+==，令3602r -=可得4r =，所以常数项为446C 21516240=⨯=，故答案为：240.6.从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，145（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是___________．【答案】124【分析】根据百分位数定义可求.【详解】解：因为1070%7⨯=，所以这10名同学数学成绩的第70百分位数是1221261242+=，故答案为：124.7.盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.则第二次取出的球是白色的概率为______.【答案】49【分析】根据全概率公式求解可得.【详解】设事件A 为“第一次抽到白球”，事件B 为“第二次抽到白球”，则B AB AB =+，所以()()()()()P B P A P B A P A P B A =+，由题可得()49P A =，()59P A =，()712P B A =，()412P B A =，所以()475449129129P B =⨯+⨯=.故答案为：49.8.关于x 的不等式220ax x a -+≥的解集是(),-∞+∞，则实数a 的取值范围为___________．【答案】,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】构造2()2f x ax x a =-+，利用函数的性质，将问题转化成在[)0,∞+上恒成立，再通过分离常转化成求函数的最值即可求出结果.【详解】因为关于x 的不等式220ax x a -+≥的解集是(),-∞+∞，所以220ax x a -+≥在R 上恒成立，令2()2f x ax x a =-+，易知()f x 为偶函数，所以220ax x a -+≥在R 上恒成立，即2()20f x ax x a =-+≥在[)0,∞+上恒成立，所以，当0x =时，由2220ax x a a -+=≥，得到0a ≥，当0x >时，由220ax x a -+≥，得到2122x a x x x≥=++，又因为2x x+≥x =时取等号，所以24a ≥=，综上，实数a 的取值范围为,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.故答案为：,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.9.已知()()31log 19f x x x =+≤≤，设()()()22g x f x fx =+，则函数()y g x =的值域为___________．【答案】[2,7]【分析】确定函数()y g x =的定义域，化简可得()y g x =的表达式，换元令3log ,([0,1])x t t =∈，可得242y t t =++，结合二次函数的性质即得答案.【详解】由题意得21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则13x ≤≤，即()()()22g x f x f x =+的定义域为[1,3]，故()()()2223323321log )1log (log )4log 2(g x fx f x x x x x ++=+=+=++，令3log ,([0,1])x t t =∈，则2242(2)2y t t t =++=+-，函数2(2)2y t =+-在[0,1]上单调递增，故[2,7]y ∈，故函数()y g x =的值域为[2,7]，故答案为：[2,7]10.已知()πsin 202y x ϕϕ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数，且该函数在7π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，那么ϕ的取值范围是___________．【答案】ππ,64⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件，结合sin y x =的图像与性质即可求出结果.【详解】当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2π2,3x ϕϕϕ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，又因为()πsin 2(02y x ϕϕ=-<<在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数，所以π2π2k ϕ-+≤-且)2ππ2π(32Z k k ϕ-∈≤+，即ππ2π2π62k k ϕ+≤≤+，Z k ∈，又π02ϕ<<，取0k =，得到ππ62ϕ≤<，当7π(0,8x ∈时，7π2,4x ϕϕϕ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，又π02ϕ<<，所以π02ϕ-<-<，又该函数在7π(0,)8上有最小值，所以7π3π42ϕ->，得到π04ϕ<<，综上所述，ππ64ϕ≤<.故答案为：ππ64ϕ≤<.11.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若221n n n a S a =+，22log n n nS b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是___________．①1n n a a +<；②{}2n S 是等差数列；③n S ≤④满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10．【答案】②③④【分析】根据题意得()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，即可判断②；由②知，=n S ，所以n a ==1n a +==即可判断①；因为1n S ≤1≤，令()10x x =≥，即()e 10x x x ≥+≥，构造函数()()e 10xf x x x =--≥，利用函数的单调性即可判断出③的正误；再根据题意得()22221log log 2log 2n n n S b n n S +==+-⎡⎤⎣⎦，求和得()()211log 122n T n n =-+++⎡⎤⎣⎦，再根据题意求解即可判断④的正误.【详解】因为221n n n a S a =+，当1n =时，211121a S a =+，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，所以数列{}2n S 是首项为211S =，公差为1的等差数列，故②正确；对于①，由()2111n S n n =+-⨯=，又正项数列{}n a 的前n 项和为n S，得到=n S ，当1n =时，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即=n a ，又111S a ==，所以1n =时，满足=n a，所以n a ==又1n a +==>，所以<1n n a a +<，故①不正确；对于③，令()()e 10xf x x x =--≥，所以()e 1xf x '=-，当0x ≥时，e 10x -≥恒成立，所以()f x 在[)0,∞+单调递增，所以()()00f x f ≥=，即()e 100x x x --≥≥，所以e 1x x ≥+在[0,)x ∈+∞上恒成立，令()11,N x n n *=≥∈，所以1≥=n S，即1n S ≤成立，故③正确；对于④，因为=n S，所以2n S +=1222222log log log n n nS n b S n ++⎛⎫== ⎪⎝⎭()222121log log 2log 22n n n n +==+-⎡⎤⎣⎦，所以1231n n n T b b b b b -=+++++ ()()()22222222221log 3log 1log 4log 2log 5log 3log 1log 1log 2log 2n n n n =-+-+-+++--++-⎡⎤⎣⎦ ()()()()222111log 1log 21log 1222n n n n =-++++=-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为3n T ≥，即()()211log 1232n n -+++≥⎡⎤⎣⎦，化简整理得：231260n n +-≥，当9n =时，2939126180+⨯-=-<，当10n =时，21031012640+⨯-=>，所以满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1nn n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .12.已知平面向量a ，b ，c 满足1a = ，1a b b c ⋅=⋅=，a b c -+≤ a c ⋅ 的最大值为___________．【答案】2【分析】根据题意，设出a ，b ，c的坐标，结合向量模长的坐标公式，分类讨论，即可得到a c ⋅的范围，从而得到结果.【详解】设()1,0a = ，()1,b s = ，()1,c st t =-，,s t ∈R ，由已知可得：a b c -+=，当且仅当22s t =时，取等号，当0st ≥时，有()2218st st -+≤，得01st ≤≤+，当0st <时，有()2618st st -+≤，得10st -≤<，所以当11st -≤≤时，12a c st -≤⋅=-≤.所以a c ⋅的最大值为2.故答案为：2.二、选择题13.“11x -<<”是“112x x -++≤”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】解绝对值不等式得到解集为{}11x x -≤≤，从而得到1111x x --<≤<≤⇒，但11x -≤≤⇒11x -<<，求出答案.【详解】112x x -++≤，当1x <-时，112x x ---≤，即22x -≤，解得1x ≥-，与1x <-取交集，得∅，当11x -≤≤时，112x x -++≤，即22≤，成立，故11x -≤≤，当1x >时，112x x -++≤，解得1x ≤，与1x >取交集，得∅，综上：112x x -++≤的解集为{}11x x -≤≤，因为1111x x --<≤<≤⇒，但11x -≤≤⇒11x -<<，故“11x -<<”是“112x x -++≤”的充分不必要条件.故选：A14.实验测得六组成对数据(),x y 的值为()4,90，()5,84，()6,83，()7,80，()8,75，()9,68，由此可得y 与x 之间的回归方程为4y x b =-+，则可预测当10x =时，y 的值为（）A.67B.66C.65D.64【答案】B【分析】先求出样本中心点，线性回归方程4y x b =-+恒过(),x y ，代入即可求出b ，再令10x =，代入求解即可.【详解】由表中数据可得，()14566789 6.5x =⨯+++++=，()1908483807568806y =⨯+++++=，线性回归方程为4y x b =-+，则804 6.5b =-⨯+，解得106b =，故4106y x =-+，当10x =时，41010666y =-⨯+=.故选：B.15.将函数3=-+y x x ，[]0,1x ∈的图象绕点()1,0顺时针旋转θ角（π02θ<<）得到曲线C ，若曲线C 仍是一个函数的图形，则θ的最大值为（）A.1arctan2B.π6 C.π4D.arctan 2【答案】A【分析】要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90 ，故只需求1x =处的倾斜角即可.【详解】函数()3f x y x x ==-+，()231f x x '=-+，当30,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，()0f x ¢>，函数在30,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上递增，当3,13x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，()0f x '<，函数在3,13⎛⎤⎥ ⎝⎦上递减，()12f '=-可得在1x =处切线的倾斜角为πarctan 2-，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90 ，也就是说，最大旋转角为ππ1πarctan 2arctan 2arctan 222--=-=，即θ的最大值为1arctan 2.故选：A.16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 为线段1B C 的中点，点F 和点P 分别满足111D F D C λ= ，11D P D B μ=，其中λ，[]0,1μ∈，则下列说法不正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥P EFD -的体积为定值B.当12μ=时，四棱锥P ABCD -的外接球的表面积是94πC.PE PF +的最小值为536D.存在唯一的实数对(),λμ，使得EP ⊥平面PDF 【答案】C【分析】由线面平行的判定可知1//BD 平面EFD ，知三棱锥P EFD -底面积和高均为定值，A 正确；根据正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径R 的方程，求得R 后知B 正确；将C 中问题转化为在平面11ABC D 内求解PE PF +的最小值，作E 关于线段1BD 的对称点1E ，将问题转化为1E H 长度的求解，根据角度和长度关系可确定C 正确；以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得,λμ，可知D 正确.【详解】对于A ，当12λ=时，F 为11C D 中点，又E 为1B C 中点，1//EF BD ∴，EF ⊂平面EFD ，1BD ⊄平面EFD ，1//BD ∴平面EFD ，则当P 在线段1BD 上移动时，其到平面EFD 的距离不变，∴三棱锥P EFD -的体积为定值，A 正确；对于B ，当12μ=时，取,AC BD 交点O ，连接PO ，则四棱锥P ABCD -为正四棱锥，PO ∴⊥平面ABCD ，设四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O '，半径为R ，则O '在直线PO 上，2OC =，12OO R '=-，222OC OO O C ''∴+=，即221122R R ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得：34R =，∴四棱锥P ABCD -的外接球的表面积29π4π4S R ==，B 正确；对于C ，将问题转化为在平面11ABC D 内求解PE PF +的最小值，作E 关于线段1BD 的对称点1E ，过1E 作1//HG AD ，交11,C D AB 于,H G ，如下图所示，1PE PE = ，11PE PF PE PF E H ∴+=+≥（当且仅当F 与H 重合时取等号）111111E BA ABD D BE ABD D BC ∠=∠-∠=∠-∠ ，()2211111sin sin 3E BA ABD D BC ⎛⎫∴∠=∠-∠=-=，11112sin sin 6E G B E E BA BE E BA ∴=⋅∠=⋅∠=，125266E H ∴==，即PE PF +的最小值为526，故C 错误；对于D ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,,1F λ，(),,1P μμμ-，11,1,22EP μμμ⎛⎫∴=--- ⎪⎝⎭，(),,1DP μμμ=-，()0,,1DF λ= ，若EP ⊥平面PDF ，则EP DPEP DF ⊥⎧⎨⊥⎩，()()()11110221102EP DP EP DF μμμμμμλμμ⎧⎛⎫⎛⎫⋅=-+-+--= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎪⋅=-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：336132μλ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍）或336312μλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴存在唯一的实数对()13,,26λμ⎛-=⎝⎭，使得EP ⊥平面PDF ，故D 正确.故选：C.三、解答题17.在ABC 中，coscos CA =，6B π=，BC 边中线AM =（1）求A 的值；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）π6；（2【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换得出A 的值；（2）由余弦定理得出2b =，最后由面积公式得出ABC 的面积．【小问1详解】因为coscos C A =，所以由正弦定理可得cos cos CA =2sin cos cos cos )B A A C C A A C B=+=+=因为sin 0B ≠，所以cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π6A =.【小问2详解】因为6B π=，23C A B ππ=--=，可知ABC 为等腰三角形.在AMC 中，由余弦定理可得2222cos120AM AC MC AC MC =+-⋅︒即227(2cos12022b bb b =+-⨯⨯⨯︒，解得2b =.所以ABC 的面积为22113sin 2222S b C ==⨯⨯=.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中､四边形11ABB A 是菱形，且160ABB ∠=，2AB BC ==，1CA CB =，1CA CB ⊥，（1）证明：平面1CAB ⊥平面11ABB A ；（2）求直线1BB 和平面ABC 所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析；（2）7【分析】（1）连接1BA 交1AB 于O ，连接CO ，证明CO BO ⊥可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；（2）利用等体积法求出点1B 到平面ABC 的距离d ，再由线面角公式1sin dBB θ=求解即可.【小问1详解】连接1BA 交1AB 于O ，连接CO ，如图，四边形11ABB A 是菱形，所以11AB A B ⊥，又1CA CB =，1CA CB ⊥，O 是1AB 的中点，所以1CO AB ⊥且112CO AB =，由160ABB ∠=︒，可知1ABB 为正三角形，所以12AB AB ==，BO =，在BOC中，22222212CO BO BC =+==+，所以CO BO ⊥，又1BO AB O = ，1,BO AB ⊂平面11ABB A ，所以CO ⊥平面11ABB A ，又CO ⊂平面1CAB ，所以平面1CAB ⊥平面11ABB A .【小问2详解】设1B 到平面ABC 的距离为d ，因为ABC 中，2AB BC ==，AC ==所以11222ABCS AC =⨯，又1224ABB S =⨯= ，1CO =，所以由11B ABC C ABB V V --=，可得11133ABC ABB d S CO S ⋅=⋅△△,即172ABB ABCS d S ===△△,设直线1BB 和平面ABC 所成角为θ，则17sin 27d BB θ===.19.2022年11月21日第22届世界杯在卡塔尔开幕，是历史上首次在中东国家举办，也是第二次在亚洲国家举办的世界杯足球赛.某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了()*40k k ∈N 人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男生的35，女生中喜欢足球的人数占女生的13.经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关.（1）请完成下面的列联表，并求出k 的值；喜欢足球不喜欢足球合计男生女生合计（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取3人，记其中喜欢足球的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.()20P k χ≥0.100.050.010.0010k 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析，2k =；（2）分布列见解析，95【分析】（1）依题意，先填好列联表，再根据卡方计算临界值求出k ；（2）按照二项分布求解.【小问1详解】由已知，完成列联表，喜欢足球不喜欢足球合计男生15k 10k 25k 女生5k 10k 15k 合计20k20k40k将数值代入公式可得2χ的观测值：()222240150508202025153k k kk k k k kχ⨯-==⨯⨯⨯，根据条件，可得83.841 6.6353k≤<，解得1.440 2.488k ≤<，因为*k ∈N ，所以2k =；【小问2详解】由（1）知，样本的男生中喜欢足球的频率为35，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，喜欢足球的概率为35，则3~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()03033280C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121332361C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212332542C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()303332273C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则X 的分布列为X 0123P812536125541252712539355EX =⨯=；综上，2k =，数学期望为95.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，且过点12⎫⎪⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点（异于椭圆顶点），点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点．①若点P 在直线12x =上，求证：线段MN 的垂直平分线恒过定点S ，并求出点S 的坐标；②求证：当OMN 的面积最大时，直线OM 与ON 的斜率之积为定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）①证明见解析，3(,0)8S ；②直线OM 与ON 的斜率之积为14-.【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可；（2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线OM 与ON 的斜率之积即可得出定值.【小问1详解】因为焦距为2c =，即c =2223a b c -==，又因为椭圆过点12⎫⎪⎭，所以223114a b+=，解得221,4b a ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 方程为y kx m =+，设112200(,),(,),(,)M x y N x y P x y .由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)8440k x kmx m +++-=，2222226416(1)(14)16(14)0k m m k k m ∆=--+=+->，2121222844,1414km m x x x x k k--+==++.①因为点P 为线段MN 的中点，点P 在直线12x =上，所以1202412142x x km x k +-===+，即2148k km +=-，2148k m k+=-.所以00y kx m =+21141288k k k k+=+=--.所以线段MN 的垂直平分线方程为001()y y x x k-=--，即111()82y x k k +=--，即13(8y x k =--.故线段MN 的垂直平分线恒过定点3(,0)8S .②由弦长公式得12MN x =-=坐标原点到直线MN 的距离为21m d k=+，所以OMN 的面积为12OMNS MN d =⋅△2222222214141142214141m m k m k k m k k k+-+=⨯+-=⨯+++22221422114m k m k++-≤⨯=+.当且仅当22214m k m =+-，即22214m k =+时等号成立.所以12121212()()OM ONy y kx m kx m k k x x x x ++==22121212()k x x km x x m x x +++=2222222(44)8(14)44k m k m m k m --++=-2222241144444m k m m m --===---.所以直线OM 与ON 的斜率之积为定值14-.21.已知2()46ln f x x x x =--，（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭恒成立，求k 的最大整数解；（3）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x ()12x x <且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>.【答案】（1）切线方程为85y x =-+；单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞（2）k 的最大整数解为3（3）证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，求出(1)f '，(1)f 即可得到切线方程，解()0f x '>得到单调递增区间，解()0f x '<得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-，求导分析()h x 的单调性，即可求出k 的最大整数解；（3）由2()ln g x x a x =-，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；【详解】解：（1）2()46ln f x x x x =-- 所以定义域为()0,+¥6()24f x x x'∴=--；(1)8f '=-；(1)3f =-所以切线方程为85y x =-+；2()(1)(3)f x x x x'=+-，令()0f x '>解得3x >令()0f x '<解得03x <<所以()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞.（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x xk h x x +<=-；22ln ()(1)x xh x x --'∴=-，记()2ln m x x x =--，1()10m x x'=->，所以()m x 为(1,)+∞上的递增函数，且(3)1ln 30m =-<，(4)2ln 40m =->，所以0(3,4)x ∃∈，使得()00m x =即002ln 0x x --=，所以()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上递增，且()000min 000ln ()(3,4)1x x x h x h x x x +===∈-；所以k 的最大整数解为3.（3）2()ln g x x a x =-，(2)(2)()20a g x x x x +-'=-==得0x =，当x ⎛∈ ⎝，()0g x '<，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0g x '>；所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即202g a a e ⎛=-⇒> ⎝；因为10x <<2x >，令21x t x =(1)t >，由()()12f x f x =，221122ln ln x a x x a x ∴-=-，即：2221111ln ln x a x t x a tx -=-，212ln 1a t x t ∴=-而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>，即证：221(31)8t x a +>即：22ln (31)81a tt a t +>-由0a >，1t >只需证：22(31)ln 880t t t +-+>，令22()(31)ln 88h t t t t =+-+，则1()(186)ln 76h t t t t t'=+-++令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110t n t t t-'=++>(1)t >故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=；故()h t 在(1,)+∞上递增，()(1)0h t h >=；12034x x x ∴+>.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，最值以及函数的单调性，综合性比较强，属于难题.。

格致中学高三三模数学试卷2024.05一、填空题（本大题共12题，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题5分，满分54分）1.函数y =的定义域为______2.函数cos y x =，()0,πx ∈的零点为______3.底面半径长为1cm的圆柱，体积为______4.已知直线l 的倾斜角为α，且直线l 与直线m：10x +=垂直，则α=______5.已知a b ∈R 、，方程20x ax b -+=的一个根为3i -（i 为虚数单位），则a =______6.数列{}n a 满足12n n a a +=（n 为正整数），且2a 与4a 的等差中项是5，则首项1a =______7.ABC △的内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，面积为S ，且2224a b c S +-=，则角C =______8.已知空间向量()1,1,0a =- ，()0,1,1b = ，()1,2,c m =共面，则实数m =______9.用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有______个10.若()()202422024012202421x a a x a x a x x -=+++⋅⋅⋅+∈R ，则32024223202411112222a a aa a a +++⋅⋅⋅+=______11.舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，当点D 在滑槽AB 内作往复移动时，带动点N 绕O 转动，点M 也随之而运动，记点N 的运动轨迹为1C ，点M 的运动轨迹为2C .若1ON DN ==，3MN =，且4AB ≥，过2C 上的点P 向1C 作切线，则切线长的最大值为______12.已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心分别为正方形ABCD 各边的中点（如图），若P 在 BC 上，且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为______二、选择题（本大题共4题，第13、14题每小题4分，第15、16题每小题5分，满分18分）13.在区间I 上，()0f x '>是函数()y f x =在该区间严格增的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.某校1000名学生参加数学期末考试，用X 表示每名学生的成绩，设()2105,15X N ~，如果成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（）附：若()2,N ξμσ~，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()220.9545P μσξμσ-<<+=A.23B.46C.159D.31715.设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，122F F c =，过2F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，点3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭满足22F Q F A >，若在双曲线C 的右支上存在点P ，使得11276F P PQ F F +<成立，则双曲线C 的离心率的取值范围是（） A.101,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.31,2⎛⎫⎪⎝⎭C.310,22⎛⎝⎭D.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭16.已知1a 、2a 、3a 、4a 成等比数列，且()1234123ln a a a a a a a +++=++，若11a >，则（）A.13a a <，24a a <B.13a a >，24a a <C.13a a <，24a a > D.13a a >，24a a >三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.已知()24ax b f x x -=-，函数()y f x =是定义在()2,2-上的奇函数，且()113f =.（1）求()f x 的解析式；（2）判断()y f x =的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.18.许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上，若规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，每次套娃娃成功的概率为13，每次套娃娃费用是10元.（1）记随机变量X 为小朋友套娃娃的次数，求X 的分布和期望；（2）假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，侧面PAD 是正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，2AD =.（1）证明：AM ⊥平面PCD ；（2）若二面角M BC D --为π6，求异面直线AB 与PC 所成角的正切值.20.已知椭圆C ：22184x y +=，1F 、2F 分别为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、B 两点.（1）求椭圆的离心率；（2）当190F AB ∠=︒，且点A 在x 轴上方时，求A 、B 两点的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F AB F MN S S =△△？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.已知()e 1xf x ax =--，a ∈R ，e 是自然对数的底数.（1）当1a =时，求函数()y f x =的极值；（2）若关于x 的方程()10f x +=有两个不等实根，求a 的取值范围；（3）当0a >时，若满足()())1212f x f x x x =<（，求证：122ln x x a +<.二○二三学年度第二学期高三模拟考试参考答案一、填空题（本大题共12题，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题5分，满分54分）1、(]0,22、π2334、2π35、66、17、π48、39、84010、140481112、32+二、选择题（本大题共4题，第13、14题每小题4分，第15、16题每小题5分，满分18分）13、A14、C15、C16、B三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17、（本题共有2小题，满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题()24ax bf x x-=-是定义在()2,2-上的奇函数，所以()004bf -==，解得0b =，又由()113f =，得()1133a f ==，解得1a =，所以()24xf x x=-，则()f x 定义域为()2,2-，且()()224()4x x f x f x x x ---===----，所以()24xf x x=-.（2）()f x 在区间()2,2-上为严格增函数.证明如下：设任意1222x x -<<<，则()()()()()()121212122222121244444x x x x x x f x f x x x x x +--=-=----，由1222x x -<<<，得1244x x -<<，即1240x x +>，120x x -<，()()2212440x x -->，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，18、（本题共有2小题，满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）（1）由题意知，随机变量X 的所有可能值为1，2，3，4，则()113P X ==，()2122339P X ==⨯=，()221433327P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()3284327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，即X 的分布为12341248392727⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以[]124865123439272727E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）易知小朋友套娃娃未成功的概率为4216381⎛⎫= ⎪⎝⎭，则小朋友套娃娃成功的概率为166518181-=.记摊主每天利润为Y 元，则Y 的期望为[][]65656526003010183010188127819E Y E X ⎡⎤⎡⎤=⨯⨯-⨯=⨯⨯-⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故摊主每天利润的期望为26009元.19、（本题共有2小题，满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，由底面ABCD 为矩形，得CD AD ⊥，由侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，得CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，则CD AM ⊥，又侧面PAD 是正三角形，M 是PD 的中点，则PD AM ⊥，又PD CD D = ，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD .（2）解：如图，在平面PAD 内，过点M 作MH AD ⊥，垂足为H ，显然2MH =，由侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，得MH ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则BC MH ⊥，过H 作HN BC ⊥，垂足为N ，连接MN ，显然MH HN H = ，MH ，HN ⊂平面MNH ，则BC ⊥平面MNH ，而MN ⊂平面MNH ，因此BC MN ⊥，则MNH ∠即为二面角M BC D --的平面角，其大小为π6，在Rt MHN △中，tan 3MH MNH NH ∠==，则32NH =，由NH CD ∥，DH CN ∥，得四边形CDHN 为平行四边形，则32CD =，由AB CD ∥，得PCD ∠（或其补角）为异面直线AB 与PC 所成角，由（1）知CD ⊥平面PAD ，则PCD △为直角三角形，24tan 332PD PCD CD ∠===，所以异面直线AB 与PC 所成角的正切值为43.20、（本题共有3小题，满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)解：（1）a =2c =，所以离心率22c e a ===.（2）()12,0F -，()22,0F ，设()11,A x y ，且10y >.所以()1112,AF x y =--- ，()2112,AF x y =-+-()1129090F AB F AF ∠∠=︒=︒ ，22121140AF AF x y ∴⋅=-+=又A 在椭圆上，满足2211184x y +=，即2211418x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，221144108x x ⎛⎫∴-+-= ⎪⎝⎭，解得10x =，即()0,2A .所以直线AB ：2y x =-+，联立222184y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得8323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或02x y =⎧⎨=⎩，所以82,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()30,M y ，()40,N y ，直线l ：2x my =+，联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222440m y my ++-=.则12242m y y m +=-+，12242y y m -=+.直线1AF 的方程：()1122y y x x =++，令0x =得M 纵坐标13122y y x =+；直线1BF 的方程：()2222y y x x =++，令0x =得N 的纵坐标24222y y x =+.则1121212122F AB S F F y y y y =⋅-=-△，1134341.2F MN S F O y y y y =⋅-=-△若11F AB F MN S S =△△，即12342y y y y -=-，()()()1212123412121212822222224444y y y y y y y y y y x x my my my my --=-=-==-++++++，()()12444my my ∴++=，()212124164m y y m y y +++=，代入根与系数的关系，得22244416422m mm m m --+⋅+=++，解得m =.∴存在直线20x +-=或20x -=满足题意.21、（本题共有3小题，满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）解：()e 1xf x x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x '=，得0x =，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()y f x =严格减，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()y f x =严格增，所以，()y f x =在0x =处取到极小值0，无极大值.（2）解：方程()1e 0xf x ax +=-=，显然当0x =时，方程不成立，则e x a x=，0x ≠若方程有两个不等实根，即y a =与()e xg x x =有2个交点，()()21e x x g x x -='，当0x <或01x <<时，()0g x '<，()g x 在区间(),0-∞和()0,1严格减，并且(),0x ∈-∞时，()0g x <，当()0,1x ∈时，()0g x >，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 严格增，0x >时，当1x =时，()g x 取得最小值，()1e g =，如图，函数()y g x =的图象，y a =与()e xg x x=有2个交点，则e a >；（3）证明：由()e 0ln x f x a x a =-=⇒='，函数()y f x =在(),ln a -∞上严格减，在()ln ,a +∞上严格增。

上海市格致中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足11122n n n a a +=+，则此数列的第4项是（ ） A ．1 B ．12 C. 34 D ．582． 已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三项，则能使不等式1212111n na a a a a a +++≤+++成立的自然数的最大值为（ ）A ．9B ．8 C.7 D ．5 3． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力． 4． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4C ．34 D ．38【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.5． 若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+，则当14x y+取最小值时，CM CN ⋅=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 6． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）间的关系为0e ktP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 的污染物，则需要（ ）小时. A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.7． 执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ） A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．8．设{}n a是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A．1 B．2 C．4 D．69．若集合,则= ( )ABCD10．已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个11．已知集合{}{2|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．12．在ABC ∆中，60A =，1b =sin sin sin a b cA B C++++等于（ ）A． BCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前项和n S 取得最大值的自然数是________.14．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．15．已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________.16．在ABC ∆中，有等式：①sin sin a A b B =；②sin sin a B b A =；③cos cos a B b A =；④sin sin sin a b cA B C+=+.其中恒成立的等式序号为_________. 三、解答题（本大共6小题，共70分。

上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）1 / 17上海市格致中学2019届高三10月月考数学试题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知直线a ，如果直线b 同时满足条件①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 的距离为定值．则这样的直线b （ ） A. 唯一确定 B. 有2条 C. 有4条 D. 有无数条 2. 已知函数f （x ）满足：f （x +y ）=f （x ）•f （y ）并且f （1）=1，那么：的值为（ ）A. 2019B. 1010C. 4038D. 30303. 对于函数f （x ），若存在实数m ，使得f （x +m ）-f （m ）为R 上的奇函数，则称f（x ）是位差值为m 的“位差奇函数”．判断下列函如①f （x ）=2x +1；②f （x ）=x 2+2x +1；③f （x ）=2x ；④中是“位差奇函数”的有（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 设集合A ={2，0，1，9}，B ={x |x =2a ，a ∈A }，则A ∪B 的所有元素之和为______．6. 已知 ， ∈ ，，则sinα=______．7. 若，则a +b =______． 8. 已知（2x 2-）n （n ∈N *）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是______．（结果用数值表示）9. 已知x 、y 满足，若的最大值为2，则m =______． 10. 已知函数f （x ）=|2x-1|-a ，若存在实数x 1，x 2（x 1≠x 2），使得f （x 1）=f （x 2）=-1，则a 的取值范围是______．11. 已知复数z 满足z +i =1-zi ，则1+z +z 2+…+z 2018=______． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点， ， 是l 的一个法向量，已知数列{a n }满足：对任意的正整数n ，点（a n +1，a n ）均在l 上，若a 2=6，则a 1a 2a 3a 4a 5的值为______．13.将1，2，3，4，5，6随机排列成一列，记为a，b，c，d，e，f，则a×b×c+d×e×f是偶数的概率为______．14.在菱形ABCD中，，，，，则=______．15.已知椭圆＞＞，F为椭圆的右焦点，AB为过橢圆中心O的弦，则△ABF面积的最大值为______．16.设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上单调递减，且满足f（π）=1，f（2π）=2，则不等式组的解集为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.设，∈．（I）求f（x）的单调递增区间；（II）在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC 面积的最大值．18.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC=，AD=1，CD=3，PD=．（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．19.如图，两条相交线段AB、PQ的四个端点都在椭圆+=1上，其中，直线AB的方程为x=m，直线PQ的方程为y=x+n．上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）（Ⅰ）若n=0，∠BAP=∠BAQ，求m的值；（Ⅱ）探究：是否存在常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ？20.已知函数f（x）=（其中a，b，c，d是实数常数，x≠-d）（1）若a=0，函数f（x）的图象关于点（-1，3）成中心对称，求b，d的值；（2）若函数f（x）满足条件（1），且对任意x0∈[3，10]，总有f（x0）∈[3，10]，求c的取值范围；（3）若b=0，函数f（x）是奇函数，f（1）=0，f（-2）=-，且对任意x∈[1，+∞）时，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求负实数m的取值范围．21.对于无穷数列{a n}，若对任意n∈N*，满足且a n≤M（M是与n无关的常数），则称数列{a n}为T数列．（1）若∈，判断数列{a n}是否为T数列，说明理由；（2）设，求证：数列{b n}是T数列，并求常数M的取值范围；（3）设数列∈，＞，问数列{c n}是否为T数列？请说明理由．3 / 17上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）5 / 17答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意作图如右图，其中α∥β，a ⊂α，b ⊂β，a ，b 异面 则平面β内任一条与b 平行的直线都满足要求． 故选：D ．由题设条件，可作出两个平面，两异面直线分别在两个平面上，以保证两异面直线等距离，由图可知，平面β内所有与b 平行的线都满足题设中的三个条件，由此选出正确选项本题老点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查异面直线的定义、夹角、距离等基本概念解题的关键是理解题意中的三个条件，构造出如图的图形辅助判断，本题考查了空间想象能力及推理判断的能力，全面考查了对异面直线的定义的理解 2.【答案】B【解析】解：由意题f （x+y ）=f （x ）f （y ），且f （1）=1， 可得令x=n ，y=1，可得f （n+1）=f （n ）， 可得f （1）=f （2）=f （3）=…=f （n ）=1， 那么=f 2（1）+f 2（2）+…+f 2（1010）=1010． 故选：B ．根据f （x+y ）=f （x ）f （y ），且f （1）=1，可得令x=n ，y=1，可得f （n+1）=f （n ），可得f （1）=f （2）=f （3）=…=f （n ）=1，即可求解．本题考查了抽象函数的性质的应用，赋值法的计算，属于中档题． 3.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析4个函数：对于①，f （x ）=2x+1，有f （x+m ）-f （m ）=2（x+m ）+1-（2m+1）=2x ，则对任意实数m，f（x+m）-f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于②，f（x）=x2+2x+1=（x+1）2，则f（x+m）-f（m）=x2+2（m+1）x，设h（x）=x2+2（m+1）x，不会是奇函数，则f（x）=x2+2x+1不是“位差奇函数”；对于③，f（x）=2x，记h（x）=f（x+m）-f（m）=2x+m-2m=2m（2x-1），由h（x）+h（-x）=2m（2x-1）+2m（2-x-1）=0，当且仅当x=0等式成立，则对任意实数m，f（x+m）-f（m）都不是奇函数，则f（x）不是“位差奇函数”；对于④，，f（x+m）-f（m）=sin（x+m+）-sin（m+）=2cos（+m+）sin，可取m=，可得2cos（+π）sin=-sinx为奇函数，则f（x）是“位差奇函数”．故选：B．根据题意，结合““位差奇函数”的定义依次分析4个函数是否是“位差奇函数”，综合即可得答案．本题考查了函数中的新定义，关键是要弄清新定义的本质含义，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：如图所示，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O．设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）则大圆圆弧与小圆点M转过的圆弧相等；以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM=θ，则∠OM1O1=∠M1OO1=θ，∴∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ；大圆圆弧的长为l1=θ×1=θ，小圆圆弧的长为l2=2θ×=θ，即l1=l2，∴小圆的两段圆弧与圆弧长相等，∴点M1与点M′重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项A符合．故选：A．根据题意知直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁逆时针方向滚动时，分析滚动过程中M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，以及点M，N运动的规律，逐一对比答案选项，即可得出结论．本题考查了函数的图象与应用问题，分析M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，以及点M转过的弧长与切点转过的弧长相等是解题的关键．5.【答案】34【解析】解：∵集合A={2，0，1，9}，B={x|x=2a，a∈A}={0，2，4，18}，∴A∪B={0，1，2，4，9，18}，∴A∪B的所有元素之和为：0+1+2+4+9+18=34．故答案为：34．先求出集合A，B，由此求出A∪B，从而能求出A∪B的所有元素之和．7 / 17本题考查并集中所有元素之和的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】【解析】解：，可得cos（）=-=-．sinα=sin（+）=sin（）cos+cos（）sin==-．故答案为：．通过两角和与差的三角函数，转化求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．7.【答案】3【解析】解：，可得1-a=0，2+b=4，解得a=1，b=2，所以a+b=3．故答案为：3．利用数列的极限的运算法则化简求解即可．本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基本知识的考查．8.【答案】-84【解析】解：由题意，2n=128，得n=7．∴（2x2-）n=（2x2-）7，其二项展开式的通项=．由14-3r=-1，得r=5．∴展开式中含项的系数是．故答案为：-84．上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）9 / 17由已知求得n ，写出二项展开式的通项，由x 的指数为-1求得r ，则答案可求． 本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 9.【答案】5【解析】解：x 、y 满足的可行域如图：表示经过可行域内一点（x ，y ）与点Q （-1，0）的直线的斜率，当取直线x=1与x+y-m=0的交点A （1，m-1）时，取最大值2， 即==2，得m=5，故答案为：5．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，转化求解m 即可．本题考查线性规划的应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查转化思想以及数形结合思想的应用． 10.【答案】（1，2）【解析】解：令f （x ）=-1，则|2x -1|=a-1．据题意，直线y=a-1与函数y=|2x -1|的图象两个不同的交点， 由图可知，0＜a-1＜1，即1＜a ＜2．故答案为：（1，2）．若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f （x 1）=f （x 2）成立，则说明f （x ）在R 上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可本题主要考查了分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，属于基础试题11.【答案】-i【解析】解：由z+i=1-zi，得（1+i）z=1-i，∴z=，∴1+z+z2+…+z2018==．故答案为：-i．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由等比数列前n项和及虚数单位i得性质求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的性质，是基础题．12.【答案】-32【解析】解：直线经过坐标原点，是l的一个法向量，可得直线l的斜率为-3，即有直线l的方程为y=-3x，点（a n+1，a n）均在l上，可得a n=-3a n+1，即有a n+1=-a n，则数列{a n}为公比q为-的等比数列，可得a3=a2q=6×（-）=-2．所以a1a2a3a4a5=（-2）5=-32．故答案为：-32．由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得a n+1=-a n，则数列{a n}为公比q为-的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基本知识的考查与应用．上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）11 / 1713.【答案】【解析】解：1，2，3，4，5，6随机排成一列，共有A =720种，abc+def 为偶数等价于“a ，b ，c 不全为奇数，且d ，e ，f 不全为奇数“ ∴共有A -2A •A =648 所以所求概率为=故答案为：先求出基本事件种数为A =720种，再求出abc+def 为偶数的排列数648，然后根据古典概型概率公式可得．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.【答案】【解析】由，②2-①2得，所以． 由，可知，==．故答案为：． 先选择一组向量基底，然后把向量表示出来，最后运用平面向量的数量积进行计算．本题考查了平面向量数量积应用，以及平面向量的线性运算，属于中档题目．15.【答案】bc【解析】解：△ABF 面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，设A 到x 轴的距离为 h ，由AB 为过椭圆中心的弦，则B 到x 轴的距离也为 h ，∴△AOF 和△BOF的面积相等，故：△ABF面积等于×c×2h=ch，又h的最大值为b，∴△ABF面积的最大值是bc，故答案为：bc．△ABF面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，△AOF 和△BOF 的面积相等，A 到x轴的距离h应最大，又h的最大值为b，从而得到△ABF面积的最大值．本题考查椭圆的简单性质，用分割法求△ABF的面积，利用△AOF 和△BOF是同底等高的两个三角形．16.【答案】[π-2，8-2π]【解析】解：∵f（x）是以2为周期的偶函数，且f（x）在[0，1]上单调递减；∴由f（π）=1，f（2π）=2得，f（4-π）=1，f（2π-6）=2，且4-π，2π-6∈[0，1]；由1≤x≤2得，0≤2-x≤1；∴由得，；∴；解得π-2≤x≤8-2π；∴原不等式组的解集为[π-2，8-2π]．故答案为：[π-2，8-2π]．根据f（x）是以2为周期的偶函数，并且在[0，1]上单调递减，便可由f（π）=1，f （2π）=2得出f（4-π）=1，f（2π-6）=2，并且由1≤x≤2得出0≤2-x≤1，从而由1≤f（x）≤2得出f（4-π）≤f（2-x）≤f（2π-6），进而得出，解该不等式组即可．考查周期函数和偶函数的定义，以及减函数的定义，不等式的性质．17.【答案】解：（I），∈．化简可得：f（x）=sin2x-cos（2x+）=sin2x+sin2x-=sin2x-，上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）13 / 17由，k ∈Z ． 可得： ≤x ≤（k ∈Z ），∴函数f （x ）的单调递增区间是：[ ，]，k ∈Z （II ）由f （ ）=0，即sin A -=0， 可得sin A =， ＜ ＜，∴cos A =．由余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，可得1+ bc =b 2+c 2． ∵b 2+c 2≥2bc ，当且仅当b =c 时等号成立． ∴1+ bc ≥2bc ， bc ≤2 ．∴△ABC 面积的最大值S =bcSin ≤．故得三角形ABC 面积最大值为．【解析】（I ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间； （II）根据，求出sinA ，可得cosA ，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出bc 的值，可得△ABC 面积的最大值．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题．18.【答案】解：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E -xyz -----1’则B （ ，0，0），C （0，2，0），P （0，-1， ）----2’于是=（- ，-1， ）， =（- ，2，0）， ∵ • =（- ，-1， ）•（- ，2，0）=2-2=0，∴⊥，即BP⊥BC，-------------5’∴△PBC为直角三角形------------------6’（2）由（1）可得，A（0，-2，0）于是=（0，1，），---------------------7’=（，1，-），=（0，3，-），设平面PBC的法向量为=（x，y，z）则，即，取y=1，则z=，x=，∴平面PBC的一个法向量为=（，1，）-------------------------------------------10’设直线AP与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===，则θ=arcsin--------------12’则直线AP与平面PBC所成角的大小为arcsin-------------------------------------13’【解析】（1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明△PBC为直角三角形；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．本题主要考查空间向量的应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决直线和平面所成角的基本方法，考查学生的运算能力．19.【答案】（本题满分15分）解：（Ⅰ）由，解得，，，．…（2分）∵∠BAP=∠BAQ，∴k AP+k AQ=0．设A（m，y），则，化简得2my=3，…（5分）又，联立方程组，解得m=±1，或．∵AB平分∠PAQ，∴不合，∴m=±1．…（7分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得4y2-6ny+3n2-3=0．△=12（4-n2），，．…（9分）上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）15 / 17若存常数m ，当n 变化时，恒有∠BAP =∠BAQ ，则由（Ⅰ）知只可能m =±1． ①当m =1时，取 ，，∠BAP =∠BAQ 等价于，即（2y 1-3）（2y 2-2n -1）+（2y 2-3）（2y 1-2n -1）=0， 即4y 1y 2+3（2n +1）=2（n +2）（y 1+y 2），即3（n 2-1）+3（2n +1）=3n （n +2），此式恒成立．∴存常数m =1，当n 变化时，恒有∠BAP =∠BAQ ．…（13分） ②当m =-1时，取 ，，由对称性同理可知结论成立．∴存常数m =±1，当n 变化时，恒有∠BAP =∠BAQ ．…（15分） 【解析】（Ⅰ）由∠BAP=∠BAQ ，知k AP +k AQ =0．由此能求出m ．（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由，得4y 2-6ny+3n 2-3=0．利用韦达定理结合对称性进行分类讨论，得到存在常数m ，当n 变化时，恒有∠BAP=∠BAQ ．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，综合性质强，难度大，具有一定的探究性，对数学思维的要求较高． 20.【答案】解（1）∵a =0，∴．类比函数的图象，可知函f （x ）的图象的对称中心是（-d ，b ）． 又∵函f （x ）的图象的对称中心（-1，3），∴．（2）由（1）知，．依据题意，对任x 0∈[3，10]，恒f （x 0）∈[3，10]． ①c =3，f （x ）=3，符合题意．②c ≠3，c ＜3时，对任x ∈[3，10]，恒＜ ，不符合题意． 所c ＞3，函[3，10]上是单调递减函数，且满f （x ）＞3． 因此，当且仅f （3）≤10， 即3＜c ≤31时符合题意．综上，所实数c 的范围3≤c ≤31．（3）依据题设，解于是．由＜＜，得＜，∴（2x2-1）m2＞1∵m＜0∴m＜-．因此，＜．∵函数y=-在[1，+∞）是增函数，∴y min=y（1）=-1．∴所求负实数m的取值范围m＜-1．故答案为m＜-1．【解析】（1）利用反比例函数的对称性类比即可；（2）分情况讨论f（x）的范围；（3）先根据条件确定f（x）的解析式，再利用不等式和函数单调性求出m的取值范围．本题主要考察利用函数奇偶性，对称性求解析式，恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解21.【答案】（1）解：由，得a n+a n+2-2a n+1==．当n为偶数时，＞，∴数列{a n}不是T数列；（2）证明：∵b n+1-b n=50（n+1）--50n+=50-，∴当50-≥0，即n≤11时，b n+1-b n＞0，此时数列b n单调递增．当n≥12时，b n+1-b n＜0，此时数列b n单调递减．故数列b n的最大项是b12，∴M的取值范围是M≥600-；上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）17 / 17（3）①当1＜p ≤2时，当n =1时c 1=p -1，c 2=1-，c 3=1-， 由c 1+c 3-2c 2=-2≤0，得p ≤， 即当1＜p ≤时符合．若n ≥2，则 ≤1，此时，于是c n +c n +2-2c n +1=（1- ）+（1- ）-2（1- ）=＜0．又对于n ∈N *有c n =|-1|＜1，∴当1＜p ≤时数列c n 是T 数列； ②当2＜p ≤3时，取n =1，则c 1=p -1，c 2=-1，c 3=1-，由 ＞0，∴2＜p ≤3时数列c n 不是T 数列； ③当p ＞3时，取n =1，则c 1=p -1，c 2=-1，c 3=-1，由c 1+c 3-2c 2=＞0，∴p ＞3时数列c n 不是T 数列．综上：当1＜p ≤，时数列c n 是T 数列；当p ＞时，数列c n 不是T 数列． 【解析】（1）由，得a n +a n+2-2a n+1，整理后可知当n 为偶数时，则数列{a n }不是T 数列；（2）由b n+1-b n=50-，得到n≤11时，b n+1-b n ＞0，此时数列b n 单调递增．当n≥12时，b n+1-b n ＜0，此时数列b n 单调递减，故数列b n 的最大项是b 12，由此能求出M 的取值范围；（3）当1＜p≤2时，对于n ∈N *有c n =|-1|＜1，可得当1＜p≤时数列c n 是T 数列；当2＜p≤3时，数列c n 不是T 数列．当p ＞3时，数列c n 不是T 数列． 本题考查数列的函数特性，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．。

格致中学 二〇一四届高考模拟考试参考答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1 已知集合{}2≤=x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=015x x x B ,则 A ∩B = .解析:{}12<≤-x x . 2 若函数)(x f y =与2x y e +=的图像关于直线x y =对称,则=)(x f .解析:由2x y e +=得2ln x y +=,从而ln 2x y =-,所以2x y e+=的反函数()ln 2,(0)f x x x =->.3 已知角α的终边上的一点的坐标为22(sin ,cos )33P ππ,则角α的最小正值为 .116π. 4 已知z 和31z i+-都是纯虚数,那么=z .解析:3i . 5 若抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线222x y -=的右焦点,则_______p =.解析:4. 6 设{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28tan()a a +的值为.解析:.7 设整数m 是从不等式0822≤--x x 的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素,记随机变量ξ2m =,则ξ的数学期望E ξ= .解析:5.8 对于空间中的三条直线,有以下四个条件:①三条直线两两相交；②三条直线两两平行； ③三条直线共点；④两直线相交,第三条平行于其中一条与另个一条相交. 其中使这三条直线共面的充分条件有 个.解析:1个.9 圆sin cos (0,02)ρθθρθπ=->≤<的圆心的极坐标是 .答案:3)4π.解析:极坐标方程两边乘以ρ,化成直角坐标方程为22x y y x +=-, 所以圆心的直角坐标为11(,)22-,再化成极坐标为3)24π. 10 已知12,F F 分别是椭圆2211612x y +=的左、右焦点,点P 是椭圆上的任意一点, 则121||PF PF PF -的取值范围是 .答案:[0,2].解析:1211111111(8)(8)82PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF -----===-,因为126PF ≤≤且函数82y x=-在[2,6]x ∈上单调递增, 所以182223PF ≤-≤-,故18|2|[0,2]PF -∈.11 把实数a 、b 、c 、d 排形成如a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的形式,称之为二行二列矩阵.定义矩阵的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,该运算的几何意义为平面上的点(),x y 在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成点(),ax by cx dy ++,若曲线22421x xy y ++=在矩阵11a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭的作用下变换成曲线2221x y -=,则a b +的值为____________.答案:2-. 解析:因为点(,)x y 在矩阵的作用下变成点(,)x ay bx y ++. 所以曲线22421x xy y ++=在矩阵的作用下变成曲线22()4()()2()1x ay x ay bx y bx y ++++++=与2221x y -=比较得2214212244400422b b a a ab b b a a ⎧++==-⎧⎪+++=⇒⎨⎨=⎩⎪++=-⎩. 12 已知数列{}n a 满足:11a =,2()a x x N *=∈,21n n n a a a ++=-,若前2014项中恰好含有667项为0,则x 的值为 .答案:8或9.提示:先试探性的写出一个值,然后分析数列中项的情况,进而做出推理验证. 13 在面积为2的ABC ∆中,E ,F 分别是AB ,AC 的中点,点P 在直线EF 上, 则2+⋅的最小值是 .答案:23解析:问题可转化为:已知PBC ∆的面积为1,求2+⋅的最小值.由题设知,PBC ∆的面积为1,以B 为原点,BC 所在直线为x 轴,过点B 与直线BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系,设2(,0),(,)(0)C a P t a a>, 则22(,),(,),PB t PC a t aa=--=--u u u ru u ur∴222222443()()0324a a PC PB BC t a t a t a a ⋅+=--++=-++≥+u u u r u u u r u u u r ,当且仅当416,23at a ==,∴2+⋅的最小值是314 设函数,下列四个命题中真命题的序号是 .(1)()f x 是偶函数； (2)不等式()20132014f x <⨯的解集为∅； (3)()f x 在()0,+∞上是增函数； (4)方程2(56)(2)f a a f a -+=-有无数个实根.解析:(1)(2)(4).提示:特殊到一般,分别画出()11()f x x x x =++-∈R 和()1212()f x x x x x x =++++-+-∈R 的草图,就可以类比猜想出()f x 的图像,根据图像数形结合不难得出结论. 二、选择题:(每题5分,共20分)15 如果i +2是关于x 的实系数方程02=++n mx x 的一个根,则圆锥曲线122=+ny m x 的焦点坐标是( .D ).A )0,1(± .B )1,0(± .C )0,3(± .D )3,0(±16 某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10g 黄金,售货员先将5g 的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金 ( A ).A 大于10g .B 小于10g .C 大于等于10g .D 小于等于10g解答:设两边的臂长分别是12,l l ,二次称得的黄金重量分别是1212,()m m m m ≠. 则有杠杆原理得112122125255l m l m m m l l =⎧⇒⋅=⎨=⎩,从而1212210m m m m +>=.17 某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参加,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位.若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 ( B ).A 101 .B 201 .C 401 .D 1201 解析:10位同学总参赛次序1010P .一班3位同学恰好排在一起,而二班的2位同学没有排在一起的方法数为先将一班3人捆在一起33P ,与另外5人全排列66P ,二班2位同学不排在一起,采用插空法27P ,即362367P P P . ∴所求概率为3623671010120P P P P =. 18 设函数()x x xf x a b c =+-,其中0,0c a c b >>>>.若,,a b c 是ABC ∆的三条边长,则下列结论中正确的是 ( D ) ①对一切(),1x ∈-∞都有()0f x >；②存在x R +∈,使,,xxxxa b c 不能构成一个三角形的三条边长；③若ABC ∆为钝角三角形,则存在()1,2x ∈,使()0f x =..A ①② .B ①③ .C ②③ .D ①②③三、解答题:(本大题共74分)19(本小题12分)如图,棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,且//AB CD ,90BAD ∠=o ,2PA AD DC ===,4AB =.(1)求证:BC PC ⊥；(2)求PB 与平面PAC 所成的角的正弦值. 解析:∵AP ⊥平面ABCD ,90BAD ∠=o. ∴以A 为原点,,,AD AB AP 分别为,,x y z 轴, 建立空间直角坐标系.∵2PA AD DC ===,4AB =.∴(0,4,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,0,2)B D C P . (1)∴,所以BC PC ⊥.(2)∵,设平面APC 法向量(,,)x y z =rn ,∴.∵,∴即PB 与平面PAC所成角的正弦值为5. 20(本小题14分)设ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 已知,cos cos 3C a A b B π==.(1)求角A 的大小；(2)如图,在ABC ∆的外角ACD ∠内取一点P ,使得2PC =.过点P 分别作直线,CA CD 的垂线,PM PN ,垂足分别是.设PCA α∠=,求PM PN +的最大值及此时α的取值.解析:(1)由cos cos a A b B =及正弦定理可得 sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =,又(0,),(0,)A B ππ∈∈, 所以有A B =或2A B π+=.又因为3C π=,得23A B π+=,与2A B π+=矛盾,所以AB =,因此3A π=. (2)由题设,得在Rt PMC ∆中,sin 2sin PM PC PCM α=⋅∠=；在Rt PNC ∆中,sin 2sin[()]2sin()33PN PC PCN πππαα=⋅∠=-+=+；所以,2sin 2sin())36PM PN ππααα+=++=+DCAPABDCMNPα因为2(0,)3πα∈,所以5(,)666πππα+∈,从而有1sin()(,1]62πα+∈,即)6πα+∈.于是,当623πππαα+=⇒=时,PM ＋PN PM PN +取得最大值21(本小题14分)定义在D 上的函数()f x ,如果满足:对任意x D ∈,存在常数0M >,都有|()|f x M ≤成立,则称()f x 是D 上的有界函数,其中M 称为函数()f x 的上界.已知函数()11124xxf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)当1a =时,求函数()f x 在(),0-∞上的值域,并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数,请说明理由；(2)若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数,求实数a 的取值范围. 解析:(1)当1a =时,11()124xxf x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵()f x 在(),0-∞上递减,∴()(0)3f x f >=,即()f x 在(),1-∞的值域为()3,+∞,故不存在常数0M >,使|()|f x M ≤成立.∴函数()f x 在(),1-∞上不是有界函数. (2)由题意知,()3f x ≤在[)1,+∞上恒成立.3()3f x -≤≤,11142424xxxa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤⋅≤- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴11422222x xxxa ⎛⎫⎛⎫-⋅-≤≤⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[)0,+∞上恒成立,∴ max min11422222x xx xa ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-≤≤⋅-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.设2x t =,1()4h t t t =--,1()2p t t t =-,由x ∈[)0,+∞得1t ≥,∴()h t 在[)1,+∞上递减,()p t 在[)1,+∞上递增,()h t 在[)1,+∞上的最大值为(1)5h =-,()p t 在[)1,+∞上的最小值为(1)1p =.∴实数a 的取值范围为[]5,1-.23(本小题16分)在平面直角坐标系xoy 中,已知三点(0,0)O ,(1,1)A -,(1,1)B ,曲线C 上任意—点(,)M x y 满足:14()2MA MB OM OA OB +=-⋅+u u u r u u u r u u u ur u u u r u u u r .(1)求曲线C 的方程；(2)设点P 是曲线C 上的任意一点,过原点的直线l 与曲线相交于,M N 两点,若直线,PM PN 的斜率都存在,并记为PM k ,PN k .试探究PM PN k k ⋅的值是否与点P 及直线l 有关,并证明你的结论；(3)设曲线C 与y 轴交于,D E 两点,点(0,)Q m 在线段DE 上,点P 在曲线C 上运动. 若当点P 的坐标为(0,2)时,取得最小值,求实数m 的取值范围.解析:(1)由题意可得, )22,2()1,1()1,1(y x y x y x --=--+---=+, 所以4844)22()2(||2222+-+=-+-=+y y x y x ,又y y x -=⋅-=+-4)2,0(),(214)(4, 所以y y y x -=+-+4484422,即14322=+y x .(2)因为过原点的直线l 与椭圆相交的两点N M ,关于坐标原点对称, 所以可设),(),,(),,(0000y x N y x M y x P --.因为N M P ,,在椭圆上,所以有 14322=+y x , ………① 1432200=+y x , ………②①-②得 3422202-=--x x y y . 又00x x y y k PM --=,00x x y y k PN ++=, 所以34222020000-=--=++⋅--=⋅x x y y x x y y x x y y k k PNPM , 故PN PM k k ⋅的值与点P 的位置无关,与直线l 也无关. (3)由于),(y x P 在椭圆C 上运动,故22≤≤-y ,且22433y x -=.因为,所以由题意,点P 的坐标为)2,0(时,取得最小值,即当2=y 时,取得最小值,而22≤≤-y .故有24≥m .解得21≥m . 又椭圆C 与y 轴交于E D 、两点的坐标为)2,0(、)2,0(-,而点Q 在线段DE 上, 即22≤≤-m ,亦即221≤≤m ,所以实数m 的取值范围是]2,21[. 23．已知等比数列{}n a 的首项12013a =,公比12q =-,数列{}n a 前n 项和记为n S ,前n 项积记为n T .(1)证明:21n S S S ≤≤；(2)判断n T 与1n T +的大小,并求n 为何值时,n T 取得最大值； (3)证明:若数列{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为,则数列{}n d 为等比数列.解:(1)∵S n =S 1+a 21--12æèçöø÷n -1éëêêùûúú1--12æèçöø÷=S 1-13a 11--12æèçöø÷n -1éëêêùûúú£S 1,当1n =时,等号成立； 同理232221************n n n a S S S a S --⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=+--≥⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭,当2n =时,等号成立；21n S S S ∴≤≤. (2)∵T n +1T n=a 1×a 2×××××a n ×a n +1a 1×a 2×××××a n=a n +1=20132n.又∵2013211<1<2013210, ∴当10n ≤时,1n n T T +>；当11n ≥时,1n n T T +<.∴当11n =时,n T 取得最大值,又∵T 10<0,T 11<0,T 9>0,T 12>0,∴n T 的最大值是9T 和12T 中的较大者,又∵T 12T 9=a 10×a 11×a 12=2013×-12æèçöø÷10éëêêùûúú3>1，129T T ∴>.因此当12n =时,n T 最大.(3)∵a n =2013×-12æèçöø÷n -1,n a ∴随n 增大而减小,n a 奇数项均正,偶数项均负,①当k 是奇数时,设{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为12k k k a a a ++，，, 则1111111222k k k k k a a a a a -+⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,112112222k k ka a a ++⎛⎫=-=⎪⎝⎭, 122k k k a a a ++∴+=,因此12k k k a a a ++，，成等差数列,公差112111311222k k k k k k a d a a a ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；②当k 是偶数时,设{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为21k k k a a a ++，，, 则1111111222kk k k ka a a a a -+⎛⎫⎛⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,112112222k k k a a a ++⎛⎫=-=-⎪⎝⎭. ∴122k k k a a a +++=,因此21k k k a a a ++，，成等差数列, 公差111211311222k k k k k k a d a a a +-++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,综上可知,{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列, 且1132k k a d +=, ∵12n n d d -=,∴数列{}n d 为等比数列.。

上海市格致中学2018-2019学年高三下学期3月月考数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=2+3，a 3=4+5+6，a 4=7+8+9+10，…，则a 10=（ ）A. 610B. 510C. 505D. 7502. 已知平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为三个单位向量，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y ∈R ），则x +y 的最大值为（ ） A. 1 B. √2 C. √3 D. 2 3. 已知函数：①f （x ）=3ln x ； ②f （x ）=3e cos x ； ③f （x ）=3e x ； ④f （x ）=3cos x ．其中对于f （x ）定义域内的任意一个自变量x 1都存在唯一一个自变量x 2，使√f(x 1)f(x 2)=3成立的函数是（ ）A. ③B. ②③C. ①②④D. ④4. 设[x ]表示不超过x 的最大整数（如[2]=2，[54]=1），对于给定的n ∈N *，定义C nx =n(n−1)…(n−[x]+1)x(x−1)⋯(x−[x]+1)，x ∈[1，+∞），则当x ∈[32，3)时，函数C 8x的值域是（ ） A. [163,28]B. [163,56)C. (4,283)∪[28,56)D. (4,163]∪(283,28]二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 在复平面内，复数21+i （i 为虚数单位）对应的点与原点的距离是______． 6. 将参数方程{y =2sinθx=1+cosθ（θ为参数）化为普通方程，所得方程是______ 7. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是两个非零向量，且|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ -b ⃗ |，则a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角大小为______．8. 若函数y =tanωx 在（-π，π）上是递增函数，则ω的取值范围是______ 9. 行列式∣∣∣∣14−1271−1x 5∣∣∣∣中x 的系数是______10. 如图为一几何体的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，SD =PD =6，CR =SC ，AQ =AP ，点S ，D ，A ，Q 及P ，D ，C ，R 共线，沿图中虚线将它们折叠，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要______个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．11. 在均匀分布的条件下，某些概率问题可转化为几何图形的面积比来计算，勒洛三角形是由德国机械工程专家勒洛首先发现，作法为：以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为______12. 平面上的整点（横、纵坐标都是整数）到直线y =53x +45的距离中的最小值是______． 13. 设定义域为R 的函数f （x ）、g （x ）都有反函数，且函数f （x -1）和g -1（x -3）图象关于直线y =x 对称，若g （5）=2015，则f （4）=______14. 已知实数a 、b 、c 成等差数列，点P （-3，0）在动直线ax +by +c =0（a 、b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为（2，3），则|MN |的取值范围是______ 15. 数列{a n }中，a 1=2，a 2=7，a n +2等于a n •a n +1的个位数，则a 2019=______16. 已知函数f （x ）满足：①对任意x ∈（0，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立；②当x ∈（1，2]时，f （x ）=2-x ．若f （a ）=f （2020），则满足条件的最小的正实数a 是______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =1，点E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ． （1）求证：PA ∥平面EDB ； （2）求证：PB ⊥平面EFD ．18. 已知复数z 1=sin2x +λi ，z 2=m +(m −√3cos2x)i （λ，m ，x ∈R ），且z 1=z 2．（1）若λ=0且0＜x ＜π，求x 的值； （2）设λ=f （x ）；①求f （x ）的最小正周期和单调递减区间；②已知当x =α时，λ=12，试求cos(4α+π3)的值．19. 双曲线C 与椭圆x 28+y 24=1有相同的焦点，直线y =√3x 为C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的方程；（2）过点P （0，4）的直线l ，交双曲线C 于A 、B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合），当PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ1+λ2=−83时，求Q 点的坐标．20.对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若f（x）=x2+3x和个g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；（2）若h（x）=2x2+3x-1由函数f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；（3）利用“基函数f（x）=log4（4x+1），g（x）=x-1”生成一个函数h（x），使之满足下列件：①是偶函数；②有最小值1；求函数h（x）的解析式并进一步研究该函数的单调性（无需证明）．21.设数列{a n}满足a n2=a n+1a n-1+λ（a2-a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n≥n-r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T=a n对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵a1中有一个数字，a2中有两个数字，…，a9中有九个数字，∴前九项一共有1+2+3+…+9=45个数字，∴a10=46+47+48+…+55=505，故选：C．根据第一项由一个数组成，第二项有两个数组成，第三项有三个数组成，以此类推第九项有九个数组成，在第十项之前一共出现1+2+3+…+9=45个数字，所以第十项是从46到55这些数字的和．对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力2.【答案】B【解析】解：∵、为三个单位向量，且，将（x，y∈R）两边平方，得=2+2+2xy，所以x2+y2=1，∵（x+y）2=x2+y2+2xy≤2（x2+y2）=2，∴x+y≤，所以x+y最大值为．故选：B．由已知，将（x，y∈R）两边平方后整理得x2+y2=1，进而根据基本不等式可得x+y的最大值．本题考查的知识点是平面向量的基本定理，基本不等式，其中根据已知分析出x2+y2=1是解答的关键．3.【答案】A【解析】解：在①f（x）=3lnx中，∵f（1）=0，∴不存在自变量x2，使=3成立，故①不成立；在②f（x）=3e cosx中，∵函数不是单调函数，∴对于定义域内的任意一个自变量x1，使=3成立的自变量x2不唯一，故②不成立；在③f（x）=3e x中，函数是单调函数，且函数值不为0，故定义域内的任意一个自变量x1都存在唯一一个自变量x2，使=3成立，故③成立；在④f（x）=3cosx中，∵f（）=0，∴不存在自变量x2，使=3成立，故④不成立．故选：A．在①f（x）=3lnx中，f（1）=0，在④f（x）=3cosx中，f（0）=0，不存在自变量x2，使=3成立；在②f（x）=3e cosx中，函数不是单调函数；在③f（x）=3e x 中，函数是单调函数，且函数值不为0，由此能求出结果．本题考查满足条件的函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4.【答案】D【解析】解：当x∈时，，当x→2时，[x]=1，所以；当[2，3）时，，当x→3时，[x]=2，，故函数C8x的值域是．故选：D．将区间分为[，2）、[2，3）两段分别考虑进行求值．本题主要考查已知函数解析式求函数值域的问题．求函数值域有时需要进行分段考虑．5.【答案】√2【解析】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（1，-1），与原点的距离是．故答案为：．利用复数代数形式乘除运算化简求得复数对应的点的坐标，再由两点间的距离公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6.【答案】4（x-1）2+y2=4【解析】解：由消去参数得（x-1）2+=1．故答案为：4（x-1）2+y2=4．根据平方关系式消去参数可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属基础题．7.【答案】π6【解析】解：如图．设，，则，，根据||=||=|-|，得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，菱形的一条对角线同边相等．△OAB为正三角形，，，即与+的夹角大小为故答案为：根据||=||=|-|，得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，且一条对角线等于边长，得到特殊的关系．大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．8.【答案】（0，1]2【解析】解：∵根据题设可知ω＞0，又函数y=tanωx（ω＞0）在（-π，π）上是递增函数，∴kπ-≤ω•（-π），且ω•π≤+kπ，k∈Z，∴求得ω≤，且ω≤k，k∈Z，∴可得：ω≤，∴ω的取值范围为（0，]．故答案为：（0，]．根据题设可知ω＞0，利用正切函数的单调性，可得kπ-≤ω•（-π），且ω•π≤+kπ，k∈Z，由此求得ω的取值范围．本题主要考查正切函数的单调性，属于基础题．9.【答案】-3【解析】解：行列式=35-2x-4-7-x-40=-3x-16．∴行列式中x的系数是-3．故答案为：-3．利用行列式展开式能求出行列式中x的系数．本题考查行列式中未知数的系数的求法，考查行列式展开式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】24【解析】解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥，且底面四边形ABCD为边长是6的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=6∴V四棱锥P-ABCD=×6×6×6=72∵棱长为12的正方体体积为12×12×12=1728∵，∴需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．故答案为24先把判断几何体的形状，把展开图沿虚线折叠，得到一个四棱锥，求出体积，再计算棱长为12的正方体的体积，让正方体的体积除以四棱锥的体积，结果是几，就需要几个四棱锥．本题主要考查了根据空间几何体的展开图判断原几何体形状，以及几何体体积的计算，考查了学生的识图能力以及空间想象力．11.【答案】√32(π−√3)【解析】解：设正三角形的边长为1，则正三角形的面积为，三段曲边三角形的面积为3×（S扇形-S正三角形）=3×（×1×-）=-，在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为=．故答案为：．利用扇形面积公式和正三角形面积公式求得曲边三角形的面积后，根据几何概型的概率公式可得．本题考查了几何概型，属中档题．12.【答案】√3485【解析】解：直线即25x-15y+12=0，设平面上点（x，y）到直线的距离为d，则d==，∵5x-3y+2为整数，故|5（5x-3y+2）+2|≥2，当且仅当x=-1、y=-1或x=2，y=4时，取到最小值2，故所求的距离的最小值为d==；故答案为：设出整点的坐标，利用点到直线的距离公式表示出距离．根据绝对值的意义看出最小值本题考查解析几何与点与直线的距离的综合应用，本题解题的关键是利用点到直线的距离公式表示出要求的最值，根据绝对值求出结果．13.【答案】2018【解析】解：解：设g-1（x-3）=y则g（g-1（x-3））=g（y）∴x-3=g（y）∴x=g（y）+3得y=g（x）+3（为g-1（x-3）的反函数）又∵f（x-1）与g-1（x-3）的图象关于直线y=x对称∴f（x-1）=g（x）+3又g（5）=2015∴f（4）=f（5-1）=g（5）+3∴f（4）=2015+3=2018故填：2018．根据函数f（x-1）和g-1（x-3）图象关于直线y=x对称可得函数f（x-1）和g-1（x-3）互为反函数，故可令g-1（x-3）=y求出其反函数y=g（x）+3 则f（x-1）=g（x）+3然后令x=5再结合g（5）=2015即可得解．本题主要考察反函数的定义和性质．解题的关键是要利用互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称得出函数f（x-1）和g-1（x-3）互为反函数然后依次得出f（x-1）=g（x）+3，本题属于中档题．14.【答案】[5−√5，5+√5]【解析】解：∵实数a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∴动直线l：ax+by+c=0（a，b不同时为零）化为：，变形为a（2x+y）+c（y+2）=0，令，解得．∴动直线l过定点：Q（1，-2）．∴点M在以PQ为直径的圆上，圆心为线段PQ的中点：C（-1，-1），半径r==．∴|MN|的最大值=|CN|+r=+=5+．|MN|的最小值=-=5-．故答案为：[5-，5+]．实数a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，于是动直线l：ax+by+c=0（a，b不同时为零）化为：，即a（2x+y）+c（y+2）=0，利用直线系可得：动直线l过定点：Q（1，-2）．因此点M在以PQ为直径的圆上，利用中点坐标公式可得：圆心为线段PQ的中点：C（-1，-1），半径r．则线段MN长度的最大值=|CN|+r．最小值=|CN|-r．本题综合考查了直线系、等差数列的性质、圆的性质、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】4【解析】解：∵已知a1=2，a2=7，a n+2等于a n a n+1（n∈N*）的个位数，∴a3=4，a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，…，可以看出：从a9开始重复出现从a3到a8的值：4，8，2，6，2，2．因此a n=a n+6（n≥3，n∈N+）．∴a2019=a3+6×336=a3=4．故答案为：4．根据题意可得：由数列的递推公式可得a3=4，a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，据此可得到数列的一个周期为6，进而可得a2019=a3+336×6=a3，即可得答案．本题考查数列的递推公式以及数列的周期，关键是分析数列{a n}的周期，属于基础题．16.【答案】36【解析】解：取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2-，从而f（x）=2f（）=…=2m f（）=2m+1-x，其中，m=0，1，2，…f（2020）=210f（）=211-2020=28=f（a）设a∈（2m，2m+1）则f（a）=2m+1-a=28∴a=2m+1-28∈（2m，2m+1）即m≥5即a≥36∴满足条件的最小的正实数a是36故答案为：36取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2-，从而f（x）=2m+1-x，根据f （2020）=f（a）进行化简，设a∈（2m，2m+1）则f（a）=2m+1-a=28求出a的取值范围．本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了计算能力，分析问题解决问题的能力，转化与划归的思想，属于中档题．17.【答案】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中点，∵点E是PC的中点，∴OE∥PA，∵OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）∵PD =DC =1，点E 是PC 的中点， ∴DE ⊥PC ，∵底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， ∴PD ⊥BC ，CD ⊥BC ，又PD ∩DC =D ， ∴BC ⊥平面PDC ，∴DE ⊥BC ，∵PC ∩BC =C ，∴DE ⊥平面PBC ，∴DE ⊥PB ， ∵EF ⊥PB ，EF ∩DE =E ， ∴PB ⊥平面EFD ． 【解析】（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，推导出OE ∥PA ，由此能证明PA ∥平面EDB ．（2）推导出DE ⊥PC ，PD ⊥BC ，CD ⊥BC ，从而DE ⊥BC ，进而DE ⊥平面PBC ，DE ⊥PB ，再由EF ⊥PB ，能证明PB ⊥平面EFD ．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、是中档题．18.【答案】解：由z 1=sin2x +λi ，z 2=m +(m −√3cos2x)i （λ，m ，x ∈R ），且z 1=z 2． 得{m =sin2xλ=m −√3cos2x． （1）若λ=0且0＜x ＜π，则sin2x =√3cos2x ， 即tan2x =√3，∴x =π6或2π3；（2）①λ=f(x)=2sin(2x −π3)，则T =π， 由π2+2kπ≤2x −π3≤3π2+2kπ，得kπ+5π12≤x ≤11π12+kπ，k ∈Z ．∴f （x ）的单调递减区间为[kπ+5π12，kπ+11π12]，k ∈Z ；②由题意，12=2sin(2α−π3)，∴sin （π3−2α）=−14， 即cos （π6+2α）=-14．∴cos(4α+π3)=2cos 2(π6+2α)−1=2×(−14)2−1=−78． 【解析】利用复数相等的条件可得．（1）由已知得sin2x=，得到即tan2x=，进一步求得x 值；（2）①λ=，由周期公式求周期，再由符合函数的单调性求f（x ）的单调递减区间； ②由题意，，得到sin （）=，利用诱导公式求得cos（）=-，再由倍角公式求．本题考查复数相等的条件，考查y=Asin （ωx+φ）型函数的图象和性质，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）设双曲线方程为x 2a 2−y2b2=1 由椭圆x 28+y 24=1求得两焦点为（-2，0），（2，0），∴对于双曲线C ：c =2，又y =√3x 为双曲线C 的一条渐近线 ∴ba =√3解得a 2=1，b 2=3， ∴双曲线C 的方程为x 2−y 23=1（Ⅱ）由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：y =kx +4，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 则Q(−4k ，0) ∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(−4k ，−4)=λ1(x 1+4k ，y 1)． ∴λ1=−4kx 1+4k=−4kx1+4同理λ2=-4kx2+4，所以λ1+λ2=−4kx 1+4−4kx 2+4=−83． 即2k 2x 1x 2+5k （x 1+x 2）+8=0．（*）又y =kx +4以及x 2−y 23=1消去y 得（3-k 2）x 2-8kx -19=0．当3-k 2=0时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，3-k 2≠0． 由韦达定理有：x 1+x 2=8k3−k 2x 1x 2=−193−k 2代入（*）式得k 2=4，k =±2∴所求Q 点的坐标为（±2，0）． 【解析】（1）先求出椭圆的焦点找到双曲线中的c ，再利用直线为C 的一条渐近线，求出a 和b 的关系进而求出双曲线C 的方程； （2）先把直线l 的方程以及A 、B 两点的坐标设出来，利用，找到λ1和λ2与A 、B 两点的坐标和直线l 的斜率的关系，再利用A 、B 两点是直线和双曲线的交点以及，求出直线l 的斜率k 进而求出Q 点的坐标．本题综合考查了直线与双曲线的位置关系以及向量共线问题．在对圆锥曲线问题的考查上，一般都是出中等难度和高等难度的题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．20.【答案】解：（1）设h （x ）=m （x 2+3x ）+n （3x +4）=mx 2+3（m +n ）x +4n ，∵h （x ）是偶函数，∴m +n =0，∴h （2）=4m +4n =0；（4分）（2）设h （x ）=2x 2+3x -1=m （x 2+ax ）+n （x +b ）=mx 2+（am +n ）x +nb∴{m =2am +n =3nb =−1得{a =3−n2b =−1n∴a +2b =3−n 2-2n =32-n 2-2n（8分） 由ab ≠0知，n ≠3，∴a +2b ∈(−∞，−12)∪(72，+∞)（11分）（3）设h （x ）=m log 4（4x +1）+n （x -1）∵h （x ）是偶函数，∴h （-x ）-h （x ）=0，即m log 4（4-x +1）+n （-x -1）-m log 4（4x +1）-n （x -1）=0 ∴（m +2n ）x =0得m =-2n （13分）则h （x ）=-2n log 4（4x +1）+n （x -1）=-2n [log 4（4x +1）-12x +12]=-2n [log 4（2x +12x ）+12] ∵h （x ）有最小值1，则必有n ＜0，且有-2n =1∴m =1．n =−12 ∴h （x ）=log 4（2x +12x ）+12h （x ）在[0，+∞）上是增函数，在（-∞，0]上是减函数．（18分） 【解析】（1）先用待定系数法表示出偶函数h （x ），再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可． （2）先用待定系数法表示出偶函数h （x ），再根据同一性建立引入参数的方程求参数，然后再求a+2b 的取值范围；（3）先用待定系数法表示出函数h （x ），再根据函数h （x ）的性质求出相关的参数，代入解析式，由解析研究出其单调性即可本题考点是函数的奇偶性与单调性综合，考查了利用偶函数建立方程求参数以及利用同一性建立方程求参数，本题涉及到函数的性质较多，综合性，抽象性很强，做题时要做到每一步变化严谨，才能保证正确解答本题．21.【答案】解：（1）由题意，可得a n2=（a n +d ）（a n -d ）+λd 2， 化简得（λ-1）d 2=0，又d ≠0，所以λ=1．（2）将a 1=1，a 2=2，a 3=4，代入条件， 可得4=1×4+λ，解得λ=0，所以a n 2=a n +1a n -1，所以数列{a n }是首项为1，公比q =2的等比数列， 所以a n =2n -1． 欲存在r ∈[3，7]，使得m •2n -1≥n -r ，即r ≥n -m •2n -1对任意n ∈N *都成立， 则7≥n -m •2n -1，所以m ≥n−72n−1对任意n ∈N *都成立． 令b n =n−72n−1，则b n +1-b n =n−62n -n−72n−1=8−n2n ，所以当n ＞8时，b n +1＜b n ；当n =8时，b 9=b 8；当n ＜8时，b n +1＞b n ． 所以b n 的最大值为b 9=b 8=1128，所以m 的最小值为1128； （3）因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2，①若T =2，则a n +2=a n 恒成立，从而a 3=a 1，a 4=a 2，所以{a 12=a 22+λ(a 2−a 1)2a 22=a 12+λ(a 2−a 1)2， 所以λ（a 2-a 1）2=0，又λ≠0，所以a 2=a 1，可得{a n }是常数列，矛盾． 所以T =2不合题意．②若T =3，取a n ={1，n =3k −22，n =3k −1−3，n =3k(k ∈N ∗)（*），满足a n +3=a n 恒成立．由a 22=a 1a 3+λ（a 2-a 1）2，得λ=7． 则条件式变为a n 2=a n +1a n -1+7． 由22=1×（-3）+7，知a 3k -12=a 3k -2a 3k +λ（a 2-a 1）2；由（-3）2=2×1+7，知a3k2=a3k-1a3k+1+λ（a2-a1）2；由12=2×（-3）+7，知a3k+12=a3k a3k+2+λ（a2-a1）2；所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3．【解析】（1）由等差数列的通项公式，化简可得（λ-1）d2=0，又d≠0，可得所求值；（2）求得λ=0，数列{a n}是首项为1，公比q=2的等比数列，运用等比数列的通项公式，可得存在r∈[3，7]，使得m•2n-1≥n-r，即r≥n-m•2n-1对任意n∈N*都成立，由参数分离可得m的最小值；（3）由题意可得T≥2，讨论T=2，T=3，根据条件，推理得到结论．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，以及数列不等式恒成立问题和周期数列的判断和证明，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

上海市格致中学2023届高三下学期3月阶段性测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________7．在ABC 中，三个内角A 、6a b +=，cos cos a B b Ac+=8．已知某次考试的数学成绩现从这次考试随机抽取3位同学的数学成绩，则这(100,120)内的概率为．9．已知函数()sin f x x ω⎛= ⎝则ω的取值范围是10．已知1F ，2F 是双曲线x a 的对称点A 满足1F AO ∠=∠为.二、单选题A ．,m n 是奇数且1m n<B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n <C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n>D ．,m n 是奇数，且1m n>15．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为()201,2,3,,2023i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有（）个A ．1009B ．1010C ．1011D ．1012三、解答题(1)证明：EF ∥平面PCD(2)若PD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠= ，且角的正弦值．19．随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线．某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取300人进行调查，得到如下表的统计数据：周平均锻炼时间少于5小时周平均锻炼时间不少于50岁以下12050岁以上（含50）30合计150(1)运用独立性检验的思想方法判断：是否有参考答案：连接1AC 交截面1A DB 于P ，由可得1CC BD ⊥，又在正方形ABCD 中，AC ⊥则BD ⊥平面1ACC ，1AC ⊂平面则1BD AC ⊥，同理可得11A B AC ⊥，BD A 则1AC ⊥平面1A DB ，此时线段由棱长为2，可得等边三角形()12322234A DB S =⨯= ，∵11A ADB A A DB V V --=，∴11122223323AP ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯故答案为：233.7．23【分析】由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简范围特殊角的三角函数值求出变形后整体代入求出c 的值.【详解】由cos cos a B b Ac+=在ABC 中，由正弦定理得：sin()2sin cos ,A B C C ∴+=12．(4]7,-∞【分析】问题可转化为1min28a x a x x⎛-≥ - ⎝【详解】[]1222,),21[,,()x x x f ∈+∞∈-- 2128()||x x a a x ∴-⋅-≥，即对任意的[1x ∈成立，∴有1min87a a x a ⎛⎫ ⎪⎪-≥=，。

格致中学高三三模数学试卷一.填空题1.已知幂函数()f x过点，则()f x 的反函数为____12()f x x -=（0x ≥）2.已知关于x 、y 的方程组23319x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则实数a 的值为___3- 3.在△ABC 中，3AC =，3sin 2sin A B =，且C ∠的大小是23π，则AB =4.函数2()log (43)a f x x x =-+（0a >，1a ≠）在区间[,)m +∞上存在反函数，则实数m 的取值范围是____ (3,)+∞5.已知复数i1ix y z +=+（,x y ∈R ，i 是虚数单位）的对应点z在第四象限，且||z ≤，那么点(,)P x y 在平面上形成的区域面积等于____π由题得()12x yi x y y x iz i +++-==+，z 在第四象限，则有0202x yy x +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，整理得00x y x y +>⎧⎨->⎩，由||z ≤得22()()24x y y x ++-≤，化简得224x y +≤，则点(,)P x y 在不等式组22004x y x y x y +>⎧⎪->⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域内，如图阴影部分： 则其面积2124S ππ=⋅⋅=.6.某几何体的一条棱长为a ，在该几何体的主视图、俯视图、左视图中，5，那么a =由题，设a 为长方体的体对角线，三视图中的三个投影是三个面上的对角线，长方体边长分别为x ，y ，z ，如图：由已知可得222x y +=，222(5)y z +=，222x z +=，2222x y z a ++=，解得a =7.已知{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，1nn na b a +=，若对任意的*n ∈N ，都有10n b b ≤成立，则实数a 的取值范围是____(9,8)-- 由题得1n a n a =+-，则1111n n n a b a n a +==++-，对任意的*n ∈N ，都有10n b b ≤成立，而11n a +-关于n 的单调性为1n a >-时单调递减，1n a <-时单调递减，且1n a >-时101n a >+-，1n a <-时101n a >+-。

格致中学高三三模数学试卷一. 填空题1. 已知幂函数()f x 过点(2,2)，则()f x 的反函数为2. 已知关于x 、y 的方程组23319x y x a y a+=-⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则实数a 的值为3. 在△ABC 中，3AC =，3sin 2sin A B =，且C ∠的大小是23π，则AB = 4. 函数2()log (43)a f x x x =-+（0a >，1a ≠）在区间[,)m +∞上存在反函数，则实数m 的取值范围是 5. 已知复数i1ix y z +=+（,x y ∈R ，i 是虚数单位）的对应点z 在第四象限，且||2z ≤， 那么点(,)P x y 在平面上形成的区域面积等于6. 某几何体的一条棱长为a ，在该几何体的主视图、俯视图、左视图中，这条棱的投影长 分别为13、25、5，那么a =7. 已知{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，1nn na b a +=，若对任意的*n ∈N ，都有 10n b b ≤成立，则实数a 的取值范围是8. 已知1F 、2F 分别是椭圆2211612x y +=的左右焦点，点P 是椭圆上的任意一点，则 121||||||||PF PF PF -的取值范围是9. 已知函数23183()(13)33x tx x f x t x x ⎧-+≤⎪=⎨-->⎪⎩，记()n a f n =（*n ∈N ），若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是10. 某些篮球队的12名成员来自高一、高二共10个班级，其中高一（3）班，高二（3）班 各有2人，其余班级各有1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同班级的 概率为11. 函数()sin(2)f x A x ϕ=+（0A >，||2πϕ≤）部分图像如图所示，且()()0f a f b ==，对于不同的12,[,]x x a b ∈，若12()()f x f x =， 有12()3f x x +=，则()f x 的单调递增区间是 12. 已知函数21()2x f x x e =+-（其中e 是自然对数的底数）的图像上存在点与2()ln()g x x x a =++的图像上的点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围是二. 选择题13. 已知z C ∈，i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则下列说法与“z 为纯虚数”不等价的是（ ）A. 20z <B. ||i z z =或||i z z =-，且||0z ≠C. Re 0z =且Im 0z ≠D. 0z z +=14. 已知光线沿向量a md pn =+r u r r（0mp ≠，m ∈R ，n ∈R ）照射，遇到直线l 后反射，其中d u r 是直线l 的一个方向向量，n r是直线l 的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为（ ）A. md pn --u r rB. md pn -u r rC. pd mn -+u r rD. pd mn -u r r15. 如图，已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，D 是棱BC 上的动点，记PD 与平面ABC 所成的角为α，与直线BC 所成的 角为β，则α与β的大小关系为（ ）A. αβ>B. αβ=C. αβ<D. 不确定16. 已知n ∈N ，x ∈R ，则函数22()lim 2n n n x f x x +→∞-=-的大致图像是（ ）A. B. C. D.三. 解答题17. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，PC ⊥平面ABCD ，且2AB =，6PC =，F 是PC 的中点.（1）求证：PA ∥平面DBF ；（2）求直线PA 和平面PBC 所成的角的正弦值.18. 如图所示，某人在斜坡P 处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高80AB =米，塔所在山高220OA =米，200OC =米，观测者所在斜坡CD 近似看成直线，斜坡与水平面夹角为α，1tan 2α=.（1）以射线OC 为Ox 轴的正向，OB 为Oy 轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡CD 所 在直线方程；（2）当观察者P 视角APB ∠最大时，求点P 的坐标（人的身高忽略不计）.19. 已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程10x +=，直线l 过点(,0)T t （0t >），且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求抛物线方程，并注明：OA OB ⋅u u u r u u u r的值与直线l 倾斜角的大小无关；（2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.20. 已知函数2()x ax bf x x a-+=+，[0,)x ∈+∞单调递增，其中0a >，0b ≥，记(,)M a b 为函数()f x 的最小值.（1）求(1,0)M 的值；（2）当1a =时，若函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，求b 的取值范围； （3）求a 的取值范围，使得存在满足条件的b ，满足(,)1M a b =-.21. 设数列{}n a 的各项都是正数，若对于任意的正整数m ，存在*k ∈N ，使得m a 、m k a +、2m k a +成等比数列，则称函数{}n a 为“k D 型”数列.（1）若{}n a 是“1D 型”数列，且11a =，314a =，求12lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+的值；（2）若{}n a 是“2D 型”数列，且1231a a a ===，88a =，求{}n a 的前n 项和n S ；（3）若{}n a 既是“2D 型”数列，又是“3D 型”数列，求证：数列{}n a 是等比数列.参考答案一. 填空题1. 12()f x x -=（0x ≥）2. 3-3. 4. (3,)+∞5. π6. 7. (9,8)-- 8. [0,2]9. 5(,4)3 10. 1933 11. 5[,]1212k k ππππ-+（k ∈Z ）12. (-∞二. 选择题13. D 14. B 15. C 16. B三. 解答题17、解： （1）连AC ，交BD 于点O ，连接FO∵底面ABCD 为菱形 ∴O 为AC 中点，又∵F 是PC 的中点∴OF 是△PAC 的中位线，∴OF PA ∥ …………………3分OF DBF PA DBF Q 平面，不在平面豴∴PA DBF ∥平面 …………………6分（2）过点A 作CB 的垂线，交CB 的延长线于E ，连接PE ∵PC ABCD ⊥平面∴PC AE ⊥ 又∵AE BC ⊥ ∴AH PBC ⊥平面∴APE ∠就是直线PA 和平面PBC 所成的角……10分而PA =，2sin 60AE ==o∴sin 6APE ∠==∴直线PA 和平面PBC（法2）（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系O-xyz(0,1,0),((A B C PPA =u u u r易得平面PBC 的法向量(1,n =r……10分∴sin |6θ==∴直线PA 和平面PBC 分 Ax18．解：（1）由题意知(200,0)C ………2分111tan ,(200)222CD CD l y x α=∴∴=-Q 直线的斜率为，：…………………6分（2）记(,y),200,P x PA OC AB APB ≥=>∴∠Q 为锐角220300802tan 220300512800011113604PA PBPA PBy y k k x x APB y y x k k x x x----∠===≤--++⋅+-………12分等号当5128000,320,604x x y x===即时取到 2(320,60)arctanP ∴当观测者位于处视角最大为 . ………14分19.解：由题意，2=p ，所以抛物线的方程为x y 42=．…………………2分 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为t x =，则)2,(t t A ，)2,(t t B -，t t OB OA 42-=⋅． …………………………………………………………3分当直线l 的斜率k 存在时，则0≠k ，设l 的方程为)(t x k y -=，),(11y x A ，),(22y x B ，由⎩⎨⎧-==,)(,42t x k y x y 消去x ，得0442=--kt y ky ，故⎪⎩⎪⎨⎧-==+,4,42121t y y k y y 所以，t t y y y y y y x x OB OA 41622122212121-=+=+=⋅． ……………………5分 综上，OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关．……………………………6分（2）设),(00y x P ，则0204x y =，44)]2([)(||202020-+--=+-=t t x y t x PT ，……………8分因为00≥x ，所以⎩⎨⎧<<≥-=.20,,2,12)(t t t t t d ……………………………………14分20、解:（1）()()2213311x x f x x x x -==++-≥++，1x =时等号成立 则(1,0)3M =； ……………………………………4分（2）2()1x x bf x x -+=+，令1,x t +=那么2()3bg t t t+=+-在[2,)+∞上单调递增， ……………………………………6分 因为0b ≥，由2bt t+=得t =2≤，所以2b ≤，即[0,2]b ∈。

上海市格致中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是则几何体的体积为（ ）34意在考查学生空间想象能力和计算能()()24=,22x f x g x x x -=-+()()=f x x x =，g S 属于（ ） D.[3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用． 4． 在复平面内，复数1zi+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +5． 设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件6． 实数x ，y 满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（ ）A ．（1，1）B ．（0，3）C ．（，2）D ．（，0）7． 已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥αB ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥αC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥βD ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β8． 已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（ ） A．B.C.D. 9． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A ．13 B ．23C ．1D ．2 10．设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）A ．只有减区间没有增区间B ．是f （x ）的增区间C ．m=±1D ．最小值为﹣311．已知集合A={x|x ＜2}，B={y|y=5x }，则A ∩B=（ ） A ．{x|x ＜2} B ．{x|x ＞2} C ．{x|o ≤x ＜2} D ．{x|0＜x ＜2}12．已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．如果实数,x y 满足等式()2223x y -+=，那么y x的最大值是 ．14．已知1sin cos 3αα+=，(0,)απ∈，则sin cos 7sin 12ααπ-的值为 ．15．已知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则42sin cos 335cos sin 66ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .16．已知,x y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为____________. 三、解答题（本大共6小题，共70分。

2018-2019学年第二学期高三教学调研数 学 试 卷（文）(2018.03)考试七校：北虹，上理工附中，同二，光明，六十，卢高，东昌中学 考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。

2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1. 方程1421x x +=-的解是 ．2. 行列式143309212 － －中元素3的代数余子式的值为 ． 3. 在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数是 ．4. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，则实数m ＝ ．5. 若22()log (2)(0)f x x x =+≥，则它的反函数是=-)(1x f．6. 若抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲焦点重合，则p 的值为 ．7. 若数列1(n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数）（为偶数），则123499100a a a a a a ++++++= ．8. 若函数2,[0,1](),[0,1]x f x x x ∈⎧=⎨∉⎩，则使[()]2f f x =成立的实数x 的集合为 ． 9. 执行下面的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ．10. 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12nn S ⎛⎫= ⎪⎝⎭－1，则1321lim()n n a a a -→+∞++⋅⋅⋅+＝ ．11. 若边长为6的等边三角形ABC ，M 是其外接圆上任一点，则AB OM ⋅的最大值为 ．12. 从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是 ．（用数值表示结果）13. 在北纬60°圈上有A 、B 两地，它们在此纬度圈上的弧长等于2Rπ（R 是地球的半径），则A ，B 两地的球面距离为＿＿＿14、设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n+=-∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a = ．二．选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15. 若f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，则“f （x ）与g （x ）同是奇函数或偶函数”是f （x ）·g （x ）是偶函数“的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件16、设a b 、均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是 （ ）17. 数列}{n a 满足231=a ，121+-=+n n n a a a ，则201621111a a a T +++= 的整数部分是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）318. 在直角坐标系中，如果不同的两点(,)(,)A a b B a b --、都在函数()y f x =的图像上，那么称[,]A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[,]A B 与[,]B A 看作同一组），函数2sin ,0()2log (1),0x x g x x x π⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19.（本题满分12分）第1小题6分，第2小题6分．已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-， （1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 最小正周期及单调递增区间．20.（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．设在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA AC AB ，90=∠BAC ，F 、E 分别为BC 、C C 1的中点．（1）求异面直线EF 、B A 1所成角θ的大小； （2）求点1B 到平面AEF 的距离．21．（本题满分16分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题6分．已知函数11()()(0),f x a x x x a R x x=+-->∈． （1）若12a =，求()y f x =的单调区间；（2）若关于x 的方程()f x t =有四个不同的解1234,,,x x x x ，求实数,a t 应满足的条件；22.（本题满分14分）第1小题4分，第2小题10分．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，且过点(01)B ，. （1）求椭圆的标准方程；（2）直线:(2)l y k x =+交椭圆于,P Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数k 的取值范围．23.（本题满分18分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题8设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈ （1）求321,,a a a ，归纳数列{}n a 的通项公式（不必证明）．（2）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为)(1a ，),(32a a ，),,(654a a a ，),,,(10987a a a a ；)(11a ，),(1312a a ，),,(161514a a a ，),,,(20191817a a a a ；)(21a ，…， 分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求1005b b +的值．E A BCF（3）设n A 为数列的前n 项积，且n C A ={}n C 的最大项．2018年高三数学（文科卷）参考答案及评分标准一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每小题4分．1、=0x2、53、154、125(1)x ≥ 6、4 7、50008、 [0,1]{2}9、4 10、23- 11、 12、41113、3Rπ 14、(1)2n n π- 二、 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分．15、 A 16、 D 17、 B 18、 B三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19、（本题满分12分）第1小题6分，第2小题6分．解：（1）因为0,sin 2παα<<=，所以cos α.（2分） 得1()2f α=. （6分）（2）因为2111cos21()sin cos cos sin 2222224x f x x x x x x π+⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭，（8分）所以T π=. （10分）由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈.（12分）20、（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．21、（本题满分16分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题6分．解：（1）310111122()()32122x x xf x x x xx x x x ⎧-<≤⎪⎪=+--=⎨⎪-≥⎪⎩当时当时（2分）(0,1)(1,)+∞单调递增，单调递减,最大值为(1)=1f（4分）（2）当1a ≤时，()f x 在(0,1)(1,)+∞单调递增，单调递减,不符合题意（6分）当1a >时，()f x在⎛⎝单调递减，1⎤⎥⎥⎦单调递增；在⎡⎢⎢⎣单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭单调递增； （8分）(1)2f f f a ===，所以实数,a t应满足的条件为，2,1t a a <>（10分）22、（本题满分14分）第1小题4分，第2小题10分．解：（1）由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧===312c b a ， 椭圆的标准方程为：2214x y +=. （4分）（2）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222(14)16(164)0(*)k x k x k +++-=， （6分）依题意：直线:(2)l y k x =+恒过点(2,0)-，此点为椭圆的左顶点，所以112,0x y =-=① ，由（*）式，21221614k x x k +=-+②，得1212()4y y k xx k +=++ ③ ，由①②③，22222284,1414k kx y k k -==++（8分），由点B 在以PQ 为直径圆内，得PBQ ∠为钝角或平角，即0BP BQ ⋅<.（10分）22(2,1),(,1)BP BQ x y =-=-∴22210BP BQ x y ⋅=--+<.即2224164101414k kk k -+->++（12分）整理得220430k k --<，解得31,102k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（14分） 23、（本题满分18分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题8（2）因为n a n 2=，所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. （6分）每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故100b 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.（8分）注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以198880*2468100=+=b ．又225=b ，所以20101005=+b b .（10分）。

格致中学2018-2019学年度第一学期高三10月月考数学试卷一、填空题1.设集合{}{}，，，，，，A a a x x B A ∈===2|9102则B A Y 的所有元素之和为________. 2.已知，π，π，π⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4543554sin αα则=αsin _______.3.若()()，42321lim 2n =+-++-∞→n n b n a 则=+b a ______. 4.已知()*212N n x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中各项二项式系数之和为128,则其展开式中含x 1项的系数是_______.5.已知y x 、满足，⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-0001m y x y x x 若1+x y 的最大值为2,则=m ________. 6.已知函数()a x f x --=2,若存在实数()，、2121x x x x ≠使得()()，121-==x f x f 则实数a 的取值范围是____________.7.已知复数z 满足zi i z -=+1,则=+⋯+++201821z z z ________.8.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 经过坐标原点,()13，是l 的一个法向量,已知数列{}n a 满足:对任意的正整数n ,点()n n a a ，1+均在l 上,若62=a ,则54321a a a a a 的值为_________. 9.将1,2,3,4,5,6随机排成一列,记为，，，，，，f e d c b a 则def abc +是偶数的概率为___. 10.在菱形ABCD 中，，213124====则=•AE BF _____.11.已知椭圆()，＞＞012222b a by a x =+F 为椭圆的右焦点,AB 为过橢圆中心O 的弦,则ΔABF 面积的最大值为___________.12.设()x f 是定义在R 上的以2为最小正周期的偶函数,在区间[]10，上单调递减,且满足()()，π，π221==f f 则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为______. 二、选择题13.已知直线a ,若直线b 同时满足下列条件:①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 距离为定值d ,则这样的直线b （ ）A.唯一确定B.有两条C.有四条D.有无数条 14.已知函数()x f 满足:()()()y f x f y x f •=+并且()11=f ,那么：()()()()()()()()()()()()201910105332112222f f f f f f f f +⋯+++的值为（ ）A.2019B.1010C.4038D.303015.对于函数()x f ,若存在实数m ,使得()()m f m x f -+为R 上的奇函数,则称()x f 是位差值为m 的“位差奇函数”。