2018-2019年上海市格致中学高三上周练数学试卷及答案

上海市格致中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足11122n n n a a +=+，则此数列的第4项是（ ） A ．1 B ．12 C. 34 D ．582． 已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三项，则能使不等式1212111n na a a a a a +++≤+++成立的自然数的最大值为（ ）A ．9B ．8 C.7 D ．5 3． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力． 4． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4C ．34 D ．38【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.5． 若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+，则当14x y+取最小值时，CM CN ⋅=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 6． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）间的关系为0e ktP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 的污染物，则需要（ ）小时. A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.7． 执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ） A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．8．设{}n a是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A．1 B．2 C．4 D．69．若集合,则= ( )ABCD10．已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个11．已知集合{}{2|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．12．在ABC ∆中，60A =，1b =sin sin sin a b cA B C++++等于（ ）A． BCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前项和n S 取得最大值的自然数是________.14．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．15．已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________.16．在ABC ∆中，有等式：①sin sin a A b B =；②sin sin a B b A =；③cos cos a B b A =；④sin sin sin a b cA B C+=+.其中恒成立的等式序号为_________. 三、解答题（本大共6小题，共70分。

2018-2019学年上海市格致中学高三上学期十月周末练习数学试卷一． 填空题（本大题共有12题，其中1-6每小题4分，7-12每小题5分，满分54分）1. 计算23lim12n n nn→∞-=+++___________; 【答案】62. 如果函数()y f x = 的反函数为11()3,x f x -+= 则(1)f 的值为__________; 【答案】：1-3. 函数()sin cos f x a x b x =+的一条对称轴为直线4x π=，则直线的倾斜角为_________; 【答案】34π4. 已知9a x ⎛ ⎝的展开式中，3x 的系数为94 ，则常数a 的值为_________; 【答案】45. 一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球的2 倍，若圆锥的高为1 ，则球的表面积为_________; 【答案】4π6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若以12,a = 公差33,60,k k d S S k +=-==_________; 【答案】57. 满足不等式arccos 2arccos(1)x x <- 的x 取值范围是_________;【答案】11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦8. 设集合}sin ,3n M x x n Z π⎧==∈⎨⎩，则满足条件3,P M ⎧⎪-=⎨⎪⎪⎩⎭的集合P 的个数是______个； 【答案】49. 在ABC ∆ 中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=== 为线段上的任意一点（包括端点），则AD BC ⋅ 的最大值为_________; 【答案】210. 已知复数12,z z 满足1221,1Re 1,11z z lmz ≤-≤≤-≤≤ ，若12z z z =+ ，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积是_________; 【答案】12π+11. 已知函数2()log 1x f x x x=++ ，在8 行8 列矩阵111213182122232881828388a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭中，()(18,18,),if ia f i j i j N f=≤≤≤≤∈且 则这个矩阵中所有数之和为_________;【答案】32 【解析】1188211(1)log 1.22a a f ===+= 2()log ,1xf x x x =++ 22111()log log 1111x x f x f x x x x x⎛⎫∴+=+++= ⎪+⎝⎭+()(18,18,),1,if i i fa f i j i j N f f i=≤≤≤≤∈⋅=且1if fi a a ∴+= ，‘ ∴ 在8 行8 列矩阵1112132122232881828388a a a a a a a a a aaa ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 中，所有数之和为：8,0641322if i f S a ===⨯=∑12. 用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，{}3224310,A x x x x a x =+++-=若()5,C A = 则实数a 的取值范围为_________;【答案】9(,0)10- 【解析】{}3224310A x x x x a x =+++-=，()5,C A =则3224310x x x a x +++-=有5 个不同实数解，必然a o < ，方程化为(1)(3)(1)(1)0,x x x a x x +++-+=1x =- 是此方程的一个实数根， 1x ≠- 时，化为(3)(1),x x a x +=--分别做出函数(3),(1),y x x y a x =+=--的图像，由于函数(3),(1),y x x y a x =+=--的图像必须有4 个交点， 当(1)y a x =--的图像经过点39,24⎛⎫-⎪⎝⎭时，有910a =-90.10a ∴-<< ∴ 实数a 的取值范围是9(,0)10-二、选择题（每小题5分，共20分）13.函数()412x xf x +=的图像 ( )【A 】关于原点对称 【B 】关于x 轴对称【C 】关于y 轴对称 【D 】关于直线y x =对称 【答案】C14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∈都有成()()()63f x f x f +=+成立，若()01f =，则()2016f 的值为 ( )【A 】0 【B 】1 【C 】2015 【D 】2016 【答案】B15.阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数()01k k k >≠且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。

2019-2020学年沪教版高三（上）第一次检测数学试卷一、填空题1．集合，Q＝{x||x﹣1|≤2}，则P∪Q＝．2．已知，θ∈（0，π），则tanθ＝．3．若，且（），则实数λ的值为．4．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．5．在复平面内，抛物线C：y＝4x2的焦点所对应的复数是z，则|z|＝．6．二项式（5x﹣1）n的展开式中的二项式系数和为W，各项系数和为P，且62W+128＝P，则n的值是．7．若，则它的反函数是f﹣1（x）＝．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．9．如图中11个点，任意三点构成三角形的概率为．10．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x ﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．11．对于数列{a n}，定义H n＝为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n＝2n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S6对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是．12．已知a为实数，函数的最大值为g（a）＝．二、选择题13．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a+c）＜0 14．已知数据x1，x2，x3，…x n是上海普通职n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这n+1个数据中，下列说法正确（）A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变15．如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水．平放在地面，则水面正好过圆锥的顶点P，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P．以下命题正确的是（）A．圆锥的高等于圆柱高的B．圆锥的高等于圆柱高的C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点PD．将容器任意摆放，当水面静止时都过点P16．设数列{x n}的各项都为正数且x1＝1，△ABC内的点均满足△P n AB和△P n AC 的面积比为2：1，若，则x5的值为（）A．15 B．17 C．29 D．31三、解答题17．如图，直线PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝AD＝2，点E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．（1）求异面直线EG与BD所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使BF⊥EQ，若存在，求出DQ的长，若不存在，请说明理由．18．如图，有一码头P和三个岛屿A，B，C，PC＝30nmile，PB＝90nmile，AB＝30nmile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°．（1）求B，C两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P，问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程．19．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cos ωx，sinωx），其中a2+b2≠0且ω＞0．设．（1）若，b＝1，ω＝2，求方程f（x）＝1在区间[0，2π]内的解集；（2）若点A是y＝x+2上的动点，当x∈R时，设函数f（x）的值域为集合M，不等式x2+mx＜0的解集为集合P．若P⊆M恒成立，求实数m的最大值．20．已知曲线Γ：F（x，y）＝0，对坐标平面上任意一点P（x，y），定义F[P]＝F（x，y）．若两点P、Q，满足F[P]•F[Q]＞0，称点P、Q在曲线Γ同侧；若F[P]•F[Q]＜0，称点P、Q在曲线Γ两侧．（1）直线l过原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A（﹣1，1）、B（2，3），求直线l的倾斜角的取值范围；（2）已知曲线，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]•F[O]＞0}的面积；（3）记到点（0，1）与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C，曲线Γ：F（x，y）＝x2+y2﹣y﹣a＝0，若曲线C上总存在两点M、N在曲线Γ两侧，求曲线C的方程与实数a的取值范围．21．已知常数p＞0，数列{a n}满足a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p，n∈N*．（1）若a1＝﹣1，p＝1，①求a4的值；②求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求的取值范围．参考答案一、填空题1．集合，Q＝{x||x﹣1|≤2}，则P∪Q＝R．解：，∴P∪Q＝R．故答案为：R．2．已知，θ∈（0，π），则tanθ＝．解：∵已知＝﹣cosθ，∴cosθ＝．∵θ∈（0，π），故sinθ＝＝，则tanθ＝＝，故答案为：．3．若，且（），则实数λ的值为．解：∵＝（5﹣λ，﹣7+2λ），（），∴＝﹣（5﹣λ）+2（﹣7+2λ）＝0，解得．故答案为．4．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．解：元素1的代数余子式为＝8x﹣45＞0，故，故答案为：5．在复平面内，抛物线C：y＝4x2的焦点所对应的复数是z，则|z|＝．解：抛物线C：y＝4x2的焦点：（0，），所以复数z＝（0，），所以|z|＝．故答案为：．6．二项式（5x﹣1）n的展开式中的二项式系数和为W，各项系数和为P，且62W+128＝P，则n的值是 6 ．解：二项式（5x﹣1）n的展开式中的二项式系数和为W＝2n，各项系数和为P＝（5﹣1）n＝4n，又62W+128＝P，所以62•2n+128＝4n；设t＝2n，则方程化为t2﹣62t﹣128＝0，解得t＝64或t＝﹣2（不合题意，舍去）；所以2n＝64，解得n＝6；所以n的值是6．故答案为：6．7．若，则它的反函数是f﹣1（x）＝﹣（x＞1）．解：，反解x，得2y＝x2+2，x2＝2y﹣2，因为x＜0时，y＞1，故x＝，所以反函数为y＝﹣，x＞1，故答案为：﹣（x＞1）8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以l＝2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr＝2π，r＝1，所以圆锥的体积为：＝．故答案为：．9．如图中11个点，任意三点构成三角形的概率为；．解：因为图中，有两条线上分别有四个点，从这两条线上分别任取三个点，均不能构成三角形，共有2C43＝8种情况；中有7条线上分别有三个点，每条线上的三个点，均不能构成三角形，共有7种情况；因此从这11个点任选3个点，不能构成三角形的情况共有8+7＝15种；又从这11个点任选3个点，共有C113＝165种情况；所以，任意三点构成三角形的概率为：1﹣＝；故答案为：；10．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．解：由题意，双曲线x2﹣y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，因为点P到直线x﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1＝0与直线x﹣y＝0的距离，即．故答案为：．11．对于数列{a n}，定义H n＝为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n＝2n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S6对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是．解：由题意，H n＝＝2n+1，则a1+2a2+…+2n﹣1a n＝n•2n+1，n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2a n﹣1＝（n﹣1）2n，则2n﹣1a n＝n2n+1﹣（n﹣1）2n＝（n+1）2n，则a n＝2（n+1），对a1也成立，故a n＝2（n+1），则a n﹣kn＝（2﹣k）n+2，则数列{a n﹣kn}为等差数列，故S n≤S6对任意的n（n∈N*）恒成立可化为a6﹣6k≥0，a7﹣7k≤0；即解得，，故答案为：．12．已知a为实数，函数的最大值为g（a）＝．解：由题意可得函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，由平方得，，由x∈[﹣1，1]得，t2∈[2，4]，故t的取值范围为，又，∴，由题意，g（a）即为的最大值，为二次函数h （t）的对称轴，①当a＞0时，函数的图象是开口向上的抛物线的一段，由＜0知，此时函数y＝h（t）在上单增，故g（a）＝h（2）＝a+2；②当a＝0时，h（t）＝t，t∈，故g（a）＝h（2）＝2；③当a＜0时，函数的图象是开口向下的抛物线的一段，＞0，若，即时，则；若，即时，则；若，即时，则g（a）＝h（2）＝a+2；综上，．故答案为：．二、选择题13．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a+c）＜0 解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴a＞0，c＜0，可得：A．ab﹣ac＝a（b﹣c）＞0，正确．B．c（b﹣a）＞0，不正确．C．取b＝0时，不正确；D．∵a+c可能小于等于0，可得ac（a+c）≥0，不正确．故选：A．14．已知数据x1，x2，x3，…x n是上海普通职n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这n+1个数据中，下列说法正确（）A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变解：根据题意，数据x1，x2，x3，…，x n是上海普通职工n个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入；则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大；故选：B．15．如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水．平放在地面，则水面正好过圆锥的顶点P，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P．以下命题正确的是（）A．圆锥的高等于圆柱高的B．圆锥的高等于圆柱高的C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点PD．将容器任意摆放，当水面静止时都过点P解：设圆柱的高为H，圆锥的高为h，由题意知，Sh﹣Sh＝Sh＝S（H﹣h）⇒h＝H，∴A、B错误；∵由旋转体的性质得，将容器一条母线贴地，过高中点的平面，分几何体为体积相等的两部分，∴C正确；∵斜放几何体时，几何体的体积不对称，∴D错误．故选：C．16．设数列{x n}的各项都为正数且x1＝1，△ABC内的点均满足△P n AB和△P n AC的面积比为2：1，若，则x5的值为（）A．15 B．17 C．29 D．31解：因为，所以+（2x n+1）＝﹣：用图形表示上边的关系式：其中：＝（2x n+1），，所以，即＝，即＝，又＝＝，即2x n+1＝x n+1，即2（x n+1）＝x n+1+1，又x1＝1，即{x n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，故x n+1＝2n，x n＝2n﹣1，故x5＝31．故选：D．三、解答题17．如图，直线PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝AD＝2，点E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．（1）求异面直线EG与BD所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使BF⊥EQ，若存在，求出DQ的长，若不存在，请说明理由．【解答】[理]解：（1）以A为原点建立如图坐标系则E（0，0，1），G（1，2，0），B（2，0，0），D（0，2，0）因此所以．即异面直线EG与BD所成角的为（2）假设CD存在点Q，使BF⊥EQ，设DQ＝x，则Q（x，2，0），F（0，1，1）因此因为BF⊥EQ所以即，所以CD存在点Q，使BF⊥EQ．18．如图，有一码头P和三个岛屿A，B，C，PC＝30nmile，PB＝90nmile，AB＝30nmile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°．（1）求B，C两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P，问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程．解：（1）设BC＝xnmile，则由余弦定理可得，∴x＝30nmile；（2）由题意，AC＝60，PA＝30，∴PA+AB+BC+CP＝60+30+30（nmile）．19．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cos ωx，sinωx），其中a2+b2≠0且ω＞0．设．（1）若，b＝1，ω＝2，求方程f（x）＝1在区间[0，2π]内的解集；（2）若点A是y＝x+2上的动点，当x∈R时，设函数f（x）的值域为集合M，不等式x2+mx＜0的解集为集合P．若P⊆M恒成立，求实数m的最大值．解：∵A（a，b），B（cosωx，sinωx），∴＝a cosωx+b sinωx，（1）若，b＝1，ω＝2＝cos2x+sin2x，＝2sin（2x+），由f（x）＝2sin（2x+）＝1，可得2x+＝或x＝，k∈Z，∴或x＝k，∵x∈[0，2π]，∴f（x）＝1在区间[0，2π]内的解集为{，，}，（2），由点A（a，b）是y＝x+2上的动点可得，b＝a+2，∴f（x）＝a cosωx+（a+2）sinωx，＝sin（ωx+φ），∴M＝[﹣，]，∵x2+mx＝0的解为0，﹣m，若P⊆M恒成立，则﹣m∈[﹣，]，而＝，∴即实数m的最大值．20．已知曲线Γ：F（x，y）＝0，对坐标平面上任意一点P（x，y），定义F[P]＝F（x，y）．若两点P、Q，满足F[P]•F[Q]＞0，称点P、Q在曲线Γ同侧；若F[P]•F[Q]＜0，称点P、Q在曲线Γ两侧．（1）直线l过原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A（﹣1，1）、B（2，3），求直线l的倾斜角的取值范围；（2）已知曲线，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]•F[O]＞0}的面积；（3）记到点（0，1）与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C，曲线Γ：F（x，y）＝x2+y2﹣y﹣a＝0，若曲线C上总存在两点M、N在曲线Γ两侧，求曲线C的方程与实数a 的取值范围．解：（1）显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx⇒F（x，y）＝kx﹣y＝0则……故倾斜角的范围是……（2）因为故，点集S为圆x2+y2＝4在直线3x+4y﹣5＝0下方内部．……设直线和圆的交点为A、B，则O到AB的距离为1，故故所求面积为……（3）设曲线C上的动点为（x，y），则，化简得曲线C的方程为x2＝8（3﹣y）（0≤y≤3）和x2＝12（y+2）（﹣2≤y≤0），其轨迹为两段抛物线弧……【方法一】而曲线C上的点到的距离的范围是，……故……（16分）【方法二】当0≤y≤3时，F（x，y）＝y2﹣9y+24﹣a∈[6﹣a，24﹣a]；当﹣2≤y≤0时，F（x，y）＝y2+11y+24﹣a∈[6﹣a，24﹣a]；……故若有F[M]•F[N]＜0，则（6﹣a）（24﹣a）＜0⇒6＜a＜24．……（16分）21．已知常数p＞0，数列{a n}满足a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p，n∈N*．（1）若a1＝﹣1，p＝1，①求a4的值；②求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求的取值范围．解：（1）①∵a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p，∴a2＝|1﹣a1|+2a1+1＝2﹣2+1＝1，a3＝|1﹣a2|+2a2+1＝0+2+1＝3，a4＝|1﹣a3|+2a3+1＝2+6+1＝9，②∵a2＝1，a n+1＝|1﹣a n|+2a n+1，∴当n≥2时，a n≥1，当n≥2时，a n+1＝﹣1+a n+2a n+1＝3a n，即从第二项起，数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴数列{a n}的前n项和S n＝a1+a2+a3+a4+…+a n＝﹣1+＝﹣，（n≥2），显然当n＝1时，上式也成立，∴S n＝﹣；（2）∵a n+1﹣a n＝|p﹣a n|+a n+p≥p﹣a n+a n+p＝2p＞0，∴a n+1＞a n，即{a n}单调递增．（i）当≥1时，有a1≥p，于是a n≥a1≥p，∴a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p＝a n﹣p+2a n+p＝3a n，∴．若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2a s ＝a r+a t，即2×3s﹣1＝3r﹣1+3t﹣1．（*）∵s≤t﹣1，∴2×3s﹣1＝＜3t﹣1＜3r﹣1+3t﹣1．因此（*）不成立．因此此时数列{a n}中不存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列．（ii）当时，有﹣p＜a1＜p．此时a2＝|P﹣a1|+2a1+p＝p﹣a1+2a1+p＝a1+2p ＞p．于是当n≥2时，a n≥a2＞p．从而a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p＝a n﹣p+2a n+p＝3a n．∴a n＝3n﹣2a2＝3n﹣2（a1+2p）（n≥2）．若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2a s ＝a r+a t，同（i）可知：r＝1．于是有2×3s﹣2（a1+2p）＝a1+3t﹣2（a1+2p），∵2≤S≤t﹣1，∴＝2×3s﹣2﹣3t﹣2＝﹣＜0．∵2×3s﹣2﹣3t﹣2是整数，∴≤﹣1．于是a1≤﹣a1﹣2p，即a1≤﹣p．与﹣p＜a1＜p矛盾．故此时数列{a n}中不存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列．（iii）当≤﹣1时，有a1≤﹣p＜p．a1+p≤0．于是a2＝|P﹣a1|+2a1+p＝p﹣a1+2a1+p＝a1+2p．a3＝|p﹣a2|+2a2+p＝|a1+p|+2a1+5p．＝﹣a1﹣p+2a1+5p＝a1+4p．此时数列{a n}中存在三项a1，a2，a3依次成等差数列．综上可得：≤﹣1．。

上海市格致中学 2021届高三上学期期中考试数学试题〔文〕〔测试120分钟内完成，总分 150分，试后交答题卷〕友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：老实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 编辑：卢立臻 邮箱：lulizhen617@163一、填空题：〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分〕。

把答案直接填写在答题卷的相应位置上。

1．假设集合xax24x1a ________。

的子集只有两个，那么实数2．假设复数z 满足：zz 4，zz5 zz___________。

，那么3．假设直线x2y 1 0的倾斜角为，那么sin2的值为______________。

2 x5 41x 的解集为____________。

4．方程232x 3y 33x y 92x 0侧 视5．不等式组 表示平面区域的面积为 ________。

主视图6．某个几何体的三视图如图〔主视图中的弧线是半圆〕 ，2根据图中标出的尺寸〔单位：cm〕，可得这个几何体的体积是____________cm3。

俯 视 第6题图2fx 3cos 2x,0的图像关于点3成中心7．函数对称，那么的最小正值为_____________。

8．将3名学生安排到A 、B 两个工厂去实习，那么恰有 2 名学生到A 工厂去实习的概率为 ________________。

9．数列an中，a17,a 27，当n2时，a n1是积ana n 1的个位数，那么a2021______。

x 、y 都有2x55 43 y 210．假设对任意实数3ya 0 2x y a 1 2x yya 22xy 2a 4 2xyy 4 a 5ya 0a 1 a 2a 3a 4a 5a 32xyy 35 _______。

，那么xn110xn,nN *OP nx n ,y nOP n1x n1,yn111．定义yn111y n为向量 到向量 的一个矩阵变换，其中O 是坐标原点。

2015-2016学年上海市格致中学高三（上）摸底数学试卷（理科）一、填空题：（本大题满分60分）本大题共有12小题，每小题5分．1．已知复数z满足（i是虚数单位），则z=__________．2．设集合M={x|x≤1}，N={x|x＞a}，要使M∩N=∅，则实数a的取值范围是__________．3．不等式+2x＞0的解集为__________．4．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是__________．5．函数f（x）=2sin2x+sin2x的最大值为__________．6．要从5名男生，3名女生中选出3人作为学生代表参加社区活动，且女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有__________种．7．A、B是半径为R的球面上的两点，A、B是球面距离是，则过A、B两点的平面到球心的距离的最大值为__________．8．已知点M的坐标是（1，1），F1是椭圆=1的左焦点，P是椭圆上的动点，则|PF1|+|PM|的取值范围是__________．9．若f（n）=1+2+3+…+n（n∈N*），则=__________．10．某校对文明班的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出0＜c＜d＜e＜b＜a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为__________．（填入a，b，c，d，e中的某个字母）11．不等式+kx+1≥0对于x∈[﹣1，1]恒成立，则实数k的取值范围是__________．12．数列{a n}，{b n}的前n项的和分别为A n、B n，数列{c n}满足：c n=a n B n+b n A n﹣a n b n．若A2009=41，B2009=49，则数列{c n}的前2009项的和C2009=__________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每小题4分．13．“实系数一元二次方程x2+x+c=0有虚根”是“c＞1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件14．已知A、B是一锐角三角形两内角，直线l过P（1，0），以为其方向向量，则直线l一定不通过( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．等差数列{a n}中，前n项和为S n，|a3|=|a9|，公差d＜0．若存自然数N，对于任意的自然数n≥N，总有S n+1≤S n成立，则N值为( )A．7和8 B．6和7 C．5和6 D．4和516．老师给出问题：“设函数f（x）的定义域是（0，1），且满足：①对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；②对于任意的x1，x2∈（0，1），恒有≤2．请同学们对函数f（x）进行研究”．经观察，同学们提出以下几个猜想：甲同学说：f（x）在上递减，在上递增；乙同学说：f（x）在上递增，在上递减；丙同学说：f（x）的图象关于直线x=对称；丁同学说：f（x）肯定是常函数．你认为他们的猜想中正确的猜想个数有( )A．3个B．2个C．1个D．0个三、解答题（本大题满分74分）17．如图：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AC=2，AC⊥BC．（1）求多面体ABC﹣A1C1的体积；（2）异面直线A1B与AC1所成角的大小．18．（14分）已知△ABC所对的边分别是a、b、c，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）．（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c=2，角C=60°，求△ABC的面积．19．（16分）函数的定义域为（0，1]（a为实数）．（1）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围．20．（16分）如图：在直角坐标系xoy中，设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右两个焦点分别为F1、F2．过右焦点F2与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，﹣b），求点M到直线BF1的距离；（3）过F1M中点的直线l1交椭圆于P、Q两点，求|PQ|长的最大值以及相应的直线方程．21．（16分）已知数列{a n}是公差d≠0的等差数列，且a5=6．（1）求{a n}的前9项的和S9；（2）若a3=3，问在数列{a n}中是否存在一项a m（m是正整数），使得a3，a5，a m成等比数列，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；（3）若存在自然数n1，n2，n3，…，n t（t是正整数），满足5＜n1＜n2＜n3＜…＜n t，使得a3，a5，a n1，a n2…，a nt成等比数列，求所有整数a3的值．2015-2016学年上海市格致中学高三（上）摸底数学试卷（理科）一、填空题：（本大题满分60分）本大题共有12小题，每小题5分．1．已知复数z满足（i是虚数单位），则z=﹣i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由，得到，再由复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．【解答】解：由，得．则z=﹣i．故答案为：﹣i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．设集合M={x|x≤1}，N={x|x＞a}，要使M∩N=∅，则实数a的取值范围是a≥1．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】根据M∩N=∅，利用交集的定义和数轴，即可得到不等关系，求解即可得到实数a 的取值范围．【解答】解：∵集合M={x|x≤1}，N={x|x＞a}，且M∩N=∅，在数轴上作出图形如下图所示，根据上述图形，可以得到实数a的取值范围是a≥1．故答案为：a≥1．【点评】本题考查了集合的交集，以及空集的定义．对于集合中的交、并、补的运算，解题时一般运用数形结合的数学思想方法，即作出数轴进行求解．属于基础题．3．不等式+2x＞0的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}．【考点】二阶矩阵；其他不等式的解法．【专题】矩阵和变换．【分析】由二阶行列式的展开法则，把原不等式等价转化为x2+2x﹣3＞0，由此能求出不等式+2x＞0的解集．【解答】解：∵+2x＞0，∴x2+2x﹣3＞0，解得x＜﹣3或x＞1，∴不等式+2x＞0的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣3或x＞1}．【点评】本题考查不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．4．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征．【专题】计算题．【分析】通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2π，底面半径为：1，圆锥的高为：；圆锥的体积为：=【点评】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．5．函数f（x）=2sin2x+sin2x的最大值为1+．【考点】三角函数的最值．【专题】三角函数的求值．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=1+sin（2x﹣），易得函数的最值．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=2sin2x+sin2x=1﹣cos2x+sin2x=1+sin（2x﹣），∴当sin（2x﹣）=1时，原式取到最大值1+，故答案为：1+．【点评】本题考查三角函数的最值，化为一角一函数是解决问题的关键，属基础题．6．要从5名男生，3名女生中选出3人作为学生代表参加社区活动，且女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有40种．【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】由题意知这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和3男0女两种情况，分别求出这两种情况下的选法的数量，利用分类计数原理相加即得结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数原理的应用，这3人女生人数不多于男生人数，包括2男1女和3男0女两种情况．若3人中有2男1女，则不同的选法共有 C52C31=30种，若3人中有3男0女，则不同的选法共有C53=10种，根据分类计数原理，所有的不同的选法共有30+10=40种，故答案为：40．【点评】本题主要考查计数原理的应用，本题解题的关键是对于题目中所要求的既要有女生又要有男生所包含的情况要分类来表示出来，本题是一个基础题．7．A、B是半径为R的球面上的两点，A、B是球面距离是，则过A、B两点的平面到球心的距离的最大值为R．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由球截面圆的性质，当截面是以AB为直径的圆时，球心到过A、B两点的平面的距离最大．设D为AB中点，OD即为所求．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．设过A、B两点的球截面为圆C，由球截面圆的性质OC为球心到过A、B两点的平面的距离．D为AB中点，则OC≤OD，当且仅当C，D重合时取等号．在边三角形AOB中，OD=R．故答案为：R．【点评】本题考查球面距离的概念，点面距的计算．分析出何时区最大值是关键，考查了空间想象能力、推理论证、计算能力．8．已知点M的坐标是（1，1），F1是椭圆=1的左焦点，P是椭圆上的动点，则|PF1|+|PM|的取值范围是[6﹣，6+]．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=6﹣|PF2|，所以，|PF1|+|PM=6﹣|PF2|+|PM|=6+（|PM|﹣|PF2|），由此结合图象能求出|PF1|+|PM|的最小值和最大值，即可得到所求范围．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6那么|PF1|=6﹣|PF2|，则|PF1|+|PM|=6﹣|PF2|+|PM|=6+（|PM|﹣|PF2|）根据三角形三边关系可知，当点P位于P1时，|PM|﹣|PF2|的差最小，此时F2与M点连线交椭圆于P1，易得﹣|MF2|=﹣，此时，|PF1|+|PM|也得到最小值，其值为6﹣．当点P位于P2时，|PM|﹣|PF2|的差最大，此时F2与M点连线交椭圆于P2，易得|MF2|=，此时|PF1|+|PM|也得到最大值，其值为6+．则所求范围是[6﹣，6+]．故答案为：[6﹣，6+]．【点评】本题考查椭圆的定义、性质和应用，解题时要注意数形结合法的合理运用．9．若f（n）=1+2+3+…+n（n∈N*），则=2．【考点】数列的极限．【专题】计算题．【分析】先利用等差数列的求和公式求和得，再代入化简，利用，即可求解．【解答】解：由题意，f（n）=1+2+3+…+n=∴=∴故答案为2【点评】本题的考点是数列的极限，主要考查等差数列的求和问题，考查数列极限的求法，利用，是解题的关键．10．某校对文明班的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出0＜c＜d＜e＜b＜a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为c．（填入a，b，c，d，e中的某个字母）【考点】不等式比较大小；多元一次不定方程．【专题】应用题；压轴题．【分析】采用特殊值法，给a，b，c，d，e按照大小顺序取一组特殊值，计算S的值，据S 的解析式知，只有a或c的值增加，才能使S的值增加，检验a增加1时，S值的增加量，检验c增加1时，S值的增加量，作出比较．【解答】解：据S的解析式知，只有a或c的值增加，才能使S的值增加，采用特殊值检验法，∵0＜c＜d＜e＜b＜a，令a=9，b=7，c=1，d=3，e=5，则 S=，当a增加1时，S=，S的值增加，当c增加1时，S=，S的值增加，∴当c增加1时，S的值增加最多；故答案为c．【点评】本题考查在限定条件下，比较几个式子大小，可用特殊值代入法．11．不等式+kx+1≥0对于x∈[﹣1，1]恒成立，则实数k的取值范围是[﹣1，1]．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】将不等式恒成立转化为函数关系，构造函数，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：不等式+kx+1≥0对于x∈[﹣1，1]恒成立，等价为+1≥﹣kx对于x∈[﹣1，1]恒成立，设y=+1（y≥1），则等价为x2+（y﹣1）2=1对应的轨迹为以（0，1）为圆心，半径为1的上半圆，则A（1，1），B（﹣1，1），若+1≥﹣kx对于x∈[﹣1，1]恒成立，则等价为A，B在直线y=﹣kx的上方或在直线上即可，即A（1，1），B（﹣1，1），在不等式y≥﹣kx对应的区域内，则满足，即，解得﹣1≤k≤1，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数，利用数形结合是解决本题的关键．12．数列{a n}，{b n}的前n项的和分别为A n、B n，数列{c n}满足：c n=a n B n+b n A n﹣a n b n．若A2009=41，B2009=49，则数列{c n}的前2009项的和C2009=2009．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】c n=a n B n+b n A n﹣a n b n=（A n﹣A n﹣1）（B n﹣b n）+（B n﹣B n﹣1）A n=A n B n﹣A n﹣1B n﹣1．利用“累加求和”方法即可得出．【解答】解：c n=a n B n+b n A n﹣a n b n=（A n﹣A n﹣1）（B n﹣b n）+（B n﹣B n﹣1）A n=A n B n﹣A n﹣1B n﹣1．∴数列{c n}的前2009项的和C2009=（A2009B2009﹣A2008B2008）+（A2008B2008﹣A2007B2007）+…+（A2B2﹣A1B1）+A1B1=A2009B2009=41×49=2009．故答案为：2009．【点评】本题考查了“累加求和”、“裂项求和”方法、递推关系的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每小题4分．13．“实系数一元二次方程x2+x+c=0有虚根”是“c＞1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】利用方程有虚根，判别式小于0，求出后者的充要条件；再判断前者成立是否能推出后者的充要条件；后者的充要条件是否能推出前者．【解答】解：实系数一元二次方程x2+x+c=0有虚根，∴△=1﹣4c＜0，解得c＞，∴“c＞”是“c＞1”的必要不充分条件，∴“实系数一元二次方程x2+x+c=0有虚根”是“c＞1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程有虚根的充要条件、考查利用充要条件的定义如何判断条件问题．14．已知A、B是一锐角三角形两内角，直线l过P（1，0），以为其方向向量，则直线l一定不通过( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】直线的点斜式方程．【专题】三角函数的图像与性质；直线与圆．【分析】根据题意得出A+B＞，sinA＞cosB，sinB＞cosA，再由方向向量得出直线l的斜率k＜0，即可判断直线l不过第三象限．【解答】解：∵A、B是锐角△ABC的两个内角，∴A+B＞，A＞﹣B，B＞﹣A，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，sinB＞sin（﹣A）=cosA，∴sinB﹣cosA＞0，cosB﹣sinA＜0；又方向向量=（1，），∴直线l的斜率k=＜0，且过点P（1，0），则直线l不过第三象限．故选：C．【点评】本题考查了直线的方向向量应用问题，也考查了三角函数的诱导公式应用问题，方向向量是与直线平行或在直线上的非零向量，是基础题目．15．等差数列{a n}中，前n项和为S n，|a3|=|a9|，公差d＜0．若存自然数N，对于任意的自然数n≥N，总有S n+1≤S n成立，则N值为( )A．7和8 B．6和7 C．5和6 D．4和5【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据题意，求出首项a1与公差d的关系，得出通项公式a n，利用S n+1≤S n，得出，由此求出n的值．【解答】解：等差数列中，∵|a3|=|a9|，∴a32=a92，即（a1+2d）2=（a1+8d）2，∴a1=﹣5d，∴a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣6）d；又S n+1≤S n，∴，即，化简得，解得5≤n≤6．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的前n项和以及灵活运用等差数列的通项公式解决问题的能力，是中档题目．16．老师给出问题：“设函数f（x）的定义域是（0，1），且满足：①对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；②对于任意的x1，x2∈（0，1），恒有≤2．请同学们对函数f（x）进行研究”．经观察，同学们提出以下几个猜想：甲同学说：f（x）在上递减，在上递增；乙同学说：f（x）在上递增，在上递减；丙同学说：f（x）的图象关于直线x=对称；丁同学说：f（x）肯定是常函数．你认为他们的猜想中正确的猜想个数有( )A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用赋值法，结合基本不等式的性质进行判断即可．【解答】解：令x1=1﹣x2，则不等式≤2等价为+≤2，由①知对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；则+≥2=2，故+=2当且仅当==1即f（x2）=f （1﹣x2）时成立．此时函数f（x）关于x=对称，故丙猜想正确．其他不一定正确，故选：C．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合基本不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．三、解答题（本大题满分74分）17．如图：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AC=2，AC⊥BC．（1）求多面体ABC﹣A1C1的体积；（2）异面直线A1B与AC1所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）多面体ABC﹣A1C1的体积V=，由此能求出结果．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与AC1所成角的大小．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AC=2，AC⊥BC，∴CC1⊥平面ABC，BC⊥平面AA1C1，∵S△ABC==，===2，CC1=2，BC=2，∴多面体ABC﹣A1C1的体积：V==+==．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2），B（0，2，0），A（2，0，0），C1（0，0，2），=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，2），设异面直线A1B与AC1所成角的大小为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=0，∴异面直线A1B与AC1所成角的大小为．【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（14分）已知△ABC所对的边分别是a、b、c，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）．（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c=2，角C=60°，求△ABC的面积．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）由向量∥，得出x1y2﹣x2y1=0，利用正弦定理，结合三角函数恒等变换，求出A=B即可；（2）由向量⊥，得出x1y1+x2y2=0，利用余弦定理，求出ab的值，即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵向量=（a，b），=（sinB，sinA），且∥；∴asinA﹣bsinB=0，由正弦定理得，sinA•sinA﹣sinB•sinB=0，即=；∴cos2A=cos2B，∴2A=2B，即A=B；∴△ABC为等腰三角形；（2）∵向量=（a，b），=（b﹣2，a﹣2），且⊥；∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0，即ab=a+b；又∵c=2，角C=60°，由余弦定理得22=（a+b）2﹣2ab﹣2abcos60°；∴4=（ab）2﹣3ab，解得ab=4，或ab=﹣1（舍去）；∴△ABC的面积为S=absinC=×4×sin60°=．【点评】本题考查了平面向量的应用问题以及正弦、余弦定理的应用问题，解题时应根据向量的平行与垂直，得出条件式，利用正弦、余弦定理化简条件，得出正确的结论，是综合题．19．（16分）函数的定义域为（0，1]（a为实数）．（1）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（1）先根据a的值求出函数f（x）的解析式，然后利用基本不等式求出函数y=f （x）的最小值，注意等号成立的条件，从而求出函数y=f（x）的值域；（2）将函数y=f（x）在定义域上是减函数，转化成f′（x）≤0对x∈（0，1]恒成立，然后将a分离出来得到a≤﹣2x2，x∈（0，1]，只需a≤（﹣2x2）min即可，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1），∵x∈（0，1]∴当且仅当，即时，，所以函数y=f（x）的值域为；（2）因为函数y=f（x）在定义域上是减函数，所以对x∈（0，1]恒成立，即a≤﹣2x2，x∈（0，1]，所以a≤（﹣2x2）min，所以a≤﹣2，故a的取值范围是：（﹣∞，﹣2]；【点评】本题主要考查函数的概念、性质及利用导数研究恒成立问题等基础知识，考查灵活运用基本不等式方法进行探索求值域，属于基础题．20．（16分）如图：在直角坐标系xoy中，设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右两个焦点分别为F1、F2．过右焦点F2与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，﹣b），求点M到直线BF1的距离；（3）过F1M中点的直线l1交椭圆于P、Q两点，求|PQ|长的最大值以及相应的直线方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设右焦点F2为（c，0），令x=c，代入椭圆方程，可得c=，=1，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）求得直线BF1的方程，由点到直线的距离公式，计算即可得到所求值；（3）过F1M中点的直线l1的方程设为x=m（y﹣），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理即可得到弦长的取值范围，再由斜率为0，求得直线方程，代入椭圆方程，求得PQ的长，即可得到最大值．【解答】解：（1）设右焦点F2为（c，0），令x=c，代入椭圆可得y=±b，由M（，1），即有c=，=1，又a2﹣b2=2，解得a=2，b=，则椭圆方程为+=1；（2）由题意可得B（0，﹣），F1（﹣，0），直线BF1的方程为x+y+=0，则点M到直线BF1的距离为=2+；（3）过F1M中点的直线l1的方程设为x=m（y﹣），代入椭圆方程，可得（2+m2）y2﹣m2y+m2﹣4=0，由于中点（0，）在椭圆内，故直线与椭圆相交，设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），即有y1+y2=，y1y2=，弦长|PQ|=•|y1﹣y2|=•=，令t=2+m2（t≥2），则|PQ|==，当m=0即t=2时，取得最小值2，即有2≤|PQ|＜；当直线l1：y=时，代入椭圆方程，可得x=±，即有|PQ|=．综上可得，|PQ|的最大值为，此时直线方程为y=．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查点到直线的距离公式，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理的运算能力，属于中档题．21．（16分）已知数列{a n}是公差d≠0的等差数列，且a5=6．（1）求{a n}的前9项的和S9；（2）若a3=3，问在数列{a n}中是否存在一项a m（m是正整数），使得a3，a5，a m成等比数列，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；（3）若存在自然数n1，n2，n3，…，n t（t是正整数），满足5＜n1＜n2＜n3＜…＜n t，使得a3，a5，a n1，a n2…，a nt成等比数列，求所有整数a3的值．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出．（2）由a3=3，且a5=6．可得，可得a n=．假设存在一项a m（m是正整数），使得a3，a5，a m成等比数列，可得=a3•a m，解出即可得出．（3）由题意可得：=a3，n1＞5．公差d==．可得62=a3[a5+（n1﹣5）d]，化为：（n1﹣17）（a3﹣6）=0，解出分类讨论即可得出．【解答】解：（1）S9==9a5=9×6=54．（2）由a3=3，且a5=6．可得，解得a1=0，d=，可得a n=．假设存在一项a m（m是正整数），使得a3，a5，a m成等比数列，则=a3•a m，∴62=3×，解得m=9．∴存在一项a9，使得a3，a5，a9成等比数列．（3）由题意可得：=a3，n1＞5．公差d==．∴62=a3[a5+（n1﹣5）d]=a3，化为：（n1﹣17）（a3﹣6）=0，解得a3=6，或n1=17．∴当a3=6时，=6（n1＞5），满足题意．当n1=17时．化为﹣7a3+6=0，即（a3﹣6）（a3﹣1）=0，解得a3=6，或1．综上可得：a3=6，或1．【点评】本题考查了等差数列等比数列的通项公式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2015-2016学年上海市格致中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1．集合A={x|ax﹣3=0，a∈Z}，若A⊊N*，则a形成的集合为．2．过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为．3．已知函数的最小正周期为π，则方程f（x）=1在（0，π]上的解集为．4．关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为．5．等比数列{a n}的首项a1=1，前n项的和为S n，若S6=9S3，则a6= ．6．据统计，黄种人人群中各种血型的人所占的比例见表：血型 A B AB O该血型的人所占的比例28 29 8 35已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血，某人是B型血，若他因病痛要输血，问在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率为．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．8．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为．9．双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长．10．若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n= ，展开式中的常数项为．（用数字作答）11．函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为．12．已知非空集合A、B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．若集合A含有2个元素，则满足条件的A有个．13．对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n的最大值为．14．已知△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，那么两个三角形六个内角中的最大值为．二、选择题15 .设z1、z2∈C，则“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件16．数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列：…，则从2013到2016四数之间的位置图形为（）A．B．C．D．17．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．418．记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，四棱锥C﹣ABB1A1的体积等于4．（1）求AA1的值；（2）求C1到平面A1B1C的距离．20．已知，且．（1）求cos2θ与的值；（2）若，求ϕ的值．21．已知圆，点P在圆外，过点P作圆C的两条切线，切点分别为T1，T2．（1）若，求点P的轨迹方程；（2）设，点P在平面上构成的图形为M，求M的面积．22．对于数列{a n}，若a n+2﹣a n=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{a n}叫做“弱等差数列”，已知数列{a n}满足：a1=t，a2=s且a n+a n+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{a n}是“弱等差数列”，并求出数列{a n}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{a n}是等差数列，求出a、b的值，并求出{a n}的前n项和S n；（3）若s＞t，且数列{a n}是单调递增数列，求a的取值范围．23．若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若2x比1接近3，求x的取值范围；（2）已知函数f（x）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∈D，f（x）等于x2﹣2x与x中接近0的那个值，写出函数f（x）的解析式，若关于x的方程f（x）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a的取值范围；（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．2015-2016学年上海市格致中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1．集合A={x|ax﹣3=0，a∈Z}，若A⊊N*，则a形成的集合为{0，1，3} ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】化简A，利用A⊊N*，可得a形成的集合．【解答】解：a=0，A=∅，满足题意；a≠0，A={x|ax﹣3=0，a∈Z}={}，x=1时，a=3；x=3时，a=1，故答案为：{0，1，3}．【点评】本题考查集合的关系，考查学生的计算能力，比较基础．2．过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为x﹣2y+3=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】与直线2x+y=0垂直的直线方程的斜率k=，由此能求出过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程．【解答】解：∵与直线2x+y=0垂直的直线方程的斜率k=，∴过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为：y﹣2=（x﹣1），整理，得x﹣2y+3=0．故答案为：x﹣2y+3=0．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．3．已知函数的最小正周期为π，则方程f（x）=1在（0，π]上的解集为{， } ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值．【分析】由已知及周期公式可求ω，可解得：sin（2x+）=，由x∈（0，π]，可得2x+∈（，]，从而解得f（x）=1在（0，π]上的解集．【解答】解：∵由题意可得：=π，解得：ω=2，∴f（x）=2sin（2x+）=1，可解得：sin（2x+）=，∵x∈（0，π]，∴2x+∈（，]，∴2x+=或，即：x={， }．故答案为：{， }．【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，三角函数周期性及其求法，属于基础题．4．关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题；转化思想；定义法；矩阵和变换．【分析】由二阶行列式展开法则得x2﹣2x﹣a＞0的解集为a，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵的解集为R，∴x2﹣2x﹣a＞0的解集为a，∴△=4+4a＜0，解得a＜﹣1，∴实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．5．等比数列{a n}的首项a1=1，前n项的和为S n，若S6=9S3，则a6= 32 ．【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等比数列的前n项和公式求出公比q，由此能求出a6的值．【解答】解：∵{a n}是首项为1的等比数列，S n为{a n}的前n项和，S6=9S3，∴=9×，解得q=2，∴a6=25=32．故答案为：32．【点评】本题考查等比数列的第6项的求法，是基础题，确定q是关键．6．据统计，黄种人人群中各种血型的人所占的比例见表：血型 A B AB O该血型的人所占的比例28 29 8 35已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血，某人是B型血，若他因病痛要输血，问在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率为0.64 ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由已知得B、O型血可以输给B型血的人，根据互斥事件的概率加法公式，能求出在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率．【解答】解：对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的，由已知得：P（A′）=0.28，P（B′）=0.29，P（C′）=0.08，P（D′）=0.35，∵B、O型血可以输给B型血的人，∴“可以输血给小明”为事件B′∪D′，根据互斥事件的概率加法公式，有P（B′∪D′）=P（B′）+P（D′）=0.29+0.35=0.64，∴任找一个人，其血可以输给小明的概率为0.64．故答案为：0.64．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件的概率加法公式的合理运用．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为 3 ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z 最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．8．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为 3 ．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，画出该三棱锥的直观图，利用图中数据，求出它的侧视图面积．【解答】解：根据题意，得：该三棱锥的直观图如图所示，∴该三棱锥的左视图是底面边长为2，对应边上的高为3的三角形，它的面积为×2×3=3．故答案为：3．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出三棱锥的直观图，是基础题目．9．双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长2．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离为1列式，再结合隐含条件求解．【解答】解：如图，由抛物线方程y2=8x，得抛物线的焦点坐标F（2，0），即双曲线的右焦点坐标为F（2，0），双曲线的渐近线方程为．不妨取y=，化为一般式：bx﹣ay=0．则，即4b2=a2+b2，又a2=4﹣b2，联立解得：a2=3，∴a=．则双曲线的实轴长为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线及抛物线的几何性质，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．10．若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n= 6 ，展开式中的常数项为15 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】首先由二项式系数的性质列式求得n值，再写出二项展开式的通项并整理，由x 得指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由题意知：2n=64，即n=6；则，由．令3﹣，得r=2．∴展开式中的常数项为．故答案为：6；15．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．11．函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为[4，5] ．【考点】反函数．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】先确定函数f（x）的单调性，由此确定其值域，该值域就是其反函数的定义域，最后再求y=f（x）+f﹣1（x）的定义域．【解答】解：因为f（x）=2x﹣3+x是定义域上的增函数，所以，当x∈[3，5]时，f（x）∈[f（3），f（5）]，即f（x）∈[4，9]，由于反函数f﹣1（x）的定义域是原函数f（x）的值域，所以，f﹣1（x）的定义域为[4，9]，因此，函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为：[3，5]∩[4，9]，即[4，5]，故答案为：[4，5]．【点评】本题主要考查了原函数与反函数定义域与值域之间的关系，涉及函数单调性的应用，属于中档题．12．已知非空集合A、B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．若集合A含有2个元素，则满足条件的A有 5 个．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；分析法；集合．【分析】由题意可得集合A含有2个元素，则集合B中含有5个元素，然后结合A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；A∩B=∅，求得满足条件的集合A．【解答】解：∵集合A含有2个元素，则集合B中含有5个元素，∴2不在A中，5不在B中，则A={1，5}，B={2，3，4，6，7}；A={3，5}，B={1，2，4，6，7}；A={4，5}，B={1，2，3，6，7}；A={5，6}，B={1，2，3，4，7}；A={5，7}，B={1，2，3，4，6}．∴满足条件的A有5个．故答案为：5．【点评】本题考查交集、并集及其运算，考查了学生理解问题的能力，是基础题．13．对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n的最大值为 4 ．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】新定义；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4．【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4．故答案为：4．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义的理解和运用，属于中档题．14．已知△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，那么两个三角形六个内角中的最大值为钝角．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；解题思想；综合法；解三角形．【分析】由题意可知cosA1=sinA2，cosB1=sinB2＞0，cosC1=sinC2，从而A1，B1，C1均为锐角，从而得到△A2B2C2不可能是直角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形，推导出π=，不成立，从而△A2B2C2是钝角三角形，由此能求出两个三角形六个内角中的最大值为钝角．【解答】解：∵△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，∴由题意可知cosA1=sinA2，cosB1=sinB2＞0，cosC1=sinC2，∴A1，B1，C1均为锐角，∴△A1B1C1为锐角三角形，∵A1，B1，C1∈（0，），∴cosA1，cosB1，cosC1∈（0，1）∴sinA2，sinB2，sinC2∈（0，1）∴A2，B2，C2≠，∴△A2B2C2不可能是直角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形，则cosA1=sinA2=cos（A2），cosB1=sinB2=cos（﹣B2），cosC1=sinC2=cos（﹣C2），∵A2，B2，C2均为锐角，∴﹣A2，﹣B2，﹣C2也为锐角，又∵A1，B1，C1均为锐角，∴A1=﹣A2，B1=﹣B2，C1=﹣C2三式相加得π=，不成立∴假设不成立，△A2B2C2不是锐角三角形综上，△A2B2C2是钝角三角形．∴两个三角形六个内角中的最大值为钝角．故答案为：钝角．【点评】本题考查两个三角形六个内角中的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．二、选择题15 .设z1、z2∈C，则“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据共轭复数的定义以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：设z1=a+bi，z2=c+di，∴z1•z2=（a+bi）（c+di）=ac﹣bd+（ad+bc）i，若z1•z是实数，则ad+bc=0，若z1、z2互为共轭，则b=﹣d，由ad+bc=0推不出b=﹣d，由b=﹣d推不出ad+bc=0，故“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查复数问题，是一道基础题．16．数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列：…，则从2013到2016四数之间的位置图形为（）A．B．C．D．【考点】归纳推理．【专题】运动思想；演绎法；推理和证明．【分析】由排列可知，4个数字一循环，2014÷4=503×4+2，故2013的位置与1的位置相同，继而求出答案．【解答】解：由排列可知，4个数字一循环，2014÷4=503×4+2，故2013的位置与1的位置相同，则2014的位置与2相同，2015的位置和3相同，2016的位置和4相同，故选：B．【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题．17．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【考点】函数的图象与图象变化．【专题】开放型；函数的性质及应用．【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，y=log2x﹣a（x＞0），即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）．∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，∴﹣log22+a﹣log24+a=1，解得，a=2，故选：C．【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题18．记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2【考点】数列的极限；椭圆的简单性质．【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．【解答】解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴M n==2．故选D．【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，四棱锥C﹣ABB1A1的体积等于4．（1）求AA1的值；（2）求C1到平面A1B1C的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由四棱锥的体积=AB×AA1×AC，代入已知即可解得AA1的值．（2）设C1到平面A1B1C的距离为h，先证明B1A1⊥CA1，由已知及勾股定理可求A1C=，由=，利用三棱锥体积公式可得：×2××h=2×2×3，即可解得C1到平面A1B1C的距离为．【解答】解：（1）∵=AB×AA1×AC=AA1=4，∴AA1=3．（2）∵B1A1⊥C1A1，B1A1⊥A1A，A1A∩B1A1=A1，∴B1A1⊥平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，∴B1A1⊥CA1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，设C1到平面A1B1C的距离为h，∴A1C==，∵=，=h=×2××h，=×A1B1×C1A1×CC1=2×2×3，∴×2××h=2×2×3，解得：h=．故C1到平面A1B1C的距离．【点评】本题主要考查了直线与直线垂直的判定，考查了三棱锥，四棱锥体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．已知，且．（1）求cos2θ与的值；（2）若，求ϕ的值．【考点】两角和与差的正切函数；三角函数中的恒等变换应用．【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值．【分析】（1）利用倍角公式与“弦化切”可得cos2θ=，=；（2）由，且．可得sinθ=，cosθ=．根据，展开：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3cosΦ，代入化简即可得出．【解答】解：（1）cos2θ=cos2θ﹣sin2θ====．===3；（2）由，且．∴sinθ=，cosθ=．∴，展开：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3cosΦ，化为：cosΦ+5××sinΦ=3cosΦ，∴2cosΦ+sinΦ=3cosΦ，∴tanΦ=1，∴Φ=．【点评】本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”、差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知圆，点P在圆外，过点P作圆C的两条切线，切点分别为T1，T2．（1）若，求点P的轨迹方程；（2）设，点P在平面上构成的图形为M，求M的面积．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由题意，四边形OT1T2P是正方形，|OP|=2，可得点P的轨迹方程；（2）由题意，点P在平面上构成的图形是以OP为直径的圆，利用，求出OP2，即可求M的面积．【解答】解：（1）由题意，四边形OT1T2P是正方形，∴|OP|=2，∴点P的轨迹方程是x2+y2=4；（2）由题意，点P在平面上构成的图形是以OP为直径的圆，设∠T1OP=α，t=OP2，∵，∴（﹣）•（﹣）=λ，∴2cos2α﹣2OPcosα+OP2=λ，∴+t﹣6=λ，∴t2﹣（6+λ）t+8=0，∴t=（另一根舍去），∴M的面积S==．【点评】本题考查轨迹方程，考查面积的计算，确定轨迹方程是关键．22．对于数列{a n}，若a n+2﹣a n=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{a n}叫做“弱等差数列”，已知数列{a n}满足：a1=t，a2=s且a n+a n+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{a n}是“弱等差数列”，并求出数列{a n}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{a n}是等差数列，求出a、b的值，并求出{a n}的前n项和S n；（3）若s＞t，且数列{a n}是单调递增数列，求a的取值范围．【考点】数列的求和．【专题】证明题；新定义；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由已知得a n+2=a（n+1）+b﹣a n+1=（an+a+b）﹣（an+b）+a n=a+a n，由此能证明数列{a n}是“弱等差数列”．由a1=t，a2=s，a n+2﹣a n=a，得到{a n}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由递推公式求出a1=1，a2=3，a3=2a+b﹣3，a4=a+3，由此利用等差数列性质能求出a=4，b=0，从而得到数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，由此能求了S n．（3）由已知得a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，由经能求出a的取值范围．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足：a1=t，a2=s且a n+a n+1=an+b对于n∈N*恒成立，∴a n+1=an+b﹣a n，a n+2=a（n+1）+b﹣a n+1=（an+a+b）﹣（an+b）+a n=a+a n，∴a n+2﹣a n=a，∴数列{a n}是“弱等差数列”．∵a1=t，a2=s，a n+2﹣a n=a，∴{a n}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，∴a n=．解：（2）∵当t=1，s=3时，数列{a n}是等差数列，∴a1=1，a2=3，3+a3=2a+b，∴a3=2a+b﹣3，2a+b﹣3+a4=3a+b，∴a4=a+3，∴，解得a=4，b=0，∴数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，∴S n=2n+=n2+n．（3）∵s＞t，且数列{a n}是单调递增数列，∴a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，∴a＞s﹣t．∴a的取值范围是（s﹣t，+∞）．【点评】本题考查“弱等差数列”的证明，考查数列的通项公式的求法，综合性质强，难度大，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．23．若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若2x比1接近3，求x的取值范围；（2）已知函数f（x）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∈D，f（x）等于x2﹣2x与x中接近0的那个值，写出函数f（x）的解析式，若关于x的方程f（x）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a的取值范围；（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】新定义；数形结合法；作差法；不等式的解法及应用．【分析】（1）直接根据定义，问题等价为|2x﹣3|＜|1﹣3|，解出即可；（2）先求出函数f（x）的解析式并画出函数图象，再运用数形结合的方法，求a的取值范围；（3）直接运用作差法比较两式的大小．【解答】解：（1）因为2x比1接近3，所以|2x﹣3|＜|1﹣3|，即|2x﹣3|＜2，解得＜x＜，所以，x的取值范围为：（，）；（2）分类讨论如下：①当x2﹣2x比x接近于0时，|x2﹣2x|＜|x|，解得，x∈（1，3），②当x比x2﹣2x接近于0时，|x2﹣2x|＞|x|，解得，x∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（3，+∞），所以，f（x）=，画出f（x）的图象，如右图，因为方程f（x）=a有两个实根，根据函数图象得，a∈（﹣1，0）∪（0，1）；（3）对两式，平方作差得，△=（）2﹣（）2==，因为a，b∈R，m＞0且a≠b，所以，△＞0恒成立，所以，＞||，即比接近0．【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，分段函数解析式的确定，和不等式的证明，体现了分类讨论，数形结合的解题思想，属于难题．。

格致中学高三周练（2）2018.09一. 填空题1. 已知3cos 5θ=-，则sin()2πθ+=2. 已知||||2a b ==，a 与b 的夹角为3π，则a b +在a 上的投影为 3. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点的正方体玩具）， 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是4. ，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为5. 方程cos2sin 1x x +=在(0,)π上的解集是6. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n ∈N ）在函数2log (1)x +的反函数的图像上， 则n a =7. 若关于x 、y 的二元一次方程组1112m x m m y m +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭至多有一组解，则实数m 的取值 范围是8. 在△ABC 中，若sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则角B 的最大值为9. 已知函数()cos (sin )2f x x x x =+-，x ∈R ，设0a >，若函数()()g x f x a =+ 为奇函数，则a 的值为10. 设点P 到平面α点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30° 且不大于60°，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 11. 已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=，则实 数λ的取值范围是12. 已知直角三角形的三边长都是整数且面积与周长在数值上相等，那么这样的直角三角形 的斜边长为二. 选择题13. 给出下列函数：① 2log y x =；② 2y x =；③ ||2x y =；④ arcsin y x =.其中关于y 轴对称的函数的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④14. 0t ≥是函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要15. 已知数列cos 2n n a n π=，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A. 2018 B. 2016 C. 1006 D. 1010-16. 设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是（ ） A.12 B. 2 C. 4 D. 8三. 解答题17. 已知函数1()ln 1x f x x+=-的定义域为A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.18. 线段AB 的长度为2，点A 、B 分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为一边在第一象限内作矩形ABCD （顺时针排序），1BC =，设O 为坐标原点，OAB α∠=.（1）α表示点D 的坐标；（2）OC OD ⋅的取值范围.19. 设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点.（1）若直线l 又与圆22:(5)16C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（2）若0OA OB ⋅=，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，求Q 点的轨迹方程.20. 已知集合2{|20,}A x x x x =--≤∈Z ，集合2{|lg(8)1}B x x x =++=，集合{|,,}C x x ab a A b B ==∈∈.（1）用列举法表示集合C ；（2）设集合C 的含n 个元素所有子集为n C ，记有限集合M 的所有元素和为()S M ，求 12()()()n S C S C S C ++⋅⋅⋅+的值；（3）已知集合P 、Q 是集合C 的两个不同子集，若P 不是Q 的子集，且Q 不是P 的子集，求所有不同的有序集合对(,)P Q 的个数(,)n P Q .21. 若无穷数列{}n a 满足：只要p q a a =（*,p q ∈N ），必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且11a =，22a =，43a =，52a =，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知1sin n n n a b a +=+（*n ∈N ），求证：“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.参考答案一. 填空题 1. 35- 2. 3 3.112 4. 16 5. 5{,}66ππ 6. 12n - 7. (,1)(1,)-∞+∞ 8. 3π 9. 26k ππ-，*k ∈N 10. 8π 11. 1[,3]312. 10或13二. 选择题13. B 14. A 15. D 16. B三. 解答题17.（1）10a -≤≤；（2）证明略.18.（1）(2cos sin ,cos )D ααα+；（2）[1,3]OC OD ⋅∈.19.（1）1x =或9x =；（2）2240x y x +-=（0x ≠）.20.（1）{4,2,1,0,1,2}C =---；（2）123()()()128S C S C S C ++⋅⋅⋅+=-；（3）(,)2702n P Q =.21.（1）316a =；（2）不具有；（3）证明略.。

上海市2018-2019学年上海中学高三上学期数学周练一. 填空题1. 若关于x 的不等式2043x a x x +>++的解集为(3,1)(2,)--+∞U ，则实数a 的值为 2. 若正实数x 、y 满足：1911x y +=+，则x y +的最小值为 3. 若13α<<，42β-<<，则||αβ-的取值范围是4. “4a b +=”是不等式“||||8x a x b -+-<的解集是(2,6)-”的 条件5. 函数1()42x x f x +=+（1x ≤-）的反函数1()f x -=6. 奇函数()f x 的定义域为(3,3)-，当(0,3)x ∈时，()f x 的图像如图所示，则不等式()cos 0f x x ≤的解集为7. 若不等式2|1|x x a <-+的解集是区间(3,3)-的子集，则实数a 的取值范围是 8. 若实数x 、y 满足222(1)(1)22cos (1)1x y xy x y x y ++--+-=-+，则xy 的最小值为 9. 设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[2,3]x ∈时，2()2(3)4f x x =--+，矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在函数()y f x =（02x ≤≤）上，则矩形ABCD 的面积的最大值为10. 已知0a >，0b >，0c >，且1ab =，2224a b c ++=，则ab bc ac ++的最大值为11. 定义区间(,]c d 、[,)c d 、(,)c d 、[,]c d 的长度均为d c -，则满足不等式11111mx nx +≥-- （,0m n >）的x 构成的区间长度之和为12. 集合2{|20}x x ax a -+<中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是二. 选择题13. 下列命题中正确的是（ ）A. 若a b >，则ac bc >B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若0ab >，a b >，则11a b < D. 若a b >，c d >，则a b c d>14. 已知全集R ，集合{|}2a b E x b x +=<<，{}F x x a =<<，{|M x b x =<， 若0a b >>，则集合M 等于（ ） A. E F I B. E F U C. ()E C F R I D. ()C E F R I15. 若函数()2019f x =，则对任意的1x 、2x 满足1220182019x x <<<，则有（ ）A. 1221()()x f x x f x >B. 1221()()x f x x f x <C. 1221()()x f x x f x =D. 1122()()x f x x f x >16. 现有A 、B 、C 、D 四个长方体容器，其中A 、B 的底面积均为2x ，高分别为x 、y ，C 、D 的底面积均为2y ，高分别为x 、y （其中x y ≠），甲、乙两人分别从四个容器中选出其中两个装水，装的多的人获胜，若甲不知道x 与y 的大小关系，且甲先进行选择，为了获胜他应该（ ）A. 选A 、B 容器B. 选B 、D 容器C. 选A 、D 容器D. 无必胜的选择，只能靠人品三. 解答题17. 解不等式：（121x <+； （2）2(23)log (3)0x x -->.18. 若不等式57|1|x x ->+与不等式220ax bx +->同解.（1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式||2||x a x b k -+-≤的解集为空集，求实数k 的取值范围.19. 证明下列不等式：（1）已知a 、b 为实数，证明：4422332()()()a b a b a b ++≥+；（2）12a ≥-，12b ≥-，1a b +=≤20. 如图，已知矩形油画的长为a ，宽为b ，在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画，设壁画的左右两边金箔的宽为x ，上下两边金箔的宽为y ，壁画的总面积为S .（1）用x 、y 、a 、b 表示S ；（2）若S 为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大，求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x 、y 的值.21. 已知函数2()f x ax b =+，其中0a >，0b >.（1）若(0)1f ≤且对任意实数x 均有22()(0)[()]f x f f x +≥，求出实数a 、b 需满足的条件，并求出满足条件的实数对(,)a b 所组成平面区域Ω的面积；（2）记Ω仍表示（1）中所求出的区域，证明：“对任意实数x 、y 均有()()()()f xy f x y f x f y ++≥”的充要条件是“实数对(,)a b 在区域Ω内”.参考答案一. 填空题1. 2-2. 153. (3,3)-4. 必要不充分5. 2log 1)（504x <≤） 6. [,1][0,1][,3]22ππ--U U 7. 5a ≤ 8. 14，212cos (1)121x y x y x y +-=-++≥-+，∴12k x y π+==，∴14xy ≥9.10. 1 11. 11m n + 12. 125[1,)(,9]33--U 二. 选择题13. C 14. C 15. B 16. C三. 解答题17.（1）1,3)x ∈；（2）(2,)x ∈+∞U .18.（1）4a =-，9b =-；（2）5k <.19.（1）作差即可，略；（2）即已知224m n +=，∴222()2()8m n m n +≤+=，略.20.（1）2()4S ab ay bx xy =+++，0x >，0y >；（2）x =，y =，最大值为ab S +-21.（1）01b <≤，整理得2422()220a a x abx b b --+-≥，开口向上，∴20a a ->， ∴01a <<，∵对称轴20ab x a a=>-，∴222244()(2)0a b a a b b ∆=---≤， 即22a b +≤，由上述可得区域面积为34； （2）略.。

2018学年第一学期高三数学练习二一．填空题：（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. 已知53cos -=θ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+2sin πθ=____________. 【答案】：53- 2. 已知2||||==b a ，与的夹角为3π，则+在上的投影为____________. 【答案】：3 3. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有个6,5,4,3,2,1点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是____________.【答案】：121 4. 若正三棱锥的底边边长为2，侧棱长为1，则次三棱锥的体积为____________.【答案】：61 5. 方程1sin 2cos =+x x 在()π,0上的解集是___________.【答案】：⎭⎬⎫⎩⎨⎧65,6ππ 6. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点()n S n ,（*N n ∈）在函数()12log +x 的反函数的图像上，则=n a ___________.【答案】：12-n7 .若关于y x ,的二元一次方程组⎝⎛⎪⎪⎭⎫m m 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+m m 21至多有一组解，则实数m 的取值范围是____________.【答案】：()()∞+⋃∞，，11- 8 .在ABC ∆中，若C B A sin ,sin ,sin 成等比数列，则角B 的最大值为____________.【答案】：3π9 .已知函数()().,23cos 3sin cos R x x x x x f ∈-+=设0>a ，若函数()()a x f x g +=为奇函数，则a 的值为____________.【答案】：()*62N k k∈-ππ 10 .设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于。

绝密★启用前 上海市格致中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知直线a ，若直线b 同时满足下列条件：①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 距离为定值d ；则这样的直线b （ ） A.唯一确定 B.有两条 C.有四条 D.有无数条 2．已知函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=⋅并且(1)1f =，那么2222((1))((2))((3))((1010))(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f +++⋅⋅⋅的值为（ ） A.2019 B.1010 C.4038 D.3030 3．对于函数()f x ，若存在实数m ，使得()()f x m f m +-为R 上的奇函数，则称()f x 是位差值为m 的“位差奇函数”，判断下列函数：①()21f x x =+；②2(1)2f x x x =++；③()2x f x =；④3()sin(4f x x π=+中是“位差奇函数”的有（ ）A.1B.2C.3D.4 4．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )…………○…………线…………○……答※※题※※ …………○…………线…………○……A. B.C.D.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．设集合{2,0,1,9}A=，{|2,}B x x a a A==∈，则A B的所有元素之和为________6．已知sin()45πα-=，35(,)44ππα∈，则sinα=________7．若2(1)(2)3lim42na nb nn→∞-++-=+，则a b+=________8．已知()2n1(2x)n N*x-∈的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是______.(结果用数值表示)9．已知x,y满足约束条件10xx yx y m-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1yx+的最大值为2，则m的值为__________．10．已知函数()|21|xf x a=--，若存在实数1x、2x（12x x≠），使得12()()1f x f x==-，则实数a的取值范围为________.11．已知复数z满足i1iz z+=-，则220181z z z+++⋅⋅⋅+=________12．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过坐标原点，(3,1)n=是l的一个法向量，已知数列{}n a满足：对任意的正整数n，点1,()n na a+均在l上，若26a=，则12345a a a a a的值为____13．将1,2,3,4,5,6随机排成一列，记为a，b，c，d，e，f，则abc def+是偶数的概率为______14．在菱形ABCD中，||4AB AD-=，||2AB AD+=，13AF AD=，12DE EC=，则BF AE⋅=________15．已知椭圆22221x ya b+=（0a b>>），F为椭圆的右焦点，AB为过椭圆中心O的弦，则△ABF面积的最大值为_____外…………○………○…………※※※※装※※订※※线※※内…………○………○…………()1f π=，()22f π=，则不等式组()1212x f x ≤≤⎧≤≤⎨⎩的解集为______． 三、解答题 17．设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC∆面积的最大值.18．如图所示，在三棱锥P ABC -中，PD ⊥平面ABC ，且垂足D 在棱AC 上，1AD =，AB BC ==3CD =，PD =（1）证明：△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角θ的正弦值.19．如图，两条相交线段AB 、PQ 的四个端点都在椭圆22143x y +=上，其中直线AB 的方程为0x m =>，直线PQ 的方程为12y x n =+.（1）若0n =，BAP BAQ ∠=∠，求m 的值；（2）探究：是否存在常数m ，当n 变化时，恒有BAP BAQ ∠=∠？20．已知函数2()ax bx cf x x d ++=+（其中a ，b ，c ，d 是实数常数，x d ≠-）.（1）若0a =，函数()f x 的图象关于点(1,3)-成中心对称，求b ，d 的值； （2）若函数()f x 满足条件（1），且对任意0[3,10]x ∈，总有0()[3,10]f x ∈，求c 的取值范围； （3）若0b =，函数()f x 是奇函数，(1)0f =，3(2)2f -=-，且对任意[1,)x ∈+∞时，不等式()()0f mx mf x +<恒成立，求负实数m 的取值范围． 21．对于无穷数列{}n a ，若对任意*n N ∈，满足212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数），则称数列{}n a 为T 数列. （1）若1(2n n a =-（*n N ∈），判断数列{}n a 是否为T 数列，说明理由； （2）设350()2n n b n =-，求证：数列{}n b 是T 数列，并求常数M 的取值范围； （3）设数列|1|n p c n =-（*n N ∈，1p >），问数列{}n c 是否为T 数列？说明理由.参考答案1．D【解析】【分析】由题设条件，可作出两个平面，两异面直线分别在两个平面上，以保证两异面直线等距离，结合图象，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出如图所示的图形，其中//,,a b αβαβ⊂⊂，且,a b 异面，则平面β与b 平行的线都满足要求，所以这样的直线由无数条.故选D.【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，以及异面直线的定义、夹角、距离等概念是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2．B【解析】【分析】根据()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)1f =，令,1x n y ==，可得()()1f n f n +=，求得()()()()123f f f f n ====，即可求解.【详解】 由题意，函数满足()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)1f =，令,1x n y ==，可得()()1f n f n +=，即()()()()123f f f f n ====，所以2222222((1))((2))((3))((1010))(1)(2)(1010)1010(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅=+++=. 故选：B.【点睛】本题主要考查了抽象函数，以及数列的求和的应用，解答中合理赋值，得到()()1f n f n +=是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3．B【解析】【分析】根据题意，结合“位差奇函数”的定义依次分析四个选项中的函数是否是“位差奇函数”，即可求解，得到答案.【详解】对于①中，函数()21f x x =+，则()()2()1(21)2f x m f m x m m x +-=++-+=，则对任意的实数m ，函数()()f x m f m +-是奇函数，即函数()f x 是位差值为任意实数m 的“位差奇函数”；对于②中，函数22()21(1)f x x x x =++=+，则()()22(1)f x m f m x m x +-=++， 设()22(1)h x x m x =++不会是奇函数，所以函数2(1)2f x x x =++不是“位差奇函数”； 对于③中，函数()2x f x =，则()()222(21)x m m m x f x m f m ++-=-=-，对任意实数m ，函数()()f x m f m +-都不是奇函数，所以()2x f x =不是“位差奇函数”；对于④中，函数3()sin()4f x x π=+，则()()33sin()sin()44f x m f m x m m ππ+-=++-+， 取4m π=时，可得()()sin()sin sin f x m f m x x ππ+-=+-=-是奇函数， 所以函数3()sin()4f x x π=+是“位差奇函数”. 故选：B.【点睛】 本题主要考查了函数的新定义，以及函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中正确理解函数的新定义，逐项准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．A【解析】【详解】如图：如图，取小圆上一点，连接并延长交大圆于点，连接，，则在小圆中，，在大圆中，，根据大圆的半径是小圆半径的 倍，可知的中点是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是，综上可知小圆在大圆内壁上滚动，圆心转过角后的位置为点，小圆上的点，恰好滚动到大圆上的也就是此时的小圆与大圆的切点。

上海市格致中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是则几何体的体积为（ ）34意在考查学生空间想象能力和计算能()()24=,22x f x g x x x -=-+()()=f x x x =，g S 属于（ ） D.[3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用． 4． 在复平面内，复数1zi+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +5． 设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件6． 实数x ，y 满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（ ）A ．（1，1）B ．（0，3）C ．（，2）D ．（，0）7． 已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥αB ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥αC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥βD ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β8． 已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（ ） A．B.C.D. 9． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A ．13 B ．23C ．1D ．2 10．设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）A ．只有减区间没有增区间B ．是f （x ）的增区间C ．m=±1D ．最小值为﹣311．已知集合A={x|x ＜2}，B={y|y=5x }，则A ∩B=（ ） A ．{x|x ＜2} B ．{x|x ＞2} C ．{x|o ≤x ＜2} D ．{x|0＜x ＜2}12．已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．如果实数,x y 满足等式()2223x y -+=，那么y x的最大值是 ．14．已知1sin cos 3αα+=，(0,)απ∈，则sin cos 7sin 12ααπ-的值为 ．15．已知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则42sin cos 335cos sin 66ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .16．已知,x y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为____________. 三、解答题（本大共6小题，共70分。

2019届上海市格致中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】作出可行域,,比较斜率的大小找到最优解,根据最优解求得最大值. 【详解】作出可行域,如图所示:将目标函数化为斜截式可得:322z y x =-+, 根据图象,比较斜率的大小可知,最优解为点M ,联立2200x y y --=⎧⎨=⎩,解得2,0x y ==, 所以(2,0)M ,将2,0x y ==代入目标函数可得z 的最大值为6. 故选:C. 【点睛】本题考查了线性规划求最大值,属于中档题.2．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A 【解析】【详解】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值.详解：因为π()cos sin )4f x x x x =-=+，所以由π02ππ2π,(k Z)4k x k +≤+≤+∈得π3π2π2π,(k Z)44k x k -+≤≤+∈ 因此π3ππ3ππ[,][,],,044444a a a a a a a -⊂-∴-<-≥-≤∴<≤，从而a 的最大值为π4，选A. 点睛：函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω= (3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴， (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间； 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间. 3．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：3,PA PC PB BC ====则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.4．在ABC ∆中，5AB =，4AC =，且12AB AC ⋅=，设P 为平面ABC 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ） A ．1 B ．34-C ．-7D ．658-【答案】D【解析】由已知求出cos ,sin A A ,再以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设出点P 的坐标,分别求出,,PA PB PC 的坐标,代入()PA PB PC ⋅+,再配方可求得最小值. 【详解】在ABC ∆中，由5AB =，4AC =，且12AB AC ⋅=,得||||cos 12AB AC A =, 所以54cos 12A ⨯=,所以3cos 5A =,则4sin 5A =,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系:则(0,0),(5,0)A B ,点C 的横坐标为312cos 455AC A =⨯=,点C 的纵坐标为416sin 455AC A =⨯=,所以1216(,)55C , 设(,)P x y ,则(,)PA x y =--,(5,)PB x y =--,1216(,)55PC x y =--, 所以3716(2,2)55PB PC x y +=--, 则()PA PB PC ⋅+2237162255x x y y =-+-2237465652()2()20588x y =-+--≥-, 当且仅当374,205x y ==时取等号. 故答案为:658-. 【点睛】本题考查了向量的数量积,解析法,配方法求最值,属于中档题.二、填空题 5．()213521lim2n n n n→∞+++⋅⋅⋅+-=-______. 【答案】12【解析】利用等差数列求和公式求和后,分子分母同时除以2n ,然后求极限可得到. 【详解】原式2(121)2lim 2n n n n n →∞+-=-221lim lim122n n n n n n→∞→∞==-- 12=. 故答案为:12. 【点睛】本题考查了等差数列求和以及求数列的极限,属于基础题.6．已知1l ：3250x ay +-=，2l ：()3120a x ay ---=，并且12l l //，则实数a 的值为______. 【答案】0或16-【解析】当0a =时,两条直线都垂直x 轴,满足题意; 当0a ≠时,由两条直线的斜率相等,纵截距不等可解得. 【详解】 当0a =时,15:3l x =,2:2l x =-,此时满足12l l //; 当0a ≠时,135:22l y x a a =-+,2312:a l y x a a-=-,因为12l l //,所以3312a a a --=,且522a a ≠-,解得16a =-.故答案为: 0或16-. 【点睛】本题考查了两条直线平行的条件,属于基础题. 7．二项式81)2x的展开式的常数项是___________． 【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r +1项，再根据项的次数为零解得r ，代入即得结果.详解：二项式81)2x的展开式的通项公式为848318811C ()C 22r r rr rr r T xx --+==⋅⋅, 令8403r -=得2r =，故所求的常数项为2821C =7.2⋅点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出特定项的系数. 8．函数rcsin y a x π=-，[]1,1x ∈-的反函数是______. 【答案】()1sin fx x -=，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】在rcsin y a x π=-的两边取正弦化简后,交换,x y 的位置,写上原函数的值域即可得到. 【详解】 因为rcsin [,]22a x ππ∈-,所以3,22y ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 由rcsin y a x π=-得sin sin(rcsin )y a x π=-, 所以sin sin sin y arc x =, 所以sin y x =,交换,x y 得sin y x =,3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 所以函数rcsin y a x π=-，[]1,1x ∈-的反函数是: sin y x =,3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为: ()1sin f x x -=,3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了反函数的求法,属于基础题.9．在四边形ABCD 中，()2,1AC =，()3,6BD =-，则四边形的面积为______. 【答案】152【解析】根据向量的数量积为0,可得四边形的对角线垂直,由此可计算得四边形的面积. 【详解】因为()2,1AC =，()3,6BD =-,所以(2,1)(3,6)2360AC BD ⋅=⋅-=⨯-=,所以AC BD ⊥uuu r uu u r ,又2||2AC =2||3BD ===,所以四边形ABCD 为:1115||||222AC BD ⋅==. 故答案为: 152. 【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示,属于基础题.10．实系数一元二次方程20x ax b ++=的一根为121ix i+=+，则a b +=______. 【答案】12-【解析】根据实系数一元二次方程的虚根成对定理可得另一共轭虚根,再根据韦达定理可得,a b 的值,然后相加即可得到. 【详解】因为实系数一元二次方程20x ax b ++=的一根为121i x i +=+(2)(1)331(1)(1)222i i i i i i +--===-+-,所以根据虚根成对定理可得,实系数一元二次方程20x ax b ++=的另一共轭虚根为23122x i =+, 所以根据韦达定理得1212,x x a x x b +=-=, 所以31313131915()3,()()22222222442a i ib i i =--++=-=-+=+=, 所以51322a b +=-+=-. 故答案为:12-. 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程20x ax b ++=的虚根成对定理,属于基础题.11．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线:l 20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为______. 【答案】3【解析】问题转化为圆221x y +=的圆心到直线:l 20x my --=的距离的最大值加上圆的半径即可得到. 【详解】因为点()cos ,sin P θθ的轨迹是圆心在原点,半径为1的圆, 直线:l 20x my --=过定点(2,0)P ,如图所示:过O 作OM l ⊥,垂足为M , 则||||2OM OP ≤=,所以||1213d OM =+≤+=,取等的条件是M 与P 重合,此时0m =. 故答案为:3. 【点睛】本题考查了数形结合思想,点到直线的距离,圆的方程,直线过定点,属于中档题. 12．对于任意[)3,x ∈+∞，不等式212ax x x a +<-+恒成立，实数a 的取值范围是______. 【答案】1a <【解析】将问题转化为对于任意[)3,x ∈+∞,2211x x a x --<-恒成立,再构造函数转化为min ()a f x <,利用定义可得()f x 为增函数,进而可得最小值即可求得.【详解】因为当[)3,x ∈+∞时, 不等式212ax x x a +<-+可化为2211x x a x --<-,所以对于任意[)3,x ∈+∞,2211x x a x --<-恒成立,令221(),[3,)1x x f x x x --=∈+∞-,则min ()a f x <,因为2221(1)22()(1)111x x x f x x x x x ----===-----, 任设123x x >≥,则12121222()()(1)(1)11f x f x x x x x -=----+-- 1212122(1)2(1)()(1)(1)x x x x x x ---=-+--1212122()()(1)(1)x x x x x x -=-+--12122()(1)(1)(1)x x x x =-+--,因为123x x >≥,所以120x x -> ,1220(1)(1)x x >--,所以12()()f x f x >,所以221(),[3,)1x x f x x x --=∈+∞-为增函数,所以3x =时,函数()f x 取得最小值,最小值为(3)1f =, 所以1a <. 故答案为: 1a <. 【点睛】本题考查了不等式恒成立,定义证明单调性,利用单调性求最值,属于中档题.13．学校从7名短跑运动员中选出4人参加运动会中的4100⨯米接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的慨率是______. 【答案】531【解析】先用间接法求出甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒的种数,再求出甲跑第二棒的种数,然后用古典概型的概率公式计算可得所求概率. 【详解】根据题意,从7名短跑运动员中选出4人参加运动会中的4100⨯米接力赛,共有47A =840种,其中甲跑第一棒的情况有36A 120=种.乙跑第四棒的情况有36120A =种,甲跑第一棒且乙跑第四棒的情况有2520A =种,故甲不能跑第一棒且乙不能跑第四棒的情况有84012012020620--+=, 甲跑第二棒的情况有:1254100C A =种, 根据古典概型概率公式可得100562031=. 故答案为: 531. 【点睛】本题考查了用间接法求排列数,古典概型的概率公式,属于中档题.14．半径为4的球的球面上有四点A ,B ,C ,D ，已知ABC ∆为等边三角形且其面积为则三棱锥D ABC -体积的最大值为_____________________．【答案】【解析】分析：求出△ABC 为等边三角形的边长，画出图形，判断D 的位置，然后求解即可．详解：△ABC 为等边三角形且面积为2AB =AB=6， 球心为O ，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：O′C=263=， 则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为6，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：31634⨯故答案为：点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.15．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 16．将集合{}1,2,,12M =的元素分成互不相交的三个子集：M A B C =，其中{}1234,,,A a a a a =,{}1234,,,B b b b b =，{}1234,,,C c c c c =，且k k k a b c +=，1,2,3,4k =，则满足条件的集合C 有__________个．【答案】3【解析】分析：由k k k a b c +=可得123439c c c c +++=，令1234c c c c <<<，则412c =，3912c <<，310,11c ∴=，然后列举出12c c 、的值，从而可得结果.详解：123...1278++++=，k k k a b c += 所以123439c c c c +++=，令1234c c c c <<<，根据合理安排性，集合{}1,2,...,12M =的最大一个元素， 必定为：412c =，则123391227c c c ++=-=， 又1233333327912c c c c c c ++⇒⇒<<，310,11c ∴=，①当310c =时，同理可得12192178c c c =⎧>⇒⎨=⎩. ②当311c =时，同理可得22192167c c c =⎧>⇒⎨=⎩或21106c c =⎧⎨=⎩， 综上，一共有3种，故答案为3.点睛：本题考查主要考查集合与元素的关系，意在考查抽象思维能力，转化与划归思想，分类讨论思想应用，属于难题.解得本题的关键是首项确定412c =，从而得到3912c <<，由此打开突破点.三、解答题17．在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，90BAC ∠=︒，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于60︒，设1AA a =.（1）求a 的值；（2）求三棱锥11B A BC -的体积. 【答案】（1）1；（2）16； 【解析】(1)根据11//B C BC 可得1A CB ∠=60°,再根据三个直角三角形计算出11,,AC A B BC ,则可得到三角形1A CB 为等边三角形,所以1AC BC =,可解得1a =; (2)根据等体积法可得11111113B A BC C A B B A B B V V AC S --==⋅,根据三棱锥的体积公式计算可得. 【详解】(1)如图所示:连11,A B BC ,因为11//B C BC ,所以1A CB ∠就是异面直线1A B 与11B C 所成的角, 所以160A CB ∠=,又因为在直角三角形1A AC 中,1AC ==在直角三角形1A AB 中,1A B ==在等腰直角三角形ACB 中,BC ==,所以三角形1A CB 为正三角形,所以1AC CB =,=,所以21a =, 因为0a >,所以1a =.(2)依题意有11111113B A BC C A B B A B BV V AC S --==⋅111111326=⨯⨯⨯⨯=. 所以三棱锥11B A BC -的体积为16. 【点睛】本题考查了异面直线所成的角,等体积法,三棱锥的体积公式,属于中档题. 18．已知函数()()3f x x ax a R =+-∈. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）讨论函数()y f x =的零点的个数.【答案】（1）当0a =时，函数()f x 为偶函数；当0a ≠时，函数()f x 为非奇非偶函数；详见解析（2）当()1,1a ∈-时，函数()f x 有2个零点；当(][),11,a ∈-∞-+∞时，函数()f x 有1个零点【解析】(1)根据奇偶函数的定义判断可得;(2)将函数()f x 化为分段函数后,对a 分五种情况讨论可求得函数的零点. 【详解】(1) 当0a =时，函数()f x 为偶函数；当0a ≠时，函数()f x 为非奇非偶函数, 理由如下:当0a =时,()||3f x x =-,()||3||3()f x x x f x -=--=-=,所以()f x 为偶函数; 当0a ≠时,()()||()3||32||6f x f x x a x x ax x -+=-+--++-=-不恒等于0,所以()f x 不为奇函数,()()||3||32f x f x x ax x ax ax --=-----+=-不恒等于0,所以()f x 不为偶函数,所以()f x 为非奇非偶函数. (2)因为(1)3,0()(1)3,0a x x f x a x x +-≥⎧=⎨--<⎩,①当1a >时,当0x ≥时,由()0f x =,可得31x a =+, 当0x <时, 由()0f x =得31x a =-(舍去), 所以函数()f x 有唯一零点,②当1a =时, 23,0()3,0x x f x x -≥⎧=⎨-<⎩,所以函数()f x 有唯一零点32, ③当11a -<<时, 当0x ≥时,由()0f x =,可得31x a =+, 当0x <时, 由()0f x =得31x a =-, 所以函数()f x 有两个零点,④当1a =-时,函数3,0()23,0x f x x x -≥⎧=⎨--<⎩,所以函数()f x 有唯一零点32-, ⑤当1a <-时, 当0x ≥时,由()0f x =,可得31x a =+(舍去),当0x <时, 由()0f x =得31x a =-, 所以函数()f x 有唯一零点,综上所述: 当()1,1a ∈-时，函数()f x 有2个零点；当(][),11,a ∈-∞-+∞时，函数()f x 有1个零点.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,函数的零点.分类讨论思想,属于中档题.19．如图，欲在一四边形花坛ABCD 内挖一个等腰三角形的水池AQR ，且AQ AR =，已知四边形ABCD 中，ABD ∆是等腰直角三角形，AB AD ==BCD ∆是等腰三角形，CB CD =，BCD ∠的大小为247arctan，要求AQR ∆的三个顶点在花坛的边缘上（即在四边形ABCD 的边上），设点A 到水池底边QR 的距离为h ，水池的面积为S 平方米.（1）求AC 的长；（2）试将S 表示成关于h 的函数，并求出S 的最大值. 【答案】（1）14；（2）232142S h h =-+，最大值为1474； 【解析】(1) 设AC 与BD 交于E ,在两个三角形中计算出,AE CE ,再相加即可得到; (2)分06h <≤和614h <<两种情况讨论得到S 关于h 的函数,再分段求最大值,即可得到. 【详解】(1)设AC 与BD 交于E ,如图所示:因为AB AD =,CB CD =,所以AC 为BD 的垂直平分线,所以E 为BD 的中点,所以162AE BD ====, 在直角三角形CEB 中,tan2BCD BDCE∠=, 因为22tan2tan 1tan2BCD BCD BCD ∠∠=∠- , 所以24tan rctan7a =22tan 21tan 2BCD BCD ∠∠-, 所以247=22tan 21tan 2BCD BCD∠∠-, 所以212tan7tan 12022BCD BCD∠∠+-=, 解得3tan24BCD ∠=或4tan 23BCD ∠=-(舍去), 所以683tan24BD CE BCD ===∠, 所以6814AC AE CE =+=+=.(2)因为AQ AR =,所以AC 时QR 的垂直平分线,,所以当06h <≤时,点,Q R 在,AB AD 边上,所以2QR h =, 所以2122S h h h =⋅⋅=,此时当6h =时,S 取得最大值36,当614h <<时,点,Q R 在,BC CD 边上,此时32tan 2144QRBCD h ∠==-, 所以3212QR h =-, 所以2113321(21)22242S QR h h h h h =⋅⋅=-=-+23147(7)44h =--+, 所以当 7h ==时,S 取得最大值,最大值为1474. 因为147364>, 所以当7h =时,S 的最大值为1474. 综上所述:22,06321,61442h h S h h h ⎧<≤⎪=⎨-+<<⎪⎩,S 的最大值为1474. 【点睛】本题考查了二倍角的正切公式,分段函数的最值,分类讨论,二次函数的最值,属于中档题. 20．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点()2,0、()2,0-的距离之和等于点P 的轨迹为C ，斜率为k 的直线l 过点()2,0，且与轨迹C 交于A 、B 两点. （1）写出轨迹C 的方程； （2）如果AB =k 的值；（3）是否存在直线l ，使得在直线3x =上存在点M ，满足ABM ∆为等边三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）22162x y +=；（2）1k =±；（3）存在直线l :()2y x =±-，使得在直线3x =上存在点M ，满足ABM ∆为等边三角形；【解析】(1)根据点P 到两点()2,0、()2,0-的距离之和等于且4>,可知轨迹为椭圆,由2a c ==,求得b ,从而可得椭圆方程;(2)联立直线与椭圆,根据弦长公式求出弦长与已知弦长相等,可求出直线斜率; (3) 将ABM ∆为等边三角形,转化为MN AB ⊥且||||MN AB =,利用(2)的弦长以及两点间的距离公式可求得答案. 【详解】(1)因为点P 到两点()2,0、()2,0-的距离之和等于且4>,所以点P 的轨迹是,以()2,0、()2,0-为焦点的椭圆,且2,c a ==,所以2222b a c =-=,所以轨迹C 的方程为:22162x y +=.(2) 直线l 的方程为:(2)y k x =-,将其代入到22162x y+=,整理得2222(13)121260k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则21221213k x x k +=+,212212613k x x k -=+,所以||AB ======,即21k =,所以1k =±. (3)假设存在点0(3,)M y 满足题意, 设AB 的中点为1212(,)22x x y y N ++, 由(1)知,21221213k x x k+=+,3121222126()441313k k y y k x x k k k k -+=+-=-=++22266(,)1313k k N k k-++ , 因为ABM ∆为等边三角形,所以MN AB ⊥且||||2MN AB =, 所以1MNk k =-,||MN ====化简得21k =,所以1k =±, 所以存在直线l :()2y x =±-，使得在直线3x =上存在点M ，满足ABM ∆为等边三角形 【点睛】本题考查了椭圆的定义以及标准方程,弦长公式,韦达定理,两直线垂直于斜率的关系,属于难题.21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*1122n na n N a +≤≤∈，则称{}n a 是“紧密数列”. （1）若数列{}n a 是“紧密数列”，且11a =，232a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围；（2）若{}n a 为等差数列，首项1a ，公差d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“紧密数列”，并说明理由；（3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围.【答案】（1）23x ≤≤（2）{}n a 是“紧密数列”，详见解析（3）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(1)由 12322x≤≤，1422x≤≤可求出x 的取值范围;(2)由1(1)n a a n d =+-,所以11111(1)(1)(1)n n a a nd a n d da a n d a n d+++-+==+-+-11(1)d a n d =++- 1111a n d=++- 112>≥,根据“紧密数列”的定义即可得到结论; (3)根据”{}n a 是紧密函数”可得122q ≤≤,再对q 分11,1,122q q q =≤<<≤ 三种情况套,结合“紧密数列”的定义可得. 【详解】（1）由题意得：12322x≤≤，1422x≤≤，解得23x ≤≤.所以x 的取值范围是23x ≤≤.（2）由题意得1(1)n a a n d =+-,所以11111(1)(1)(1)n n a a nd a n d da a n d a n d+++-+==+-+- 11(1)d a n d =++- 1111a n d=++- 112>≥ , 因为1n n a a +随着n 的增大而减小,所以1n =时,1n na a +取得最大值,所以1111112111n n a a a d+≤+≤+=+- , 所以{}n a 是“紧密数列”.（3）由数列{}n a 是公比为q 的等比数列，得1n na q a +=， 因为{}n a 是“紧密数列”，所以122q ≤≤. ①当1q =时，1n S na =，1111n n S n S n n ++==+，因为11122n≤+≤，所以1q =时，数列{}n S 为“紧密数列”，故1q =满足题意. ②当1q ≠时，()111n n a q S q-=-，则1111n n nn S q S q ++-=-，因为数列{}n S 为“紧密数列”， 所以111221n nq q+-≤≤-，对任意*n N ∈恒成立. （i ）当112q ≤<时，()()1111212n n n q q q +-≤-≤-，第 21 页 共 21 页 即()()21121n n q q q q ⎧-≤⎪⎨-≤⎪⎩，对任意*n N ∈恒成立. 因为112q ≤<,所以01n q q <≤<，0211q ≤-<，3122q <-≤， 所以()211n q q q -<<，()()222(1)11n q q q q q -≤-=--+<， 所以，当112q ≤<时，()()21121n n q q q q ⎧-≤⎪⎨-≤⎪⎩，对任意*n N ∈恒成立. （ii ）当12q <≤时，()()1111212n n n q q q +-≤-≤-，即()()21121n n q q q q ⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩，对任意*n N ∈恒成立.所以当1n =时,有()()21121q q q q ⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩成立,即22210210q q q q ⎧--≥⎨-+≤⎩,所以(21)(1)0q q +-≥ 且2(1)0q -≤,所以1q =,这与12q <≤相矛盾,此时q 不存在.综上所述，q 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,前n 项和公式,数列的单调性,分类讨论思想,属于中档题.。

格致中学2018-2019学年度第一学期高三10月月考数学试卷一、填空题1.设集合{}{}，，，，，，A a a x x B A ∈===2|9102则B A Y 的所有元素之和为________. 2.已知，π，π，π⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4543554sin αα则=αsin _______.3.若()()，42321lim 2n =+-++-∞→n n b n a 则=+b a ______. 4.已知()*212N n x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中各项二项式系数之和为128,则其展开式中含x 1项的系数是_______.5.已知y x 、满足，⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-0001m y x y x x 若1+x y 的最大值为2,则=m ________. 6.已知函数()a x f x --=2,若存在实数()，、2121x x x x ≠使得()()，121-==x f x f 则实数a 的取值范围是____________.7.已知复数z 满足zi i z -=+1,则=+⋯+++201821z z z ________.8.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 经过坐标原点,()13，是l 的一个法向量,已知数列{}n a 满足:对任意的正整数n ,点()n n a a ，1+均在l 上,若62=a ,则54321a a a a a 的值为_________. 9.将1,2,3,4,5,6随机排成一列,记为，，，，，，f e d c b a 则def abc +是偶数的概率为___. 10.在菱形ABCD 中，，213124====则=•AE BF _____.11.已知椭圆()，＞＞012222b a by a x =+F 为椭圆的右焦点,AB 为过橢圆中心O 的弦,则ΔABF 面积的最大值为___________.12.设()x f 是定义在R 上的以2为最小正周期的偶函数,在区间[]10，上单调递减,且满足()()，π，π221==f f 则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为______. 二、选择题13.已知直线a ,若直线b 同时满足下列条件:①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 距离为定值d ,则这样的直线b （ ）A.唯一确定B.有两条C.有四条D.有无数条 14.已知函数()x f 满足:()()()y f x f y x f •=+并且()11=f ,那么：()()()()()()()()()()()()201910105332112222f f f f f f f f +⋯+++的值为（ ）A.2019B.1010C.4038D.303015.对于函数()x f ,若存在实数m ,使得()()m f m x f -+为R 上的奇函数,则称()x f 是位差值为m 的“位差奇函数”。