上海市格致中学2021届高三数学十月月考试题

2021-2022学年上海市格致中学高二上学期10月月考数学试题一、填空题1．22i -的虚部是_____． 【答案】2-【分析】利用复数的概念求解.【详解】解：因为复数为22i -，所以其虚部是2-， 故答案为：2-2．如果()1sin 2A π+=-，那么cos 2A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 【答案】12- 【分析】条件和要求的式子分别先运用诱导公式化简，然后再代值即可.【详解】由()11sin sin ,sin 22π+=-=-∴=A A A ， 而1cos sin 22A A π⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭． 故答案为：12-. 3．如图所示，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的A B C '''∆，已知6A C ''=，4B C ''=，则AB 边的实际长度是______.【答案】10【详解】由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，则AB 2210AC BC +=.点睛：1.用斜二测法得直观图：“保平行，横不变，纵减半”是画图的标准；2.平面多边形的斜二测画法的直观图与原图的面积关系：一个平面多边形的面积为S 原，它的斜二测画法直观图的面积为S 直，则有S 直2原(或S 原＝2直). 4．已知A ，B 是圆心为C 55AB =AC CB ⋅________.【答案】52- 【分析】由题设可得60ACB ∠=︒，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，圆C 的半径为5，且5AB =，可得60ACB ∠=︒，∴15||||cos 5522CA CA AC CB CB C A B B C ⋅=-⋅=-∠=-⨯⨯=-. 故答案为：52-. 5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，12BB =，则异面直线1A B 和1AD 所成角为______．【答案】4arccos 5【分析】连接111、A C BC ，由11//AD BC 可得11A BC ∠是异面直线1AD 与1A B 所成角，在11A BC 中由余弦定理可得答案.【详解】连接111、A C BC ，因为11//AD BC ，可得11A BC ∠是异面直线1AD 与1A B 所成角，又2211125A B C B ==+=，112AC =， 由余弦定理得222111*********cos 25255+-+-∠===⋅⋅⋅⋅A B BC AC A BC A B BC ， 故异面直线1A B 和1AD 所成角为4arccos 5． 故答案为：4arccos 5．6．过长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有________条．【答案】12【详解】试题分析：在平面的一侧，、、、的中点分别为E 、F 、G 、H ，则可得到平面，所以EF 、FG 、GH 、HE 、EG 都是平面EFGH 的直线，所以他们都与面平行，共六条，同理，平面的另一侧也有六条直线与平面平行，共有12条．【解析】直线与平面的位置关系．7．在四面体ABCD 中，8AB CD ==，且棱AB 与CD 所成的角为60︒，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则MN =______．【答案】4或43 【分析】BD 中点P ，连接PN ，MP ，在MPN △中利用余弦定理解三角形，得MN 的长.【详解】取BD 中点P ，连接PN ，MP ，因为M ，N 分别为BC 和AD 的中点，所以PN 和MP 分别是ABD 和BCD 的中位线所以NP 平行且等于12AB ，MP 平行且等于12CD ， 所以4NP =，4MP =，因为AB 与CD 成60︒角，所以60MPN ∠=︒或120︒，由余弦定理得2222cos MN MP NP MP NP MPN =+-⨯⨯∠，所以216162440.516MN =+-⨯⨯⨯=，或216162440.548MN =++⨯⨯⨯=，所以4MN =或43．8．如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，AO α⊥，O 为垂足，BC 为α内的一条直线，60ABC ∠=︒，45OBC ∠=︒，则斜线AB 和平面α所成角是___________.【答案】45︒【分析】过O 作OD BC ⊥于D ，连接AD ，则可证BC AD ⊥，设BD a =，则利用特殊角的性质得出2AB a =，2OB a =.从而求得cos ABO ∠，即可得解.【详解】过O 作OD BC ⊥于D ，连接AD ，如图所示：因为AO α⊥，BC α⊂，所以AO BC ⊥，又OD BC ⊥，AO OD O ⋂=，所以BC ⊥平面AOD ，因为AD ⊂平面AOD ，所以BC AD ⊥.设BD a =，因为60ABC ∠=︒，45OBC ∠=︒，所以22OB BD a =，22AB BD a ==.所以在RT ABO 中，2cos OB ABO AB ∠==45ABO ∠=︒. 因为AO α⊥，所以ABO ∠为AB 与平面α所成的角.所以AB 与平面α所成的角为45︒.故答案为：45︒.9．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，217CD =，则该二面角的大小为________． 【答案】60︒ 【分析】利用向量运算表示CD ,结合条件的垂直关系和长度关系可求. 【详解】由条件，知0CA AB ⋅=，0AB BD ⋅=，CD CA AB BD =++.∴2222222CD CA AB BD CA AB AB BD CA BD=+++⋅+⋅+⋅()2222648268cos ,217CA BD =+++⨯⨯=. ∴1cos ,2CA BD =-，又∵0,180CA BD ︒≤≤︒，∴,120CA BD =︒，∴二面角的大小为60︒. 故答案为：60︒.【点睛】本题主要考查二面角的求解，二面角大小的求解首选向量法，明确向量夹角与二面角之间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱1BB ，1DD 上的动点，且1BE D F λ==102λ⎛<≤⎫ ⎪⎝⎭．设EF 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，则αβ+的最小值为_____．【答案】90︒【分析】在1AA 上取,M N ，找出与α、β相等的角，进而根据三角形全等证得αβ=.在Rt EMF △中，可求2tan 1(12)1αλ=+-≥，所以min 45α=︒，即可得出答案.【详解】在1AA 上取,M N ，使AM BE =、11=A N FD ，连接MF 、NE .因为AM BE =，11//AA BB ，所以四边形ABEM 是平行四边形，所以//EM AB ，且=1ME AB =，所以MEF ∠即为EF 与AB 所成的角，即MEF α∠=，同理可得，111FN A D ==，EFN β∠=.由已知可得，AB ⊥平面11ADD A ，FM ⊂平面11ADD A ，所以AB FM ⊥，又//EM AB ，所以EM FM ⊥，所以EMF 为直角三角形.同理可得，ENF △为直角三角形.由=1ME FN =，EF EF =，可得EMF ≌FNE ，所以MEF EFN ∠=∠，即αβ=．又在MFE 中，1ME =，2221(12)MF MN NF λ=+=+-.则在Rt EMF △中，有2tan 1(12)1M M F Eαλ==+-≥，所以min 45α=︒， 因此min min ()(2)90αβα+==︒．故答案为：90︒.11．如图，三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥底面ABC ，90ACB ︒∠=，16,2,===AC BC CC P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值是_______．【答案】52【分析】把平面11A C B 沿着1BC 展开与1CBC △在同一平面上，利用余弦定理进行求解即可.【详解】把平面11A C B 沿着1BC 展开与1CBC △在同一平面上，连接1A C ，则1CP PA +的最小值是1A C ，因为90ACB ︒∠=，三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱，16,AC BC C C ===1A B =12BC ==，因为2221111A C BC A B +=，所以111AC BC ⊥，所以111190,6AC B AC ︒∠==，所以114590135CC A ︒︒︒∠=+=，由余弦定理得22211111112cos13550AC AC CC AC CC ︒=+-⋅=，所以1AC =1CP PA +的最小值是故答案为：12．在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，M 是棱1CC 的中点，N 是侧面11B BCC 内的动点，且满足直线1//A N 平面1AD M ，当直线1A N 与平面11B BCC 所成角最小时，记过点D M N ，，的平面截正方体1111—ABCD A B C D 所得到的截面为Ω，所有Ω的面积组成的集合记为S ，则S =_______．【答案】98⎫⎪⎬⎪⎪⎩⎭ 【分析】取E 为1BB 中点，F 为11C B 中点，进而证明平面1//A EF 平面1AMD ，故N 在EF 上，再根据直线1A N 与平面11B BCC 所成角的正弦值为11111sin A B A NB A N∠=得N 与,E F 重合时，直线1A N 与平面11B BCC 所成角最小，再分别讨论N 的两种位置情况即可得答案.【详解】取E 为1BB 中点，F 为11C B 中点，如图，由正方体的性质得11//EM A D ，11EM A D =所以四边形11A EMD 是平行四边形，所以11//A E MD ，因为1A E ⊄平面1AMD ，1MD ⊂平面1AMD ，所以1//A E 平面1AMD ；由中位线性质得：1//EF BC ，又因为11//AD BC ，所以1//EF AD ，因为EF ⊄平面1AMD ，1AD ⊂平面1AMD ，所以//EF 平面1AMD ，又因为1A E EF E ⋂=，所以平面1//A EF 平面1AMD ，所以N 在EF 上，又因为直线1A N 与平面11B BCC 所成角为11A NB ∠，11111sin A B A NB A N∠=，所以当1A N 最大时，直线1A N 与平面11B BCC 所成角最小，即N 与,E F 重合时，直线1A N 与平面11B BCC 所成角最小，当N 与E 重合时，过点D M N ，，的平面截正方体1111—ABCD A B C D 所得到的截面为四边形AEMD ，其面积为52； 当N 与F 重合时，过点D M N ，，的平面截正方体1111—ABCD A B C D 所得到的截面为梯形1A FMD ，该梯形为等腰梯形，上底为22，下底为2，腰为52，其面积为98； 故59,28S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 故答案为：59,28⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭【点睛】本题考查线面所成角，面面平行的判定，正方体中的截面问题，考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意寻找N 在平面11B BCC 内的轨迹EF ，进而根据线面角的概念求解.二、单选题13．设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要的条件C ．必要不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件【答案】C【分析】利用线面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.【详解】若l a ⊥，l b ⊥，当//a b 时，直线l 可以与平面α平行，此时//l α，不能推出l α⊥， 若l α⊥，,a b 是平面α内两条不同的直线，则l a ⊥，l b ⊥，所以“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的必要不充分的条件.故选：C14．关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0︒的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180︒的角； 其中正确判断的个数是（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】A【分析】结合直角的各种位置由投影的概念判断．【详解】直角AOB 在定平面a 内的射影有下列几种情况：当角所在的平面与平面α垂直时，直角的射影可能是0︒的角，可能是180︒的角，如图1，图2，故①⑤正确；直角AOB ∠在平面β内，//βα，则直角AOB 在定平面a 内的射影是直角，如图3，故③正确；当角所在的平面与平面α不平行也不垂直时，平面（或角）转到一定程度，直角的射影可能是锐角或钝角如图4图5，，故②④正确．故选：A ．15．已知平面l αβ=，B ，C l ∈，A α∈，且A l ∉，D β∈，且D l ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 是异面直线B ．直线CD 在α上的射影可能与AB 平行C ．过AD 有且只有一个平面与BC 平行D ．过AD 有且只有一个平面与BC 垂直【答案】D【分析】利用反证法判断选项A 正确；举例说明选项B 正确；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断选项C 正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项D 错误．【详解】对于选项A ，若直线AD 与BC 是共面直线，设AD 与BC 共面γ，不共线的三点B ，C ，D 均在β与γ内，β∴与γ重合，又不共线的三点A ，B ，C 均在α与γ内，α与γ重合，则α与β重合，与l αβ=矛盾， 故直线AD 与BC 是异面直线，所以选项A 正确；对于选项B ，当AB l ⊥，CD l ⊥，且二面角l αβ--为锐二面角时，直线CD 在α上的射影与AB 平行，所以选项B 正确；对于选项C ，在AD 上任取一点，过该点作BC 的平行线l '，则由AD 与l '确定一个平面，该平面与BC 平行，若过AD 另外有平面与BC 平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC 外的一点A 有两条直线与BC 平行，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项C 正确；对于选项D ，只有当AD 与BC 异面垂直时，过AD 有且只有一个平面与BC ，否则，不存在过AD 与BC 垂直的平面，故选项D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16．某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21方向，且塔顶的仰角为81，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39方向，则该塔的高度约为（ ） A ．265米 B ．279米 C ．292米 D ．306米【答案】C【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度． 【详解】如图所示，△ABC 中，AB ＝1000，∠ACB ＝21°+39°＝60°，∠ABC ＝90°﹣39°＝51°； 由正弦定理得，10005160AC sin sin =︒︒， 所以AC 10005160sin sin ⋅︒=︒；Rt △ACD 中，∠CAD ＝18°， 所以CD ＝AC •tan 18°10005160sin sin ⋅︒=⨯︒tan 18°10000.77710.8660⨯=⨯0.3249≈292（米）；所以该塔的高度约为292米． 故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．三、解答题17．已知向量(3,2)a =，(2,1)b =-． （1）若k +a b 与ka b +平行，求k 的值； （2）若a b λ-与a b λ+垂直，求λ的值． 【答案】（1）1k =±（2）12λ=-【分析】（1）根据向量平行的坐标表示计算可得结果； （2）根据向量垂直的坐标表示计算可得结果. 【详解】（1）因为向量(3,2)a =，(2,1)b =-， 所以(32,2)a kb k k +=+-，(32,21)ka b k k +=+-，因为k +a b 与ka b +平行，所以(32)(21)(2)(32)0k k k k +---+=，即21k =， 所以1k =±.（2）因为向量(3,2)a =，(2,1)b =-，所以a b λ-(32,21)λλ=-+，a b λ+(32,2)λλ=+-，因为a b λ-与a b λ+垂直，所以(32,21)λλ-+(32,2)λλ⋅+-0=， 所以(32)(32)(21)(2)0λλλλ-+++-=，解得12λ=-±.18．如图所示，有矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，2AD =，1AB =，1PA =，E 为BC 的中点．（1）求点A 到平面PED 的距离d ；（2）探究在直线PE 上是否存在点H ，使得//AH 面PCD ？若存在，求出此时PH 的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6d =（2）存在，且3PH =【分析】（1）求出三棱锥P ADE -的体积以及PDE △的面积，利用等体积法可求得A 到平面PED 的距离d ；（2）分别取PA 、PD 的中点F 、G ，连接EF 、FG 、CG ，证明出四边形CEFG 为平行四边形，可得出//EF CG ，延长PE 至点H ，使得PE EH =，利用中位线的性质得出//EF CG ，进而得出//AH CG ，利用线面平行的判定定理可得出//AH 面PCD ，并求出此时PH 的长，即可得出结论.【详解】（1）如下图所示，连接AE ，E 为BC 的中点，则112ADE S AD AB =⋅=△， 1PA =且PA ⊥平面ABCD ，故11111333P ADE ADE V S PA -=⋅=⨯⨯=△，PA ⊥平面ABCD ，AD 、AE ⊂平面ABCD ，则PA AD ⊥，PA AE ⊥，由勾股定理可得222AE AB BE =+=223PE PA AE +222DE CD CE +225PD PA AD =+=所以，222PE DE PD +=，故DE PE ⊥，所以，162PDE S DE PE =⋅=△故161363A PDE PDE V S d d -=⋅==△，解得63d =； （2）分别取PA 、PD 的中点F 、G ，连接EF 、FG 、CG ，F 、G 分别为PA 、PD 的中点，则//FG AD 且12FG AD =， 因为四边形ABCD 为矩形，则//BC AD 且BC AD =，E 为BC 的中点，则//CE AD 且12CE AD =，故//CE FG 且CE FG =， 所以，四边形CEFG 为平行四边形，所以，//EF CG ，延长PE 至点H ，使得PE EH =，则E 为PH 的中点， 又因为F 为PA 的中点，故//AH EF ，//AH CG ∴，因为AH ⊄平面PCD ，CG ⊂平面PCD ，故//AH 平面PCD ，此时223PH PE ==.19．如图，在斜三棱柱111ABC A B C 中，侧面11ACC A 为菱形，1AC 与1A C 交于点O ，111AC B C ⊥，16A C =，18AC =，160BAC ∠=︒.（1）求直线1BB 与1A C 所成角的正弦值；（2）求二面角1C A B A --的正切值. 【答案】（1）45；（2）839. 【分析】(1)利用11//BB AA ，将所求角转化为1AA O ∠，然后在1AA O 中求1AA O ∠的正弦值； (2)先证明AO ⊥平面1A BC ，再过点O 作1OH A B ⊥，垂足为H ，连接AH ，再证明OHA ∠是二面角1C A B A --的平面角，最后在AOH △中求OHA ∠的正切值.【详解】(1)因为斜三棱柱111ABC A B C ，所以11//BB AA ， 所以1AA O ∠就是直线1BB 与1A C 所成角， 又侧面11ACC A 为菱形，所以11AC AC ⊥， 因为16A C =，18AC =，所以13AO =，4AO =， 在直角1AA O 中，22115AA AO AO =+=，所以114sin 5AO AA O AA ∠==， 故直线1BB 与1A C 所成角的正弦值为45. (2)由(1)知11AC AC ⊥，因为111ABC A B C 为斜三棱柱，所以11//BC B C ， 又111AC B C ⊥，所以1AC BC ⊥，又BC ，1AC ⊂平面1A BC ，1AC BC C =， 所以1AC ⊥平面1A BC ，有AO ⊥平面1A BC . 过点O 作1OH A B ⊥，垂足为H ，连接AH .由于AO ⊥平面1A BC ，1A B ⊂平面1A BC ，故1AO A B ⊥， 又1OH A B ⊥，OH ，AO ⊂平面AOH ，OHO AO =，所以1A B ⊥平面AOH ，又AH ⊂平面AOH ，所以1A B AH ⊥，所以OHA ∠是二面角1C A B A --的平面角，在1H A O △中，因为1160H BAC OA ∠=∠=︒，所以133sin 2O OA OA H H ∠==， 又AO ⊥平面1A BC ，OH ⊂平面1A BC ，故AO OH ⊥，在AOH △中，483tan 9332OA OHA OH ∠===，即二面角1C A B A --的正切值为839. 20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >(1)求证：CD ⊥平面11ADD A(2)若直线1BB 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值(3)现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）.【答案】(1)证明见解析 (2)1k =(3)3种，2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩．【分析】（1）取DC 的中点E ，连接BE ，证明CE BE ⊥，得AD CD ⊥，再得1AA 与CD 垂直后可得证线面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角，从而可得k 值； （3）把直棱柱的各面拼接成四边形后可得，然后计算各个表面积，比较可得()f k ．【详解】（1）取DC 的中点E ，连接BE ， 因为//AB ED ，3AB ED k ==， 所以四边形ABED 是平行四边形， 所以//BE AD ，且4BE AD k ==，所以222222(4)(3)(5)BE EC k k k BC +=+==， 所以90BEC ∠=︒，所以BE CD ⊥， 又因为//BE AD ，所以CD AD ⊥．因为侧棱1AA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以1AA CD ⊥， 因为1AA AD A ⋂=，1,AA AD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ．（2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则11(4,0,0),(0,6,0),(4,3,1),(4,0,1)A k C k B k k A k ．所以(4,6,0)AC k k =-，1(0,3,1)AB k =，1(0,0,1)AA =． 设平面1AB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则146030n AC kx ky n AB ky z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2y =，则6z k =-，3x =．所以(3,2,6)n k =-． 设1AA 与平面1AB C 所成角为θ， 则1121||66sin |cos ,|7||||3613AA n k AA n AA n k θ⋅=<>===+，解得1k =，故所求1k =．（3）由题意可以左侧面11ADD A 重合拼接，或右侧面11BCC D 重合拼接，或侧面11CDD C 重合拼接（这是五棱柱，舍去），或上、下底分别拼成一个平行四边形或一个矩形（与左右侧面重合拼接相同），也可以上下底面重合拼接，共3种方案，114ADD A S k =，113ABB A S k =，115BCC B S k =，116CDD C S k =，111121(36)4182ABCD A B C D S S k k k k ==+⨯=， 四棱柱1111ABCD A B C D -的全面积是23618S k k =+，左侧面11ADD A 重合拼接，1121227228ADD A S S S k k =-=+，右侧面11BCC D 重合拼接，1122227226BCC B S S S k k =-=+，上下底面重合拼接，23223636ABCD S S S k k =-=+，2272263636k k k k +>+，518k >，2272263636k k k k +≤+，5018k <≤， 所以2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩．。

2020-2021学年上海市格致中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．若,a b ∈R ，且0ab ≠，则“a b >”是“11a b<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】根据充分必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】 当0a b >>时，11a b<不成立；当110a b <<时，a b >不成立，所以“a b >”是“11a b<”的既不充分也不必要条件．故选D ． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题．2．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()UM P S ⋂⋂D ．()()UM P S ⋂⋃【答案】C【解析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．3．直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -可用集合表示为（ ） A ．{(,)|1,1,2,2}x y x y x y ≠≠≠≠-B ．1{(,)|1x x y y ≠⎧⎨≠⎩或2}2x y ≠⎧⎨≠-⎩C ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠D ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠ 【答案】C【解析】直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，其余的点全部在集合中，逐一排除法． 【详解】直角坐标平面中除去两点(1,1)A 、(2,2)B -，其余的点全部在集合中，A 选项中除去的是四条线1,1,2,2x y x y ====-；B 选项中除去的是(1,1)A 或除去(2,2)B -或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；C 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠，则22(1)(1)0x y -+-≠且22(2)(2)0x y -++≠，即除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，符合题意；D 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠，则任意点(),x y 都不能2222[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y -+-+-++=，即不能同时排除A ，B 两点．故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．4．已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的取值范围为（ ） A ．(5,3)(4,5)- B ．[5,3)(4,5]-C ．(5,3][4,5)-D ．[5,3][4,5]-【答案】B【解析】求出第一个不等式的解，讨论k 的范围得出第二个不等式的解，根据不等式组只含有一个整数得出第二个不等式解的端点的范围，从而得出k 的范围． 【详解】解：解不等式2280x x -->得2x <-或4x >， 解方程22(27)70x k x k +++=得172x ，2x k =-． （1）若72k -<-即72k >时，不等式22(27)70x k x k +++<的解集是7(,)2k --，若不等式组只有1个整数解，则54k --<-，解得：45k <，（2）若72k ->-即72k <时，不等式22(27)70x k x k +++<的解集是7(2-，)k -，若不等式组只有1个整数解，则35k -<-，解得：53k -<，综上，k 的取值范围是[5-，3)(4⋃，5]，故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论思想，借助数轴可方便得出区间端点的范围，属于中档题．二、填空题5．若{}2,2,3,4A =-，{}2|,B x x t t A ==∈，用列举法表示B = .【答案】{}4,9,16【解析】解决该试题的关键是对于t 令值，分别得到x 的值，然后列举法表示. 【详解】因为集合{}2,2,3,4A =-，而集合B 中的元素是将集合A 中的元素一一代入，通过平方得到的集合，即{}2|,B x x t t A ==∈，2,4t x ∴=±=；3,9t x ==；4,16t x ==,{}4,9,16B ∴=，那么用列举法表示B ={}4,9,16.本试题主要是考查了集合的描述法与列举法的准确运用，属于基础题.6．方程组2354x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集为___________.【答案】{(1,1)}-【解析】由二元一次方程，应用消元法或逆矩阵解方程组求解即可. 【详解】法一：由2354x y x y -=⎧⎨+=⎩，得231028x y x y -=⎧⎨+=⎩，∴两式相加得：1111x =，1x =， 代入23x y -=，得1y =-，法二：由原方程组知：1251A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，34B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴12||11051A -==≠，即A 可逆，∴1121111511111A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，有11231111151411111X A B -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ∴1x =，1y =- 故答案为：{(1,1)}- 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，分别可用消元法、逆矩阵求解，属于简单题. 7．{|||1,}A y y x x ==-∈R ，2{|28,}B y y x x x ==-++∈R ，A B =___________.【答案】[1,9]-【解析】结合绝对值和二次函数的性质分别求出两函数的值域，从而可求出两集合的交集. 【详解】解：因为0x ≥，所以||11y x =-≥-，即[)1,A =-+∞，因为()2228199y x x x =-++=--+≤，所以(],9B =-∞，所以AB =[1,9]-，故答案为: [1,9]-. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.本题的关键是分别化简两集合.8．写出2a >的一个必要非充分条件___________. 【答案】1a >【解析】根据必要非充分条件的定义，知：21a a >⇒>，而1a >不一定有2a >，即1a >是2a >的一个必要非充分条件. 【详解】∵21a a >⇒>，而2a >⇏1a >， ∴1a >是2a >的一个必要非充分条件. 故答案为：1a > 【点睛】本题考查了必要非充分条件，根据定义法写出一个必要非充分条件，属于简单题. 9．已知全集{4,3,1,2,0,1}U =---，2{,1,3}A a a =+-，2{3,21,1}B a a a =--+，若{3}A B ⋂=-，则UA B =___________.【答案】{3,1,0,1}--【解析】根据集合交集的定义，结合集合元素的互异性、集合并集和补集的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】因为{3}A B ⋂=-，所以有33a -=-或213a -=-或213a +=-，当33a -=-时，解得0a =，此时{0,1,3}A =-，{3,1,1}B =--，而{3,1}A B ⋂=-，这与已知矛盾，故不符合题意，舍去；当213a -=-时，解得1a =-，此时{0,1,3}A =-，{4,23,}B =--，符合题意，故1a =-；当213a +=-时，此方程无实根，综上所述：1a =-， 所以UAB ={3,1,0,1}--.故答案为：{3,1,0,1}-- 【点睛】本题考查了已知集合交集的结果求参数问题，考查了集合并集和补集的运算，考查了数学运算能力.10．不等式2117x x+≤-的解集为___________.【答案】(,2](7,)-∞+∞【解析】对不等式移项通分，利用公式可得出不等式的解集． 【详解】2117x x +≤-等价于21-107x x +≤-，即3607x x-≤- 化简得()()270x x x --≥，不等于7 则原不等式的解集为(,2](7,)-∞+∞ 故答案为：(,2](7,)-∞+∞ 【点睛】本题考查分式不等式的解集，考查学生计算能力，属于基础题． 11．已知集合{2,1}A =-，{|2,B x ax ==其中,}x a ∈R ，若A B B =，则a 的取值集合为___________. 【答案】{}1,0,2- 【解析】根据A B B =得到,A B 之间的关系，由此确定出可取的a 的值.【详解】 因为AB B =，所以B A ⊆，当B =∅时，0a =；当B ≠∅时，若{}2B =-，则22a -=，所以1a =-；若{}1B =，则2a =. 综上可知：a 的取值集合为{}1,0,2-， 故答案为：{}1,0,2-. 【点睛】本题考查根据集合间的包含关系求解参数，难度一般.分析集合间的子集关系时，注意分析空集的存在.12．已知关于x 的不等式210ax bx +-≥的解集为11[,]23--，则不等式20x bx a --<的解集为___________. 【答案】(3,2)--【解析】由题意知－12，－13是方程210+-=ax bx 的两根，求出65a b =-⎧⎨=⎩，再解不等式得解. 【详解】 由题意知－12，－13是方程210+-=ax bx 的两根， 所以由根与系数的关系得11()23111()23b aa ⎧-+-=-⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩,解得65a b =-⎧⎨=-⎩. 不等式20x bx a --<即为2560x x ++<， 所以(2)(3)0x x ++< 所以解集为(3,2)--． 故答案为：(3,2)-- 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据一元二次不等式的解集求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．若关于x 的不等式2(2)3m x x m +>-+的解集是(3,)+∞，则m 的值为___________. 【答案】5【解析】由题意可得10m ->，22331m m m --=-，由此求得m 的值．【详解】解：关于x 的不等式2(2)3m x x m +>-+的，即2(1)32m x m m ->--，它解集是(3,)+∞，故10m ->，22331m m m --=-，求得5m =，故答案为：5． 【点睛】本题主要考查含参数的一次不等式的解法，属于中档题．14．已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________.【答案】2或32【解析】由题意知M 中各元素为描述中方程的解，由集合的性质讨论23,x x 是否相等即可求实数a . 【详解】由题意知：2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=中元素，即为2()(1)0x a x ax a --+-=的解，∴0x a -=或210x ax a -+-=，可知：1x a =或23x x a += ∴当23x x ≠时，23a =；当23x x =时，332a =， ∴2a =或32a =， 故答案为：2或32【点睛】本题考查了集合的性质，根据集合描述及元素之和，结合互异性讨论求参数，属于基础题.15．若三个关于x 的方程24430x x a +-+=，225(1)04a x a x ++-+=，2210x ax ++=中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围为___________.【答案】1(,1][,)4-∞--+∞【解析】结合判别式求出当三个方程都没有实根时的实数a 的取值范围，进而可求出所求答案. 【详解】解：若三个方程都没有实根，则()()2222444316405142404440a a a a a a ⎧∆=--+=+<⎪+⎪∆=--⋅=--<⎨⎪∆=-<⎪⎩，解得114a -<<-，所以当至少有一个方程有实根时，1a ≤-或14a ≥-，故答案为: 1(,1][,)4-∞--+∞. 【点睛】本题考查了方程的实数解的问题，将至少有一个方程转化为都没有实根再求解是解题的关键.16．设数集4{|}5M x m x m =≤≤+，1{|}4N x n x n =-≤≤，且集合M ､N 都是集合{|01}U x x =≤≤的子集，如果把b a -称为非空集合{|}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N ⋂的“长度”的取值范围为___________. 【答案】11[,]204【解析】根据“长度”定义确定集合,M N 的“长度”，由M N ⋂“长度”最小时，两集合位于集合I 左右两端即可确定结果. 【详解】由“长度”的定义可知：集合M 的长度为45，集合N 的长度为14； 若集合M N ⋂的“长度”最小，则M 与N 分别位于集合I 的左右两端，MN ∴的“长度”的最小值为45411120+-=若集合M N ⋂的“长度”最大，则M 与N 分别重合的部分最多，MN ∴的“长度”的最大值为14则集合M N ⋂的“长度”的取值范围为11[,]204故答案为：11[,]204【点睛】本题考查集合中的新定义运算问题的求解，解题关键是能够确定“长度”最小时，两集合的位置.三、解答题17．已知集合2{|8160,,}A x kx x k x =-+=∈∈R R .（1）若A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A ； （2）若A 至多有两个子集，试求实数k 的取值范围.【答案】（1）0k =，{2}A =；1k =，{4}A =；（2）{}[)01,+∞．【解析】（1）当0k =时，易知符合题意，当0k ≠时，利用0∆=即可求出k 的值； （2）由A 至多有两个子集，可知集合A 中元素个数最多1个，再分0k =和0k ≠两种情况讨论，即可求出实数k 的取值范围． 【详解】（1）①当0k =时，方程化为：8160x -+=，解得2x =， 此时集合{2}A =，满足题意； ②当0k ≠时，方程28160kx x -+=有一个根，∴∆2(8)4160k =--⨯=，解得：1k =，此时方程为28160x x -+=，解得4x =，∴集合{4}A =，符合题意，综上所述，0k =时集合{2}A =；1k =时集合{4}A =； （2）A 至多有两个子集，∴集合A 中元素个数最多1个，①当0k ≠时，一元二次方程28160kx x -+=最多有1个实数根，∴∆2(8)4160k =--⨯，解得1k ，②当0k =时，由（1）可知，集合{2}A =符合题意， 综上所述，实数k 的取值范围为：{}[)01,+∞．【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，考查了集合的元素个数，属于基础题． 18．已知a ∈R ，求关于x 的不等式2(21)20ax a x --->的解集. 【答案】见解析【解析】当0a =时，求解一次不等式，当0a ≠时，求出对应方程的根11x a=-，22x ，从而对a 分类讨论一元二次不等式的解集. 【详解】当0a =时，20x ->，∴2x >，则2(21)20ax a x --->的解集为(2,)+∞ 当0a ≠时，解2(21)20ax a x ---=，得11x a =-，22x ①当0a >时，12a-<，则2(21)20ax a x --->的解集为1(,)(2,)a -∞-+∞. ②当0a <时，（1）12a -=，即12a =-，则2(21)20ax a x --->可化简为()220x -<，无解；（2）12a ->，即102a >>-，则2(21)20ax a x --->的解集为1(2,)a -； （3）12a -<，即12a <-，则2(21)20ax a x --->的解集为1(,2)a-； 综上：（1）0a =时，解集为(2,)+∞；（2）当0a >时，解集为1(,)(2,)a -∞-+∞；（3）当12a =-时，无解； （4）当102a >>-时，解集为1(2,)a -； （5）当12a <-时，解集为1(,2)a-. 【点睛】 本题考查含参不等式的求解，涉及一元一次不等式，含参数的一元二次不等式分类讨论，属于基础题.19．已知集合{|2134}A x m x m =+≤≤+，{|17}B x x =≤≤.（1）若A B ⊂，求实数m 的取值范围；（2）若C B Z =，求C 的所有子集中所有元素的和.【答案】（1）(,3)[0,1]-∞-；（2）1792.【解析】（1）根据集合的包含关系求m 的取值范围即可；（2）首先确定子集的个数为72128=，根据元素与集合的关系判断每一个元素存在于多少个子集中，即可求和.【详解】（1）由A B ⊂，知：当A =∅时，2134m m +>+，解得3m <-；当A ≠∅时，2113473421m m m m +≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥+⎩，解得01m ≤≤；∴综上，有(,3)[0,1]-∞-.（2）{1,2,3,4,5,6,7}C B Z ==，由C 的所有子集的个数为72128=，而对于任意元素子集：在任意子集中存在或不存在，即每一个元素都存在于64个子集中， ∴(1234567)641792++++++⨯=【点睛】本题考查了根据集合包含关系求参数，由元素个数求所有子集中元素之和，利用元素与集合的关系判断元素存在的子集个数，属于基础题.20．设二次函数2()f x ax bx c =++，其中a ､b ､R c ∈. （1）若2(1)b a =+，94c a =+，且关于x 的不等式28200()x x f x -+<的解集为R ，求a 的取值范围；（2）若a ､b ､c Z ∈，且(0)f ､(1)f 均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根； （3）若1a =，21b k =-，2c k =，求证：方程()0f x =有两个大于1的根的充要条件是2k <-.【答案】（1）1(,)2-∞-；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）根据不等式解集为R ，结合分式、二次函数的性质即可求参数a 的范围；（2）利用反证法，分类讨论12,x x 都为整数、1x 为整数，2x 不为整数，结合a 、b 的奇偶性即可证明；（3）根据二次方程根的分布列条件求解证明即可.【详解】（1）由28200()x x f x -+<知：2282000x x ax bx c ⎧-+>⎨++<⎩且解集为R ， ∴2040a b ac <⎧⎨∆=-<⎩即208210a a a <⎧⎨+->⎩，解得：12a <-. （2）(0)f c =，(1)f abc =++均为奇数，知：+a b 为偶数，∴2()0f x ax bx c =++=有两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a=，1、当a 、b 为偶数时，若12,x x 都为整数，则b 、c 必须同时可被a 整除，显然不成立；若1x 为整数，2x 不为整数，211,ax bx 都为偶数，则2110ax bx c ++≠与题设矛盾；2、当a 、b 为奇数时，若12,x x 都为整数，12b x x a +=-必为奇数，则12,x x 必有一奇一偶，12x x 必为偶数，而c a为奇数，不成立；若1x =11()x ax b c +=-，当1x 为奇数时，1ax b +为偶数，则c 为偶数，与题设矛盾；当1x 为偶数时，1ax b +为奇数，则c 为偶数，与题设矛盾；综上，知：方程()0f x =无整数根；（3）由题意，知：22()(21)f x x k x k =+-+，若()0f x =有两个大于1的根时，有2121220k k k -⎧>⎪⎨⎪+>⎩，解得2k <-；若2k <-时，有()f x 开口向上且对称轴为12522k x -=>，2(1)20f k k =+>，22(21)4149k k k ∆=--=->，所以()0f x =有两个大于1的根；综上，有：方程()0f x =有两个大于1的根的充要条件是2k <-.【点睛】本题考查了根据分式不等式、二次函数的性质求参数范围，应用反证法证明存在性问题，以及定义法证明条件间的充要性.。

上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）1 / 17上海市格致中学2019届高三10月月考数学试题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知直线a ，如果直线b 同时满足条件①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 的距离为定值．则这样的直线b （ ） A. 唯一确定 B. 有2条 C. 有4条 D. 有无数条 2. 已知函数f （x ）满足：f （x +y ）=f （x ）•f （y ）并且f （1）=1，那么：的值为（ ）A. 2019B. 1010C. 4038D. 30303. 对于函数f （x ），若存在实数m ，使得f （x +m ）-f （m ）为R 上的奇函数，则称f（x ）是位差值为m 的“位差奇函数”．判断下列函如①f （x ）=2x +1；②f （x ）=x 2+2x +1；③f （x ）=2x ；④中是“位差奇函数”的有（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 设集合A ={2，0，1，9}，B ={x |x =2a ，a ∈A }，则A ∪B 的所有元素之和为______．6. 已知 ， ∈ ，，则sinα=______．7. 若，则a +b =______． 8. 已知（2x 2-）n （n ∈N *）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是______．（结果用数值表示）9. 已知x 、y 满足，若的最大值为2，则m =______． 10. 已知函数f （x ）=|2x-1|-a ，若存在实数x 1，x 2（x 1≠x 2），使得f （x 1）=f （x 2）=-1，则a 的取值范围是______．11. 已知复数z 满足z +i =1-zi ，则1+z +z 2+…+z 2018=______． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点， ， 是l 的一个法向量，已知数列{a n }满足：对任意的正整数n ，点（a n +1，a n ）均在l 上，若a 2=6，则a 1a 2a 3a 4a 5的值为______．13.将1，2，3，4，5，6随机排列成一列，记为a，b，c，d，e，f，则a×b×c+d×e×f是偶数的概率为______．14.在菱形ABCD中，，，，，则=______．15.已知椭圆＞＞，F为椭圆的右焦点，AB为过橢圆中心O的弦，则△ABF面积的最大值为______．16.设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上单调递减，且满足f（π）=1，f（2π）=2，则不等式组的解集为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.设，∈．（I）求f（x）的单调递增区间；（II）在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC 面积的最大值．18.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC=，AD=1，CD=3，PD=．（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．19.如图，两条相交线段AB、PQ的四个端点都在椭圆+=1上，其中，直线AB的方程为x=m，直线PQ的方程为y=x+n．上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）（Ⅰ）若n=0，∠BAP=∠BAQ，求m的值；（Ⅱ）探究：是否存在常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ？20.已知函数f（x）=（其中a，b，c，d是实数常数，x≠-d）（1）若a=0，函数f（x）的图象关于点（-1，3）成中心对称，求b，d的值；（2）若函数f（x）满足条件（1），且对任意x0∈[3，10]，总有f（x0）∈[3，10]，求c的取值范围；（3）若b=0，函数f（x）是奇函数，f（1）=0，f（-2）=-，且对任意x∈[1，+∞）时，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求负实数m的取值范围．21.对于无穷数列{a n}，若对任意n∈N*，满足且a n≤M（M是与n无关的常数），则称数列{a n}为T数列．（1）若∈，判断数列{a n}是否为T数列，说明理由；（2）设，求证：数列{b n}是T数列，并求常数M的取值范围；（3）设数列∈，＞，问数列{c n}是否为T数列？请说明理由．3 / 17上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）5 / 17答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意作图如右图，其中α∥β，a ⊂α，b ⊂β，a ，b 异面 则平面β内任一条与b 平行的直线都满足要求． 故选：D ．由题设条件，可作出两个平面，两异面直线分别在两个平面上，以保证两异面直线等距离，由图可知，平面β内所有与b 平行的线都满足题设中的三个条件，由此选出正确选项本题老点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查异面直线的定义、夹角、距离等基本概念解题的关键是理解题意中的三个条件，构造出如图的图形辅助判断，本题考查了空间想象能力及推理判断的能力，全面考查了对异面直线的定义的理解 2.【答案】B【解析】解：由意题f （x+y ）=f （x ）f （y ），且f （1）=1， 可得令x=n ，y=1，可得f （n+1）=f （n ）， 可得f （1）=f （2）=f （3）=…=f （n ）=1， 那么=f 2（1）+f 2（2）+…+f 2（1010）=1010． 故选：B ．根据f （x+y ）=f （x ）f （y ），且f （1）=1，可得令x=n ，y=1，可得f （n+1）=f （n ），可得f （1）=f （2）=f （3）=…=f （n ）=1，即可求解．本题考查了抽象函数的性质的应用，赋值法的计算，属于中档题． 3.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析4个函数：对于①，f （x ）=2x+1，有f （x+m ）-f （m ）=2（x+m ）+1-（2m+1）=2x ，则对任意实数m，f（x+m）-f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于②，f（x）=x2+2x+1=（x+1）2，则f（x+m）-f（m）=x2+2（m+1）x，设h（x）=x2+2（m+1）x，不会是奇函数，则f（x）=x2+2x+1不是“位差奇函数”；对于③，f（x）=2x，记h（x）=f（x+m）-f（m）=2x+m-2m=2m（2x-1），由h（x）+h（-x）=2m（2x-1）+2m（2-x-1）=0，当且仅当x=0等式成立，则对任意实数m，f（x+m）-f（m）都不是奇函数，则f（x）不是“位差奇函数”；对于④，，f（x+m）-f（m）=sin（x+m+）-sin（m+）=2cos（+m+）sin，可取m=，可得2cos（+π）sin=-sinx为奇函数，则f（x）是“位差奇函数”．故选：B．根据题意，结合““位差奇函数”的定义依次分析4个函数是否是“位差奇函数”，综合即可得答案．本题考查了函数中的新定义，关键是要弄清新定义的本质含义，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：如图所示，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O．设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）则大圆圆弧与小圆点M转过的圆弧相等；以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM=θ，则∠OM1O1=∠M1OO1=θ，∴∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ；大圆圆弧的长为l1=θ×1=θ，小圆圆弧的长为l2=2θ×=θ，即l1=l2，∴小圆的两段圆弧与圆弧长相等，∴点M1与点M′重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项A符合．故选：A．根据题意知直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁逆时针方向滚动时，分析滚动过程中M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，以及点M，N运动的规律，逐一对比答案选项，即可得出结论．本题考查了函数的图象与应用问题，分析M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，以及点M转过的弧长与切点转过的弧长相等是解题的关键．5.【答案】34【解析】解：∵集合A={2，0，1，9}，B={x|x=2a，a∈A}={0，2，4，18}，∴A∪B={0，1，2，4，9，18}，∴A∪B的所有元素之和为：0+1+2+4+9+18=34．故答案为：34．先求出集合A，B，由此求出A∪B，从而能求出A∪B的所有元素之和．7 / 17本题考查并集中所有元素之和的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】【解析】解：，可得cos（）=-=-．sinα=sin（+）=sin（）cos+cos（）sin==-．故答案为：．通过两角和与差的三角函数，转化求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．7.【答案】3【解析】解：，可得1-a=0，2+b=4，解得a=1，b=2，所以a+b=3．故答案为：3．利用数列的极限的运算法则化简求解即可．本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基本知识的考查．8.【答案】-84【解析】解：由题意，2n=128，得n=7．∴（2x2-）n=（2x2-）7，其二项展开式的通项=．由14-3r=-1，得r=5．∴展开式中含项的系数是．故答案为：-84．上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）9 / 17由已知求得n ，写出二项展开式的通项，由x 的指数为-1求得r ，则答案可求． 本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 9.【答案】5【解析】解：x 、y 满足的可行域如图：表示经过可行域内一点（x ，y ）与点Q （-1，0）的直线的斜率，当取直线x=1与x+y-m=0的交点A （1，m-1）时，取最大值2， 即==2，得m=5，故答案为：5．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，转化求解m 即可．本题考查线性规划的应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查转化思想以及数形结合思想的应用． 10.【答案】（1，2）【解析】解：令f （x ）=-1，则|2x -1|=a-1．据题意，直线y=a-1与函数y=|2x -1|的图象两个不同的交点， 由图可知，0＜a-1＜1，即1＜a ＜2．故答案为：（1，2）．若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f （x 1）=f （x 2）成立，则说明f （x ）在R 上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可本题主要考查了分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，属于基础试题11.【答案】-i【解析】解：由z+i=1-zi，得（1+i）z=1-i，∴z=，∴1+z+z2+…+z2018==．故答案为：-i．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由等比数列前n项和及虚数单位i得性质求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的性质，是基础题．12.【答案】-32【解析】解：直线经过坐标原点，是l的一个法向量，可得直线l的斜率为-3，即有直线l的方程为y=-3x，点（a n+1，a n）均在l上，可得a n=-3a n+1，即有a n+1=-a n，则数列{a n}为公比q为-的等比数列，可得a3=a2q=6×（-）=-2．所以a1a2a3a4a5=（-2）5=-32．故答案为：-32．由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得a n+1=-a n，则数列{a n}为公比q为-的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基本知识的考查与应用．上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）11 / 1713.【答案】【解析】解：1，2，3，4，5，6随机排成一列，共有A =720种，abc+def 为偶数等价于“a ，b ，c 不全为奇数，且d ，e ，f 不全为奇数“ ∴共有A -2A •A =648 所以所求概率为=故答案为：先求出基本事件种数为A =720种，再求出abc+def 为偶数的排列数648，然后根据古典概型概率公式可得．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.【答案】【解析】由，②2-①2得，所以． 由，可知，==．故答案为：． 先选择一组向量基底，然后把向量表示出来，最后运用平面向量的数量积进行计算．本题考查了平面向量数量积应用，以及平面向量的线性运算，属于中档题目．15.【答案】bc【解析】解：△ABF 面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，设A 到x 轴的距离为 h ，由AB 为过椭圆中心的弦，则B 到x 轴的距离也为 h ，∴△AOF 和△BOF的面积相等，故：△ABF面积等于×c×2h=ch，又h的最大值为b，∴△ABF面积的最大值是bc，故答案为：bc．△ABF面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，△AOF 和△BOF 的面积相等，A 到x轴的距离h应最大，又h的最大值为b，从而得到△ABF面积的最大值．本题考查椭圆的简单性质，用分割法求△ABF的面积，利用△AOF 和△BOF是同底等高的两个三角形．16.【答案】[π-2，8-2π]【解析】解：∵f（x）是以2为周期的偶函数，且f（x）在[0，1]上单调递减；∴由f（π）=1，f（2π）=2得，f（4-π）=1，f（2π-6）=2，且4-π，2π-6∈[0，1]；由1≤x≤2得，0≤2-x≤1；∴由得，；∴；解得π-2≤x≤8-2π；∴原不等式组的解集为[π-2，8-2π]．故答案为：[π-2，8-2π]．根据f（x）是以2为周期的偶函数，并且在[0，1]上单调递减，便可由f（π）=1，f （2π）=2得出f（4-π）=1，f（2π-6）=2，并且由1≤x≤2得出0≤2-x≤1，从而由1≤f（x）≤2得出f（4-π）≤f（2-x）≤f（2π-6），进而得出，解该不等式组即可．考查周期函数和偶函数的定义，以及减函数的定义，不等式的性质．17.【答案】解：（I），∈．化简可得：f（x）=sin2x-cos（2x+）=sin2x+sin2x-=sin2x-，上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）13 / 17由，k ∈Z ． 可得： ≤x ≤（k ∈Z ），∴函数f （x ）的单调递增区间是：[ ，]，k ∈Z （II ）由f （ ）=0，即sin A -=0， 可得sin A =， ＜ ＜，∴cos A =．由余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，可得1+ bc =b 2+c 2． ∵b 2+c 2≥2bc ，当且仅当b =c 时等号成立． ∴1+ bc ≥2bc ， bc ≤2 ．∴△ABC 面积的最大值S =bcSin ≤．故得三角形ABC 面积最大值为．【解析】（I ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间； （II）根据，求出sinA ，可得cosA ，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出bc 的值，可得△ABC 面积的最大值．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题．18.【答案】解：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E -xyz -----1’则B （ ，0，0），C （0，2，0），P （0，-1， ）----2’于是=（- ，-1， ）， =（- ，2，0）， ∵ • =（- ，-1， ）•（- ，2，0）=2-2=0，∴⊥，即BP⊥BC，-------------5’∴△PBC为直角三角形------------------6’（2）由（1）可得，A（0，-2，0）于是=（0，1，），---------------------7’=（，1，-），=（0，3，-），设平面PBC的法向量为=（x，y，z）则，即，取y=1，则z=，x=，∴平面PBC的一个法向量为=（，1，）-------------------------------------------10’设直线AP与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===，则θ=arcsin--------------12’则直线AP与平面PBC所成角的大小为arcsin-------------------------------------13’【解析】（1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明△PBC为直角三角形；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．本题主要考查空间向量的应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决直线和平面所成角的基本方法，考查学生的运算能力．19.【答案】（本题满分15分）解：（Ⅰ）由，解得，，，．…（2分）∵∠BAP=∠BAQ，∴k AP+k AQ=0．设A（m，y），则，化简得2my=3，…（5分）又，联立方程组，解得m=±1，或．∵AB平分∠PAQ，∴不合，∴m=±1．…（7分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得4y2-6ny+3n2-3=0．△=12（4-n2），，．…（9分）上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）15 / 17若存常数m ，当n 变化时，恒有∠BAP =∠BAQ ，则由（Ⅰ）知只可能m =±1． ①当m =1时，取 ，，∠BAP =∠BAQ 等价于，即（2y 1-3）（2y 2-2n -1）+（2y 2-3）（2y 1-2n -1）=0， 即4y 1y 2+3（2n +1）=2（n +2）（y 1+y 2），即3（n 2-1）+3（2n +1）=3n （n +2），此式恒成立．∴存常数m =1，当n 变化时，恒有∠BAP =∠BAQ ．…（13分） ②当m =-1时，取 ，，由对称性同理可知结论成立．∴存常数m =±1，当n 变化时，恒有∠BAP =∠BAQ ．…（15分） 【解析】（Ⅰ）由∠BAP=∠BAQ ，知k AP +k AQ =0．由此能求出m ．（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由，得4y 2-6ny+3n 2-3=0．利用韦达定理结合对称性进行分类讨论，得到存在常数m ，当n 变化时，恒有∠BAP=∠BAQ ．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，综合性质强，难度大，具有一定的探究性，对数学思维的要求较高． 20.【答案】解（1）∵a =0，∴．类比函数的图象，可知函f （x ）的图象的对称中心是（-d ，b ）． 又∵函f （x ）的图象的对称中心（-1，3），∴．（2）由（1）知，．依据题意，对任x 0∈[3，10]，恒f （x 0）∈[3，10]． ①c =3，f （x ）=3，符合题意．②c ≠3，c ＜3时，对任x ∈[3，10]，恒＜ ，不符合题意． 所c ＞3，函[3，10]上是单调递减函数，且满f （x ）＞3． 因此，当且仅f （3）≤10， 即3＜c ≤31时符合题意．综上，所实数c 的范围3≤c ≤31．（3）依据题设，解于是．由＜＜，得＜，∴（2x2-1）m2＞1∵m＜0∴m＜-．因此，＜．∵函数y=-在[1，+∞）是增函数，∴y min=y（1）=-1．∴所求负实数m的取值范围m＜-1．故答案为m＜-1．【解析】（1）利用反比例函数的对称性类比即可；（2）分情况讨论f（x）的范围；（3）先根据条件确定f（x）的解析式，再利用不等式和函数单调性求出m的取值范围．本题主要考察利用函数奇偶性，对称性求解析式，恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解21.【答案】（1）解：由，得a n+a n+2-2a n+1==．当n为偶数时，＞，∴数列{a n}不是T数列；（2）证明：∵b n+1-b n=50（n+1）--50n+=50-，∴当50-≥0，即n≤11时，b n+1-b n＞0，此时数列b n单调递增．当n≥12时，b n+1-b n＜0，此时数列b n单调递减．故数列b n的最大项是b12，∴M的取值范围是M≥600-；上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）17 / 17（3）①当1＜p ≤2时，当n =1时c 1=p -1，c 2=1-，c 3=1-， 由c 1+c 3-2c 2=-2≤0，得p ≤， 即当1＜p ≤时符合．若n ≥2，则 ≤1，此时，于是c n +c n +2-2c n +1=（1- ）+（1- ）-2（1- ）=＜0．又对于n ∈N *有c n =|-1|＜1，∴当1＜p ≤时数列c n 是T 数列； ②当2＜p ≤3时，取n =1，则c 1=p -1，c 2=-1，c 3=1-，由 ＞0，∴2＜p ≤3时数列c n 不是T 数列； ③当p ＞3时，取n =1，则c 1=p -1，c 2=-1，c 3=-1，由c 1+c 3-2c 2=＞0，∴p ＞3时数列c n 不是T 数列．综上：当1＜p ≤，时数列c n 是T 数列；当p ＞时，数列c n 不是T 数列． 【解析】（1）由，得a n +a n+2-2a n+1，整理后可知当n 为偶数时，则数列{a n }不是T 数列；（2）由b n+1-b n=50-，得到n≤11时，b n+1-b n ＞0，此时数列b n 单调递增．当n≥12时，b n+1-b n ＜0，此时数列b n 单调递减，故数列b n 的最大项是b 12，由此能求出M 的取值范围；（3）当1＜p≤2时，对于n ∈N *有c n =|-1|＜1，可得当1＜p≤时数列c n 是T 数列；当2＜p≤3时，数列c n 不是T 数列．当p ＞3时，数列c n 不是T 数列． 本题考查数列的函数特性，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．。

2024—2025学年上海大学附属中学高三上学期10月月考诊断测试数学试卷一、填空题(★) 1. 若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为 ______(★★★) 2. 不等式的解集为 ____ ．(★) 3. 将化为的形式 ______(★) 4. 棱长为的正方体的内切球表面积为 __________ ．(★★) 5. 若函数，，若的最小值为2，则 ______(★★) 6. 函数在处的切线倾斜角是 ___________ .(★★) 7. 若的展开式中常数项为 ________ .(★★★) 8. 若数列是各项为正数的等差数列，且，则的最小值为 ______ (★★★) 9. 把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有 __________ 个(★★★)10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点.且在上的投影为，则双曲线的离心率为 __________(★★★) 11. 平面点集所构成区域的面积为 __________ (★★★★) 12. 已知函数，若对任意实数，方程有解，方程也有解，则的取值集合为 __________二、单选题(★) 13. 若，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．(★★) 14. 函数，正确的命题是（）A．定义域为B．值域为C．在定义域上是严格增函数D．有两个不同的零点(★★★) 15. 下列四个命题中，真命题的个数为（）①若事件A和相互独立，则；②若将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则其平均数和方差都会发生变化；③“”是“和的夹角为锐角”的必要非充分条件；④函数满足，则该函数为奇函数或偶函数；A． 0B． 1C． 2D． 3(★★★★) 16. 若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记.下列命题中正确的是（）A．已知，且，则B．已知，若，则对任意，都有C．已知，，则存在实数，使得D．已知，，则对任意的实数，总存在实数，使得三、解答题(★★★) 17. 已知集合，(1)求；(2)若不等式在集合上恒成立，求的取值范围.(★★★) 18. 在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一动点.(1)求证：平面平面；(2)当为中点时，求点到平面的距离.(★★★) 19. 设函数，且.(1)求的值；(2)判断函数的奇偶性和单调性（不用说明理由），并据此求解关于的不等式(★★★★) 20. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点.(1)求当面积最大时直线的斜率；(2)若直线与交于点，直线与交于点①求直线的方程；②记、的面积分别为、，求的最大值.(★★★★) 21. 已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)①当时，恒成立，求正整数的最大值；②证明：。

2021年高三上学期10月月考试题数学（文）含答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1、已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ．2、复数z ＝a ＋i 1－i 为纯虚数，则实数a 的值为 ．3、抛物线的焦点到准线的距离是 ．4、“”是“”的 条件．5、向量(1,2)、(－3,2)，若()∥()，则实数k ＝_________．6、已知m 为任意实数，则直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________．7、若关于x 的方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 ．8、将y ＝sin2x 的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点⎝⎛⎭⎫π3，32，则φ的最小值为_______．9、若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是_________． 10、已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．11、已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12→AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC ＝ ．12、已知椭圆的左右焦点分别为，点 P 是椭圆上某一点，椭圆的左准线为，于点，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是13、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5 (x ＞1)，若x 1, x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ．14、已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13,3]内，函数g (x )＝f(x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分14分） 已知直线和．问：m 为何值时，有：（1）； （2）．16、（本小题满分14分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． （1）求f (x )的解析式；（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．17、（本小题满分15分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120º，当k 为何值时， （1）k a －b 与a －k b 垂直；（2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．18、（本小题满分15分）如图①，一条宽为1km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km、4万元/km．（1）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．（2）如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、EB．若∠DCE＝θ(0≤θ≤π3)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y的最小值．19、（本小题满分16分）已知椭圆的两个焦点为，离心率为，点是椭圆上某一点，的周长为，（1）求椭圆的标准方程；（2）以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，设直线的斜率为（），求所有满足要求的．20、（本小题满分16分）已知a为实数，函数f(x)＝a·ln x＋x2－4x．（1）是否存在实数a，使得f (x)在x＝1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g(x)＝2a ln x＋x2－5x－1＋ax，若存在x0∈[1, e]，使得f(x0)＜g(x0)成立，求实数a的取值范围．高三数学(文科)月考试卷 答案xx.10.61、(0,1)2、13、4、充分不必要”5、－136、 (9,－4)7、[－4,4]8、π69、[12,＋∞) 10、411、3 12、 13、 (－∞,4) 14、⎣⎡ln33,⎭⎫1e15、解：（1）∵，∴，得或；当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去． 当时，即 ∴当时，． ………7分 （2）由得或； ∴当或时，． ………14分16、解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ． ………6分（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213 ………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分 ∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84． ………14分17、解：（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0．∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0．∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336． ………7分（2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23． ………15分18、解：（1）由已知可得△ABC 为等边三角形，∵AD ⊥CD ，∴水下电缆的最短线路为CD .过D 作DE ⊥AB 于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ………3分 又CD ＝1，DE ＝32，AB ＝2，故该方案的总费用为 1×4＋32×2＋2×0.5＝5＋ 3 （万元）． …………6分 （2）∵∠DCE ＝θ (0≤θ≤ π3)∴CE ＝EB ＝1cos θ，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ.则y ＝1cos θ×4＋1cos θ×2＋(3－tan θ)×2＝2×3－sin θcos θ＋2 3 ……9分令f (θ)＝3－sin θcos θ (0≤θ≤ π 3)则f '(θ)＝－cos 2θ－(3－sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝3sin θ－1cos 2θ ，……11分∵0≤θ≤ π 3，∴0≤sin θ≤32，记sin θ0＝13，θ0∈(0, π 3)当0≤θ＜θ0时，0≤sin θ＜13，∴f '(θ)＜0当θ0＜θ≤ π 3时，13＜sin θ≤32，∴f '(θ)＞0∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0, π3]上单调递增．……13分∴f (θ)min ＝f (θ0)＝3－13223＝22，从而y min ＝42＋23，此时ED ＝tan θ0＝24，答：施工总费用的最小值为（42＋23）万元，其中ED ＝24. ……15分 19、解：（1）由题意得，椭圆的标准方程为： ---------------------6分 （2）设的直线方程为设，（不妨设） 由得，----------------------8分AB ∴==由得，即，即或 注：求出给2分20、解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝ax ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2， ……2分此时，f '(x )＝2(x －1)2x，∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值． ………4分（2）f '(x )＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a2或x ＜1－1－a 2，∴f (x )在(1＋1－a2,＋∞)上递增， ∵f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：6＜a ＜2 综上，a ＞－6． ………10分（3）在[1,e]上存在一点x 0，使得成立，即在[1,e]上存在一点，使得，即函数在[1,e]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由可得，因为，所以； ………12分 ②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得； ………14分 ③当，即时，可得最小值为， 因为，所以，，故 此时不存在使成立．综上可得所求的范围是：或． ………16分解法二：由题意得，存在x ∈[1, e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1x成立．令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1, e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0, m (e)＝1－1e ＞0故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1, x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1, e]时，m (x )＞0 故存在x ∈[1, x 1)时，使得a ＜x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆)或存在x ∈(x 1, e]时，使得a ＞x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆☆) ………12分记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F '(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)2(x ln x －1)2当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x －1∵G (x )＝ln x －x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2e －1＜0∴当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＜0，即F '(x )＜0∴F (x )在[1, x 1)上单调递减，在(x 1, e]上也是单调递减， ………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2＋1e －1综上可得，a ＞e 2＋1e －1或a ＜－2． ………16分~31922 7CB2 粲kw25948 655C 敜37280 91A0 醠22014 55FE 嗾39428 9A04 騄d27288 6A98 檘33985 84C1 蓁37111 90F7 郷23438 5B8E 宎@25055 61DF 懟。

2021年高三10月月考数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a= ﹣2 ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：由A为B的子集，得到A中的所有元素都属于B，得到a+3=1，即可求出a 的值．解答：解：∵集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，∴a+3=1，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2点评：此题考查了集合的包含关系判断与应用，弄清题意是解本题的关键．2．（5分）在复平面内，复数对应的点在第一象限．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，化简所给的复数，求出它在复平面内对应点的坐标，从而得出结论．解答：解：复数==+i，它在复平面内对应点的坐标为（，），在第一象限，故答案为一．点本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面评：内对应点之间的关系，属于基础题．3．（5分）已知510°终边经过点P（m，2），则m=﹣2．考点：诱导公式的作用；任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：直接利用任意角的三角函数的定义，求出510°的正弦值，即可求出m．解答：解：因为510°终边经过点P（m，2），所以sin510°=，所以sin150°=，即sin30°==，解得m=±2．因为510°是第二象限的角，所以m=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查诱导公式的作用，任意角的三角函数的定义的应用，考查计算能力．4．（5分）（xx•普陀区二模）已知向量，若，则实数n=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：先求出|+|的解析式，再求出•的解析式，根据题中的已知等式建立方程求出实数n．解答：解：|+|=|（3，n+1）|=，•=（1，1）•（2，n）=2+n，由题意知9+（n+1）2=n2+4n+4，∴n=3，故答案为3．点评：本题考查向量的模的计算方法，两个向量的数量积公式的应用．5．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=72．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先根据a4=18﹣a5求得a4+a5，进而求得a1+a8代入S8中答案可得．解答：解：∵a4=18﹣a5，∴a4+a5=18，∴a1+a8=18，∴S8==72故答案为72点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是利用等差中项简化了解题的步骤．6．（5分）（2011•上海二模）已知直线m⊥平面α，直线n在平面β内，给出下列四个命题：①α∥β⇒m⊥n；②α⊥β⇒m∥n；③m⊥n⇒α∥β；④m∥n⇒α⊥β，其中真命题的序号是①，④．考点：直线与平面垂直的性质．分析：由已知中直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，我们根据面面平行的性质及线面垂直的性质和几何特征，可以判断①的真假，根据面面垂直的几何特征可以判断②的真假，根据面面平行的判定定理，可以判断③的对错，根据面面垂直的判定定理，可以判断④的正误，进而得到答案．解答：解：∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α∥β时，直线m⊥平面β，则m⊥n，则①正确；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α⊥β时，直线m∥平面β或直线m⊂平面β，则m与n可能平行也可能相交也可能异面，故②错误；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m⊥n时，则直线n∥平面α或直线m⊂平面α，则α与β可能平行也可能相交，故③错误；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m∥n时，则直线直线n⊥平面α，则α⊥β，故④正确；故答案为：①④点评：本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间直线与平面之间各种关系的几何特征是解答本题的关键．7．（5分）函数y=x+2cosx在区间上的最大值是．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值．解答：解：∵y=x+2cosx，∴y′=1﹣2sinx令y′=0而x∈则x=，当x∈[0，]时，y′＞0．当x∈[，]时，y′＜0．所以当x=时取极大值，也是最大值；故答案为点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题．8．（5分）（xx•石景山区一模）在△ABC中，若，则∠C=．考点：正弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：利用正弦定理化简已知的等式，把sinB的值代入求出sinA的值，由a小于b，根据大边对大角，得到A小于B，即A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C的度数．解答：解：∵b=a，∴根据正弦定理得sinB=sinA，又sinB=sin=，∴sinA=，又a＜b，得到∠A＜∠B=，∴∠A=，则∠C=．故答案为：点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．9．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．解答：解：∵a+b=2，∴=1∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）则的最小值是故答案为：．点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．10．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为4．考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算．专题：数形结合．分析：首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y 轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．解答：解：由不等式组给定的区域D如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．11．（5分）函数f（x）=x2+bx在点A（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣1=0，设数列的前n项和为S n，则S xx为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求解答：解：∵f（x）=x2+bx∴f′（x）=2x+b∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2+b ∵切线与直线3x﹣y+2=0平行∴b+2=3∴b=1，f（x）=x2+x∴f（n）=n2+n=n（n+1）∴==∴S xx=++…+=1﹣++…+=1﹣=故答案为点评：本题以函数的导数的几何意义为载体，主要考查了切线斜率的求解，两直线平行时的斜率关系的应用，及裂项求和方法的应用．12．（5分）设若存在互异的三个实数x1，x2，x3，使f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（3，4）．考根的存在性及根的个数判断．点：专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：先作出函数f（x）的图象，利用图象分别确定x1，x2，x3，的取值范围．解答：解：不妨设x1＜x2＜x3，当x≥0时f（x）=（x﹣2）2+2，此时二次函数的对称轴为x=2，最小值为2，作出函数f（x）的图象如图：由2x+4=2得x=﹣1，由f（x）=（x﹣2）2+2=4时，解得x=2或x=2，所以若f（x1）=f（x2）=f（x3），则﹣1＜x1＜0，，且，即x2+x3=4，所以x1+x2+x3=4+x1，因为﹣1＜x1＜0，所以3＜4+x1＜4，即x1+x2+x3的取值范围是（3，4）．故答案为：（3，4）．点评：本题主要考查利用函数的交点确定取值范围，利用数形结合，是解决本题的关键．13．（5分）已知△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，点O是△ABC的外心，且，则λ+μ=．考点：三角形五心；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线m方程和AC的中垂线n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ和μ的值．解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （3，0），C（﹣1，），∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线m：x= 上，又在AC的中垂线n 上，AC的中点（﹣，），AC的斜率为tan120°=﹣，∴中垂线n的方程为y﹣=（x+）．把直线m和n 的方程联立方程组，解得△ABC的外心O（，），由条件，得（，）=λ（3，0）+μ（﹣1，）=（3λ﹣μ，），∴，解得λ=，μ=，∴λ+μ=．故答案为：．点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．14．（5分）数列{a n}满足a1=a∈（0，1]，且a n+1=，若对任意的，总有a n+3=a n成立，则a 的值为或1．考点：数列递推式．专题：综合题；分类讨论．分析：由a1=a∈（0，1]，知a2=2a∈（0，2]，当时，a3=2a2=4a，若，a4=2a3=8a≠a1，不合适；若，=a，解得．当时，，==a．解得a=1．解答：解：∵a1=a∈（0，1]，∴a2=2a∈（0，2]，当时，a3=2a2=4a，若，则a4=2a3=8a≠a1，不合适；若，则，∴，解得．当时，，∴=．∴=a，解得a=1．综上所述，，或a=1．故答案为：或1．点评：本题考查数列的递推式的应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（14分）（xx•江苏模拟）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB=﹣cosC，（1）求角A，B，C的大小；（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．考点：解三角形；二倍角的余弦；正弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）由正弦定理、二倍角公式结合题中的条件可得，故有，．（2）在△ABM中，由余弦定理得①，在△ABC中，由正弦定理可得②，由①②解得a，b，c 的值，即可求得△ABC的面积．解答：解：（1）由sinA=sinB知A=B，所以C=π﹣2A，又sinA=﹣cosC得，sinA=cos2A，即2sin2A+sinA﹣1=0，解得，sinA=﹣1（舍）．故，．（2）在△ABC中，由于BC边上中线AM的长为，故在△ABM中，由余弦定理得，即．①在△ABC中，由正弦定理得，即．②由①②解得．故．点评：本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式的应用，求出，是解题的难点．16．（15分）（xx•惠州二模）正方体ABCD_A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE；（Ⅲ）求三棱锥A﹣BDE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）先证BD⊥面ACE，再利用线面垂直的性质，即可证得结论；（II）连接AF、CF、EF，由E、F是CC1、BB1的中点，易得AF∥ED，CF∥B1E，从而可证平面ACF∥面B1DE．进而由面面平行的性质可得AC∥平面B1DE；（Ⅲ）三棱锥A﹣BDE的体积，即为三棱锥E﹣ABD的体积，根据正方体棱长为2，E为棱CC1的中点，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：证明：（1）连接BD，则BD∥B1D1，（1分）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分）∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．（5分）（2）连接AF、CF、EF．∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CE平行且等于B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E，CF⊄平面B1DE，B1E⊂平面B1DE（7分）∴CF∥平面B1DE∵E，F是CC1、BB1的中点，∴EF平行且等于BC又BC平行且等于AD，∴EF平行且等于AD．∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，∵AF⊄平面B1DE，ED⊂平面B1DE（7分）∴AF∥平面B1DE∵AF∩CF=F，∴平面ACF∥平面B1DE．（9分）又∵AC⊂平面ACF∴AC∥平面B1DE；解：（Ⅲ）三棱锥A﹣BDE的体积，即为三棱锥E﹣ABD的体积∴V=••AD•AB•EC=••2•2•1=点评：本题主要考查线面垂直和面面平行，解题的关键是正确运用线面垂直和面面平行的判定定理，属于中档题．17．（14分）已知数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列，数列{b n}满足2b n=（n+1）a n；（Ⅰ）若a1、a3、a4成等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，求实数a的取值范围．考点：等比关系的确定；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，由此能求出a n．（II）由2b n=（n+1）a n，结合配方法，即可求实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，即a•（a+6）=（a+4）2，∴a=﹣8，∴a n=﹣8+（n﹣1）×2=2n﹣10，（II）由2b n=（n+1）a n，b n=n2+n+=（n+）2﹣（）2，由题意得：≤﹣≤，∴﹣22≤a≤﹣18．点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（15分）某企业拟在xx年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知xx年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用．若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．（1）将xx年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数（2）该企业xx年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）根据3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论．解答：解：（1）由题意：，将t=0，x=1代入得k=2∴当年生产x（万件）时，年生产成本=，当销售x（万件）时，年销售收入=150% 由题意，生产x万件产品正好销完，∴年利润=年销售收入﹣年生产成本﹣促销费即（2），此时t=7，y max=42．点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题19．（16分）已知函数，a为正常数．（Ⅰ）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调减区间；（Ⅱ）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）求导函数，令其小于0，结合函数的定义域，可求函数的单调减区间；（Ⅱ）由已知，，构造h（x）=g（x）+x，利用导数研究其单调性，及最值进行求解．解答：解：（Ⅰ），∵，令f′（x）＜0，得，故函数f（x）的单调减区间为．…（5分）（Ⅱ）∵，∴，∴，设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数，当1≤x≤2时，h（x）=lnx++x，，令h′（x）≤0，得a═对x∈[1，2]恒成立设，则，∵1≤x≤2，∴，∴m（x）在[1，2]上是增函数，则当x=2时，m（x）有最大值为，∴．当0＜x＜1时，，，令h'（x）≤0，得：，设，则，∴t（x）在（0，1）上是增函数，∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0，综上所述，．…（16分）点评：本题考查函数单调性与导数的关系及应用，考查转化、计算能力．20．（16分）已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a∈R}．（1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S n，对于任意的n∈N+，均有S n∈A，求a的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用因式分解法求解含字母的一元二次不等式，写解集时要注意对字母a进行讨论，注意存在性问题的解决方法，只需找出合题意的实数a即可；（2）写出该数列的通项公式是解决本题的关键．注意对字母a的讨论，利用S n∈A 得出关于a的不等式或者找反例否定某种情况，进行探求实数a的取值范围．解答：解：（1）当a＜1时，A={x|a≤x≤1}，不符合；当a≥1时，A={x|﹣2≤x≤1}，设a∈[n，n+1），n∈N，则1+2++n==28，所以n=7，即a∈[7，8）（2）当a≥1时，A={x|1≤x≤a}．而S2=a+a2∉A，故a≥1时，不存在满足条件的a；当0＜a＜1时，A={a≤x≤1}，而是关于n的增函数，所以S n随n的增大而增大，当且无限接近时，对任意的n∈N+，S n∈A，只须a满足解得．当a＜﹣1时，A={x|a≤x≤1}．而S3﹣a=a2+a3=a2（1+a）＜0，S3∉A故不存在实数a满足条件．当a=﹣1时，A={x|﹣1≤x≤1}．S2n﹣1=﹣1，S2n=0，适合．⑤当﹣1＜a＜0时，A={x|a≤x≤1}．S2n+1=S2n﹣1+a2n+a2n+1=S2n﹣1+a2n+a2n+1=S2n﹣1+a2n（1+a）＞S2n﹣1，S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1（1+a）＜S2n，∴S2n﹣1＜S2n+1，S2n+2＜S2n，且S2=S1+a2＞S1．故S1＜S3＜S5＜…＜S2n+1＜S2n＜S2n﹣2＜…＜S4＜S2．故只需即解得﹣1＜a＜0．综上所述，a的取值范围是．点评：本题属于含字母二次不等式解法的综合问题，关键要对字母进行合理的讨论．注意存在性问题问题的解决方法，注意分类讨论思想的运用，注意等比数列中有关公式的运用．三、加试题21．（10分）已知⊙O的方程为（θ为参数），求⊙O上的点到直线（t为参数）的距离的最大值．考点：直线的参数方程；圆的参数方程．专题：探究型．分析：分别将圆和直线的参数方程转化为普通方程，利用直线与圆的位置关系求距离．解答：解：将圆转化为普通方程为x2+y2=8，所以圆心为（0，0），半径r=2．将直线转化为普通方程为x+y﹣2=0，则圆心到直线的距离d=，所以⊙O上的点到直线的距离的最大值为d+r=3．点评：本题主要考查直线与圆的参数方程以及直线与圆的位置关系的判断．将参数方程转化为普通方程是解决本题的关键．22．（10分）在四棱锥S﹣OABC中，SO⊥平面OABC，底面OABC为正方形，且SO=OA=2，D为BC的中点，=λ，问是否存在λ∈[0，1]使⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：本题可以建立空间直角坐标系，直接利用坐标求解．解答：解题探究：本题考查在空间直角坐标系下，空间向量平行及垂直条件的应用解：O为原点，、、方向为X轴、Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系．则O（0，0，0），S（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），c（0，2，0），D（1，2，0），，则，∵，，要使，则，即（2﹣2λ）﹣4λ=0，∴，∴存在∴，使点评：本题考查学生对于空间直角坐标系的利用，以及对于坐标的利用，是中档题．23．（10分）（2011•朝阳区二模）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，然后利用对立事件的概率公式解之即可；（Ⅱ）由已知可知X的取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．解答：解（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，则．所以，该产品不能销售的概率为．…（4分）（Ⅱ）由已知，可知X的取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160．…（5分），，，，．…（10分）所以X的分布列为X ﹣320 ﹣200 ﹣80 40 160P…（11分）E（X）==40 所以，均值E（X）为40．…（13分）点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的概率分别和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．24．（10分）已知二项式，其中n∈N，n≥3．（1）若在展开式中，第4项是常数项，求n；（2）设n≤xx，在其展开式，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有多少个？考点：二项式定理的应用；等差数列的性质；数列与函数的综合．专题：计算题．分析：（1）利用二项式的展开式求出第4项，通过x的指数为0，求出a的值．（2）连续三项的二项式系数分别为、、（1≤k≤n﹣1），由题意，化简求解，利用n 为自然数求出所有的n的个数．解答：解：（1）∵为常数项，∴=0，即n=18；…..（3分）（2）连续三项的二项式系数分别为、、（1≤k≤n﹣1），由题意，依组合数的定义展开并整理得n2﹣（4k+1）n+4k2﹣2=0，故，…..（6分）则因为n为整数，并且8k+9是奇数，所以令8k+9=（2m+1）2⇒2k=m2+m﹣2，代入整理得，，∵442=1936，452=2025，故n的取值为442﹣2，432﹣2，…，32﹣2，共42个．…..（10分）点评：本题考查二项式定理的展开式的应用，方程的思想的应用，考查计算能力．35787 8BCB 诋R34362 863A 蘺FL25155 6243 扃40252 9D3C 鴼T32214 7DD6 緖<O30428 76DC 盜n。

2021年高三数学10月月考试卷 理（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合，集合 ，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：因为 ，，所以.考点：集合的交集.2．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由题意可得：()()()()()622lim 2lim 0'000000-==+-+=+-+→→x f h h x f h x f h h x f h x f hh . 考点：导数的定义及应用.3．函数的定义域为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，所以函数的定义域为.考点：函数的定义域.4．已知函数，，若，则（ ）A.1B.2C.3D.-1【答案】A【解析】试题分析：由题意可得：()[]()10115111=⇒=-⇒==-=-a a a f g f a .考点：幂函数方程求解.5．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，又因为分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以.考点：函数奇偶性的应用.6．已知集合，={|，，}，则集合中所有元素之和为（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．【答案】B【解析】试题分析：当或，又因为，所以符合题意；当，，所以符合题意；当，，所以符合题意；当，，所以符合题意；所以，所以集合中所有元素之和为-2.考点：元素与集合的关系.7．曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．B ．C ．2D ．1【答案】C【解析】试题分析：由可得：，所以，所以曲线在点处切线的斜率.考点：导数的几何意义.8．.若则（ ）A. B. C. D.1【答案】B【解析】试题分析：令，则，所以()()()()m m dx x dx m x dx dx x f x dx x f m 2312221021021010210+=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰⎰⎰⎰， 所以考点：定积分的应用.9．下列四个图中，函数的图象可能是（ ）A B C D 【答案】C【解析】试题分析：因为是奇函数，所以向左平移一个单位可得：，所以的图像关于中心对称，故排除A,D当时，恒成立，所以应选C考点：函数的图像.10．如图所示的是函数的大致图象，则等于（）A．B． C．D．【答案】D【解析】试题分析：由图像可得：，所以，由题意可得：是函数的两个极值点，故是方程的根，所以，则.考点：利用导数研究函数极值.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）11．物体运动方程为，则时瞬时速度为【答案】【解析】试题分析：由题意可得：，所以当时瞬时速度为考点：导数的几何意义.12．已知=是奇函数，则实数的值是【答案】【解析】试题分析：因为，所以对于定义域内的所有的有，即：⇒-+-=+++⇒⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎪⎭⎫⎝⎛+++⇒⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎪⎭⎫⎝⎛++axaxxaxaaxaxxaxaaxax211221lg12lg12lg12lg()()111221222222-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+⇒-+=-aaaxaax考点：奇函数性质的应用.13．如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为，拱高为，其面积为____________.【答案】【解析】试题分析：建立如图所示的坐标系：所以设抛物线的方程为所以函数与轴围成的部分的面积为3|34)4(22322222abxabdxxabsaaaa=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=--⎰，所以阴影部分的面积为.考点：定积分的应用.14．不等式的解集为____________．【答案】【解析】试题分析：原不等式等价于设，则在上单调增.所以，原不等式等价于22()(2)212f x f x x x x x >+⇔>+⇔<->或所以原不等式的解集为：.考点：解不等式.15．已知为上增函数，且对任意，都有，则____________．【答案】10【解析】试题分析：令，则且，所以，所以，所以.考点：函数单调性的应用.评卷人得分 三、解答题（题型注释）16．已知函数的定义域为，函数（1）求函数的定义域；（2）若是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意可得：，解此不等式组即可得出函数的定义域；（2）由不等式可得根据单调性得进而可得不等式的解集.试题解析：（1）由题意可知：，解得 3分∴函数的定义域为 4分（2）由得， ∴又∵是奇函数， ∴ 8分又∵在上单调递减，∴ 11分∴的解集为考点：函数的定义域、奇偶性、单调性的应用.17．已知曲线 在点 处的切线 平行直线，且点 在第三象限.（1）求的坐标；（2）若直线 , 且 也过切点 ,求直线的方程.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）根据曲线方程求出导数，因为已知直线的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率都为4，所以令导数等于4得到关于的方程，求出方程的解，即为的横坐标，又因为切点在第三象限，所以即可写出满足条件的切点坐标；（2）直线的斜率为4，根据垂直两直线的斜率之积等于，可得直线的斜率为，又由（1）可知切点的坐标，即可写出直线的方程.试题解析：由，得， 2分由 平行直线得，解之得.当时，; 当时，. 4分又∵点在第三象限,∴切点的坐标为 6分（2）∵直线, 的斜率为4, ∴直线的斜率为, 8分∵过切点,点的坐标为 （－1,－4）∴直线的方程为 11分即 12分考点：利用导数研究曲线方程.18．若实数满足，则称为的不动点．已知函数，其中为常数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点．求实数的值；【答案】（1）当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，；（2）.【解析】试题分析：（1）首先求出函数的导函数，然后根据的取值范围讨论导数的正负进而得出函数的单调区间；（2）由题意可得：，解方程组可得.试题解析：（1）因，故. 1分当时，显然在上单增； 3分当时，由知或. 5分所以，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为， 6分（2）由条件知，于是， 8分即，解得 11分从而. 12分考点：函数性质的综合应用.19．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤，已知甲、乙两地相距100千米（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【答案】（1）17.5；（2）以80千米／小时的速度匀速行驶时耗油最少,最少为11.25升.【解析】试题分析：利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.试题解析：（1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 2分要耗油 4分答当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升 5分（2）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设油耗为升，依题意得（） 7分方法一则（） 8分所以当时，有最小值． 11分方法二 8分＝11.25 10分当且仅当时成立，此时可解得 11分答：当汽车以80千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升． 12分考点：基本不等式及函数模型的应用.20．已知函数,函数（1）当时,求函数的表达式;（2）若,函数在上的最小值是2 ,求的值;（3）在（2）的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）对的取值分类讨论，化简绝对值求出得到和导函数相等，代入到即可；（2）根据基本不等式得到的最小值即可求出；（3）根据（2）知，首先联立直线与函数解析式求出交点，利用定积分求出直线与函数图像围成的区域的面积即可.试题解析：（1）∵,∴当时,，当时,,.∴当时,函数. 4分（2）∵由（1）知当时,,∴当时, 当且仅当时取等号.∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴. 8分（3）由解得∴直线与函数的图象所围成图形的面积= 13分考点：导数及函数单调性、定积分的应用.21．设关于的方程有两个实根，函数.（1）求的值；（2）判断在区间的单调性，并加以证明；（3）若均为正实数，证明：f f λαμβμαλβαβλμλμ⎛⎫⎛⎫++-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【答案】（1）＋；（2）单调递增；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）因为是方程的的两个实根，利用韦达定理即可得到的解析式，求出进而即可求出的值；（2）利用导数及二次函数的图像来讨论导数的正负，即可判断函数的单调性；（3）首先求出的取值范围，然后根据函数的单调性判断出函数值的取值范围，把两个函数值相减即可得到要证的结论.试题解析：（1）∵是方程的两个根， ∴，， 1分∴，又，∴， 3分即，同理可得∴＋ 4分（2）∵， 6分将代入整理的 7分又，∴在区间的单调递增; 8分（3）∵，∴ 10分由（2）可知，同理()()f f f f λαμβμαλβαβλμλμ⎛⎫⎛⎫++-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭12分由（1）可知，，， ∴11()()||||||f f αβαβαβαβαβ--=-==- ∴f f λαμβμαλβαβλμλμ⎛⎫⎛⎫++-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭14分考点：函数与方程、函数的单调性、不等式的证明.I37858 93E2 鏢vCL35541 8AD5 諕731076 7964 祤31161 79B9 禹3@36434 8E52 蹒22231 56D7 囗25356 630C 挌38136 94F8 铸。

上海市格致中学2021届高三数学9月开学考试（含解析）一.填空题1.不等式13x>的解集为________ 【答案】1(0,)3 【解析】【分析】将常数移到左边，通分得到答案. 【详解】11133113300003x x x x x x x -->⇒->⇒>⇒<⇒<< 故答案1(0,)3【点睛】本题考查了分式不等式的解法，属于基础题型.2.已知向量(7,1,5)a =-，(3,4,7)b =-，则||a b +=________【答案】13【解析】【分析】先求出向量a b +=（4，3，12），由此能求出|a b +|．【详解】∵向量()715a =-，，，()347b =-，，， ∴a b +=（4，3，12），∴|a b +|169144=++=13．故答案为：13．【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.如果双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，焦距为8，则实数m =________ 【答案】4-【解析】【分析】先化为标准式，再由焦距为8，列出m 方程，即可得到结论． 【详解】由题意，双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，则223y x m m ---=1，半焦距为4，则﹣m ﹣3m ＝16，∴m ＝﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题．4.函数2()f x x =，(0,)x ∈+∞的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=________【答案】2【解析】【分析】求出原函数的反函数，取x ＝4即可求得f ﹣1（4）．【详解】由y ＝f （x ）＝x 2（x ＞0），得x y =则函数f （x ）＝x 2（x ＞0）的反函数为y ＝f ﹣1（x ）x =∴f ﹣1（4）42==．故答案为：2．【点睛】本题考查反函数的求法及函数值的求法，是基础题．5.若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________【答案】0或2【解析】【分析】方程变形为(2sin cos )cos 0ααα-⋅=，分为两种情况得到答案.【详解】22sin cos cos 0(2sin cos )cos 0cos 0ααααααα⋅-=⇒-⋅=⇒=或2sin cos 0αα-=当cos 0α=时：cot 0α=当2sin cos 0αα-=时：cot 2α=故答案为0或2【点睛】本题考查了三角函数运算，意在考查学生的计算能力.6.若复数z 的实部和虚部相等，且i 2i z a =+（i 是虚数单位），则实数a 的值为________ 【答案】2-【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．详解】由2z i a i=+， 得z ＝i （a +2i ）＝﹣2+ai ， 又∵复数2z i a i=+的实部和虚部相等， ∴a ＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7.已知一组数据1-，1，0，2-，x 的方差为10，则x =________【答案】7或8-【解析】【分析】依据方差公式列出方程，解出即可。

格致中学高三月考数学试卷2018.10一. 填空题1. 设集合A = {2,0,1,9} ，B = {x | x = 2a, a∈A} ，则A B 的所有元素之和为π 2.已知sin(α-)5 3π 5π = ，α∈ ( , ) ，则sin α3. 若lim n →∞4 5(1 -a)n2+ (2 +b)n -3n + 2⎨ ⎩ 4 4= 4 ，则 a + b = 4. 已知(2x 2 - 1)n （ n ∈ N * ）的展开式中各项二项式系数之和为 128，则其展开式中含 1x项的系数是⎧x -1 ≥ 0 5. 已知 x 、 y 满足⎪x - y ≤ 0 ，若⎪x + y - m ≤ 0 yx + 1x 的最大值为2，则m =6.已知函数f (x) =| 2x-1 |-a ，若存在实数x 、x （x ≠x ），使得f (x ) =f (x ) =-1 ，则实数a 的取值范围为1 2 1 2 1 27. 已知复数 z 满足 z + i = 1- z i ，则1 + z + z 2 + ⋅⋅⋅ + z 2018 =8. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 经过坐标原点， n = (3,1) 是l 的一个法向量，已知数列 {a n } 满足：对任意的正整数 n ，点(a n +1, a n ) 均在l 上，若 a 2 = 6 ，则 a 1a 2 a 3a 4 a 5 的值为9. 将 1，2，3，4，5，6 随机排成一列，记为 a ， b ， c ， d ， e ， f ，则 abc + def是偶数的概率为10.在棱形ABCD 中，1 ，，=1BF ⋅AE =AF AD ，DE3EC ，则211.已知椭圆xa2 2y2+= 1 （a >b > 0 ），F 为椭圆的右焦点，AB 为过椭圆中心O 的弦，b2则△ABF 面积的最大值为12.设f (x) 是定义在R 上的以2 为最小正周期的偶函数，在区间[0,1] 上单调递减，且满足⎧1 ≤x ≤ 2f (π) = 1 ，f (2π) = 2 ，则不等式组⎨⎩1 ≤f (x) ≤ 2的解集为二. 选择题13.已知直线a ，若直线b 同时满足下列条件：①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 距离为定值d ；则这样的直线b （）A.唯一确定B. 有两条C. 有四条D. 有无数条14.已知函数f (x) 满足：f (x +y) =f (x) ⋅f ( y) 并且f (1) =1 ，那么( f (1))2( f (2))2( f (3))2( f (1010))2+++⋅⋅⋅的值为（）f (1)6 3 ))+= 2 f (2019)A. 2019B. 1010C. 4038D. 303015. 对于函数 f (x ) ，若存在实数 m ，使得 f (x + m ) - f (m ) 为 R 上的奇函数，则称 f (x ) 是 位差值为 m 的“位差奇函数”，判断下列函数：① f (x ) = 2x +1 ；② f (x ) = x 2 + 2x +1 ； ③ f (x ) = 2x ；④ f (x ) = sin(x + 3π中是“位差奇函数”的有（ ）4A. 1B. 2C. 3D. 416. 如图，一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动， M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点 M 、 N 在大圆内所绘出的图形大致是（ ）A.B.C.D.三. 解答题17. 设 f (x ) = sin x cos x - cos 2(x + π. 4（1） 求 f (x ) 的单调递增区间；（2） 在锐角△ ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 f (A) = 0 ， a = 1，求2△ ABC 面积的最大值.18. 如图所示，在三棱锥 P - ABC 中， PD ⊥ 平面 ABC ，且垂足 D 在棱 AC 上， AD = 1 ，AB = BC = ， CD = 3 ， PD = .（1） 证明：△ PBC 为直角三角形；（2） 求直线 AP 与平面 PBC 所成角θ的正弦值.2 19. 如图，两条相交线段 AB 、 PQ 的四个端点都在椭圆 x y 1 上，其中直线AB 的方 43程为 x = m > 0 ，直线 PQ 的方程为 y = 1x + n .2（1） 若 n = 0 ， ∠BAP = ∠BAQ ，求 m 的值； （2） 探究：是否存在常数 m ，当 n 变化时，恒有∠BAP = ∠BAQ ？ 20. 已知函数 f (x ) =ax2+bx +c x +d（其中a 、b 、c 、d 是实常数，x ≠-d ）.（1）若a = 0 ，函数f (x) 的图像关于点(-1,3) 成中心对称，求b 、d 的值；（2）若函数f (x) 满足条件（1），且对任意x0∈[3,10] ，总有f (x0 ) ∈[3,10] ，求c 的取值范围；（3）若b = 0 ，函数f (x) 是奇函数，f (1) = 0 ，f (-2) =-3，且对任意x ∈[1, +∞) ，不等2式f (mx) +mf (x) < 0 恒成立，求负实数m 的取值范围.21.对于无穷数列{a } ，若对任意n ∈N*，满足an+an +2 ≤a且a ≤M （M 是与n 无关n的常数），则称数列{an} 为T 数列.2n +1 n（1） 若 a = (-1)n （ n ∈ N * ），判断数列{a } 是否为T 数列，说明理由；n（2） 设b2 = 50n -n3 n，求证：数列{b } 是T 数列，并求常数 M 的取值范围； n ( 2) n （3） 设数列c =| p -1 | （ n ∈ N * ， p > 1 ），问数列{c } 是否为T 数列？说明理由. n n n 参考答案一. 填空题1. 342.- 1010 3. 3 4.-84 5. 56. 1 < a < 22 + 39. 25 10. 7 3 11. b12. [π- 2,8 - 2π]二. 选择题13. C14. B 15. B 16. A三. 解答题 π π17.（1）[- + k π, 4 4+ k π] ；（2） . 4 18.（1）证明略；（2） arcsin6. 3 19.（1） m = ±1；（2）存在， m = ±1.20.（1） b = 3 ， d = 1；（2） 3 ≤ c ≤ 31；（3） m < -1 .21.（1）{a } 是T 数列；（2） M ≥ 49 ；（3）{c } 是T 数列.n 4 n a 2 - b 2。