信号与系统第三章习题课3

解：
（1） ℱ[ ]=
（2） ℱ[ ]-2ℱ[ ]
（3） ℱ[ ]-2ℱ[ ]
（4）
14．求图3-9所示梯形脉冲的傅里叶变换，并大致画出 情况下该脉冲的频谱图。
解：①利用线性性质
ℱ[ ]-ℱ[ ]
②利用时域卷积定理
令 ， ，其中
则
ℱ[ ]ℱ[ ]
③利用时域积分性质
令 则
另外，求得一阶导数后，也可直接利用积分性质求解：
（4）
（5）因为
8．试分别利用下列几种方法证明 。
（1）利用符号函数 ；
（2）利用矩形脉冲取极限 ；
（3）利用积分定理 ；
（4）利用单边指数函数取极限 。
证明：（1）略
（2）
（3）略
（4）
9．若 的傅里叶变换为
，如图3-7所示，求 并画图。
解：
10．已知信号 ， 的波形如图3-8(a)所示，若有信号 的波形如图3-8(b)所示。求 。
，
④当 时，
15．已知阶跃函数的傅里叶变换为 ；正弦、余弦函数的傅里叶变换为 ； 。求单边正弦 和单边余弦 的傅里叶变换。
解：同Biblioteka 可求：16．求 的傅里叶逆变换。
解： ，
另一种解法：
17．求信号 的傅氏变换。
解：信号周期为：
则 ，
18．信号 ，若对其进行冲激取样，求使频谱不发生混叠的最低取样频率 。
第三章习题
1．图3-1给出冲激序列 。求 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。
解：
， ，因为偶函数
，上述
2．利用1题的结果求图3-2所示三角波 的三角傅里叶级数。
解：
①利用1题的结果求解：
令
则
，所以
②利用直接法求解：
；
因为信号为去直为奇函数，
所以 ；
，上述
3．已知周期函数 的前 周期波形如图3-3所示。根据下列各种情况的要求，画出 在一个周期的波形 。
（3）
（4）
6．求图3-6所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。
解：
ℱ{ }
ℱ[ ]
ℱ[ ]= ℱ{ }*ℱ[ ]
= *
= [ ]=
7．计算下列信号的傅里叶变换。
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） 。
解：
（1）ℱ[ ]= ℱ[ ]= ℱ[ ]=
（2） ℱ[ ]= ℱ[ ]=
（3）ℱ[ ]=
(a) (b)
解：
11．若已知 ，确定下列信号的傅里叶变换：
（1） ；（2） ；（3） 。
解：
（1）
（2） ℱ[ ]-ℱ[ ]=
（3）
12．已知三角脉冲 的傅里叶变换为 ，试用有关定理求 的傅里叶变换 。
解： ℱ[ ]*ℱ[ ]=
13．若已知 ，确定下列信号的傅里叶变换。
（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。
5．已知周期矩形信号 及 如图3-5所示。求：
（1） 的参数为 ， ， ，则谱线间隔和带宽为多少？
（2） 的参数为 ， ， ，则谱线间隔和带宽为多少？
（3） 与 的基波幅度之比为多少？
（4） 基波幅度与 的三次谐波幅度之比为多少？
解：
（1）谱线间隔为 或
带宽为 或
（2）同理可求：谱线间隔为 或
带宽为 或
解：令 ，则
所以
（1） 是偶函数，只含有偶次谐波；
（2） 是偶函数，只含有奇次谐波；
（3） 是偶函数，含有偶次谐波和奇次谐波；
或
（4） 是奇函数，只含有偶次谐波；
（5） 是奇函数，只含有奇次谐波。
（6） 是奇函数，含有偶次谐波和奇次谐波。
或
4．周期信号 的双边频谱如图3-4所示，求其三角函数表示式。
解：根据 ， 求得