工程力学第8章 梁的弯曲应力与强度计算

梁的弯曲计算剪力计算公式在工程力学中，梁是一种常见的结构元素，用于支撑和承载荷载。

在设计和分析梁的时候，我们需要考虑到梁的弯曲和剪切力。

本文将重点讨论梁的弯曲计算和剪力计算公式，帮助读者更好地理解和应用这些公式。

梁的弯曲计算公式。

在梁的弯曲计算中，我们需要考虑梁的受力情况以及梁的几何形状。

弯曲时梁的受力情况可以用弯矩来描述，弯矩的大小和位置取决于梁的荷载和支撑条件。

在弯曲计算中，我们通常使用以下公式来计算梁的弯矩：M = -EI(d^2y/dx^2)。

其中，M表示弯矩，E表示梁的弹性模量，I表示梁的惯性矩，y表示梁的挠度，x表示梁的位置。

这个公式描述了梁在弯曲时的受力情况，可以帮助我们计算梁的弯曲应力和挠度。

梁的剪力计算公式。

除了弯曲力之外，梁在受荷载时还会产生剪切力。

剪切力是梁上各点间的内力，它的大小和位置取决于梁的荷载和支撑条件。

在剪力计算中，我们通常使用以下公式来计算梁上各点的剪切力：V = dM/dx。

其中，V表示剪切力，M表示弯矩，x表示梁的位置。

这个公式描述了梁上各点的剪切力分布情况，可以帮助我们计算梁的剪切应力和剪切变形。

梁的弯曲和剪力计算实例。

为了更好地理解梁的弯曲和剪力计算，我们可以通过一个实例来说明。

假设有一根长度为L，截面为矩形的梁，受均布荷载w作用。

我们可以根据梁的受力情况和几何形状，计算出梁的弯矩和剪切力分布情况。

首先，我们可以计算出梁的弯矩分布情况。

根据梁的受力情况和几何形状，我们可以得到梁的挠度y(x)的表达式。

然后，我们可以通过弯矩公式M = -EI(d^2y/dx^2)来计算出梁上各点的弯矩分布情况。

接着，我们可以计算出梁上各点的剪切力分布情况。

根据梁的弯矩分布情况，我们可以通过剪切力公式V = dM/dx来计算出梁上各点的剪切力分布情况。

通过以上计算，我们可以得到梁在受均布荷载作用时的弯矩和剪切力分布情况。

这些计算结果可以帮助我们更好地了解梁的受力情况，指导我们设计和分析梁的结构。

梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。

在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。

梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。

梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。

在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。

下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。

1. 弯曲应力计算公式。

梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。

弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。

其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。

弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。

在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。

2. 剪切应力计算公式。

梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。

剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。

其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。

剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。

在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。

3. 轴向应力计算公式。

梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。

轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。

eBook工程力学习题详细解答教师用书(第8章)2011-10-1范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室FAN Qin-Shan ,s Education & Teaching Studio习题8－1 习题8－2 习题8－3 习题8－4 习题8－5 习题8－6 习题8－7 习题8－8 习题8－9 习题8－10 习题8－9 习题8－10习题8－11 习题8－12 习题8－13 习题8－14 习题8－15 习题8－16 习题8－17 习题8－18 习题8－19 习题8－20习题8－21工程力学习题详细解答之八第8章 弯曲强度问题8－1 直径为d 的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为M 的力偶作用，如图所示。

若已知变形后中性层的曲率半径为ρ；材料的弹性模量为E 。

根据d 、ρ、E 可以求得梁所承受的力偶矩M 。

现在有4种答案，请判断哪一种是正确的。

(A) ρ64π4d E M ＝(B) 4π64d E M ρ＝(C) ρ32π3d E M ＝(D) 3π32dE M ρ＝正确答案是 A 。

8－2 矩形截面梁在截面B 处铅垂对称轴和水平对称轴方向上分别作用有F P1和F P2，且F P1=F P2，如图所示。

关于最大拉应力和最大压应力发生在危险截面A 的哪些点上，有4种答案，请判断哪一种是正确的。

(A) +max σ发生在a 点，−max σ发生在b 点M习题8－1图A Ba b cd P2z固定端习题8－2图(B) +max σ发生在c 点，−max σ发生在d 点 (C) +max σ发生在b 点，−max σ发生在a 点 (D) +max σ发生在d 点，−max σ发生在b 点正确答案是 D 。

8－3 关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下4种答案，请判断哪一种是正确的。

(A) 细长梁、弹性范围内加载；(B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。

梁的强度计算是梁设计中的重要环节，主要包括以下几个方面：
抗弯强度计算：梁在弯曲载荷作用下，会产生弯曲变形。

为了确保梁的安全使用，需要计算其抗弯强度。

抗弯强度通常通过材料力学中的弯曲应力公式进行计算，公式中考虑了载荷大小、梁的截面尺寸和材料属性等因素。

剪切强度计算：梁在剪切载荷作用下，会产生剪切变形。

剪切强度同样需要考虑载荷大小、梁的截面尺寸和材料属性等因素。

在某些情况下，剪切强度可能成为梁设计的关键因素，因此需要进行精确计算。

局部强度计算：在梁的某些部位，如支座、集中载荷作用点等，可能存在应力集中的现象。

这些部位的局部强度需要单独进行计算，以确保梁在这些部位不会发生破坏。

稳定性计算：在某些情况下，梁可能会受到稳定性问题的影响。

例如，当梁的长度过长或者截面尺寸过小，或者受到侧向载荷的作用时，都可能导致梁的失稳。

因此，在梁的设计过程中，需要进行稳定性计算，以确保梁在使用过程中保持稳定。

疲劳强度计算：对于承受循环载荷的梁，如车辆、飞机等结构中的梁，需要考虑疲劳强度。

疲劳强度与材料的疲劳性能、载荷的大小和循环次数等因素有关。

在疲劳强度计算中，通常采用疲劳极限公式或者疲劳曲线进行计算。

综上所述，梁的强度计算涉及多个方面，包括抗弯强度、剪切强度、局部强度、稳定性和疲劳强度等。

在进行梁的设计时，需要根据具体情况选择合适的计算方法和控制标准，以确保梁的安全使用。

工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案引言：工程力学是研究物体受力和变形规律的学科，其中弯曲应力和弯曲变形问题是工程力学中的重要内容。

本文将探讨弯曲应力和弯曲变形问题的原因、计算方法以及解决方案，旨在帮助读者更好地理解和应对这一问题。

一、弯曲应力的原因在工程实践中，当梁、梁柱等结构承受外力作用时，由于结构的几何形状和材料的力学性质不同，会导致结构发生弯曲变形。

弯曲应力的产生主要有以下几个原因：1. 外力作用：外力作用是导致结构弯曲的主要原因之一。

例如，悬臂梁受到集中力的作用，会导致梁的一侧拉伸，另一侧压缩，从而产生弯曲应力。

2. 结构几何形状：结构的几何形状对弯曲应力有直接影响。

例如，梁的截面形状不均匀或不对称，会导致弯曲应力的分布不均匀，从而引起结构的弯曲变形。

3. 材料力学性质：材料的力学性质也是导致弯曲应力的重要因素。

不同材料的弹性模量、屈服强度等参数不同，会导致结构在受力时产生不同的弯曲应力。

二、弯曲应力的计算方法为了准确计算弯曲应力，工程力学中提出了一系列的计算方法。

其中最常用的方法是梁的弯曲方程和梁的截面应力分析。

1. 梁的弯曲方程：梁的弯曲方程是描述梁在弯曲过程中受力和变形的重要方程。

根据梁的几何形状和受力情况，可以得到梁的弯曲方程，并通过求解该方程，计算出梁在不同位置的弯曲应力。

2. 梁的截面应力分析：梁的截面应力分析是通过分析梁截面上的应力分布情况，计算出梁在不同位置的弯曲应力。

该方法根据梁的几何形状和材料的力学性质，采用静力学平衡和弹性力学理论，计算出梁截面上的应力分布，并进一步得到梁的弯曲应力。

三、弯曲变形问题的解决方案针对弯曲变形问题，工程力学提出了一系列的解决方案，包括结构改进、材料选择和加固措施等。

1. 结构改进：对于存在弯曲变形问题的结构，可以通过改进结构的几何形状，增加结构的刚度，从而减小结构的弯曲变形。

例如，在梁的设计中，可以增加梁的截面尺寸或改变梁的截面形状，以增加梁的抗弯刚度。

材料力学弯曲应力材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时所产生的应力。

弯曲应力的研究对于工程结构设计和材料选用具有重要意义。

本文将从弯曲应力的概念、计算公式、影响因素等方面进行详细介绍。

弯曲应力是指在材料受到弯曲载荷作用下，横截面上的应力分布情况。

在弯曲过程中，材料上部受到压应力，下部受到拉应力，而中性面则不受应力影响。

根据梁的理论，弯曲应力与弯矩、截面形状以及材料性质有关。

在工程实践中，我们通常使用梁的弯曲应力公式来计算弯曲应力的大小。

梁的弯曲应力公式可以表示为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中性轴到受拉或受压纤维的距离，I为截面的惯性矩。

从公式中可以看出，弯曲应力与弯矩成正比，与截面形状和材料性质有关，截面越大，惯性矩越大，弯曲应力越小。

影响弯曲应力的因素有很多，主要包括载荷大小、截面形状、材料性质等。

首先是载荷大小，当外力作用在梁上时，产生的弯矩大小将直接影响弯曲应力的大小。

其次是截面形状，截面形状不同将导致截面惯性矩不同，进而影响弯曲应力的大小。

最后是材料性质，材料的弹性模量、屈服强度等参数也会对弯曲应力产生影响。

在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来选择合适的截面形状和材料类型，以使得结构在受到弯曲载荷时能够满足强度和刚度的要求。

同时，还需要合理设计结构，减小弯曲应力集中的区域，避免出现应力集中而导致的破坏。

综上所述，弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时产生的应力，其大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。

在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来计算和分析弯曲应力，以保证结构的安全可靠。

同时，合理设计结构和选择合适的材料也是降低弯曲应力的重要手段。

希望本文对于弯曲应力的理解和应用能够有所帮助。

第8章梁的弯曲应力梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。

弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。

所以，弯矩只与横截面上的正应力σ相关，而剪力只与剪应力τ相关。

本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。

并简要介绍一点的应力状态和强度理论。

8.1梁的弯曲正应力平面弯曲情况下，一般梁横截面上既有弯矩又有剪力，如图8.1所示梁的AC、DB段。

而在CD段内，梁横截面上剪力等于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。

下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公式。

应综合考虑变形几何关系、物理关系和静力学关系等三个方面。

8.1.1 弯曲正应力一般公式1、变形几何关系为研究梁弯曲时的变形规律，可通过试验，观察弯曲变形的现象。

取一具有对称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上，画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线ab和cd，如图8.2(a)所示。

然后按图8.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲状态。

从试验中可以观察到图8 .2(b)情况：（1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是横线间作相对转动。

（2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。

（3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加，情况与轴向拉、压时的变形相似。

根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。

前者称为弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。

根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上不存在剪应力。

根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图8.2(c)所示。

中性层与横截面的交线称为中性轴。

对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。