第8讲 分式方程及其应用课件---2024年中考数学一轮复习

1 第8讲 一元二次方程及其应用

1．一元二次方程的概念及解法

考试内容 考试

要求

一元二次方程的概念 只含有 个未知数,且未知数的最高次数是 的整式方程,叫做一元二次方程．它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． a

一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思想是____________________,主要方法有：____________________法、直接开平方法、____________________法、公式法等． c

2.一元二次方程根的判别式

考试内容 考试

要求

根的判别

式的定义 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为____________________．

b

判别式与

根的关系 (1)b2－4ac＞0⇔一元二次方程____________________的实数根；

(2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程____________________的实数根；

(3)b2－4ac＜0⇔一元二次方程____________________实数根．

考试内容 考试

要求

基本 化归与转化思想,一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公c

2 思想 式法、因式分解法,都是运用了“转化”的思想,把待解决的问题(一元二次方程),通过转化,归结为已解决的问题(一元一次方程),也就是不断地把“未知”转化为“已知”．

基本

方法 对系数特点采用不同方法的最优化解题策略,养成先观察后动笔的解题习惯．一般情况下：(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法时,可考虑用公式法；(3)除特别指明外,一般不用配方法．

1．(2015·温州)若关于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等实数根,则c的值是( )

A．－1 B．1 C．－4 D．4

第8讲 一元二次方程及其应用

1．一元二次方程的概念及解法

考试内容 考试

要求

一元二次方程的概念 只含有 个未知数，且未知数的最高次数是 的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． a

一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思想是____________________，主要方法有：____________________法、直接开平方法、____________________法、公式法等． c

2.一元二次方程根的判别式

考试内容 考试

要求

根的判别

式的定义 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为____________________．

b

判别式与

根的关系 (1)b2－4ac＞0⇔一元二次方程____________________的实数根；

(2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程____________________的实数根；

(3)b2－4ac＜0⇔一元二次方程____________________实数根．

考试内容 考试

要求

基本 化归与转化思想，一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、c 思想 公式法、因式分解法，都是运用了“转化”的思想，把待解决的问题(一元二次方程)，通过转化，归结为已解决的问题(一元一次方程)，也就是不断地把“未知”转化为“已知”．

基本

方法 对系数特点采用不同方法的最优化解题策略，养成先观察后动笔的解题习惯．一般情况下：(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法时，可考虑用公式法；(3)除特别指明外，一般不用配方法．

1．(2015·温州)若关于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等实数根，则c的值是( )

A．－1 B．1 C．－4 D．4

第8讲分式方程及其应用

1．分式方程定义

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2．分式方程解法

分式方程转化为整式方程，解方程，求出解，代入最简公分母进行检验，得出分式方程的解．

3．分式方程的增根

使最简公分母为0的根．

注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整

式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．

4．分式方程的实际应用

(1)分式方程的实际应用常见类型及关系：

①工程问题：

工作效率＝工作量工作时间；工作时间＝工作量工作效率；

②销售问题：售价＝标价×折扣；

③行程问题：时间＝路程速度.

(2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤：

①审：审清题意；

②设：设出适当的未知数(直接设未知数或者间接设未知数)；

③找：找出各量之间的等量关系；

④列：根据等量关系，列出分式方程；

⑤解：解这个分式方程；

⑥验：检验所求的解是否是原分式方程的解，是否满足题意；

⑦答：写出答案．

审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点．

考点1：分式方程的解法

【例题1】解方程：23x－1－1＝36x－2.

考点2：分式方程的应用

【例题2(2018·吉林)如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．

解分式方程：甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修

20米，求甲队每天修路的长度．

冰冰：400x＝600x＋20庆庆：600y－400y＝20

根据以上信息，解答下列问题．

(1)冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；

庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路400米所用时间；

(2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；

(3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．

考点3：分式方程与其它问题的综合应用

【例题3】（2019•山东潍坊•10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批

1 专题08 分式方程及其应用

1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

（1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);

（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值;

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方程的根。

【例题1】（2019•湖北孝感）方程＝的解为 ．

【答案】x＝1．

【解析】解一个分式方程时，可按照“一去（去分母）、二解（解整式方程）、三检验（检查求出的根是否是增根）”的步骤求出方程的解即可．注意：解分式方程时，最后一步的验根很关键．观察可得方程最简公分母为2x（x+3）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．两边同时乘2x（x+3），得

x+3＝4x，

解得x＝1．

经检验x＝1是原分式方程的根．

【例题2】（2019黑龙东地区）已知关于x的分式方程213xmx 的解是非正数，则m的取值范围是（ ）

A．m≤3 B．m＜3 C．m＞－3 D．m≥－3

【答案】A

【解析】知识点是分式方程的增根。

由213xmx得x=m-3，

∵方程的解是非正数， 专题知识回顾

专题典型题考法及解析

2 ∴m-3≤0，∴m≤3.

当x-3=0即x=3时，3=m-3，m=6，

∵m=6不在m≤3内，∴m≤3.故选A.

【例题3】（2019•广东省广州市）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（ ）

A．＝ B．＝

C．＝ D．＝

【答案】

【解析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．

设甲每小时做x个零件，可得：