本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代【精品推荐-doc】

复数的加、减、乘、除的运算法则主标题：复数的加、减、乘、除的运算法则副标题：为学生详细的分析复数的加、减、乘、除的运算法则的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：复数的加、减、乘、除，运算法则，知识总结难度：3重要程度：5考点剖析：本考点包括复数的加、减、乘、除的运算，要会进行复数代数形式的四则运算。

命题方向：1.复数的代数运算是近几年高考的热点．2.题型以选择题和填空题为主，比较简单.规律总结：1.复数的运算规律总结设12,z a bi z c di =+=+，(a ，b ，c ，d ∈R)，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi)·(c＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ；(4)除法：z 1z 2＝a ＋bi c ＋di ＝ a ＋bi c －di c ＋di c －di ＝ ac ＋bd ＋ bc －ad i c 2＋d 2(c ＋di≠0)． 复数的代数运算中常用的结论：()212i i ±=±；11i i i +=-；11i i i-=-+ 复数的运算律：复数的加法满足：对任意123,,z z z C ∈，(1)交换律：1221z z z z +=+(2) 结合律:()()123123z z z z z z ++=++复数的乘法满足：(1)交换律：1221z z z z =(2) 结合律:()()123123z z z z z z =(3)分配律：()1231213z z z z z z z +=+导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

关键词：导数，极值，最值，备考策略难度：4重要程度：5内容考点一 利用导数研究函数的单调性【例1】设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2.(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围．解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，∴f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)．令f ′(x )>0，即x (e x －2)>0，∴x >ln 2或x <0.令f ′(x )<0，即x (e x －2)<0，∴0<x <ln 2.因此函数f (x )的递减区间是(0，ln 2)；递增区间是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)．(2)易知f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )．∵f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，∴当x ≥0时，f ′(x )＝x (e x －2k )≥0恒成立．∴e x －2k ≥0，即2k ≤e x 恒成立．由于e x ≥1，∴2k ≤1，则k ≤12.又当k ＝12时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0当且仅当x ＝0时取等号．因此，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. 【备考策略】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．考点二 利用导数研究函数的极值【例2】 设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．审题路线 (1)由f ′(1)＝0⇒求a 的值．(2)确定函数定义域⇒对f (x )求导，并求f ′(x )＝0⇒判断根左，右f ′(x )的符号⇒确定极值．解 (1)由f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，∴f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，∴该切线斜率为0，即f ′(1)＝0.从而a －12＋32＝0，∴a ＝－1.(2)由(1)知，f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，∴f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝(3x ＋1)(x －1)2x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，f (x )无极大值．【备考策略】 (1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．考点三 利用导数求函数的最值【例3】已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值为c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．审题路线 (1)⎩⎨⎧f ′(2)＝0，f (2)＝c －16⇒a ，b 的值； (2)求导确定函数的极大值⇒求得c 值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．解 (1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16. 化简得⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表： f (2)＝c －16.由题设条件知，16＋c ＝28，解得c ＝12，此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝c －16＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.【备考策略】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．。

复数转换知识点总结数学复数是数学中一个重要的概念，它在代数、几何和物理等领域都有着广泛的应用。

复数指的是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i²=-1。

在实际问题中，我们经常需要进行复数的运算、转换和简化，因此对复数的转换知识点有着重要的理解和掌握。

1. 复数的标准形式复数可以用多种不同的形式来表示，但最常见的是标准形式，即a+bi的形式。

在进行复数运算和转换时，首先需要将复数转换为标准形式，这样可以更方便地进行计算和理解。

2. 实部和虚部复数a+bi中，a称为实部，b称为虚部。

实部和虚部分别代表了复数在实轴和虚轴上的坐标，实部决定复数在实轴上的位置，虚部决定复数在虚轴上的位置。

实部和虚部的概念在复数的运算和转换中起着重要的作用，需要特别注意理解和运用。

3. 复数加减运算对于复数a+bi和c+di，它们的加法和减法可以分别表示为(a+c)+(b+d)i和(a-c)+(b-d)i。

即实部相加（减），虚部相加（减）。

在实际问题中，我们需要根据具体情况进行复数的加减运算，然后简化结果，以得到最终的答案。

4. 复数乘法对于复数a+bi和c+di，它们的乘法可以表示为(ac-bd)+(ad+bc)i。

即在乘法运算中，首先分别计算出实部和虚部的乘积，然后合并得到最终的结果。

复数的乘法是复数运算中比较复杂的一部分，需要掌握正确的计算方法和技巧。

5. 复数除法对于复数a+bi和c+di，它们的除法需要进行有理化，得到(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)i)/(c²+d²)的形式。

复数的除法相对而言较为繁琐，需要仔细计算和化简，确保得到正确的结果。

6. 共轭复数对于复数a+bi，它的共轭复数定义为a-bi。

共轭复数在复数运算中有着特殊的作用，可以帮助我们进行除法运算、求模运算和求实部虚部等。

掌握共轭复数的性质和运用是复数运算中很重要的一部分。

数学中的复数运算应用技巧复数是数学中一种重要的概念，它在工程学、物理学等领域中有着广泛的应用。

复数的运算是复数应用的基础，下面将介绍一些数学中常见的复数运算应用技巧。

一、复数的表示方式复数通常表示为a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位。

实数部分和虚数部分都可以是任意实数。

复数的表示方式有两种常用形式：代数形式和极坐标形式。

代数形式：复数a+bi表示一个平面上的点，横坐标为a，纵坐标为b。

极坐标形式：复数r(cosθ+isinθ)表示一个和原点的距离为r、与x轴正方向的夹角为θ的极坐标点。

二、复数的四则运算复数的四则运算与实数的四则运算类似，但要注意虚部的运算。

下面分别介绍加法、减法、乘法和除法的运算规则。

1. 加法：将两个复数的实部相加，虚部相加，得到新的复数。

例如，对于复数a+bi和c+di的相加，结果为(a+c)+(b+d)i。

2. 减法：将两个复数的实部相减，虚部相减，得到新的复数。

例如，对于复数a+bi和c+di的相减，结果为(a-c)+(b-d)i。

3. 乘法：将两个复数进行分配律展开计算。

例如，对于复数a+bi和c+di的相乘，结果为(ac-bd)+(ad+bc)i。

4. 除法：将两个复数的乘法结果与除数的平方和进行除法运算。

例如，对于复数a+bi和c+di的相除，结果为((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。

三、复数运算的应用技巧1. 求模和共轭：复数的模表示复数到原点的距离，并且模的平方等于复数乘以共轭的结果。

例如，对于复数a+bi，其模为√(a^2+b^2)。

共轭复数表示将复数的虚部取相反数得到的新的复数。

例如，对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。

2. 约简运算：对于复数的乘法和除法，可以将复数分别写成代数形式和极坐标形式进行运算，最后再转换回代数形式。

例如，对于复数a+bi和c+di的相乘，可以先将其转换成极坐标形式，即r(cosθ+isinθ)，再进行乘法运算，最后再转换回代数形式。

复数的加法与减法运算一. 教学内容：复数的加法与减法运算二. 重点、难点：1. 复数的加法：（）法则：，，，，1()()()()a bi c di a cb d i a bcd R+++=+++∈显然，复数的加法法则与多项式加法法则相类似，可类比记忆，按照以上的运算法则，保首尾相接的两个向量分别表示复数z1，z2，则表示复数z1＋z2，以上的平行四边形法则或三角形法则就是复数加法的几何意义，它与物理学上的力的合成分解的平行四边形或三角形法则有着相同的本质。

如此以来，也可以把向量的加法转化成复数的加法。

2. 复数的减法：（）法则：，，，，1()()()()a bi c di a cb d i a bcd R+-+=-+-∈由于减法是加法的逆运算，上述运算法则容易由复数加法的法则以及复数相等的概念而导出，因此减法法则从属于加法法则。

（2）几何意义：设向量OZ1，OZ2分别表示复数z1，z2，则以z1为起点，z2为终点的向量Z1Z2表示复数z2－z1，即差向量的方向指向被减数。

3. （1 （2）由以上复数形式的距离公式，可得某些曲线的复数形式的方程： 复平面内以为圆心，为半径的圆的方程为Z r z z r r 000||()-=> 复平面内以，为焦点的，长轴长为的椭圆方程为：Z Z a 122 ||||(||)z z z z a a a Z Z -+-=>>1212202且复平面内以，为焦点，实轴长为的双曲线方程为：Z Z a 122 ||||||(||)z z z z a a a Z Z ---=><1212202且复平面上以点，为端点的线段的垂直平分线方程为：Z Z 12||||z z z z -=-12如此以来，复数问题与解析几何问题就建立了联系，有些解析几何问题（如轨迹问题）可化为复数问题，当然，有些复数问题亦可转化为解析几何问题加以解决，这是数形结合解决问题的出发点。

复数极坐标形式加减运算规则1. 复数的入门知识说到复数，很多人可能会皱眉，觉得这东西就像是高深莫测的黑暗料理。

但是，放心吧，今天我们不搞复杂的公式，只聊聊复数的极坐标形式，轻松加减就行。

想象一下，你在逛超市，看到一个新奇的商品，心里想着：“哎呀，这东西我得试试！”复数也是如此，稍微用点心，就能让你领略到它的魅力。

复数其实就是一个由实部和虚部组成的数，比如说 ( z = a + bi )。

在这里，( a ) 是实部，( b ) 是虚部，而 ( i ) 则是那神秘的虚数单位，等于 (sqrt{1)。

不过，当我们把复数用极坐标的形式表达出来时，情况就有趣了：复数可以表示成 ( z = r(cos theta + i sin theta) )，其中 ( r ) 是模长，代表到原点的距离，而 ( theta ) 是角度，代表方向。

听起来是不是有点像在讲导航系统？没错，复数也有它的“方向感”呢！2. 复数的加法2.1 极坐标加法的概念说到加法，大家都知道这是一件简单的事。

但在复数的世界里，加法就像是调味品，得看你怎么用。

在极坐标形式下，如果我们要把两个复数相加，首先得找到它们的“模长”和“角度”。

比如说，有两个复数 ( z_1 = r_1(cos theta_1 + i sin theta_1) ) 和 ( z_2 =r_2(cos theta_2 + i sin theta_2) )。

这俩家伙就像是不同的乐器，要合作出一首动听的曲子。

2.2 加法的公式那么，加法怎么做呢？简单来说，我们需要把它们的模长和角度结合起来。

可以使用“矢量加法”这个概念，把这两个复数看作是在平面上的两个向量，然后用平行四边形法则来找出它们的和。

这就好比你和朋友在公园里一起散步，你向东走，朋友向北走，最后你们的目标就会是两个人的结合点。

其实在数学上，我们通过将两个复数的角度和模长进行转换，最后得到一个新的复数。

3. 复数的减法3.1 极坐标减法的技巧接下来，我们聊聊减法。

计算器复数的计算方法.doc用计算器计算复数(KK-82MS-1)三、计算举例模式：MODE CLR↓1。

1.代数式化成极坐标式例如： 3 + j 4 = 5 /53.13o步骤：POL↓(3,4)。

结果=5；在按键rcl↓F↓。

结果等于53.13.2. 极坐标化成代数式例如： 15 /-50o = 9.64- j11.49按键步骤：SHIFT↓REC↓（15，-50）。

结果等于9.64.再按rcl↓F 。

结果等于-11.49.3. 代数式的加减乘除例如： ( 5 - j 4 ) × ( 6 + j 3 ) = 42 - j 9 = 42.953/-12.095o步骤：先进行简单的加减运算得到42 - j 9。

POL↓(42,-9)。

结果等于42.953；再rcl↓F。

结果等于-12.095.例 ( 5 - j 4 ) + ( 6 + j 3 ) = 11 - j 1 = 11.045 /-5.1944o( 5 - j 4 ) - ( 6 + j 3 ) = -1 - j 7 = 7.071 /-98.13o( 5 - j 4 ) ÷ ( 6 + j 3 ) = 0.4 - j 0.8667 = 0.9545 /-65.2249o4.极坐标式的加减乘除例如：5 /40o + 20 /-30o = 21.15 - j 6.786 =22.213/-17.788o步骤：先将5 /40o化成代数式3.83+ 3.214j，将 20 /-30o化成代数式17.32-j10；然后两式相加21.15-j6.786.然后转换成极坐标。

如进行其它运算只需将乘号换成要进行的计算号即可。

这里只给出计算结果请同学自己进行练习对比。

5 /40o - 20 /-30o = -13.49 - j 13.2139 = 22.213/135.5929o 5 /40o×20 /-30o = 98.48 - j 17.3648 = 100/10o5 /40o÷20 /-30o = 0.0855 - j 0.2349 = 0.25/70o。

第八章相量图和相量法求解电路一、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。

2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。

3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。

4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况。

5、掌握最大功率传输的概念，及在不同情况下的最大传输条件。

二、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。

2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。

三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。

§8.1 复数相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表示形式及运算规则。

1. 复数的四种表示形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表示为： Re[A]=a Im[A]=b 。

图 8.1 为复数在复平面的表示。

图 8.1根据图 8.1 得复数的三角形式：两种表示法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关系，这对复数的运算非常重要。

2. 复数的运算(1) 加减运算——采用代数形式比较方便。

若则即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。

复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得，如图8.2所示。

图 8.2(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式比较方便。

若则即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。

除法运算满足模相除，辐角相减，如图8.3示。

图 8.3 图 8.4(3) 旋转因子：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转一个角度θ，而模不变，如图 8.4 所示。

复数的加、减、乘、除的运算法则备考策略
主标题：复数的加、减、乘、除的运算法则备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

关键词：复数的加、减、乘、除，运算法则，备考策略
难度：3
重要程度：5
内容：
1、复数加法和减法的运算法则?
2、复数的加法满足哪些运算律？
3、复数乘法和除法的运算法则？
4、复数的乘法满足哪些运算律？
思维规律解题
考点一：复数的加法运算
例1：计算(5－6i)＋(－2－i)。

考点二：复数的减法运算
例2：计算5－(3＋2i)
考点三：复数的乘法运算
例3：计算：(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)
考点四：复数的除法运算
例4：计算：(1－2i)÷(3＋4i)
考点五：复数代数形式的四则运算
例5：计算()()2
542i i i ++ 考点六：实数系数的一元二次方程的根
例6：已知2i －3是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值。

思维误区
误区一：把复数当做实数运算
判断：12,z z 是复数，120z z ->，那么12z z >。

误区二：忽视纯虚数的平方为负数
判断：若22
120
z z
+=，则
120
z z
==。

误区三：计算失误
设i为虚数单位，复数1
2
ai
i
+
-
为纯虚数，求实数a。

第八章相量法
例8-1计算复数
解：
本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式。

例8-2计算复数
解：
本题说明进行复数的乘除运算时应先把代数形式转为极坐标形式。

例8-3已知正弦电流波形如图所示，ω＝ 103rad/s ，
（1）写出正弦i(t) 表达式；
（2）求正弦电流最大值发生的时间 t1
解：根据图示可知电流的最大值为 100A ， t=0 时电流为 50A ，因此有：
解得由于最大值发生在计时起点右侧故取
所以
当时电流取得最大值，即：
例8-4计算下列两正弦量的相位差。

解：（1）
转为主值范围：
说明i1滞后i2。

（2）先把i2变为余弦函数：
则
说明i1超前i2。

（3）因为两个正弦量的角频率，故不能比较相位差。

（4）
则
说明i1超前i2
本题说明两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。

例8-5计算两正弦电压之和，已知：
解：两正弦电压对应的相量为 :
相量之和为：
所以
本题也可借助相量图计算，如下图所示。

相量图
例8-6试判断下列表达式的正、误，并给出正确结果。

解：（1）错，瞬时式和相量混淆，正确写法为：
（2）错，瞬时式不能和相量相等，正确写法为：
（4）对
3）错，有效值和相量混淆，正确写法为：
（5）错，感抗和容抗混淆，正确写法为：
（6）错，有效值和相量混淆，正确写法为：
（7）错，电容和电感的VCR混淆，正确写法为：或。