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第八章相量法

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【第8章】 相量法

【第8章】 相量法
实轴 +1
复数在复平面上可 以用向量表示。
0
a1
2. 复数的四种表示形式
⑴ 表达式 ① 代数形式 A= a1+ ja2 +j a2 A
② 极坐标形式
③ 三角函数式 ④ 指数形式
0 模 幅角 A a cos j + j a sin j
A aj
a φ
a1 +1
A ae jj
（由欧拉公式e jφ = cos φ + jsin φ得到） ⑵ 四种表达式关系
I e jy i I y I m m m i
复振幅与正弦量的一一对应关系： 复振幅的模是正弦量的最大值 复振幅的幅角为正弦量的初相位
jy i I Ie Iy i 复有效值
复有效值与正弦量的一一对应关系： 复有效值的模是正弦量的有效值 复有效值的幅角为正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
φ =0，同相； i i1
0 i2
φ = (180o) ，反相； i i1 i2
wt
0 i i1
wt
φ = /2，正交；
i2
wt 因为规定了： |φ| (180°)。 0 所以，我们说i1 领先 i2 /2, 而不说i2落后i1 3 /2
注：我们此处比较的是两个电流的相位差，那么，我们是 否可以比较一个电压和一个电流的相位差？在今后的分析 中可以利用电压和电流的相位差来判断电路的性质。
线圈从中性面开始转过了ωt 时，导线切割磁 力线的速度是ωr SIN ωt
可见：交流电是电流的大小和方向都随时间做周期 性变化的电流。
交流电有许多优点: •交流电可以用变压器升高或降低电压， •交流电可以驱动结构简单，运行可靠的交流 感应电动机，交流电是廉价的动力或能量来源。

第08章 相量法

第08章 相量法
而
i Re[ 2 I e jt ]
j t

] Re[ 2 I 2 e

j t
]

有 Re[ 2 I e

Re[ 2 ( I1 I 2 )e jt ] ]


上式对于任何时刻 t 都成立，故有
I I1 I 2
I


2
, e
j

2
cos

2
j sin

2
j
I
0
jI
Re
, e 2
j 2
cos( ) j sin( ) j 2 2
, e
j
cos( ) j sin( ) 1
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
F1 F2
F1
F1 F2
F2
+1
O
F2
3、乘法 用指数形式比较方便 设 F | F |
1 1
1
F2 | F2 | 2
F1 F2 F1 1 F2 2
F1 F2 / 1 2
4、除法
F1 F2
| F1 | 1
| F2 | 2

F1 F2
b
+j F

O a
+1
2、三角形式
+j
F F (cos j sin )
F
b

O a
模
+1
F
a b
2
2
辐角
b arctan a
3、指数形式

第八章 相量法

第八章 相量法
2
t φ
2、 φ<0；即ψ1<ψ2，则u1滞后 2φ角。 、 滞后u 角 ； ψ u u =u +u u2 φ 3、 φ=0； 3、 φ=0；即ψ1=ψ2， ψ 同相。 则u1与u2同相。 u u1 u2 t Um= Um1+Um2 u1 t =Um1cos(ωt+ψ1)+ Um2cos(ωt+ψ2) ψ ψ =Umcos(ωt+ψ) ψ Um× m1+Um2 =U ψ ≠ ψ1+ ψ2 4、 φ=±π；即ψ1=ψ2 ±π ， 、 ± ； ψ 反相。 则u1与u2反相。 u u u1
例 1： I R 4V
–j 1 jωL ωC
10V 7V U=？ ？ 方法一： 方法一：相量图法 UL 10V 3V 7V UC U 4V UR I U=5V
解：串联电路电流 相同，而R、L、C上电 相同， 、 、 上电 压的相位不同。所以， 压的相位不同。所以， 不能直接用有效值相加。 不能直接用有效值相加。 方法二： 方法二：相量法 设： I =I 0º 则：UR = 4 0º V UC= 7 –90º V
相量形式电路图 I U 相量图
相量关系既反映了u、 相量关系既反映了 、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。 值关系又反映了相位的关系。

若： = 2 Icos(ωt+ψi ) i i L di i u=L dt = – 2 IωLsin(ωt+ψi ) 则： t u = 2 IωLsin(ωt+ψi +90º) 比较u 的表达式 的表达式： 比较 、i的表达式： = 2 Ucos(ωt+ψu ) ψ ①u、i 同频率 、 ② ψu= ψi +90º 电感上电压相位超前电流相位 。 电感上电压相位超前电流相位90º。 U 感抗 = ωL =XL 有效值关系： ③有效值关系： U=IωL I 直流： 直流：ω=0, XL=0, 电路短路 感抗与ω成正比 成正比,ω↑ 感抗与 成正比 ↑,XL↑ 高频交流： →∞,电路断路 高频交流： XL→∞ 电路断路 相量关系： ④相量关系： I jωL U U =jωL=jX I 相量图 U L I 相量形式电路图

第八章 相量法(Phasor method

第八章 相量法(Phasor method
k =1
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20

第八章 相量法

第八章 相量法

w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒 i Im O T 2
(3) 初相位(initial phase angle) i 反映正弦量的计时起点。
/w i
twt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i
一般规定：| | 。
O
t
=0 =－/2
二. 相位差 ：
T
0
1 cos 2(w t i ) 1 dt t 2 2
T 0
1 T 2
1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2
i(t ) I m cos(w t i ) 2I cos(w t i )
Im 2I
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
u( t ) u1 ( t ) u2 ( t ) Re( 2 U 1 e Re( 2 U 1 e
可得其相量关系为：



jwt
) Re( 2 U 2 e jwt )


jwt
2U2 e

jwt
) Re( 2 (U 1 U 2 )e jwt )
U U1 U 2
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u( t ) 2U cos(w t θ ) U Uθ
例1 已知
i 141.4 cos(314t 30o )A u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
e cos j sin
指数形式
F=|F|（cos + jsin ）

第8章 相量法_电气09级

第8章 相量法_电气09级
*注意区分电压、电流的瞬时值、 注意区分电压、电流的瞬时值、 注意区分电压 最大值、有效值的符号。 最大值、有效值的符号。 宁波工程学院
i , Im , I
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8-23
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第8章 相量法 章
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 ———— 同理，正弦电压有效值： 同理，正弦电压有效值： 1 T 2 I = √ —∫ 0 i dt 1 T U= Um 2 i = Imcos( ωt + ϕ ) 或 Um = 2U —————————— Im
+j b
F
F=a+jb
F
θ
称为复数 的模 +1
0
a
——— F = √ a2 + b2
a = Fcos θ b = Fsin θ
宁波工程学院
θ = arg F = arctan ( b/a )
称为复数 的辐角
8-5
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第8章 相量法 章
3 指数形式和极坐标形式
指数形式 欧拉公式
F = F(cosθ + jsinθ ) = Fe jθ e jθ = cosθ + jsinθ F = F/θ
正弦交流电变化的快慢； 正弦交流电变化的快慢； ϕu、ϕi 为正弦交流电的初相位。 为正弦交流电的初相位。
相位角
u = Umcos ( ωt + ϕu ) or u = Umsin( ωt + ϕu ) 瞬时值： 瞬时值：
宁波工程学院 简称相角或相（ u = U m cos(ω t + ϕ u ) 简称相角或相 phase） 单位：弧度或度 单位： i = I m cos(ω t + ϕ i )

第8章相量法

o o
式 原 = (3.41+ j3.657) + (9.063 − j4.226) o =12.47 − j0.569 =12.48∠− 2.61
o
(17 + j9) (4 + j6) 220 ∠ + 35 =? 例2 20+ 20 + j5 19.24∠27.9o ×7.211∠ .3o 56 解 原 =180.2 + j .2 + 126 式 20.62∠ .04o 14 =180.2 + j .2 + 6.728∠ .16o 126 70
ωt
ϕ1
i2 = I m2 cos(ω t + ϕ
i1 = I m1 cos(ω t − ϕ 1 )
2
)
称
i2
超前
ϕ = (ω t +ϕ 2 ) − (ω t −ϕ 1 ) = ϕ 2+ϕ1
i1
第8章相量法 特殊相位关系： 特殊相位关系：
ϕ =±π (±180o ) ，反相： 反相： ±π ±
u, i u iω t
正弦波 特征量之二 -- 幅度
第8章相量法
最大值
电量名称必须大 写,下标加 m。
i = I m cos (ω t + ϕ )
I m 为正弦电流的最大值
如：Um、Im
在工程应用中常用有效值表示幅度。 在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电 有效值表示幅度 表指示的电压、电流读数， 表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效 也是指供电电压的有效值。 值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。 标准电压
第8章相量法
第8章 相量法
§8.1 复数 §8.2 正弦量的基本概念 §8.3 正弦量的相量表示 §8.4 电路定理的相量形式

第08章 相量法

α= π
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念

电路原理课件 第8章 相量法


三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A

第八章相量法

i i
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
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d (t )
dt
频率f —— 周期函数每秒变化的次数
周期T、频率f、角频率之间的关系：
T 1 ， 2f 2
f
T
(2) 正弦量的初相(位):
正弦量的相位：(t + )
正弦量的初相: 为 t =0 时的相位。 正弦量的初相 的确定：
量值 取主值范围的原点到正最大值之间的值.
符号
在原点的左边为正、右边为负
(1)正弦量的相量表示法
u(t) Um cos(t ) Re[Ume j(t) ] Re[(Ume j )e jt ] Re[(Um)e jt ]
u(t) 2U cos(t ) Re[( 2U)e jt ] 该式表明: 实函数与复函数一一对应
(2)相量概念引出 :
U U
+j
U
u
U 一一对应
U
u 2U cos(t ) U U
(3)相量图:
O
+1
图 有效值相量的相量图
对电流亦然:
i(t) Im cos(t ) Re[Ime j(t) ] Re[(Ime j )e jt ] Re[(Im)e jt ]
i(t) 2I cos(t ) Re[( 2I)e jt ]
I I
+j
+j
一 . 复数 b
1. 复数表达式与复平面
(１) 代数形式 (２) 三角形式
A a jb
O
A A cos j A sin
(３) 指数形式 (４) 极坐标形式
A A e j
A A
复平面 A
|A|
a
a A cos
b A sin A a2 b2
tg b a
2. 复数运算___复数的加减乘除
T0 Im 2I
i(t) 2I cos(t )
u(t) Um cos(t u )
Ut u)
三. 相量法的基础
1. 相量法的引入
重要结论 : 激励产生 响应
相量法： 从求正弦量的幅值和初相角入手，通过 引 入相量，建立相量电路模型，直接应用直流分 析方法，把在时域范围内求微分方程的问题转化 为在频域范围内求复数代数方程的问题，从而使 正弦电路的稳态解法大为简化。
2 . 了解相量法的引入思想，正确理解相量 的定义、性质。
3 . 复习复数的性质和基本运算。
问题的引入___特解及稳态响应问题
如图所示,为RL一阶 电路的正弦稳态响应
其特解及稳态响应 用经典法求解是困难的.
解决的方法之一,是 相量法.
t=0
+ uS
_
R
i( t )
+ uL(t)
_L
uS Um cos(t u )
i(A) Im
O 2
-Im
t(rad)
2. 同频率正弦量的相位差:
设 u(t)=Umsin( t + u), i(t)=Imsin( t + i ) 相位差 = ( t + u) - ( t + i)= u - i (1) >0， u 领先(超前)i ，或i 落后(滞后) u
(2) <0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
A A
B B a
+j
+j
A O
+j A
O
C A B
复数加法的平行四边形法和三角形法
+j A B
B O C -A 复数减法的平行四边形法和三角形法
C A B
C
乘法运算：
除法运算：
+j
C
B
b
a + b
b
A
O
+1
复数的乘法
C A B A B (a b )
+j
A
B
+1
O
a- b
C
复数的除法
C
•
Um
311 .1 60
例8-3
已知
•
I
5015o
A,
•
f 50Hz , U m 50 65V
试写出电流的瞬时值表达式。
解： i 50 2 sin(314t 15o ) A
u 50 sin( 314t 65 )V
旋转相量与正弦量
+1
2Ie jt 2Ie j(t)
2I cos(t ) j 2I sin(t )
2 . 相量的性质和运算法则
(1)同频率正弦量的和差运算就变成了对应相量的 和差运算
I
i
I 一一对应
I
u 2I cos(t ) I I
O
+1
图 有效值相量的相量图
例8-2
已知
i 141.4sin(314t 30o )A u 311.1sin(314t 60o )V
试用相量表示 i、u 。
解：
•
I 10030o A
•
U 220 60o V
或
•
I m 141 .430
Re[ 2Ie jt ]
+j
O
O
t
t1
t2
t1
t2 t
Im[ 2Ie jt ]
i(t) 2I cos(t ) Re[ 2Ie jt ]
一个初始相位为、为角频率逆时针 旋转的相量，在实数轴上的投影的长度将 按照余弦函数规律变化，而在虚数轴上的 投影的长度将按照正弦函数规律变化。
图 旋转相量与正弦量示意图
A -jB
O
+1
旋转因子示意
二. 正弦量
1.正弦量的基本概念
(1)正弦量的三要素 变化的幅度——幅值Im
i(t) Im cos(t )
变化的快慢——角频率
变化的计时起点——初相(角)
i(A) Im
O 2
-Im
t(rad)
周期T——最小正周期T f (t) f (t T )
角频率 ——相角（t ）随时间变化的速度
u, i u i
0
t
u i
(3) = 0， u与i 同相：
u, i
u
i
0
t
(4) = ( 180o ) ， u与i 反相：
u, i
i
u
0
t
(5) = 90°，u与i 正交
u, i u i
0
t
规定： | | (180°)
3 . 有效值
i(t) Im cos(t i )
I 1 T i2dt
第八章 相量法
§8-1 相量 §8-2 正弦量的相量表示 §8-3 电阻、电感和电容元件上电压
和电流的相量关系
§8-4 电路定律的相量形式和电路的 相量模型
本次课要点
1 相量及引入思想 2 电路定律的相量形式及电路的相量模型 3 阻抗(导纳)及其三角形关系
要求:
1 . 掌握正弦量的三要素，掌握初相与相位 差的定义、量值、符号、性质。
A B
A
B (a b )
3. 旋转因子： e j 1
任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角.
例8-1 F=F1e j
特殊：
j
e 2 j
( 逆时针旋转90 )
j
e 2 j
( 顺时针旋转90 )
e j( ) cos( ) j sin( ) 1 B
j F
F1
+1
+j
jA
+j , –j , -1 都可以看成旋转因子