第八章 相量法

+i _
5 0.2F
515 I
1 jX C j 6 j 5 6 10 0.2 10
A(t)包含了三要素：I、 、ω ，复常数只包含了I , 。称为从时域到频域的数学变换式。
正弦量的微分，积分运算
I i 2 I cos( t i ) I i
微分运算 积分运算
di d 2 I cos(t i ) dt dt di 2 I sin( t i ) dt 2 I cos( t i )
瞬时功率以2交变，有正有负，一个周期内刚好互相抵消
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3. 电容元件VCR的相量形式
时域形式： i C( t )
+ u(t) -
I C
已知 u(t ) 2U cos( t u ) du( t ) 则 iC ( t ) C 2CU sin( t u ) dt π C 2CU cos( t u ) 2 U 相量形式： U
I dt

I j
相量积分
正弦电量（时 间函数）
变换
相量 （复数）
正弦量运算
相量运算 （复数运算)
所求正弦量
反变换
相量结果
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 （正方向） 关系
i 复数 阻抗 设 电压、电流关系 瞬时值 有效值 相量图 相量式 功率 有功功率 无功功率
u落后i 90°
0
I 2 XC
例
i(t)
R L
i (t ) 2 I cos( t i )
+ u(t)
di 1 u ( t ) Ri L idt 解 C dt C I RI jLI 用相量运算： U jC
相量法的优点 （1）把时域问题变为复数问题； （2）把微积分方程的运算变为复数方程运算； （3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
u 2U sin t
I
U IR
U
R
u
u iR
R
则
I R U
UI
0
i 2I sin t
设
u、 i 同相
U
I
u领先 i 90°
i
L
u
U IX L di jX L 则 uL X L L dt jL u 2 IL sin(t 90 )
jX C
已知 i (t ) 2 I cos( t i )
相量形式：
+ U L -
I I i LI( 2) U L i
j L
相量关系：
jL I jX I U L L
LI
i 90
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相量模型
有效值关系：U L
设一正弦量电流
由欧拉公式
i 2 I cos( t+ )
A a jb | A | e j | A | (cos j sin ) A
A( t ) 2 Ie j ( t )
2 Icos( t ) j 2 Isin( t )
2
j ( i ) di 2 I( i ) Ie dt 2


idt
id t

2 I cos( t i )dt
2I

2I
sin( t i )

)
j I
e
j
2 I I i d t ( i 2 ) j
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例2 已知电流表读数：A1 ＝8A
A2 ＝6A A0
若 （ 1 ）Z1为电阻， Z 2为电容，A0 ＝?
（ 2 ） Z1为电阻， Z 2为何元件时，
A0 ＝I0max=?
U
Z1 A1 A2
Z2
A0 ＝I0min=? （ 3 ） 若Z1为电感， Z 2为何元件时，
解
（1） I 0 82 62 10 A
正弦信号用复数表示后进行电路分析的方法称为相量法
y
u0
u x u1
j (t )
o

Um
o ψ
ω t1
t
A(t ) 2 Ie
2 I cos( t+ )
把时域问题变为复数问题
复数A的表示形式 Im b 0 a A
A a jb
Im b 0
( j 1 为虚数单位)
试判断下列表达式的正、误：
(1) U u Li jL I
( 2) i 5 cos t 50
j CU ( 3) I U
U 1 C (5) jC j C IC
jLI (6) U L L
di L (7) u C dt
Um U U (4) X L L I I L Im
第八章 相量法 重点： 1. 正弦量的表示法、相位差； 2. 正弦量的相量表示； 3. 电路定理的相量形式。
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8.2 正弦量的相量表示
物理和工程领域中，常会使用到正弦信号（例如交流电路的分析），这时可以使
用相量来简化分析。相量是一种矢量，是振幅A、相位θ 和频率ω 均为时不变的正弦波 的一种表示方法，属于解析表示法，而将正弦信号用复数表示后进行电路分析的方法 称为相量法，而在相量图中利用相量表示正弦交流电的图解法称为相量图法。相量法 可以将这几个参数的相互依赖性降低，使这3个参数相互独立，这样就能简化特定的计 算。 参数中具有时间依赖性的频率参数对正弦波的线性组合的所有分量都有影响，若 利用相量法将这一因子提取出来，留下的只是静态的振幅和相位信息的代数组合而不 是三角函数的组合。同样，线性微分方程的求解也可以通过相量法简化为代数运算。 不过因为要提取频率，所以只有同频率的正弦量才能进行相量运算。由此可知，相量 是一种简化的表示方法，纪录一正弦波的振幅和相位信息。因此，相量一般指振幅和 相位部分。

0, XC , XC 0
直流开路(隔直)
高频短路(旁路作用)
相量表达式:
jB U jCU I C 1 U jX C I j I C
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波形图及相量图：
电流超前电 压900
pC
iC
O
功率：
u
2
I C
u
I +
U _
-j10 15
8 j 6 1036.9 A
I 1
j20 I I 2 3
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i ( t ) 10 2 cos(5t 36.9) A
例4 已知 i (t ) 5 2 cos(106 t 15), 求 : uS (t ) 解
u 相位关系：
感抗和感纳:
X L L 2fL 感抗，单位为 (欧姆) 1 1 BL 感纳，单位为 S L 2fL
感抗的物理意义： (1) 表示限制电流的能力； (2) 感抗和频率成正比； XL
0(直流), X L 0, 短路 , X L , 开路
I 0 注意：有效值不一定满足基尔霍夫定律
i(t ) 0
即： U 0 , I 0 U 0 u ( t ) 0
上式表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表 示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量 表示时仍满足KVL。
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例1
u
U 相量模型
+
1 j C
CU( 2) I C u
相量关系：
jCU I C
i u 2
有效值关系： I C CU 相位关系：
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容抗与容纳：
|XC|
1 XC 称为容抗，单位为 (欧姆) C BC C 称为容纳，单位为 S
对A(t)取实部：
Re[ A( t )] 2 Icos( t ) i ( t )
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i 2 I cos( t+ ) A( t ) 2 Ie j ( t+ )
Re[A( t )] Re[ 2 I e
j
e
j t
j t ] Re[ 2 I e ]
i 2I sin t
I jX U L
0
UI I2XL
设
i
C
u
du j 1 则 iC C dt 1 i j c
u 2U sin t
U 2 1
U IX C XC 1
I
UI
I jX U C
C sin(t 90)
C
U
U
t
pC uiC 2UIC cos(ω t u ) sin( ω t u ) UIC sin 2(ω t u )
瞬时功率以2交变，有正有负，一个周期内刚好互相抵消
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4. 基尔霍夫定律的相量形式
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行 计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应 的相量形式表示：
1200 U
+i
0.02F 15 4H
u
_
jX L j 4 5 j 20
1 jX C j j10 5 0.02
相量模型
U U U I I I I 1 2 3 R jX L jX C 1 1 1 1200( ) 15 j 20 j10
A |A|

Re
a
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