第五届数学竞赛决赛

第五届全国大学生数学竞赛决赛考试内容具体考试内容为：
一、非数学专业：高等数学；线性代数（约占15%—20%）。

二、数学专业：
1、大二学生：在预赛所考内容的基础上增加常微分方程（数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程所占比重分别为40%、30%、15%和15%左右）。

2、大三及以上年级学生：在大二学生考试内容（考分占总分80%）的基础上，增加实变函数、复变函数、抽象代数、数值分析、微分几何、概率论等内容。

新增课程每门出一个考题，由学生任选其中两题（考分约占总分20%）。

注：1、以上考题所涉及的各科内容，均不超出数学专业本科或理工科本科相应课程教学大纲规定的教学内容。

2、红色字体部分为新增考试内容。

目录第1届“迎春杯”数学竞赛刊赛试题... .............................................................. . 1 第2届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .............................................................. . 5 第3届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .............................................................. . 8 第4届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 10 第5届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 11 第6届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 13 第7届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 16 第8届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 18 第9届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 20 第10 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (23)第11 届“迎春杯”数学竞赛初赛试题... ........................................................... (25)第11 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ........................................................... (27)第12 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (29)第12 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (31)第13 届“迎春杯”数学竞赛初赛试题... .......................................................... (33)第13 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (35)第14 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (37)第14 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (39)第15 届“迎春杯”数学竞赛初赛试题... .......................................................... (41)第15 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (43)第16 届“迎春杯”数学科普活动日区县邀请赛试题... .................................. (45)第17 届“迎春杯”数学科普活动日队际交流试题... ....................................... . 47 第18 届“迎春杯”数学科普活动日队际交流试题... ....................................... . 50 第19 届“迎春杯”数学科普活动日计机交流试题... ....................................... . 52 第19 届“迎春杯”数学科普活动日队际交流试题... ....................................... . 54 第20 届“迎春杯”数学科普活动日试题... ....................................................... .. 55 第21 届“迎春杯”数学科普活动日解题能力展示初赛试题... ...................... (57)第21 届“迎春杯”数学解题能力展示读者评选活动复试计算机交流试题... (58)第22 届“迎春杯”数学解题能力展示读者评选活动中年级初试试题... ..... .. 60 第22 届“迎春杯”数学解题能力展示读者评选活动中年级复试试题... ..... .. 62 第22 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级初试试题... .............. . 64第22 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .............. . 66第23 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级初试试题... .............. . 69第23 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... .............. . 71第23 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级初试试题... .............. . 73第23 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .............. . 75第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... .............. . 77第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... .............. . 79第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... .............. . 81第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动五年级初试试题... .............. . 83第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... .............. . 85第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .............. . 88第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... .............. . 90第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... .............. . 92第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... .............. . 94第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动五年级初试试题... .............. . 96第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... .............. . 98第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... ........... .. 100 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... ........... .. 102 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... ........... .. 104 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... ........... .. 106 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动五年级初试试题... ........... .. 108 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... ........... .. 110 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... ........... .. 112 第27 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... ........... .. 114 第27 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... ........... .. 116 第27 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... ........... .. 118第 27届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... .......... .. 122 第 27届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .......... .. 124 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... .......... .. 126 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... .......... .. 128 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... .......... .. 130 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动五年级初试试题... .......... .. 132 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... .......... .. 134 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .......... .. 136 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... .......... .. 138 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... .......... .. 140 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... .......... .. 141 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动五年级初试试题... .......... .. 143 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... .......... .. 144 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .......... .. 145第 1 届“迎春杯”数学竞赛刊赛试题1．天安门广场是世界上最大的广场，面积约44万平方米，合____亩。

专业：考生座位号：线所在院校：封密准考证号：姓名：第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （非数学类，2013） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号. 一、（本题共4小题，每小题各6分，共24分）解答下列各题. (1) 求极限 (lim 1sin n n →∞+. (2) 证明广义积分sin 0x dx x +∞⎰不是绝对收敛的. (3) 设函数()y y x =由323322x x y y +-=所确定, 求()y x 的极值. (4) 过曲线0)=≥y x 上的点A 作切线, 使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34, 求点A 的坐标.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：二、（本题12分）计算定积分2sin arctan d 1cos x x x e I x x ππ-⋅=+⎰.三、（本题12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数，且0()lim 0.x f x x →= 证明：级数11n f n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛.四、（本题10分）设|()|,()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明 2sin ()d b a f x x m ≤⎰.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：五、（本题14分）设∑是一个光滑封闭曲面, 方向朝外. 给定第二型曲面积分 ()()()33323I x x dydz y y dzdx z z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰. 试确定曲面∑, 使得积分I 的值最小, 并求该最小值.六、（本题14分）设22()()a a C ydx xdy I r x y -=+⎰, 其中a 为常数, 曲线C 为椭圆222x xy y r ++=, 取正向. 求极限lim ()a r I r →+∞.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：七、（本题14分）判断级数∑∞=+ ++++1)2)(1(1211nnnn的敛散性, 若收敛，求其和.。

我校学生在第五届全国大学生数学竞赛中取得优异成
绩
在日前结束的由中国数学会主办的第五届全国大学生数学竞赛中，我校参赛同学取得了历史上的最好成绩：共有21名同学获得全国(预赛)一等奖，41名同学获得全国(预赛)二等奖，45名同学获得全国(预赛)三等奖，19名同学获得省级（预赛）一等奖，22名同学获得省级（预赛）二等奖，获奖同学几乎涵盖了我校所有学习数学课程的各个专业。

在黑龙江赛区总成绩仅位于哈尔滨工业大学之后，获全省第二名。

其中电子信息工程专业10-3班的金军同学被推荐代表黑龙江赛区参加2014年3月在合肥中国科技大学举行的总决赛。

这次竞赛的所有成绩是在学校有关领导和教务处的大力支持下，在各学院的大力配合下，在应用数学系赵辉老师认真组织、安排、协调下，在赵辉、王树忠、于禄、巩英海、陈丽丽、班立群、孟桂芝等指导教师的精心辅导下，在全体参赛同学的共同努力下取得的。

应用数学系竞赛辅导组从2013年8月19日开始了第五届全国大学生数学竞赛的报名工作，我校学生报名积极、踊跃，有近900名同学在网上参加报名，分别于9月7日和9月13日举行了数学专业和非数学专业校内选拔赛（我校每年一次的校内大学生数学竞赛），经过认真的评阅试卷和综合评定，确定了参加第五届全国大学生数学竞赛的210名选手，其中非数学专业192人，数学专业18人。

从9月24日开始，全体指导教师利用一个月的时间对参赛选手进行了耐心细致和有针对性的实战训练和辅导，效果十分显著，共有148名同学获奖，获奖率高达70.48%。

通过每年一次的全国大学生数学竞赛和我校学生稳定的优异表现，提高了我校在黑龙江省及全国高校中的知名度，为学校赢得了声誉！（教务处/应用科学学院）。

全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sinn π==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦=2.证明广义积分0sin xdx x ⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。

……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。

…………（2分） 而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。

……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。

解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分） 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。

第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 评分细则一、(共4小题,每小题6分,共24分) 解答下列各题 .1. 求极限(lim 1sin nn π→∞+.解(()sin 1sin 2sinnπππ== (2分)原式lim1sin nn →∞⎛⎫=+ ⎝exp lim ln 1n n →∞⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎣⎦(2分) explim n n →∞⎛⎫= ⎝ 14exp n e ⎛⎫== ⎝(2分)2 证明广义积分sin 0xdx x+∞⎰不是绝对收敛的. 证. 记()|sin |1n n n x a dx x ππ+=⎰, 只要证明0∞=∑n n a 发散. (2分) 因为 ()|sin |sin ()()()10112111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰. (3分) 而02(1)π∞=+∑n n 发散, 故0∞=∑n n a 发散. (1分)3. 设函数()y y x =由323322x x y y +-=所确定. 求()y x 的极值.解 方程两边对x 求导，得222363'6'0x xy x y y y ++-= (1分) 故 22(2)'2x x y y y x +=-，令'0y =，得(2)0x x y +=0x ⇒=或2x y =-.将0x =和2x y =-代入所给方程，得211x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩和. (2分) 又22222201'0(2)(22'2)(2)(4'2)10(2)x y y y x x xy y x xy yy x y y x ==-=-++++-''==-<-，21'010x y y y =-==''=>. 故(0)1y =-为极大值，(2)1y -=为极小值. (3分)4．过曲线0)=≥y x 上的点A 作切线,使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34, 求点A 的坐标. 解A t A 设切点的坐标为(曲线过点的切线方程为)y x t - (2分)00,2y x x t ==-令由上式可得切线与轴交点的横坐标 0S Ax t otA ∴=∆-平面图形的面积的面积曲边梯形的面积333144S t x t -=⇒=⎰，(1,1).A ∴的坐标为 (4分)二、 (12分) 计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.解 0220sin arctan sin arctan d d 1cos 1cos xxx x e x x e I x x x xππ-⋅⋅=+++⎰⎰2200sin arctan sin arctan d d 1cos 1cos xx x x e x x e x x x x ππ-⋅⋅=+++⎰⎰ (4分) 20sin (arctan arctan )d 1cos x x x x e e x xπ-=++⎰ 2sin d 21cos x xx xππ=+⎰ (2分) 220sin 21cos xdx xππ⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰(4分)23arctan(cos )28x πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭(2分)三、(12分)设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且0()lim0.x f x x→=证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛. 证 由于()f x 在0x =处连续，且0()lim0x f x x→=， 则 00()(0)lim ()lim0x x f x f f x x x→→==⋅=， (２分)0()(0)(0)lim 00x f x f f x →-'==-. (２分)应用罗比达法则，20()limx f x x →=0()lim 2x f x x →'=0()(0)1lim (0).2(0)2x f x f f x →''-''=- (３分) 所以0211lim(0)2n f n f n→⎛⎫⎪⎝⎭''=. (２分) 由于级数211n n∞=∑收敛，从而11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛. (3分)四、(10分) 设|()|,()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 证 因为()0()f x m a x b '≥>≤≤，所以 ()f x 在[,]a b 上严格单增，从而有反函数. (2分)设 ()A f a =，()B f b =，ϕ是f 的反函数，则110()()y f x mϕ'<=≤'， (3分) 又|()|f x π≤，则A B ππ-≤<≤，所以()sin ()d ()sin d x y bB aAf x x y y y ϕϕ='===⎰⎰(3分)12sin d y y m mπ≤=⎰(2分)五、(１４分)设∑是一个光滑封闭曲面, 方向朝外. 给定第二型的曲面积分 ()()()33323I xx dydz y y dzdx z z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑, 使得积分I 的值最小, 并求该最小值. 解. 记∑围成的立体为V , 由高斯公式, ()()22222236933231VVI xy z dv x y z dxdydz =++-=++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (３分)为了使得I 达到最小, 就要求V 是使得2222310x y z ++-≤的最大空间区域, 即 {}222(,,)|231V x y z x y z =++≤. (３分) 所以V 是一个椭球, ∑是椭球V 的表面时, 积分I 最小.为求该最小值, 作变换//x u y v z w =⎧⎪=⎨⎪=⎩.则(,,)(,,)x y z u v w ∂=∂, 有()22222211v w I u v w dudvdw ++≤=++-⎰⎰⎰. (4分) 使用球坐标变换, 我们有()21221sin 15I d d r r dr ππϕθθπ=-=-⎰⎰⎰. (４分)六、(14分) 设22()()a a Cydx xdy I r x y -=+⎰, 其中a 为常数, 曲线C 为椭圆222x xy y r ++=, 取正向. 求极限lim ()a r I r →+∞.解.作变换()/()/x u v y u v ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩曲线C 变为uov 平面上的 22231:22u v r Γ+=, 也是取正向 (2分) 且有 2222x y u v +=+, ydx xdy vdu udv -=-, 22()()a a vdu udvI r u v Γ-=+⎰. (2分)作变换cos sin u v θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩,则有2vdu udv d θ-=22(1)2(1)220()(2cos /32sin )aa a a a d I r rJ πθθθ--==+⎰,其中2220(2cos /32sin )πθθθ=+⎰a ad J , 0a J <<+∞. (3分) 因此当1a >和1a <, 所求极限分别为0和-∞. (2分)而当1a =,2/212222t a n 442c o s /32s i n 2/32t a n 22d d d tJ t ππθθθθθ+∞====+++⎰⎰⎰. (3分) 故所求极限为0,1lim (),12,1a r a I r a a π→+∞>⎧⎪=-∞<⎨⎪-=⎩. (2分)七、(14分) 判断级数 ∑∞=+++++1)2)(1(1211n n n n 的敛散性, 若收敛，求其和. 解: (1) 记 1112n a n =+++，,,,,()()12312==++n n a u n n n .因为n 充分大时ln 111101112n n a dx n nx <=+++<+=+<⎰(3分)所以 3/21≤<n u n而 /3211∞=∑n n收敛，所以∑∞=1n nu 收敛. (2分)（2）(,,....)111122k a k k=+++= 1111112(1)(2)(1)(2)12n n nk k k n k k k a a a k S k k k k k k ===+++⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭∑∑∑1111222334112--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n aa a a a a a a nn n n (2分)()()()1213211111123412-=+-+-++--++n n n a a a a a a a a n n (2分) .()11111111122334122n n a a n n n n n ⎛⎫=++++-=-- ⎪⋅⋅⋅⋅-++⎝⎭ (2分) 因为ln 01n a n <<+ 所以2ln 120++<+<n n n a n 且 02ln 1lim=++∞→n nn . 所以02lim =+∞→n a n n . 于是 lim 1001n n S S →∞==--=. 证毕。

第五届“走进美妙数学花园”决赛五年级试题一、填空题（共12题，第1～4题每题8分）1、计算：223×7.5+22.3×12.5+230÷4-0.7×2.5+1=（）。

2、五个数，平均值是100。

添上一个数后，平均值增加2。

再添上第七个数，平均值又增加2。

第七个数是（）。

3、一个长方形和一个等腰三角形如图放置，图中六块的面积分别为1，1，1，1，2，3。

大长方形的面积是（）。

4、一个两位数，数字和是质数。

而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数，满足条件的两位数为（）。

5、一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为S(n)，为偶数的那些数字的和记为E(n)。

例如S(134)=1+3=4，E(134) =4。

S(1)+ S(2) +……+S(100)= （）。

E (1)+E(2) +……+E(100)= （）。

6、今有A、B两个港口，A在B的上游60千米处。

甲、乙两船分别从A、B两港同时出必，都向上游航行。

甲船出发时，有一物品掉落水中，浮在水面，随水流漂往下游。

甲船出发航行一段后，调头去追落水的物品。

当甲船追上落水物品时，恰好和乙船相遇。

已知甲、乙两船在静水中的航行速度相同，且这个速度为水速的6倍。

当甲船调头时，甲船已航行（）千米。

7、N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。

N的最大值是（）。

8、如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2。

长方形EFGH的面积为（）。

9、4支足球队单循环赛，每两队都赛一场，每场胜者得3分，负者得0分，平局各得1分。

比赛结束4支队的得分恰好是4个连续自然数。

第四名输给第（）名。

10、二十多位小朋友围成一圈做游戏。

他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目。

小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91。

如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有（）人。

目录第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 1 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 7 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 11 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 18 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .. (23)（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u uvu u u y x yx x yy x DDd d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。