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第五届全国大学生数学竞赛决赛考试内容具体考试内容为：
一、非数学专业：高等数学；线性代数（约占15%—20%）。
二、数学专业：
1、大二学生：在预赛所考内容的基础上增加常微分方程（数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程所占比重分别为40%、30%、15%和15%左右）。
2、大三及以上年级学生：在大二学生考试内容（考分占总分80%）的基础上，增加实变函数、复变函数、抽象代数、数值分析、微分几何、概率论等内容。
新增课程每门出一个考题，由学生任选其中两题（考分约占总分20%）。
注：1、以上考题所涉及的各科内容，均不超出数学专业本科或理工科本科相应课程教学大纲规定的教学内容。
2、红色字体部分为新增考试内容。
第五届华杯赛复赛试题1．计算：2．甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同，若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间仅相等于甲自学1天的时间。
问：甲乙原订每天自学的时间是多少？3．图5-4是由圆周、半圆周、直线线段画成的，试经过量度计算出图中阴影部分以外整个“猪”的面积（准确到1平方毫米）。
4．羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。
对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算，运算的结果或是羊，或是狼。
求下列的结果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）5．人的血通常为A型，B型，O型，AB型。
子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示：现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为O、A、B。
每个孩子的父母都戴着同颜色的帽子，颜色也分红、黄、蓝三种，依次表示所具有的血型为AB、A、O。
问：穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？6．一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡，在右盘上取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克砖码，这时两边也平衡，如从右盘移两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘上，则须再放50克砖码于右盘上，两边才平衡。
问：白球、黑球每个重多少克？7．一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把水池的水排完；如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟能把水池的水排完。
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sin n ππ==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦………………………………………………………………………………………(2分)；14exp lim exp n n n e →∞⎛⎫⎛⎫=== ⎝⎝……(2分) 2.证明广义积分0sin xdx x +∞⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………（2分）而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。
……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分）将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。
第五届数学竞赛决赛试题及答案一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（共15分，每小题5分）二、填空题（共40分，每小题5分）1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=19922.一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。
那么，这个等腰梯形的周长是__厘米。
3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。
这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。
原来至少有__人已经就座。
4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r。
a=__，r=__。
5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。
他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。
其中年龄最大的老人今年____岁。
6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。
那么，至少____个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。
7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分。
那么得分最少的选手至少得____分，至多得____分。
（每位选手的得分都是整数）8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。
那么，只有当锯得的38毫米的铜管为____段、90毫米的铜管为____段时，所损耗的铜管才能最少。
三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程。
列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）（共20分，每小题5分）1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米。
现由甲工程队先修3天。
余下的路段由甲、乙两队合修，正好花6天时间修完。
问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？2.一个人从县城骑车去乡办厂。
专业：考生座位号：线所在院校：封密准考证号：姓名：第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （非数学类，2013） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号. 一、（本题共4小题，每小题各6分，共24分）解答下列各题. (1) 求极限 (lim 1sin n n →∞+. (2) 证明广义积分sin 0x dx x +∞⎰不是绝对收敛的. (3) 设函数()y y x =由323322x x y y +-=所确定, 求()y x 的极值. (4) 过曲线0)=≥y x 上的点A 作切线, 使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34, 求点A 的坐标.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：二、（本题12分）计算定积分2sin arctan d 1cos x x x e I x x ππ-⋅=+⎰.三、（本题12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数，且0()lim 0.x f x x →= 证明：级数11n f n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛.四、（本题10分）设|()|,()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明 2sin ()d b a f x x m ≤⎰.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：五、（本题14分）设∑是一个光滑封闭曲面, 方向朝外. 给定第二型曲面积分 ()()()33323I x x dydz y y dzdx z z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰. 试确定曲面∑, 使得积分I 的值最小, 并求该最小值.六、（本题14分）设22()()a a C ydx xdy I r x y -=+⎰, 其中a 为常数, 曲线C 为椭圆222x xy y r ++=, 取正向. 求极限lim ()a r I r →+∞.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：七、（本题14分）判断级数∑∞=+ ++++1)2)(1(1211nnnn的敛散性, 若收敛，求其和.。
第五届华杯赛初赛试题1．一个成年人平均每分钟呼吸16次，每次吸入500立方厘米空气.问：他在一昼夜里吸人多少立方米空气? 2．下面是一个乘法算式：问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？3．某部84集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到星期五以及星期日每天都要播出1集，星期六停播．问：最后一集在星期几播出?4.计算：5.用下面写有数字的四张卡片排成四位数．问：其中最小的数与最大的数的和是多少?6．甲、乙两人在河中先后从同一个地方同速同向游进．现在甲位于乙的前方，乙距起点20米；当乙游到甲现在的位置时，甲已离起点98米．问：甲现在离起点多少米?7. 有面值为1分，2分，5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分．问：有多少种不同的支付方法?8．有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?9．甲、乙、丙三个学生在外午餐，共买了1斤4两包子．甲没有带钱，由乙和丙分别付了买8两和6两包子的钱．甲、乙吃的一样多，丙比乙多吃了1两．第二天，甲带来他应付的2元3角4分．问：其中应付给丙多少钱?10．如下图，图中的曲线是用半径长度的比为2∶1.5∶0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分与未涂阴影的部分的面积比是多少?11. 小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年多少岁?12．如下图是一个园林的规划图，其中，正方形的是草地；圆的是竹林；竹林比草地多占地450平方米．问：水池占地多少平方米?13．50名学生面向老师站成一行，按老师口令从左至右顺序报数：1，2，3，……．报完后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转．接着又让所报的数是6的倍数的同学向后转．问：现在仍然面向老师的有多少名同学?14．如下图中的大圆盖住了小圆的一半面积．问：在小圆内的大圆的弧线AmB的长度和小圆的直径相比，哪个比较长一些？15．在两位数10，11，…，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变．问：经过这样改变之后，所有数的和是多少?16．某人连续打工24天，赚得190元(日工资10元，星期六做半天工，发半工资，星期日休息，无工资)．已知他打工是从1月下旬的某一天开始的，这个月的1号恰好是星期日．问：这人打工结束的那一天是2月几日?第五届华杯赛初赛试题解答1. 11.52立方米2.243.最后一集在星期五播出4. 原式等于5.115176.59米7. 5种8.0.5厘米9. 0.36元10.11.21岁12. 150平方米13. 38名14.大圆的弧线长一些15. 4316.4 16.2月18日1.【解】一昼夜即：60×24＝1440分一个成年人一昼夜吸入空气量是：500×16×1440＝11520000(立方厘米)，即11.52立方米2.【解】乘积是两位数并且是5的倍数，因而最大是95.95÷5＝19，所以题中的算式实际上是所以，所填四个数字之和便是1＋9＋9＋5＝243.【解】每星期播6集，84集播84÷6＝14 个星期，第一集在星期日播出，所以最后一集在星期五播出.4.【解】原式＝＝＝5.【解】排成的最大的数是9951，最小的数是1566，因此，所求的和是9951＋1566＝115176.【解】当乙游到甲现在的位置时，甲也游了同样的距离，这距离是(98－20)÷2＝39(米)，所以甲现在离起点39＋20＝59(米).7.【解】要付2角3分钱，即23分．最多只能使用4枚5分币。
第五届全国大学生数学竞赛决赛 （数学类三、四年级）参考答案一、【参考证明】：设l 是过P 点的抛物面S 的一条切线，它的方向向量为V 示为= (u , v , w )，则切点可以表 Q = P + t V = (a + tu ,b + tv ,c + tw ),2 2其中t 是二次方程2(c + tw ) = (a + tu) + (b + tv ) , 也就是的唯一重根.(u 2 + v 2)t 2 + 2(au + bv - w )t + (a 2 + b 2 - 2c ) = 022 2 2 2w - au - bv a 2 + b 2 - 2c 这时，(au + bv - w) = (u+ v)(a + b - 2c ), 得t ==u 2 + v 2.w - au - bv于是切点Q = (X ,Y , Z ) = (a + tu ,b + tv ,c + tw )满足a X +b Y -Z = (a 2 + b 2 -c )+ t (a u + b v -w ) = c .于是所有切点Q 落在平面ax + by - z = c 上.二、【参考证明】：(1) 由于tr (A ) 是A 的特征值之和，得λ1 的代数重数也是 3，而A 的另一特征值λ2 = 0 ，且λ2 = 0 的代数重数为 1. 结果A 有四个线性无关的特征向量. 故A 可对角化. (2) 由于λ1 = 2 的重数为 3，故有⎛ 0 2 2 -2⎪⎫ ⎪rank (A - 2E ) = rank a -2 b c ⎪. ⎪ d e -2 f ⎪ ⎝g h k 2 ⎪⎪⎭进而a / 0 = -2 / 2 = b / 2 = c / -2 ，得a = 0,b = -2,c = 2;d / 0 =e / 2 = -2 / 2 =f / -2 ，得d = 0,e = -2, f = 2;g / 0 =h / 2 = k / 2 = 2 / -2 ，得g = 0,h = -2, k = -2 ，⎛ 2 2 2 -2⎪⎫ ⎪ 于是A = 0 0 -2 2 ⎪. 注意到f (x , x , x , x ) = x T Ax = x T Bx , 其中 1 2 3 4 0 -2 0 2 ⎪ ⎝0 -2 -2 4 ⎪⎪⎭⎛ 2 1 1 -1⎪⎫ T 1 0 -2 0 ⎪ B = A + A , B = ⎪.21 -2 0 0 ⎪ ⎪ -1 0 0 4 ⎪ ⎝⎪⎭1 2 3 4⎝ ⎢ 1 k m n k m k m k m m k m k m ⎰ ⎰ t B 的特征值为λ1 = 2 （二重），λ1,2 = 1 ± 2 为2y 2 + 2y 2 + (1 + 2 3)y 2 + (1 - 2 3)y 2. （一重）. 故 f (x 1, x 2, x 3, x 4 )在正交变换下的标准型三、【参考证明】：令g (t ) = ⎛ t 0 ⎫β f (x )d x ⎪ ⎭ - t f α 0 (x )d x , 则g (t ) 可导， ⎡ ⎛ t ⎫β-1⎤ g '(t ) = f (t )⎢β f (x )d x ⎪- f α-1(t )⎥ . ⎢ ⎝⎰0 ⎪⎭ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦1 ⎡ 1 ⎤令h (t ) = ββ-1 ⎰ t f (x )d x - f 2(t ), 则有h '(t ) = f (t )⎢ββ-1 - 2f '(t ⎥. )⎥ 0 ⎢ ⎥⎣⎢⎥⎦ 由于β > 1, f '(x ) ≤ 1，我们有h '(t ) ≥ 0 . 这说明h (t )单调递增，从h (0) = 0 ，得h (t ) ≥ 0 . 因 2而g '(t ) ≥ 0 . 从g (0) = 0 ，得g (t ) ≥ 0 ，即⎰ f α(x ) d x ≤ ⎛ ⎰ t⎫β f (x )d x ⎪. 0 令t → +∞ ，即得所证.⎝ 0⎪⎭ 四、【参考证明】：C max =1 - 2. 不妨设f (x ) 的最小实根为 0，最大实根为a . 设 nf (x ) = (x - x 1 )(x - x 2 )(x - x n ),先证以下引理：0 = x 1 ≤ x 2 ≤ ≤ x n = a .引理：若存在2 ≤ k , m ≤ n - 1 使得x k < x m ，令x k < x ' ≤ x ' < x 满足x + x = x ' + x' , 令 f 1 (x ) = (x - x ')(x - x ' )(x - x ' ), x ' = x , i ≠ k , m .则d (f ') ≤d (f '). 1 2 n i i证明：注意到f (x ) = f 1 (x )- δF (x ),F (x ) =其中f 1 (x ), δ = x 'x '- x x> 0.(x - x ' )(x - x ' )k mk m设 α, β 分 别 为 f '(x ) 的 最 大 最 小 实 根 ， 则 有 f (α) ≤ 0, f (β)(-1) ≤ 0. 由 罗 尔 定 理111α ≥ x m , β ≤ x k ，并且f '(α) = δ(2α - x ' - x ' ) f (α).(α - x ' )2 (α - x ' )2 1则 f '(α)f 1(α) ≥ 0 ，故 f '(α) ≤ 0 . 这表明 f '(x ) = 0 的最大实根大于或等于α. 同理， f '(x ) = 0 最3- ⎦ ()F ⎩小实根小于或等于β. 引理证毕. 令g (x ) = x (x -a )(x -b )n -2,b =x 2 + x 3 ++ x n -1.n 2由引理得到d (f ')≥ d (g '). 由于g '(x ) = (x - b )n -3(nx 2 -((n - 1)a + 2b )x + a b ),2 d (g ') =≥ 1 - a . n⎛ a ⎫n -2于是C 的最大值C max ≥ , 且当f (x ) = x (x -a ) x - ⎪ 时，d (f ') = ⎝ (f ). 2 ⎪⎭ 五、【参考证明】：用反证法. 设存在x 0 ∈ ⎡⎢⎣a ,b ⎤⎥ 使得z x 0 ) > y (x 0 ).令M = {x ∈ ⎡⎢a ,b ⎤⎥ | z (x ) > y (x )}, 则M 为⎡⎢a ,b ⎤⎥ 的非空开子集. 故存在开区间(α, β) ⊂ M 满足 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦y (α) = z (α), z (x ) > y (x ), x ∈ (α, β).这推出z (x )- y (x )单调不增，故z (x )- y (x ) ≤ z (a )- y (a )= 0. 矛盾.六、【参考证明】：因为当| z |= 1 时，f (z ) = 1 ，所以根据极大模原理，在D 上 f (z ) < 1 ，即f (D )⊂ D .1 - af (z ) 若存在a ∈ D 使得a ∉ f (D ) ，则函数g (z )=f (z )- a以及1 / g (z )在D 上解析，并容易验证当| z |= 1 时， g (z ) = 1 . 因此，根据极大模原理，在D 上有 g (z )≤ 1, 1 / g (z )≤ 1, 这说明在D 上有 g (z ) = 1 . 因为模为常数的解析函数是常数，所以g (z )在D 上为常数，从而f (z )在D 上为常数，这与题设矛盾. 这就证明了f (D ) = D .七、【证明】：1) A =lim E =∞∞ E =∞ F . 其中F= ∞ E ， 则k →∞ kn =1k =nkn =1 nnk =nkF 1 ⊃ F 2 ⊃⊃ F n ⊃ F n +1 ⊃因为f∈ L ∞ ⇒ fk =1E k∈ L , ∀n ≥ 1 ⇒ f n∈ L A . 令 ⎧⎪f (x ), x ∈ F ,i) f n (x ) 可测， ∀n ≥ 1;f (x ) = ⎪⎨nn⎪0, x ∉ F n . ii) lim n →∞f n (x ) = f (x )χA (x ), x ∈ R ; x ∈ R ，若x ∈ A ，则f (x )χA (x ) = f (x ), 又x ∈ A =∞ F , ∀n ≥ 1, f (x ) = f (x ).故 lim n →∞f n (x ) = f (x )χA (x ).n =1 nna 2 -2a 2⎛a - 2b ⎫2n + ⎝ n ⎪ ⎪⎭ 1 - 2n 1 - 2n(F ⎩1F EF E⎰ ⎰ ⎰ ⎰ 若x ∉ A , f (x )χA (x ) = 0. 而x ∉ A = ∞ F , ∃n , x ∉ F ,{F } ↓, ∀n ≥ n , x ∉ F ,n =1 nn 0nn故 lim n →∞f n (x ) = f (x )χA (x ).f n (x ) = 0, 即 lim n →∞f n (x ) = f (x )χA (x ).iii) f n (x ) ≤ f (x ) χF (x ), ∀n ≥ 1 ，且 f (x ) χF (x ) ∈ L R .11由控制收敛定理， lim⎰R f n (x ) d m = ⎰R lim f n (x ) d m . 即 n →∞lim ⎰⋃∞n →∞ f (x )d m = E lim ⎰Ff (x ) d mn →∞k =n kn →∞n= ⎰R f (x )χA (x )d m = ⎰Af (x ) d m2) B = lim E = ∞ ∞E = ∞F . 其中F = ∞ E ， 则k →∞kn =1k =nkn =1 nnk =nkF 1 ⊂ F 2 ⊂ ⊂ F n ⊂ F n +1 ⊂f ∈ L ∞k =1 E k)⇒ f ⎧⎪f (x ), x ∈ F , ∈ L , ∀n ≥ 1 ⇒ f n∈ L B . 令f n (x) = ⎪⎨n⎪0, x ∉ F n . i) f n (x ) 可测， ∀n ≥ 1;ii) lim n →∞f n (x ) = f (x ), x ∈ B ;iii) f n (x ) ≤ f (x ) , x ∈ B 且 f (x ) χF (x ) ∈ L R .由控制收敛定理， limn →∞⎰B f n (x )d m = ⎰B f (x ) d m . 即 lim ⎰⋂∞f (x )d m = E lim ⎰Ff (x ) d mn →∞k =n kn →∞n= limn →∞⎰B f n (x )d m = ⎰B f (x )d m .3) 若{E} ↑⇒ lim E= lim E= lim E =∞ E= E . 由 2)，F =∞ E = E ，kk →∞kk →∞kk →∞kk =1 knk =nkn⎰E f (x )d m = lim n →∞ nf (x )d m = lim n →∞ nf (x )d m . 若{E} ↓⇒ lim E= lim E = lim E =∞ E = E . 由 1) F =∞ E = E ，kk →∞kk →∞kk →∞kk =1 knk =nkn⎰E f (x )d m = lim n →∞ nf (x )d m = lim n →∞ nf (x )d m . 八、【参考解答】：在空间选取坐标系，使得准线l 为z -轴，抛物线Γ 落在Oxz 平面上，且抛下顶点为P = (p , 0, 0) ，焦点为F = (2p , 0, 0). 由于抛物线上的任意点X = (x , 0, z )满足 XF = x ，我们得到(x - 2p )2+ z 2 = x 2.故抛物线方程为x = p + 1 z 2. 4p 记 f (z ) = p + 1 z 2 ，这是旋转面S 的方程 4pf ' (z )2+ 112可表示为γ = γ(z , θ) = (f (z )co s θ, f (z )s in θ, z ), θ ∈ ⎡⎢⎣0, 2π⎤⎥⎦ , z ∈ R则S 的单位法向量为γθ = (-f (z )s in θ, f (z )co s θ, 0), γz = (f '(z )cos θ, f '(z )sin θ,1),1'n = (cos θ, s in θ,-ff '(z )2+ 1(z )),γθθ = (-f (z )cos θ, -f (z )si n θ, 0), γθz γzz = (-f '(z )sin θ, f '(z )cos θ, 0),= (f ''(z )cos θ, f ''(z )sin θ, 0),于 是 ， 旋 转 面 的 第 一 基 本 形 式I = E d θ2 + 2F d θ d z +G d z 2 和 第 二 基 本 形 式II = L d θ2 + 2M d θ d z + N d z 2 为E = f (x )2, F = 0,G = f '(z )2+ 1 f (z )L = - , M = 0, N =f '(z )2+ 1f ''(z )因为k 1 = L / E ,k 2 = N /G , k我们得到f '(z )2+ 1 k = LG / EN = -f (z )f ''(z )= -2.【注】根据k ,k 的不同排序，也可以是k 1= - 1. 122九、【参考解答】：这个问题可以看作是一种等待时间问题. 我们等待第r 张新票券出现. 以ξ1, ξ2,依次表示对一张新票券的等待时间. 因为第一次抽到的总是新的，所以ξ1 = 1 . 于是ξ2 就是抽到任一张不同于第一张抽出的那张票券的等待时间. 由于这次抽时仍有N 张票券，但新的只有N - 1 张，因此成功的概 率为p =N - 1. 于是ξ 的分布列为N2N - 1 ⎛ 1 ⎫n -1P (ξ2 = n ) =⎪, n = 1, 2,N ⎝N ⎪⎭ ∞N - 1 ⎛ 1 ⎫n -1⎛1 ⎫ 1N从而E ξ2 = ∑n ⎪ = 1 - ⎪ ⋅ = .n =1N ⎝N ⎪⎭⎝ N ⎪⎭ ⎛ 1 ⎫2 N - 11 - ⎪ ⎝N ⎪⎭ 在收集到这两张不同的票券之后，对第三张新票券的等待时间其成功的概率为p =N - 2 . 因此Nk 2+ + + ≈ ln N .E ξ3 =N .N - 2以此类推，对1 ≤ r ≤ N ，有E (ξ ++ ξ ) = N + N ++ N1 r N N - 1 N - r + 1= N ⎛ 1++1 ⎫⎪.特别，若r = N 时，则⎝N N - r + 1⎪⎪⎭E (ξ ++ ξ ) = N ⎛ 1+ 1 ⎫⎪1N 1 + +⎪当N 时偶数，r = N / 2 时，则⎛⎫ ⎝ 2⎛ N ⎪⎭⎫⎪ ⎪1 1 ⎪ E ξ1 ++ ξN ⎪ = N ++ ⎪⎪N N ⎪⎝2 ⎭⎝ 2 + 1⎪⎭由欧拉公式1 + 1 + + 12 N= ln N +C + εN ，其中C 是欧拉常数， εN 为N 趋于无穷时的无穷小 lim 1 ⎛ 11 ⎫⎪ 量. 由于 1 + ++⎪ = 1. 于是当N 充分大时，我们可以近似公式 N →∞ ln N ⎝ 2 N ⎪⎭1 1 12 N 因而E (ξ ++ ξ ) = N ⎛ 1 + 1 ⎫⎪≈ N ln N .1N 1 + + ⎪ ⎝2 N ⎪⎭ ⎛ ⎫⎪ ⎛ ⎫⎪ 1 1 ⎪E ξ1 ++ ξN ⎪ = N ++ ⎪⎝ 2 ⎪⎭ N N ⎪= 2r ⎛ 1 ++ ⎝ 21 + 1+ 1 ⎪⎭ 1 + 1 ⎫⎪ - 2r ⎛ 1 + 1 ⎫⎪ + + ⎪ 1 + + ⎪⎝r + 1 2r 2 r ⎪⎭ ⎝ 2 r ⎪⎭ ≈ 2r ln 2r - 2r ln r = N ln 2, ⎛ ⎫⎪ 即E ξ1 ++ ξN ⎪ ≈ N ln 2 ≈ 0.69315N . 这说明如果只要收集一半票券，或只要稍多于票半数的⎝2 ⎪⎭抽取次数即可.十、【参考证明】：(a) 在(a)的条件下，要证明结论，既要证明x -1y -1xyaba -1b -1y -1x -1yx = aba -1b -1.由已知AB =BA 可得，存在A 中的元素a*, x*, B 中的元素b*, y*使得ya =a*y*, xb =b*x*.于是有1-x 2 ⎣ ⎦⎰ (1)yaba -1b -1y -1 = a *y *ba -1b -1y -1 （由ya = a *y * ）= a *by *a -1b -1y -1 = a *ba *-1yb -1y - 1 （由y *a -1 = a *-1y ） = a *ba *-1b -1 = ⎡a *,b ⎤ .⎣⎢ ⎥⎦ (2) 类似可证： x ⎡a *,b ⎤ x -1 = ⎡a *,b * ⎤ , y -1 ⎡a *,b * ⎤ y = ⎡a ,b * ⎤ , x -1 ⎡a ,b * ⎤ x = ⎡a ,b ⎤ . 如所需(a)获证.⎣⎢ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎥⎦ ⎣⎢⎥⎦ ⎣⎢ ⎥⎦ (b) 任取G 的一个换位子⎡⎢⎣a 1b 1,b 2a 2 ⎤⎥⎦,a i ∈ A ,b i ∈ B , i = 1, 2 ，有⎡⎢a b ,b a ⎤⎥= a b b a b -1a -1a -1b -1 = a b a -1b -1 b a b a b -1a -1a -1b -1 ⎣ 1 1 2 2 ⎦1 12 2 1 1 2 2 1 1 11 1 1 2 2 1 1 2 2 = ⎡⎢a ,b ⎤⎥ b a b a -1b -1b a a b -1a -1a -1b -1⎣ 1 1 ⎦ 1 1 2 12212 1 1 2 2 = ⎡⎢a ,b ⎤⎥ b a b a -1b -1 b -1b b a a b -1a -1a -1b -1⎣ 1 1 ⎦ 1 1 2 1 2 1 12 1 2 1 1 2 2= ⎡a ,b ⎤ ⎡a *,b ⎤ b b a a b -1 a -1a -1b -1 = ⎡a ,b ⎤ ⎡a *,b ⎤ b b a a b -1a -1a -1b b -1b -1⎣⎢ 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 2 ⎥⎦ 121 21 1 2 2 ⎣⎢ 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 2 ⎥⎦ 1212 1 21112= ⎡a ,b ⎤ ⎡a *,b ⎤ ⎡(a a )* ,b -1 ⎤⎣⎢ 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 2 ⎥⎦ ⎢ 1 2 1 ⎥ ⎦其中(a 1a 2 )*为A 中的某元. 这样，G ' =< {⎡⎢a ,b ⎤⎥ : a ∈ A ,b ∈ B } >, 从而由(a)可知，G ' 为 Abel 群.十一、【参考证明】：(1) 用归纳法. 当n = 0, 1 时，结论显然成立.设n ≤ k 时，T n (x ) = cos (n arccos x ). 当n = k + 1 时，令x = cos θ ，则(2)<T n (x ),T mT k +1 (x ) = 2x T k (x )-T k -1 (x ) = 2 cos θ cos (k θ)- cos ((k - 1)θ) = cos ((k + 1)θ) = cos ((k + 1)arccos x )(x ) >=1 T n (x )T m(x ) d x . 令x =cos θ ，上述积分化为-1⎰ 0 cos(n θ)cos (m θ) d (cos θ) = ⎰ πcos (n θ)cos (m θ)d θπ当n ≠ m 时，上述积分为 0.sin θ 0(3) 注意以下事实： T n (x )是首项系数为 2n -1 的 n 次多项式， ||T(x ) ||∞ = 1,且T n (x )在x = cos ⎛ k π ⎫⎪ 处达到极值，即T(x ) = (- )k k = 0, 1,, n .k⎪ nk1 ,⎝ n ⎪⎭现假设|| p (x )||∞<1 2n -1， 考虑函数q (x ) = p (x )-k +11 T2n -1n(x ) ， 则q (x ) 在x k 处的符号与T n (x ) 在x k 处的符号相反，即为(-1)n ，这是不可能的！因此，⎣ n,k =0, 1,, n. 于是q (x )至少有n 个零点. 但q (x )次数小于|| p (x )||∞≥1. 2n-1当|| p (x )||∞= 12n-1时，可证q (z)至少有n 个零点，从而q (x )≡0 ，即p (x )= 1 T2n-1 n(x ).。
1+ 4n2( )⎰ ∑ n⎰ 第五届全国大学Th 数学竞赛预赛试卷 评分细则一、(共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 解答下列各题 .1. 求极限 lim 1+ sinπ n →∞1+ 4n 2)n解sin (π 1+ 4n2)= sin (π- 2n π = sinπ2n π + π(2 分)⎛ π⎫n原式= lim 1+ ⎪n →∞ ⎝⎡ 2n π + π ⎛1+ 4n 2 ⎭π ⎫⎤ = exp ⎢lim n ln 1+ sin ⎪⎥(2 分)⎢⎣n →∞⎝ 2n π + π 1+ 4n 2 ⎭⎥⎦ = ⎛ π⎫ exp lim n sin ⎪⎝ n →∞2n π + π 1+ 4n 2⎭⎛ π n⎫ 1 = exp lim ⎪ = e 4(2 分)⎝ n 2n π + π 1+ 4n 2 ⎭+∞sin x2 证明广义积分 ⎰ 0 dx 不是绝对收敛的. x(n +1)π| sin x |∞证. 记a n =⎰nπ dx , 只要证明∑ a n 发散. (2 分)n =01(n +1)π1π2因为 a n ≥(n +1)π∞2| sin x | dx = sin xdx = n π(n +1)π 0(n +1)π ∞.(3 分)而∑ n =0 发散, 故 a 发散. (1 分)+ 1)π n =03. 设函数 y = y (x ) 由 x 3 + 3x 2 y - 2y 3 = 2 所确定. 求 y (x ) 的极值.解 方程两边对 x 求导，得3x 2 + 6xy + 3x 2 y '- 6y 2 y ' = 0故 y ' =x (x + 2 y )，令 y ' = 0 ，得 x (x + 2y ) = 0 ⇒ x = 0 或 x = -2y . 2 y 2 - x 2将 x = 0 和 x = -2y 代入所给方程，得(1 分)1+ 4n 2. (n x(2 y 2 - x 2 )(2x + 2xy '+ 2 y ) + (x 2 + 2xy )(4 yy '- 2x )(2 y 2 - x 2 )23 t 33 t 2⎨ y =1π(arctan e x + arctan e )⎰ 2 2 0⎧x = 0 ⎨ y = -1 和⎧x = -2.(2 分)y = 1 ⎩⎩又y ''== -1 < 0 ， x =0 y =-1y '=0y '' x =-2 = 1 > 0 . y '=0故 y (0) = -1为极大值， y (-2) = 1为极小值.(3 分)4．过曲线 y = 3 x (x ≥ 0) 上的点 A 作切线,使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面图形的面积为3 , 求点 A 的坐标. 4解 设切点 A 的坐标为(t ,3 t ),曲线过 A 点的切线方程为y - =1(x - t ) (2分)令 y = 0, 由上式可得切线与x 轴交点的横坐标x 0 = -2t∴平面图形的面积S = ∆Ax 0t 的面积-曲边梯形otA 的面积S = 1 3 t ⋅ 3t - ⎰t 3 x d x = 3 t 3 t = 3⇒ t = 1 ，∴ A 的坐标为(1,1).(4分)2 0 4 4二、 (12 分) 计算定积分 I = ⎰-πx s in x ⋅ arctan e x1 + cos 2xd x . 0 x s in x ⋅ arctane x π x s in x ⋅ arctan e x解 I = ⎰-π 1 + c os 2 x d x +⎰0 1 + cos 2x d x = π x s in x ⋅ arctan e - x π x sin x ⋅ arctan e x⎰0 1 + cos 2 x d x +⎰0 1 + cos 2 x d x(4 分)= π - x 0x sin x d x 1 + cos 2 x = π π x sin x d x(2 分)2 ⎰0 1 + cos 2 x⎛ π ⎫2π sin x = ⎪ ⎰0 2 dx ⎝ ⎭ 1 + cos x(4 分)⎛ π ⎫2= - ⎪ ⎝ ⎭3 arctan(cos x ) π = 8(2 分)三、(12 分)设 f (x ) 在 x = 0 处存在二阶导数 f ''(0) ，且limf (x ) = 0.证明：级数x →0xπn ⎪b ≤ ⎰=∑ n =1f⎛ 1 ⎫收敛. ⎝ ⎭证 由于 f (x ) 在 x = 0 处连续，且limf (x )= 0 ，x →0xf (x )则f (0) = lim f (x ) = lim ⋅ x = 0 ，(２分) x →0 x →0 xf '(0) = lim f (x ) - f (0)= 0 .(２分)x →0 x - 0应用罗比达法则，lim f (x ) = lim f '(x ) = lim f '(x ) - f '(0) = 1 f ''(0).(３分)x →0 x 2 x →0 2x x →0 2(x - 0) 2所以lim = 1f ''(0) . (２分)n →0∞ 11 2n 2 ∞⎛ 1 ⎫ 由于级数∑ n 2 收敛，从而∑ f n ⎪ 收敛.(3 分)n =1n =1 ⎝ ⎭四、(10 分) 设| f (x ) |≤ π , f '(x ) ≥ m > 0 (a ≤ x ≤ b ) ，证明⎰ sin f (x ) d x ≤2.am证 因为 f '(x ) ≥ m > 0 (a ≤ x ≤ b ) ，所以 f (x ) 在 [a ,b ] 上严格单增，从而有反函数. (2 分)设 A = f (a ) ， B = f (b ) ，ϕ 是 f 的反函数，则0 < ϕ'( y ) =又| f (x ) |≤ π ，则-π ≤ A < B ≤ π ，所以1 f '(x ) ≤ 1 ，(3 分)mbx =ϕ ( y ) B sin f (x ) d x ϕ'( y )sin y d y(3 分)⎰a=== ⎰Aπ 1 20 m sin y d y m(2 分)五、(１４分)设∑ 是一个光滑封闭曲面, 方向朝外. 给定第二型的曲面积分I = ⎰⎰(x 3 - x )dydz + (2 y 3 - y )dzdx + (3z 3 - z )dxdy .∑试确定曲面∑ , 使得积分 I 的值最小, 并求该最小值.解. 记∑ 围成的立体为V , 由高斯公式,I = ⎰⎰⎰(3x 2 + 6 y 2 + 9z 2 - 3)dv = 3⎰⎰⎰(x 2 + 2 y 2 + 3z 2 -1)dxdydz .(３分)VV∞6 6 6 3 3 3 ⎩22 2⎰aa ⎰ (u 2 + v 2 )a ⎩⎰ a2 为了使得 I 达到最小, 就要求V 是使得 x 2 + 2y 2 + 3z 2-1 ≤ 0 的最大空间区域, 即V = {(x , y , z ) | x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≤ 1}.(３分)所以V 是一个椭球, ∑ 是椭球V 的表面时, 积分 I 最小.⎧ x = u ⎪∂(x , y , z ) 1 为求该最小值, 作变换 ⎨ y = v / ⎪z = w / . 则= , 有 ∂(u , v , w )I = 3⎰⎰⎰ u 2+v 2+w 2≤1(u 2 + v 2 + w 2 -1)dudvdw .(4 分)使用球坐标变换, 我们有3 2ππ 1I = ⎰ d ϕ ⎰ d θ ⎰(r 2-1)r 2sin θ dr = - 0 0 0π . (４分)六、(14 分) 设 I a (r ) = ydx - xdy , 其中a 为常数, 曲线C 为椭圆 x + xy + y = r , 取正(x 2+ y 2 )a向. 求极限 lim I (r ) . r →+∞⎧⎪ x = (u - v ) / 解. 作变换⎨⎪⎩ y = (u + v ) / 曲线C 变为uov 平面上的,Γ : 3 u 2 + 1v2= r 2, 也是取正向(2 分)2 2且 有 x 2 + y 2 = u 2 + v 2,ydx - xdy = vdu - udv ,I (r ) = vdu - u dv.(2 分)Γ⎧ 2⎪u = 作变换⎨ r cos θ3, 则有vdu - u dv = - 2 r 2d θ ⎪ v = I a (r ) = -2π2r sin θ 2 r 2 (-1a 2π)0 (2 cos d θd θ 2 θ / 3+ 2sin 2θ )a = - r-2a ( J 1,其中 J a =⎰ (2 cos2θ / 3 + 2sin 2 θ )a, 0 < J a < +∞ .(3 分) 因此当a > 1和a < 1, 所求极限分别为 0 和-∞ .(2 分)2 3 4 622C15= π3 . n+ ⎛ an -1 ⎝ n ⎨ ⎩∑ ∞ n1 1 n+∞⎰ 而当a = 1,2πJ 1 = ⎰2 c o 2s θd θ /+3 2 2s θπ / 2= 4 ⎰d t a n θ +2 / 3 θ2= 4 d t + 2(3 分)故所求极限为i n⎧ 0, 0a > 12 t a n 0t 2 / 3lim I r →+∞(r ) = ⎪ -∞, ⎪-2π , a < 1 . (2 分)a = 1∞1+ 1 + + 1 七、(14 分) 判断级数2 n 的敛散性, 若收敛，求其和. n =1(n +1)(n + 2)解: (1) 记 a = 1+ 1 ++ 1 ， u = a n , n = 1,2,3, .n2因为n 充分大时n n(n +1)(n + 2)0 < a = 1+ 1 + + 1< 1+n 1dx = 1+ ln n <, (3 分)n2 n ⎰1x所以 u ≤<1而∞1 收敛，所以∑ u 收敛. (2 分)n(n + 1)(n + 2)n 3/2∑3/2n =1n n =1（2） a k = 1+ ++ (k = 1,2,....)2 k 1+ 1 + + 1 n2 k n a k n ⎛ a k a k ⎫ S n = ∑ (k +1)(k + 2) =∑ (k +1)(k + 2) =∑ k + -+ 2 ⎪k =1 k =1k =1 ⎝ 1 k ⎭ = ⎛ a 1 - a 1 ⎫ + ⎛ a 2 - a 2 ⎫ +- a n -1 ⎫ + ⎛ a n- a n ⎫(2 分)2 3 ⎪ 3 4 ⎪ n +1 ⎪ n +1 n + 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎭ ⎝ ⎭= 1 a + 1 (a - a ) + 1 (a - a ) + + 1 (a - a ) - 1 a(2 分)2 13 2 14 3 2 n +1 n n -1n + 2 n= ⎛ 1 + 1 + 1 + +1 ⎫ - 1 a = 1- 1 - 1 a .(2 分)1⋅2 2⋅3 3⋅ 4 n ⋅ (n -1) ⎪ n + 2 n n n + 2 n⎝ ⎭因为0 < a n < 1+ ln n 所以0 <a n<1+ ln n 且 lim1+ ln n = 0. 所以lim a n= 0. n + 2 n + 2 n →∞ n + 2 n →∞ n + 2 于是 S = lim S = 1- 0 - 0 = 1 . 证毕。
一、1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型8．连续函数的性质和初等函数的连续性9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘8. 函数最大值和最小值及其简单应用9. 弧微分、曲率、曲率半径三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念2.不定积分的基本性质、基本积分公式3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分6.广义积分7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四常微分方程1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全\微分方程3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：4.线性微分方程解的性质及解的结构定理5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件. 4.多元复合函数、隐函数的求导法5.二阶偏导数、方向导数和梯度6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线7.二元函数的二阶泰勒公式8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz) 判别法3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛4.函数项级数的收敛域与和函数的概念5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法7.初等函数的幂级数展开式8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,1]上的正弦级数和余弦级数。
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，xx exe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x xx ex -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
第五届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案（非数学类， 2014 ）一、解答下列各题（本题共 28 分，每小题 7 分） 1. 计算积分22220sin xtxdx dt tππ⎰⎰解：交换积分次序得22220sin xt xdx dt t ππ⎰⎰22222000sin 1sin 2t t dt xdx tdt t ππ==⎰⎰⎰22014sin 2tdt π=⋅⎰12222ππ=⋅⋅=２、设f(x)是区间[0,1]上的连续函数，且满足1()1,f x dx =⎰求一个这样的函数f(x)使得积分1220(1)()x f x dx +⎰取得最小值。
解：101()f x dx =⎰1(f x dx =⎰ ()11211222201(1)()1x f x dxdx x ⎛⎫≤+ ⎪+⎝⎭⎰⎰ ()11212220(1)()4x f x dxπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰()1122204(1)()x f x dxπ⇒+≥⎰，取24()(1)f x x π=+即可。
３、设F(x,y,z)和G(x,y,z)有连续偏导数，雅可比行列式(,)0(,)F G x z ∂≠∂，曲线(,,)0:(,,)0F x y z G x y z =⎧Γ⎨=⎩过点0000(,,).P x y z 记Γ在xoy 平面上的投影曲线为Ｓ，求Ｓ上过点00(,)x y 的切线方程。
解：由两方程定义的曲面在0000(,,)P x y z 的切面分别为 000000()()()()()()0x y z F P x x F P y y F P z z -+-+-= 000000()()()()()()0x y z G P x x G P y y G P z z -+-+-=上述两切面的交线就是Γ在P 0点的切线，该切线在xoy 面上的投影就是Ｓ过00(,)x y 的切线。
消去z-z 0,可得0000()()()()0x z x z P y z y z P F G G F x x F G G F y y --+--= 这里0x x -的系数是(,)0(,)F G x z ∂≠∂，故上式是一条直线的方程，就是所要求的切线。
五大竞赛考试题目及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪项是计算机编程中常用的数据结构？A. 线性表B. 树形结构C. 链式存储D. 所有选项都是答案：D2. 化学中，元素周期表的第118号元素是什么？A. 氧B. 氢C. 氦D. 奥格尼森答案：D3. 在物理学中，光速在真空中的速度是多少？A. 299,792,458米/秒B. 299,792,458千米/秒C. 299,792,458厘米/秒D. 299,792,458光年/秒答案：B4. 数学中，圆的面积公式是什么？A. A = πr²B. A = 2πrC. A = πrD. A = 4πr²答案：A5. 生物学中，DNA的双螺旋结构是由哪位科学家发现的？A. 达尔文B. 孟德尔C. 沃森和克里克D. 爱因斯坦答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 在计算机科学中，二进制数1011转换为十进制数是______。
答案：112. 化学中，水的化学式是______。
答案：H2O3. 物理学中，牛顿第二定律的公式是______。
答案：F=ma4. 数学中，勾股定理的公式是______。
答案：a² + b² = c²5. 生物学中，细胞的有丝分裂过程中，染色体的数量在后期会______。
答案：加倍三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述计算机操作系统的主要功能。
答案：计算机操作系统的主要功能包括管理计算机硬件资源，提供用户界面，控制程序执行，以及处理数据存储等。
2. 描述化学中的酸碱中和反应。
答案：酸碱中和反应是指酸和碱在一定条件下反应生成盐和水的过程，反应中酸的氢离子和碱的氢氧根离子结合生成水分子。
3. 简述物理学中的相对论。
答案：相对论是爱因斯坦提出的物理理论，包括狭义相对论和广义相对论。
狭义相对论主要描述在没有重力作用下的物体运动规律，广义相对论则描述了在重力作用下的物体运动规律。
2009年 第一屆全國大學生數學競賽預賽試卷一、填空題（每小題5分，共20分）1．計算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中區域D 由直線1=+y x 與兩坐標軸所圍成三角形區域.2．設)(x f 是連續函數，且滿足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 則=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x の切平面方程是__________. 4．設函數)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =確定，其中f 具有二階導數，且1≠'f ，則=22d d xy________________. 二、（5分）求極限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是給定の正整數.三、（15分）設函數)(x f 連續，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim 0，A 為常數，求)(x g '並討論)(x g '在0=x 處の連續性.四、（15分）已知平面區域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 為D の正向邊界，試證：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，xx e xe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二階常系數線性非齊次微分方程の三個解，試求此微分方程.六、（10分）設拋物線c bx ax y ln 22++=過原點.當10≤≤x 時,0≥y ,又已知該拋物線與x 軸及直線1=x 所圍圖形の面積為31.試確定c b a ,,,使此圖形繞x 軸旋轉一周而成の旋轉體の體積最小.七、（15分）已知)(x u n 滿足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函數項級數∑∞=1)(n n x u 之和.八、（10分）求-→1x 時, 與∑∞=02n n x 等價の無窮大量.2010年 第二屆全國大學生數學競賽預賽試卷一、（25分，每小題5分） （1）設22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x xx ex -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5 分，共 20 分）(xy) ln(1 y)1．计算xdxdy ____________ ，其中区域 D 由直线 x y 1与两D1 x y坐标轴所围成三角形区域.1解 : 令 xy u, x v ，则 xv, y u v ，11( x y) ln(1y ) Dx dxdy1 xyu ln u u ln v dudvD1 u1u ln uu uu(udvln vdv)du0 1 01 u 0 1u 2 ln u u(u ln u u) 01 u 1 u du1u 2du（ * ）1 u令 t 1 u ，则u 1 t 2du2tdt ， u 21 2t 2t 4 ， u(1 u) t 2 (1 t)(1 t) ，(*)0 ( 12t2t 4)d t2112 t31 t 512t 4)dt 2 t2 (1 2t352．设 f ( x) 是连续函数，且满足f (x)3x 22f (x)dx16152 , 则 f (x)____________.令 A 23x2A 2 ，解:f (x)dx ，则 f ( x)A 2A 2)d x 82(A 2)4 2A ,( 3x 2解得 A4 。
因此 f (x) 3x 2 10 。
3 3 ．曲面 z x 2y 2 2 平行平面 2x 2 y z0 的切平面方程是 __________. 32解: 因平面2x2 yz 0 的法向量为 (2,2,1) ， 而 曲 面 z x 2 y 22 在2 ( x 0 , y 0 ) 处 的 法 向 量 为 ( z x (x 0 , y 0 ), z y ( x 0 , y 0 ), 1)， 故( z x ( x 0 , y 0 ), z y ( x 0 , y 0 ), 1) 与 ( 2,2, 1) 平 行 ， 因 此 ， 由 z x x ， z y 2y 知2 z x ( x 0 , y 0 ) x 0 ,2 z y (x 0 , y 0 )2y 0 ，即 x 02, y 0 1 ， 又 z( x 0 , y 0 ) z( 2,1) 5 ， 于 是 曲 面 2x 2yz 0 在( x 0 , y 0 , z( x 0 , y 0 )) 处的切平面方程是 2( x 2) 2( y 1) ( z5)0 ，即曲面zx 2 y 2 2 平行平面22x 2 y z 0 的切平面方程是 2x 2y z 1 0 。
