首届全国大学生数学竞赛决赛试卷及参考答案

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案（非数学类，2010）一、（20分，每小题5分）1）求极限121lim(1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. 2）计算2∑∑为下半球面z =a 为大于0的常数.3）现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器.已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？4）已知()f x 在11(,)42内满足331()sin cos f x x x'=+，求()f x .解 1）记 121(1)s i n n n k k k S n nπ-==+∑，则 122111()n n k k k S o n n n π-=⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑.11223111()n n k k k ko n n nππ--===++∑∑5236πππ→+=2） 将∑（或分片后）投影到相应坐标平面上化为二重积分逐块计算。

112yzD I axdydz a ∑==-⎰⎰⎰⎰ 其中yz D 为yoz 平面上的半圆222,0y z a z +≤≤。

利用极坐标，得2310223aI d rdr a ππθπ=-=-⎰⎰22211()[xyD I z a dxdy a dxdy a a ∑=+=-⎰⎰⎰⎰， 其中xy D 为xoy 平面上的圆域222x y a +≤。

利用极坐标，得()22232001226a I d a r rdr a a ππθ=-=⎰⎰。

因此，3122I I I a π=+=-。

3）设圆柱容器的高为h ,上下底的径为r ，则有22,Vr h V h rππ==或。

所需费用为222()222bV F r a r b rh a r rπππ=+=+显然，'22()4bV F r a r rπ=-。

那么，费用最少意味着 '()0F r =，也即32bV r a π=这时高与底的直径之比为322h V ar r bπ==。

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分）1.计算 $\iint_D \frac{y}{x+y-1} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中区域$D$ 由直线$x+y=1$ 与两坐标轴所围成三角形区域。

2.设 $f(x)$ 是连续函数，且满足 $f(x)=3x^2-\intf(x)\mathrm{d}x-2$，则 $f(x)=\underline{\hspace{2em}}$。

3.曲面 $z=\frac{x^2+y^2-2}{2}$ 平行于平面 $2x+2y-z=$ 的切平面方程是 $\underline{\hspace{2em}}$。

4.设函数 $y=y(x)$ 由方程 $xe^{f(y)}=\ln 29$ 确定，其中$f$ 具有二阶导数，且 $f'\neq 1$，则$y''=\underline{\hspace{2em}}$。

二、（5分）求极限 $\lim\limits_{x\to n}\frac{e^{ex+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}}{x}$。

三、（15分）设函数 $f(x)$ 连续，$g(x)=\intf(xt)\mathrm{d}t$，且 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=A$，$A$ 为常数，求 $g'(x)$ 并讨论 $g'(x)$ 在 $x=1$ 处的连续性。

四、（15分）已知平面区域 $D=\{(x,y)|0\leq x\leq\pi,0\leq y\leq\pi\}$，$L$ 为 $D$ 的正向边界，试证：1）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x=\int_L xe^{-\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x$；2）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x\geq \frac{\pi^2}{2}$。

首届全国大学生数学竞赛试题及答案一、（20分）计算下列各题： 1．求极限 211sin)1(limnk nk n k n π∑-=→∞+解法1因211sin)1(nk nk n k π∑-=+211222sinsin21(2sin21nnk n k nn k πππ∑-=+=）)22cos22(cos1(2sin2122112nk nk n k nn k πππππ+--+=∑-=）)22cos22(cos1(22112nk nk n k nn k πππππ+--+≈∑-=）2112211222cos1(22cos1(nk nk nnk nk nn k n k ππππππ++--+=∑∑-=-=））222211222cos11(22cos1(nk nk nnk nk nnk n k ππππππ--+--+=∑∑=-=））2122222222cos12)12(cos11(2cos )11(nk n nnn n n nnn nn k πππππππ-+--+-+=∑-=）21222222)12(cos2)12(cos12(2cos)11(nk nnn nnnnnn k ππππππ-+---+=∑-=）（*）而2122)12(cosnk n k π-∑-=212222sin2)12(cos22sin21nnk nn k πππ∑-=-=])1(sin[sin2sin2121222nk nk nn k πππ--=∑-=2222sin 2sin)1(sin nnnn πππ--=222sin2)2(sin2cos nnn nπππ-=（**）将（**）代入（*），然后取极限，得原式]2sin2)2(sin2cos2)12(cos12(2cos)11([lim 222222nnn nnnn nnnnnn ππππππππ-+---+=→∞）]2)2(sin2cos2)8)12(1(12()11([lim 22342222nn nnnn n nn nn ππππππ-+----+=∞→）]2)2(sin2cos2)21(12()11([lim 2232222nn nnnn nn nn ππππππ-+---+=∞→）)]48)2(2)2()(81(2)21(12()11([lim 633222232222nn nn nnnnnnnn πππππππ----+---+=∞→）)]482)(81(2)21(12()11([lim 33222232222nnnnnnnnnnn ππππππππ---+---+=∞→）65π=上式中含2n 的项的系数为0121=+-πππ，含n 的项的系数为0)2(111=-++πππ，常数项系数为656824ππππππ=-=-- 解法2 Step 1因∑-=112sinn k nk π211222sinsin22sin 21nnk nn k πππ∑-==)22cos22(cos2sin2122112nk nk nn k πππππ+--=∑-=)2)12(cos2(cos2sin21222nn nnπππ--=故)2)12(cos2(cos2sin21limsinlim222112nn nnnk n n k n ππππ--=→∞-=→∞∑)2)12(cos2(cos1lim222nn nnn πππ--=→∞nnn nn 2sin2)1(sin2lim22πππ-=→∞nnn n n 22)1(2lim22πππ-=∞→2π=Step 2因222)12(cosnk nk π-∑=22222sin 2)12(cos22sin21nnk nnk πππ∑=-=])1(sin[sin2sin212222nk nk nnk πππ--=∑=2222sin2sinsin nnnn πππ-=2222sin2)1(sin2)1(cos nnn nn πππ-+=因此∑-=112sinn k nk nk π211222sinsin22sin21nnk n k nn k πππ∑-==]2)12(cos2)12(cos[2sin212112112nk nk nk n k nn k n k πππ+--=∑∑-=-=]2)12(cos12)12(cos[2sin21222112nk nk nk nk nnk n k πππ----=∑∑=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=∑-=2122222)12(cos12)12(cos 12cos 12sin21n k nn n n n n n nn k ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=∑=222222)12(cos12)12(cos 2cos 12sin21n k nn n n nnnk ππππ(*)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=2222222sin 2)1(sin 2)1(cos 2)12(cos 2cos 12sin21n n n n n n n n n n nππππππ于是∑-=→∞112sinlimn k n nk nk π⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=→∞2222222sin 2)1(sin 2)1(cos 2)12(cos 2cos 12sin21limn n n n n n n n n n nn ππππππ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---=→∞n n n n n n n n n n 22)1(sin 2)1(cos 8)12(11lim 224222πππππ）（ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+-++-=∞→n n n n n n n n n n n 2)48)1(2)1()(8)1(1211lim 6332422222ππππππ（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----++-=∞→)24)1(1)(81211lim 52322222n n n n n n n n n ππππ（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-=∞→)241()(81211lim 2222222n n n n n n n n ππππ（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-=∞→)2411)(81211lim 2222222n n n n n n n ππππ（ ）（222222282411211limnnnnnnn ππππ---++-=→∞）（22222228242limnnnnn ππππ--=∞→62ππ-=3π=原式6532πππ=+=解法3 因存在),0(2nk k π∈ξ使得)sin)(1(sin)1()1(2211211211nk nk nk nk nk n k n k n k n k n k π-π+=π+-π+∑∑∑-=-=-=311sin !31)1(k n k n k ξ+=∑-= 故211211sin)1()1(nk nk n k n k n k n k π+-π+∑∑-=-=311311sin !31)1(sin !31)1(k n k kn k n kn kξ+≤ξ+≤∑∑-=-=∑∑∑∑-=-=-=-=π=π≤π+≤ξ+≤11363321132113113)(261))(1(61sin !31)1(n k n k n k k n k knnk nk n k n k∑-=π=113633n k kn2．计算⎰⎰∑++++2222)(zy x dxdya z axdydz ，其中 ∑为下半球面222yx a z ---= 的上侧, 0>a .解 记1∑为平面 222,0a y x z ≤+= 的上侧，2∑为下半球面222yx a z ---= 的下侧，Ω是由1∑和2∑所围成的立体，则422222211)(adxdy a dxdy a dxdy a z axdydz ay x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑∑===++π，设,sin ,cos θθr y r x ==则⎰⎰∑+∑++212)(dxdy a z axdydz⎰⎰⎰Ω+++=dxdydza z a )220(⎰⎰⎰Ω+=dxdydza z )32(⎰⎰⎰≤+---+=222222)32(ay x yx a dz a z dxdy⎰⎰≤+---+=22222202]3[ay x yx a dxdyaz z⎰⎰≤+--+++-=222)3(222222ay x dxdyy x a a y x a⎰⎰≤≤≤≤-++-=πθθ2002222d d )3(a r r r r a a r a⎰-++-=arr r a a r a 02222d )3(2π⎰-++-=a r r a a r a 022222)d()3(π⎰-++-=22122d ))(3(auu a a u a π223222)(42au a a u u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=π274a π=⎰⎰∑++++2222)(zy x dxdya z axdydz⎰⎰⎰⎰∑∑+∑+++++-=12122)(1)(1dxdya z axdydzadxdy a z axdydz a227333a a a πππ-=+-=3．现 设计一个容积为V 的圆柱体容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元. 试给出最节省的设计方案；即高与的上下底直径之比为何值时所需费用最少？解 设圆柱体的底半径为r ，高为h ，则h r V 2π=，2rVh π=总造价为222r a rh b P ππ+=222r a rbV π+=，则2322242rra bV r a rbV P ππ--=+-='，由0='P 知，解得312⎪⎭⎫⎝⎛=πa bV r ，312⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππa bV Vh ，因为是惟一的驻点，所以当3122323131222222:2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=Va ba bV V a bV a bV V h r ππππππ时，所需费用最少. 4．已知 x x x f 33cos sin1)(+='，)21,41(∈x ，求)(x f解法1 因x x x f 33cos sin 1)(+='，)21,41(∈x ，故 ⎰+=x xx x f d cos sin 1)(33 ⎰+-+=x x x x x x x d )cos )(sin cos sin cos (sin122⎰+-=x x x x x d )cos )(sin cos sin1(1⎰+-=x x x d )4sin()2sin 211(21π ⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x d )4sin()22cos(211121ππ⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x d )4sin()4(2cos 211121ππ令)4(21π+=x t ，则⎰+=t tt x f d 2sin )4cos 211(2)(⎰+=t t t t d cos sin )4cos 2(2⎰-+=t tt t t d cos sin )2sin2cos 2(222⎰+=ttt t t d cos sin )2sin2cos3(222⎰+-=ttt t t t t d cos sin )cos sin 4)sin (cos3(222222⎰-++=t tt t t t t t t d cos sin )cos sin 2sin 3cos 3()cos (sin 22244222⎰-+++=t tt t t t t tt t t d cos sin )cos sin 2sin 3cos 3(cos sin 2sin cos 222442244⎰-+++=t tt t t t tan d tan )tan 2tan 33(tan 2tan 122424令t u tan =，2u v =，则⎰-+++=u u u u uu x f d )233(212)(2424⎰-+++=224224d )233(2122uu u uuu⎰-+++=v v vv vv d )233(212222⎰+-++=vv vv v v d )323(122222令)()323(1222v R vA v v v v v +=+-++，则31=A ，)323(332336331)323(12)(22222+--+-++=-+-++=v v v v v v v vv v v v v v R )323(382+-=v v因此⎰⎰+-+=323d 324d 62)(2v vvvv x f⎰+-+=323d 324ln 622v vvv ⎰+-+=98)31(d 924ln 622v v vC v v +-+=32231arctan3221924ln 62Cv v +-+=2213arctan 32ln 62C t t +-+=221tan 3arctan32tan ln 6222Ct t +-+=221tan 3arctan32tan ln 6222Cxx +-+++=221)82(tan 3arctan32)82(tan ln 6222ππ解法2 令4π+=x t ，t y cos =，则因xx x f 33cos sin1)(+='，)21,41(∈x ，故 ⎰+=x xx x f d cos sin1)(33⎰+-+=x x x x x x x d )cos )(sin cos sin cos (sin122⎰+-=x x x x x d )cos )(sin cos sin1(1⎰+-=x x x d )4sin()2sin 211(21π ⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x d )4sin()22cos(211121ππ⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x d )4sin()4(2cos 211121ππ⎰+=t tt d sin )2cos 211(2⎰-+=t tt td sin )]1cos 2(211[sin 222⎰-+=t t t td )cos 1)(cos 21(sin 222⎰-+-=t t t cos d )cos 1)(cos 21(222⎰-+-=y y y d )1)(21(1222⎰++-++-=y yy y d )1111214(322⎰⎰⎰+---+-=y yyyyy1d 321d 3221d 4322⎰⎰⎰++---++-=yy yy yy 11d(321)1d(3221)2d(342）C y y y ++--+-=1ln 321ln 32)2arctan(34C yy y ++-+-=11ln32)2arctan(34C yy y +--+-=221)1(ln32)2arctan(34C ttt t ++-+-=22sin cos cos 21ln32)cos 2arctan(34C x x x +π+π+-+π+-=)4sin()4cos(21ln322))4cos(2arctan(34C x x x +π+-π++π+-=)4cot(2)4csc(ln 322))4cos(2arctan(34解法3（略解） 令4π+=x t ，t y cos =，则⎰+=x xx x f d cos sin1)(33⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x d )4sin()4(2cos 211121ππ⎰+=t tt d sin )2cos 211(2⎰-+-=t t t cos d )cos 1)(cos 21(222⎰-+-=y y y d )1)(21(1222⎰⎰⎰++---++-=yy yy yy 11d(321)1d(3221)2d(342）C y y y ++--+-=1ln 321ln 32)2arctan(34C y y y ++--+-=1ln 321ln 32)2arctan(34Cx x x +π++-π+-+π+-=))4cos(1ln(32))4cos(1ln(32))4cos(2arctan(34二、（10分）求下列极限 1．⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→e nn n n )11(lim解 设x x x f 1)1()(+=, 则))1ln()1(1()1()(21xx x x x x f x +-++=')1()1ln()1()(2x x x x x x f +++-=原式=)(lim )1(lim1x f xex x x x '=-+→→)()(lim)(lim 00x f x f x f x x '=→→)1()1ln()1(lim)(lim 2x x x x x x f x x +++-=→→2)1ln()1(limxx x x e x ++-=→22)1ln(lime xx e x -=+-=→2．nn n n n c b a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→3lim 111，其中0>a ，0>b ，0>c解 因3ln3ln ln ln 3ln ln ln lim33limabc cb a cc b b a a xc b a xx x x xx x x =++=++=-++→→故 原式=333lim)13(1lim10003lim abc e e c b a xc b a cb a x xxxxx xxxx xxxx ===⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++-++→→→三、（10分）设)(x f 在1=x 处可导，0)1(=f ，2)1(='f ，求xx x x x f x tan )cos (si nlim22++→解 设)(x f 在1=x 处可导，0)1(=f ，2)1(='f ，则xx x f x x f xx x x x f x x tan )1()cos (sinlimtan )cos (sinlim2222+-+=++→→1cos sin)1()cos (sinlim1cos sinlimtan lim222222-+-+-++=→→→x x f x x f xx x xx x xx x x1cos sin )1()cos (sinlim2sin cos sin 2limcos 111lim222-+-+-+=→→→x x f x x f xxx x xx x x1cos sin )1()cos (sinlim2sin cos sin 2lim2122-+-+-=→→x x f x x f xxx x x x1cos sin)1()cos (sinlim21cos 2limsin lim2122-+-+-=→→→x x f x x f x xx x x x1cos sin )1()cos (sinlim4122-+-+=→x x f x x f x 1)1()(lim411--=→t f t f t )1(41f '=21=四、（10分）设)(x f 在),0[+∞上连续，⎰+∞0d )(x x f 收敛，求⎰+∞→y y x x xf yd )(1lim.解 令⎰=x t t f x G 0d )()(，则因⎰+∞0d )(xx f 收敛，故)(l i m y G y +∞→，不妨设R A y G y ∈=+∞→)(lim ，则[]}d )()(1{lim )(d 1limd )(1lim000⎰⎰⎰-==+∞→+∞→+∞→yyy y y y y x x G x xG yx G x yx x xf y)d )(1)((lim 0⎰-=+∞→y y x x G yy G⎰+∞→-=y y x x G yA 0d )(1lim0)(lim =-=-=+∞→A A y G A y五、（12分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可微，且0)1()0(==f f ，1)21(=f ，证明：（1）存在⎪⎭⎫⎝⎛∈1,21ξ使得ξξ=)(f ；（2）存在()ξη,0∈使得1)()(+-='ηηηf f .证 （1）记x x f x F -=)()(，则函数)(x F 在]1,21[上连续，且1)1(-=F ，21)21(=F ，故由零点存在性定理知存在⎪⎭⎫⎝⎛∈1,21ξ使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f . （2）因x x x f x f e x d )1)()((⎰+-'--xe x xex x f e x x f e xxxxd d d )(d )(⎰⎰⎰⎰----+-'-=x eex x f e x x f exxxx d d )(d d )(⎰⎰⎰⎰----++-=xxxex f e--+-=)(故令x e x x f x F --=))(()(, 则函数)(x F 在],0[ξ上连续，在()ξ,0内可微，0)0(=F ,0)(=ξF ,x x ex x f e x f x F -----'='))(()1)(()(, 故由罗尔定理知,存在()ξη,0∈使得0)(='ηF , 1)()(+-='ηηηf f .六、（14分）设1>n 为整数，⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=-x ntt n t t t e x F 02d !!2!11)( ，证明：方程 2)(n x F =在⎪⎭⎫⎝⎛n n ,2内至少有一个根.证记!!2!11)(2n ttt t p nn ++++= ,)!!2!11()(2n ttt e t r ntn ++++-= ,则)()(t r e t p n tn -=,且当0>t 时,0)(>t p n , 0)(>t r n ,0)(>-t r e n t.记2)()(n x F x -=ψ，则⎰--=n n ttt r e n x 0d )(2)(ψ,因⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=-x ntt n t t t e x F 02d !!2!11)( ，故 函数)(x ψ在],2[n n上连续，在⎪⎭⎫ ⎝⎛n n ,2内可微，且2)2()2(n n F n -=ψ⎰⎰<-=--=--20200d )(2d ))(1(nn tnn tt t r e n t t r e ,2d )()(0n t t p en n n t-=⎰-ψ ⎰⎰⎰⎰----+-=+--=20222d )(d )(d )(2d ))(1(nn n n tn tn n n tnn ttt p e t t r e tt p e n t t r e⎰⎰++-=---20202d )2(d )(nn n n t n tt n t p et t r e⎰⎰+++-=---20202d )2(d )!1(1n nn n t tt n t p et e e n ξ⎰⎰+-++-=+---22022d ))2((d )!1(1n nn n t n t t t n t r eet e e n ξ⎰⎰+---+-+-=202022d )!1(1d )!1(121n n n n t t t een t e e n n ξξ⎰⎰--+-+-=2020d )!1(1d )!1(121n n t t t e e n t e e n n ξξ⎰-+->202d )!1(22n ntt e e n n[]22)!1(22n t nee n n -++=)1()!1(222-+-=ne n n)!1(2)!1(222+++-=n n e n n)!1(22)!1(2222+-=+->n e n n en nn012>->n （若2>n ，则左边的两个不等式都成立）()()⎰⎰-+-=-+=-=--11021d 121d 121)1()1(tte t t t eF ψ()[]⎰-++-=--101021d 1t eet tt032321)1(2111>-=--+-=--e e e031)2(>->e ψ01223!4223)3(1223144144314923232333>-=->⇒>⇒>>>e e e eψ01232452!522)4(2>->->->e e eψ,0122212ee12)(>->++->nn n n n ennψ故由零点存在性定理知, 存在),2(n n ∈ξ使得0)(=ξψ, 即2)(nF =ξ.七、（12分）是否存在R 中的可微函数)(x f 使得53421))((x x x x x f f --++=? 若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.解 不存在假如存在R 中的可微函数)(x f 使得54321))((x x x x x f f -+-+=，则4325432)))((x x x x x f x f f -+-=''（， 若1)1(=f ，则025432)1))1(()]1[2<-=-+-=''='（（f f f f 矛盾。

首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷（数学类，2009）一、求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z −==+，3:11L x y z =+=−的圆柱面的方程.二、设n n C ×是n n ×复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，121000100010001n n n a a F a a −−−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠#########. （1）假设111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠"""""""，若AF FA =，证明： 121112111n n n n A a F a F a F a E −−−=++++".（2）求n n C ×的子空间{}()|n n C F X C FX XF ×=∈=的维数.三、假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换.如果fg gf f −=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.四、设{}()n f x 是定义在[],a b 上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在[],a b 上满足'()n f x M ≤.（1）证明{}()n f x 在[],a b 上一致收敛；（2）记()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在[],a b 上处处可导，为什么?五、设320sin d sin n nt a t t t π=∫， 证明11n n a ∞=∑发散. 六、(,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f f x y x y ∂∂+=∂∂，计算积分221d d x y I x y +≤⎛⎞=∫∫. 七、假设函数 ()f x 在 [0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点 (0,(0))A f ，与点 (1,(1))B f 的直线与曲线 ()y f x =相交于点 (,())C c f c ，其中 01c <<. 证明：在 (0,1)内至少存在一点 ξ，使 ()0f ξ′′=.。