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妙构函数巧用单调性解题举例关键词：妙构函数，巧用单调性，证题，求最值，求范围有些数学习题，所给的并不是函数，如果按常规来做，有一定的难度，而且过程复杂，这时分析所给题的特点，若能换个角度, 构造一个函数，可能会起到事半功倍之功效，不仅能使学生感受到数学的美妙以及构造法的神奇，而且更能激发起学生探索的意识和创新欲望，突破思维的常规，使思路更简捷、明快。
下面就妙构函数f(х)=ⅹ＋χa (a>0)的形式，巧用f(х)在(0,a ]上为减函数，在[a ,＋∞)为增函数这一单调性在证明、求最值、求范围等问题的应用，举例供大家参考。
一、构造函数巧证题例1.已知a∈R ＋，求证a ＋a 4＋a a 41+≥47 证明：设ⅹ=a＋a 4则构造函数f(ⅹ)=ⅹ＋χ1 ∵a∈R ＋ ∴ⅹ=a＋a 4≥4 即ⅹ∈[4,＋∞) 又∵f(ⅹ)在[1,＋∞)上为增函数。
∴f(ⅹ)在[4,＋∞）上仍为增函数。
∴当ⅹ=4时,f(х)有最小值 即f(ⅹ)min =4＋41=417 ∴х∈[4,＋∞)时 f(ⅹ)≥417 故a∈R ＋时 a ＋a 4＋a 4a 1+≥47 例2.设a 、b 为正数，求证1a +>b ①成立的充要条件是：对于任意实数ⅹ>1，恒有aⅹ＋1－χχ>b;② 分析：只要证不等式②对任意的ⅹ>1恒成立的充要条件是不等式①成立。
证明：设f(ⅹ)=aⅹ+1－χχ(ⅹ>1)，即构造了一个函数f(ⅹ) ∵ⅹ>1 ∴х-1>0 又a>0∴f(х)=a ⅹ＋1－χχ=a х＋1＋11－χ=a(ⅹ-1)＋11－χ＋a ＋1≥2+a a ＋1=(a +1)2 ∴f(х)min =(a +1)2∵对任意х>1有a х+1－χχ>b 成立的充要条件是f(ⅹ)min >b ∴(a +1)2>b 又∵b>0 ∴a +1>b故①成立的充要条件是②由以上两例可知，利用不等式不便解决或者无法解决的问题，一般回到函数方法来解决，效果比较好。
一道高考立体几何试题的几种简捷解法摘 要：本文给出了2018年全国卷文科第15题的4种简捷解法。
关键词：高考试题；简捷解法；类比 中图分类号：G6322018年高考全国卷文科填空题第15题：在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB ²+AC ²=BC ².”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 两两互相垂直，则 .”答案: 2222BCD ABC ACD ABD S S S S ∆∆∆∆=++解法1：（先猜测，再特殊值验证法）在平面内，若直角三角形△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则 AB ²+AC ²=BC ².猜想在空间内，三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 两两互相垂直，则2222BCD ABC ACD ABD S S S S ∆∆∆∆=++．取AB=AC=AD=2，则BC=BD=CD=22,2===∆∆∆ABD ACD ABC S S S ，32=∆BCD S ,2222S S BCD ABD ACD ABC S S ∆∆∆∆=++.解法2：（射影法）设三棱锥A-BCD 的顶点A 在底面的射影为O ，则三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 在底面的投影分别为ΔBOC ，ΔCOD ，ΔBOD.再设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 与底面所成的二面角为θ，则θCOS S S ABC BO C ∆∆=， θCOS S S BCD ABC ∆∆=θCOS S S ABC BOC =∆∆， θCOS S S BCD ABC=∆∆BCDABCABC BOC S S S S ∆∆∆∆=ABDOBCDABCBOCS S S ∆∆∆=2同理：BCD ABD BODS S S ∆∆∆=2, BCDACDCOD S S S ∆∆∆=2BO D CO D BO C BCD S S S S ∆∆∆∆++=BCDABD ACD ABC S S S S ∆∆∆∆++=222则2222BCD ABC ACD ABD S S S S ∆∆∆∆=++.解法3：(解析几何法)设三棱锥A-BCD 的三条侧棱|AB|=a ，|AC|=b ，|AD|=c ，θ=∠BCD ，则ab S ABC 21=∆，bc S ACD 21=∆，ac S ABD 21=∆22||b a BC +=，22||c b CD +=，22||c a BD +=在三角形ΔBCD 中，由余弦定理可得：))((cos 22222c b b a b ++=θ，由诱导公式可得：))((cos 1sin 22222222222c b b a c b c a b a ++++=-=θθ，22222221sin ||||21c b c a b a CD BC S BCD++==∆θ2222222222S )(41ABDACD ABC BCDS S c b c a b a S∆∆∆∆++=++=即2222BCD ABC ACD ABD S S S S ∆∆∆∆=++.解法4：(等体积法) 由 ||31AC S V ABD ∆=, ||31AB S V ACD ∆=, ||31AD S V ABC ∆=, 过点A 作AE ⊥BC,垂足为E,连接DE,再过点A 作AF ⊥DE, 垂足为F, 则||31AF S V BCD ∆=ABCDA BCDEF得：||3AC V S ABD =∆ ||3AB VS ACD =∆ ||3AD V S ABC =∆ ||3AF VS BCD =∆ 则：)||1||1||1(92222222AD AB AC V S S S ABC ACD ABD ++=++∆∆∆ 又由三角形的面积公式可得：||||||||||22AE AC AB AC AB ⋅+=⋅ 22||||||||||AC AB AC AB AE +⋅=2222222222||||||||||||||||||||||AC AB AC AB AD AC AD AB AE AD DE +++=+=2222222222||||||||||||||||||||||||||||||||||AC AB AD AC AD AB AC AB AC AB AC AB AD DE AE AD AF +++⋅+⋅⋅=⋅= 222222||||||||||||||||||AC AB AD AC AD AB AC AB AD ++⋅⋅=2222222222222||1||1||1||||||||||||||||||||1AD AB AC AC AB AD AC AB AD AC AD AB AF ++=⋅⋅++= 则)||1||1||1(9||92222222AD AB AC V AF V SBCD++==∆ 综上可得2222BCD ABC ACD ABD S S S S ∆∆∆∆=++一道精彩的高考题,犹如一道靓丽的风景,只要我们仔细地去发现、去品味，就一定会为其丰富而简捷的解法而陶醉和惊叹。
解题要找关键点在解数学题的过程中，寻找问题的要害处，就是寻找解题的突破口，突破口就是解题的入口，抓住了问题要害的关键点，问题就不难解决了。
例1.双曲线221x ny -=（n ＞1）的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足1222PF PF n +=+，则△PF 1F 2的面积为A.1B.12C.2D.4分析：题中含有参数，而所有选项都是常数.这一特殊结构注定应走消参之路.消参，便是本题的要害即关键点.解析：设双曲线221x n y -=（n ＞1）的实、虚半轴、半焦距依次为a 、b 、c ，那么a n =，b=1，1c n =+，不妨设点P 在双曲线右支上，由双曲线的定义：122PF PF n -=（1）而由条件：1222PF PF n +=+ （2） 解（1），（2）得：122PF n n =++222PF n n =+-，1221F F n =+.可知：2221212PF PF F F +=∴∠F 1PF 2=900.于是S △F1PF2=[]PF PF 1⨯⨯=１１１２２２＝（n+2)-n例2 f(x+y)=f(x)f(y)对任意x,y 都成立,且f(1)=3，则(1)(2)(3)(2008)(0)(1)(2)(2007)f f f f f f f f ++++=L _____分析:本题的“要害”在哪里？注意到待求值的分式是连续2008个比值之和，这些比值有什么规律？自变量的规律是明显的，那么函数值的相应比值呢？这正是关键所在. 解析：在f(x+y)=f(x)f(y)中,令x=k,y=1,那么 f(K+1)=f(k)f(1), 又f(1)=3，∴(1)f k f(1)3f k +==（）(1)又有f(1)=f(1+0)=f(1)f(0),知f(0)=1.故知数列f(0)，f(1),f(2),…是首项为1,公比为3的等比数列.在(1)中依次令k=0,1,2,…,2007,得(1)(2)(3)(2008)(0)(1)(2)(2007)320086024f f f f f f f f ++++=⨯=L点评:本题的关键点即“要害”所在,是看见f(k)是等比数列. 例3.设122()xf x +=，利用课本中推到等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为解析： f(x)+f(1-x)= 12222112222222222222(22)x xx x x x x -+++⋅++⋅++=+==.令x=1,2,3,4,5,6.得f(1)+f(0)=f(2)+f(-1)=f(3)+f(-2)=f(4)+f(-3)=f(5)+f(-4)=f(6)+f(-5)= 22.∴原式=22×6=32.点评：本题的“要害”之处在哪里？其实题本身已作了提示：“利用课本中推到等差数列前n 项和的公式的方法”.那是什么方法？是抓住了等差数列“与首末等距离的两项之和相等”这个“关键”.若能发现f(x)+f(1-x)=22这个要害之处，一切矛盾也就迎忍而解.例4. 离心率512e -＝的椭圆称为优美椭圆，A 、F 分别是它的左顶点与右焦点，B 是它的短轴的一个端点，则∠ABF ＝解析1：∵a 2＝b 2+c 2，得22b ae 1+（）＝. ∴225151b ca 22a1---（）＝（）＝＝，∴b 2＝ac. ABC V 中，∵2OB OA OF ⋅＝，∴∠ABF ＝900. 解析2：∵512e=-，∴2e+15=，e 2+e+1=0，∵cae =，∴22c ca a 10++=，∴b 2＝ac ，∴∠A BF=900.点评：本题的“要害”是51ce a -=＝，由a 2＝b 2+c 2关系，可推出b 2＝ac ，问题得到解决。
甘肃省武威市第六中学2018-2019学年高二下学期第一次学段考试数学（理）试题一、单选题(★) 1 . 函数有（）．A．极大值，极小值B．极大值，极小值C．极大值，无极小值D．极小值，无极大值(★) 2 . 已知函数的值为（）A．B．C．D．(★) 3 . 在上可导，则是函数在点处有极值的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(★) 4 . 如图，是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（）A．在区间上是增函数B．在区间上是减函数C．在区间上是增函数D．当时，取极大值(★) 5 . 观察下列各式：a+b=1.a ²2+b 2=3，a 3+b 3="4" ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10= A．28B．76C．123D．199(★★) 6 . 函数,当时,有恒成立,则实数m 的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 7 . 函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★) 8 . 若函数在区间上是减函数,则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★) 9 . 由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6(★) 10 . 曲线上的点到直线的最短距离是（）A．B．C．D．0(★★) 11 . 设，若函数，有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．(★★) 12 . 若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ( )A．或B．或C．或D．或二、填空题(★) 13 . 已知某生产厂家的年利润(单位:万元)与年产量(单位:万件)的函数关系式为=,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为__________万件．(★) 14 . 计算定积分___________。
(★★) 15 . 在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径______________．(★) 16 . 已知存在单调递减区间,则的范围为________.三、解答题(★) 17 . 求下列函数的导数（1）；（2）(★) 18 . 若函数,当时,函数有极值为,(1)求函数的解析式；(2)若有个解,求实数的取值范围.(★★) 19 . 已知数列满足,(1)计算的值；(2)由(1)的结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．(★★) 20 . 已知函数的图象过原点,且在处取得极值,直线与曲线在原点处的切线互相垂直.(1)求函数的解析式;(2)若对任意实数的,恒有成立,求实数的取值范围.(★★) 21 . 已知函数．(1)若，求的最大值；(2)若恒成立，求实数的取值范围．(★★) 22 . 已知函数，，若，求函数的极值；设函数，求函数的单调区间．。
甘肃省武威市第六中学2013-2014学年高一数学下学期期末试卷 文（含解析）第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．设全集{}6U x N x +=∈<，集合{}1,3A =,{}3,5B =则()B A C U ⋃等于（ ） A ．()4,2 B ．()5,2 C.{}5,1 D.{}4,2 【答案】D【解析】 试题分析：由{}1,2,3,4,5U =，{1,3,5}A B ⋃=，所以(){}2,4U C A B ⋃=.故选D.考点：集合的简单运算.2．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x e y -=B.3x y = C.x y ln = D.x y =【答案】B【解析】试题分析：因为x y e -=的定义域为R ，但是为减函数，故A 错；3y x =的定义域为R 且为增函数，故B 正确；ln y x =的定义域为(0,)+∞，故C 错；y x=的定义域为R ，但不是增函数，故D 错；故选B.考点：函数的性质.3．已知命题:,2p x R x ∀∈≥，那么命题p ⌝为（ ） A ．,2x R x ∀∈≤ B ．2,00<∈∃x R x C ．2,-≤∈∀x R x D ．00,2x R x ∃∈<-【答案】B 【解析】试题分析：Q “全称命题”的否定是“存在性命题”，∴命题:,2p x R x ∀∈>，那么p ⌝：00,2x R x ∃∈<.故选B.考点：命题的判断.4．函数()x f 在0x x =处导数存在，若命题p:()00='x f ；命题q:0x x =是()x f 的极值点，则p 是q 的（ ） A.充要条件B.充分不必要的条件C.必要不充分的条件D.既不充分也不必要的条件 【答案】C 【解析】试题分析：由题意易知，0x x =是()f x 的极值点⇒'()0f x =，而'()0f x =得不到0x x =是()f x 的极值点，故p 是q 的必要不充分条件. 故选C.考点：逻辑关系的应用.5．若定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()xe x g xf =+，则()=x f （ ）A.()x x e e --21 B. C.()x x e e --21D ．x x e e --【答案】A【解析】试题分析：Q ()x f 为奇函数和()x g 为偶函数，由()()x f x g x e +=可得，()()xf xg x e--+-=即()()xf xg x e--+=，∴()()()()xxf xg x e f x g x e-⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，可解得1()()2x x f x e e -=-.故选A.考点：函数的奇偶性.6．函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是（ ）A.)2,(-∞B.（0,3）C.（1,4）D.),2(+∞ 【答案】D【解析】试题分析：'()(2)xf x x e =-Q ，由'()0f x >,得2x >，∴()f x 的单调递增区间是(2,)+∞.故选D.考点：利用导数求单调性.7．设()()()[]()⎩⎨⎧<+≥-=10,610,3x x f f x x x f 则()5f 的值为（ ） A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】A 【解析】试题分析：由题意易知，(5)[(11)](8)[(14)](11)8f f f f f f f =====. 故选A.考点：函数的求值. 8．若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（ ）【答案】B 【解析】试题分析：由图易知，log 31,3a a =∴=，3xy -=Q 为减函数，故A 错；B 正确；33()y x x =-=-为减函数，故C 错；3log ()y x =-为减函数，故D 错. 故选B.考点：函数的图象及其性质.9．设32log 31=a ，31log 21=b ，3.021⎪⎭⎫⎝⎛=c 则（ ）A.a b c >>B.c a b >>C.a c b >>D.c b a >>【答案】C 【解析】试题分析：由121113332311log log log ()332a =<==，112211log log 132b =>=，0.30.301111(),()()12222c c =>=<=，112c ∴<<，故a c b <<.故选C.考点：指对数的比较大小.10．设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-1,1,311x x x e x f x 则使得()2≤x f 成立的x 的取值范围是（ ）A ．(]1,∞- B.(]2ln 1,+∞- C.(]8,∞- D.[)8,1 【答案】C【解析】试题分析：当1x <时，由1()2x f x e -=≤，可得1ln2x <+，即1x <；当1x ≥时，由13()2f x x =≤，可得8x ≤，即18x ≤≤，综上8x ≤.故选C考点：函数的求值.11．定义在R 上的偶函数()x f 满足：对任意的[)()2121,0,x x x x ≠+∞∈，有()()01212<--x x x f x f 则（ ） A.(3)(1)(2)f f f <<- B.(3)(2)(1)f f f <-< C.(2)(1)(3)f f f -<< D.(1)(2)(3)f f f <-< 【答案】B 【解析】试题分析：由对任意的[)()2121,0,x x x x ≠+∞∈，有()()01212<--x x x f x f 可知()f x 在[0,)+∞为减函数，(1)(2)(3)f f f ∴>>，又()f x 为偶函数，故(2)(2)f f -=，(1)(2)(3)f f f ∴>->.故选B.考点：函数的性质的应用.12．函数()x f 的定义域为R ，()21=-f ，对任意R x ∈，()2>'x f ，则()42+>x x f 的解集为（ ）A.()1,1-B.()+∞-,1C.()1,-∞-D.()+∞∞-,【答案】B【解析】试题分析：设()()24,g x f x x x R =--∈，'()'()20g x f x ∴=->，即()g x 在R 上为增函数,又(1)(1)240g f -=-+-=，()0g x ∴>的解集为(1,)-+∞，即()24f x x >+的解集为(1,) -+∞.故选B.考点：利用导数求解不等式.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．函数1log 12-=x y 的定义域为 .【答案】(2,)+∞ 【解析】试题分析：由1log 12-=x y ，若使式子有意义，可有2log 10x x >⎧⎨->⎩，解得2x >.故答案为(2,)+∞. 考点：定义域的求解.14．函数()2lg x x f =的单调减区间为 .【答案】(,0)-∞ 【解析】试题分析：由题意可得函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，又lg y t =在其定义域上为增函数，∴()f x 的减区间即为2t x =的减区间，故()f x 的减区间为(,0)-∞. 故答案为(,0)-∞. 考点： 复合函数的单调性.15．曲线233x x y +-=在点()2,1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 .【答案】16【解析】试题分析：由2'36y x x =-+，则函数在点(1,2)处的切线的斜率为3,故切线方程为31y x =-，当0x =时，1y =-，当0y =时，13x =，所以切线方程与坐标轴围成的三角形的面积为1111236⨯⨯=.故答案为16.考点：利用导数求切线.16．设函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,20,22x x x bx x x f 若()()04f f =-，则函数()()2ln +-=x x f y 的零点个数有 个.【答案】4 【解析】试题分析：由(4)(0)f f -=可得，16422b -+=，即4b =，()242,02,0x x x f x x x ⎧++≤⎪∴=⎨->⎪⎩，令()ln(2)0y f x x =-+=，即()ln(2)f x x =+，故()y f x =与ln(2)y x =+的图象如下图所示，由图象易知，()y f x =与ln(2)y x =+的图象有4个交点. 故答案为4.考点：分段函数的图象；函数的零点. 评卷人 得分三、解答题（题型注释）17．已知R 为全集，{}0452<+-=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=023x x x B ，求：（1）B A ⋃； （2）()B A C R ⋂. 【答案】（1）B A ⋃={}42<<-x x （2）()B A C R⋂={}12≤<-x x【解析】试题分析：由已知易求得集合{}14A x x =<<和集合{}23B x x =-<≤，即可求得（1）、（2）的结果.试题解析：由{}{}410452<<=<+-=x x x x x A ，{}32023≤<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=x x x x xB（1）B A ⋃={}42<<-x x（2）由{1R C A x x =≤或}4x ≥，故()B A C R ⋂={}12≤<-x x考点：集合的交、并集的应用.18．已知二次函数()a ax x x f -++-=122在区间[]1,0上有最大值2，求实数a 的值.【答案】1-=a 或2=a 【解析】试题分析：由已知易得函数)(x f 的对称轴为a x =，此时只需讨论a 与区间[]1,0的端点值的大小关系，即可求出)(x f 的最大值，进而求a 的值. 试题解析：函数)(x f 的对称轴为：a x =， 当0<a 时，在[]1,0上递减， ∴()20=f ，即21=-a ∴1-=a当1>a 时，()x f 在[]1,0上递增，∴()21=f ，即2=a ； 当10≤≤a 时，()x f 在[]a ,0递增，在[]1,a 上递减，∴()2=a f ，即212=+-a a ，解得：251±=a 与10≤≤a 矛盾；综上所述1-=a 或2=a考点：二次函数的最值.19．已知0>c ，设命题:p 函数xc y =在R 上为减函数，命题:q 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，函数()cx x x f 11>+=恒成立．如果“p 或q ”为真命题， “p 且q ”为假命题，求c 的取值范围．【答案】102c <≤或1c ≥ 【解析】试题分析：根据指数函数的图像和性质可求出命题p 为真命题时，c 的取值范围；根据对勾函数的图像和性质，结合函数恒成立问题的解答思路，可求出命题q 为真命题时，c 的取值范围，进而根据“p 或q ”为真命题， “p 且q ”为假命题，可知p 和q 一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，即可求出答案.试题解析：因为0c >,所以如果命题p:函数xy c =是真命题,那么01c <<.如果命题q:当1[,2]2x ∈-,函数()cx x x f 11>+=恒成立是真命题，又因为函数()12f x x x =+≥,当且仅当1x x =时，即1x =时，函数()2f x =,所以当1[,2]2x ∈-,函数51()[2,]2f x c ∈>所以12c <,即12c >.又因为p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,所以p 或q 一个为真命题一个为假命题.如果p 为真命题q 为假命题,那么01c <<且12c ≤,所以102c <≤； 如果p 为假命题q 为真命题,那么0c ≤或1c ≥且12c >,所以1c ≥.综上所述，c 的取值范围为102c <≤或1c ≥.考点：命题真假的判断；不等式恒成立问题.20．已知函数()523+++=bx ax x x f ,在曲线()x f y =上的点()()1,1f P 处的切线与直线23+=x y 平行.（1）若函数()x f y =在2-=x 时取得极值，求a ，b 的值； （2）在（1）的条件下求函数()x f y =的单调区间. 【答案】（1） 2,4a b ==-（2） 函数()y f x =的单调递增区间为()2,-∞-,单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,2【解析】试题分析：（1）利用函数()y f x =在点在处的切线与直线32y x =+平行，可得20a b +=①；再由函数()y f x =在2x =-时取得极值，可求得412a b -+=-②，联立①②即可求得结果.（2）由（1）可知，2'()344f x x x =+-，故令'()0f x >可得()y f x =的单增区间，令'()0f x <可得()y f x =的单减区间，即可求得结果.试题解析：（1）2'()32f x x ax b =++,则'(1)323f a b =++=，即20a b +=① ∵()y f x =在2x =-时取得极值，∴'(2)0f -=，即412a b -+=- ② 联立①②解得2,4a b ==-（2）由（1）得32()245f x x x x =+-+∴2'()344f x x x =+- 由'()0f x >得2x <-或23x >，由'()0f x <得223x -<<所以函数y=f （x ）的单调递增区间为()2,-∞-,单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,2考点：利用导数求函数单调性；函数的极值问题.21．已知0>a 且1≠a ，函数()()1log -=x x f a ，()()x x g a-=3log 1（1）若()()()x g x f x h -=，求函数()x h 的值域；（2）利用对数函数单调性讨论不等式()()0≥+x g x f 中x 的取值范围.【答案】（1）当10<<a 时，函数()x h 的值域为[)+∞,0；当1>a 时，函数()x h 的值域为(]0,∞-（2）当10<<a 时,不等式()()0≥+x g x f 中x 的取值范围为(]2,1； 当1>a 时,不等式()()0≥+x g x f 中x 的取值范围为[2,3). 【解析】试题分析：（1）由题意可得⎩⎨⎧>->-0301x x ，可解得()h x 的定义域为31<<x ，然后令()()x x t --=31，进而可求得(]1,0∈t ，最后再对a 分10<<a 和1>a 讨论，即可分别求得()h x 的值域；（2）由题意易得，不等式()()0f x g x +≥可转化为()()f x g x ≥-，即()()x x a a -≥-3log 1log ，此时需对a 分10<<a 和1>a 讨论，进而再利用对数的单调性进行求解，即可求得结果.试题解析：（1）()()()()()x x x x x h a aa --=---=31log 3log 1log 1由⎩⎨⎧>->-0301x x 得31<<x ，所以函数()x h 的定义域为()3,1 令()()x x t --=31 而()3,1∈x 所以(]1,0∈t 当10<<a 时,0log ≥t a 即()0≥x h当1>a 时,0log ≤t a 即()0≤x h所以当10<<a 时，函数()x h 的值域为[)+∞,0；当1>a 时，函数()x h 的值域为(]0,∞-（2） 由()()0≥+x g x f 得()()x g x f -≥即()()x x a a -≥-3log 1log ①当10<<a 时要使不等式①成立则⎪⎩⎪⎨⎧-≤->->-x x x x 310301即21≤<x当时要使不等式①成立则⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-x x x x 310301即32<≤x综上所述当10<<a 时不等式()()0≥+x g x f 中x 的取值范围为(]2,1；当1>a 时不等式()()0≥+x g x f 中x 的取值范围为[2,3).考点：对数的运算公式；对数的性质应用.22．已知函数()x x a x f ln 212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （1）当1=a 时，[]e x ,10∈∃使得()m x f ≤0，求实数m 的取值范围；（2）若在区间()+∞,1上，函数()x f 的图象恒在直线ax y 2=的下方，求实数a 的取值范围.【答案】（1） 21≥m （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21a 【解析】 试题分析：（1）当1=a 时，()x x x f ln 212+=，可得()21x f x x +'=，当[]e x ,1∈时，'()0f x >，由题意易得min()m f x ≥，即可求得结果； （2）由题意知，可构造函数()()x ax x a ax x f x g ln 22122+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=，原问题可转化为()0<x g 在区间()+∞,1上恒成立，即求max ()0g x <；又()()()2111a x x g x x---⎡⎤⎣⎦'=，进而可对a 分121<<a 、1≥a 、21≤a 三类进行讨论， 即可求得max ()g x ，从而求得结果.试题解析：（1）当1=a 时，()x x x f ln 212+= ∴()x x x x x f 112+=+=' 对于[]e x ,1∈,有()0>'x f ,∴()x f 在区间[]e .1上为增函数,∴()()211min ==f x f ∴21≥m （2）令()()x ax x a ax x f x g ln 22122+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=，则()x g 的定义域为()+∞,0 在区间()+∞,1上，函数()x f 的图象恒在直线ax y 2=下方等价于()0<x g 在区间()+∞,1上恒成立.Θ()()()[]()x x x a x a x a x g 11121212---=+--=' ①若121<<a 时，函数()x g 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-121,1a 是减函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,121a 是增函数 ∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥121a g x g ，不合题意； ②若1≥a 时，函数()x g 在区间()+∞,1是增函数，∴()()1g x g >，不合题意； ③若21≤a 时，函数()x g 在区间()+∞,1是减函数，∴()()211--=<a g x g ； 要使()0<x g 在区间()+∞,1上恒成立，则()0211≤--=a g ，即； ∴2121≤≤-a 综合①②③可知，要使函数()x f 的图象恒在直线ax y 2=下方，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21a . 考点：不等式恒成立问题；利用导数求最值问题.。
目录摘要 (III)ABSTRACT (IV)引言 (VI)第一章正确理解单调函数的定义 (1)1.1 函数单调性定义的通俗解释 (1)1.2 函数单调性实现了函数值与自变量大小之间的相互转化 (1)1.3 抓住函数单调性定义中的关键词 (1)第二章单调函数的一般判定方法 (3)2.1 定义法 (3)2.2 图像法 (3)2.3 运算法 (3)2.4 复合函数法 (4)第三章单调函数的其他判定方法 (5)3.1 作差法 (5)3.2 作商法 (6)3.3 利用反函数的单调性 (6)3.4 利用和、倍、积、倒函数的单调性 (7)3.5 利用复合函数的单调性 (7)3.6 换元法 (8)3.7 导数法 (8)3.8 综合法 (9)第四章函数单调性在解题当中的应用 (10)4.1 比较两个数的大小 (10)4.2 证明与正整数有关的命题 (10)4.3 解方程 (10)4.4 证明不等式 (11)4.5 求参数的取值范围 (11)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (18)单调函数及其应用学生 XXX 指导教师 XXX摘要函数单调性是一条重要的数学概念，我们不能忽略对其定义的理解，本文第一章从函数定义的根本上对函数定义及定义的难点进行阐述。
抓住函数单调性定义中的关键词，例如：二次函数，在轴左侧是减函数，而在右侧是增函数，所以不能笼统的是增函数或减函数。
还要注意：不是任何一个函数都有单调区间的。
例如它无单调区间。
本文第二、三章对函数单调性的判定方法进行了系统性的归纳。
其中最基本，最实用的当为定义法，根据函数单调性的定义，在定义区间取两个不相同的值，然后通过作差，变形，定号，然后得出结论。
单调性是函数的一个基本性质，该性质有广泛的应用，本文第四章分别从五个方面对函数单调性的应用进行简要的举例说明。
关键词：函数单调性;高中数学;数学概念MONOTONE FUNCTION AND ITSAPPLICATIONStudent: Zhu Supervisor: ChenABSTRACT Function Monotonic function is an important mathematical concepts, we can’t ignore the understanding of its definition, this chapter from the function definition of a fundamental definition of the function definition and the difficulty to elaborate. Grasp the definition of monotonic function of key words, such as: a quadratic function，Is a decreasing function of the left in the Y shaft, while the right side is an increasing function. Also note: there is not a function of any monotone interval.Such as:It is not monotone interval. In the second, chapters on the determination method of monotone functions were systematically summarized. Of which the most basic and useful when the definition of law, according to the definition of monotonic function, the definition of taking two different range values, and then for worse, deformation, set number, and then draw conclusions. Monotonic function of a fundamental nature is the nature of a wide range of application, this chapter were from the fiveaspects of the application of Function Monotonicity brief.Key words:Monotonic function；High School Math；Mathematical concepts引言函数是高中数学的中心内容，几乎渗透到高中数学的每一个角落，它不仅是一条重要的数学概念，而且是一种重要的数学思想。
某某省某某六中2013-2014学年高二数学下学期第二次月考试题 理一、选择题（每小题5分，共60分）1.若复数z 满足i z 435-=,则z 的虚部为( ).A.i54 B.45C.i 4D. 42.已知某一随机变量X 的概率分布列为且E(X)＝6.3，则a 的值为( ). A.5 B. 6C. 7 D. 83.设随机变量X ～⎪⎭⎫ ⎝⎛21,6B ，则P(X ＝3)的值是( )．A. 316B.516C.716D.58甲乙两人通过考试的概率分别为53和31，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是( )．A. 152B. 51C. 158D. 535.二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 ( )．A ．180B ．90C ．45D ．360从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生 的人数，则P(X≤1)等于( )． A.15B. 25C. 35D. 457.从0，2中选一个数字.从中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ).A. 27B. 18C. 12D. 6 8.从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球的概率是( )． A.435B.635C.1235D.363439.设m 为正整数,2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =( )．A. 5B. 6C. 7D. 810.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )． A. 0.45 B. 0.6 C. 0.75D. 0.811.设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f kx ,则( )． A ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值 B ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值 C ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值 D ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值12.已知a 为常数,函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点)(,2121x x x x <,则( )．A ．21)(,0)(21->>x f x f B ．121()0,()2f x f x <<-C ．21)(,0)(21-<>x f x f D ．21)(,0)(21-><x f x f二、填空题（每小题5分，共20分）某某六中2013～2014学年度第二学期高二数学（理）《选修2-3》模块学习终结性检测试卷答题卡二、填空题（每小题5分，共20分）13.． 14. .15. ． 16. _．三、解答题（共70分）17.（10分）已知二项式(3x＋1x)n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项．（12分）有20件产品，其中6件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽2件，求第一次抽到次品的概率；第一次和第二次都抽到次品的概率；在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.19. （12分）设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．（12分）已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点(1,6)--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.（Ⅰ）求m n 、的值及函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若0a >，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值.。
一、单选题二、多选题1. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．2. 已知， 为虚数单位，若，则A．B．C．D．3. 已知，则“”是“直线和直线垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知，函数在内单调递减，则 的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 已知是数列的前n 项和，且对任意的正整数n ，都满足：，若，则（ ）A．B．C．D．6. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．7.方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）A．B．C．D ．或8. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ）A．B．C．D．9.已知函数，，其中，则（ ）A ．与的图像关于直线对称B．与的图像关于点对称C ．当与在区间上单调性相反时，的最大值为1D ．当与在区间上单调性相同时，的最大值为10.已知函数，且所有的正零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论正确的是（ ）A ．函数是偶函数B．的图象关于点对称C ．在上是增函数D ．当时，函数的值域是11.已知正方体的棱长为，是空间中任意一点，下列正确的是（ ）甘肃省武威第六中学2022届高三下学期第八次诊断考试数学（理）试题(2)甘肃省武威第六中学2022届高三下学期第八次诊断考试数学（理）试题(2)三、填空题四、解答题A ．若是棱动点，则异面直线与所成角的正切值范围是B．若在线段上运动，则的最小值为C．若在半圆弧上运动，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为D ．若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为12. 已知函数，且函数有三个零点，则下列判断正确的是（ ）A ．的单调递减区间为B ．实数的取值范围为C ．曲线在点处的切线方程为D．13.已知数列中，，若，则数列的前n 项和_______.14.已知函数，若方程仅有两个不同的实数解，则的取值范围是___________.15. 已知图1中，A ，B ，C ，D 是正方形EFGH 各边的中点，分别沿着AB ，BC ，CD ，DA 把，，，向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则以下结论正确的是______．（写出所有正确结论的编号）①是正三角形；②平面平面；③直线CG 与平面所成角的正切值为：④当时，多面体的体积为．16. 如图，在直三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，是的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四棱锥的体积.17. 设函数(1)求函数的最大值和最小正周期；(2)在锐角中，角所对的边分别为，为的面积.若且，求的值.18. 已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且.(1)求椭圆的方程；(2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.19. 已知数列的前项和满足：（为常数，且）．（1）设，若数列为等比数列，求的值；（2）在满足条件（1）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．20. 已知函数，其中为自然对数的底数.(1)当时，求函数的极值；(2)用表示，中的最大值，记函数，当时，讨论函数在上的零点个数.21. 如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3.(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.。
