三角函数论文

浅析高中三角函数中的基本数学思想摘要：基本数学思想在高中数学教学过程中占有重要地位，所以我们要将这种数学思想贯彻到整个高中数学教学过程中。

而三角函数作为高中数学的重要内容，在教学时也应该利用好基本数学思想，让学生掌握更多解决问题的方法，提高学生数学学习能力。

在本文中，我们就对这个问题进行详细的介绍。

关键词：三角函数；基本数学思想；应用方式中图分类号：g623.5在高中阶段，三角函数占有十分重要的地位，在教学过程中教师可以引导学生利用数形结合、分类讨论等基本数学思想，解决实际过程中出现的三角函数问题，从而有效的提高学生的数学学习能力，掌握这部分内容知识。

一、在高中三角函数中体现基本数学思想的重要意义基本数学思想是从数学知识中总结出来的，学生在数学学习过程中，除了要掌握基本数学知识外，还需要掌握基本数学思想，使数学思想深入学生心中，这样才能进一步提高学生的数学学习能力，拓展学生数学思维。

在学习三角函数这部分内容时，无论何种题型都是以考察三角变换为核心的，因此，在教学过程中教师要引导学生熟练掌握有关三角形的公式，了解三角函数中蕴含的数学思想，使学生能够更灵活的解决三角函数问题，增强学生分析问题、解决问题的能力。

二、高中三角函数中体现基本数学思想的方式1、数学结合思想的体现作为基本数学思想的主要部分，数形结合思想在解决数学问题时发挥着重要作用。

这种数学思想是借助数字的精确性，通过合理运用数字与图形之间的关系解决数学学习中的实际问题。

这种数学思想可以将抽象的数学问题变得更加直观。

在学习三角函数时，数学结合思想可以有效的将三角函数化简，比较适用于依据三角函数的图像求解定义域、单调性以及求解方程实根等问题。

比如说求|cosx|<sin|x|在[-π，π]上的解集这类题目时，教师就可以引导学生运用数形结合思想求解。

首先设y1=sin|x|，y2=|cosx|.并在同一个直角坐标系中画出y1，y2在[0，π]上的函数图像。

新课标下高中数学三角函数线概念教学的探索数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式.章建跃博士曾经在南京师大附中演讲时说：“概念教学的核心是概括，是将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的例子为载体，引导学生展开观察、分析各事物的属性，抽象概括共同的本质属性，归纳得出数学概念.”现今新课程标准的核心理念强调为学生提供更为开阔的思维空间和发展空间，这就需要我们在教学中给予学生适度的思考时间和表现自己思维内容与思维过程的机会.在新课程实施过程中如何把握数学的概念教学，提高教学的有效性是我们每个教师都无法回避的课题.三角函数主要内容是任意角与弧度制、三角函数定义与单位圆、三角函数图像及性质、正弦型函数及性质，等等.分析三角函数及其相关概念构成的网络体系中可知三角函数线有着重要的意义，然而教学过程中老师们感到三角函数线这一内容比较难处理.其实掌握好三角函数线的知识，可以更好地理解三角函数的知识，进一步提升学生对“函数”这一高中数学核心概念的理解与把握.一、巧设教学情境，带出问题本质，导入三角函数线概念借助数学史将三角函数线的概念引入，可使学生了解知识发生发展的背景和过程，引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程.合理设置情境，使学生感受到学习的乐趣，这样也能使学生加深对概念的记忆和理解.1早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的，因为当时人们需要穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或经水路沿着海岸线做冒险的长途航行，首先要明确方向.18世纪前，正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这是三角学的古典面貌.1748年，尤拉在著名的《无穷小分析引论》一书中指出：“三角函数是一种函数线与圆半径的比值.”即任意一个角的三角函数都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点p向另一边作垂线pm后，所得的线段op，om，mp(即函数线)相互之间所取的比值，sinα=mpop，cosα=omop，tan α=mpom等.若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化.尤拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态的只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科.2同学们对于初中阶段在直角三角形中如何定义锐角三角形的正弦、余弦、正切值，记忆犹新，依据教育心理学正迁移对于学习的作用，不妨在直角坐标系中，利用单位圆先将特殊的锐角如π6，π4，π3的三角函数线画出，然后由特殊过渡到一般，从而得出任意角的三角函数线，这样同学们感到三角函数线有似曾相识的感觉，学习过程中体验如何将三角函数的“数”与“形”自然地结合在一起，达到“数”与“形”的完美结合，形成对数学美的感悟.二、抓住三角函数线本质属性，有技巧地层层引导1圆，构建三角函数线的舞台对教师而言，由比值yr到y，xr到x，再到正弦线、余弦线的两步跨越，看似简单，同学们却是比较难以想到，在此处尽可能清晰再现知识的建构过程，使同学们明确原则，把握概念的形成.从数学思想层面上可以突出三角函数“简约”为“一个变量”的思想方法，进而顺利实现用“三角函数线”这一直观的图形工具来“统一”表达三角函数这一主线，在教学过程中反复强调“最简化”“统一”的要求，而这样的理念或思想，不仅能体现本节数学方法的特点，同时也在数学教学的过程中占据重要的地位，具有普适性.2正弦线与余弦线引导向正切线同学们较容易理解与掌握正弦线与余弦线，是因为有直观感受，但是理解与掌握正切线有一定的难度，而突破这一难点的关键在于帮助学生充分理解“有向线段的数量”及相关概念.那么在讲一些诸如“有向线段”“有向线段的数量”等等比较数学化的很难表述的概念时，可以将同学们的注意力主要集中到关注“图形”与“数量”的对应关系上来，自然而然地突出了探究与确定“正、余弦函数线”的形成过程与基本方法，弗赖登塔尔指出，学生不是被动地接受知识，而是再创造，在这个阶段，如果可以给学生提供更为开阔一些的空间，那么到研究“正切函数线”时，学生就可以自觉或不自觉地用探究“正、余弦函数线”的方法解决新的问题.新课标对三角函数线的要求是掌握，即对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有关问题.三角函数线在研究三角函数图像及其性质，求解三角方程、三角不等式，证明三角恒等式、不等式，以及数形结合思想的形成方面都有重要的作用，还可以从“数”和“形”两个不同的角度研究三角函数的表示，作为工具探讨三角函数的基本性质，是三角函数这一章中非常精彩的内容.三角函数线的讲解的确有难度，但是教学过程中教师们通过充分地铺垫，同学们对三角函数线的掌握完全可以实现水到渠成.。

在所有的数学公式中，欧拉公式可称最中之最，欧拉极其的展现了他的智慧，他将我们看似没有任何关系的自然底数、圆周率、虚数统一在一个公式上面，深刻反映数学是一门联系紧密的学科。

欧拉公式首先初次看到这个公式，内心的想法是吃惊！因为在我们一般所学范围，e 的任何次方都为正数，而这里可以看出含e的项结果为负一，可以说是反常态的，不过刚才那句话有错误，是e的任何实数次方为正数。

在这里我们可以看出e 的幂中有个虚数单位i。

那么之前的疑惑就不算疑惑了，好了疑惑解决了。

但是大家还是懵这怎么就成立了？在阐述证明过程之前，我们得先把上面所有的数学符号弄清楚，加号、等于、1、0这些大家都懂吧不解释！这里需要先理解这个自然底数e，相信学过微积分的同学都知道它等于一个极限公式（学过无穷级数的也知道e等于无穷多个数相加）e介绍完了，该介绍一下π了，是一个常数（约等于3.141592654）也就是圆周率。

圆周率（π）是圆的周长与直径的比值。

在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。

我们通常接触的π或者说我们就是淡淡把π固定在它的定义的形式，而一般不会想到它会和其他数产生联系。

但是随着数学以及其他诸多科的发展，π却在这几门呢科学联系之中莫名其妙的建立起了桥梁。

学1965年，英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis）出版了一本数学专著，其中他推导出一个公式，发现圆周率等于无穷个分数相乘的积。

2015年，罗切斯特大学的科学家们在氢原子能级的量子力学计算中发现了圆周率相同的公式。

最后一个其实也是最简单的一个，那就是虚数单位i。

在了解虚数之前我们先要知道什么事复数，在以前我们都知道一切数都可以归为实数，把最大集合称之为实数集R。

可是科学家发现当X的平方对于负一是无实数解，这个时候就引入了虚数概念。

定义i的平方为负一，即i等于根号负一。

这样人类将实数集附加上了虚数集，从而构成了二维数集空间。

首先欧拉是先得出这么个公式的。

三角函数毕业论文一、引言三角函数是高中数学中最基础的数学概念之一，它的存在在面积与角度之间建立起了桥梁。

三角函数的应用十分广泛，在物理学、机械工程、计算机图像等领域均有着重要的作用。

研究三角函数，不仅仅有助于我们掌握高中数学知识，更能为我们深入学习这些应用领域的知识打下良好的基础。

因此，本篇毕业论文将着重介绍三角函数的知识点与其应用。

二、三角函数的定义与性质1、正弦函数：y = sinx正弦函数是最基础的三角函数之一，其定义如下：在直角三角形中，假设一个角的对边与斜边的比值为y，那么该角的正弦值就是 y。

正弦函数的一些性质：(1) 正弦函数是奇函数。

(2) 正弦函数在区间 [0,π] 上单调递增，在区间 [-π,0] 上单调递减。

(3) 正弦函数的值域为 [-1,1]。

2、余弦函数：y = cosx余弦函数也是最基础的三角函数之一，其定义如下：在直角三角形中，假设一个角的邻边与斜边的比值为x，那么该角的余弦值就是 x。

余弦函数的一些性质：(1) 余弦函数是偶函数。

(2) 余弦函数在区间 [0,π] 上单调递减，在区间 [-π,0] 上单调递增。

(3) 余弦函数的值域为 [-1,1]。

3、正切函数：y = tanx正切函数是三角函数中最特殊的一个，其定义如下：在直角三角形中，假设一个角的对边与邻边的比值为y/x，那么该角的正切值就是 y/x。

正切函数的一些性质：(1) 正切函数是奇函数。

(2) 正切函数在有些点上不连续。

(3) 正切函数的定义域为 x ≠ (kπ+π/2)。

4、余切函数：y = cotx余切函数是正切函数的倒数，其定义如下：在直角三角形中，假设一个角的邻边与对边的比值为x/y，那么该角的余切值就是 x/y。

余切函数的一些性质：(1) 余切函数是奇函数。

(2) 余切函数在有些点上不连续。

(3) 余切函数的定义域为 x ≠ kπ。

三、三角函数的应用三角函数在实际生活和科学领域都有着广泛的应用，接下来我们就简单介绍一下其中的几个应用。

高考三角函数试题分析摘要：本文主要研究近三年高考中出现的三角函数题，其目的是加深自身对高中三角函数这部分内容的认识和理解，并通过对试题的分类、整理、分析、总结出一些关于高考中对三角函数试题的解题方法、技巧和应对策略，希望这些解题方法、技巧和应对策略能够对执教老师和应试学生起到一定的帮助和启发.同时，选择研究高考三角函数这部分内容也是想为将来的教学工作做一个充分的知识储备.关键词：高考;三角函数;解题技巧;应对策略 .三角函数在高中数学中有着较高的地位，尤其是在函数这一块，它属于基本初等函数，同时，它还是描述周期现象的重要数学模型.通过整理、统计可以看出，每年高考中三角函数试题分值所占比例基本都在10％～15％之间.从近三年的课标卷、全国卷和自主命题卷以及实行课改省份的高考三角函数题的分类、整理、分析知，高考三角函数这一知识点，主要还是考查学生的基础知识和基本技能，难度一般不大.但是，三角函数这部分内容考查的题型比较灵活，并且考查面较广.在选择题、填空题、解答题中均有考查，在前两类题型中多考查三角函数的基础知识，属于基础题；对于解答题则具有一定的综合性.从总体上看，高考三角函数对文、理科学生能力的考查要求差异不大，但在考查题型上，文科方向的解三角形题量有所减少.从课改前后看，对三角函数考查的内容和范围没有明显变动，仍然是对三角函数的基础知识、三角函数与向量、与三角恒等变换等综合考查，但难度均不大.一、考点分析1.命题形式纵观近几年高考试题，三角函数仍占有举足轻重的位置，其命题形式呈现多样化趋势.并且考查面较广，在选择题、填空题、解答题中均有考查，在前两题中多考查三角函数的基础知识，考生只要能够灵活运用三角函数的概念，灵活变通三角函数的基本关系及掌握特殊角的三角函数值便能轻松得分；另外，三角函数的图象与性质也是一个考查的重点，但此类题目的难度不大，只要熟悉并做到灵活运用各种函数的图象、性质及定理，也能够顺利解决这类问题。

浅谈三角函数的图象变换【摘要】：三角函数的图象变换问题,一直是中学数学的重点和难点内容,也是高考必考的热点题型.近年来,各级各类考试命题者不断变换考查的角度,相继推出了许多新颖别致,极富思考性和挑战性的创新题型,给此类问题注入了新的活力.常有学生诉说如下的困惑，这次考试我又将平移方向和平移长度搞错了。

下面精选出一些典型例题予以解析,旨在引导同学们探索题型规律,掌握解题方法。

【关键词】：变换问题函数图象三角函数解题方法图象变换典型例题三角函数的图象是三角函数的概念和性质的直观形象的反映，是研究三角函数的性质的基础。

而三角函数的图象的特征和性质，又是通过函数的图象变换反映出来的，因此掌握这一函数图象的变换关系及灵活运用，是分析和解决与三角函数的图象有关的问题的关键。

同时，三角函数的图象变换也是历年高考中的常考内容。

下面浅谈三角函数的图象变换。

对于这一函数的图象变换，课本上首先分别探索了、ω、a对图象的影响，即得到下面三种基本变换：1、相位变换：把的图象上所有点向左（当>0时）或向右（当1时）或伸长（当01时）或缩短（当0然后在此基础上，归纳总结出由正弦曲线得到函数的图象的变换过程：课本对于这一过程的归纳总结，虽然体现了由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，说明了图象的变换过程，但是学生在学习理解上却存在一定的困难，有相当部分的学生全靠死记硬背，形成思维定势。

如果改变图象的变换顺序，即先进行周期变换，再进行相位变换，则容易产生错误。

如对于的图象变换，在由变换到后，有些学生错误地认为：只需再将其图象向左或向右平移||个单位，而正确的图象变换应该是向左或向右平移个单位，即函数变换为。

相位φ变换实质上就是将函数的图象向左或向右平移．当先作周期变换后作相位变换时，须提出系数ω，这是因为周期变化时改变了x 的值，此时其初相位（非0初相）同时也改变相应得到改变，且改变的倍数相同．当先作相位变换后作周期变换，由于此时x的系数为1，系数提不提无影响，为了统一记忆我们也视为提出系数“1”．因而有“变φ要把系数提”之说。

三角函数易错点分析及对策 三角函数部分是高中数学的一个重点，虽然三角函数很多试题的求解思路不难，但是由于三角函数具有公式多、性质多、变化多等特点，若解题不全方位审清题意，充分挖掘隐含条件，会经常出现错误.很多同学在求解此类问题的时候往往会陷入误区。

笔者通过对相关试题的研究，总结主要有以下几个方面：对题目中的相关条件分析不全面,对隐含条件挖掘不够,对题目中的分类讨论不全面，换元后对新元的条件改变不注意等等，通过对这几类问题的分析研究，将其恰到好处地运用在教学过程中，能够帮助学生走出误区，掌握求解方法，做好对策，使学生真正掌握好这类问题。

类型一：在三角函数求值中，对条件分析不全面导致错误。

例题1：已知角α的终边上一点的坐标为（32cos ,32sin ππ），则角α的最小值为（ ）。

A 、65π B 、32π C 、35π D 、611π 正解：D 。

解：παπαπα61165,3332cos tan ==∴-==或，而032si n >π032c o s <π，所以，角α的终边在第四象限，所以选D ，πα611=误解：παπα32,32tan tan ==,选B 分析与对策：此类问题就是对题目中坐标的正弦和余弦的三角函数值的正负号疏忽，容易误选答案B ，解决此类问题的方法就是做题要细心认真，要做到一丝不苟。

类型二：隐含条件挖掘不够，导致题目出错。

例题2. 已知方程01342=+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为αtan ，βtan ，且α、∈β ⎝⎛-2π,⎪⎭⎫2π，则2tan βα+的值是_________________. 正确解法：1>a ∴a 4t a n t a n -=+βα0<，o a >+=⋅13tan tan βα ∴βαtan ,tan 是方程01342=+++a ax x 的两个负根又⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2,ππβα ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∴0,2,πβα 即⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈+0,22πβα 由tan ()βα+=βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+=()1314+--a a =34可得.22tan -=+βα 错误分析与对策：本题目容易忽略了隐含限制βαtan ,tan 是方程01342=+++a ax x 的两个负根，从而导致错误.解决此类问题的解决方法关键是一看到方程的根的问题就以就应该马上联想到韦达定理，由此就不会出错。

初识三角函数三角函数，一个人类进军很久了的领域。

在人类日常学习的很多学科，生活的很多方面都离不开三角函数或多或少的帮助。

下面，我们就来一起认识一下三角函数。

一、三角函数的定义三角函数为初等函数中超越函数的一类函数。

如图这是一个坐落在平面直角坐标系x O y的RTΔA（b,0）B（0，a）O，其中，∠BAO=α，sinα=a/c，cosα=b/c，tanα=a/b，cotα=b/a，secα=b/c，cscα=c/a。

这是三角函数初始的定义，仅限于直角三角形中。

而三角函数的推广定义是在直角坐标系中的一条任意的直线（射线、线段，下略），与x轴的夹角即为α，特别的，tanα即此直线的斜率（straight slope）。

推广后，函数的值也随之可取任意实数，定义域甚至包含了复数。

二、正弦与余弦以下是正弦与余弦函数的图像。

∀x∈R，-1≤sinx，cosx≤1。

根据图像，不难发现，正弦函数和余弦函数呈波状，正弦函数是奇函数（即关于原点对称），余弦函数是偶函数（即关于y轴对称），两者均为周期函数（即sinx=sin x+kT，其中T=2π，k∈Z）、有界函数和连续函数，任意一点处都可导可微。

三、正切与余切1）以下是正切函数的图像。

由图像可知tanx无界，但它与正弦余弦函数一样是奇函数。

2）以下是余切函数图象看图可知，这也是一个无界函数。

根据定义可知，cotx=1/tanx，所以在函数的很多方面，都与正切函数类似，甚至是相同。

所以不多介绍。

这里给出它的导数和微分公式，正割和余割正割是余弦函数的倒数，余割函数是正弦函数的倒数。

此不赘述。

只给出倒数和微分公式。

(secx)’=secx*tanx，(cscx)’=-cscx*cotx，d(secx)= secx*tanx dx，d(cscx)= -cscx*cotx dx。

四、反三角函数1）三角函数的自变量和因变量并不满足一一映射，所以三角函数并不存在纯粹意义上的反函数，反三角函数也并不是三角函数的反函数，因为它们有的甚至不能称之为函数。

探讨高考三角函数问题的解析摘要：三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其重点主要包括:同角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合应用。

高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.关键词：三角函数典型题型解题应用一、高考三角函数考点分析。

近几年高考对三角函数部分的考查保持了三个稳定（内容、题量、分值），难度适中，其考查主要有两个方面:一是三角函数的变换，二是三角函数图像和性质。

解题过程一般是先进行恒等变换，再利用三角函数图像和性质解题。

实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光.对能力的考查主要是演绎推理能力、计算能力、综合应用知识解决问题的能力；体现的数学思想有化归思想、分类讨论思想、函数思想等。

考查的知识点：1、三角函数的图象和性质是考查的重点.因为三角函数的图象和性质是学生将来学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决实际生产问题的工具，而且近年来高考降低了对三角变换的考查要求,势必会加大对三角函数图象与性质的考查力度，从而使三角函数的图象和性质成为高考的一个热点，是三角解答题的主要题型，具有一定的灵活性和综合性.周期及对称问题仍是高考的重点.2、三角函数的化简求值是常考题型.它往往出现在小题中，或者是作为解答题中的一小问，其中必然渗透着简单的三角恒等变换和三角函数的性质.着重考查三角函数的基础知识、基本技能和基本方法.3、考应用，建立三角模型。

新教材中增设了三角函数模型的简单应用，且在课程标准中把“潮汐与港口水深”这一三角问题专门作为参考案例（在原来的教材中只是阅读材料），教材中有几处涉及到三角在物理学科中应用，如用函数的物理意义刻画简谐振动、交流电等，说明三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

目 录摘 要 (1)Abstract (2)前 言 (3)第一章 2012年高考数学有关“三角函数”命题中考纲要点 (5)1.1 分析考纲要求 (5)1.1.1高考数学有关“三角函数”命题中考纲要求 (5)1.2 分析试卷中“三角函数”的分布 (5)1.2.1考点分布 (5)1.3 解读考卷中“三角函数”的考纲内容 .................................... 6 1.3.1考纲解读 . (6)第二章 高考中“三角函数”的命题特点 (7)2.1 理科和文科的区别 (7)2.1.1题量分布因省市的不同而不同 (7)2.1.2文理科试题难易度有区别 (7)2.2 理科和文科的相同特点 (7)2.2.1考小题，重在基础运用 (7)2.2.2考大题，难度明显降低 (7)2.2.3考应用，融入三角图形之中 (7)2.2.4考综合，体现“三角函数”的工具性 (7)2.3 总结命题特点 (8)2.3.1试卷中的一般设计 (8)第三章 2012年全国高考中“三角函数”命题研究 (9)3.1 纵向研究 (9)3.1.1理科 (9)3.1.2文科 (10)3.2 横向研究 (11)3.2.1类型1：利用二倍角公式，和差角公式等公式进行“三角函数”化简，再求值、周期。

(11)3.2.2类型2：进行向量的相关运算：向量的模，数量积，垂直的充要条件，以及简单“三角函数”运算。

(12)3.2.3类型3：函数R x x A x f ∈+=),sin()(ϕω（其中0,0,02A πωφ>><<）解析式的确定，图像的平移，最值等内容。

(13)第四章 高考中“三角函数”的应用 ....................................................................错误!未定义书签。

4.1 知识整合 ............................................. 错误!未定义书签。