高中数学教学论文 三角函数中1的妙用

高中数学中“1”的代换高中数学中有不少题目，如果能巧妙地利用1的代换，将大大地简化计算量和计算过程，能收到事半功倍的良效。

1．“1”在指数函数、对数函数中的应用例1：计算5lg 2lg 35lg 2lg 33++解法一：原式()()5lg 2lg 35lg 5lg 2lg 2lg 5lg 2lg 22++-+= 5lg 2lg 35lg 5lg 2lg 2lg 22++-=5lg 5lg 2lg 22lg 22++=()25lg 2lg +=1= 解法二：2lg 15lg 5lg 2lg 1-=⇒+=代入原式得()()2lg 12lg 32lg 12lg 33-+-+2lg 32lg 32lg 2lg 32lg 312lg 2323-+-+-+=1= 点评：解法一利用因式分解，解法二利用代入法。

注：5lg 2lg 1+=例2：已知01>>>b a 且11log >-）（x b a ，求x 的取值范围。

解：首先01>-x ，即1>x又 a a x b =>-11log ）（，而1>a1log 01log b b x =>-⇒）（，而10<<b211<⇒<-⇒x x综合知21<<x点评：本题充分利用1和0的代换把原式转化为与左边同底数的式子，利用函数的单调性解之。

注：()()101log 001≠>=≠=b b a a b 且2．“1”在三角函数中的应用例3：已知2tan =α，求αα2cos 2sin +的值。

分析：由2tan =α可求出552sin ±=α，55cos ±=α代入计算，有点麻烦，不妨借助1的代换来解题。

解：原式1cos cos sin 22ααα+=ααααα222cos sin cos cos sin 2++=（分子分母同除以α2cos ） 11t a n 1t a n 22=++=αα 点评：借助1的代换大大简化了计算量，做完后的心情肯定很爽。

浅议“1”在三角函数中的作用作者：赵春燕来源：《散文百家·下旬刊》2016年第01期在数学中，数字“1”可以说是无处不在，无时不有。

尽管它只是一个普通的小数字，但在解决某些数学问题中却起着不可忽视的大作用。

尤其是在三角函数问题中，如果能够巧妙、合理地使用“1”，那么在解题中就能化繁为简，化难为易。

当你在题海中“山重水复疑无路”时，它就可让你“柳暗花明又一村”，从而思路豁然开朗，效果事半功倍。

下面就结合我个人的教学实践，谈谈“1”在三角函数中的作用。

一、直接利用sin2α+cos2α=1进行解题在题中如果出现了sin2α+cos2α或1，可以根据需要互相替换，从而迅速解决问题。

例1：已知α是第一象限角，化简：1+2sinαcosα解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根号下是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到把“1”化成“sin2α+cos2α”，根号下就成了完全平方式，然后再根据α是第一象限角，即sinα+cosα>0，从而得出结果。

解：1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2α=（sinα+cosα）2=sinα+cosαΘα是第一象限角∴sinα+cosα>0∴1+2sinαcosα=sinα+cosα例2：已知sinx=m-3[]m+5，cosx=4-2m[]m+5求m的值。

解析：本题要求的结果是m的值，而含有m的式子分别表示了sinx和cosx，利用sin2α+cos2α=1就可以把含有m的两个式子联系在一起，从而得到一个关于m的一元二次方程，解方程就可以得到m。

解：Θsin2α+cos2α=1 ∴（m-3[]m+5）2+（4-2m[]m+5）2=1即m（m-8）=0 ∴m=0或m=8二、利用特殊角的三角函数值为1进行解题在有些三角题中，1会直接出现在题目中，而1=tan45°=cos0°=sin90°=…，能否将1恰当地换成上述的这些量，将对我们的解题大有帮助。

浅谈三角函数中“1”的妙用三角函数内容是新课程标准中删减、变化最大的内容之一，但是它仍然是高考的重点。

许多同学在学习三角函数的时候感到很吃力，认为计算量很大，公式很多。

下面笔者就从下面几道题为例，谈谈“1”在解某些三角函数问题时的妙用。

一 巧用sin 2a+cos 2a=12tan 3,2sin 3sin cos a a a a =-例1：已知求的值本题有多种解法，最常见的是根据tana 的值，求出sina 和cosa 的值，然后代入计算，但是这里要注意到a 所在的象限。

这里介绍如何巧用“1”来求值。

222222222sin 3sin cos 12sin 3sin cos sin cos 2tan 3tan tan 1233331910a a aa a aa a a aa -=-=+-=+⨯-⨯=+=解：原式这里用到了平方关系sin 2a+cos 2a=1，就不用考虑a 所在的象限，计算也比较简便。

221,1a b+=+=例2：已知求证22101011baa b -≥-≥≤≤由于，，得，，根究结构特点，可考虑利用三角代换来解答本题。

证明：由已知可得221010b a -≥-≥，，所以11a b ≤≤，， 设a=cos ,b=cos 00αβαπβπ≤≤≤≤，且，，由已知得22222222cos cos 1,cos sin cos sin 1,sin()10222cos cos cos cos sin cos 12a bαβαββααβππαβπαββαπαβαααα+=+=+=≤+≤+==-+=+=+-=+=即所以又，所以，即所以（）二 巧用tan450=1000003(1tan 1)(1tan 2)(1tan 3)...(1tan 44)(1tan 45)+++++例计算2345(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 1tan 1tan tan tan tan 2[(1tan 1)(1tan 44)][(1tan 2)(1tan 43)]...[(1tan 22)(1tan 23)](1tan 45)2αβαβαβαβαβαβαβ=++=+++=++-+==+++++++=解：当+时，（）（）所以原式 三 巧用tanacota=14tan 6730'tan 2230'-例计算本题看似无从下手，但如果我们能够发现0006730'2230'45-=,解本题也就不难了。

三角变换中“1”的妙用作者：陈秀娟来源：《中学教学参考·理科版》2010年第07期三角式的变形问题,包括三角式的简化、求三角式的值、证明恒等式、条件等式和三角不等式内容.特别是三角式的求值、化简是三角函数的重要内容.在三角函数中“1”的变换有--等等.在具体变换中根据题目的不同特征选择不同的变换,在三角函数的变形时,若能把常数“1”恰当处理,并灵活运用三角基本公式,变形起来就比较顺利.现举例说明.第一,三角函数式如含有1时可将1变换为【例1】已知-1=-1,求的值.分析:由已知可以求出再由同角三角函数关系式可以求得和进而求出关系式的值,但实际操作中,往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件.解析=135.评析:形如的式子称为关于、的二次齐次式,对涉及它们的三角式通常利用进行变换.【例2】若、是关于方程的两个实根,求k的值.解:由题意知-6k8=-3k4,∵-4×8×(2k+1)≥0,∴k≥8+2349或k≤8-2349.又∵---2×2k+18,∴-8k-20=0,解得k=-109或k=2(舍去),∴k=-109.第二,三角式中有1和、时,则利用-进行变换.【例3】化简-解--------第三,在含有根号的三角函数等式的变形中、时1可以不变,但为“脱”去根号常借助三角函数的平方关系.【例4】化简三角函数式--1--1--分析:利用同角三角函数平方关系式化简.原式-(1----1----1-4(当α在第一、三象限时-4(当α在第二、四象限时).评析:解该题时易犯的错误是缺少对、正负的讨论,直接“脱去”分母中的绝对值符号,或是不注意正、余函数的有界性,盲目对、的正负进行讨论.第四,三角式中有1和有时把1换成【例5】化简-解:原式-第五,三角式中含有则有时不宜变动1,而将化为将1-化为【例6】化简-解:原式-----又∵00.∴上式-=-第六的妙用.【例7】已知实数x,y满足-若对满足条件的任意x,y都有x+y-c≤0恒成立,求参数c的取值范围.解:设-即则x+y-c≤0恒成立转化为-c≤0恒成立,即恒成立.设则恒成立等价于下面我们求函数的最大值.由正弦函数的有界性知当时,函数取得最大值,即所以c≥2+1.即c取值范围是[2+1,+∞).评析:本题考查不等式的恒成立问题中参数范围的确定,集圆的参数方程、二元不等式、三角函数的性质等于一体,是一道好题,利用圆的参数方程(即是解决问题的关键.(责任编辑金铃)。

例谈“1”在解题中的妙用作者：陈兰海来源：《中学教学参考·理科版》2010年第04期在数学中,“1”是一个很平常的数字,但又是一个很神奇的数字.正确、合理地运用“1”的特性,在解数学题中往往可以化繁为简,变难为易.现举例如下.一、在解三角题中的妙用【例1】化简-解:原式-注:关键之处在于将“1”换成逆用两角和的正切公式.【例2】已知求-β)的值.解:∵的等号当且仅当以下两种情况之一时成立:或-1.在这两种情况下,都有α-∈Z).∴-β)=1.注:关键在于由条件中的常数“1”联想到余弦函数的有界性.【例3】已知求-的值.解:原式---=4-4+34+1=35.注:本题的关键点在于将原式看成分母为“1”的分式,进而将“1”换成从而顺利地将“弦”的问题转化为“切”的问题,代入求解即可,简捷快速明了,也进一步体现了三角化简求值过程中统一函数名的思想.二、在不等式证明中的妙用【例4】已知x,y∈且1x+9y=1,求证:x+y≥16.证明:∵x>0,y>0,1x+9y=1,∴x+y=(x+y)(1x+9y)=yx+9xy+10≥2yx•9xy+10=16,当且仅当1x=9xy,又1x+9y=1,即x=4,y=12时等号成立.注:此例的题设中含有关于“1”的条件等式,只须利用“1”的代换,再应用均值不等式解决即可.【例5】 a,b∈求证证明:∵3ab=3a•b•1≤a+b+13,两边取常用对数化简即得:当且仅当a=b=1时,等号成立.注:此例由于要用到n=3时的均值不等式,而作为真数的3ab是ab的三次算术根,为此需凑足三个因子.证明过程中巧用了任何一个数乘1等于其本身的特性,利用n个正数的算术平均数和几何平均数性质.该题结论可推广到一般情形:若a,b∈则-2n成立.【例6】已知ax-2by+cz=0,且求证证明:若x=0,则显然成立.若x≠0,则显然有ax≠0,由ax-2by+cz=0得-2by×1+cz=0,∴1是关于t为未知数的二次方程-2byt+cz=0的根.则有Δ=(--4axcz≥0,从而∴又∴综上有注:证明过程中巧妙地用了“1”的特性,使证题由难变易.从上我们可以看出,小小的数字“1”,变化形式多种多样,能将一些不好解决的问题顺利地处理好,起到了四两拨千斤的作用.从这我们能进一步体会到:学数学,只要能认真钻研,深刻思考,一定会有意想不到的效果.(责任编辑金铃)。

数字“1”的妙用作者：章立来源：《中学课程辅导·教学研究》2018年第36期摘要：数字“1”在我们学习过程中是我们接触最早的数字也是最简单的数字。

随着知识的积累，我们不难发现，“1”有不同的用处。

高中知识点繁多，题目灵活机动，而“1”是多功能的，扮演着重要的角色。

最常见的是在三角函数中的应用，不等式中的应用和多项式整除中的应用。

许多与“1”有关的关系式，在数学解题时，常常可以将“1”转化成不同形式的关系式，从而把问题简单化。

关键词：三角函数;不等式;妙用中图分类号：G633.6; ;文献标识码：A; ;文章编号：1992-7711（2018）12-0121一、数字“1”在三角函数中的妙用在这个例题中有个暗含的条件就是毕达哥拉斯定理1=sin2α+cos2α，在很多题中都不会直接给这个条件的。

从上例我们可以看出和数字“1”有关的一些关系式经常和其他知识点联系起来，就像三角函数在数学中属于做题工具。

有些题目借助这些关系可以让题目变得简单化。

二、数字“1”在不等式中的妙用在高中数学中，不等式是重要的内容之一，而平均值不等式和柯西不等式又是不等式中的重难点。

所以平均值不等式和柯西不等式是高中数学中的重中之重，而平均值不等式和柯西不等式与“1”有关的内容越来越多同样也越来越重要了。

从近几年全国各地的高考试题中或者数学竞赛中与数字“1”有关的平均值不等式和柯西不等式的题目成了热点，同时出现的种类越来越多、难度不等灵活性也高了很多。

应用的方法也越来越多，如：代换法又分成直接代换，变换条件再用代换法，还有创造条件再代换。

一般直接代换的题目比较简单，现在大家越来越重视后两种代换的方法了。

添项、拆项，添项的方法也有很多，有的是添加数字“1”，这有很多形式，加“1”再减“1”，减“1”再加“1”，乘“1”，除“1”等形式。

拆项的方法主要表现在把“1”拆成几个数的和，或把“1”拆成几个数的乘积。

在证明不等式时最常用的是放大缩小，在放缩的时要放缩适当，放得过大或缩的过小都很难使不等式成立。

例说“1”在解三角函数问题中的妙用作者：段会来源：《理科考试研究·高中》2016年第06期“1”在高中数学解题中往往扮演很重要的角色，若能适时巧妙地用上“1”的一些代换，将“1”进行转化，不但能让学生简化解题步骤，得到事半功倍的效果，还能极大地激发学生学习数学的兴趣.本文就“1” 在解三角函数问题中的运用举例说明.妙用一巧妙运用边长为“1”的直角三角形，帮助记忆特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值在解三角函数问题中应用非常广泛，而学生们往往容易记错，巧妙地运用边长为“1”的直角三角形，可以帮助我们记忆特殊角的三角函数值.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=1，则BC=1，AB=2，可得45°的各三角函数值.同理，如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则∠A=60°，AB=2，BC=3，可得30°和60°的各三角函数值.妙用二巧妙运用sin2α+cos2α=1解题例1（2011年重庆）已知sinα=12+cosα，且α∈（0，π2），则cos2αsin（α-π4）的值为.解法1由sin2α+cos2α=1，sinα=12+cosα，α∈（0，π2），得sinα=7+14，cosα=7-14，所以sinα+cosα=72.所以cos2α=cos2α-sin2α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=-74，sin（α-π4）=sinαcosπ4-cosαsinπ4=sinαcosπ4-cosαsinπ4=22（sinα-c osα）=24，所以cos2αsin（α-π4）=-142.解法2由sinα=12+cosα，得sinα-cosα=12.两边同时平方，得（sinα-cosα）2=14，即sin2α-2sinαcosα+cos2α=14，整理得2sinαcosα=34，所以（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+34=74.又因为α∈（0，π2），所以sinα+cosα=72.所以cos2αsin（α-π4）=cos2α-sin2α22（sinα-cosα）=-2（sinα+cosα）=-142.点评此类题目通常有多种解法，本文选择其中的两种解法.解法1为常规解法，根据已知条件，利用方程思想分别求出sinα和cosα的值，然后代入所求的式子求解.解法2是巧妙运用sin2α+cos2α=1，将“1”进行代换，避免了解二次方程组的复杂过程.例2（2012年辽宁）已知sinα-cosα=2，α∈（0，π），则tanα=A. -1B.-22C.22D. 1解法1由sinα-cosα=2，得（sinα-cosα）2=2，所以2sinαcosα=-1，即sin2α=-1.由α∈（0，π），得2α∈（0，2π），所以2α=3π2，即α=3π4，所以tanα=-1.故选A.解法2由sinα-cosα=2，得（sinα-cosα）2=2，所以2sinαcosα=-1，所以2sinαcosαsin2α+cos2α=-1.由已知得cosα≠0，分子分母同时除以cos2α，得2tanαtan2α+1=-1，解得tanα=-1.故选A.点评解法1根据已知条件，解三角方程求出角α的值，然后代入所求的式子求解，但是此法易漏根或增根.解法2是巧妙运用sin2α+cos2α=1，将分母“1”进行代换，化弦为切，避免了解三角方程.妙用三巧妙运用tan45°=1解题例3求1+tan75°1-tan75°的值.解法1因为tan75°=tan（45°+30°）=tan45°+tan30°1-tan45°tan30°=2+3，所以1+tan75°1-tan75°=1+（2+3）1-（2+3）=-3.解法21+tan75°1-tan75°=tan45°+tan75°1-tan45°tan75°=tan（45°+75°）=tan120°=-tan60°=-3.点评解法1利用两角和与差的正切公式求出tan15°，然后代入所求的式子求解，但是此法运算量较大.解法2是巧妙运用tan45°=1，将“1”进行代换，逆用公式，快捷方便.。