高中数学同步课时跟踪检测《数列求和》

课时跟踪检测(三十二) 数 列 求 和1．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列{S n n }的前20项和为________．2．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是{a n }的前n 项和，则S 2 014＝________.3．已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝________.5．已知数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝(－1)n ＋12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 013＝________.6.(创新题)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.7．已知数列{a n }满足a 1＝a ＋2(a ≥0)，a n ＋1＝ a n ＋a 2，n ∈N *. (1)若a ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|a n ＋1－a n |，数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <a 1.8．(2014·镇江模拟)已知函数f (x )＝x 2x ＋m的图像经过点(4,8)． (1)求该函数的解析式；(2)数列{a n }中，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a n ＝f (S n )(n ≥2)，证明数列{1S n}成等差数列，并求数列{a n }的通项公式；3．已知数列{a n }是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为q (q ＞1)的等比数列．(1)若a 5＝b 5，q ＝3，求数列{a n ·b n }的前n 项和；(2)若存在正整数k (k ≥2)，使得a k ＝b k ，试比较a n 与b n 的大小，并说明理由．。

课时跟踪检测（三十六） 数列求和1．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选 A ∵a n ＋1＝a n －a n －1，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…，故数列{a n }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S 2 018＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＝a 1＋a 2＝3.故选A.2．在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80D ．82解析：选B 由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n＝(－1)n(2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.3．(2019·开封调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018等于( ) A ．22 018－1B ．3×21 009－3 C ．3×21 009－1D ．3×21 008－2解析：选B ∵a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2，∴a n ＋2a n＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 017＋a 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)＝1－21 0091－2＋21－21 0091－2＝3×21 009－3.故选B.4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝ ⎛⎭⎪⎫15n，则其前20项和为( )A ．380－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1519B ．400－25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520C ．420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520D ．440－45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520解析：选C 令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝2(1＋2＋…＋20)－3⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋152＋…＋1520＝2×20×20＋12－3×15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15201－15＝420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520.5．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝( )A.n n ＋12B ．－n n ＋12C ．(－1)n ＋1n n ＋12D ．以上均不正确解析：选C 当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－(2n －1)＝－n23＋2n －12＝－n n ＋12；当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n 2＝－n －12[3＋2n －1－1]2＋n 2＝n n ＋12.综上可得，原式＝(－1)n ＋1n n ＋12.6．(2019·郑州质量预测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n(n ∈N *)，则T 2 018＝( )A.4 0342 018 B ．2 0172 018 C.4 0362 019D ．2 0182 019解析：选C 由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，可得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列，公差d ＝a 2－a 1＝2－1＝1，通项公式a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋n －1＝n ，则其前n 项和S n ＝n a 1＋a n 2＝n n ＋12，所以1S n ＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2( 1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1，故T 2 018＝2×2 0182 018＋1＝4 0362 019，故选C. 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a n a n ＋1的前n 项和T n ＝________.解析：∵数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，∴S n －1＝n 2－n ＋1(n ≥2)，两式作差得到a n ＝2n (n ≥2)．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.∴4a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1(n ≥2)，∴T n ＝13＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝56－1n ＋1. 答案：56－1n ＋18．(2019·安徽十大名校联考)在数列{a n }中，a 1＝－2，a 2＝3，a 3＝4，a n ＋3＋(－1)na n ＋1＝2(n ∈N *)．记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 20的值为________．解析：由题意知，当n 为奇数时，a n ＋3－a n ＋1＝2，又a 2＝3，所以数列{a n }中的偶数项是以3为首项，2为公差的等差数列，所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝10×3＋10×92×2＝120.当n 为偶数时，a n ＋3＋a n ＋1＝2，又a 3＋a 1＝2， 所以数列{a n }中的相邻的两个奇数项之和均等于2，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 17＋a 19＝(a 1＋a 3)＋(a 5＋a 7)＋…＋(a 17＋a 19)＝2×5＝10，所以S 20＝120＋10＝130.答案：1309．(2019·益阳、湘潭调研)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2且S n ＋1＝2S n ，设b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019的值是________．解析：由S n ＋1＝2S n 可知，数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公比为2的等比数列，所以S n＝2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1，b n ＝log 2a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n －1，n ≥2，当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1n －1n ＝1n －1－1n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019＝1＋1－12＋12－13＋…＋12 017－12 018＝2－12 018＝4 0352 018. 答案：4 0352 01810．(2019·大连模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记T n 为数列{n ＋a n }的前n 项和，求T n . 解：(1)由a n ＋1＝3S n ＋1， 得当n ≥2时，a n ＝3S n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1＝4a n (n ≥2)． 又a 1＝1，a 2＝4，a 2a 1＝4，所以数列{a n }是首项为1，公比为4的等比数列， 所以数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)T n ＝(1＋a 1)＋(2＋a 2)＋(3＋a 3)＋…＋(n ＋a n ) ＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋42＋…＋4n －1)＝n 1＋n2＋1×1－4n1－4＝n ＋n 22＋4n －13.11．(2019·广州调研)已知数列{a n }满足a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －1a n ＝n4(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4na n2n ＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝14.因为a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＋4n －1a n ＝n4，①所以a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＝n －14(n ≥2，n ∈N *)，②①－②得4n －1a n ＝14(n ≥2，n ∈N *)，所以a n ＝14n (n ≥2，n ∈N *)．当n ＝1时也适合上式，故a n ＝14n (n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝4na n 2n ＋1＝12n ＋1，所以b n b n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，故T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3 ＝n 6n ＋9. 12．已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2. 所以b n ＝2n.由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②由①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ， 由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝12×1－4n1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.。

课时跟踪检测（三十六） 数列求和1．(河北“五个一名校联盟”模拟)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2,n ∈N *),a 1＝1,a 2＝2,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2 018＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A ∵a n ＋1＝a n －a n －1,a 1＝1,a 2＝2,∴a 3＝1,a 4＝－1,a 5＝－2,a 6＝－1,a 7＝1,a 8＝2,…,故数列{a n }是周期为6的周期数列,且每连续6项的和为0,故S 2 018＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＝a 1＋a 2＝3。

故选A 。

2．在数列{a n }中,若a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1,则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80D ．82解析：选B 由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1,得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1,得a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1),取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10,结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78。

故选B 。

3．(开封调研)已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *),则S 2 018等于( ) A ．22 018－1B ．3×21 009－3 C ．3×21 009－1D ．3×21 008－2解析：选B ∵a 1＝1,a 2＝2a 1＝2,又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2,∴a n ＋2a n＝2。

∴a 1,a 3,a 5,…成等比数列；a 2,a 4,a 6,…成等比数列,∴S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 017＋a 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)＝1－21 0091－2＋21－21 0091－2＝3×21 009－3。

课时跟踪检测（三十四） 数列求和一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝( ) A ．41 B ．48 C ．49D ．56解析：选C 设S n ＝An 2＋Bn ，由题知，⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝9，S 5＝25A ＋5B ＝25，解得A ＝1，B ＝0，∴S 7＝49. 2．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n 解析：选C 由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n－1.3．(2017·江西新余三校联考)数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(2n －1)，则该数列的前100项之和为( )A ．－200B ．－100C ．200D ．100解析：选D 根据题意有S 100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100，故选D.4．(2017·余杭模拟)若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为______________．解析：S n ＝21－2n1－2＋n 1＋2n －12＝2n ＋1＋n 2－2.答案：2n ＋1＋n 2－25．(2017·广西高三适应性测试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1－1的前n 项和T n ＝________.解析：∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2－n －12，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －1，n ≥2，∴a n ＝2n －1.∴1a n ＋1－1＝12n ＋12－1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4n ＋4. 答案：n4n ＋4二保高考，全练题型做到高考达标1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析：选C 设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得91－q 31－q＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.2．已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( )A ．1－4nB ．4n－1 C.1－4n 3D.4n－13解析：选B 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4， ∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列． ∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝31－4n1－4＝4n－1.3．(2017·绍兴模拟)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A ．5B ．6C ．7D ．16解析：选C 根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数列重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝( ) A.2 017×2 0182B.2 018×2 0192C.2 017×2 0172D.2 018×2 0182解析：选B a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2，n 为奇数，n 2，n 为偶数，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝－12＋22－32＋42－…－2 0172＋2 0182＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(2 0182－2 0172)＝1＋2＋3＋4＋…＋2 018＝2 018×2 0192.5．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．2B ．2nC ．2n ＋1－2D ．2n －1－2解析：选 C ∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n ，∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.故选C.6．(2017·嘉兴模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1()n ∈N *，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a 100a 101的值为____________．解析：因为()1－a n ＋1(1＋a n )＝1， 所以a n －a n ＋1＝a n a n ＋1.所以有1a n ＋1－1a n＝1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为1，首项为1的等差数列，所以1a n ＝n .所以a n ＝1n.因为a n －a n ＋1＝a n a n ＋1，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a 100a 101＝a 1－a 2＋a 2－a 3＋…＋a 100－a 101＝a 1－a 101＝1－1101＝100101.答案：1001017．(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.解析：∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121. 答案：1 1218．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n(n ∈N *)，则S 2 017＝________. 解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，① ∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，②∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2， ∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 017＝1－21 0091－2＋2×1－21 0081－2＝21 010－3.答案：21 010－39．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝32S n，求{c n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{b n }的公差为d ，∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2， ∴q 2＋3d ＝18,6＋d ＝q 2，联立方程可求得q ＝3，d ＝3， ∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意得：S n ＝n 3＋3n2，c n ＝32S n ＝32×23×1n n ＋1＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.10．(2017·广州综合测试)已知数列{a n}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2log2a n－1，求数列{a n b n}的前n项和T n.解：(1)设数列{a n}的公比为q，因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4.即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.因为公比q≠0，所以q＝2.所以a n＝a2q n－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*)．(2)因为a n＝2n，所以b n＝2log2a n－1＝2n－1，所以a n b n＝(2n－1)2n，则T n＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①2T n＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1.②由①－②得，－T n＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1＝2＋2×41－2n－11－2－(2n－1)2n＋1＝－6－(2n－3)2n＋1，所以T n＝6＋(2n－3)2n＋1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·云南师大附中检测)已知数列{a n}中，a1＝2，a2n＝a n＋1，a2n＋1＝n－a n，则{a n}的前100项和为________．解析：由a1＝2，a2n＝a n＋1，a2n＋1＝n－a n，得a2n＋a2n＋1＝n＋1，∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)＝2＋2＋3＋…＋50＝1 276，∵a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，∴a1＋a2＋…＋a100＝1 276＋13＝1 289.答案：1 2892．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2－a n，n∈N*，设函数f(x)＝log 12x.数列{b n}满足b n＝f(a n)，记{b n}的前n项和为T n.(1)求a n及T n；(2)记c n ＝a n ·b n ，求c n 的最大值． 解：(1)S n ＝2－a n ，∴a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2－a n －(2－a n －1)＝a n －1－a n ， ∴a n ＝12a n －1(n ≥2)，则数列{a n }是公比q ＝12，a 1＝1的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1；∴b n ＝f (a n )＝n －1， ∴T n ＝n 0＋n －12＝n 2－n2.(2)c n ＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，由c n ＋1－c n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n [n －2(n －1)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(2－n )，当n ＝1时，c 2>c 1；当n ＝2时，c 3＝c 2；当n ≥3时，c n ＋1<c n ， ∴(c n )max ＝c 2＝c 3＝12.。

高考数学总复习课时跟踪练三十四数列求和文含解析新人教A 版课时跟踪练(三十四)A 组 基础巩固1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n解析：该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n. 答案：A2．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，前n 项和为9，则n 等于( ) A ．9 B ．99C ．10D ．100解析：因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(n ＋1－n )＋(n －n －1)＋…＋(3－2)＋(2－1)＝n ＋1－1，令n ＋1－1＝9，得n ＝99，故选B.答案：B3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里解析：由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.答案：B4．(2019·广州模拟)数列{a n }满足a 2＝2，a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 100＝( )A ．5 100B ．2 550C ．2 500D ．2 450解析：由a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，可得a 1＋a 3＝a 3＋a 5＝a 5＋a 7＝…＝0，a 4－a 2＝a 6－a 4＝a 8－a 6＝…＝2，由此可知，数列{a n }的奇数项相邻两项的和为0，偶数项是首项为a 2＝2、公差为2的等差数列，所以S 100＝50×0＋50×2＋50×492×2＝2 550，故选B.答案：B5．已知函数f (x )＝x a的图象过点(4，2)，令a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ），n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 019＝( )A. 2 018－1B. 2 019－1C. 2 020－1D. 2 020＋1解析：由f (4)＝2得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.所以a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ）＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3) ＋…＋( 2 020－2 019)＝ 2 020－1. 答案：C6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sin n π2，n ∈N *，则S 2 019＝________．解析：a n ＝sinn π2，n ∈N *，显然每连续四项的和为0.S 2 019＝S 4×504＋a 2 017＋a 2 018＋a 2 019＝0＋1＋0＋(－1)＝0. 答案：07．计算：3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n＝________． 解析：设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ，则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1.两式相减得12S ＝3×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －n ＋22n ＋1.所以S ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－n ＋22n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－n ＋22n＝4－n ＋42n.答案：4－n ＋42n8．(2019·邵阳模拟)设数列{(n 2＋n )a n }是等比数列，且a 1＝16，a 2＝154，则数列{3na n }的前15项和为________．解析：等比数列{(n 2＋n )a n }的首项为2a 1＝13，第二项为6a 2＝19，故公比为13，所以(n2＋n )a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，所以a n ＝13n （n 2＋n ），则3na n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，其前n 项和S n＝1－1n ＋1，所以当n ＝15时，S 15＝1－116＝1516. 答案：15169．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．解：(1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1(n ＝1，2，3，…)．设等差数列{a n }的公差为d .因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ＝1，2，3，…)． (2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1.因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n （1＋2n －1）2＋1－3n1－3＝n 2＋3n－12.10．(2019·深圳一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝2＋S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1＋log 2(a n )2，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n <16.(1)解：因为a n ＋1＝2＋S n (n ∈N *)， 所以a n ＝2＋S n －1(n ≥2)． 所以a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ， 所以a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又因为a 2＝2＋a 1＝4，a 1＝2，所以a 2＝2a 1， 所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， 则a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．(2)证明：因为b n ＝1＋log 2(a n )2，则b n ＝2n ＋1. 则1b n b n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3<16. B 组 素养提升11．(2019·厦门质检)已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ＝2，则其前100项和为( )A ．250B ．200C ．150D ．100解析：n ＝2k (k ∈N *)时，a 2k ＋1－a 2k ＝2，n ＝2k －1(k ∈N *)时，a 2k ＋a 2k －1＝2，n ＝2k ＋1(k ∈N *)时，a 2k ＋2＋a 2k ＋1＝2，所以a 2k ＋1＋a 2k －1＝4，a 2k ＋2＋a 2k ＝0，所以{a n }的前100项和＝(a 1＋a 3)＋…＋(a 97＋a 99)＋(a 2＋a 4)＋…＋(a 98＋a 100)＝25×4＋25×0＝100.故选D.答案：D12．(2019·郑州毕业班质量检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n(n ∈N *)，则T 2 018＝( )A.4 0342 018 B.2 0172 018 C.4 0362 019D.2 0182 019解析：因为a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1， 所以数列{a n }是等差数列，又a 1＝1，a 2＝2，所以d ＝1，则a n ＝n ，S n ＝（1＋n ）·n2，所以1S n＝2n ·（n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1，则T 2 018＝4 0362 019.故选C. 答案：C13．(2019·广东“六校联盟”联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则数列{na n }的前n 项和T n 为________．解析：因为S n ＝2a n －1(n ∈N *)所以n ＝1时，a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－(2a n －1－1)，化为a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1.所以na n ＝n ·2n －1.则数列{na n }的前n 项和T n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1.2T n ＝2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ·2n，两式相减得－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n－1，所以T n ＝(n －1)2n＋1. 答案：(n －1)2n＋114．[一题多解]设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3得a n ＝2S n －1＋3， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， 所以a n ＋1＝3a n ， 所以a n ＋1a n＝3. 当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3. 所以数列{a n }是以3为首项，公比为3的等比数列． 所以a n ＝3×3n －1＝3n.(2)法一 由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n， 所以T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n，①3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n －1)·3n ＋1＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n －1)·3n ＋1＝3＋2×32（1－3n －1）1－3－(2n －1)·3n ＋1＝－6－(2n －2)·3n ＋1. 所以T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.法二 由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n. 因为(2n －1)·3n ＝(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n]＝(n －1)·3n ＋1＋3.。

课时跟踪检测（三十六） 数列求和1．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选 A ∵a n ＋1＝a n －a n －1，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…，故数列{a n }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S 2 018＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＝a 1＋a 2＝3.故选A.2．在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80D ．82解析：选B 由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n＝(－1)n(2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.3．(2019·开封调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018等于( ) A ．22 018－1B ．3×21 009－3 C ．3×21 009－1D ．3×21 008－2解析：选B ∵a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2，∴a n ＋2a n＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 017＋a 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)＝1－21 0091－2＋－2 1 0091－2＝3×21 009－3.故选B.4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝ ⎛⎭⎪⎫15n，则其前20项和为( )A ．380－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1519B ．400－25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520C ．420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520D ．440－45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520解析：选C 令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝2(1＋2＋…＋20)－3⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋152＋…＋1520＝2×＋2－3×15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15201－15＝420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520.5．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝( )A.n n ＋2B ．－n n ＋2C ．(－1)n ＋1n n ＋2D ．以上均不正确解析：选C 当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－(2n －1)＝－n2＋2n －2＝－n n ＋2；当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n 2＝－n －12[3＋n －－1]2＋n 2＝n n ＋2.综上可得，原式＝(－1)n ＋1n n ＋2.6．(2019·郑州质量预测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n(n ∈N *)，则T 2 018＝( )A.4 0342 018 B ．2 0172 018 C.4 0362 019D ．2 0182 019解析：选C 由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，可得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列，公差d ＝a 2－a 1＝2－1＝1，通项公式a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋n －1＝n ，则其前n 项和S n ＝n a 1＋a n 2＝n n ＋2，所以1S n ＝2nn ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2( 1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1，故T 2 018＝2×2 0182 018＋1＝4 0362 019，故选C. 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a n a n ＋1的前n 项和T n ＝________.解析：∵数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，∴S n －1＝n 2－n ＋1(n ≥2)，两式作差得到a n ＝2n (n ≥2)．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.∴4a n a n ＋1＝1nn ＋＝1n －1n ＋1(n ≥2)，∴T n ＝13＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝56－1n ＋1. 答案：56－1n ＋18．(2019·安徽十大名校联考)在数列{a n }中，a 1＝－2，a 2＝3，a 3＝4，a n ＋3＋(－1)na n ＋1＝2(n ∈N *)．记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 20的值为________．解析：由题意知，当n 为奇数时，a n ＋3－a n ＋1＝2，又a 2＝3，所以数列{a n }中的偶数项是以3为首项，2为公差的等差数列，所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝10×3＋10×92×2＝120.当n 为偶数时，a n ＋3＋a n ＋1＝2，又a 3＋a 1＝2， 所以数列{a n }中的相邻的两个奇数项之和均等于2，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 17＋a 19＝(a 1＋a 3)＋(a 5＋a 7)＋…＋(a 17＋a 19)＝2×5＝10，所以S 20＝120＋10＝130.答案：1309．(2019·益阳、湘潭调研)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2且S n ＋1＝2S n ，设b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019的值是________．解析：由S n ＋1＝2S n 可知，数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公比为2的等比数列，所以S n＝2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1，b n ＝log 2a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n －1，n ≥2，当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1n －n ＝1n －1－1n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019＝1＋1－12＋12－13＋…＋12 017－12 018＝2－12 018＝4 0352 018. 答案：4 0352 01810．(2019·大连模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记T n 为数列{n ＋a n }的前n 项和，求T n . 解：(1)由a n ＋1＝3S n ＋1， 得当n ≥2时，a n ＝3S n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1＝4a n (n ≥2)． 又a 1＝1，a 2＝4，a 2a 1＝4，所以数列{a n }是首项为1，公比为4的等比数列， 所以数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)T n ＝(1＋a 1)＋(2＋a 2)＋(3＋a 3)＋…＋(n ＋a n ) ＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋42＋…＋4n －1)＝n＋n2＋－4n1－4＝n ＋n 22＋4n －13.11．(2019·广州调研)已知数列{a n }满足a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －1a n ＝n4(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4na n2n ＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝14.因为a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＋4n －1a n ＝n4，①所以a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＝n －14(n ≥2，n ∈N *)，②①－②得4n －1a n ＝14(n ≥2，n ∈N *)，所以a n ＝14n (n ≥2，n ∈N *)．当n ＝1时也适合上式，故a n ＝14n (n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝4na n 2n ＋1＝12n ＋1，所以b n b n ＋1＝1n ＋n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，故T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3 ＝n 6n ＋9. 12．已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2. 所以b n ＝2n.由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②由①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ， 由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝－4n1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.。

B. 400 — | 1 —1 1、解析：选C 令数列｛a n ｝的前n 项和为 S,则S 20= a + a 2+-+ a 20= 2(1 + 2 +…+ 20) — 3 5+孑+…+尹11 _+51—百=2X—3X课时跟踪检测(三十六) 数列求和1 . (2019 •河北“五个一名校联盟”模拟 )已知数列｛a n ｝满足：a n +1= a n — a n -1( n 》2, n € N), a 1 = 1, a 2=2，S 为数列｛a n ｝的前n 项和，则S 018 =(A . 3 B. C. 1 D. 解析：选 A T a n +1 = a n — a n -1, a 1= 1, a 2= 2 ,「. a 3 = 1, a 4=— 1, a 5=— 2, a 6=— 1, a 7= 1, a 3= 2,…， 故数列｛a n ｝是周期为6的周期数列，且每连续 6项的和为0，故S 018= 336x 0+ a 2 017+ a 2 018= a 1 + a 2= 3.故选A. 在数列｛a n ｝中，若a n +1 + ( — 1)n a n = 2n — 1，则数列｛a n ｝的前12项和等于 A . 76B. 78C. 80D. 82 解析：选B 由已知 a n +1 + ( — 1) a n = 2n — 1,得 a n + 2+ (— 1) &+1 = 2n + 1, 得 a n +2 + a n = ( — 1) (2n — 1) + (2n + 1)，取 n = 1,5,9 及 n = 2,6,10，结果相加可得 $2= a 1 + a 2+ a 3 + a 4+…+ an + a 12= 78.故选 B. (2019 •开封调研n *)已知数列｛a n ｝满足 a 1= 1, a n +1 • a n = 2(n € N)，贝U S 018等于( ) A . B. 3x2 1 009 — 3 C. 1 009 丄3X2 —1D. 3 X 2 1 008 — 2 解析：选 B •/ a= 1, a 2= 2 = 2,又 an+" an +1 =争=2,a 1 a n +1 • a n 2 =2. a 1, a 3, a 5,…成等比数列； a 2,a 4, a 6,…成等比数列，二 S 2 018 = a 1 + a 2+ a 3+ a 4+ a 5+ a 6+・・・ + a 2 017 + a 2 018 = (a 1 + a 3+ a 5+^+ a 2 017 )+ (a 2+ a 4 1 009 1 — 2 + a6+…+a2 018) =F +—21 009一 1 = 3X 2 1 009— 3.故选 B.已知数列｛a n ｝的通项公式是 a n = 2n — 3 1 n，则其前20项和为()A .C.420- 41-占D. 440 — £ 1 —520-丄5203十=420 -411—5510.5. 1— 4 + 9 — 16+- + n + 1 2(—1) n =( n n +1A. 2n n + 1B—2~"n + 1n n + 1c. (―1)2~D.以上均不正确6. (2019 •郑州质量预测)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S, a = 1, a 2= 2,且a n + 2— 2a n +1+ a n = 0(n € N), 1 1 1 *记 T n = S + S +…+ S ( n € N)，贝U T 2 018 =() 4 034 A ------- 2 018 4 036 C.- 2 019解析：选 C 由a n +2— 2a n +1+ a n = 0(n € N *)，可得a n + 2+ a n = 2a n +1,所以数列｛a n ｝为等差数列，公差 d =2n 丄,十 2x 2 0 18，故 T 2 018 = TTT7 7 n + 1' 2 018 + 17 .已知数列｛ a n ｝的前n 项和S n = n 2+ n + 1，则数列 J 4 啲前n 项和T n =.8n 8n + 1解析：•数列｛a n ｝的前n 项和S= n 2 + n + 1,二S n -1= n 2— n +1(n 》2)，两式作差得到 a n = 2n (n 》2).故 3, n = 1,41 1 1 11111 1151… = j = _— (n 》2)，… T n = — + 一一 — + 一一 — + …+一 一 =_— .2n , n 》2.a “a n +1 n n +1 n n + 13 2 3 34 n n +1 6 n + 11 n + 18. (2019 •安徽十大名校联考 )在数列｛a n ｝中，a 1 = — 2, a ? = 3, a 3= 4, a n +3+ ( — 1)3+1= 2( n € N).记S 是数列｛a n ｝的前n 项和，贝U S 20的值为 ________.解析：由题意知，当 n 为奇数时，a n + 3— a n +1= 2，又a 2= 3,所以数列｛a n ｝中的偶数项是以3为首项，2 为公差的等差数列，所以10X9a 2+ ck + a 6 +^+ a 20 = 10x 3+： x 2= 120.当 n 为偶数时，a n + 3 + a n +1 = 2,又 a 3+ a 1 = 2, 所以数列｛a n ｝中的相邻的两个奇数项之和均等于2 ,所以 a 1 + a 3 + a 5+…+ &仃+ a 19 = (a 1 + a 3) + (a s + a ?) +…+ (&仃+ a 19) = 2x 5= 10,所以 S 20 = 120+ 10 =解析：选C 当n 为偶数时,1 — 4 + 9- 16+- +n2 n + 1 2(—1) n = — 3— 7 —…一(2n — 1)=—-:〕+ 2n—1n —1 ~2~n n + ]2~[3 +2 ;当n 为奇数时,n + 1 221 — 4 + 9 — 16 +…+ ( — 1) n = — 3 — 7 —…一[2( n — 1) — 1] + n = ——1] -----n n +12~.综上可得, 原式=n +1n (—1)-n+1~2~2 017 2 0182 018 2 01982 — a 1 = 2— 1 = 1，通项公式 a n = a + (n — 1) x d = 1 + n — 1= n ,则其前 n 项和S n= _a 1 + a n n n +1 2 1 2所以 s n =111 11 /=2 n —市,Tn = S 1+豆+…+ST 2(1 1 11 —2+ 2 — 3 + …+4 0362 019 ,故选C. 1 1 nn +1丄n + 1130.答案：1309. （2019 •益阳、湘潭调研）已知$为数列｛a n ｝的前n 项和，若a i = 2且S+1= 2S ，设b n = log 2a n ,则丸b i b 2解析：由S+1 = 2S 可知，数列｛S ｝是首项为S = a 1= 2,公比为2的等比数列，所以 S = 2n .当n 》2时,11 1 1 1 1 1 11 4 035+ +…+ = 1 + 1 ———+ ———— + ■■■+ —— =2 — = b 1b 2 b 2b 3 b2 018 b 2 019 丁 2 2 3 2 017 2 018 2 018 2 018 '10. （2019 •大连模拟）设数列｛a n ｝的前n 项和为 S,已知a = 1, a n +1= 3S + 1, n € N *. （1）求数列｛a n ｝的通项公式；⑵ 记T n 为数列｛n + a n ｝的前n 项和，求T n .解：（1）由 a n +1= 3S + 1, 得当 n 》2 时，a n = 3S n -1 +1, 两式相减，得 a n +1 = 4an （n 》2）. 口 a 2又 a 1= 1, a 2= 4, = 4,所以数列｛a n ｝是首项为1,公比为4的等比数列, 所以数列｛a n ｝的通项公式是a n = 4n —1（n € N ）. (2) T n = (1 + a" + (2 + a 2) + (3 + a 3) +…+ (n + a n )2n — 1=(1 + 2 + …+ n ) + (1 + 4+ 4 +…+ 4)1-4" 1 — 4n + n 22n -1n*11. (2019 •广州调研)已知数列｛ a n ｝满足a 1+ 4a 2 + 4a 3+・・・+ 4 a n = 4( n € N). (1)求数列｛a n ｝的通项公式；4n a n⑵设b n = 2n + 1，求数列｛b n b n + 1｝的前n 项和T n .1 解：(1)当 n = 1 时，a 1 = 4.r~\An因为 a 1 + 4a 2+ 4a 3+・・・+ 4 a n — 1 + 4 a n =，①42n —2n — 1 *所以 a 1 + 4a 2+ 4 a 3+…+ 4 a n — 1 = ~4~(n 》2, n € N)，②1b 2 018 b 2 019的值是n n —1n —1a n = S — Si -1 = 2 — 2 = 21, n = 1,b n = lOg 2a n =n — 1, n 》当n 》2时, 1b n b n +11 _ 1n —1 n n —1答案:4 0352 018n -11 *①一②得 4 a n= 4(n》2, n€ N),1 * 所以a n =苹(n》2, n € N).1 ”当n = 1时也适合上式，故a n= n(n€ N).4n4 a n 1⑵由(1)得b n=和=斫，所以bnbn+1= 2n+l 1 2n + ；1 = 2 侖-的，, 1 .-1 1 1 1 1 1 \故Tn= 2 3-5+5—7+…+ 时—齐=11_丄=2 3 2n+ 3n=6n+ 9.12. 已知｛a n｝为等差数列，前n项和为S( n€ N), ｛b n｝是首项为2的等比数列，且公比大于=12，b3= a4 —2a1，S1 = 11 b4.(1) 求｛a n｝和｛b n｝的通项公式；(2) 求数列｛a2n b2n—1｝的前n项和(n € N).解：(1)设等差数列｛a n｝的公差为d,等比数列｛b n｝的公比为q.由已知b2+ b3= 12,得b*q+ q ) = 12,而b1= 2,所以q + q— 6 = 0.又因为q> 0，解得q= 2.所以b n= 2n.由b3= a4 —2a1，可得3d —a1 = 8.①由S11 = 11b4，可得a1 + 5d = 16.②由①②，解得a1= 1, d= 3,由此可得a n= 3n—2.所以数列｛a n｝的通项公式为a n = 3n—2，数列｛b n｝的通项公式为b n= 2n.(2)设数列｛a2n b2n—1｝的前n项和为T n,由a2n= 6n—2, b2n—1 = 2x4 , 得a2n b2n—1 = (3 n —1) x4 n,故T n= 2X 4+ 5X4 2+ 8X4 3+…+ (3 n—1) X4 n,2 3 4 n4T n= 2X4 + 5X4 + 8X4 +•••+ (3n —4) X4 + (3n—1) X4上述两式相减，得—3T n = 2X 4+ 3X4 2+ 3X43+-+ 3X4 n—(3n—1) X412X ] —4n—4—(3n —1)X4 n+ 10, b2+ b a=—(3n_2) X4 +_ 8.故T n= 3n—X4n+ 1+ 3.Q n O Q 所以数列｛a2n b2n—l｝的前n项和为一3— X4n + 1+ 3.。

课时跟踪检测(十) 数列求和1．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为( )A．2100－101 B．299－101C．2100－99 D．299－99解析：选A　由数列可知a n＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.2．数列{a n}的通项公式是a n＝.若前n项和为10，则项数为( )A．11 B．99 C．120 D．121解析：选C　∵a n＝＝－，∴S n＝a1＋a2＋…＋a n＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝10，得n＝120.3．已知数列{a n}的通项公式是a n＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( ) A．15 B．12 C．－12 D．－15解析：选A　∵a n＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋...＋a10＝－1＋4－7＋10－ (25)28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.4．已知函数f(n)＝且a n＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( )A．0 B．100 C．－100 D．10 200解析：选B　由题意可得，当n为奇数时，a n＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－2n －1；当n为偶数时，a n＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1.所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝[－2×(1＋3＋5＋…＋99)－50]＋[2×(2＋4＋6＋…＋100)＋50]＝100，故选B.5．已知函数y＝log a(x－1)＋3(a＞0，a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n}的第二项与第三项，若b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，则T10＝( )A. B． C．1 D．解析：选B　∵对数函数y＝log a x的图象过定点(1,0)，∴函数y＝log a(x－1)＋3的图象过定点(2,3)，则a2＝2，a3＝3，故a n＝n，∴b n＝＝－，∴T10＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选B.6．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1·a n＝2n(n∈N*)，则S2 020＝________.解析：∵数列{a n}满足a1＝1，a n＋1·a n＝2n，①∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，a n·a n－1＝2n－1，②①÷②得＝2.∴数列{a n}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2 020＝＋＝3×21 010－3.答案：3×21 010－37．已知等比数列{a n}的公比q≠1，且a1＝1,3a3＝2a2＋a4，则数列的前4项和为_ _______．解析：∵等比数列{a n}中，a1＝1,3a3＝2a2＋a4，∴3q2＝2q＋q3.又∵q≠1，∴q＝2，∴a n＝2n－1，∴＝2n－1，即是首项为，公比为的等比数列，∴数列的前4项和为＝.答案：8．已知a n＝2n－2，a＝b n，c n＝，则数列{c n}的前n项和S n＝________.解析：因为a＝(2n－2)2＝b n，所以b n＝－2n＋4，所以c n＝＝＝＝(－n＋2)·n－3，所以S n＝1·－2＋0·－1＋(－1)·0＋…＋(－n＋2)·n－3，①则S n＝1·－1＋0·0＋(－1)·1＋…＋(－n＋2)·n－2.②①－②得S n＝4－－(－n＋2)·n－2＝4－－(－n＋2)·n－2＝，整理得S n＝.答案：9．已知等比数列{a n}各项都是正数，S n为其前n项和，a3＝8，S3＝14.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设{a n－b n}是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{b n}的通项公式及其前n 项和T n.解：(1)等比数列{a n}中，a3＝8，S3＝14，可列方程组∵{a n}各项都是正数，∴q＞0，解得∴a n＝2n.(2)由题意知a n－b n＝3n－2，即2n－b n＝3n－2，∴b n＝2n－3n＋2.∴T n＝21＋22＋…＋2n－3×(1＋2＋…＋n)＋2n＝－3×＋2n＝2n＋1－n2＋－2.10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a6＝11，S10＝100.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝(－1)n，求数列{b n}的前n项和T n.解：(1)设该等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，根据题意可知解得所以a n＝a1＋(n－1)d＝2n－1，所以数列{a n}的通项公式是a n＝2n－1.(2)由(1)得a n＝2n－1，所以b n＝(－1)n·＝(－1)n··，所以T n＝.当n为奇数时，T n＝；当n为偶数时，T n＝.所以T n＝－＋(－1)n.1．设数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10等于( )A．1 033 B．1 034 C．2 057 D．2 058解析：选A　由已知可得a n＝n＋1，b n＝2n－1，于是ab n＝b n＋1，因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(b1＋1)＋(b2＋1)＋…＋(b10＋1)＝b1＋b2＋…＋b10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝＋10＝1 033.2．已知S n为数列{a n}的前n项和，若a n(4＋cos nπ)＝n(2－cos nπ)，则S20＝( )A．31 B．122 C．324 D．484解析：选B　∵a n(4＋cos nπ)＝n(2－cos nπ)，∴当n＝2k－1(k∈N*)时，a n＝n；当n＝2k(k∈N*)时，a n＝.∴a n＝∴a1＝1，a2＝，a3＝3，a4＝，a5＝5，….∴S20＝(1＋3＋…＋19)＋＝＋×＝122.故选B.3．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为________．解析：当n＝2k(k∈N*)时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k－a2k－1＝4k－3，∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋3＋a2k＋1＝2，∴a2k－1＝a2k＋3，∴a1＝a5＝…＝a61.∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝＝30×61＝1 830.答案：1 8304．从“①S n＝n；②S2＝a3，a4＝a1a2；③a1＝2，a4是a2，a8的等比数列”三个条件任选一个，补充到下面的横线处，并解答．已知等差数列的前n项和为S n，公差d不等于0，________，n∈N*.(1)求数列的通项公式；(2)若b n＝S2n＋1－S2n，数列的前n项和为W n，求W n.解：(1)选①，S n＝n＝n2＋n，令n＝1⇒a1＝1＋⇒a1＝2，∴S n＝n2＋n，当n≥2时，S n－1＝(n－1)2＋n－1，a n＝S n－S n－1＝2n，而a1＝2满足上式，∴a n＝2n.选②，由S2＝a3，a4＝a1a2可得解得a1＝d＝2，∴a n＝2＋2×(n－1)＝2n.选③，由a1＝2，a4是a2，a8的等比数列，得a＝a2a8，即(2＋3d)2＝(2＋d)(2＋7d)，解得d＝2，∴a n＝2＋2×(n－1)＝2n.(2)由(1)知a n＝2n，S n＝n2＋n，则b n＝(2n＋1)2＋2n＋1－(2n)2－2n＝3·22n＋2n，∴W n＝＋＝4(4n－1)＋2(2n－1)＝4n＋1＋2n＋1－6.5．在①a8＝2a4＋1，②4是a1，a3的等比中项，③S5＝4a1a2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝a6－a1，且________．(1)求a n；(2)设数列的前n项和为T n，试比较T n与的大小，并说明理由．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d(d＞0)，由S3＝a6－a1，可得3a1＋3d＝5d，即3a1＝2d.选①a8＝2a4＋1，即有a1＋7d＝2a1＋6d＋1，即d＝a1＋1，由解得a1＝2，d＝3，则a n＝2＋3(n－1)＝3n－1.选②4是a1，a3的等比中项，即有a1a3＝16，即a1(a1＋2d)＝16，由解得a1＝2，d＝3，则a n＝2＋3(n－1)＝3n－1.选③S5＝4a1a2，即有5a1＋10d＝4a1(a1＋d)，由解得a1＝2，d＝3，则a n＝2＋3(n－1)＝3n－1.(2)由(1)知S n＝2n＋n(n－1)·3＝n2＋n，S n＋n＝n(n＋1)，＝·＝，则T n＝＝＝，＝，由－＝＜0，可得T n＜.。

课时跟踪检测（三十六） 数列求和1．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A ∵a n ＋1＝a n －a n －1，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…，故数列{a n }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S 2 018＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＝a 1＋a 2＝3.故选A2．在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80D ．82解析：选B 由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.3．(2019·开封调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018等于( ) A ．22 018－1B ．3×21 009－3 C ．3×21 009－1D ．3×21 008－2解析：选B ∵a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2，∴a n ＋2a n＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 017＋a 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)＝1－21 0091－2＋21－21 0091－2＝3×21 009－3.故选B.4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝ ⎛⎭⎪⎫15n，则其前20项和为( )A ．380－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1519B ．400－25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520C ．420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520D ．440－45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520解析：选C 令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝2(1＋2＋…＋20)－3⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋152＋…＋1520＝2×20×20＋12－3×15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15201－15＝420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520.5．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝( )A.n n ＋12B ．－n n ＋12C ．(－1)n ＋1n n ＋12D ．以上均不正确解析：选C 当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－(2n －1)＝－n23＋2n －12＝－n n ＋12；当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n 2＝－n －12[3＋2n －1－1]2＋n 2＝n n ＋12.综上可得，原式＝(－1)n ＋1n n ＋12.6．(2019·郑州质量预测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n(n ∈N *)，则T 2 018＝( )A.4 0342 018 B ．2 0172 018 C.4 0362 019D ．2 0182 019解析：选C 由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，可得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列，公差d ＝a 2－a 1＝2－1＝1，通项公式a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋n －1＝n ，则其前n 项和S n ＝n a 1＋a n 2＝n n ＋12，所以1S n＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2( 1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1，故T 2 018＝2×2 0182 018＋1＝4 0362 019，故选C. 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a n a n ＋1的前n 项和T n ＝________. 解析：∵数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，∴S n －1＝n 2－n ＋1(n ≥2)，两式作差得到a n ＝2n (n ≥2)．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.∴4a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1(n ≥2)，∴T n ＝13＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝56－1n ＋1. 答案：56－1n ＋18．(2019·安徽十大名校联考)在数列{a n }中，a 1＝－2，a 2＝3，a 3＝4，a n ＋3＋(－1)na n ＋1＝2(n ∈N *)．记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 20的值为________．解析：由题意知，当n 为奇数时，a n ＋3－a n ＋1＝2，又a 2＝3，所以数列{a n }中的偶数项是以3为首项，2为公差的等差数列，所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝10×3＋10×92×2＝120.当n 为偶数时，a n ＋3＋a n ＋1＝2，又a 3＋a 1＝2， 所以数列{a n }中的相邻的两个奇数项之和均等于2，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 17＋a 19＝(a 1＋a 3)＋(a 5＋a 7)＋…＋(a 17＋a 19)＝2×5＝10，所以S 20＝120＋10＝130.答案：1309．(2019·益阳、湘潭调研)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2且S n ＋1＝2S n ，设b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019的值是________．解析：由S n ＋1＝2S n 可知，数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公比为2的等比数列，所以S n ＝2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，b n ＝log 2a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n －1，n ≥2，当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1n －1n ＝1n －1－1n，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019＝1＋1－12＋12－13＋…＋12 017－12 018＝2－12 018＝4 0352 018.答案：4 0352 01810．(2019·大连模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记T n 为数列{n ＋a n }的前n 项和，求T n . 解：(1)由a n ＋1＝3S n ＋1， 得当n ≥2时，a n ＝3S n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1＝4a n (n ≥2)． 又a 1＝1，a 2＝4，a 2a 1＝4，所以数列{a n }是首项为1，公比为4的等比数列， 所以数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)T n ＝(1＋a 1)＋(2＋a 2)＋(3＋a 3)＋…＋(n ＋a n ) ＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋42＋…＋4n －1)＝n 1＋n2＋1×1－4n1－4＝n ＋n 22＋4n －13.11．(2019·广州调研)已知数列{a n }满足a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －1a n ＝n4(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4na n2n ＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝14.因为a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＋4n －1a n ＝n4，①所以a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＝n －14(n ≥2，n ∈N *)，②①－②得4n －1a n ＝14(n ≥2，n ∈N *)，所以a n ＝14n (n ≥2，n ∈N *)．当n ＝1时也适合上式，故a n ＝14n (n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝4na n 2n ＋1＝12n ＋1，所以b n b n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，故T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3 ＝n 6n ＋9. 12．已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2. 所以b n ＝2n.由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②由①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ， 由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝12×1－4n1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83。