高中数学课时跟踪检测十五直线方程的点斜式北师大版必修2

课时跟踪检测（十五）直线方程的点斜式层级一学业水平达标．已知直线的方程是＋＝－－，则( )．直线经过点(－)，斜率为－．直线经过点(，－)，斜率为－．直线经过点(－，－)，斜率为－．直线经过点(－，－)，斜率为解析：选方程变形为＋＝－(＋)，∴直线过点(－，－)，斜率为－.．已知直线的倾斜角为°，在轴上的截距为－，则此直线方程为( )．＝＋．＝－＋．＝－－．＝－解析：选斜率＝°＝，则此直线方程为＝－.．方程＝(＋)表示( )．过点(－)的所有直线．过点()的一切直线．过点(－)且不垂直于轴的一切直线．过点(－)且除去轴的一切直线解析：选显然＝(＋)中斜率存在，因此不包含过点(－)且斜率不存在即垂直于轴的直线．．如果方程为＝＋的直线经过二、三、四象限，那么有( )．＞，＞．＞，＜．＜，＞．＜，＜解析：选因为直线＝＋经过二、三、四象限，所以直线的斜率为负值，在轴上的截距为负，因此＜，＜，故选.．直线＝－的图像可能是( )解析：选由＝－可知，斜率和在轴上的截距必须异号，故正确．．直线＝－在轴上的截距是．解析：由＝－，令＝，得＝－.答案：－．直线＝＋过点(，－)，则其在轴上的截距是．解析：＝＋过点(，－)，∴－＝＋，即＝－，从而在轴上的截距为－.答案：－．已知一条直线经过点()，且其斜率与直线＝＋的斜率相同，则该直线的方程是．解析：直线的斜率与＝＋的斜率相同，故＝，又过()，∴直线的方程为－＝(－)，即－＝.答案：－＝．直线过点(－)，斜率为－，把绕点按顺时针方向旋转°角得直线，求直线和的方程．直线的方程是－＝－(＋)．解：－＋＝.即＋－＝α，∴α＝°.如图，绕点按顺时针方向旋转°，得到直∵＝角为α＝°－°＝°，线的倾斜∴＝°＝－，∴的方程为－＝－(＋)，即＋－＋＝.．求倾斜角是直线＝－＋的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程．()经过点(，－)；()在轴上的截距是－.解：∵直线＝－＋的斜率＝－，∴其倾斜角α＝°，由题意，得所求直线的倾斜角α＝α＝°，故所求直线的斜率＝°＝，()∵所求直线经过点(，－)，斜率为，∴所求直线方程是＋＝(－)，即－－＝.()∵所求直线的斜率是，在轴上的截距为－，∴所求直线的方程为＝－.层级二应试能力达标．直线＋＋＝的斜率为，在轴上的截距为，则有( )．＝－，＝．＝－，＝－．＝－，＝－．＝－，＝－解析：选由＋＋＝，得＝－－，知＝－，＝－.．直线：＝＋与：＝＋的位置关系如图所示，则有( )．＜且＜．＜且＞．＞且＞．＞且＜解析：选设直线，的倾斜角分别为α，α.由题图可知°＜α＜α＜°，所以＜.又＜，＞，所以＜.故选.。

课时跟踪检测（十五） 直线方程的点斜式 一、基本能力达标1．若直线l 的倾斜角为45°，且经过点(2,0)，则直线l 的方程是( )A ．y ＝x ＋2B ．y ＝x －2C ．y ＝33x －233D ．y ＝3x －2 3解析：选B 由题得直线l 的斜率等于tan 45°＝1，由点斜式求得直线l 的方程为y －0＝x －2，即y ＝x －2.故选B.2．经过点A (－1,4)且在x 轴上的截距为3的直线方程是( )A ．y ＝－x －3B ．y ＝x ＋3C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －3解析：选C 过点A (－1,4)且在x 轴上的截距为3的直线方程可以设为y －4＝k (x ＋1)．令y ＝0，得x ＝－4k －1＝3，解得k ＝－1，即所求直线方程为y ＝－x ＋3.3．方程y ＝k (x ＋4)表示( )A ．过点(－4,0)的所有直线B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且除去x 轴的一切直线解析：选C 显然y ＝k (x ＋4)中斜率存在，因此不包含过点(－4,0)且斜率不存在即垂直于x 轴的直线．4．如果方程为y ＝kx ＋b 的直线经过二、三、四象限，那么有( )A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0解析：选D 因为直线y ＝kx ＋b 经过二、三、四象限，所以直线的斜率为负值，在y 轴上的截距为负，因此k ＜0，b ＜0，故选D.5．直线y ＝ax －1a 的图像可能是( )解析：选B 由y ＝ax －1a 可知，斜率和在y 轴上的截距必须异号，故B 正确．6．直线y ＝43x －4在y 轴上的截距是________．解析：由y ＝43x －4，令x ＝0，得y ＝－4. 答案：－47．直线y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，则其在y 轴上的截距是________．解析：y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，∴－1＝m ＋m ，即m ＝－12，从而在y 轴上的截距为－12. 答案：－128．已知一条直线经过点P (1,2)，且其斜率与直线y ＝2x ＋3的斜率相同，则该直线的方程是________．解析：直线的斜率与y ＝2x ＋3的斜率相同，故k ＝2，又过P (1,2)，∴直线的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：2x －y ＝09．直线l 1过点P (－1,2)，斜率为－33，把l 1绕点P 按顺时针方向旋转30°角得直线l 2，求直线l 1和l 2的方程．解：直线l 1的方程是y －2＝－33(x ＋1)． 即3x ＋3y －6＋3＝0.∵k 1＝－33＝tan α1，∴α1＝150°.如图，l 1绕点P 按顺时针方向旋转30°，得到直线l 2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k 2＝tan 120°＝－3，∴l 2的方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y －2＋3＝0.10．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程． (1)经过点(3，－1)；(2)在y 轴上的截距是－5.解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝3 3，(1)∵所求直线经过点(3，－1)，斜率为3 3，∴所求直线方程是y＋1＝33(x－3)，即3x－3y－6＝0.(2)∵所求直线的斜率是33，在y轴上的截距为－5，∴所求直线的方程为y＝33x－5.二、综合能力提升1．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是()A．x＝－1B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)解析：选C由方程知，已知直线的斜率为22，所以所求直线的斜率是 2.由直线的点斜式方程可得方程为y－1＝2(x＋1)．2．直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有()A．k1＜k2且b1＜b2B．k1＜k2且b1＞b2C．k1＞k2且b1＞b2D．k1＞k2且b1＜b2解析：选A设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知90°＜α1＜α2＜180°，所以k1＜k2.又b1＜0，b2＞0，所以b1＜b2.故选A.3．在等腰△ABO中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)解析：选D如图，由几何性质知，OA与AB的倾斜角互补，k OA＝3，k AB＝－3，∴直线AB的方程为y－3＝－3(x－1)．4．不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( )A ．(1,2)B ．(－2,1)C ．(2，－1)D ．(2,1)解析：选B ∵直线方程可化为y －1＝m [x －(－2)]，∴直线恒过定点(－2,1)．5．已知直线l ：y ＝k (x －1)＋2不经过第二象限，则k 的取值范围是________． 解析：由l 的方程知l 过定点A (1,2)，斜率为k ，则k OA ＝2(O 为坐标原点)，如图所示，则由数形结合可得，k ≥2时满足条件．答案：[2，＋∞)6．给出下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线； ②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1；④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．其中正确结论的序号为________．解析：①不正确．方程k ＝y －2x ＋1不含点(－1,2)；②正确；③正确；④只有k 存在时成立． 答案：②③7．已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴截得的线段长为37，求直线l 的方程． 解：设所求的直线l 的方程为y ＝6x ＋b ，令x ＝0，y ＝b ，令y ＝0，x ＝－b 6， ∴l 与x ，y 轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫－b 6，0，(0，b )． 由题意，得⎝⎛⎭⎫－b 62＋b 2＝37，得b ＝±6. ∴直线l 的方程为y ＝6x ±6.探究应用题8．求与两坐标轴围成的三角形的周长为9，且斜率为－43的直线方程． 解：设直线l 的方程为y ＝－43x ＋b .令x ＝0，得y ＝b ； 令y ＝0，得x ＝34b . 由题意，得|b |＋34|b |＋b 2＋⎝⎛⎭⎫34b 2＝9.∴|b|＋34|b|＋54|b|＝9，∴b＝±3.∴所求直线方程为y＝－43x＋3或y＝－43x－3.由Ruize收集整理。

"【世纪金榜】高中数学 2.1.2.1直线方程的点斜式课时提能演练 北师大版必修2 "（30分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.(2012·福州高一检测）已知直线l 的倾斜角为60°,且l 在y 轴上的截距为-1，则直线l 的方程为( )(A)y=-3x-1 (B)y=-3x+12.（2012·安徽师大附中模拟)绕直线2x －y －2＝0与y 轴的交点逆时针旋转90°所得的直线方程是( )(A)x-2y+4=0 (B)x+2y-4=0(C)x-2y-4=0 (D)x+2y+4=03.（2012·济南高一检测）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax 与y=x+a 正确的是( )4.（易错题）直线ax+by=1(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是( ) (A)12ab (B)12|ab| (C) 12ab (D)12ab二、填空题（每小题4分，共8分） 5.在y 轴上的截距是-6，倾斜角的正切值是45的直线方程是____________. 6.经过点（1，-2），倾斜角是直线y=x-3倾斜角的2倍的直线方程是__________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.直线y=3x+1的倾斜角是直线l 的倾斜角的12,求分别满足下列条件的直线l 的方程： (1)过点P(3,-4);(2)在y 轴上的截距为-3.8.过点B （0，2）的直线交x 轴负半轴于A 点，且|AB|=4，求直线AB 的方程．【挑战能力】（10分）已知直线l ：5ax －5y －a+3＝0，（1）求证：不论a 为何值，直线l 总过第一象限；（2）为了使直线l 不过第二象限，求a 的取值范围.答案解析1.【解析】选C.∵直线l的倾斜角为60°，∴k l=tan60°又直线l在y轴上的截距为-1，故直线l的方程为2.【解析】选D.直线2x－y－2＝0与y轴交点为A(0，－2)，故所求直线过点A且斜率为1－2，∴所求直线方程为y＋2＝1－2(x－0)，即x＋2y＋4＝0.3.【解析】选C.直线y=ax过（0，0），斜率为a,直线y=x+a的斜率为１，在y轴上的截距为a,由此可知选C.4.【解题指南】由题意可知该三角形为直角三角形，且直角边长和a、b有关.【解析】选D.令x=0，可得：y=1b；令y=0，可得：x=1a.∴三角形面积S=12×|1a|×|1b|=.112a b2ab=⨯5.【解析】由直线倾斜角的正切值即斜率为k=45，又其在y轴上的截距为-6，可得直线方程为y=45x-6.答案：y=45x-66.【解析】直线y=x-3的倾斜角为45°,故所求直线的倾斜角为90°，从而过点（1，-2）且直线的倾斜角为90°的直线方程为x=1.答案：x=1【举一反三】把题干中“倾斜角是直线y=x-3倾斜角的2倍”换成“与直线y=x-3的夹角为45°”,求相应直线方程.【解析】因为直线y=x-3的倾斜角为45°,所以与其夹角为45°的直线的倾斜角为0°或90°.当倾斜角为0°时，该直线与x轴平行，即所求直线方程为y=-2.当倾斜角为90°时，该直线与y轴平行，即所求直线的方程为x=1.7.【解析】直线x+1的倾斜角为30°,∴直线l的倾斜角为60°，则l的斜率为tan60°（1）∵直线过点P(3,-4),∴直线的点斜式方程为：即：（2）∵直线在y 轴上的截距为-3，∴直线的斜截式方程为【变式训练】求过（1，2）且与直线y=3x+1的夹角为30°的直线l 的方程. 【解析】直线y=3x+1的倾斜角为30°，又l 与直线y=3x+1的夹角为30°，∴l 的倾斜角为60°或0°. 当l 的倾斜角为60°时，直线斜率；当l 的倾斜角为0°时，直线的斜率为0，直线方程为：y=2,所以直线l 的方程为：y-2=或y=2.8.【解析】在Rt △ABO 中，|AB|=4，得∠BAO=30°，∴k=3，直线AB 的方程为y=3x+2. 【挑战能力】 【解析】（1）直线l 的方程可化为y-35=a(x-15)，由点斜式方程可知直线l 的斜率为a ，且过定点A(15, 35)，由于点A 在第一象限，所以直线l 一定过第一象限.（2）如图，直线l 的倾斜角介于直线AO 与AP 的倾斜角之间，AO 305k 3105-==-，直线AP 的斜率不存在，故a ≥3.。

课时作业15 直线方程的点斜式 |基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2017·马鞍山四校联考)方程y ＝k (x －2)表示( ) A ．通过点(2,0)的一切直线B ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的一切直线C ．通过点(－2,0)的一切直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的一切直线解析：方程y ＝k (x －2)表示的直线都过点(2,0)且存在斜率．故选B.答案：B 2．(2017·宿州高二期末)斜率为－1，且在y 轴上的截距为1的直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：直线的斜截式方程为y ＝－x ＋1， 即x ＋y －1＝0.故选B. 答案：B3．下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1； ④所有的直线都是点斜式和斜截式方程． 正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①中方程k ＝y －2x ＋1表示的直线不能过(－1,2)，而y －2＝k (x ＋1)表示过(－1,2)、斜率为k 的直线， 所以两者不能表示同一直线，①错误；②③正确； ④中，用点斜式、斜截式不能表示垂直于x 轴的直线， 所以结论错误．故选B. 答案：B4．(2017·莱州高二期末)直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有()A．k1<k2且b1<b2B．k1<k2且b1>b2C．k1>k2且b1>b2D．k1>k2且b1<b2解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，由题图可知90°<α1<α2<180°，所以k1<k2，又b1<0，b2>0，所以b1<b2.故选A.答案：A5．已知M⎝⎛⎭⎪⎫3，72，N⎝⎛⎭⎪⎫2，32，则过点M和N的直线方程为() A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5解析：因为直线过M⎝⎛⎭⎪⎫3，72，N⎝⎛⎭⎪⎫2，32，所以直线方程为y－32＝72－323－2(x－2)，即4x－2y＝5，故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－34，则直线l的方程为________．解析：由点斜式得y－5＝－34(x＋2)，即y＝－34x＋72.答案：y＝－34x＋727．如果对任何实数k，直线(3＋k)x－2y＋1－k＝0都过一定点A，那么点A的坐标是________．解析：直线方程变为k(x－1)＋3x－2y＋1＝0，当x＝1时，3－2y＋1＝0，y＝2，所以直线过定点A(1,2)．答案：(1,2)8．若直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，且l在y轴上的截距为6，则a＝________.解析：令x ＝0得y ＝(a －1)×2＋a ＝6，得a ＝83.答案：83三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知△ABC 的三个顶点在第一象限，A (1,1)，B (5,1)，A ＝45°，B ＝45°，求：(1)AB 所在直线的方程； (2)AC 边所在直线的方程．解析：根据已知条件，画出示意图如图所示． (1)由题意知，直线AB 平行于x 轴， 由A ，B 两点的坐标知， 直线AB 的方程为y ＝1.(2)由题意知，直线AC 的倾斜角等于45°， 所以k AC ＝tan45°＝1， 又点A (1,1)，所以直线AC 的方程为y －1＝1·(x －1)， 即y ＝x .10．直线l 的斜率为－16，且和两坐标轴正半轴围成的三角形的面积为3，求直线l 的方程．解析：直线l 的斜率为－16，设在y 轴上的截距为b (b >0)，则方程为y ＝－16x ＋b ，所以与x 轴的交点为(6b,0)，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12·6b ·b ＝3，解得b ＝1，直线l 的方程为y ＝－16x ＋1. |能力提升|(20分钟，40分)11．直线y ＝ax －1a 的图象可能是( )解析：由直线方程知直线的斜率k ＝a ，在y 轴上的截距b ＝－1a ， 当k >0时b <0，可排除A ， 当k <0时b >0，可排除D ， 由a ≠0可排除C.故选B. 答案：B 12．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k .令－3<1－2k <3，解得k <－1或k >12.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 13．一直线l 1过点A (2，－3)，其倾斜角等于直线l 2：y ＝13x 的倾斜角的2倍，求这条直线l 1的点斜式方程．解析：直线l 2：y ＝13 x 的斜率为13，∴直线l 2的倾斜角为30°， 则直线l 1的倾斜角为60°，斜率为tan60°＝3， ∴直线l 1的点斜式方程为y －(－3)＝3(x －2)．14．是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5？若存在，求直线l 的方程．解析：假设存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成面积为5的三角形．显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＋4＝k (x ＋5)． 分别令y ＝0，x ＝0，可得直线l 与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5k ＋4k ，0， 与y 轴的交点为(0,5k －4)．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

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课时提升作业(十六)直线方程的点斜式一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2018·西安高一检测)已知直线的方程是y+2=-x-1，则( )A.直线经过点(2，-1)，斜率为-1B.直线经过点(-2，-1)，斜率为1C.直线经过点(-1，-2)，斜率为-1D.直线经过点(1，-2)，斜率为-1【解析】选C.因为直线方程y+2=-x-1可化为y-(-2)=-[x-(-1)]，所以直线过点(-1，-2)，斜率为-1.2.直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有( )A.k=-，b=3B.k=-，b=-2C.k=-，b=-3D.k=-，b=-3【解析】选C.直线方程3x+2y+6=0化为斜截式得y=-x-3，故k=-，b=-3.3.已知直线l的方程为y+1=2(x+)，且l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则log a b的值为( )A. B.2 C. log26 D.0【解析】选B.由题意得a=2，令x=0，得b=4，所以log a b=log24=2.4.(2018·赣州高一检测)直线l：y-1=k(x+2)的倾斜角为135°，则直线l在y轴上的截距是( )A.1B.-1C.D.-2【解析】选B.因为倾斜角为135°，所以k=-1，所以直线l：y-1=-(x+2)，令x=0得y=-1.5.(2018·济源高一检测)经过点(-1，1)，斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线是( )A.x=-1B.y=1C.y-1=(x+1)D.y-1=2(x+1)【解析】选C.由已知得所求直线的斜率k=2×=.则所求直线方程为y-1=(x+1).6.(2018·济南高一检测)若ab<0，bc<0，则直线ax+by-c=0通过( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限【解析】选C.因为ab<0，bc<0，所以->0，<0，原直线可化为y=-x+，则过第一、三、四象限.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2018·佛山高一检测)已知点(1，-4)和(-1，0)是直线y=kx+b上的两点，则k=________，b=________. 【解析】由题意，得解得k=-2，b=-2.答案：-2 -28.(2018·蚌埠高一检测)已知直线l：y=k(x-1)+2不经过第二象限，则k的取值范围是________.【解题指南】由直线方程知直线过定点(1，2)，数形结合即可求解.【解析】由l的方程知l过定点A(1，2)，斜率为k，则k OA=2(O为坐标原点)，数形结合可得k≥2时满足条件.答案：k≥2【变式训练】直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点________.【解析】将直线方程变形为y-2=a(x-3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2).答案：(3，2)【拓展提升】揭秘“直线过定点”的问题含有一个参数的直线方程，一般过定点.求定点的方法有两种：①将直线方程化成点斜式，由点斜式方程观察得到定点；②将x，y看成参数的系数，变形整理后，对参数取任意的值，式子都成立，从而转化为方程组，求x，y的值，由x，y确定的点就是“定点”.如本题，原方程可化为(x-3)a+2-y=0，上式对任意的a都成立，所以解得所以直线过定点(3，2).9.经过点A(3，4)，在x轴上的截距为2的直线方程为________________.【解析】易知直线的斜率存在，设直线方程为y=k(x-2)，因为点A(3，4)在直线上，所以k=4，所以所求直线方程的斜截式为y=4x-8.答案：y=4x-8【一题多解】由于直线过点A(3，4)和点(2，0)，则直线的斜率k==4，由直线的点斜式方程得y-0=4(x-2)，所以所求直线方程的斜截式为y=4x-8.【变式训练】直线l经过点(-1，1)，且与直线y=x+6在y轴上有相同的截距，则直线l的斜截式方程为________. 【解析】因为直线l与直线y=x+6在y轴上有相同的截距，故可设l的方程为y=kx+6，又点(-1，1)在l上，所以k=5，即所求直线l的斜截式方程为y=5x+6.答案：y=5x+6【一题多解】因为直线y=x+6与y轴的交点坐标为(0，6)，从而直线l的斜率k==5，所以直线l的斜截式方程为y=5x+6.三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2018·合肥高一检测)已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为y=4x-2，直线l与l1的斜率相等且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.【解题指南】由题设可得直线l的斜率与在y轴上的截距，进而可根据直线的斜截式方程求出直线的方程. 【解析】由直线斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2.又因为直线l与l1的斜率相等，所以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2，所以l在y轴上的截距为-2，所以由直线的斜截式方程可得直线l的方程为y=-2x-2.11.已知方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+6-2m=0(m∈R).(1)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程.(2)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为-3，求实数m的值.(3)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值.【解析】(1)令2m2+m-1=0，解得m=-1或m=，当m=-1时，方程表示的直线不存在，当m=时，方程表示的直线的斜率不存在，此时的方程为x=，它表示一条垂直于x轴的直线.(2)依题意，有=-3，所以3m2-4m-15=0.所以m=3(舍去)，或m=-，故m=-.(3)因为直线l的倾斜角是45°，所以斜率k=1.故由-=1，解得m=或m=-1(舍去).所以直线l的倾斜角为45°时，m=.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2018·渭南高一检测)已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线y=-2x-1的斜率相等，则m的值为( )A.0B.-8C.2D.10【解析】选B.因为直线y=-2x-1的斜率为-2，所以=-2，解得m=-8.2.(2018·蚌埠高一检测)等边△PQR中，P(0，0)，Q(4，0)，且R在第四象限内，则PR和QR所在直线的方程分别为( )A.y=±xB.y=±(x-4)C.y=x和y=-(x-4)D.y=-x和y=(x-4)【解题指南】数形结合可知两直线的倾斜角，进而可知两直线的斜率，由直线方程的点斜式可得两直线的方程. 【解析】选D.如图，可得k PR，k QR的斜率分别为-，且分别过点P(0，0)，Q(4，0).由点斜式得方程.3.(2018·南阳高一检测)若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限，则有( )A.ab>0，bc>0B.ab>0，bc<0C.ab<0，bc>0D.ab<0，bc<0【解析】选D.由题意知直线的斜率存在，即直线的斜截式方程为y=-x-，所以->0，->0，即ab<0，bc<0. 【举一反三】直线过第二、三、四象限呢？【解析】可知-<0，-<0，即ab>0，bc>0.4.(2018·新余高一检测)直线kx-y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点( ) A.(0，0) B.(0，1)C.(3，1)D.(2，1)【解析】选C.将直线方程化为y-1=k(x-3)可得过定点(3，1).二、填空题(每小题5分，共10分)5.直线l的倾斜角为45°，且过点(4，-1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是______【解析】由已知得直线方程为y+1=tan45°(x-4)，即y=x-5.当x=0，y=-5，当y=0，x=5.所以被坐标轴所截得的线段长为=5.答案：56.已知直线x=2，x=4与函数y=log2x的图象交于A，B两点，则直线AB的方程是________________.【解题指南】将x的值代入y=log2x可得A，B两点的坐标，进而根据直线的斜率公式可得直线的斜率，由直线方程的点斜式可得直线AB的方程.【解析】当x=2时，y=log22=1，即A(2，1)，当x=4时，y=log24=2，即B(4，2)，所以直线AB的斜率k==，所以方程为y-1=(x-2)，即x-2y=0.答案：x-2y=0三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2018·临沂高一检测)求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为-的直线方程.【解析】设直线方程为y=-x+b，令y=0得x=b，由题意知·|b|·=12，所以b2=36，所以b=±6，所以所求直线方程为y=-x±6.即3x+2y±12=0.【误区警示】本题易因对直线的截距理解不清而漏解.【变式训练】斜率为-的直线l与两坐标轴围成的三角形的周长为9，求直线l的方程.【解析】设直线的斜截式方程为y=-x+b，令x=0，则y=b；令y=0，则x=b，所以|b|+|b|+=9，即|b|=9，得|b|=3，即b=±3，所以所求直线的方程为y=-x±3.即4x+3y±9=0.8.如图，直线l：y-2=(x-1)过定点P(1，2)，求过点P且与直线l所夹的锐角为30°的直线l′的方程.【解题指南】由直线l的点斜式方程可得直线l的倾斜角，数形结合可求得所求直线的倾斜角，进而可得所求直线的斜率，然后可根据点斜式求出直线方程.【解析】设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程y-2=(x-1)知直线l的斜率为，则倾斜角为60°.当α′=90°时满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x=1；当α′=30°时也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为，由直线方程的点斜式得l′的方程为：y-2=(x-1)，即x-y+2-1=0.综上，所求l′的方程为x=1或x-y+2-1=0.关闭Word文档返回原板块。

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课时提升作业(十六)直线方程的点斜式一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014²西安高一检测)已知直线的方程是y+2=-x-1，则( )A.直线经过点(2，-1)，斜率为-1B.直线经过点(-2，-1)，斜率为1C.直线经过点(-1，-2)，斜率为-1D.直线经过点(1，-2)，斜率为-1【解析】选C.因为直线方程y+2=-x-1可化为y-(-2)=-[x-(-1)]，所以直线过点(-1，-2)，斜率为-1.2.直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有( )A.k=-，b=3B.k=-，b=-2C.k=-，b=-3D.k=-，b=-3【解析】选C.直线方程3x+2y+6=0化为斜截式得y=-x-3，故k=-，b=-3. 3.已知直线l的方程为y+1=2(x+)，且l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则log a b的值为( )A. B.2 C. log26 D.0【解析】选B.由题意得a=2，令x=0，得b=4，所以log a b=log24=2.4.(2014²赣州高一检测)直线l：y-1=k(x+2)的倾斜角为135°，则直线l在y轴上的截距是( )A.1B.-1C.D.-2【解析】选B.因为倾斜角为135°，所以k=-1，所以直线l：y-1=-(x+2)，令x=0得y=-1.5.(2014²济源高一检测)经过点(-1，1)，斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线是( )A.x=-1B.y=1C.y-1=(x+1)D.y-1=2(x+1)【解析】选C.由已知得所求直线的斜率k=2〓=.则所求直线方程为y-1=(x+1).6.(2014²济南高一检测)若ab<0，bc<0，则直线ax+by-c=0通过( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限【解析】选C.因为ab<0，bc<0，所以->0，<0，原直线可化为y=-x+，则过第一、三、四象限.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2014²佛山高一检测)已知点(1，-4)和(-1，0)是直线y=kx+b上的两点，则k=________，b=________.【解析】由题意，得解得k=-2，b=-2.答案：-2 -28.(2014²蚌埠高一检测)已知直线l：y=k(x-1)+2不经过第二象限，则k的取值范围是________.【解题指南】由直线方程知直线过定点(1，2)，数形结合即可求解.【解析】由l的方程知l过定点A(1，2)，斜率为k，则k OA=2(O为坐标原点)，数形结合可得k≥2时满足条件.答案：k≥2【变式训练】直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点________.【解析】将直线方程变形为y-2=a(x-3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2).答案：(3，2)【拓展提升】揭秘“直线过定点”的问题含有一个参数的直线方程，一般过定点.求定点的方法有两种：①将直线方程化成点斜式，由点斜式方程观察得到定点；②将x，y看成参数的系数，变形整理后，对参数取任意的值，式子都成立，从而转化为方程组，求x，y的值，由x，y确定的点就是“定点”.如本题，原方程可化为(x-3)a+2-y=0，上式对任意的a都成立，所以解得所以直线过定点(3，2).9.经过点A(3，4)，在x轴上的截距为2的直线方程为________________.【解析】易知直线的斜率存在，设直线方程为y=k(x-2)，因为点A(3，4)在直线上，所以k=4，所以所求直线方程的斜截式为y=4x-8.答案：y=4x-8【一题多解】由于直线过点A(3，4)和点(2，0)，则直线的斜率k==4，由直线的点斜式方程得y-0=4(x-2)，所以所求直线方程的斜截式为y=4x-8.【变式训练】直线l经过点(-1，1)，且与直线y=x+6在y轴上有相同的截距，则直线l的斜截式方程为________.【解析】因为直线l与直线y=x+6在y轴上有相同的截距，故可设l的方程为y=kx+6，又点(-1，1)在l上，所以k=5，即所求直线l的斜截式方程为y=5x+6. 答案：y=5x+6【一题多解】因为直线y=x+6与y轴的交点坐标为(0，6)，从而直线l的斜率k==5，所以直线l的斜截式方程为y=5x+6.三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014²合肥高一检测)已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为y=4x-2，直线l与l1的斜率相等且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.【解题指南】由题设可得直线l的斜率与在y轴上的截距，进而可根据直线的斜截式方程求出直线的方程.【解析】由直线斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2.又因为直线l与l1的斜率相等，所以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2，所以l在y轴上的截距为-2，所以由直线的斜截式方程可得直线l的方程为y=-2x-2.11.已知方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+6-2m=0(m∈R).(1)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程.(2)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为-3，求实数m的值.(3)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值.【解析】(1)令2m2+m-1=0，解得m=-1或m=，当m=-1时，方程表示的直线不存在，当m=时，方程表示的直线的斜率不存在，此时的方程为x=，它表示一条垂直于x轴的直线.(2)依题意，有=-3，所以3m2-4m-15=0.所以m=3(舍去)，或m=-，故m=-.(3)因为直线l的倾斜角是45°，所以斜率k=1.故由-=1，解得m=或m=-1(舍去).所以直线l的倾斜角为45°时，m=.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014²渭南高一检测)已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线y=-2x-1的斜率相等，则m的值为( )A.0B.-8C.2D.10【解析】选B.因为直线y=-2x-1的斜率为-2，所以=-2，解得m=-8.2.(2014²蚌埠高一检测)等边△PQR中，P(0，0)，Q(4，0)，且R在第四象限内，则PR和QR所在直线的方程分别为( )A.y=±xB.y=±(x-4)C.y=x和y=-(x-4)D.y=-x和y=(x-4)【解题指南】数形结合可知两直线的倾斜角，进而可知两直线的斜率，由直线方程的点斜式可得两直线的方程.【解析】选D.如图，可得k PR，k QR的斜率分别为-，且分别过点P(0，0)，Q(4，0).由点斜式得方程.3.(2014²南阳高一检测)若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限，则有( )A.ab>0，bc>0B.ab>0，bc<0C.ab<0，bc>0D.ab<0，bc<0【解析】选D.由题意知直线的斜率存在，即直线的斜截式方程为y=-x-，所以->0，->0，即ab<0，bc<0.【举一反三】直线过第二、三、四象限呢？【解析】可知-<0，-<0，即ab>0，bc>0.4.(2014²新余高一检测)直线kx-y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点( ) A.(0，0) B.(0，1)C.(3，1)D.(2，1)【解析】选C.将直线方程化为y-1=k(x-3)可得过定点(3，1).二、填空题(每小题5分，共10分)5.直线l的倾斜角为45°，且过点(4，-1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是______【解析】由已知得直线方程为y+1=tan45°(x-4)，即y=x-5.当x=0，y=-5，当y=0，x=5.所以被坐标轴所截得的线段长为=5.答案：56.已知直线x=2，x=4与函数y=log2x的图象交于A，B两点，则直线AB的方程是________________.【解题指南】将x的值代入y=log2x可得A，B两点的坐标，进而根据直线的斜率公式可得直线的斜率，由直线方程的点斜式可得直线AB的方程.【解析】当x=2时，y=log22=1，即A(2，1)，当x=4时，y=log24=2，即B(4，2)，所以直线AB的斜率k==，所以方程为y-1=(x-2)，即x-2y=0.答案：x-2y=0三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014²临沂高一检测)求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为-的直线方程. 【解析】设直线方程为y=-x+b，令y=0得x=b，由题意知〃|b|〃=12，所以b2=36，所以b=〒6，所以所求直线方程为y=-x〒6.即3x+2y〒12=0.【误区警示】本题易因对直线的截距理解不清而漏解.【变式训练】斜率为-的直线l与两坐标轴围成的三角形的周长为9，求直线l 的方程.【解析】设直线的斜截式方程为y=-x+b，令x=0，则y=b；令y=0，则x=b，所以|b|+|b|+=9，即|b|=9，得|b|=3，即b=〒3，所以所求直线的方程为y=-x〒3.即4x+3y〒9=0.8.如图，直线l：y-2=(x-1)过定点P(1，2)，求过点P且与直线l所夹的锐角为30°的直线l′的方程.【解题指南】由直线l的点斜式方程可得直线l的倾斜角，数形结合可求得所求直线的倾斜角，进而可得所求直线的斜率，然后可根据点斜式求出直线方程. 【解析】设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程y-2=(x-1)知直线l的斜率为，则倾斜角为60°.当α′=90°时满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x=1；当α′=30°时也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为，由直线方程的点斜式得l′的方程为：y-2=(x-1)，即x-y+2-1=0.综上，所求l′的方程为x=1或x-y+2-1=0.关闭Word文档返回原板块。

课时跟踪检测（十五） 直线方程的点斜式一、基本能力达标1．若直线l 的倾斜角为45°，且经过点(2,0)，则直线l 的方程是( )A ．y ＝x ＋2B ．y ＝x －2C ．y ＝33x －233D ．y ＝3x －2 3解析：选B 由题得直线l 的斜率等于tan 45°＝1，由点斜式求得直线l 的方程为y －0＝x －2，即y ＝x －2.故选B.2．经过点A (－1,4)且在x 轴上的截距为3的直线方程是( )A ．y ＝－x －3B ．y ＝x ＋3C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －3解析：选C 过点A (－1,4)且在x 轴上的截距为3的直线方程可以设为y －4＝k (x ＋1)．令y ＝0，得x ＝－4k－1＝3，解得k ＝－1，即所求直线方程为y ＝－x ＋3. 3．方程y ＝k (x ＋4)表示( )A ．过点(－4,0)的所有直线B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且除去x 轴的一切直线解析：选C 显然y ＝k (x ＋4)中斜率存在，因此不包含过点(－4,0)且斜率不存在即垂直于x 轴的直线．4．如果方程为y ＝kx ＋b 的直线经过二、三、四象限，那么有( )A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0 解析：选D 因为直线y ＝kx ＋b 经过二、三、四象限，所以直线的斜率为负值，在y 轴上的截距为负，因此k ＜0，b ＜0，故选D.5．直线y ＝ax －1a的图像可能是( )解析：选B 由y ＝ax －1a可知，斜率和在y 轴上的截距必须异号，故B 正确． 6．直线y ＝43x －4在y 轴上的截距是________． 解析：由y ＝43x －4，令x ＝0，得y ＝－4. 答案：－47．直线y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，则其在y 轴上的截距是________．解析：y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，∴－1＝m ＋m ，即m ＝－12，从而在y 轴上的截距为－12. 答案：－128．已知一条直线经过点P (1,2)，且其斜率与直线y ＝2x ＋3的斜率相同，则该直线的方程是________．解析：直线的斜率与y ＝2x ＋3的斜率相同，故k ＝2，又过P (1,2)，∴直线的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：2x －y ＝09．直线l 1过点P (－1,2)，斜率为－33，把l 1绕点P 按顺时针方向旋转30°角得直线l 2，求直线l 1和l 2的方程．解：直线l 1的方程是y －2＝－33(x ＋1)． 即3x ＋3y －6＋3＝0.∵k 1＝－33＝tan α1，∴α1＝150°.如图，l 1绕点P 按顺时针方向旋转30°，得到直线l 2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k 2＝tan 120°＝－3，∴l 2的方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y －2＋3＝0.10．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程． (1)经过点(3，－1)；(2)在y 轴上的截距是－5.解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°， 故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33， (1)∵所求直线经过点(3，－1)，斜率为33， ∴所求直线方程是y ＋1＝33(x －3)， 即3x －3y －6＝0.(2)∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝33x －5. 二、综合能力提升1．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是( ) A ．x ＝－1B ．y ＝1C ．y －1＝2(x ＋1)D ．y －1＝22(x ＋1)解析：选C 由方程知，已知直线的斜率为22，所以所求直线的斜率是 2.由直线的点斜式方程可得方程为y －1＝2(x ＋1)．2．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系如图所示，则有( )A ．k 1＜k 2且b 1＜b 2B ．k 1＜k 2且b 1＞b 2C ．k 1＞k 2且b 1＞b 2D ．k 1＞k 2且b 1＜b 2解析：选A 设直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知90°＜α1＜α2＜180°，所以k 1＜k 2.又b 1＜0，b 2＞0，所以b 1＜b 2.故选A.3．在等腰△ABO 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，而点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 如图，由几何性质知，OA 与AB 的倾斜角互补，k OA ＝3，k AB ＝－3，∴直线AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．4．不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( )A ．(1,2)B ．(－2,1)C ．(2，－1)D ．(2,1)解析：选B ∵直线方程可化为y －1＝m [x －(－2)]，∴直线恒过定点(－2,1)．5．已知直线l ：y ＝k (x －1)＋2不经过第二象限，则k 的取值X 围是________． 解析：由l 的方程知l 过定点A (1,2)，斜率为k ，则k OA ＝2(O 为坐标原点)，如图所示，则由数形结合可得，k ≥2时满足条件．答案：[2，＋∞)6．给出下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线； ②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1；④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．其中正确结论的序号为________．解析：①不正确．方程k ＝y －2x ＋1不含点(－1,2)；②正确；③正确；④只有k 存在时成立． 答案：②③7．已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴截得的线段长为37，求直线l 的方程． 解：设所求的直线l 的方程为y ＝6x ＋b ，令x ＝0，y ＝b ，令y ＝0，x ＝－b 6， ∴l 与x ，y 轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 6，0，(0，b )． 由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 62＋b 2＝37，得b ＝±6. ∴直线l 的方程为y ＝6x ±6.探究应用题8．求与两坐标轴围成的三角形的周长为9，且斜率为－43的直线方程． 解：设直线l 的方程为y ＝－43x ＋b .令x ＝0，得y ＝b ； 令y ＝0，得x ＝34b . 由题意，得|b |＋34|b |＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b 2＝9. ∴|b |＋34|b |＋54|b |＝9， ∴b ＝±3.∴所求直线方程为y ＝－43x ＋3或y ＝－43x －3.。

2016-2017学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.2 直线的方程第一课时 直线方程的点斜式高效测评 北师大版必修2(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．直线y －3＝－32(x ＋4)的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有( )A ．k ＝－32，b ＝3B ．k ＝－32，b ＝－2C ．k ＝－32，b ＝－3D ．k ＝－23，b ＝－3解析： 原方程可化为y ＝－32x －3，故k ＝－32，b ＝－3.答案： C2．直线y ＝ax －1a的图像可能是( )解析： 当a ＞0时，－1a＜0，直线过一、三、四象限．当a ＜0时，－1a＞0，直线过一、二、四象限，可得B 正确．答案： B3．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1)D ．(2,1)解析： 将直线方程化为y －1＝k (x －3)可得过定点(3,1)． 答案： C4．直线l 不经过第三象限，l 的斜率为k ，在y 轴上的截距为b (b ≠0)，则有( ) A ．k ·b ＞0B ．k ·b ＜0C ．k ·b ≥0D ．k ·b ≤0解析： 由题意知k ≤0，b ＞0，所以k ·b ≤0. 答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．过点P (2,1)，以－3为斜率的直线方程为________． 解析： 由已知得，y －1＝－3(x －2)， 即y ＝－3x ＋23＋1. 答案：3x ＋y －23－1＝06．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．解析： 由已知得直线方程y ＋1＝tan 45°(x －4)，即y ＝x －5. 当x ＝0时，y ＝－5；当y ＝0时，x ＝5.∴被坐标轴所截得的线段长|AB |＝52＋52＝5 2. 答案： 5 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．求斜率为直线y ＝3x ＋1的斜率的倒数，且分别满足下列条件的直线方程． (1)经过点(－4,1)； (2)在y 轴上的截距为－10.解析： 直线y ＝3x ＋1的斜率为3，由题意知所求直线的斜率为33. (1)由于直线过点(－4,1)，由直线的点斜式方程得y －1＝33(x ＋4)，即x －3y ＋4＋3＝0.(2)由于直线在y 轴上的截距为－10，由直线的斜截式方程得y ＝33x －10，即x －3y －103＝0.8．若直线的斜率是直线x ＋y －1＝0斜率的12，在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋5＝0在y 轴上截距的2倍．求直线的方程．解析： 直线方程x ＋y －1＝0化为y ＝－x ＋1，其斜率为－1， 所以，所求直线斜率为－12，又∵直线方程2x －3y ＋5＝0可化为y ＝23x ＋53，其截距为53，所以，所求直线的截距为103，∴所求直线的方程为y ＝－12x ＋103即3x ＋6y －20＝0. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图，直线l ：y －2＝3(x －1)过定点P (1,2)，求过点P 且与直线l 所夹的锐角为30°的直线l ′的方程．解析： 设直线l ′的倾斜角为α′，由直线l 的方程：y －2＝3(x －1)知直线l 的斜率为3，则倾斜角为60°.当α′＝90°时满足l 与l ′所夹的锐角为30°，此时直线l ′的方程为x ＝1； 当α′＝30°时也满足l 与l ′所夹的锐角为30°，此时直线l ′的斜率为33，由直线方程的点斜式得l ′的方程为y －2＝33(x －1)，即x －3y ＋23－1＝0. 综上所述，所求l ′的方程为x ＝1或x －3y ＋23－1＝0.。

直线方程的点斜式课时跟踪检测（十五）一、基本能力达标ll) (2,0)，则直线的方程是1．若直线( 的倾斜角为45°，且经过点xyyx2 ＝BA．．＝－＋2323xyyx－2DC．．＝－ 33＝33lly－0的方程为tan 45°＝1，由点斜式求得直线解析：选B 由题得直线的斜率等于xyx －2.故选2，即B.＝＝－Ax轴上的截距为3的直线方程是( 1,4)且在 2．经过点) (－yxyx＋＝3 BA．．＝－3 －yyxx－＝3D．C．3＝－＋Axykx＋1)．(轴上的截距为3的直线方程可以设为令－解析：选C 过点4(－1,4)且在＝4xykyx3. ＝－3，解得＋＝－1，即所求直线方程为＝0，得－＝－1＝kxky) 4)＝表示(( ．方程3＋的所有直线(－4,0)A．过点的一切直线．过点(4,0)B x且不垂直于轴的一切直线C．过点(－4,0)x且除去轴的一切直线．过点(－4,0)D xky且斜率不存在即垂直－4,0)＋4)解析：选C 显然中斜率存在，因此不包含过点＝((x轴的直线．于bykx) ( ＋ 4．如果方程为＝的直线经过二、三、四象限，那么有bbkk0 0，0 ＞B．＜A．＞＞0，bkkb0，D．，＞0＜＜0C．＜0ykxby轴因为直线＝经过二、三、四象限，所以直线的斜率为负值，在＋解析：选D kb＜0，故选0，上的截距为负，因此D.＜1yax－的图像可能是( 5．直线＝)a1yaxy轴上的截距必须异号，故B可知，斜率和在正确．由解析：选B ＝－a4yxy轴上的截距是________在．直线6＝－4．3．4yyxx4.＝－解析：由＝＝0－4，令，得34答案：－ymyxm＝．＋轴上的截距是过点(，－1)7．直线，则其在________11ymmmyxmm.，即，从而在＋＝－轴上的截距为－过点(1，－1)，∴－解析：＝＝＋221 答案：－2xyP 的斜率相同，则该直线的方＋3(1,2)，且其斜率与直线＝8．已知一条直线经过点2 程是________．yyxkP，∴直线的方程为2，又过＝2＋3的斜率相同，故(1,2)解析：直线的斜率与＝yxx0.－＝＝2(－1)，即2－2yx0－答案：2＝3lPlPl，按顺时针方向旋转绕点9．直线30°角得直线过点－(1,2)，把斜率为－，2113ll求直线和的方程．213xyl 1)解：直线(的方程是－2．＝－＋13yx0. 6＋3即3＋3＝－3Pkl30°，得到直线，∴＝tan αα＝150°.如图，绕点∵按顺时针方向旋转＝－11113lα＝150°－30°＝120°，的倾斜角为22k 3∴，＝tan 120°＝－2yxlyx0.3＋3－＝2∴的方程为－3(2＝－＋＋1)，即21xy，且分别满足下列条件的直线方程．＝－3＋110．求倾斜角是直线的倾斜角的 4 ；(3，－(1)1)经过点y5.在轴上的截距是－(2)kyx＝－3，的斜率解：∵直线3＝－＋1＝120°，α∴其倾斜角．1 α＝30°，由题意，得所求直线的倾斜角α＝143k故所求直线的斜率，＝tan 30°＝133，斜率为3，－， (1)1)∵所求直线经过点(33xy，(＋1－＝∴所求直线方程是3)3yx0. 即3＝－3－63y∵所求直线的斜率是轴上的截距为－5，(2)，在33xy5. ∴所求直线的方程为＝－3 二、综合能力提升2xy) 倍的直线方程是( －2(1．经过点－1,1)，斜率是直线的斜率的2＝2yx1 ．＝B ＝－1 ．A xyyx1)＋D．2C．－－1＝2(1＋1)2(＝2已知直线的斜率为由方程知，解析：选C ，所以所求直线的斜率是2.由直线的点斜2xy＋1)．＝式方程可得方程为2(－ 1lykxblykxb的位置关系如图所示，则有( ：2．直线：＋＝＝＋) 与211221kkbb且A．＜＜2121kkbb B．且＜＞2121kkbb．且＞＞C2112kkbb＞＜且D．2121ll的倾斜角分别为α，α.由题图可知，90°＜α＜α＜180°，解析：选A 设直线211221kkbbbb.故选＜＞0所以，所以＜A..又＜0，222111ABOAOABOABxAB轴的正半轴上，则直线(1,3)＝，点，而点(0,0)，在3．在等腰△中，的方程为( )yxyx－3(3) B．－A．－1＝3(－3) 1＝－yxyx1)－3(＝－3－．D1)－3(＝3－．C．kABOA，的倾斜角互补，D 如图，由几何性质知，3与＝解析：选mmmxy) ( ＋14．不论＝为何值，直线0－2 OA xkABy－1)－3＝－＝－3，∴直线3(的方程为．AB＋恒过定点2,1) (－A．(1,2) B．(2,1)D．C．(2，－1)xym2)]，－(解析：选B ∵直线方程可化为＝－1－[ 2,1)．∴直线恒过定点(－kkxly．2不经过第二象限，则＝________(的取值范围是－1)5．已知直线＋：OkllAk为坐标原＝过定点则(1,2)，斜率为2(解析：由，的方程知OAk≥2，如图所示，则由数形结合可得，时满足条件．点) 答案：[2，＋∞) 6．给出下列四个结论：y2－xkyk＋－2①方程＝＝1)(可表示同一直线；与方程x1＋xxyxlP )，倾斜角为90°，则其方程是②直线；过点＝(，111yyylPx，斜率为0③直线，则其方程是过点(；，＝)111④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．．其中正确结论的序号为________y－2kk存在时成立．解析：①不正确．方程－＝1,2)；②正确；③正确；④只有不含点(x1＋答案：②③ll的方程．37．已知直线6的斜率为，求直线，且被两坐标轴截得的线段长为7bxly＋＝6解：设所求的直线，的方程为bxxyyb，＝＝－，令，＝0，令＝06b????byxl0－，，(0与，，轴的交点分别为)．∴??6b??22??bb－＋＝＝±6.由题意，得37，得??6xly 6±6.∴直线的方程为＝探究应用题4 ，且斜率为－．求与两坐标轴围成的三角形的周长为89的直线方程．34bxbxyyl＝令＋＝－的方程为解：设直线.，得0＝；3．3bxy.，得令＝＝0433??22b??bbb9.＋＋|＋|＝由题意，得||??4453bbb，9＋|∴＋||||＝|44b∴＝±3.44xyxy3.＝－或＋＝－∴所求直线方程为3－33。

斜截式 斜率 k 和直线在 y 轴上的截距 b
图示
方程 适用范围
y_－__y__0_＝__k_(_x_－__x_0_)_
斜率存在
__y_＝__k_x__＋_ b
4
思考1：直线的点斜式方程能否表示平面内所有的直线？ 提示：不能．不表示倾斜角为90°的直线．
5
2．直线 l 的截距
(1)在 y 轴上的截距：直线与 y 轴的交点(0，b)的 纵坐标 ． (2)在 x 轴上的截距：直线与 x 轴的交点(a,0)的 横坐标 ．
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[解] (1)法一：易知直线的斜率存在， 设直线方程为y＝k(x－2)，
∵点A(3,4)在直线上， ∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8， ∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.
22
法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)， 则直线的斜率k＝43－－02＝4， 由直线的点斜式方程得y－0＝4×(x－2)＝4x－8， ∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8. (2)因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1， 直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3， 所以所求直线方程的斜截式为y＝－x＋3.
3 2
(x＋7)
[(1)k＝tan 135°＝－1，由
直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
(2)由直线与x轴交点的横坐标为－7，得直线过点(－7,0)．
又斜率为 23， 所以所求直线的点斜式方程为：
y－0＝ 23(x＋7)．]
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【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学课下能力提升十五直线方程的点斜式北师大版必修2______年______月______日____________________部门一、选择题1．下列四个结论：①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个2．直线y＝ax－的图像可能是( )3．直线l过点(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 005，b)在l上，则b的值为( )A．2 009 B．2 010 C．2 011 D．2 0124．直线l的方程为y＝x＋2，若直线l′与l关于y轴对称，则直线l′的方程为( )A．y＝－x＋2 B．y＝－x＋2C．y＝x－2 D．y＝－x－25．在等腰△ABO中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)二、填空题6．若直线y＝2x＋b与坐标轴围成的三角形的面积为9，则b＝________.7．直线l的方程为x－y－(m2－m＋1)＝0，若l在y轴上的截距为－3，则m的值为________．8．直线过点(1,2)且与直线2x＋3y－9＝0在y轴上的截距相等，则直线l的方程为________．三、解答题9．已知△ABC的三个顶点在第一象限，A(1,1)，B(5,1)，A＝45°，B＝45°，求：(1)AB所在直线的方程；(2)AC边和BC边所在直线的方程．10．求过点(2,3)且与两坐标轴的交点到原点的距离相等的直线方程．答案1. 解析：选B ①中方程k＝表示的直线不能过(－1,2)，而y－2＝k(x＋1)表示过(－1,2)点、斜率为k的直线，∴二者不能表示同一直线；②③正确；④中，点斜式、斜截式不能表示平行于y轴的直线，∴结论错误．2. 解析：选B 在B中，直线的倾斜角为钝角，故斜率a＜0，直线在y轴上截距－＞0，与直线和y轴正半轴有交点，符合要求．3. 解析：选C ∵直线斜率k＝＝2，∴直线的点斜式方程为y－5＝2(x－2)，即y＝2x＋1，令x＝1 005，得b＝2 011.4. 解析：选A ∵l′与l关于y轴对称，直线l过定点(0,2)，∴直线l′也过点(0,2)．直线l的斜率为，∴l的倾斜角为60°，l′的倾斜角为180°－60°＝120°.∴l′的斜率为－.∴直线l′的方程为y＝－x＋2.5. 解析：选D 由题意，OA与OB的倾斜角互补．kOA＝3 ，kAB ＝－3.∴AB的方程为y－3＝－3(x－1)．6. 解析：令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－，∴所求的面积S＝|b|·＝b2＝9.∴b＝±6.答案：±67. 解析：由题知3－(m2－m＋1)＝0，解得：m＝－1或2.答案：－1或28. 解析：直线2x＋3y－9＝0在y轴上的截距为3，即直线l过(0,3)．∴直线l的斜率k＝＝－1.∴l的方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝09. 解：根据已知条件，画出示意图如图．(1)由题意知，直线AB平行于x轴，由A，B两点的坐标知，直线AB的方程为y＝1.(2)由题意知，直线AC的倾斜角等于角A，所以kAC＝tan 45°＝1，又点A(1,1)，所以直线AC的方程为y－1＝1·(x－1)，即y＝x.同理可知，直线BC的倾斜角等于180°－B＝135°，所以kBC＝tan 135°＝－1，又点B(5,1)，所以直线BC的方程为y－1＝－1·(x－5)，即y＝－x＋6.10. 解：由条件知该直线的斜率存在且不为0，由点斜式可设直线方程为y－3＝k(x－2)．令x＝0得y＝3－2k.令y＝0得x＝2－.由|3－2k|＝|2－|，得k＝－1或k＝，或k＝1.故直线方程为y＝－x＋5或y＝x或y＝x＋1.。

【优化课堂】2016秋高中数学 2.1.2 直线的方程 第1课时 直线方程的点斜式练习 北师大版必修2[A 基础达标]1．过点A (2，－1)，斜率为33的直线的点斜式方程是( ) A ．y －1＝33(x －2) B ．y －1＝33(x ＋2) C ．y ＋1＝33(x －2) D ．y ＋1＝33(x ＋2) 答案：C2．直线y ＋2＝3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为( ) A ．60°，2 B ．60°，3－2 C ．120°，3－2D ．30°，2－ 3解析：选B ．斜率为3，则倾斜角为60°，当x ＝0时，y ＝3－2，即在y 轴上的截距为3－2.3．已知直线l 的方程为y ＋1＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，且l 的斜率为a ，在y 轴上的截距为b ，则|a＋b |等于( )A.85 B ．125C ．4D ．7解析：选A.由y ＋1＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52得a ＝25，令x ＝0，得y ＝－2，所以|a ＋b |＝|25－2|＝85.4．直线y ＝ax －1a的图像可能是( )解析：选B ．由y ＝ax －1a可知，斜率和截距必须异号，故B 正确．5．在xOy 平面内，如果直线l 的斜率和在y 轴上的截距分别为直线y ＝23x ＋4的斜率之半和在y 轴上截距的两倍，那么直线l 的方程是( )A ．y ＝13x ＋8B ．y ＝43x ＋12C ．y ＝13x ＋4D ．y ＝13x ＋2解析：选A.由y ＝23x ＋4可得该直线的斜率为23，在y 轴上的截距为4，则直线l 的斜率为k ＝13，在y 轴上的截距为8，故直线l 的方程为y ＝13x ＋8.6．直线y ＝－2(x －3)在y 轴上的截距为________，斜率为________．解析：直线方程y ＝－2(x －3)可化为y ＝－2x ＋6，由斜截式方程可知，直线在y 轴上的截距为6，斜率为－2.答案：6 －27．直线y ＝kx ＋2(k ∈R )不过第三象限，则斜率k 的取值X 围是________． 解析：如图，直线y ＝kx ＋2过定点(0，2)，若直线不过第三象限，则k ≤0. 答案：(－∞，0]8．经过点P (2，－4)且在两坐标轴上的截距之和等于5的直线的方程为________． 解析：依题意，直线的斜率必存在，设为k ，则其方程为y ＋4＝k (x －2)．令x ＝0得y ＝－2k －4；令y ＝0得x ＝4k ＋2，所以－2k －4＋4k＋2＝5，解得k ＝－4或k ＝12.因此直线方程为y ＋4＝－4(x －2)或y ＋4＝12(x －2)．答案：y ＋4＝－4(x －2)或y ＋4＝12(x －2)9．求斜率是直线x －y ＋1＝0的斜率的3倍，且分别满足下列条件的直线方程： (1)经过点P (3，4)；(2)在x 轴上的截距是－5.解：因为由x －y ＋1＝0，得y ＝x ＋1， 所以直线x －y ＋1＝0的斜率为1. 由题意可得，所求直线的斜率k ＝3. (1)所求直线的方程是y －4＝3(x －3)．(2)由题知直线经过点(－5，0)，所求直线的方程是y －0＝3(x ＋5)，即3x －y ＋15＝0. 10．写出在y 轴上的截距是－5，倾斜角是2x －2y ＋1＝0的倾斜角的3倍的直线方程，并画出图形．解：设2x －2y ＋1＝0的倾斜角是α， 则tan α＝1，所以α＝45°. 所以所求直线的倾斜角为3α＝135°， 所以所求直线的斜率k ＝tan 135°＝－1， 所以所求直线方程为y ＝－x －5， 如图所示．[B 能力提升]1．直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( ) A.12ab B ．12|ab | C.12abD ．12|ab |解析：选D ．令x ＝0，得y ＝1b ；令y ＝0，得x ＝1a；S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1b ＝12|ab |.所以选D ． 2．已知直线方程y －1＝a (x ＋2)，当x ∈(－1，1)时， y ＞0恒成立，则实数a 的取值X 围为________．解析：整理直线方程得y ＝ax ＋2a ＋1. 令f (x )＝ax ＋2a ＋1.当x ∈(－1，1)时，y ＞0恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2a ＋1≥0，a ＋2a ＋1≥0， 所以a ≥－13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞ 3．过点(4，－3)的直线l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l 的方程． 解：依条件设l 的方程为y ＋3＝k (x －4)． 令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k.因为l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 所以|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ，即k (4k ＋3)＝± (4k ＋3)． 解得k 1＝1，k 2＝－1，k 3＝－34.故所求直线l 的方程为y ＝x －7或y ＝－x ＋1或y ＝－34x .4．(选做题)等腰△ABC 的顶点A (－1，2)，边AC 所在直线的斜率为3，点B (－3，2)，求直线AC 、BC 及∠A 的平分线所在直线的方程．解：由点斜式方程得y －2＝3(x ＋1)，即直线AC 的方程为y ＝3x ＋2＋ 3. 因为AB ∥x 轴，AC 的倾斜角为60°， 所以BC 的倾斜角α为30°或120°. 当α＝30°时，BC 方程为y ＝33x ＋2＋3， ∠A 平分线倾斜角为120°，所以∠A 平分线所在直线方程为y ＝－3x ＋2－ 3. 当α＝120°时，BC 方程为y ＝－3x ＋2－33， ∠A 平分线倾斜角为30°， 所以∠A 平分线所在直线方程为3 3x＋2＋33.y＝。

解析：直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，即不 能表示与x轴垂直的直线．
2．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的
方程为( D )
A．x＝3
B．x＝－2
C．y＝3
D．y＝－2
解析：因为直线与x轴平行，所以其斜率为0，所以直线的点 斜式方程为y－(－2)＝0·(x－3)，即y＝－2.
3．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直 线方程为( D )
A．y＝ 3x＋2 B．y＝－ 3x＋2 C．y＝－ 3x－2 D．y＝ 3x－2
解析：斜率k＝tan60°＝ 3，则此直线方程为y＝ 3x－2.
4．方程y＝k(x＋4)表示( C ) A．过点(－4,0)的所有直线 B．过点(4,0)的一切直线 C．过点(－4,0)且不垂直于x轴的一切直线 D．过点(－4,0)且除去x轴的一切直线
解：假设存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴相交 且与两坐标轴围成面积为5的三角形．
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＋4＝k(x＋5)．分 别令y＝0，x＝0，可得直线l与x轴的交点为 －5kk＋4，0 ，与角形的面积为5， 所以12－5kk＋4·|5k－4|＝5， 所以－5kk＋4·(5k－4)＝±10， 即25k2－30k＋16＝0(无解)或25k2－50k＋16＝0，
6．直线y＝ax－1a的图像可能是( B )
解析：显然a≠0.若a>0，则直线的倾斜角为锐角，且在y轴上 的截距小于0，故A，B，C，D都不合题意；若a<0，则直线的倾 斜角为钝角，且在y轴上的截距大于0，故B符合题意．
7．直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有( A ) A．k>0，b<0 B．k>0，b>0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0

一直线方程的点斜式1．直线方程的点斜式2.直线方程的斜截式1．如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？[答案] 由斜率公式得k＝y－y0x－x0，则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)．2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)经过点P0(x0，y0)的所有直线都能用点斜式方程来表示．( )(2)已知直线l 与y 轴的交点为(0，b )，则直线l 的方程可用y ＝kx ＋b 表示．( ) (3)直线在y 轴上的截距即直线与y 轴交点到原点的距离．( ) (4)直线l 过点(2,1)，且与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√题型一直线的点斜式方程【典例1】 求满足下列条件的直线的点斜式方程． (1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3； (2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行； (3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点．[思路导引] 直线过定点，且斜率已知，故考虑直线方程的点斜式． [解] (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3， 由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)．(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＋4＝0.(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P (－2,3)．∴直线的点斜式方程为y －3＝－(x ＋2)．(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x 0，y 0)→定斜率k →写出方程y －y 0＝k (x －x 0)． (2)点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可表示过点P (x 0，y 0)的所有直线，但x ＝x 0除外． [针对训练1] (1)已知直线l 过点A (2,1)且斜率为－14，则直线l 的方程为____________．(2)过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为______________________． [解析] (1)直线l 的斜率为－14且过点A (2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝－14(x －2)，即x ＋4y －6＝0. (2)k ＝tan135°＝－1，由直线的点斜式方程得y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0. [答案] (1)x ＋4y －6＝0 (2)x ＋y －1＝0题型二直线的斜截式方程【典例2】 (1)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是__________________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1的斜率相同且与l 2在y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．[思路导引] 优先考虑直线的斜截式方程． [解析] (1)∵直线的倾斜角是60°， ∴其斜率k ＝tan60°＝3，∵直线与y 轴的交点到原点的距离是3， ∴直线在y 轴上的截距是3或－3，∴所求直线方程是y ＝3x ＋3或y ＝3x －3. (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， 所以k l ＝－2，由题意知l 2在y 轴上的截距为－2， 所以直线l 在y 轴上的截距b ＝－2， 由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[答案] (1)y ＝3x ＋3或y ＝3x －3 (2)y ＝－2x －2[引申探究] 本例(2)中若将“直线l 与l 1的斜率相同且与l 2在y 轴上的截距相等”改为“直线l 与l 1的斜率之积为－1且与l 2在y 轴上的截距互为相反数”，求l 的方程．[解] ∵k l ·kl 1＝－1，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为12，∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数， 直线l 2：y ＝4x －2，∴l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2.(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．[针对训练2] 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的斜截式方程．[解] 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则当x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线l 的斜截式方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.1．方程y ＝k (x －2)表示( ) A ．通过点(－2,0)的所有直线 B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线[解析] 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴． [答案] C2．直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A ．k ＞0，b ＞0 B ．k ＞0，b ＜0 C ．k ＜0，b ＞0 D ．k ＜0，b ＜0[解析] ∵直线经过一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k ＞0，b ＜0.[答案] B3．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1[解析] 方程可变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.[答案] C4．直线经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则它的点斜式方程为( )A．y＝x＋1 B．y＋3＝x－2C．y＝x－1 D．y－3＝x＋2[解析] 直线的倾斜角为45°，则它的斜率k＝tan45°＝1，所以由点斜式方程，得y －(－3)＝1×(x－2)，即y＋3＝x－2.[答案] B课后作业(十八)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示( )A．任何一条直线B．不过原点的直线C．不与坐标轴垂直的直线D．不与x轴垂直的直线[解析] 点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．[答案] D2．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是( )A．x＝－1 B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)[解析] 由方程知，直线的斜率为2 2，∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝2(x＋1)，∴选C. [答案] C3．经过点(1,2)，倾斜角为60°的直线方程为( )A．y－2＝3(x－1) B．y＋2＝3(x＋1)C ．y －2＝33(x －1) D ．y ＋2＝33(x ＋1) [解析] 由点斜式可知直线l 的方程为y －2＝3(x －1)． [答案] A4．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6[解析] 将直线x ＋3y ＋1＝0化为斜截式方程为y ＝－33x －33，其斜率k ＝－33，倾斜角α＝5π6.[答案] D5．直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象只可能是( )[解析] 对于A 选项，由l 1得a ＞0，b ＜0，而由l 2得a ＞0，b ＞0，矛盾；对于B 选项，由l 1得a ＜0，b ＞0，而由l 2得a ＞0，b ＞0，矛盾；对于C 选项，由l 1得a ＞0，b ＜0，而由l 2得a ＜0，b ＞0，矛盾；对于D 选项，由l 1得a ＞0，b ＞0，而由l 2得a ＞0，b ＞0.故选D.[答案] D6．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为6，则直线l 的斜截式方程为__________________．[解析] 因为直线l 的倾斜角为60°，故其斜率为3，由斜截式方程，得y ＝3x ＋6.[答案] y ＝3x ＋67．若直线l 过点(3,2)且倾斜角是直线y ＝33x －1的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________．[解析] ∵y ＝33x －1的斜率为33， ∴这条直线的倾斜角为30°，故所求的直线的倾斜角为60°，∴方程为y －2＝3(x －3)．[答案] y ＝3x －33＋28．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y ＝kx ＋b 上的两点，则k ＝________，b ＝________.[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝k ＋b ，0＝－k ＋b 解得k ＝－2，b ＝－2.[答案] －2 －29．根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)写出斜率为－1，在y 轴上截距为－2的直线方程的斜截式； (2)求过点A (6，－4)，斜率为－43的直线方程的斜截式．[解] (1)易知所求直线的斜率k ＝－1，在y 轴上的截距b ＝－2， 由直线方程的斜截式知，所求直线方程为y ＝－x －2. (2)所求直线的斜率k ＝－43，且过点A (6，－4)，根据直线方程的点斜式得直线方程为y ＋4＝－43(x －6)，化为斜截式为y ＝－43x ＋4.10．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.[解] 因为直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3， 所以其倾斜角α＝120°.由题意得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan30°＝33. (1)因为所求直线经过点(3，－1)，斜率为33， 所以所求直线方程是y ＋1＝33(x －3)， 即3x －3y －6＝0. (2)因为所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， 所以所求直线的方程为y ＝33x －5， 即3x －3y －15＝0.应试能力等级练(时间25分钟)11．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是 ( )[解析] 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距是1a.当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距是1a >0，则直线y ＝ax ＋1a过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距是1a <0，则直线y ＝ax ＋1a过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．[答案] B12．把直线y －3＝x －1绕点(1，3)逆时针旋转15°后，得到直线l 的方程是( ) A ．y ＝－3x B ．y ＝3x C ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋3y －2＝0[解析] ∵y －3＝x －1的斜率为1，∴倾斜角为45°，∴直线l 的倾斜角为45°＋15°＝60°，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .[答案] B13．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．[解析] b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2,2]． [答案] [－2,2]14．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，则直线l 的方程为________．[解析] 由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，所以直线l 的方程为y ＝32x －35.[答案] y ＝32x －3515．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围． [解] (1)证明：由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)． 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)≥0，f (3)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0.解得－15≤k ≤1.所以，实数k 的取值范围是－15≤k ≤1.。