中考数学复习指导：例谈利用勾股定理解题

中考数学勾股定理解题探究勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是数学中一个非常重要的定理。

它描述了直角三角形中的关系：直角三角形的两条直角边的长度的平方之和等于斜边长的平方。

勾股定理的数学表达式为： c^2=a^2+b^2，其中a、b为直角三角形的两条直角边的长度，c为斜边的长度。

在中考数学中，勾股定理是一个常考的内容。

它既可以出现在选择题中，也可以出现在应用题中。

不同形式的勾股定理题目，考察的点也不一样，对学生的解题能力和思维拓展的要求也各异。

下面我们一起来看看中考数学中常见的勾股定理题目及解题思路。

一、选择题1. 已知直角三角形的两条直角边分别为3 cm和4 cm，那么它的斜边长是（）A. 3 cmB. 5 cmC. 7 cmD. 9 cm解题思路：根据勾股定理，斜边的长度等于三角形两条直角边长度的平方和的平方根。

所以斜边的长度为√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。

所以答案选B。

二、应用题1. 甲乙两杆长8 m和15 m，两杆和地面的夹角分别为30°和60°，甲杆顶部和乙杆顶部之间的距离是多少？解题思路：根据勾股定理，甲杆顶部和乙杆顶部之间的距离等于两杆顶部高度的差值，即乙杆顶部高度减去甲杆顶部高度。

所以甲杆顶部高度为8 m*tan30°=8 m*(1/√3)=8/√3 m，乙杆顶部高度为15 m*tan60°=15 m*√3。

所以甲杆顶部和乙杆顶部之间的距离为15m*√3-8/√3 m。

将分母有理化，得到距离的精确值为(15√3-8)/√3 m。

2. 已知一个直角三角形，斜边长为12 cm，其中一条直角边长为5 cm，求另一条直角边的长度。

通过以上的解题思路，我们可以看出，在解勾股定理的题目时，关键是要理解题目中给出的已知条件，并根据勾股定理的数学表达式进行计算。

还需要注意分母有理化的问题。

熟练掌握勾股定理，对于中考数学题目的解答会有很大帮助。

中考数学复习指导：勾股定理中“赵爽弦图”考题聚焦勾股定理中“赵爽弦图”考题聚焦我国古代数学家赵爽利⽤弦图（图1），巧妙地证明了勾股定理．第24届国际数学家⼤会为了纪念他，特意将弦图作为会标，现举例介绍以弦图为背景的试题，供参考．例1 图2是我国古代著名的“赵爽弦图”的⽰意图，它是由四个全等的直⾓三⾓形围成的，在Rt △ABC 中，若直⾓边AC ＝6，BC ＝5，将四个直⾓三⾓形中边长为6的直⾓边分别向外延长⼀倍，得到图3所⽰的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图3中的实线）是_______．解析如图3，标注出点D 、E 、F 、G ．∵AC ＝6，BC ＝5．∴GD ＝6．DE ＝5．∵FG ＝DC ，∴FD ＝2DG ＝12．在Rt △DEF 中，由勾股定理，得EF 13．∴这个风车的外围周长为4(EF ＋FG)＝4×(13＋6)＝76．例2 如图4，是⽤4个全等的直⾓三⾓形与1个⼩正⽅形镶嵌⽽成的正⽅形图案．已知⼤正⽅形⾯积为49，⼩正⽅形⾯积为4．若⽤x ，y 表⽰直⾓三⾓形的两直⾓边（x>y ），下列四个说法：①x 2＋y 2＝49；②x －y ＝2；③2xy ＋4＝49；④x ＋y ＝9，其中说法正确的是( )(A)①② (B)①②③(C)①②④ (D)①②③④解析⼤正⽅形边长就是直⾓三⾓形斜边长，所以⼤正⽅形的⾯积等于直⾓三⾓形斜边长的平⽅．由勾股定理知直⾓三⾓形斜边长的平⽅为x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝49，①正确．由⼩正⽅形⾯积为4知它的边长为2，⽽⼩正⽅形边长等于较长直⾓边与较短直⾓边的差，所以x －y ＝2，②正确．⼤正⽅形⾯积等于4个直⾓三⾓形⾯积与⼩正⽅形⾯积的和，所以4×12xy ＋4＝49，即2xy ＋4＝49，③正确．由①、③，得x 2＋y 2＋2xy ＋4＝49 ×2，即（x ＋y ）2＝94，所以x ＋y 正确．综合知，选B ．例3 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了⼀副“弦图”，后⼈称其为“赵爽弦图”（如图5）．图6由弦图变化得到，它是由⼋个全等的直⾓三⾓形拼接⽽成．记图中正⽅形ABCD、正⽅形EFGH、正⽅形MNKT的⾯积分别为S1、S2、S2，若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是___________．例4 如图7，已知⼩正⽅形ABCD的⾯积为1，把它的各边延长⼀倍得到新正⽅形A1B1C1D1；把正⽅形A1B1C1D．边长接原法延长⼀倍得到正⽅形A2B2C2D2（如图8）；以此下去……正⽅形A n B n C n D n的⾯积为______．解析由⼩正⽅形ABCD的⾯积为1，知它的边长为1，则DD1＝1，DA1＝2．如图7，在Rt△D1DA1中，由勾股定理，得D1A2＝D1D2＋DA2＝12＋22＝5，所以正⽅形A1B1C1D1的⾯积为5．如图8，D1D2＝D1C1＝D1A1D1A2＝2D1A1＝在Rt△D1D2A2中，由勾股定理，得所以正⽅形A2B2C2D2的⾯积为25＝52．同理，正⽅形A3B3C3D3的⾯积为125＝53；正⽅形A4B4C4D4的⾯积为625＝54；……于是，可猜想正⽅形AnBnCnDn的⾯积为5n．例5 2002年在北京召开的世界数学⼤会会标图案是由四个全等的直⾓三⾓形围成的⼀个⼤正⽅形，中间的阴影部分是⼀个⼩正⽅形的“赵爽弦图”，如图9．若这四个全等的直⾓三⾓形有⼀个⾓为30°，顶点B1、B2、B3、…、B n和C1、C 2、C 3、…、C n 分别在直线y ＝－12x 1 和x 轴上，则第n 个阴影正⽅形的⾯积为______．。

第三讲中考中的勾股定理应用【典型例题A】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长．2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：．【变式】已知，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是BC上的一点，且AD⊥AC，求BD的长．【变式】如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，BD＝，AE⊥BC于E，求AE的长.4、如图①所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示，则不难证明．(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，那么之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用表示，请你确定之间的关系并加以证明．5、如果ΔABC的三边分别为，且满足，判断ΔABC的形状.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少?【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.(π取3)【典型例题B】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝，AB＝，BC，E是AB上一点，且AE＝，求点E到CD的距离EF．【变式】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长．类型二、勾股定理与其他知识结合应用2、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．3、如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，求证：．4、已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．类型三、本章中的数学思想方法1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．5、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．求线段EF的长.【变式】已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：2.方程的思想方法6、如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，，求、、的值.【变式】直角三角形周长为12，斜边长为5，求直角三角形的面积.【巩固练习A】一、选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3处折断，树顶端落在离树底部4处，则树折断之前高( )（1）（2）（4）A.5B.7C.8D.102．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )A. B.C. D.3. 下列命题中是假命题的是（）A.三个内角的度数之比为：3：4的三角形是直角三角形；B.三个内角的度数之比为：：2的三角形是直角三角形；C.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；D.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6 B．12 C．24 D．305．下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要( )（6）（7）（8）A.450元B.225元C.150元D.300元7. 如图所示，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对8. 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.3B.4C.6D.12二、填空题9．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．10．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．11．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．（12）（13）（15）12. 下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．13. 长为4 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______．14．在直角三角形中，一条直角边为11，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．15. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10，则其中最大的正方形的边长为______．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3 千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．20. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.【巩固练习B】一、选择题1. 在△中，若，则△ABC是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形2. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°（2）（6）（8）3．在下列说法中是错误的（）A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形．B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形．C．在△ABC中，若，，则△ABC为直角三角形．D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形．4．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )A. B. 或 C. D. 或5. 若三角形的三边长分别等于，则此三角形的面积为（）A. B. C. D.6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于( )A. 5B.C. D.7. 已知三角形的三边长为，由下列条件能构成直角三角形的是（）A.B.C.D.8. 如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）A. B. C. D. 3二、填空题9. 如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30／min.结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______.（9）（10）（11）10．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．11．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．12．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．13．如图，长方体的底面边长分别为1和3，高为6．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____,如果从点A开始经过四个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要_____.（13）（15）（16）14．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．15. 已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．16. 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，BC＝________.三.解答题17. 如图所示，已知D、E、F分别是△ABC中BC、AB、AC边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB ＝4,AC＝3，，求：△ABC的面积．18．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．19. 有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6，BC ＝8,①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，且与AB重合，则CD ＝_________.②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，使点C落在AB中点H上，点M、N分别在AC、BC上，则、与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.20. 如图1，四根长度一定的木条，其中AB＝6，CD＝15，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）.现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置.位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC的长为，请用的代数式表示AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长．。

利用勾股定理确定最短问题我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题.例1 如图1，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）分析根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”，蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，较短爬行路线有如图2所示的4条粗线段表示的距离.可以通过计算得知最短的是第2条.解 依题意蚂蚁要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，有如图2所示的4种粗线情形，＝25，＝，图④中粗线的长度为的5+20+10＝35，显然35＞＞25.故应选B .说明 在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.例2 如图1，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm.如果用一根细线从点图2图1③ ②④①A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要＿＿＿cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要＿＿＿cm.分析 要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n (3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解.解 如图2，依题意，得从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B 时，最短距离为AB ，此时，由勾股定理，得AB10，即所用细线最短为10cm.若从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n (3+1+3+1)，即8n，或说明 对于从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B 的最短细线不能理解为就是n 个底面周长.例3 在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即350米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A .在如图所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，AO 为其中的一段.（1）求点B 和点C 的坐标；BA6cm3cm1cm 图1图2BA（2）一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?（3）若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?分析（1）要求点B 和点C 的坐标，只要分别求出OB 和OC 即得.（2）由（1）可知BC 的长度，进而利用速度公式求得并与350比较即可.（3）为了求解，可设大货车行驶到某一时刻行驶了x 米，则此时小汽车行驶 了2x 米，于是利用勾股定理可求出x 的表达式进而求得.解（1）在Rt △AOB 中，因为∠BAO ＝60°，所以∠ABO ＝30°，所以OA ＝12AB ，而OA ＝100，所以AB ＝200，由勾股定理，得OBRt △AOC 中，∠CAO ＝45°，所以OC ＝OA ＝100，所以B (－0)，C (100，0).（2）因为BC ＝BO +CO ＝≈18＞503，所以这辆车超速了.（3）设大货车行驶到某一时刻行驶了x 米，则此时小汽车行驶 了2x 米，且两车的距离为yx＝60时，y有最小.说明本题在求最近距离时，一定要注意正确理解代数式的意义，注意到(x－60)2的最小值是0.例4 恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA+PB，图2是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A′，连接BA′交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA+PB.（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2＝PA+PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和YB、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.分析为了便于运用勾股定理求解有关线段的长，可适当引垂线，并结合对称等几何知识即可求解.P图1C G图3A′BA′图2解（1）如图1中，过B作BC⊥AP，垂足为C，则由勾股定理，得PC＝40.在Rt△PBC中，由勾股定理，得BP所以S1＝（km）.如图2中，过B作BC⊥AA′垂足为C，由轴对称知PA＝PA′，则A′C＝50，又BC＝40，所以由勾股定理，得BA，所以S2＝BA′＝km）.显然，S1＞S2.（2）如图2，在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA′，由轴对称知MA＝MA′，所以MB+MA＝MB+MA′＞A′B，所以S2＝BA′为最小.（3）过A作关于X轴的对称点A′，过B作关于Y轴的对称点B′，连接A′B′，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求.过A′、B′分别作X轴、Y轴的平行线交于点G.由勾股定理，得A′B所以所求四边形的周长为说明本题既是一道对图形的操作题，又是一道利用勾股定理进行方案设计的试题，求解时一定要注意动手动脑，发挥想象，避免错误的出现.。

勾股定理及其逆定理典题探究例1：在△ABC 中，∠C=90°，AC=2.1cm ，BC=2.8cm.（1）求△ABC 的面积；（2）求斜边AB ；CD例2：在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长。

例3： 如图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?例4：如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B .已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？C课后练习A 组1．已知两条线段的长为5cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形. B 组2．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2,c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6,b=8,c=10 D 、a=3,b=4, c=53、已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC ＝5。

（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。

4.图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）A ．22()()4m n m n mn +--= B ．222()()2m n m n mn +-+= C ．222()2m n mn m n -+=+ D ．22()()m n m n m n +-=-5．如图6，已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于C ，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC ＝图①图②第4题图6．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为．第12题图7．如图，过原点的直线l与反比例函数1 yx =-的图象交于M，N两点，根据图象猜想线段MN的长的最小值是___________．8．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m．9．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．10、如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.B 组1. 以下四个命题正确的是（ ）= ．3. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下，BA6cm3cm1cm4. 如图，已知∠AOB =60°，点P 在边OA 上，OP =12，点M ，N 在边OB 上，PM =PN ，若MN =2，则OM =（ ）5. 如图，在四边形ABCD 中，AB =AD =6，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =60°，点M 、N 分别在AB 、AD 边上，若AM ：MB =AN ：ND =1：2，则tan ∠MCN =（ ）﹣26. 如图1，有一个“顽皮虫”想从点A 沿棱长为1cm 的正方体的表面爬到点B ，求它所爬过的最短路程．7. 在△ABC 中，AB=13cm ，BC=10cm ，BC 边上的中线AD=12cm ，求AC 8. 已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。

考点一：勾股定理之大树折断模型【例1】．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．➢变式训练【变式1-1】．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（）A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对【变式1-2】．由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．考点二：勾股定理之风吹荷花模型【例2】．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm➢变式训练【变式2-1】．如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE 时，AD＝2米，则BE＝米．【变式2-2】．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．1．如图，一架25m长的云梯斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（）A．4m B．6m C．8m D．10m2．一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处玩耍的身高为1m的小明（）A．没有危险B．有危险C．可能有危险D．无法判断3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点M是OB上一点，将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则点M的坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）4．为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高50m的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上米处折断．5．如图所示，某商场有一段楼梯，高BC为2米，楼梯最高点和最低点的距离AB为4米，如果在楼梯上铺上地毯，那么要使用的地毯长度是．6．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇AB，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处．问水的深度是多少？则水深DE为尺．7．细心观察图形，解答问题：（1）OA2＝，OA3＝，OA4＝，OA n＝；（2）△OA8A9的周长＝；（3）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？8．如图，在水池的正中央有一根芦，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是．9．某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行15海里到达B岛，然后沿某方向航行20海里到达C岛，最后沿某个方向航行了25海里回到港口A，判断此时△ABC的形状，该船从B岛出发到C是沿哪个方向航行的，请说明理由．10．如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（1）开始时，船距岸A的距离是m；（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动m．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB垂直平分线分别交AB，AC 及BC的延长线于点D，E，F，求CE和CF的长．12．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米，（1）求BF与FC的长；（2）求EC的长．13．学校的一棵大树被风吹断了，如图，距地面6m处折断，折断的树梢顶部落在距树干底部8m处，求此树原高是多少米？（图1）有两棵大树，一棵高8m，另一棵高2m，BC＝6，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，至少飞多少米？（图2）一架长10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面8m，现将梯子顶端沿墙面下滑2m，则梯子底端与墙面距离是否也增长2m？请说明理由（图3）14．解答题：（1）已知x+y＝4，xy＝2，求x2+y2+3xy的值；（2）先化简，再求值：（a+2b）2﹣（a﹣b）（a﹣4b），其中a＝，b＝2007；（3）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？（4）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上点F处，若AB＝8cm，BC ＝10cm，求EC的长．。

勾股定理的应用举例与解题方法勾股定理是一条著名的数学定理，它在几何学和代数学中具有广泛的应用。

本文将通过举例和解题方法来探讨勾股定理的应用。

一、求解直角三角形的边长勾股定理最常见的应用就是求解直角三角形的边长。

直角三角形是指一个角度为90度的三角形。

在这种三角形中，直角边即为斜边相对的两条边。

根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

举例1：已知一个直角三角形的一条直角边长度为5，另一条直角边长度为12，求斜边的长度。

解题方法：根据勾股定理可以得到：斜边的平方 = 直角边1的平方 + 直角边2的平方代入已知条件可得：斜边的平方 = 5² + 12² = 25 + 144 = 169开方得到斜边的长度为13。

因此，该直角三角形的斜边长度为13。

二、验证三条边是否构成直角三角形通过勾股定理，我们还可以验证三条边是否构成直角三角形。

举例2：已知三条边的长度分别为3、4、5，判断它们是否构成直角三角形。

解题方法：按照勾股定理，如果三条边的平方和等于斜边的平方，那么它们所构成的就是直角三角形。

代入已知条件可得：3² + 4² = 9 + 16 = 25而斜边的平方为5² = 25由此可见，两者相等，所以这三条边构成了直角三角形。

三、解决几何问题勾股定理不仅可以用于解决三角形问题，还可以应用于其他几何问题。

举例3：已知一个矩形的两条边长分别为5和12，求对角线的长度。

解题方法：由于矩形的对角线可以看作是直角三角形的斜边，我们可以利用勾股定理来求解。

根据勾股定理可以得到：对角线的平方 = 矩形的一条边长的平方 +矩形的另一条边长的平方代入已知条件可得：对角线的平方 = 5² + 12² = 25 + 144 = 169开方得到对角线的长度为13。

因此，该矩形的对角线长度为13。

四、应用于物理问题勾股定理还可以应用于物理问题的求解中。

举例4：一个投射角度为45度的物体以10 m/s的速度抛出，求物体在水平方向上的飞行距离。

勾股定理典例分析窗体顶端 历史上，勾股定理的证明异彩纷呈，近年来中考中对勾股定理的考查打破了以往直接给出结论要求学生证明的方式，而是通过观察、操作、实验探究证明勾股定理，注重考生的动手实践和自主探索，发展合情推理能力，体会形数结合的思想；而数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用体现了勾股定理丰富的文化内涵，有些中考题中呈现出勾股定理的历史便于我们深入的了解，证明、运用勾股定理解决一些实际问题是近几年中考的热点题型．典型例题剖析：例1如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ，图(2)是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形证明勾股定理．(3)假设图(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）分析：本题第（1）问要求的构图实际上是美国第十七任总统加菲尔德首先提出的．此题是对学生的操作、探索、创新思维等能力的考查，属操作实验题，该题较好地体现新课改的精神，以学生为本；要求考生拼拼、画画后再证明结论，这样的考查方式比以往直接给出结论要求学生证明的方式更有意义，考生在拼拼、画画、证明结论的过程中，感受数学知识的形成与发展的过程，既考查了学生通过观察、操作、实验等合情推理的方式发现数学结论的能力，也让考生初步体会了科学发现的一些过程；第（3）问具有开放性，其解决过程和答案都是多元化的，通过具体问题情景的设置，对考生的创新精神、实践能力和探究能力进行考查，以此引导学生学会学习．解：（1）图形要规范、正确．如图，写出是直角梯形．（2）∵ S 梯形 =()2)(21)(21b a b a b a +=++， S 梯形 =222121221c ab c ab +=+⨯ ∴2221)(21c ab b a +=+. 整理，得 222c b a =+.（3）拼出能证明勾股定理的图形即可．下面举出三种拼图方法：例2（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开. 大会会标如图甲. 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5. 求中间小正方形的面积.（2）现有一张长为6.5cm 、宽为2cm 的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，在拼合成一个正方形.（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）分析：（1）设直角三角形的较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，则小正方形的边长为a-b. 由题意得a+b=5① 由勾股定理，得a 2+b 2=13②. ①2 – ②，得 2ab=12.∴(a-b)2 = a 2+b 2-2ab=13 –12 =1③. 即 所求的中间小正方形的面积为1. （2）所拼成的正方形的面积为6.5×2= 13(cm 2)，所以，可按照图甲制作. 由③，得a-b=1.由①、③组成方程组解得 a=3，b=2.结合题意，每个直角三角形的较长的直角边只能在纸片6.5cm 的长边上截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为13-12×3×2×4=13-12=1(cm 2)，恰好等于中间的小正方形面积.于是，得到以下分割拼合方法：小结：例1拼合、例2分割相得益彰．例3据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.⑴观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾．都是奇数，且从3起就没有间断过.计算)19(21-、)19(21+与)125(21-、)125(21+，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股．和弦．的算式； ⑵根据⑴的规律，用n (n 为奇数且．．．n ≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾．、股．、弦．，图甲图乙3cm 3cm 0.5cm 13cm 1cm1cm0.5cm 3cm 2cm 13cm 2cm合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；⑶继续观察4，3，5； 6，8，10； 8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用m (m 为偶数且．．．m ＞4)的代数式来表示他们的股．和弦．. 分析：本小题是研究勾股数，考查学生观察、分析、类比、猜想、验证和证明. 由题中给出的勾股数的构成形式，便可掌握勾股数的构成规律，从而得到勾股数的一般形式，这是一个由特殊到一般的思维过程．由于考生学习经验和思考角度不同，所提出的新结论和证明必然是多样化、多层次的，应尊重各层次考生经独立思考后的想法，保护考生的创新意识．解：(1)∵4)19(21=-，5)19(21=+；12)125(21=-，13)125(21=+； ∴7，24，25的股的算式为()1721)149(212-=-弦的算式为()1721)149(212+=+(2)当n 为奇数且n ≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n ， ()1212-n ，()1212+n .例如关系式①：弦－股＝1；关系式②：222弦股勾=+ 证明关系式①：弦－股＝()()()()[]111211211212222=--+=--+n n n n 或证明关系式②：()()2222422222141412141121弦股勾=+=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+n n n n n∴猜想得证．(3)例如探索得，当m 为偶数且m ＞4时，股、弦的代数式分别为：122-⎪⎭⎫ ⎝⎛m ，122+⎪⎭⎫⎝⎛m 例如：连结两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股. 即上一组为：n ，()1212-n ，()1212+n (n 为奇数且n ≥3)， 分别记为：A 1、B 1、C 1，下一组为：2+n ，()[]12212-+n ，()[]12212++n (n 为奇数且n ≥3)， 分别记为：A 2、B 2、C 2， 则：A 1+B 1+ A 2＝n +()1212-n +(2+n )＝()34212++n n ＝()[]12212-+n ＝ B 2. 或B 1+ C 2＝ B 2+ C 1(证略)等等.例4如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，为使S 1、S 2、S 3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .解：设直角三角形ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则c 2=a 2+b 2 .(1) S 1=S 2+S 3 .(2) S 1=S 2+S 3 . 证明如下：显然，S 1=23c ，S 2=23a ， S 3=23b ，∴S 2+S 3=22233()a b c +==S 1 .(也可用三角形相似证明)(3) 当所作的三个三角形相似时，S 1=S 2+S 3 . 证明如下：∵ 所作三个三角形相似， ∴22322211,.S S a b S c S c == 2223123211,S S a b S S S S c ++∴==∴=+.(4) 分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则S 1＝S 2＋S 3下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用 例5阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．OA 1 OA 2OA 3OA 4OA 5OA 6OA 7OA 8解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072 例62002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2b a +的值为（ ）（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169分析：由勾股定理，结合题意得a 2+b 2=13 ①. 由题意，得 (b-a)2=1 ②. 由②，得 a 2+b 2-2ab =1 ③. 把①代入③，得 13-2ab=1 ∴ 2ab=12.∴ (a+b)2 = a 2+b 2+2ab =13+12=25. 因此，选C. 说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.赵爽在这本书中，画了一个弦图：两个全等的直角三角形（三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄实”，也叫“差实”）.赵爽释注道：“色股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦. ”开方除之是当时开方运算的术语. 上面这句话实际上就是勾股定理即：a 2+b 2=c 2.他又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四. 以勾股之差自相乘中黄实. 加差实亦成弦实. ”即2ab+（b-a ）2=c 2 化简便得出：a 2+b 2=c 2这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个.【每周一练】 一、选择题1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（ ）（A ）2、4、8 （B ）4、8、10 （C ）6、8、10 （D ）8、10、122、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（ ）A.25，48，80 B ．15，17，62 C ．25，59，74 D ．32，60，68CA BD3、如果直角三角形的三条边2，4，a，那么a的取值可以有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（）（A）2厘米（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）（A）S1+S2>S3（B）S1+S2<S3（C）S1+S2=S3（D）S12+S22=S32二、填空题1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为______.2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm和12cm，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于cm．3、如图，CD是Rt⊿ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3．已知BC＝3cm，则AB＝cm．5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为.6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．7、如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，又量得BC＝160 m，则A、B两点之间的距离为m（结果保留根号）8、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而c2＝＋．化简后即为c2＝．8米2米8米第6题图6012140B6AC第5题图bc9、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为．10、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是 ． 11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是 .12、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A′，使梯子的底端A′ 到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至B′，那么BB′等于1米；②大于1米；③小于1米.其中正确结论的序号是________________. 13、观察下面各组数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）、…，可发现：4＝2132-，12＝2152-，24＝2172-，…，若设某组数的第一个数为k ，则这组数为（k ， ， ）． 三、解答题1、n 2 3 4 5 … a 22-1 32-1 42-1 52-1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 …（1） 分别观察a 、b 、c 与n 之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：a = ，b = ，c =（2）猜想：以a 、b 、c 为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.2、若正整数a 、b 、c 满足方程a 2+b 2=c 2 ，则称这一组正整数（a 、b 、c ）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：根据以上规律，回答以下问题：（1） 商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？ （2） 写出各数都大于30的两组商高数．（3） 用两个正整数m 、n （m ＞n ）表示一组商高数，并证明你的结论． 3、阅读并填空：寻求某些勾股数的规律：B B'OA A'⑴对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：222543=+，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到2221086=+和22215129=+，……若把它扩大11倍，就得到 ，若把它扩大倍，就得到 ． ⑵对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数：若勾股数为3，4，5，因为222453-=，则有5432+=；若勾股数为5，12，13，则有131252+=；若勾股数为7，24，25，则有 ；……若勾股数为m (m 为奇数)，n ， ，则有=2m ，用m 来表示n ＝ ； 当17=m 时，则n ＝ ，此时勾股数为 ． ⑶对于大于4的偶数：若勾股数为6，8，10，因为2228106-=，则有……请找出这些勾股数之间的关系，并用适当的字母表示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数．4、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB C D '''的位置，连结CC '，设,,AB a BC b AC c ===，请利用四边形BCC D ''的面积证明勾股定理：222a b c +=.5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD 和EFGH 都是正方形. 证：△ABF ≌△DAE6、仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题.;23,4)3(;22,31)2(;21,21)1(322212==+==+==+S S S （1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；D 'A B 'D C 'A B C bc 第4题图ABCDEFGH1……S 1A 2S 2A 3S 3S 4S 5A 6A 5A 4A 1O 11111（2）推算出OA 10的长；（3）求出210232221S S S S ++++ 的值．【参考答案】 一、选择题1、C2、D3、B4、B5、C 二、填空题1、3；2、6.5；3、判断一个三角形是直角三角形分类讨论8；4、6；5、100mm ；6、10；7、803；8、ab 214⨯，b 2 – a 2，a 2+b 2 ； 9、4，6；10、13；11、122（或4096）12、③；13、212-k ，212+k三、解答题1、解：（1）n 2-1 2 n n 2+1（2）答：以a 、b 、c 为边的三角形是直角三角形证明：∵a 2+ b 2=(n 2-1)2+4 n 2= n 4-2 n 2+1+4 n 2= n 4+2 n 2+1=( n 2+1)2=c 2 ∴以a 、b 、c 为边的三角形是直角三角形2、分析：由题中给出的五组商高数的构成形式，便可掌握商高数的构成规律，从而得到商高数的一般形式，这是一个由特殊到一般的思维过程． 解：（1）有一个偶数、两个奇数或三个偶数． （2）（40，42，58，），（119，120，169） （3）a = 2mn ， b = m 2 – n 2， c = m 2 + n 2 证明：a 2 +b 2 = (2 m n)2+ ( m 2 – n 2)2= 4m 2n 2 +m 4 -2m 2n 2n +4= m 4 +2m 2n 2+n 4 = (m 2+n 2 )2 ∴ a 2+b 2 = c 23、⑴222554433=+ 222)5()4()3(n n n =+⑵252472+= 1+n 12+n 212-m 144 （17，144，145）⑶)810(28106222+=-=)1517(215178222+=-= )2426(2242610222+=-= )3537(2353712222+=-=)1(4)22(2)2(222+=+=-+=n n n n m442-=m n当24=m 时，14344242=-=n ，1452=+n 当偶数为24的勾股数：（24，143，145） 4、证明：四边形BCC D ''为直角梯形，21()()22BCC D a b S BC C D BD ''+'''∴=+⋅=梯形 Rt ABC △≌ Rt AB C ''△，BAC BAC '∴∠=∠.90CAC CAB B AC CAB BAC '''''∴∠=∠+∠=∠+∠=︒.（或：矩形ABCD 绕点A 旋转90︒，AC 旋转到AC '的位置，则90CAC '∠=︒）ABC CAC D AC BCC D S S S S '''''∴=+△△△梯形+2211122222c ab ab c ab +=++=. 22222()2.22a b c aba b c ++∴=∴+=.5、分析：在小学我们就知道，正方形的四条边相等，四个角都是直角. ∴∠BAF= 900-∠DAE=∠ADE.在Rt △ABF 与△DAE 中，∠BAF=∠ADE ，AB=AD ∴△ABF ≌△DAE(AAS). 6、解：（1）2,11)(2nS n n n =+=+ （2）∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA 10＝10（3）455)210()23()22()21(2222210232221=+++=++++ S S S S。

1．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．例．如图所示，有一正方体纸盒，在点C1处有一只小虫，它要爬到点A吃食物．应该沿着怎样的路线才能使行程最短？解：如图，把侧面或上面展开与正面组成一矩形，连接AC1，则AC1就是行程最短的路线．2.赵爽弦图模型我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2．称为勾股定理．把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论证明：由图2得，大正方形面积＝4×＝（a +b ）2，整理得b 2+c 2+2ab ＝2ab +c 2，∴c 2＝a 2+b 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．考点一：行程最短问题 【例1】．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm ，底面半径等于4cm ，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 cm ．（π取3）➢变式训练【变式1-1】．如图，圆锥的底面圆的半径为10cm ，母线长为40cm ，C 为母线P A 的中点，一只蚂蚁欲从点B 处沿圆锥的侧面爬到点C处，则它爬行的最短距离是 cm ．例题精讲【变式1-2】．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是cm．【变式1-3】．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．考点二：弦图模型的应用【例2】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，则中间小正方形EFGH的面积是．➢变式训练【变式2-1】．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是．【变式2-2】．如图，在弦图中，正方形ABCD的对角线AC与正方形EFHI的对角线EH交于点K，对角线AC交正方形EFHI于G，J两点，记△GKH面积为S1，△JIC面积为S2，若AE＝12，CD＝4，则S1+S2的值为．1．如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发，经过每个面的中心点后，又回到A点，蚂蚁爬行最短程S满足（）A．5＜S≤6B．6＜S≤7C．7＜S≤8D．8＜S≤92．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan ∠ADE的值为（）A．B．C．D．3．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12B．15C．20D．304．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为4，大正方形面积为74，直角三角形中较小的锐角为θ，那么tanθ的值是（）A．B．C．D．5．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，则GI的值是（）A．B．C．D．6．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为．7．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是．8．将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2．则S1﹣S2＝．9．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为．10．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E 的边长为7cm，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为cm2．12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2为小明同学根据弦图思路设计的，在正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径作，再以CD为直径作半圆交于点E，若边长AB＝10，则△CDE的面积为．13．图1是一个勾股定理演示教具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰能注满两个小正方形．王老师有一个内长为11寸，内宽为9寸的木质盒子（如图2）．现要自制一个这样的教具（由三个正方形和一个直角三角形组成），使得教具恰好摆入这个盒子中，以便保护和携带（如图3所示，A，B，C，D，E五点均紧贴盒子边缘，教具的厚度等于木盒的内高）．此时盒子的空间利用率为．14．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连接AC，交BG于点P，交DE 于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP﹣S△CGP＝，③DH+HC＝4，④HC＝2+，以上说法正确的是.（填写序号）15．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，（1）请问：长为12.5dm的铁棒能放进去吗？（1）如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．16．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，可以验证勾股定理；（2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝．17．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．。

利用勾股定理解决问题勾股定理是初中数学中非常重要的定理之一，它可以帮助我们解决很多与直角三角形相关的问题。

在本文中，我将通过举例和分析，向中学生及其父母介绍如何利用勾股定理解决问题。

一、求直角三角形的斜边长勾股定理的最常见应用就是求直角三角形的斜边长。

直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。

根据勾股定理，我们可以得到以下关系式：a² + b² = c²。

例如，已知直角三角形的直角边分别为3和4，我们可以利用勾股定理求出斜边的长度。

根据关系式，我们有3² + 4² = c²，即9 + 16 = c²，进一步计算得到c² = 25，因此c = 5。

所以，该直角三角形的斜边长为5。

二、判断三条边长是否构成直角三角形利用勾股定理，我们还可以判断三条边长是否构成直角三角形。

根据勾股定理，如果一个三角形的三条边长满足a² + b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。

举个例子，假设有一个三角形，其三条边长分别为5、12和13。

我们可以利用勾股定理来判断这个三角形是否为直角三角形。

根据关系式，我们有5² + 12² = 13²，即25 + 144 = 169，计算结果正确。

因此，这个三角形是直角三角形。

三、求直角三角形的边长比例利用勾股定理，我们还可以求解直角三角形的边长比例。

假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。

根据勾股定理，我们可以得到以下关系式：a² + b² = c²。

例如，已知一个直角三角形的斜边长为10，其中一条直角边长为6，我们可以利用勾股定理求解另一条直角边长。

根据关系式，我们有6² + b² = 10²，即36 + b²= 100，进一步计算得到b² = 64，因此b = 8。