勾股定理典型解题技巧及练习

CBAFEDCB A勾股定理及其逆定理（讲义）一、 知识点睛1. 11-19的平方：_______________________________________________________________________________________________________．2. 勾股定理：_______________________________________________________________________________________________________． 3. 勾股定理的验证：4. 勾股定理逆定理：_______________________________________________________________________________________________________．5. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有______________；______________；_______________；________________；________________；_________________．二、精讲精练1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形的周长为25C ．斜边长为5D ．三角形的面积为202. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长是________．S 3S 2S 1AB C86C3. 已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF长为12cm ，则正方形CDEF 的面积为_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1，S 2，S 3．若S 2=4，S 3=6，则S 1=___________．5. 如图，已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为___________．6. （1）等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ，较短的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab +(a -b )2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2=c 2．图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为________． 7. 如图，点C 在线段BD 上，AC ⊥BD ，CA =CD ，点E 在线段CA 上，且满足DE =AB ，连接DE 并延长交AB 于点F ． （1）求证：DE ⊥AB ；（2）若已知BC =a ，AC =b ，AB =c ，你能借助本题提供的图形证明勾股定理吗？试一试吧．图2图1b ba ED A ABDEFc c图2b aba ED CBAlcba8. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是_________．第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC >BC ，分别以AB ，BC ，CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE ，正方形BCMN ，正方形CAFG ，连接EF ，GM ，ND ．设△AEF ，△CGM ，△BND 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列结论正确的是（ ）A ．S 1=S 2=S 3B ．S 1=S 2<S 3C ．S 1=S 3<S 2D ．S 2=S 3<S 110. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为______．11. 如图，从电线杆离地面8m 处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m ，那么需要多长的 钢索？12. 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处1米．法算出旗杆的高度．13. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）DCBAAB C DE F GH图3图2图1h 26246b 106c 125A ．B ．C ．D ．7152024257202425715202425252420157图2图1DCBAA ．0.3，0.4，0.5B ．7，12，15C ．11，60，61D ．9，40，4114. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GHD ．AB ，CD ，EF 15. 若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++，，（n 为正整数），则三角形的最大内角等于_______度．16. 将直角三角形的三边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形17. 三边长分别是15，36，39的三角形是_______三角形.18. 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：c =____，b =____，h =_____．19. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形中正确的是（ ）20. 一个零件的形状如图1中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2请说明理由．勾股定理及其逆定理（随堂测试）1．有一块土地形状如图所示，∠B =∠D =90°，AB =20米，BC =15米，CD =7BAD CB ．A ．c b c a b a a b c a b c c b a c b a A BCD EF D ．c b a a b c C ．米，则这块地的面积为__________．2．若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④0.3，0.4，0.5；⑤2n +1，2n ，2n 2+2n +1（n 为正整数）．则其中能构成直角三角形的是_____________．3．如图，在四边形ABCD 中，AD =3，AB =4，BC =12，CD =13，∠BAD =90°． （1）求BD 的长； （2）证明：BD ⊥BC ； （3）求四边形ABCD 的面积．勾股定理及其逆定理（作业）1. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）A ．1.5，2，2.5B ．9，12，15C ．7，24，25D ．1，1，22. 若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④11，60，61；⑤22(+)12(+)(+)+1m n m n m n ，，（m ，n 为正整数）．其中能构成直角三角形的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）4. 已知甲、乙两人从同一点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人相距______．5. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到AB 的距离为____________．DC BAF E D CB A 6. 记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2< S 3C ．S 1+S 2=S 3D ．S 12+S 22=S 327. 中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，___________cm 2．8. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积为_________．9. 如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AE =2，DF =1，则图中共有直角三角形________个．10. 11. 如图，一架长25（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4方向上滑动了几米？12. 已知一个三角形的三边长分别是5cm ，12cm ，13cm ，你能算出这个三角形的面积吗？b915勾股定理及其逆定理【参考答案】➢ 课前预习1. 大于，互余；2. 121，144，169，196，225，256，289，324，3613. 16A S =9B S = 25C S =A B C S S S +=➢ 知识点睛1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2. 略3. 三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．4. 3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；11，60，61．➢ 精讲精练1. C2. 169 cm 23. 24.245. 证明略6. 167. 148. AD =12 cm ，AC =15 cm 9. B 10. B 11. 90 12. 直角 13. C14. 符合要求，理由略15. （1）同位角相等，两直线平行．逆命题成立．（2）如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数．逆命题不成立． （3）锐角三角形是等边三角形．逆命题不成立．（4）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．逆命题成立．。

1 / 3勾股定理【知识梳理】 1.勾股定理：股勾b a2.勾股定理的证明：方法一：以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形方法二：做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像下图那样拼成两个正方形.方法三：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形3.基本训练：（1）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求AB 的长．（2）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=2，求AB 的长．（3）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=3，求AB 的长．（4）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，求BC 的长．（5）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=12，AB=13，求BC 的长．3.常见的勾股数：【探究】与勾股定理相关的问题探究1.已知直角三角形的两边求第三边，或已知直角三角形的两边比和一边长求两边. （1）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，求BC 的长．（2）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC ：BC=3:4，AB=10，求AC 、BC 的长.2.求直角三角形斜边上的高. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=3，BC=4，求CD 的长．3.求直角三角形三边的中线的长.（1）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，E 是BC 的中点，求AE 的长．（2）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AB=5，E 是AC 的中点，求BE 的长．（3）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，F 是AB 的中点，求CF的长．4.求直角三角形角平分线的长.（1）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，AD平分∠CAB，求CD和AD的长．（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，BD平分∠ABC，求CD和BD的长．5.含特殊角的直角三角形（1）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，求AB和BC的长．（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，求AC和BC的长．（3）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=3，求AC和AB的长．（4）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，BC=2，求AC和AB的长．（5）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AB=2，求AC和BC的长．6.等边三角形与直角三角形如图，△ABC是等边三角形，AB=6，AD⊥BC，求AD的长和△ABC的面积．7.含120°角的等腰三角形与直角三角形（1）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB=3，AD⊥BC，求AD、BC的长和△ABC的面积．（2）如图，AB=AC，∠BAC=120°，BC=6，AD⊥BC，求AD、AB的长和△ABC的面积．8.等腰三角形与直角三角形（1）如图，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，求AD的长和△ABC的面积．（2）如图，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，求AD的长和△ABC的面积．9.含特殊角的三角形与直角三角形（1）如图，AB=2，BC=3，求AC的长和△ABC的面积．DB CDBB2 / 33 / 360°ABC（2）如图，AB=1，BC=2，求AC 的长和△ABC 的面积．120°ABC10.折叠与直角三角形（1如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿AD 折叠，使点C 落在斜边AB 上，若AC=3，BC=4，则CD= ．DCAB第（1）题 第（2）题 第（3）题 第（4）题 第（5）题（2））如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6cm ，AC=8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是 ．（3）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE ，则DE 的长为 ．（4）如图.在Rt △ABC 中，∠A=30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 式垂足，连接CD ，若BD=1，则AC 的长是 ．（5）如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC =3， AB =6，∠BCA =90°，在AC 上取一点E ，以BE为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为 ． （6）如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 的点F处．若AE=5，BF=3，则CD 的长是 ．第（6）题 第（7）题 第（8）题 第（9）题 （7）如图，矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB=6，△ABF 的面积是24，则FC 等于 ．（8）如图所示，矩形纸片ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 长为 ．（9）如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm. （10）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．（11）如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 ．第（10）题 第（11）题 第（12）题 第（13）题（12）如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为 ．（13）如图，从点()02A ，发出的一束光，经x 轴反射，过点()43B ，，则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为 ．（14）矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_____________.。

ABCabc弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

常用关系式由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

3. 勾股数：①满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等③用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（4）如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）5.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°B（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

勾股定理经典题型（后附答案）第 1 页共 5 页勾股定理经典题型(后附答案)⼀、经典例题精讲题型⼀：直接考查勾股定理例１.在ABC ?中，90C ∠=?．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型⼆：利⽤勾股定理测量长度例题1 如果梯⼦的底端离建筑物9⽶，那么15⽶长的梯⼦可以到达建筑物的⾼度是多少⽶？例题2 如图（8），⽔池中离岸边D 点1.5⽶的C 处，直⽴长着⼀根芦苇，出⽔部分BC 的长是0.5⽶，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求⽔池的深度AC.题型三：勾股定理和逆定理并⽤——例题3 如图3，正⽅形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上⼀点，且AB FB 41=那么△DEF 是直⾓三⾓形吗？为什么？题型四：利⽤勾股定理求线段长度——例题4 如图4，已知长⽅形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取⼀点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.题型五：利⽤勾股定理逆定理判断垂直——例题5 如图5，王师傅想要检测桌⼦的表⾯AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？例题6 有⼀个传感器控制的灯，安装在门上⽅，离地⾼4.5⽶的墙上，任何东西只要移⾄5⽶以内，灯就⾃动打开，⼀个⾝⾼1.5⽶的学⽣，要⾛到离门多远的地⽅灯刚好打开？第 2 页共 5 页题型六：旋转问题：例题7 如图，△ABC 是直⾓三⾓形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。

变式1: 如图，P 是等边三⾓形ABC 内⼀点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.变式2: 如图，△ABC 为等腰直⾓三⾓形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究222BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题8 如图，矩形纸⽚ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上⼀点，将矩形纸⽚沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.题型⼋：关于勾股定理在实际中的应⽤：例题9 如图，公路MN 和公路PQ 在P点处交汇，点A处有⼀所中学，AP=160⽶，点A 到公路MN 的距离为80⽶，假使拖拉机⾏驶时，周围100⽶以内会受到噪⾳影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN ⽅向⾏驶时，学校是否会受到影响，第 3 页共5页请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千⽶/⼩时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例题10 如右图1－19，壁虎在⼀座底⾯半径为2⽶，⾼为4⽶的油罐的下底边沿A 处，它发现在⾃⼰的正上⽅油罐上边缘的B 处有⼀只害⾍，便决定捕捉这只害⾍，为了不引起害⾍的注意，它故意不⾛直线，⽽是绕着油罐，沿⼀条螺旋路线，从背后对害⾍进⾏突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了⼀顿美餐．请问壁虎⾄少要爬⾏多少路程才能捕到害⾍?（π取3.14，结果保留1位⼩数，可以⽤计算器计算）变式：如图为⼀棱长为3cm 的正⽅体，把所有⾯都分为9个⼩正⽅形，其边长都是1cm ，假设⼀只蚂蚁每秒爬⾏2cm ，则它从下地⾯A 点沿表⾯爬⾏⾄右侧⾯的B 点，最少要花⼏秒钟？三、课后训练：⼀、填空题1．如图(1)，在⾼2⽶，坡⾓为30°的楼梯表⾯铺地毯，地毯的长⾄少需________⽶． 2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底⾯半径为2.5㎝，⾼为12㎝，吸管放进杯⾥，杯⼝外⾯⾄少要露出 4.6㎝，问吸管要做㎝。

第十八章 勾股定理1. 知识总结1. 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 2．勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．方法一 方法二 方法三 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c=⨯+=+,大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++， 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形， 2112S 222ADE ABE S S ab c∆∆=+=⋅+梯形，化简得证3．勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在A B C ∆中，90C ∠=︒，则c =，b =，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5．勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

注意：①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较: 若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；baHG F EDCB Abacbac cabcab a bcc baE D CBAABCFDA②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，这时b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 6. 勾股数满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数常见的勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9，12 ，15；9, 40, 41等9. 勾股定理及其逆定理的应用 一. 选择题1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25B 、14C 、7D 、7或252．等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为（ ）A ．10 B.12 C.15 D.20 3．下列说法正确的是（ ）A ．若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 24．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 1、下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2, c=3 B 、a=7,b=24,c=25C 、a=6, b=8, c=10D 、a=3,b=4,c=54、如图，CD 是RtABC 的斜边AB 上的高，若AB ＝17，AC ＝15，求CD 的长（ ）A、 B、 C 、17 D 、75．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）A ． 2倍B ． 4倍C ． 6倍D ． 8倍6．如图，将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度h cm ，则h 的取值范围是（ ）A 、h ≤17cmB 、h ≥8cmC 、15cm≤h ≤16cmD 、7cm≤h ≤16cmCBA7．如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）A. 4B. 6C. 16D. 558．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与 A 点重合，则EB 的长是（ ）．A ．3B ．4 CD ．59．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点， 则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°10．△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（ ）.A. 50元B. 600元C.1200元 D. 1500二. 填空题6．如图，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.8．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 三. 解答题1、已知：如图，在△ABC 中，90ACB ∠= ，10A B cm =，8BC cm =，C D AB ⊥于D ，求C D 的长．46．如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB 的长.DCBA图18.2-3ADBC7．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？8．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？10.一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？11．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）12．如图，正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB. 请问FE与DE是否垂直?请说明。

类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

解析：延长AD、BC交于E。

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。

勾股定理的证明常用拼图的方法。

通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。

2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。

3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。

勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。

勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。

在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。

同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。

勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。

如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。

勾股定理的实际应用有很多。

例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。

现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。

同时梯子的顶端B下降至B′。

那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。

又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。

设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。

勾股定理→求边长勾股定理三⼤境界（利⽤勾股定理求线段长）【境界⼀】已知两边求第三边例：已知⼀直⾓三⾓形两边长为3和4，求第三边的长度？【注】分两种情况讨论，记得考虑“谁是斜边？”【境界⼆】已知⼀边找另外两边的关系【注】解题步骤：审题→标注条件→设x表⽰线段长→确定三⾓形→根据勾股定理列⽅程.【境界三】两个直⾓三⾓形共边或有相等边两个直⾓三⾓形共边:c2-a2=d2-b2两个直⾓三⾓形有相等的边: d2-c2=a2+b2例：如图，将边长为8cm的正⽅形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是．分析与解题步骤：想求CN的长→CN在Rt△CEN中→根据题中知道CE=4，所以对应到“境界⼆”已知⼀边找另外两边的关系→设CN=x，则EN=8-x→确定在Rt△CEN中→利⽤勾股定理列关系式．【变式】：求线段MF的长．分析与解题步骤：⽅法⼀：常规思路想求MF的长→MF不在直⾓三⾓形中→考虑转化，MF=AM→添辅助线作MH⊥DC，构造直⾓三⾓形→MH=8，△CED≌△HNM（条件①∠MHN=∠C=90°；条件②MH=CD；条件③由于∠MND+∠NMH=90°=∠MND+∠EDC ，所以∠NMH=∠EDC），得MN=DE=4√5,所以对应到“境界⼀”，已知两边求第三边．⽅法⼆：从折叠出发考虑折叠性质想求MF的长→MF不在直⾓三⾓形中→考虑转化，MF=AM→添辅助线（根据折叠，思考折叠的性质）连接DM，ME，且DM=ME→两个相等的线段分别在直⾓三⾓形中，对应到“境界三”→设AM=x，BM=8-x→根据勾股定理列关系式82+x2=（8-x）2+42．练习1：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a=3，b=4，c为质数，求c的长．练习2：已知直⾓三⾓形的两边长为5和12，则斜边上的中线长是__________．练习3：在△ABC中，AB＝15，AC=13，⾼AD＝12，则△ABC的周长．练习4：如图，将边长为8cm的正⽅形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是______cm．练习5：如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D,AB=5,BC=4,AC=6,求DE的长．【参考答案】练习1：2或3练习2：6或6.5练习3：42或32练习4：16练习5：2。

勾股定理的题型与解题方法一、知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2=c 2） 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

3、满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

二、典型题型题型1、求线段的长度例1、如图，在△ABC 中，∠ACB=90º， CD ⊥AB ，D 为垂足，AC=6cm,BC=8cm. 求① △ABC 的面积； ②斜边AB 的长；③斜边AB 上的高CD 的长。

练习1、等腰三角形的，腰长为25，底边长14，则底边上的高是________，面积是_________。

2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。

3、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为_________。

4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（ ）A 、6厘米；B 、 8厘米；C 、 80/13厘米；D 、 60/13厘米；5、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且斜边为20cm ，求（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长题型2、判断直角三角形例2、如图己知13,12,4,3,====⊥AD CD BC AB BC AB 求四边形ABCD 的面积DABC1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．5，12，13D ．4，6，72. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a :b :c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c) D ． a :b :c =13∶5∶12 3. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A . 等边三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形.4、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。

17。

1勾股定理技巧1利用勾股定理计算线段的长如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3．（1）求DE的长;（2）求AB的长及△ADB的面积．解析：（1)根据角平分线的性质得出CD＝DE,从而DE＝3;(2)首先利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE．∵CD＝3，∴DE＝3．(2）在Rt△ABC中,由勾股定理，得AB＝22＋AC BC＝2268＋＝10，∴△ADB的面积为S△ADB＝12AB DE＝1103152××＝．技巧2利用勾股定理解决折叠问题如图所示，将长方形ABCD沿着BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于点E，若AD＝8．AB＝4．（1）求△BDE的周长；（2）求△BDE的面积．解析：（1)由将长方形ABCD沿BD折叠，知C'D＝CD，∠C＝∠C'，∠1＝∠2,可证BE＝DE,即AE＋BE＝AD．在Rt△ABE和Rt△BCD中,利用勾股定理求出BE，BD的长,进而求出△BDE的周长；(2)由题意，知C'＝90°,即DC'⊥BC’，则S△BDE＝12BD·C'D．解：（l）∵将长方形ABCD沿着BD折叠,∴CD＝C’D，∠C＝∠C'，∠1＝∠2．又∵∠2＝∠3,∴∠1＝∠3．∴BE＝DE．设BE＝DE＝x，则AE＝8－x．在Rt△ABE中,BE2－AE2＝AB2，即x2一(8一x)2＝42，解得x＝5，即BE＝DE＝5．在Rt△BCD中，BD＝22228445＋＝＋＝BC CD，∴△BDE的周长为BE＋DE＋BD＝10＋45．(2）∵∠C'＝90°，∴DC'⊥BC'．∴S△BDE＝12BE·C’D＝12×5×4＝10，即△BDE的面积为10．技巧3利用勾股定理解决最短路径问题如图(1）所示是一个长方体的大箱子,已知它的高为3 m，底面是边长为2 m的正方形．现在点A处有一只壁虎,想沿长方体表面到达点C处,则壁虎爬行的最短路程是多少？(1）（2) （3)解析:首先将长方体展开成平面图形,连接AC，根据两点之间线段最短来解答，然后利用勾股定理求出线段的长度．解：（1)如图(2），将长方体的右表面翻折至前表面，使A，C两点共面，连接AC，则此时线段AC的长度即为此种情况的最短路程．∴AC2＝（2＋2）2＋32＝25．∴AC＝5．(2）如图(3)，将长方体的后表面翻折至上表面，使A，C两点共面,连接AC，则此时线段AC的长度即为此种情况的最短路程．∴AC2＝22＋（2＋3)2＝4＋25＝29．∴AC＝29．∵29＞5，∴壁虎爬行的最短路程是5m．技巧4利用勾股定理求图形的面积如图所示,已知四边形ABCD是正方形，E是正方形内一点,且AE⊥BE．若AE＝6，BE＝8，求图中阴影部分的面积．解析：先利用勾股定理求得正方形ABCD的边长，再根据面积公式求得正方形和直角三角形的面积，最后求出阴影部分的面积．解：∵AE⊥BE,∴∠E＝90°．∵AE＝6，BE＝8，∴AB＝22226810AE BE＋＝＋＝．∴正方形ABCD的面积为AB2＝100．∵S△ABE＝116824 22AE BE＝××＝，∴图中阴影部分的面积为S阴影＝100－24＝76．技巧5利用勾股定理解决非直角三角形中的问题如图(1)所示，已知在△ABC中,∠C＝60°．AB＝14，AC＝10，求BC的长．(1) (2)解析：过点A作AD⊥BC,则出现两个直角三角形：Rt△ACD与Rt△ABD，借助于勾股定理解题即可．解：如图（2）所示，过点A作AD⊥BC，交BC于点D．∵∠C＝60°,AC＝10,∴CD＝5,AD＝53．又∵AB＝14，∴BD＝2214531967511－()＝－＝．∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16．技巧6勾股定理在解决实际问题中的应用如图(1)，由于过度采伐森林和破坏植被,我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城正西方向240 km的点B处，以12 km/h的速度向北偏东600方向移动，距沙尘暴中心150 km的范围均为受影响区域．(1)A城是否会受到这次沙尘暴的影响？为什么？（2）若A城受到这次沙尘暴影响，则遭受影响的时间有多长？(1) (2)解析：（1）过点A向沙尘暴行进的方向作垂线，得到点A到直线BM的距离，将该距离与150 km作比较来判断A城是否会受影响．（2）由于在沙尘暴中心周围150 km的范围内均受影响，故以点A为圆心，以150 km为半径画弧，该弧与沙尘暴所经路线有两个交点，先利用勾股定理求出这两点的距离，再用这个距离除以沙尘暴的速度即可求出A城受影响的时间．解：(1)A城会受到影响,理由如下：如图(2），过点A作AC⊥BM，交BM于点C．∵在Rt△ABC中，∠ABM＝30°，∴AC＝12AB＝12×240＝120(km）．∵120＜150,∴A 城会受到这次沙尘暴的影响．（2）如图(2)，以点A 为圆心，以150 km 为半径画弧，与BM 交于E ，F 两点． 由题意，得CE ＝222215012090AE AC ＋＝＋＝(km ）． ∵AE ＝AF ，∴∠AEF ＝∠AFE ．又∵∠ACE ＝∠ACF ，AC ＝AC ,∴△ACE ≌△ACF （AAS )．∴CE ＝CF ．∴EF ＝2CE ＝2×90＝180（km ）．∴ 180÷12＝15(h ).∴A 城遭受这次沙尘暴影响的时间为15 h ．17.2 勾股定理的逆定理技巧1利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式2220c a b a b －－＋－＝，则△ABC 的形状为___________．解析:∵2220c a b a b －－＋－＝,∴c 2－a 2－b 2＝0，且a －b ＝0．∴c 2＝a 2＋b 2，且a ＝b∴△ABC 为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形．技巧2勾股定理及其逆定理的综合运用如图所示，在四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝2,CD＝2，AD ＝3，且AB ⊥BC ．试说明AC ⊥CD ．解析：先在Rt △ABC 中,利用勾股定理，求出AC 的长，再利用勾股定理的逆定理求得∠ACD ＝90°．解：∵AB ⊥BC ,∴∠B ＝90°．∵AB ＝1，BC ＝2,∴AC 2＝AB 2＋BC 2＝12＋22—5．在△ACD 中，AC 2＋CD 2＝5＋22＝5＋4＝9,AD 2＝32＝9，∴AC 2＋CD 2＝AD 2．∴∠ACD ＝90°，即AC ⊥CD ．技巧3利用勾股定理的逆定理求三角形的面积如图所示，已知D ，E ，F 分别是△ABC 中BC ，AB ，AC 边上的点,且AE ＝AF ,BE ＝BD ，CF ＝CD ，AB ＝4,AC＝3，32BD CD ＝，求△ABC 的面积． 解析:先出BC ,证明△ABC 是直角三角形，即可求出面积．解：∵32BDCD＝,设BD＝3x，则CD＝2x，由AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD,即AF＝3－2x，AE＝4－3x，∴3－2x＝4－3x，解得x＝1,∴BC＝3x＋2x＝5．又∵32＋42＝52，即AC2＋AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°．S△ABC＝11436 22AB AC＝××＝．技巧4利用勾股定理的逆定理解决实际问题如图所示，南北向直线MN为我国领海线，即MN以西为我国领海,以东为公海，上午9：50,我国反走私艇A发现正东方向有一走私艇C以13 n mile/h的速度偷偷向我国领海驶来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B．已知A，C两艇的距离是13 n mile，A，B两艇的距离是5 n mile,反走私艇B测得其离走私艇C的距离是12 n mile．若走私艇C的速度不变,则走私艇C最早会在什么时间进入我国领海？解析：如图所示，设MN交AC于点E，从而确定么BEC＝90°，由已知条件确定∠ABC ＝90°，利用勾股定理求出CE的长,最后由速度公式求出时间．解：如图所示，设MN交AC于点E，则∠BEC＝90°．由题意，得AB2＋BC2＝52＋122＝169＝132＝AC2，故△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°．又∵MN⊥CE,∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，且CE2＋BE2＝BC2＝144，(13－CE）2＋BE2＝AB2＝25，联立解得CE＝144 13．∵14413÷13＝144169≈0。