高中数学 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)全册精品教案 新人教A版必修4

《函数y=Asin(ωxφ)的图像》教学教案第一章：函数y=Asin(ωxφ)的概述1.1 教学目标了解函数y=Asin(ωxφ)的基本概念理解函数y=Asin(ωxφ)的各个参数的含义掌握函数y=Asin(ωxφ)的图像特点1.2 教学内容函数y=Asin(ωxφ)的定义参数A、ω、φ的含义和作用函数y=Asin(ωxφ)的图像特点1.3 教学方法采用讲授法介绍函数y=Asin(ωxφ)的基本概念和参数含义利用图形演示法展示函数y=Asin(ωxφ)的图像特点1.4 教学评估课堂问答：了解学生对函数y=Asin(ωxφ)的理解程度图形绘制：检查学生掌握函数y=Asin(ωxφ)图像特点的能力第二章：参数A的影响2.1 教学目标了解参数A对函数y=Asin(ωxφ)图像的影响掌握参数A的取值范围和对应图像的特点2.2 教学内容参数A对函数图像的影响参数A的取值范围和对应图像的特点2.3 教学方法利用图形演示法展示不同参数A对应的函数图像采用案例分析法分析参数A取不同值时图像的变化规律2.4 教学评估图形绘制：检查学生掌握参数A对函数图像影响的能力课堂问答：了解学生对参数A取值范围和对应图像特点的理解程度第三章：参数ω的影响3.1 教学目标了解参数ω对函数y=Asin(ωxφ)图像的影响掌握参数ω的取值范围和对应图像的特点3.2 教学内容参数ω对函数图像的影响参数ω的取值范围和对应图像的特点3.3 教学方法利用图形演示法展示不同参数ω对应的函数图像采用案例分析法分析参数ω取不同值时图像的变化规律3.4 教学评估图形绘制：检查学生掌握参数ω对函数图像影响的能力课堂问答：了解学生对参数ω取值范围和对应图像特点的理解程度第四章：参数φ的影响4.1 教学目标了解参数φ对函数y=Asin(ωxφ)图像的影响掌握参数φ的取值范围和对应图像的特点4.2 教学内容参数φ对函数图像的影响参数φ的取值范围和对应图像的特点4.3 教学方法利用图形演示法展示不同参数φ对应的函数图像采用案例分析法分析参数φ取不同值时图像的变化规律4.4 教学评估图形绘制：检查学生掌握参数φ对函数图像影响的能力课堂问答：了解学生对参数φ取值范围和对应图像特点的理解程度第五章：综合练习5.1 教学目标巩固学生对函数y=Asin(ωxφ)的理解提高学生对函数图像分析的能力5.2 教学内容综合练习题：分析给定函数图像的参数取值范围5.3 教学方法采用案例分析法引导学生分析给定函数图像的参数取值范围利用图形演示法验证学生答案的正确性5.4 教学评估课堂问答：了解学生对给定函数图像参数取值范围的理解程度图形绘制：检查学生分析给定函数图像参数取值范围的能力第六章：函数y=Asin(ωxφ)的图像与坐标轴的交点6.1 教学目标学习如何确定函数y=Asin(ωxφ)与x轴、y轴的交点。

《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》教案（第二课时—函数的图像变换）课题：《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》教材：人教版／普通高中课程标准试验教科书（必修4）第一章第五节【教学目标】：《新课标》认为：衡量一个人的学习能力、生存能力的高低，不在于他掌握了多少知识，而在于他探索、研究、创造能力的高低。

因此，在数学教育中，培养学生的探究、创新能力和实践操作能力以及合作交流等意识，成为教育的重要价值取向。

在新课标让学生经历“学数学、做数学、用数学”的理念指导下，本节课的教学目标分设为认知目标、能力目标和情感目标．让学生在实际情境中感受数学思想的同时获得数学方法．根据本节课内容和学生的实际，我确定如下教学目标．在新课标让学生经历“学数学、做数学、用数学”的理念指导下，本节课的教学目标分设为知识目标、能力目标和情感目标．让学生在实际情境和自主独立电脑操作中感受数学思想的同时获得数学方法．（1）知识目标①理解三个参数A 、ω、φ对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响；②揭示函数)sin(ϕω+=x A y 的图象与正弦曲线的变换关系。

（2）能力目标①增强学生的作图能力；②通过探究变换过程，使学生了解由简单到复杂，由特殊到一般的认知规律； ③在难点突破环节，培养学生全面分析、抽象、概括的能力。

培养学生的知识、方法迁移能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

（3）情感目标使学生通过多媒体信息技术进行对课堂数学问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；小组交流中，增强学生的合作意识；通过问题过程 ，培养学生的意志，情感，树立科学的人生观、价值观．【教学重点】：由正弦曲线变换得到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象。

【教学难点】：理解三个参数A 、ω、φ对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响。

【教学方法与手段】：采用开放式探究、 启发式引导、互动式讨论以及讲练结合的教学方法，运用多媒体网络教学平台，人手一机，利用flash 、几何画板等软件构建学生自主探究的教学环境，增强课堂教学的生动性与直观性【教学过程】：一、 情景引入 导入课题数学来源于生活，应用于生活；数学跟其它学科紧密联系。

1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象整体设计教学分析本节通过图象变换，揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论，让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.本节课建议充分利用多媒体，倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过图象变换和“五点”作图法，正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，这也是本节课的重点所在.三维目标1.通过学生自主探究，理解φ对y=sin(x+φ)的图象的影响，ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响，A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.2.通过探究图象变换，会用图象变换法画出y=Asin(ωx+φ)图象的简图，并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图.3.通过学生对问题的自主探究，渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学会合作意识，培养学生理解动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观.重点难点教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，掌握函数y=Asin(ωx+φ)图象的简图的作法.教学难点:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如，物体做简谐振动时位移y与时间x的关系，交流电中电流强度y与时间x的关系等，都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象.思路2.(直接导入)从解析式来看，函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从图象上看，函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来，我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.推进新课新知探究提出问题①观察交流电电流随时间变化的图象，它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？ ②分别在y=sinx 和y=sin(x+3π)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点，同时移动这两点并观察其横坐标的变化，你能否从中发现，φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值，作出y=sin(x+φ)的图象，看看与y ＝sinx 的图象是否有类似的关系？ ③请你概括一下如何从正弦曲线出发，经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象.④你能用上述研究问题的方法，讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了作图的方便，先不妨固定为φ=3π，从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+3π). ⑤类似地，你能讨论一下参数A 对y=sin(2x+3π)的图象的影响吗？为了研究方便，不妨令ω=2，φ=3π.此时，可以对A 任取不同的值，利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象，观察它们与y=sin(2x+3π)的图象之间的关系.⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？ 活动:问题①，教师先引导学生阅读课本开头一段，教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+3π)图象上点的坐标和y=sinx 的图象上点的坐标的关系，获得φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程，引导学生观察变化过程中的不变量，得出它们的横坐标总是相差3π的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响，然后再整合.图1问题②，由学生作出φ取不同值时，函数y=sin(x+φ)的图象，并探究它与y=sinx 的图象的关系，看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图象影响的经验.为了研究的方便，不妨先取φ=3π，利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象，如图1，分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A 、B ，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，观察它们横坐标的关系.可以发现，对于同一个y 值，y=sin(x+3π)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx 的图象上对应点的横坐标减去3π.这样的过程可通过多媒体课件，使得图中A 、B 两点动起来(保持纵坐标相等)，在变化过程中观察A 、B 的坐标、x B -x A 、|AB|的变化情况，这说明y=sin(x+3π)的图象，可以看作是把正弦曲线y=sinx 上所有的点向左平移3π个单位长度而得到的，同时多媒体动画演示y=sinx 的图象向左平移3π使之与y=sin(x+3π)的图象重合的过程，以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=4π-，用同样的方法可以得到y=sinx 的图象向右平移4π后与y=sin(x 4π-)的图象重合.如果再变换φ的值，类似的情况将不断出现，这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓. 问题③，引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图象的影响，并概括出一般结论:y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.问题④，教师指导学生独立或小组合作进行探究，教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论，具体过程是:(1)以y=sin(x+3π)为参照，把y=sin(2x+3π)的图象与y=sin(x+3π)的图象作比较，取点A 、B 观察.发现规律:图2如图2，对于同一个y 值，y=sin(2x+3π)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+3π)的图象上对应点的21倍.教学中应当非常认真地对待这个过程，展示多媒体课件，体现伸缩变换过程，引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取ω=21，让学生自己比较y=sin(21x+3π)的图象与y=sin(x+3π)图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动，得出结论:把y=sin(x+3π)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，就得到y=sin(21x+3π)的图象.当取ω为其他值时，观察相应的函数图象与y=sin(x+3π)的图象的关系，得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化，归纳y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间的关系，得出结论:函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到.图3问题⑤，教师点拨学生，探索A 对图象的影响的过程，与探索ω、φ对图象的影响完全一致，鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+3π)的图象和y=sin(2x+3π)的图象之间的关系.如图3，分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A 、B ，沿两条曲线同时移动这两点，并使它们的横坐标保持相同，观察它们纵坐标的关系.可以发现，对于同一个x 值，函数y=3sin(2x+3π)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+3π)的图象上点的纵坐标的3倍.这说明，y=3sin(2x+3π)的图象，可以看作是把y=sin(2x+3π)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到，A 取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究，学生得出一般结论:函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到，从而，函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A ，A]，最大值是A ，最小值是-A.由此我们得到了参数φ、ω、A 对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的图象变化的影响情况.一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的图象，可以看作用下面的方法得到:先画出函数y ＝sinx 的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度，得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的ω1倍，得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍，这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标)，再伸缩纵坐标(或横坐标)，最后平移.但学生很容易在第三步出错，可在图象变换时，对比变换，以引起学生注意，并体会一些细节.由此我们完成了参数φ、ω、A 对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想.讨论结果:①把从函数y=sinx 的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程，分解为先分别考察参数φ、ω、A 对函数图象的影响，然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察. ②略.③图象左右平移，φ影响的是图象与x 轴交点的位置关系. ④纵坐标不变，横坐标伸缩，ω影响了图象的形状. ⑤横坐标不变，纵坐标伸缩，A 影响了图象的形状.⑥可以.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移)，但要注意第三步的平移.y=sinx 的图象)()10()1(横坐标不变倍这原来的或缩短纵坐标伸长A A A −−−−−−−−→−<<>得y=Asinx 的图象)(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长ωωω−−−−−−−−→−><<得y=Asin(ωx)的图象个单位平移或缩短向左||)1()0(ωϕωϕ−−−−−−→−>>得y=Asin(ωx+φ)的图象. 规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx 的图象个单位长度平移或向右向左||)0()0(ϕϕϕ−−−−−−→−<>得y=sin(x+φ)的图象)(1)1()10(纵坐标不变到原来或缩短横坐标伸长ωωω−−−−−−−−→−><<得y=sin(ωx+φ)的图象)()10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长A A A −−−−−−−−→−<<> 得y=Asin(ωx+φ)的图象.先伸缩后平移的步骤程序(见上). 应用示例例1 画出函数y=2sin(31x-6π)的简图. 活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法. (1)引导学生从图象变换的角度来探究，这里的φ＝6π-，ω＝31，A ＝2，鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(31x-6π)的图象的过程:只需把y ＝sinx 的曲线上所有点向右平行移动6π个单位长度，得到y=sin(x-6π)的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y=sin(31x-6π)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(31x-6π)的图象，如图4所示.图4(2)学生完成以上变换后，为了进一步掌握图象的变换规律，教师可引导学生作换个顺序的图象变换，要让学生自己独立完成，仔细体会变化的实质.(3)学生完成以上两种变换后，就得到了两种画函数y=2sin(31x-6π)，简图的方法，教师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(31x-6π)的简图，并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程. 解:方法一:画出函数y=2sin(31x-6π)简图的方法为 y=sinx−−−−→−个单位右移6πy=sin(x-6π)倍横坐标伸长到原来的纵坐标不变3−−−→−y=sin(31x-6π)倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变2−−−→− y=2sin(31x-6π).方法二:画出函数y=2sin(31x-6π)简图的又一方法为y=sinx倍横坐标伸长到原来的纵坐标不变3−−−→−y=sin31x 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变2−−−→−y=2sin31x −−−−→−个单位右移2πy=2sin(31x-6π)=2sin 31(x-2π).方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象) 令X=31x-6π，则x=3(X+6π).列表: X 02π π23π 2πX 2π 2π 27π 5π 213πY2-2描点画图，如图5所示.图5点评:学生独立完成以上探究后，对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换，左右平移变换只对“单个”x 而言，这点是个难点，学生极易出错.对于“五点法”作图，要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换，设X=ωx+φ，再用方程思想由X 取0，2π，π，23π，2π来确定对应的x 值.变式训练1.2007山东威海一模统考，12 要得到函数y=sin(2x+3π)的图象，只需将函数y=sinx 的图象( )A.向左平移3π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.向右平移3π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.向左平移3π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变D.向右平移3π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变答案:C2.2007山东菏泽一模统考，7 要得到函数y=2sin(3x 5π-)的图象，只需将函数y ＝2sin3x 的图象( )A.向左平移5π个单位B.向右平移5π个单位 C.向左平移15π个单位 D.向右平移15π个单位答案:D例2 将y=sinx 的图象怎样变换得到函数y=2sin(2x+4π)+1的图象? 活动:可以用两种图象变换得到.但无论哪种变换都是针对字母x 而言的.由y=sin2x 的图象向左平移8π个单位长度得到的函数图象的解析式是y=sin2(x+8π)而不是y=sin(2x+8π)，把y=sin(x+4π)的图象的横坐标缩小到原来的21，得到的函数图象的解析式是y=sin(2x+4π)，而不是y=sin2(x+4π).解:方法一:①把y=sinx 的图象沿x 轴向左平移4π个单位长度，得y=sin(x+4π)的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的21，得y=sin(2x+4π)的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y=2sin(2x+4π)的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+4π)+1的图象.方法二:①把y=sinx 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y=2sinx 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的21，得y=2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移8π个单位长度，得y=2sin2(x+8π)的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+4π)+1的图象. 点评:三角函数图象变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法，关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响. 变式训练1.将y=sin2x 的图象怎样变换得到函数y=cos(2x-4π)的图象? 解:y=sin2x=cos(2π-2x)=cos(2x-2π). 在y=cos(2x-2π)中以x-a 代x ，有y=cos ［2(x-a)-2π］=cos(2x-2a-2π).根据题意，有2x-2a-2π=2x-4π，得a=-8π.所以将y=sin2x 的图象向左平移8π个单位长度可得到函数y=cos(2x-4π)的图象.2.如何由函数y=3sin(2x+3π)的图象得到函数y=sinx 的图象？方法一:y=3sin(2x+3π)−−−−−−→−倍纵坐标缩短到原来的31y=sin(2x+3π) −−−−−−→−倍横坐标伸长到原来的2y=sin(x+3π)−−−→−3π向右平移y=sinx.方法二:y=3sin(2x+3π)=3sin2(x+6π)−−−→−6π向右平移y=3sin2x−−−−−−→−倍纵坐标缩短到原来的31y=sin2x −−−−−−→−倍横坐标伸长到原来的2y=sinx.3.2007山东高考，4 要得到函数y=sinx 的图象，只需将函数y=cos(x-3π)的图象( ) A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位答案:A知能训练课本本节练习1、2. 解答: 1.如图6.点评:第(1)(2)(3)小题分别研究了参数A 、ω、φ对函数图象的影响，第(4)小题则综合研究了这三个参数对y=Asin(ωx+φ)图象的影响. 2.(1)C;(2)B;(3)C.点评:判定函数y=A 1sin(ω1x+φ1)与y=A 2sin(ω2x+φ2)的图象间的关系.为了降低难度，在A 1与A 2，ω1与ω2，φ1与φ2中，每题只有一对数值不同. 课堂小结1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识，使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+3π)的图象，并分别观察参数φ、ω、A 对函数图象变化的影响，同时通过具体函数的图象的变化，领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想. 作业1.用图象变换的方法在同一坐标系内由y=sinx 的图象画出函数y=21-sin(-2x)的图象. 2.要得到函数y=cos(2x-4π)的图象，只需将函数y=sin2x 的图象通过怎样的变换得到? 3.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx 的关系. 解答:1.∵y=21-sin(-2x)=21sin2x ，作图过程:y=sinx纵坐标不变倍横坐标变为原来的−−−−−−→−21y=sin2x 横坐标不变倍纵坐标变为原来的−−−−−−→−21y=21sin2x. 2.∵y=cos(2x -4π)=sin[2π+(2x-4π)]=sin(2x+4π)=sin2(x+8π)， ∴将曲线y=sin2x 向左平移8π个单位长度即可.3.∵y=cos2x+1，∴将余弦曲线y=cosx 上各点的横坐标缩短到原来的21倍，再将所得曲线上所有的点向上平移1个单位长度，即可得到曲线y=cos2x+1.设计感想1.本节图象较多，学生活动量大，因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具，从整体上探究参数φ、ω、A 对函数y=Asin(ωx+φ)图象整体变化的影响.这符合新课标精神，符合教育课改新理念.现代教育要求学生在富有的学习动机下主动学习，合作探究，教师仅是学生主动学习的激发者和引导者.2.对于函数y=sinx 的图象与函数y=Asin(ωx+φ)的图象间的变换，由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别，直接会对图象平移量产生影响，这点也是学习三角函数图象变换的难点所在，设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同. 3.学习过程是一个认知过程，学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量.如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构，外部的变量就不能发挥它们的作用，但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习.(设计者:张云全)第2课时导入新课思路1.(直接导入)上一节课中，我们分别探索了参数φ、ω、A 对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，φ≠0)的图象变换及其物理背景.由此展开新课.思路2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(21x-3π)的简图，学生动手画图，教师适时的点拨、纠正，并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题①在上节课的学习中，用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，列表中最关键的步骤是什么？②(1)把函数y ＝sin2x 的图象向_____平移_____个单位长度得到函数y ＝sin(2x －3π)的图象；(2)把函数y ＝sin3x 的图象向_______平移_______个单位长度得到函数y ＝sin(3x ＋6π)的图象；(3)如何由函数y ＝sinx 的图象通过变换得到函数y ＝sin(2x+3π)的图象？③将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2π个单位长度，所得到的曲线是y=21sinx 的图象，试求函数y=f(x)的解析式.对这个问题的求解现给出以下三种解法，请说出甲、乙、丙各自解法的正误.(多媒体出示各自解法)甲生:所给问题即是将y=21sinx 的图象先向右平移2π个单位长度，得到y=21sin(x-2π)的图象，再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21，得到y=21sin(2x-2π)，即y=21-cos2x 的图象，∴f(x)=21-cos2x.乙生:设f(x)=Asin(ωx+φ)，将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y=Asin(2ωx+φ)的图象，再将所得的图象向左平移2π个单位长度，得到y=Asin(2ωx+2π+φ)=21sinx ，∴A=21，2ω=1，2π+φ=0，即A=21，ω=2，φ=-2π.∴f(x)=21sin(2x-2π)=21-cos2x.丙生:设f(x)=Asin(ωx+φ)，将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y=Asin(2ωx+φ)的图象，再将所得的图象向左平移2π个单位长度，得到y=Asin[2ω(x+2π)+φ]=Asin(2ωx+4ωπ+φ)= 21sinx ， ∴A=21，2ω=1，4ωπ+φ=0. 解得A=21，ω=2，φ=-2π， ∴f(x)=21sin(2x-2π)=21-cos2x. 活动:问题①，复习巩固已学三种基本变换，同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A 、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”，既复习了旧知识，又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障.问题②，让学生通过实例综合以上两种变换，再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因，以此培养训练学生变换的逆向思维能力，训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力.问题③，甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”，即将以上变换倒过来，由y=21sinx 变换到y=f(x)，解答正确.乙、丙两名同学都是采用代换法，即设y=Asin(ωx+φ)，然后按题设中的变换得到两次变换后图象的函数解析式，这种思路清晰，但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误，就是将y=Asin(2ωx+φ)的图象向左平移2π个单位长度时，把y=Asin(2ωx+φ)函数中的自变量x 变成x+2π，应该变换成y=Asin[2ω(x+2π)+φ]，而不是变换成y=Asin(2ωx+2π+φ)，虽然结果一样，但这是巧合，丙同学的解答是正确的. 三角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序，比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错，故在对这种方法不是很熟练的情况下，用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x 而言的，比如乙同学的变换就出现了这种错误.讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体，令其分别为0，2π，π， 23π，2π. ②(1)右， 6π；(2)左， 18π；(3)先y ＝sinx 的图象左移3π，再把所有点的横坐标压缩到原来的21倍(纵坐标不变). ③略.提出问题①回忆物理中简谐运动的相关内容，并阅读本章开头的简谐运动的图象，你能说出简谐运动的函数关系吗？②回忆物理中简谐运动的相关内容，回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A 、ω、φ有何关系.活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究，建立与物理知识的联系，了解常数A 、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系，得出本章开头提到的“简谐运动的图象”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，其中A>0，ω>0.物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=ωπ2，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f=T 1=πω2给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.讨论结果:①y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，其中A>0，ω>0.②略.应用示例例1 图7是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题:(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动?如从A 点算起呢?(3)写出这个简谐运动的函数表达式.图7活动:本例是根据简谐运动的图象求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识，并提醒学生注意本课开始时探讨的知识，思考y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A 在图象上是怎样反映的，要解决这个问题，关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A 等参数在图象上是如何得到反映的.让学生明确解题思路，是由形到数地解决问题，学会数形结合地处理问题.完成解题后，教师引导学生进行反思学习过程，概括出研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象的思想方法，找两名学生阐述思想方法，教师作点评、补充. 解:(1)从图象上可以看到，这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为45. (2)如果从O 点算起，到曲线上的D 点，表示完成了一次往复运动;如果从A 点算起，则到曲线上的E 点，表示完成了一次往复运动.(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，那么A=2;由ωπ2=0.8，得ω=25π;由图象知初相φ=0. 于是所求函数表达式是y=2sin 25πx ，x∈［0，+∞). 点评:本例的实质是由函数图象求函数解析式，要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法，应让学生熟练地掌握这种方法.变式训练函数y=6sin(41x-6π)的振幅是，周期是____________，频率是____________，初相是___________，图象最高点的坐标是_______________.解:6 8π π81 6π- (8k π+38π，6)(k∈Z )例 2 若函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0，ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(12π，3)和一个最低点(12π，-5)，求这个函数的解析式. 活动:让学生自主探究题目中给出的条件，本例中给出的实际上是一个图象，它的解析式为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0，ω>0)，这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与y=Asin(ωx+φ)的图象的关系，它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的图象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|个单位.由图象可知，取最大值与最小值时相应的x 的值之差的绝对值只是半个周期.这里φ的确定学生会感到困难，因为题目中毕竟没有直接给出图象，不像例1那样能明显地看出来，应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|<π，如不注明，就取离y 轴最近的一个即可.解:由已知条件，知y max =3，y min =-5，则A=21(y max -y min )=4，B=21 (y max +y min )=-1，2T =127π-12π=2π. ∴T=π，得ω=2.故有y=4sin(2x+φ)-1.由于点(12π，3)在函数的图象上，故有3=4sin(2×12π+φ)-1， 即sin(6π+φ)=1.一般要求|φ|<2π，故取6π+φ=2π.∴φ=3π. 故所求函数的解析式为y=4sin(2x+3π)-1. 点拨:这是数形结合的又一典型应用，应让学生明了，题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图，结合图象可直接求得A 、ω，进而求得初相φ，但要注意初相φ的确定.求初相也是这节课的一个难点.变式训练已知函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)一个周期的图象如图8所示，求函数的解析式.解:根据“五点法”的作图规律，认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点，而选择对应的方程ωx i +φ=0，2π，π，23π，2π(i=1，2，3，4，5)，得出φ的值. 方法一:由图知A=2，T=3π，由ωπ2=3π，得ω=32，∴y=2sin(32x+φ). 由“五点法”知，第一个零点为(43π，0)， ∴32·43π+φφ=-2π， 故y=2sin(32x-2π).。

《1.5 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象》教学设计1.教材分析本节课是新人教版A 必修4 第一章第五节《函数)sin(ϕω+=x A y 的图象》，它包含两部分内容：三角函数的变换和三角函数的图像两部分。

是体现数形结合思想方法的重要章节，是历年高考和水平考试考查频度较高的知识点。

2.三维目标知识与技能目标：借助计算机画出函数)sin(ϕω+=x A y 的图象，并观察参数A ,,ωϕ对函数图象变化的影响，同时结合函数图象的变化，领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想; 结合实例，了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义。

过程与方法目标：采取小组合作学习的方式，让学生通过经历数学实验，相互讨论，相互启发，观察、发现、归纳、总结图象变换的规律性，了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义情感、态度与价值观目标：增加学生合作学习交流的机会.让学生积极参与相互讨论，相互启发，观察、发现、归纳、总结的数学活动中，感受与他人合作的重要性.3.教学重、难点重点：将考察参数A ,,ωϕ对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响的问题进行分解，从而学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法;难点：ω对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响规律的概括。

4.教学基本流程探索A 对x A y sin =的图象的影响⇒探索ω对x y ωsin =的图象的影响⇒探索ϕ对)sin(ϕ+=x y 的图象的影响⇒探索由x y sin =的图象变换得到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的方法 ⇒简谐运动的振幅、周期、频率、相位、初相与ϕω,,A 的关系。

5.教学环节设计6.资源应用与整合①教材资源，教材是我们教学的蓝本，新课程理念是“用教材教，而不是教教材”，合理改编有利于教学活动的实施。

②软件资源：几何画板能准确刻画函数的几何性质，让抽象的数学内容形象化。

对参数赋值，观察具体图象的特点，获得对变化规律的具体认识，然后对让参数“动起来”，让课堂更加生动。

1.5函数sin()y A x ωϕ=+的图象教案（第1课时）恩施市第一中学 袁龙艳一、 学习目标 （一）知识与技能1、 了解,ϕω对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响；2、 掌握简单的三角函数图象的平移与伸缩变换。

(二)过程与方法阅读自学、 观察发现、合作探究、交流展示。

（三）情感态度与价值观1、通过本节课的学习，体验研究数学问题的基本关系，从具体到抽象，从特殊到一般的数学思想；2、学会用运动变化的观点看待数学问题之间的内在联系。

二、学习重难点1、重点：用参数思想讨论函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的变换过程；2、难点：图象变换与函数解析式变换的内在联系的认识。

三 、教学过程（一）情景创设来到新洲一中这么宽敞明亮的教室和这么优秀的同学们共同学习一节课，老师倍感荣幸，如教室突然没有电了，这可是件很遗憾的事情。

同学们能告诉我教室的电是交流电还是直流电？你们知道这者之间的区别吗？交流电的电流y 会随时间x 的变化而变化，我们可以用sin()y A x ωϕ=+来描述这两者之间的关系。

物理中的简谐运动偏离平衡位置的距离y 和时间x 的关系也可以用这个函数模型来刻画，这个函数模型在现实生活中有着广泛的应用。

在一次物理实验中我们得到了一张交流电的电流y 随时间x 变化的图象。

设计意图:引起同学们的好奇，让同学们对这节课充满期待中自然就过度到我们这节课的主题去了。

（二）课前独学交流展示第一学习时间 ：独学（课前预习完成）请同学们先阅读课本P49—P51页第6行，然后利用五点法作图画出函数sin()3y x π=+sin()3y x π=-和在一个周期上的简图。

观察图象，并回答后面的问题。

1、观察图1，回答下列问题（1）.sin()3sin y x y x π=+=将函数的图象上每一个点向平移个单位，可得到函数的图象（2）sin()3sin y x y x π=-=将函数的图象上每一个点向平移个单位，可得到函数的图象;设计意图：让同学们去充分的阅读课本，同学们利用五点法画图的过程中加深了对三角函数图象的认识，通过图象直观的反应出了这三个特殊函数之间的位置关系，然后通过后面设置的两个简单问题督促学生去总结思考问题。

江苏省新沂市高中数学第一章三角函数1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（2）教案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省新沂市高中数学第一章三角函数1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（2）教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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1.3。

3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ）的图象(2） 教学目标：1．理解φ，ω，A 对函数y ＝A s in （ωx ＋φ）的图象的影响；2．能够将y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ）的图象；3．进一步体会数形结合、化归的思想方法．重点难点:用参数思想分层次、逐步讨论字母φ,ω，A 变化时对函数图象的形状和位置的影响,掌握函数y ＝A sin （ωx ＋φ)图象的简图的作法．课 型 新授课 课堂教学模式 小组合作学习 教学过程： 一、自主学习上一节课我们已经学习了函数图象的周期变换和振幅变换（1）周期变换：x y sin =图象 y =sin x 图象．（2)振幅变换： x y sin =图象 y =A sin x 图象．那么函数sin()y x ϕ=+的图象与函数sin y x =的图象的关系呢?二、小组讨论探究1作y ＝sin(x ＋3π).y ＝sin(x －4π)的图象并与y ＝sin x 图象比较．探究2 函数y ＝sin2x 与y ＝sin(32π-x ）图象之间的关系三、交流展示小结:一般地，函数y ＝sin(x ＋ϕ) (其中ϕ≠0）的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向_____（当ϕ＞0时)或向____(当ϕ＜0时)平移_______个单位而得到（“左加”、“右减”)合作学习记录横坐标变为原来的ω1（纵坐标不变)纵坐标变为原来的A 倍（横坐标y ＝sin(x ＋ϕ）与y ＝sin x 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，ϕ决定了函数的相位,这一变换称为相位变换．小结: 一般地,函数y ＝sin(ωx ＋φ) (其中w ＞0，ϕ≠0)的图象，可以看作把y ＝sin(wx ）上所有点向_____(当ϕ＞0时）或向____ (当ϕ＜0时)平移_______个单位而得到(“左加"、“右减”）．四、数学应用例1 作出函数)32sin(3π-=x y 的简图．分析：法1 五点法作图；法2 图象变换由正弦函数图象来变换得到．例2 已知电流I 与时间t 的关系式为I ＝A sin （ωt ＋φ)．（1）下图是I ＝A sin (ωt ＋φ)(ω＞0，π||2ϕ<）在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin （ωt ＋φ）的解析式;(2）如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin （ωt＋φ）都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解 （1）300sin(150)6I t ππ=+．(2）最小正整数ω＝943．五、检测反馈练习 写出由y ＝sin x 到)321sin(π-=x y 的图象的变换过程．六、概括小结本课时学习收获(学生课后回顾记录）：存在疑问：。

1.5正弦型函数y=A sin(ωx+φ) 的图象学习目的：1、理解振幅、周期、频率、初相的定义；2、理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律;3、会用“五点法”画出y=A sin(ωx+φ)的简图，明确A、ω和φ对函数图象的影响作用；4、培养学生数形结合的能力。

5、培养学生发现问题、研究问题的能力，以及探究、创新的能力。

学习重点：熟练地对y＝sin x进行振幅、周期和相位变换。

学习难点：理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律。

学习方法：引导学生结合作图过程理解振幅和相位变化的规律。

本节课采用作图、观察、归纳、启发探究相结合的学习方法，运用现代化多媒体学习手段，进行学习活动，首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数，数形结合，通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，形成规律，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数图象变换全面的体验和理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪作图：利用这类函数的周期性，我们把上面的简图向左、向右连续平移⋅⋅⋅ππ4,2就可以得出y ＝2sin x ，x ∈R ，及y ＝21sin x ，x ∈R的简图 (1)y ＝2sin x ，x ∈R 的值域是［－2，2］ 图象可看作把y ＝sin x ，x ∈R 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变) (2)y ＝21sin x ，x ∈R 的值域是［－21，21］ 图象可看作把y ＝sin x ，x ∈R 上所有点的纵坐标缩短到原来的21倍而得(横坐标不变)一般地，函数x A y sin =的值域是[],,A A -最大值是A ，最小值是A -，由此可知，A 的大小，反映曲线xA y sin =波动幅度的大小。

因此A 也称为振幅。

引导,观察,启发：与y =sin x 的图象作比较，结论： 1.y =A sin x ，x ∈R(A >0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长φω+x 称为相位；0=x 时的相位φ称为初相。