MSDC.初中数学.实数与二次根式A级.第02讲.学生版

板块一：一元二次方程的整数根问题☞有理数根问题方程20ax bx c ++=（0a ≠，a 、b 、c【例1】 已知关于x 的一元二次方程22131(1)0444x mx k m k k +-+--+=有有理根，求k 的值。

☞整数根问题例题精讲中考要求一元二次方程整数根问题及应用【例2】 已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．【巩固】一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程2(2)40x m x m -++=，试求m 的值及此直角三角形的三边长【巩固】已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例3】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【巩固】若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．【例4】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【巩固】已知关于x的方程2(6)0x a x a+-+=的两根都是整数，求a的值．【例5】当m为何整数时，方程222525x mx m-+=有整数解．板块二：一元二次方程的应用【例6】两个农妇一共带100个鸡蛋上市场，两人带蛋数不同，但是卖得钱数一样，于是，第一个农妇对第二个说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板。

”第二个农妇答道：“但是你的鸡蛋如果换给我，我就只能卖得263个铜板。

”试问，这两个农妇各有多少个鸡蛋？【例7】一个六位自然数，把它的左端的第一个数字移到它的右端所得到的新的六位数是原六位数的3倍，求原六位数【例8】 现有男、女工1100人，其中全体男工和全体女工可用同样的天数完成同样的工作，若将男工人和女工人数对调一下，则全体男工25天能完成的工作，让全体女工去做需36天才能完成，问男、女工各有多少人？【例9】 某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A 度，那么这个月这户居民只需交10元电费，如果第一个月的用电量超过A 度，则这个月除了仍要交10元电费外，超过部分还要按每度100A元缴费⑴该厂某户居民2月份用电90度，超过规定的A 度，则超过部分应交电费________元（用A 表示）【例10】 甲、乙两人分别从A 、B 两地到C 地，甲从A 地到C 地需3个小时，乙从B 地到C 地需2小时40分。

1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；2.能进行实数的运算3.(0)a ≥(0)a ≥是一个非负数；2a =(0)a ≥a (0)a ≥•及其运用．4.二次根式乘除法的规定及其运用．5.二次根式的加减运算．模块一 实数的概念及分类1．实数的概念例题精讲中考要求重难点实数与二次根式的基本概念实数：有理数和无理数的统称． 2．实数的分类0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意：（1）实数还可按正数，零，负数分类．（2）整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n （n 为整数)表示；奇数一般用2n 1- 或2n 1+（n 为整数）表示． （3）正数和零常称为非负数．（4）带根号的数不一定是无理数，如9．【例1】 下列实数317，π-，3.1415921中无理数有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【巩固】有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示． 其中正确的说法的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ．4模块二 数轴、相反数、倒数、绝对值数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫数轴. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.（1）实数a 的相反数是a -.（2）实数a 和b 互为相反数，则a+b =0.（3）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数. 倒数等于它本身的数是±1.（1）实数a (a ≠0)的倒数是1a.（2）a 和b 互为倒数，则ab =1. 绝对值：（1）绝对值的含义与性质：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）几何意义：实数的绝对值是一个非负数，在数轴上，表示数的点到原点的距离.注意：实数和数轴上的点一一对应，平面直角坐标系内的点与一对有序实数一一对应，对二者要加以区分，不能混淆.【例2】 若直径为2个单位长度的圆上的点A 点B ，则B 点表示的实数是（ ）A 2πB ．4πC 2πD 4π【例3】 2的相反数是 ．【例4】的倒数是 ．【例5】 2的绝对值是 ．【巩固】的相反数是 ；倒数是 ；绝对值是 ．模块三 实数的大小比较1 利用数轴比较大小因为数轴上右边的点表示的数，总是比左边的点表示的数大，所以负数小于0，0小于正数，负数小于正数.2 利用绝对值比较大小两个正数比较大小，绝对值大的较大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 3 利用作差法比较大小设a 、b 是任意两实数，若0a b ->,则a b >;若0a b -=,则a b =;若0a b -<,则a b <. 4 利用作商法比较大小设a 、b 是任意两同号实数，当a ，b 都为负数时，若1a b >,则a b <；若1ab<,则a b >.【例6】 如果a b a b -= ．）A ．在4.5和5.0之间B ．在5.0和5.5之间C ．在5.5和6.0之间D ．在6.0和6.5之间【巩固】已知a b ，为两个连续整数，且a b <，则a b +=_______．【例7】 若01b <<则2b ，b 1b这四个数有下列关系（ ）A. 2b <b <<1bB. 2b <<1b<bC.1b<<b <2b D. <1b<2b <b【巩固】15三个数的大小关系是（ ）A. <15<B. <15<C. <<15D.<<15模块四 实数的运算1.运算律加法交换律 a+b=b+a加法结合律 ()()a b c a b c ++=++ 乘法交换律 ab=ba 乘法结合律 ()()ab c a bc = 分配律 a （b+c ）=ab+ac注意：关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立.2. 混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的.【例8】 化简：（1）21 （2）34（3）12011-+++【例9】 已知等腰三角形一边长为a ，一边长b ，且22(2)90a b b -+-=．求它的周长．模块五 近似数、有效数字和科学记数法1. 近似数：将一个数四舍五入所得到的数．2. 有效数字：一个近似数从左边第一个不是零的数字起，到精确的数位为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．3. 科学记数法：把一个数表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<,n 为整数．注意：用科学计数法表示的数10n a ⨯，其有效数字只与a 有关，就是a 的有效数字；精确度却和a 、10n有关，是a 的精确度乘10n 所得的结果.如54.3010⨯有三个有效数字，分别是4,3,0；4.30精确到0.01，60.011010000⨯=，故54.3010⨯精确到千位.【例10】 我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人，将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（ ） A ．766.610⨯ B ．80.66610⨯ C ．86.6610⨯D ．76.6610⨯【例11】 指出下列各近似值精确到哪一位：（1）56.3；（2）5.630；（3） 65.6310⨯；（4） 5.630万【例12】 指出下列近似数有几个有效数字：（1）0.319；（2）0.0170；（3） 4.46万；（4） 85.2910⨯模块六 平方根、算术平方根、立方根平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，记作有平方根，0的平方根是0.算术平方根：正数a 的算术平方根为0.立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.注意：（1）当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． （2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2a =；②不管a (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩（3）若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，它的算术平方根也之间，即：0≤算术平方根的大致范围．【例13】 ）A ．81B ．3±C ．3D ．3-【例14】 若24m -与31m -是同一个正数的平方根，则m 为（ ）A ．3-B ．1C ．-1D ．3-或12=，则(25)x +的平方根是 ；若5=，则x = .【例15】 一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）．A ．1a +B ． 21a +C ． 22a + D【巩固】设a a 的值是 ．【例16】 1.22 _____.【例17】 已知2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，求22a b +的算数平方根．【巩固】已知A =是3n m -+的算术平方根，2m B -=7m n +的立方根，求B +A 的平方根．a ，2yb =(0y <)8(4b a >)18=，求xy 的值.【例18】 若11a b ++=，求23a b c +-的值．【例19】 已b ，求4321237620b b b b +++-．模块七 二次根式的基本概念及化简一、二次根式概念0a ≥）的式子叫做二次根式．二次根式的基本性质：0（0a ≥）双重非负性；⑵2a =（0a ≥）； (0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩【例20】 设y =y 有意义的x 的取值范围.【巩固】当x 时，．【例21】x y z +的值是多少？【巩固】若m m 的值.【例22】化112a≤≤）【巩固】设012x y<<<<二、二次根式的乘除最简二次根式：a≥）中的a称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．a≥，0b≥）=0a≥，0b>）利用这两个法则时注意a、b a、b都非负，否则不成立，【例23】已知0xy>，化简二次根式）A B C．D．【巩固】化简二次根式的结果是．【例24】）A．1111n n+++B．1111n n-++C．1111n n+-+D．1111n n--+22010的结果是．【例25】 计算（1）02321(3)()(1)2π------ （2）（3）2(4+ （4）22⨯同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．【例26】 若最简根式2m -m ＝ ，n ＝ ．.【例27】的整数解有 组.【例28】当m =2422m m m +--的值是 ．【练习1】若4m =，则估计m 的取值范围 ．【练习2】阅读下面数学领域的滑稽短剧,你觉得结果2=3荒谬吗?找出它们错误的根源吗?第一幕：410915-=-第二幕：等式两边同时加164，1410691564-+=-+14第三幕：上式变形，得22225555222()323()2222-⨯⨯+=-⨯⨯+第四幕：利用2222()a ab b a b -+=-，得到：2255(2)(3)22-=-课堂检测第五幕：两边开平方，得55 2322 -=-第六幕：两边加上52，得到等式23=！【练习3】b，求a，b的值.【练习4】阅读下列解题过程：（1===（2==请回答下列问题：（1）观察上面解题过程,__________________．（2）利用上面所提供的解法，请化简：2010+．【练习5】当n是一个整数．1.通过本堂课你学会了．2.掌握的不太好的部分．3.老师点评：①．②．③．1.把根号外的因式移到根号内得（）AB．C．D总结复习课后作业2.已知整数x 、y x ，y ）的个数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 33.设a b ，都是实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=，那么化简b a c -为（ ）A ．2c b -B ．22b a -C ．b - D.b4.设a 、b 0a ，求222a b -++的值5.化简下列各式（10x >，0y >） （2（0a >，0b >）6.请你观察、思考下列计算过程2211121,11;11112321,111;===．7.计算：。

内容 基本要求略高要求较高要求勾股定理及其逆定理 已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理及逆定理判定三角形是否为直角三角形1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。

CAB cba2．勾股定理的证明：（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()22222142.ABCD S a b c aba b c =+=+⨯∴+=正方形DCB A（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：中考要求例题精讲勾股定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

4．勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

模块一 勾股定理的逆定理【例1】 如果三角形的三边长a b c 、、满足222a b c +=，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．【例2】 分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)【例3】 下列线段不能组成直角三角形的是( )．A ．a ＝6，b ＝8，c ＝10B ．3,2,1===c b aC ．43,1,45===c b a D ．6,3,2===c b a【巩固】在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，则该三角形为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【巩固】下列由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）A．=345a b c==，，B．45 133a b c===，，C．91215a b c===，，D．325a b c===，，【例4】已知ABC△的三边长分别为5，13，12，则ABC△的面积为（）A．30 B．60 C．78 D．不能确定【巩固】如图，已知正方形ABED与正方形BCFE，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（）A．10 B．12 C．14 D．16FECBDA【例5】在ABC△中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，①若a2＋b2＞c2，则∠c为____________；②若a2＋b2＝c2，则∠c为____________；③若a2＋b2＜c2，则∠c为____________．【例6】若ABC△中，()()2b a b a c-+=，则B∠=____________；【例7】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC△是______三角形．【例8】下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．A．1∶1∶2 B．1∶3∶4C．9∶25∶26 D．25∶144∶169【例9】已知三角形的三边长为n、n＋1、m(其中m2＝2n＋1)，则此三角形( )．A ．一定是等边三角形B ．一定是等腰三角形C ．一定是直角三角形D ．形状无法确定【例10】 若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以22a a a -+、、为边的三角形的面积为______．【例11】 ABC △的两边a b ，分别为512，，另一边c 为奇数，且a b c ++是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．【例12】 如图，ABC △中，90C ∠=︒，330AC B =∠=︒，，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（ ） A ．3.5 B ．4.2 C ．5.8 D ．7P BC A【巩固】在ABC △中，∠A ：∠B ：∠C =l ：2：3，CD ⊥AB 于点D ．若BC =2，则AD 等于A ．1 BC ．3 D．【例13】 如图，在△ABC 中，已知AB =AC =2a ，∠ABC =15°，CD 是腰AB 上的高，求CD 的长．DCBA【巩固】如图，在Rt ABC △中，已知，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，AB 边的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，且13BD =，则AC 的长是 ．EDBCA【例14】 如图所示，已知∠1=∠2，AD =BD =4，CE ⊥AD ，2CE =AC ，那么CD 的长是（ ）21EBDCA【例15】 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．D CBA【巩固】如图所示，在ABC △中，::3:4:5AB BC CA =，且周长为36，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，BPQ △的面积为（ ）2cm ．Q【例16】 如图，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，9435AC BC DB ===，，． （1）求CD AD ，的值；（2）判断ABC △的形状，并说明理由．ABDC【例17】 已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．【例18】如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°，求∠DAB 的度数．DAB【例19】如图，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD．（1）试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并说明你的结论；（2）若AC=5，BD=12，求CE的长．DCABE【巩固】如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．CADB 【例20】阅读理解题：（1）如图所示，在ABC△中，AD是BC边上的中线，且12 AD BC=．求证：90BAC∠=︒（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为13+，求这个三角形的面积．D CBA【例21】已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝CB41，求证：AF⊥FE．【例22】已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；BCDNAM MA NDCB【例23】在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?。

内容 基本要求略高要求较高要求平方根、算术平方根了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算求某些非负数的平方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根 会用立方根运算求某些数的立方根实数 了解实数的概念会进行简单的实数运算二次根式及其性质了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件会运用二次根式的性质进行化简，能根据二次根式的性质对代数式做简单变型，在给定条件下，确定字母的值二次根式的化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；2.能进行实数的运算3.二次根式a (0)a ≥的内涵，a (0)a ≥是一个非负数；2()a a =(0)a ≥；2a a =(0)a ≥•及其运用．4.二次根式乘除法的规定及其运用．5.二次根式的加减运算．自学成才的数学巨匠──华罗庚中考要求重难点课前预习实数与二次根式1910年11月12日，华罗庚出生在江苏金坛县一个贫苦家庭．由于家境贫寒，华罗庚初中毕业就失学了．后来，华罗庚进入中华职业中学，但由于交不起学费，一年后，他被迫再次辍学．在伤心和无奈中，华罗庚回到父亲的小杂货店里，帮助料理店务．面对逆境，华罗庚没有灰心，不能在课堂上学习，他就坚持自学．在华罗庚的柜台上，常常一边放着算盘，一边摆着借来的仅有的三本数学书，一本《大代数》，一本《解析几何》，还有一本薄薄的只有50页的《微积分》．华罗庚沉浸在玄秘奥妙的数学王国之中，以致有时顾客来买东西，他常常答非所问，这让父亲非常生气．华罗庚家乡有一所中学，校长王维克是个很有学问的人，他很喜欢聪明好学的华罗庚，决定聘请华罗庚到学校工作——会计兼事务．华罗庚利用这个难得的机遇和环境，如饥似渴地埋头钻研．一次，华罗庚在一本名叫《学艺》的杂志上读到一篇《代数的五次方程式之解法》的文章，惊讶得差点叫出声来：“这篇文章写错了!”于是，这个只有初中文化程度的青年，居然写出了批评大学教授的文章：《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》，投寄给上海《科学》杂志．天才往往也需要另一个杰出者的发现和提携，华罗庚的论文发表后，立即引起清华大学数学系主任熊庆来教授的注意．这位数学界前辈以他敏锐的洞察力和准确的判断力认为：华罗庚将是中国数学领域的一颗希望之星!当熊庆来得知华罗庚竟是小镇上一名失学青年时，大为震惊!他爱才心切，想方设法把华罗庚调到了清华大学当助理员．进入这所蜚声海内外的高等学府，华罗庚如鱼得水．他一边工作，一边学习、旁听，熊庆来教授还亲自指导他学习数学．命运再一次对这位自强不息的年轻人给予了应有的青睐．在清华大学的四年中，华罗庚在数论方面接连发表了十几篇论文，并自学了英文、德文、法文，最后被讲究学历的清华大学破格提为讲师、教授．1936年，经熊庆来教授推荐，华罗庚前往英国剑桥大学留学．由于没有“正规”学历，华罗庚在剑桥只有当旁听生的资格，然而这一切对华罗庚都不再重要，两年的时间里，华罗庚写出了《论高斯的完整三角合估计的问题》等十几篇论文，真知灼见的光芒使英国人为之倾倒．华罗庚关于“塔内问题”的论文，被誉为“华氏定理”．正当华罗庚在剑桥大学的书斋里潜心钻研时，国内风云突变——抗日战争爆发了．华罗庚得知祖国正处于危难之中时，毅然决定回国．从1940年起，华罗庚在极其艰苦的条件下，花费了整整三年时间，节衣缩食，倾注心血完成了皇皇巨著《堆垒素数论》．1946年秋天，华罗庚应普林斯顿大学的邀请前往美国．美国对这位才华横溢的中国数学家表现出极大的热情和尊重，华罗庚一到美国即被伊利诺大学高薪聘为终身教授，另外还配有一套宽敞舒适的住房，四位助手和一名打字员．新中国成立后，华罗庚谢绝了伊利诺大学的一再挽留，决心回国工作．回国后，华罗庚执教于清华大学数学系，同时积极筹备建立中国科学院数学研究所．建所之初，华罗庚在全国各地广泛网罗人才，工作生气勃勃，进展迅速，先后成立了数论、微分方程、代数、拓扑、数理逻辑、理论物理、计算机设计等科研组．他还特别重视对青年数学家的培养，当时厦门大学的陈景润就是他力主调到数学所来的．1958年以后，华罗庚开始从事应用数学的研究工作，特别是把数论方法应用于高维数值积分．从1965年开始，他又将主要精力放在数学方法在工业上的普及与应用方面．根据中国工业实际水平，他到各地去推广“优选法”和“统筹法”，先后完成了11本科普著作．他与助手走遍了20多个省、市、自治区，向工人宣讲“双法”，提高了产品的质量和数量．华罗庚一生共发表论文约200篇、专著10部．他的研究领域遍及数论、代数、矩阵几何、典型群、多复变函数论、调和分析与应用数学，等等．华罗庚以他非凡的才智和强烈的使命感，长期领导着中国数学的研究、教学、应用和普及工作．华罗庚在科学领域的卓越成就获得了世界的认可，赢得了众多的殊荣．国外数学报这样评论道：“华罗庚教授的研究范围之广，足以使他堪称为世界上名列前茅的数学家之一．”1984年，华罗庚的名字进入美国华盛顿斯密司——宋尼博物馆，被列为芝加哥科学技术博物馆中当今88位伟大数学家之一． 1985年6月12日下午，华罗庚因心肌梗塞倒在了日本东京大学的讲坛上．他用自己的行动实现了“最大的希望就是工作到生命的最后一刻”的誓言．模块一 实数的概念及其分类1．实数的概念实数：有理数和无理数的统称． 2．实数的分类0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数【例1】 有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示． 其中错误的说法的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【例2】 53--的相反数是 ；倒数是 ；绝对值是 ．模块二 平方根、算术平方根、立方根平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，记作a ±，正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0．算术平方根：正数a 的正平方根，记作a ；0的算术平方根为0．例题精讲立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a有一个负的立方根，0的立方根是0．【例3】 设a a 的值是 ．【例4】 已知2a -的平方根是3±，27a b ++的立方根是2，求a b +的算数平方根．模块三 二次根式的基本概念及化简二次根式概念0a ≥）的式子叫做二次根式．二次根式的基本性质：（10（0a ≥）双重非负性；（22a =（0a ≥）；（3 (0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.【例5】 已知a ）A ．aB ． a -C ．1-D ．0【例6】 若 ab 0≠，则等式成立的条件是 ．【例7】 如果式子2)1(2-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是（ ） A ．1x ≤ B ．2x ≥ C ．12x ≤≤ D ．0x >【巩固】当x 时，．【巩固】如果式子(1a - 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A B C ． D ．【例8】 化简：（11x-其中12x <<（2b a -模块四 二次根式的运算(0)a ≥叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础．（1）((0)a b c ±≥ ；（20,0)a b ≥≥；（3=(0,0)a b ≥>（4）2(0)a =≥ ．同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等．【例9】 已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ．【例10】 ，所得的结果为（ ） A ．1111n n +++ B ． 1111n n -++ C ．1111n n +-+ D ．1111n n --+【例11】 计算：（1 （2（3++L（4模块五 化简求值【例12】 已知152a b c +--，求a b c ++的值．【例13】 m ，小数部分为n ，求2212m mn n ++的值．【例14】 已知x =，求代数式235x x +-的值．【例15】 已知x =，求代数式21xx +的值．【例16】 若0m >，0n >=的值．【例17】 若x 341x x x x ++=的值．【例18】()f x =，求(1)(3)(2011)f f f +++L 的值；模块六 多重二次根式双重二次根式：多重二次根式：二次根式的被开方数（式）中含有多于一个二次根式的式子叫多重二次根式．双（多）重二次根式的解法：平方法、配方法、构造法、待定系数法．【例19】【例20】 化【巩固】 化简：（1（2【例21】【巩固】【例22】【例23】 若[]a 表示实数a的整数部分，则⎡⎤等于（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4．【例24】+【巩固】 求模块七 与二次根式有关的最值问题【例25】 ）A ．0B ．1+C ．1D ．不存在的【例26】 设x 、y y ，则y 的最大值是 ．【例27】 若2220x y +=的最大值是___________．【例28】 若0x ≠_____________．【例29】 实数a 、b 满足1032b b -+--，则22a b +的最大值为___________．【例30】 函数22()1(4)4f x x x =++-+的最小值为_____________．【练习1】若x x +=-11，则2(1)x -等于（ ）A ．1x -B ．1x -C ．1D ．1-【练习2】计算：下列三个命题：①若α，β是互不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；②若α，β是互不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；③若α，β是互不相等的无理数，则3αβ+是无理数． 其中正确命题的个数是( )A ． 0B ．1C ．2D ．3【练习3】 已知52x =+，求32353x x x +-+的值．【练习4】计算：211232231009999100++++++L【练习5】 已知：333200220032004,0,x y z xyz ==>3333333200220032004200220032004x y z ++=++，课堂检测求111x y z++的值．1.通过本堂课你学会了．2.掌握的不太好的部分．3.老师点评：①．②．③．1. 计算200120001999(31)2(31)2(31)2011+-+-++= ．2. 化简：11218+3. （1）2(6232515)--+（2）5252322 51++---+4. （1）求证222211(1)1a aa ab ab b ab++=+-++；总结复习课后作业（212000．5.若1a =，计算共有2011层112121212a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪+⎪+⎪++⎪⎪+⎩L 的值.6. 海伦与秦九韶公式，如果一个三角形的边长分别为a ，b ，c ，设2a b c p ++=，则面积公式为s =而闻名，在他的著作《度量》一书中给出了这一公式的证明．我国南宋时期数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”s =（1）若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s ；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．。

内容基本要求 略高要求较高要求 二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综结合的有关问题模块一 二次函数的定义1.一般地，形如c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）的函数称为x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，c b a ,,分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数． 2. 任何二次函数都可以整理成c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）的形式． 3.判断函数是否为二次函数的方法： ① 含有一个变量，且自变量的最高次数为2； ② 二次项系数不等于0； ③ 等式两边都是整式． 4. 二次函数自变量x 的取值范围是全体实数．【例1】 下列函数中是二次函数的是（ ）A ．2123y x x =-+B ．3232y x x =+C ．()222y x x =--D ．22y x x =-例题精讲中考要求二次函数概念及图象性质【巩固】下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴2x y =；⑵21xy -=；⑶122--=x x y ；⑷)1(x x y -=；⑸)1)(1()1(2-+--=x x x y【例2】 下列说法正确的是（ ）A ．二次函数的自变量的取值范围是非零实数B ．圆的面积公式2S r π=中，S 是r 的二次函数C ．()()1142y x x =-+不是二次函数 D．21y =-中一次项系数为1【巩固】下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．()()2324312y x x x =+--B ．2y mx x =+(m 为常数)C ．220y x kx =++(k 为常数)D ．2327y x =--【例3】 若函数()221mmy m x -=-为二次函数，则m 的值为__________ 【巩固】已知函数()()2112ay a x a x +=++-（a 为常数）⑴当a 为何值时，此函数为二次函数？ ⑵当a 为何值时，此函数为一次函数？模块二 二次函数2y ax =()0a ≠的图象与性质1.二次函数()20y ax a =≠性质对比2. 抛物线的开口大小与||a 有关，||a 越大，开口越小；||a 越小，开口越大。

一、一次函数的概念一般地，形如y kx b =+（k，b是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、一次函数的图象⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点； 例题精讲中考要求一次函数图象及性质②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．三、一次函数的性质1．一次函数图象的位置在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．⑵当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴 交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号． 2．一次函数图象的增减性 在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大；⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．一、正比例函数的概念【例1】 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）15x y +=-（2）5xy =- （3）21y x =--（4）35xy =--（5）()()212y x x x =--- （6）21x y -= 【例2】 已知3a y ax -=，若y 是x 的正比例函数，则a 的值是 ．【例3】 已知y m +与x n +（m ,n 为常数）成比例，试判断y 与x 成什么函数关系？【巩固】 已知2y -与x 成正比例，当3x =时，1y =,求y 与x 之间的函数关系式，并判断它是不是正比例函数。