1.5梯形中位线

9上§1.5.1三角形、梯形中位线（九年级上数学010）—— 研究课班级________姓名________一．学习目标：1．能证明三角形、梯形中位线定理；2．能用三角形、梯形中位线定理解决其它相关问题，初步掌握遇中点思维方向的选择．二．学习重点：三角形、梯形中位线定理的证明及应用．学习难点：用转化的思想的渗透 ．三．教学过程旧景重现：1．直角三角形斜边的中线长是4cm ，则它的两条直角边中点的连线长为 cm ．2．等腰梯形的中位线长6cm ，腰长5cm ，则它的周长为 cm ．3． 如图1，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、BC 的中点，若AC ＝12cm ， ∠A ＝45°，则DE ＝ cm ； ∠EDB ＝ ．4．(11 泉州)如图2，在四边形中ABCD ，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝18°，则∠PFE 的度数是 ．5．(11 盐城)如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 的中点．若DE =5，则AB 的长为 ．知识探究1：我们曾经通过将一张三角形纸片剪成两部分，并把它们拼成一个平行四边形，探索得到中位线的结论．现在我们来证明三角形的中位线定理．已知：如图在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．求证：DE ∥BC ，DE ＝12BC ．三角形中位线定理： 三角形的中位线__________第三边，且等于第三边的__________. 已知：如图，AF 是△ABC 的中线，EF 为△ABC 的中位线．则AF 与DE 有何关系？试写出你的结论，并加以证明．图1 图2 图3 AB C D E思考二：三角形中遇到两边的中点活学活用：1．(11 孝感)如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连结AO.若AO=6cm，BC=8cm．求四边形DEFG的周长．2．已知：如图，点P为等腰梯形ABCD上底AD上一动点，连结PB，PC，点E、F、G分别为PB、PC、BC的中点．当点P运动到什么位置时，四边形PEGF为菱形．3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．试猜想线段MN、PQ的关系，并加以证明．4．在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的定点A逆时针旋转，且AD=BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．（1）如图①，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF．根据三角形的中位线定理和平行线的性质，可得∠AMF＝∠BNE(不需要证明) ．图①图②图③（2）当点D旋转到图②、图③中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，知识探究2：已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AB ，DC 的中点．求证：EF ∥BC ，EF =12(BC+AD )．思考一：梯形中位线和对角线的关系 ．(10 无锡)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ， EF 是梯形的中位线，对角线AC 交EF 于点G ．若BC =10cm ，EF =8cm ，则GF 的长为 cm ．思考二：遇到两平行线所截得的线段的中点时 ．Ⅰ．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点．若AD =6cm ，BC =18cm ， 求EF 的长．Ⅱ．(10 内江)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，AE = BE ，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，若AD =2.7，AF =4，AB =6．求CE 的长．Ⅲ．(10 鄂尔多斯)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F（1）求证：BF =AD ＋CF ；（2）当AD =1，BC =7，且BE 平分∠ABC 时，求EF 的长．思考三：剪切等积变换．1．(06 济宁)直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：请你用上面图示的方法，解答下列问题：（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．2．(07 天门)如图①，等腰梯形中直线l将等腰梯形分成两部分，这两部分可以拼成一个与原等腰梯形面积相等的矩形．请仿照图①的做法，用一条直线将等腰梯形分成两部分，并将这两部分拼成与原等腰梯形面积相等的矩形、平行四边形、三角形．要求：用符号或文字简要说明直线l满足的条件，并分别在图②、图③、图④中画出来．3．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠A=90°，AD=a，BC=b，AB=c，操作示例：我们可以取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中点P，过点P作PE∥AB，裁掉△PEC，并将△PEC拼接到△PFD的位置，构成新的图形（如图2）．思考发现：小明在操作后发现，该剪拼方法就是先将△PEC绕点P逆时针旋转180°到△PFD的位置，易知PE与PF在同一条直线上．又因为在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C+∠ADP=180°，则∠FDP+∠ADP=180°，所以AD和DF在同一条直线上，那么构成的新图形是一个四边形，进而根据平行四边形的判定方法，可以判断出四边形ABEF是一个平行四边形，而且还是一个特殊的平行四边形——矩形．实践探究：（1）矩形ABEF的面积是；（用含a，b，c的式子表示）（2）类比图2的剪拼方法，请你就图3和图4的两种情形分别画出剪拼成一个平行四边形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：在一个四边形中，只要有一组对边平行，就可以剪拼成平行四边形．如图5的多边形中，AE=CD，AE∥CD，能否象上面剪切方法一样沿一条直线进行剪切，拼成一个平行四边形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图并作必要的文字说明；若不能，简要说明理由．。

梯形中位线推论梯形图形是初学者常会遇到的一种多边形图形，它有四个顶点和四条边，它的两个对边是平行的，但是两个对边的长度不同，我们称之为梯形。

梯形中位线是指梯形两个非平行边的中点连线。

下面我们来介绍一下梯形中位线的一些推论。

1. 梯形中位线长度相等对于任意一个梯形，它的两个非平行边的中位线长度相等。

这是因为中位线将梯形分成了两个等面积的三角形，而这两个三角形有相等的底边，高也相等，因此它们的面积是相等的，中位线的长度也相等。

2. 梯形中位线平行于较短的平行边在梯形中，梯形的两条平行边中，较长的那一条的中位线不和较短的平行边平行，而是和较短的平行边平行。

这是因为梯形中的中位线将梯形分成了两个等面积的三角形，而这两个三角形的顶角顶点分别在梯形两条平行边的中点上，因此中位线与较短的平行边平行。

对于任意一个梯形，它的两个平行边之间的距离就是梯形的高，而梯形的两个非平行边的长度分别为a和b，它们的中位线的长度为c。

我们可以得到以下公式：c = （a + b）/2这个公式告诉我们，梯形的中位线长度等于它的两个平行边距离的平均数。

4. 一组平行四边形的面积如果我们将一个梯形绕它的中位线旋转180度，我们得到一个面积相等的梯形。

由于它们的四个顶点重合，我们还可以得到两个平行四边形，这两个平行四边形显然具有相等的面积。

因此，我们可以得出一个结论：对于任意一个梯形，它的两个非平行边的中位线连接起来形成的四边形，是一个平行四边形。

而这个平行四边形的面积等于梯形的面积，即：其中，a和b是梯形的两个平行边的长度，h是梯形的高。

5. 中位线长度的平方等于梯形两个三角形面积之和由于梯形中的中位线将梯形分成了两个等面积的三角形，我们可以得到一个结论：梯形中位线长度的平方等于梯形两个三角形面积之和，即：其中，S1和S2分别是梯形两个三角形的面积。

以上就是关于梯形中位线的一些推论，它们不仅可以帮助我们更好地理解梯形的性质，还可以帮助我们解决一些与梯形相关的数学问题。

梯形的中位线的性质
梯形中位线定理是几何学的一个定理，是指连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

性质是：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

梯形中位线定理是梯形的一个重要性质，在初中几何教学中占有重要地位。

它既是对三角形中位线定理的拓展与应用，又为今后有关两条线平行和线段倍分关系的证明与应用提供了更为可行的方法。

梯形的中位线L平行于底边，且其长度为上底加下底和的一半，用符号表示是：L=（a+b）/2
已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积。

S梯=2Lh÷2=Lh
中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。

数学知识点梯形中位线定理
相关误区
梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。

三角形中位线有三条，而梯形中位线只有1条。

梯形图形性质
1.梯形的上下两底平行。

2.梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。

3.等腰梯形对角线相等。

面积公式
S=（上底+下底）×高÷2
梯形是上下两条边平行的四边形状，你按照一个对角线可以把它分成两个高相同的三角形，三角形面积公式是底乘以高除以2，所以梯形就是：上底乘以高除以2+下底乘以高除以2=上底加下底乘以高除以2
另一个公式：中位线×高，其中中位线是（上底+下底）除以2。

【初中数学】初中数学知识点：梯形，梯形的中位线梯形的定义：一组相对边平行的四边形和另一组相对边不平行的四边形称为梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。

梯形中线：连结梯形两腰的中点的线段。

梯形特性：①梯形的上下两底平行；② 梯形的中线（连接两腰部中点的线称为中线）平行于两个底部，等于上下底部之和的一半。

③等腰梯形对角线相等。

梯形判断：一.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。

2.一组平行且不相等的四边形为梯形。

梯形中位线定理：梯形中线平行于两个基底，等于两个基底之和的一半。

梯形中位线×高=（上底+下底）×高度=梯形面积梯形中位线到上下底的距离相等中线长度=（上底+下底）梯形的周长和面积：梯形的周长公式为：上底+下底+腰+腰，用字母a+B+C+D表示。

等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。

梯形面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h 变形1：h=2s÷（a+b）；变形2:a=2S÷H-B；变形3：b=2s÷h-a。

计算梯形面积的另一个公式：中线×高度，用字母表示：l？H对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。

梯形分类：等腰梯形：腰围相等的梯形。

直角梯形：有一个角是直角的梯形。

等腰梯形的特性：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等。

（2）等腰梯形的对角线相等。

（3）等腰梯形是轴对称图形。

等腰梯形的测定：（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一基底上有两个相等角度的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

如何证明梯形中位线定理梯形中位线定理，听上去可能有点高深，但其实它就像一杯清凉的 lemonade，喝下去后会让你感觉神清气爽。

今天咱们就来聊聊这个定理，顺便还要学会怎么证明它，保证让你明白得一清二楚。

1. 梯形的基础知识首先，咱们得弄清楚什么是梯形。

大家知道，梯形就是一对边平行，另外一对边不平行的四边形。

想象一下，你在公园里看到的那种椅子，底下宽宽的，上面窄窄的，像个“帐篷”。

这就是梯形的基本形状了。

我们通常把平行的那两条边叫做“底”，而不平行的那两条边则叫做“腰”。

这时候，就有个小家伙出来了——中位线，它就是连接两条底边中点的线。

1.1 中位线是什么中位线听起来很复杂，其实就是把梯形的上下底边的中点连起来的那根线。

它的存在是为了帮助我们了解梯形的特性，比如它的面积、周长等等。

你知道吗？这个小线条可不是普通的线，它的长度可是有意思的。

中位线的长度恰好是两条底边长度之和的一半。

1.2 为什么要证明它那么，为什么要证明这个定理呢？因为数学就像是做菜，光有食材可不行，咱们还得知道怎么调味。

证明中位线定理不仅可以让我们更好地理解梯形，还能锻炼我们的逻辑思维能力。

而且，证明过程就像是一场冒险，挑战你的智力，让你在其中收获满满。

2. 梯形中位线定理的证明接下来，就让我们开始这场数学探险吧！证明梯形中位线定理的方法其实非常简单。

2.1 绘图和标记首先，画一个梯形，标记好底边AB和CD，分别是上底和下底。

然后找到AB和CD的中点，记作M和N。

别小看这两个点哦，它们可是整个证明的关键！接着，你就可以画出中位线MN。

2.2 利用平行线的性质接着，利用平行线的性质，我们知道MN是平行于AB和CD的。

根据几何学中的平行线性质，MN的长度就是底边AB与底边CD长度的一半相加。

也就是说，MN = (AB + CD) / 2。

这就完美地证明了中位线定理的核心内容。

哇！是不是感觉豁然开朗？通过简单的图形和逻辑推理，我们就把这个看似复杂的定理证明了出来，真的是一举两得！3. 实际应用知道了梯形中位线定理后，我们可以把它运用到许多地方，比如建筑设计、工程计算等等。