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第八章 假设检验的基本概念

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假设检验的基本概念

假设检验的基本概念
第五节 检验水准与两类错误
第二章
I型错误和II型错误
假设检验是利用小概率反证法思想，从问题的对立面(H0)出发间接判断要解决的问题(H1)是否成立，然后在假定H0成立的条件下计算检验统计量，最后根据P值判断结果，此推断结论具有概率性，因而无论拒绝还是不拒绝H0，都可能犯错误。详见表8-1。
01
P122 例8-3
02
两均数之差的标准误的估计值
03
01
P122 例8-3
02
两均数之差的标准误的估计值
由于u0.05/2=1.96，u0.01/2=2.58，|u|>u0.01/2, 得P<0.01，按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，两组间差别有统计学意义。可以认为试验组和对照组退热天数的总体均数不相等，两组的疗效不同。试验组的平均退热天数比对照组短。例7-7已计算了的95%的可信区间： 天，给出了两总体均数差别的数量大小。
1- ：检验效能（power）:当两总体确有差别，按检验水准 所能发现这种差别的能力。
a 与 b 间的关系
a
b
减少（增加）I型错误，将会增加（减少）II型错误 增大n 同时降低a 与 b
B
D
A
C
减少I型错误的主要方法：假设检验时设定 值。
提高检验效能的最有效方法：增加样本量。
若 ，不拒绝H0，但不能下“无差别”或“相等”的结论，只能下“根据目前试验结果，尚不能认为有差别”的结论。
第三节 大样本均数的假设检验
单样本数据，每组例数等于或大于60例；两样本数据，两组例数的合计等于或大于60例，而且基本均等。
两总体方差已知。
样本数据不要求一定服从正态分布总体。
另一方面，可信区间不但能回答差别有无统计学意义，而且还能比假设检验提供更多的信息，即提示差别有无实际的专业意义。

假设检验一般概念

假设检验一般概念

x 400 k 时接受原假设H0；
(1)
x 400 k 时拒绝原假设H0接受备择假设H1
(2)
进一步，由于当H0为真时，有
u x400 ~N(0,1) 25/ n
1 |u|要构x造一40个0具有明确k分布的统计量，可将(1)、(2)式转化为
25/ n 25/ n
2 |u|时接x受原40假0设H0 k
2. 拒绝域与接受域 称是检验水平或显著性水平，它是我们
制定检验标准的重要依据。常数u/2把标准正态分布密度曲线下
的区域分成了两大部分，其中一部分
(x1,x2, ,xn)uu/2
称为H0的拒绝域或否定域， 当样本点落入拒绝域时，我们便拒 绝原假设H0(同前述(6)式)，另一部分
(x1,x2, ,xn)uu/2
（1）根据问题的要求提出假设，写明原假设H0和备择假设H1的
具体内容。
（2）根据H0的内容，建立（或选取）检验统计量并确定其分布。 （3）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计量的分布查表 或计算确定出临界值，进而得到H0的拒绝域和接受域。
（4）由样本观察值计算出统计量的值。
（5）做出推断：当统计量的值满足“接受H0的条件”时就接受 H0，否则就拒绝H0接受H1 。
u
2
时接受原假设H0 (5)
时拒绝原假设H0，接受备择假设 H1 (6)
分析(5)、(6)两式，可以这 样认为：
拒绝H0，是因为以H0成立 为出发点进行推理时，得到 了不合情理的结论，使小概 率事件在一次试验中发生了。
接受H0，是因为以H0成立 为出发点进行推理时，未发 现异常。
这就是带有概率特征的反证 法，认为小概率事件在一次 试验中不可能发生。
H0：X服从泊松分布；H1：X不服从泊松分布.

假设检验的基本概念2

假设检验的基本概念2
联络。参数区间估计能够转化为假设检验， 假设检验也能够转化为参数区间估计。 假设检验能够看作区间估计中置信区 间旳另一种体现方式：即能够用区间估计 旳技术来处理假设检验问题。
二、假设检验旳基本原理
在大量观察中频频出现旳事件具有较大旳概率， 出现次数较小旳事件，具有小旳概率。
在日常生活中，人们习惯于把概率很小旳事件， 看成在一次观察中是不可能出现旳事件，这个原理 称作小概率原理。
举例说，我们几乎每天从电视、报纸、甚至街头 广告牌上都能看到交通事故旳统计，但人们绝不所 以而放弃交通工具旳使用 ，可见，在日常生活中， 人们是在不自觉利用小概率原理。
统计假设检验旳基本原理是小概率原理。
小概率原理能够归纳为两个方面：
能够以为小概率事件在一次观察中是不 可能出现旳。
假如在一次观察中出现了小概率事件， 那么，合理旳想法是否定原有事件具有小 概率旳说法(或称假设)。
即直接检验H0,间接检验H1。
•小概率 原理：
假如对总体旳某种假设是真实旳，那么不利于 或不能支持这一假设旳事件A（小概率事件）在 一次试验中几乎不可能发生旳；要是在一次试 验中A居然发生了，就有理由怀疑该假设旳真实 性，拒绝这一假设。
总体
抽样
（某种假设）
检验
（接受）
小概率事件 未发生
样本 （观察成果）
（拒绝） 小概率事件 发生
三、假设检验旳基本形式
虚无假设HO如前面所举女青年初婚年龄=20。原假设
在不会研被究假否中设定是，稳一不定般然、涉也受就到及失保两去护其旳部研，分究但意另：义一虚。方当面无经也假过并抽不设样表H调达O查永和，远研 究当假实际设数H据1。否定了原有假设H0时，就产生了需要接受其逻辑
拟定α，就拟定了 临界点c。拟定了 临界点c，就拟定 了否定域旳大小。

假设检验的基本概念(第八章)

假设检验的基本概念(第八章)

假设检验的两类错误 实际情况 决定 H0为真 第一类错误 H0不真 正确
拒绝H0 接受H0
第一类错误 第二类错误
正确
第二类错误
拒真错误 取伪错误
犯两类错误的概率: P{拒绝H0|H0为真}= , P{接受H0|H0不真}= . 显著性水平 为犯第一类错误的概率. 通常计算犯第Ⅱ类错误的概率是很复杂 的，下面我们通过举例来说明
§8.1假设检验的基本概念
在本讲中，我们将讨论不同于参数估计 的另一类重要的统计推断问题. 这就是根据 样本的信息检验关于总体的某个假设是否 正确. 这类问题称作假设检验问题 . 假设检验

参数假设检验 非参数假设检验
总体分布已知， 检验关于未知参数 的某个假设
总体分布未知时的 假设检验问题
若对参数 一无所知
较大、较小是一个相对的概念，合理的界 限在何处？应由什么原则来确定？
问题归结为对差异作定量的分析，以确定 其性质.
差异可能是由抽样的随机性引起的，称为
“抽样误差”或 随机误差 这种误差反映偶然、非本质的因素所引起 的随机波动.
然而，这种随机性的波动是有一定限 度的，如果差异超过了这个限度，则我们 就不能用抽样的随机性来解释了. 必须认为这个差异反映了事物的本质差别， 即反映了生产已不正常.
即“ | u | Z 2 ”是一个小概率事件 . 得否定域 W: |u |>1.96
小概率事件在一次 试验中基本上不会 发生 .
第四步：
将样本值代入算出统计量 u的实测值, | u |=0.370<1.96 故不能拒绝H0 .
没有落入 拒绝域
这并不意味着H0一定对，只是差异 还不够显著, 不足以否定H0 .
当然也不能总认为正常，有了问题不能 及时发现，这也要造成损失. 如何处理这两者的关系，假设检验面 对的就是这种矛盾.

概率论与数理统计第八章假设检验

概率论与数理统计第八章假设检验
当总体分布函数完全未知或只知其形式、但 不知其参数的情况，为推断总体的性质，提出 某些关于总体的假设。
为判断所作的假设是否正确, 从总体中抽取 样本, 根据样本的取值, 按一定的原则进行检 验, 然后, 作出接受或拒绝所作假设的决定.
整理课件
2
我们主要讨论的假设检验的内容有
参数检验 总体均值、均值差的检验 总体方差、方差比的检验
H0: Θ0 vs H1: Θ1,
根据样本，构造一个检验统计量T 和检验法则： 若与T的取值有关的一个小概率事件W发生，则 否定H0，否则接受H0，而且要求
P(W|H0)
此时称W为拒绝域，整为理课检件 验水平。
11
例 3. 某厂生产的螺钉,按标准强度为68克/mm2,
而实际生产的螺钉强度 X 服从 N ( ,3.6 2 ). 若 E ( X ) = = 68, 则认为这批螺钉符合要求,否
7
所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交 通事故的概率比隧道北大.
做出以上结论也有可能犯错误。这是因为 当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯 错误。这一概率正是P=0.043.
于是, 我们判断正确的概率是1-0.043=95.7%
整理课件
8
假设检验中的基本概念和检验思想 (1) 根据问题的背景, 提出原假设
再作一个备择假设
H1: p> 0.35. 在本问题中,如果判定H0不对,就应当承认H1.
检验: 三起交通事故的发生是相互独立的, 他们
之间没有联系.
如果H0为真, 则每一起事故发生在隧道南的 概率都是0.35, 于是这三起交通事故都发生在隧
道南的概率是
P= 0.353 ≈ 0.043.

统计学-第八章 假设检验

统计学-第八章 假设检验
验和单侧检验。以总体均值μ 的检验为例：
假设 原假设
双侧检验
单侧检验
左侧检验 右侧检验
H0 : m =m0 H0 : m m0 H0 : m m0
备择假设 H1 : m ≠m0 H1 : m <m0 H1 : m >m0
三、假设检验的程序---
4.例题分析
[例8.1] 某品牌洗衣粉在它的产品说明书中声称：平 均净含量不少于1250克。从消费者的利益出发，有关研 究人员要通过抽检其中的一批产品来验证该产品制造商 的说明是否属实。试写出用于检验的原假设与备择假设。
2.接受域：概率P＞的区域，为大概率区域，称之 为原假设的接受区域。
3.拒绝域：概率P≤的区域，为小概率区域，称之 为原假设的拒绝区域。
三、假设检验的程序---
1.拒绝原假设H1 原则：临界值
2.接受原假设H0 原则：临界值
检验统计值的绝 对值大于临界值；
检验统计值的绝 对值小于临界值；
假设 H0为真实 H0为不真实
接受H0 判断正确
采伪错误（）
拒绝H0 弃真错误（）
判断正确
四、假设检验中的两类错误
第I类（）错误和第II类（）错误的关系
和的关系就像 翘翘板，小就 大， 大就小。
你要同时减少两类 错误的惟一办法是 增加样本容量!
关乎决策：三个与其
与其，人为地把显著性水平固定按某一水平上，不 如干脆选取检验统计量的P值；
第二节 一个正态总体的假设检验
二、均值m的假设检验
3.给出显著性水平（0.01、0.05或0.1）
4.确定接受域和拒绝域（以双侧检验为例）

2已知：当Z Z 2
，则拒绝原假设，反之则接受H0；

《概率论与数理统计》第八章1假设检验的基本概念

单侧检验 H0 : 0 1000, H1 : 1000
2. 从某批矿砂中，抽取10样本，检验这批砂矿的含 铁量是否为3%？
双侧检验 H0 : 0 3%, H1 : 3%
3.某学校学生英语平均分65分, 先抽取某个班的平均 分，看该成绩是否显著高于全校整体水平？
单侧检验 H0 : 0 65, H1 : 65
0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常?
分析 以 和 分别表示这一天袋装糖的净重
总体X 的均值和标准差,
由长期实践表明标准差比较稳定, 我们就设
0.015,于是 X ~ N(, 0.0152 ),这里 未知. 问题 问题是根据样本值判断 0.5 还是 0.5 .
所
以，原假
设H
不正确
0
。
对于这两种解释，哪种解释比较合理呢？
我们需要判断以上两种假设谁对谁错，并给出判断的理由
以上例子属于参数检验（parametric test） 的问题，(如针对总体均值,总体方差等参数的假 设检验)。
另外还有非参数检验（Nonparametric test） 的问题，如关于总体服从某种分布（如正态分布， 泊松分布）的假设检验。
4. 拒绝域与临界点
拒绝域W1: 拒绝原假设 H0 的所有样本值 (x1, x2, ···, xn)所组成的集合.
W1 W1 ：拒绝原假设H0的检验统计量的取值范围.
临界点(值):拒绝域的边界点(值) (相应于检验统计量的值).
如: 在前面例4中,拒绝域 {u :| u | u / 2 }.
5. 双边备择假设与双边假设检验
之 下 做 出 的.
2. 检验统计量

第八章 假设检验

或 n 若所得的置信区间不包含u0，则拒绝H0， 否则不能拒绝。
x z2

x z2 /
s n


上例，我们用求置信区间的方法，来判断 原假设是否合理。 大样本下满足中心极限定理，样本均值的 抽样分布服从正态分布，从而有置信区间：
x z2 s 24 ＝986 1.96 n 40
假设检验的步骤

1.确定原假设和备选假设 2.选择检验统计量 3.指定检验的显著性水平 4.建立拒绝原假设的规则 5.收集样本数据，计算检验统计量的值 6.将检验统计量的值域拒绝规则的临界值比较， 以决定是否拒绝原假设。或者，由检验统计量 的值计算p值，利用p值确定是否拒绝原假设。
x 2.92 3 z 2.67 / n 0.18 / 6

x z ~ N (0,1) / n


根据显著性水平α=0.01，对应的拒绝域面积为 0.01，临界值为-2.33 Z<-2.33，所以拒绝H0，即可认为没听咖啡的容量 不足3磅。 统计证据支持对HILLTOP咖啡重量不足采取投诉措 施。

（978.56,993.44）该区间不包含u0=1000， 因此我们拒绝原假设H0.检验表明，该包 装机未能正常工作。
总体均值的检验：小样本情形


小样本下，已知总体为正态分布，我们考 虑以下两种情况： 1.总体方差已知 2.总体方差未知 在总体方差已知的情况下，即使样本容量 较小，但样本平均数的抽样分布总是以平 均值 为均值，以 x 为标准差的正态分 布。因此其检验过程和检验统计量同大样 本情形。
拒绝域为α/2 拒绝域为α/2
z / 2
拒绝域
0
z / 2

第8章 假设检验


ˆ H0 : 0 ˆ H :
0 0
备择
假设
研究者想收集证据予以支持的假设。
1. 与原假设对立的假设 2. 总是有, 或 3. 表示为 H1

例如：
ˆ H0 : 0 ˆ H0 : 0 ˆ H :
0 0
ˆ H1 : 0 ˆ H1 : 0 ˆ H :
拒绝 H0
.025
拒绝 H0
.025
t
ta
2 . 262 /2
-2.262
0
2.262
t
不拒绝原假设，没有证据表明该供 货商提供的配件是不符合要求的。
二、总体比例的检验
大样本
p ~ N(,
(1 )
n
)
设假设的总体比例为0，总体比例的检验统计量为：
z
p 0
0 (1 0 )
拒绝 H0
.025
拒绝 H0
.025
-1.96
0
1.96
Z
由于是双侧检验，拒绝域在左右两侧，所以临界值为：
z za / 2 1.96
在显著性水平a=0.05上不拒绝原假设，表明样本提供的证据还 不足以推翻原假设，因此，没有证据表明该天生产的饮料不符
合标准要求。
【例】某批发商欲从生产厂家购进一批灯泡，根据 合同规定，灯泡的使用寿命平均不能低于1000小时。 已知灯泡使用寿命服从正态分布，标准差为20小时。 在总体中随机抽取100只灯泡，测得样本均值为960 小时。批发商是否应该购买这批灯泡？ (a＝0.05)
n
假设
双侧检验
左侧检验
右侧检验
假设形式
H0 : 0 H1 : 0

第八章 假设检验 (《统计学》PPT课件)

与其，为选取“适当的”的而苦恼，不如干脆 把真正的（P值）算出来。
第二节 一个正态总体的假设检验
一、正态总体
设总体X ~ N(m, 2)，抽取容量为n的样本 x1, x2, xn
样本均值 X 与方差S2 计算公式分别为：
2
1 n 1
n i1
(xi
X)
我们将利用上述信息，来检验关于未知参数均值 和方差的假设。
总体参数
均值
方差
总体方差已知
z 检验
(单尾和双尾)
总体方差已知
t 检验
(单尾和双尾)
2 检验
(单尾和双尾)
第二节 一个正态总体的假设检验
二、均值m的假设检验
1.H0:m=m0
2.选择检验统计量：
2已知： Z X m0 ~ N(0，1)
/ n
2未知：
小样本： t X m0 ~ t(n 1)
这个值不像我 们应该得到的 样本均值 ...
...因此我们拒绝 原假设μ=50
... 如果这是总 体的假设均值
60
μ=80
H0
样本均值
第一节 假设检验概述
三、假设检验的程序
一个完整的假设检验过程，通常包括以下几个步骤：
首先，设立原假设H0与备选假设H1； 第二步，构造检验统计量，并根据样本观察数据
小样本：当 t t
2
，则拒绝原假设，反之则接受H0；
5.得出结论。
二、均值m的假设检验
6.例题分析
[例8.3] 某广告公司在广播电台做流行歌曲磁带广告 ，它的插播广告是针对平均年龄为21岁的年轻人的，标 准差为16。这家广告公司经理想了解其节目是否为目标 听众所接受。假定听众的年龄服从正态分布，现随机抽 取400多位听众进行调查，得出的样本结果为x 25 岁S2，18 。以0.05的显著水平判断广告公司的广告策划是否符合 实际？
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多数情况下，总体方差 未知，只能用样本 方差 作为 的估计值。
均数比较u检验的主要使用条件：
1. 单样本，每组例数>=60；两样本，两组例 数合计>=60，而且基本均等 2. 样本数据不要求一定服从正态分布 3. 要求两总体方差已知（不一定相等） 4. 理论上要求：单样本是从总体中随机抽取， 两样本为随机分组资料
6
三、检验水准与两类错误
3
2011/6/23
I型错误和II型错误
I 型错误：H0为真时，推断结果拒绝H0，是为 假阳性错误或“弃真”错误。犯这种错误的概率 是（其值等于检验水准）
I型错误和II型错误
II型错误：H0为假时，推断结果不拒绝H0， 假阴性错误或“取伪”错误。犯这种错误的概 率是 （其值未知） 。 但 n 一定时， 增大， 则减少 。
2011/6/23
例 8-1
通过以往大规模调查，得知某地一般新生儿
第八章 假设检验的基本概念
南方医科大学 生物统计学系
的头围均数为34.50cm，标准差为1.99cm。为研究 某矿区新生儿的发育状况，现从该地某矿区随机 抽取新生儿55人，测得其头围均数为33.89cm，问 该矿区新生儿的头围总体均数与一般新生儿头围 总体均数是否不同？
单侧检验
1.建立假设、确定单双侧检验和检验水准
34.50 H0 ：
（该矿区新生儿的头围与当地一般新生儿头围均数相同）
34.50 H1 ：
（该矿区新生儿的头围与当地一般新生儿头围均数不同）
0.05
2.在H0 成立条件下计算检验统计量
根据资料类型、试验设计方案、统计推断的目 的和假设检验方法的应用条件选择相应的检验统计 量。
可信区间在统计推断上提供的信息
虽然可信区间亦可回答假设检验的问题，并 能提供更多的信息，但并不意味着可信区间能够 完全代替假设检验。可信区间只能在预先规定的 概率 检验水准 的前提下进行计算，而假 设检验能够获得一较为确切的概率P 值。
假设检验的基本思想 （反证法）
建立检验假设（ H0 ） → 在H0成立前提下相关事件发生的概率P → 若P很小(如P≤ — 小概率事件的界值)， 而实际上这一事件已经发生 → 怀疑H0的正确性（基于小概率事件不可 能发生的判断） → 拒绝H0，接受其对立假设H1
1- ：检验效能（power）:
当两总体确有差别，按检验水准 所能发现这 种差别的能力。
减少（增加）I型错误，将会 增加（减少）II型错误 增大n 同时降低 与

4
2011/6/23
可能发生的两类错误
减少I型错误的主要方法：假设检验时设定 值。 减少II型错误的主要方法：提高检验效能。 提高检验效能的最有效方法：增加样本量。 如何选择合适的样本量：实验设计。
可能发生的两类错误
假设检验的结果 拒绝H0 I型错误()
推断正确(1)
H1: <0 成立 1 1 H0: =0 成立
客观实际
H0成立 H0不成立 即H1成立
“接受”H0 推断正确(1)
II型错误()

ห้องสมุดไป่ตู้
界值

0
I型错误与II型错误示意图(以单侧u检验为例)
与 间的关系
，但不能下“无
差别”或“相等”的结论，只能下“根据目前 试验结果，尚不能认为有差别”的结论。
2
2011/6/23
大样本均数的假设检验
已知总体方差 0 时，检验样本均数 X 所代表的总体均数 与已知总体均数 0 差 别的u检验公式，大样本、小样本都适用
2 2
二、大样本均数的假设检验
3. 确定P值，下结论
若，P 按所取检验水准 ，拒绝 H 0 ，接 受 H1 ，下“有差别”的结论。其统计学依据 是，在 H 0 成立的条件下，得到现有检验结果 的概率小于 ，因为小概率事件不可能在一 次试验中发生，所以拒绝 H 0 。
3. 确定P值，下结论
若 P ，不拒绝 H0
四、单侧检验与双侧检验
单侧检验的检验水准α
双侧检验的检验水准α
注意事项
五、假设检验的统计意义 与实际意义
1. 要有严密的研究设计，尤其是下因果结论。 2. 不同的资料应选用不同检验方法 3. 正确理解“显著性”一词的含义 ( 用统计学 意义一词替代)。
5
2011/6/23
注意事项
4. 结论不能绝对化，提倡使用精确P值 5. 注意统计“显著性”与临床/生物学“显著 性”的区别 6. 可信区间与假设检验各自不同的作用，要结 合使用 一方面，可信区间亦可回答假设检验的问题， 算得的可信区间若包含了H0，则按水准，不拒 绝H0；若不包含H0，则按水准，拒绝H0，接受 H1。 另一方面，可信区间不但能回答差别有无统 计学意义，而且还能比假设检验提供更多的信 息，即提示差别有无实际的专业意义。
矿区新生儿头围
34.50cm
假设检验的目的 :
就是判断差别是由 哪种原因造成的。
一、假设检验的基本步骤
抽样误差
X 33.89cn
矿区新生儿头围 总体不同
34.50cm
假设检验的一般步骤
1. 建立假设、确定单双侧检验和检验水准
1.建立假设、确定单双侧检验和检验水准
H0：称为无效假设或零/原假设
3. 确定P值，下结论
如例8-1已得到P <0.05, 按所取检验水准 0.05, 则拒绝 H0，接受 H1，差异有统计学意义 （统计结论），可以认为矿区新生儿的头围均 数与一般新生儿不同，矿区新生儿的头围小于 一般新生儿（专业结论）。
u (33.89-34.50) (1.99 / 55) 2.273
2. 求检验统计量（及自由度） 3. 求P值，下结论(统计/专业结论) H1：H0的对立假设，称为备择假设，意为预备 在拒绝原假设时所选择的假设
1
2011/6/23
1.建立假设、确定单双侧检验和检验水准
总体参数的假设形式： H0： = 0 ；H1： ≠ 0 ——双侧检验 H0： = 0 ；H1： < 0 （或H0： ≥0 ；H1： < 0 ）——左侧检验 H0： = 0 ；H1： > 0或H0： ≤0 ；H1： > 0 ）——右侧检验
例 8-2
1995年，已知某地20岁应征男青年的平均 身高为168.5cm。2003年，在当地20岁应征男 青年中随机抽取85人，平均身高为171.2cm， 标准差为5.3cm，问2003年当地20岁男青年的 身高与1995年相比是否不同？
I型错误和II型错误
假设检验是利用 小概率反证法 思想，从 问题的 对立面 (H0) 出发间接判断要解决的问 题(H1)是否成立，然后在假定H0成立的条件下 计算检验统计量，最后根据P 值判断结果，此 推断结论具有概率性，因而无论拒绝还是不 拒绝H0，都可能犯错误。