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第8章假设检验第41-42讲8.1假设检验概述1.分位点、分位数（第二章随机变量及其分布P58）2.区间估计…………………………22分钟原假设0H 表明含量符合规定，这个5(%)也称之为期望数，尽管10个数据都与5(%)有出入，这只是抽样的随机性所致;备择假设1H 表明总体均值11已经偏离了期望数5(%)，数据与期望数5(%)的差异是其表现。
三、两类错误四、假设检验的基本思想统计推断的另一类重要问题是假设检验问题，在总体的分布函数完全未知或只知其形式但不知其参数的情况，为了推断总体的某些未知特性，提出某些关于总体的假设。
例如，提出总体服从泊松分布的假设，又如，对于正态总体提出数学期望等于0μ的假设等。
我们要根据样本对所提出的假设做出是接受还是拒绝的决策。
假设检验是作出这一决策的过程。
这里，先结合例子来说明假设检验的基本思想和做法。
例1 某车间用一台包装机包装葡萄糖，袋装糖的净重是一个随机变量，它服从正态分布。
当机器正常时，其均值为0.5kg ，标准差为0. 015 kg.某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的糖9袋，称得净重为(kg)0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512问机器是否正常？分析：以μσ，分别表示这一天袋装搪的净重总体X 的均值和标准差。
由于长期实践表明标准差比较稳定，我们就设σ=0. 015.于是 2(,0.015)X N μ，这里μ未知。
问题：根据样本值来判断=0.5μ还是0.5μ≠ .为此，提出两个相互对立的假设(0,1)N的大小可归结为衡量0/x nμσ-的大小。
N (0,1)2(,N μσn X 是来自X 的样本，给定显著性水平们来求检验问题00:,H μμ≤的拒绝域。
0H 中的全部要控制P{当0H 为真拒绝0H }α≤，只需令0k X P n n μμμμασσ≤⎧⎫--⎪⎪≥=⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 由于(0,1)X N nμσ-由00k X P n n μμμμασσ≤⎧⎫--⎪⎪≥=⎨⎬⎪⎪⎩⎭得到0k z n αμσ-=所以 0k z nασμ=+故检验问题的拒绝域为 0x z nασμ≥+即： 0x z z nαμσ-=≥类似地，可得左边检验问题： 0010:,:H H μμμμ≥<的拒绝域为：x z z nαμσ-=≤-例2 公司从生产商购买牛奶。
假设检验一、假设检验的概念统计推断包括两大方面的内容，其一为参数估计(如总体均数的估计)，另一方面，即假设检验（hypothesis test)。
假设检验过去亦称显著性检验（significance test)。
其基本原理和步骤用以下实例说明。
例为研究某山区成年男子的脉搏均数是否高于一般成年男子的脉搏均数。
某医生在一山区随机抽查了25名健康成年男子，求得其脉搏的均数为74．2次／分，标准差为6．0次／分。
根据大量调查，已知健康成年男子脉搏均数为72次／分；能否据此认为该山区成年男子的脉搏均数高于一般成年男子的脉搏均数？本例可用下图表示。
显然，本例其目的是判断是否μ＞μ0。
从所给条件看，样本均数X与已知总体均数μ0不等，造成两者不等的原因有二：①非同一总体，即μ#μ0；②同一总体即μ=μ0，两个均数不相等的原因在于抽样误差。
假设检验的目的就是要判断造成上面两个均数不等的原因是哪一个。
也就是说，是解决样本均数代表性如何的问题。
上例是，样本均数比已知总体均数大，有可能是由于抽样误差引起，也有可能是由于所调查的样本人群的生活环境、生活习惯、遗传或其他原因所致，如何判断呢，这就需要利用统计学方法----假设检验方法。
假设检验也是统计分析的重要组成部分。
(提问：统计分析包括参数估计和假设检验)下面我们以例题所提出的问题学习假设检验的基本步骤，同时学习样本均数与总体均数比较的t检验。
假设检验一般都是有“名”的，比如t检验，大家要知道假设检验的命名通常是以所要计算的统计量来命名的，如t检验、F检验、X2检验等。
后面有进一步介绍。
二、假设检验的基本步骤建立检验假设（一)建立假设假设有两种：一种是检验假设，常称无效假设，用H0表示。
这种假设的含义是假设两个指标(样本指标与总体指标、或两个样本指标)是相等的，它们的差别是由于抽样误差引起的。
另一种是备择假设，常称对立假设，常用H1表示，是与H0相对立的假设，假设两个指标不相等，它们的差别不是由于抽样误差引起的，若无效假设被否决则该假设成立。
假设检验知识点假设检验是一种统计方法，用于判断研究假设的真实性。
在科学研究和数据分析中，假设检验常常被用来验证我们对数据的推断是否可靠。
本文将介绍假设检验的基本概念、步骤和常见方法。
一、基本概念1.1 零假设（H0）和备择假设（H1）在假设检验中，我们需要提出一个零假设（H0）和一个备择假设（H1）。
零假设通常是指我们认为某种差异或效应不存在的假设，而备择假设则相反，认为有某种差异或效应存在。
1.2 显著性水平（α）显著性水平是在假设检验中设置的临界值，用于判断试验结果是否具有统计学意义。
常见的显著性水平有0.05和0.01，分别对应着5%和1%的显著性水平。
如果计算得到的P值小于显著性水平，则拒绝零假设，否则接受零假设。
二、步骤2.1 确定假设在进行假设检验之前，我们首先需要明确研究问题并明确要检验的假设。
根据研究问题的具体情况，提出零假设和备择假设。
2.2 选择统计检验方法根据研究设计和数据类型的不同，选择适当的统计检验方法。
常见的假设检验方法包括t检验、方差分析、卡方检验等。
2.3 收集数据并计算统计量根据选定的统计检验方法，收集样本数据，并计算出相应的统计量。
统计量的计算方法与选择的检验方法相关。
2.4 计算P值根据计算得到的统计量，结合假设和样本数据，计算出P值。
P值表示在零假设为真的情况下，观察到当前统计量或更极端情况的概率。
2.5 做出决策基于计算得到的P值和预设的显著性水平，做出是否拒绝零假设的决策。
如果P值小于显著性水平，拒绝零假设；反之，接受零假设。
三、常见方法3.1 t检验t检验用于比较两组样本均值是否具有差异。
常见的t检验有独立样本t检验（用于比较两组独立样本均值）和配对样本t检验（用于比较同一组样本在不同条件下的均值）。
3.2 方差分析方差分析用于比较多个样本均值是否存在显著差异。
根据设计的不同，方差分析可以分为单因素和多因素方差分析。
3.3 卡方检验卡方检验主要用于比较观察频数与期望频数之间的差异。
假设检验创新课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解假设检验的基本概念，掌握其原理和步骤。
2. 学生能运用假设检验方法分析实际问题，解释检验结果。
3. 学生了解假设检验在不同领域的应用，如生物、医学、经济等。
技能目标：1. 学生能独立设计假设检验实验，包括选择检验方法、确定显著性水平等。
2. 学生能运用统计软件或计算器进行假设检验计算，处理数据并得出结论。
3. 学生具备一定的批判性思维，能对假设检验结果进行合理分析和评价。
情感态度价值观目标：1. 学生培养对统计学的好奇心和兴趣，认识到其在科学研究和现实生活中的重要性。
2. 学生在团队合作中进行假设检验实验，学会尊重他人观点，培养合作精神。
3. 学生通过解决实际问题，增强自信心，培养勇于探索、严谨治学的态度。
课程性质：本课程为高中数学选修课，旨在帮助学生掌握假设检验的基本知识和技能，提高数据分析能力。
学生特点：高中生具有较强的逻辑思维能力和抽象思维能力，对统计方法有一定了解，但实际应用能力有待提高。
教学要求：结合学生特点和课程性质，采用案例教学、小组讨论、实际操作等多种教学方法，注重培养学生的实际应用能力和批判性思维。
在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，确保课程目标的实现。
通过本课程的学习，使学生能够将假设检验应用于实际问题，提高数据分析素养。
二、教学内容本课程以人教版高中数学选修《概率与统计》教材为基础，围绕假设检验主题，组织以下教学内容：1. 假设检验的基本概念与原理- 假设检验的定义与分类- 假设检验的基本步骤- 假设检验中的两类错误2. 常见假设检验方法及其应用- 单样本t检验- 双样本t检验- 卡方检验- F检验3. 假设检验在实际问题中的应用案例分析- 生物领域的假设检验案例- 医学领域的假设检验案例- 经济领域的假设检验案例4. 假设检验中的统计软件应用- 使用Excel进行假设检验计算- 使用R语言进行假设检验分析教学内容安排与进度：第一课时：假设检验基本概念与原理第二课时：单样本t检验及其应用第三课时：双样本t检验及其应用第四课时：卡方检验及其应用第五课时：F检验及其应用第六课时：实际问题中的应用案例分析第七课时：统计软件在假设检验中的应用三、教学方法本课程采用多样化的教学方法，结合讲授法、讨论法、案例分析法、实验法等，充分激发学生的学习兴趣和主动性。
v1.0 可编辑可修改假设检验一、假设检验的概念统计推断包括两大方面的内容，其一为参数估计(如总体均数的估计)，另一方面，即假设检验（hypothesis test)。
假设检验过去亦称显著性检验（significance test)。
其基本原理和步骤用以下实例说明。
例为研究某山区成年男子的脉搏均数是否高于一般成年男子的脉搏均数。
某医生在一山区随机抽查了 25名健康成年男子，求得其脉搏的均数为 74．2次／分，标准差为6．0次／分。
根据大量调查，已知健康成年男子脉搏均数为72次／分；能否据此认为该山区成年男子的脉搏均数高于一般成年男子的脉搏均数本例可用下图表示。
显然，本例其目的是判断是否μ＞μ0。
从所给条件看，样本均数X与已知总体均数μ0不等，造成两者不等的原因有二：①非同一总体，即μ#μ0；②同一总体即μ=μ0，两个均数不相等的原因在于抽样误差。
假设检验的目的就是要判断造成上面两个均数不等的原因是哪一个。
也就是说，是解决样本均数代表性如何的问题。
上例是，样本均数比已知总体均数大，有可能是由于抽样误差引起，也有可能是由于所调查的样本人群的生活环境、生活习惯、遗传或其他原因所致，如何判断呢，这就需要利用统计学方法----假设检验方法。
假设检验也是统计分析的重要组成部分。
(提问：统计分析包括参数估计和假设检验)下面我们以例题所提出的问题学习假设检验的基本步骤，同时学习样本均数与总体均数比较的t检验。
假设检验一般都是有“名”的，比如t检验，大家要知道假设检验的命名通常是以所要计算的统计量来命名的，如t检验、F检验、X2检验等。
后面有进一步介绍。
二、假设检验的基本步骤(三)选定检验方法，计算检验统计量应根据研究目的、变量或资料类型、设计方案、检验方法的适用条件等选择检验方法，并计算统计量（test statistic)。
如两均数比较可选用t检验，(当样本含量较大，如n>100时可用u检验；两样本方差比较可选用F检验、率的比较可选用u检验或x2检验。
概率论与数理统计教案-假设检验一、教学目标1. 理解假设检验的基本概念和原理；2. 学会使用假设检验方法对样本数据进行推断；3. 掌握假设检验的类型、步骤和判断准则；4. 能够运用假设检验解决实际问题。
二、教学内容1. 假设检验的基本概念和原理假设检验的定义假设检验的目的是什么假设检验的基本原理2. 假设检验的类型单样本检验双样本检验配对样本检验3. 假设检验的步骤建立假设选择检验统计量确定显著性水平计算检验统计量的值做出判断4. 假设检验的判断准则拒绝域和接受域检验的拒绝准则检验的接受准则5. 假设检验的应用实例应用假设检验解决实际问题实例分析与解答三、教学方法1. 讲授法：讲解假设检验的基本概念、原理、类型、步骤和判断准则；2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用假设检验方法解决问题；3. 互动教学法：提问、讨论、解答学生提出的问题，促进学生理解和掌握知识；4. 练习法：布置课后作业，让学生巩固所学知识，提高运用能力。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源；2. 投影仪、电脑等教学设备；3. 课后作业及答案。
五、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引入假设检验的基本概念和原理；2. 讲解假设检验的基本概念和原理，阐述其目的是什么；3. 讲解假设检验的类型，引导学生了解各种类型的假设检验；4. 讲解假设检验的步骤，让学生掌握进行假设检验的方法；5. 讲解假设检验的判断准则，使学生明白如何做出判断；6. 分析实际问题，引导学生运用假设检验方法解决问题；7. 布置课后作业，让学生巩固所学知识；8. 课堂小结，总结本节课的主要内容和知识点。
教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解和掌握假设检验的基本概念、原理和步骤，并通过实际问题让学生学会运用假设检验方法。
要关注学生的学习反馈，及时解答他们提出的问题，提高他们的学习兴趣和积极性。
六、教学评估1. 评估方式：课后作业、课堂练习、小组讨论、个人报告2. 评估内容：学生对假设检验基本概念的理解学生对假设检验类型和步骤的掌握学生对假设检验判断准则的应用学生解决实际问题的能力七、课后作业1. 完成教材后的练习题2. 选择一个实际问题，运用假设检验方法进行分析和解答3. 总结本节课的主要内容和知识点，写下自己的学习心得八、课堂练习1. 例题解析：分析教材中的例题，理解假设检验的步骤和判断准则2. 小组讨论：分组讨论课后作业中的问题，共同解决问题，交流学习心得3. 个人报告：选取一个实际问题，进行假设检验的分析和解题过程报告九、教学拓展1. 假设检验的扩展知识：学习其他类型的假设检验方法，如非参数检验、方差分析等2. 实际应用案例：搜集更多的实际问题，进行假设检验的分析和解答3. 软件操作实践：学习使用统计软件进行假设检验，提高数据分析能力十、教学计划1. 下一节课内容预告：介绍假设检验的扩展知识和实际应用案例2. 学习任务布置：预习下一节课的内容，准备相关问题和建议3. 课后自学计划：鼓励学生自主学习，深入了解假设检验的方法和应用教学反思：在完成本节课的教学后，要关注学生的学习情况，及时解答他们提出的问题，并提供必要的辅导。
假设检验课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握假设检验的基本原理和方法，能够运用假设检验解决实际问题。
具体分为以下三个部分：1.知识目标：学生需要了解假设检验的基本概念、假设检验的两种类型（单样本检验和两样本检验）、检验统计量、p值和置信区间等。
2.技能目标：学生能够运用假设检验方法对实际问题进行数据分析和结论推断，掌握假设检验的计算和结果解释。
3.情感态度价值观目标：培养学生对科学探究的兴趣和好奇心，培养学生的逻辑思维和数据分析能力，使学生认识到数学与实际生活的紧密联系。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个部分：1.假设检验的基本概念和类型：介绍假设检验的定义、目的和意义，讲解单样本检验和两样本检验的适用场景。
2.检验统计量、p值和置信区间：讲解检验统计量的计算方法，介绍p值的概念和判断标准，解释置信区间的含义和作用。
3.假设检验的实际应用：通过具体案例使学生掌握假设检验在实际问题中的应用，学会用假设检验进行数据分析和结论推断。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标，将采用以下几种教学方法：1.讲授法：讲解假设检验的基本概念、原理和方法，使学生掌握必要的理论知识。
2.案例分析法：通过具体案例使学生了解假设检验在实际问题中的应用，培养学生解决实际问题的能力。
3.讨论法：学生进行小组讨论，分享学习心得和经验，互相借鉴，提高学习效果。
4.实验法：安排课堂实验，让学生亲自操作，体验假设检验的过程，增强实践能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，将准备以下教学资源：1.教材：选用权威、实用的数学教材，为学生提供系统的理论知识。
2.参考书：提供相关领域的参考书籍，丰富学生的知识体系。
3.多媒体资料：制作精美的PPT，直观展示假设检验的过程和实例，提高学生的学习兴趣。
4.实验设备：准备计算机、统计软件等实验设备，方便学生进行课堂实验和操作练习。
五、教学评估本节课的教学评估将采用多种方式，以全面、客观地评价学生的学习成果。
第八章假设检验§8.1 基本概念§8.2 正态总体均值的假设检验§8.3 正态总体方差的检验§8.4 拟合优度检验一. 构造检验法的基本思想重要理论依据:小概率原理------在一次试验中,极小概率的事件几乎不发生. (来源于贝努利大数定律)下面我们就下例来说明构造假设检验的检验法的基本思想.P152例8.1.1：某工厂生产10 欧姆的电阻,根据以往生产的电阻实际情况,可以认为: 电阻值X服从正态分布N(µ, 0.12)。
现在随机抽取10个电阻, 测得它们的电阻值为:9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10.0, 10.5, 10.1, 10.2.问: 从样本看能否认为该厂生产的电阻平均值µ= 10 欧姆?I. 如何建立检验模型●确定总体:记X 为该厂生产电阻的测值,则X ～N(µ, 0.12)；●明确任务：通过样本推断 “X 的均值μ是否等于10欧姆”；●假设：任务是要通过样本检验“X 的均值μ=10”这一假设 是否成立。
在数理统计中，把“X 的均值μ=10=10””这样一个待检验的假设记为“原假设”或“零假设”,记成“H0：μ =10=10””。
原假设的对立面是“X 的均值μ≠10”，称为“对立假设”或“备择假设”，记成 ““H1: μ≠10”。
把原假设和对立假设合写在一起，就是:H：μ =10； H1：μ≠10.二. 两类错误与显著性水平根据检验法作出接受或拒绝假设的推断的依据是样本，由于样本的随机性和局限性,有时难免会引出错误的判断,使用一个检验法可能犯的错误有两类:(1)明明假设H0是成立的,但根据样本拒绝了H0;(2)明明假设H0是不成立的,但根据样本接受了H0;(1)为第一类错误,称为弃真错误.(2)为第二类错误,称为取伪错误.(1) 明明假设H 0是成立的,但根据样本拒绝了H 0;(1)为第一类错误,称为弃真错误.例:某学生的学习成绩优异是H 0, H 0本来是成立的,也就是说这个学生的成绩是真的很好,但是,一次考试(等于老师对学生的学习进行抽样测试),因为老师出的题大多刚巧出在了这个学生的薄弱环节,学生考出的成绩很差,老师根据考试成绩得出了这个学生学习不好的结论,这就是根据样本拒绝了H 0H 0的拒绝域,此概率为犯第一类错误就等价于当H 0成立时而样本观测值落入00(|)P H H α=拒绝为真加样本容量,这在实际问题中,就要增加抽样检查的费用,或者要花更长的时间,从而也不是可取的.一般原则是,在固定样本容量n 和犯第一类错误的概率α的条件下,努力降低犯第二类错误的概率.在数理统计中,称只考虑在给定的样本容量之下n α和所构造的检验法为统计假设的显著性检验.显然对一个检验法来说,犯两类错误的概率都是越小越好,可惜的是当样本容量固定时,犯两类错误的概率是相对制约的,两个值就象坐在一个跷跷板上,一个小了另一个就大,一个大了另一个就小,要同时减少两类错误的概率只有增。
㊀㊀㊀㊀㊀假设检验的基本思想和有关概念的教学设计假设检验的基本思想和有关概念的教学设计Һ魏满满１㊀李石虎２∗㊀周㊀勤２㊀（１．江苏师范大学科文学院，江苏㊀徐州㊀２２１１１６；２．江苏师范大学数学与统计学院，江苏㊀徐州㊀２２１１１６）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文主要探究了假设检验的基本思想和有关概念的教学设计．首先，通过 女士品茶 的故事引入，提炼出假设检验的基本思想；其次，通过分析项链含金量这一实际案例总结出假设检验的基本步骤，并介绍了假设检验的两类错误和ｐ值的概念；最后，融入思政的元素，丰富了课堂教学内容．ʌ关键词ɔ假设检验；教学设计ʌ基金项目ɔ江苏师范大学课程思政专项研究（ＫＣＳＺＹ１７）；江苏师范大学数学与统计学院思政示范课程（ＸＹＫＣＳＺ０１）一㊁引㊀言概率论与数理统计课程是各个高校理工科的基础必修课，它在理工科及经管类各专业被广泛应用．假设检验是概率论与数理统计中的重要知识点，是统计推断的主要方法之一，在概率统计的理论研究与实际应用中都占有极其重要的地位．２０１９年３月１８日，在学校思想政治理论课教师座谈会上，习近平总书记明确提出［１］：要坚持灌输性和启发性相统一，注重启发性教育，引导学生发现问题㊁分析问题㊁思考问题，在不断启发中让学生水到渠成得出结论．近年来，各大高校都十分重视思政建设，通过教师培训㊁专家讲座㊁示范课程等多种方式来加深教师对课程思政的理解．教师是高校的 第一主角 ，作为专业课教师，也有责任和义务认真挖掘所授课程的 思政元素 ．例如，２０２１年，李晨和陈丽萍［２］在研究概率统计的思政元素时，以概率学者的文化素养和科学治学精神为切入点，通过多个实际案例剖析全概率公式的应用，潜移默化地引入诸多思政元素来激发学生的学习兴趣．受此启发，本文着重从概率论与数理统计课程中 假设检验 这一角度思考，通过教学设计来探索课程思政理念进概率统计课堂的实践方法，目的就是同大家交流如何上好 假设检验 这一知识点的教学课．首先，我们通过 女士品茶 这一广为流传且富有趣味性的故事引入，启发学生思考，从中提炼出假设检验的基本思想．其次，我们通过分析项链含金量这一实际案例总结出假设检验的基本步骤．接着，我们介绍假设检验的两类错误和ｐ值的概念，并介绍假设检验的一些应用．最后，我们融入思政的元素，以我国著名数学家严加安院士的‘悟道诗“为结尾，阐述了概率统计的基本思想，同时激励学生向老一辈科学家学习，树立正确的价值观，从而丰富了课堂教学内容．二㊁教学过程（一）问题引入首先，我们从一个经典故事出发，来体会假设检验的基本思想．例１［３］㊀（女士品茶试验）故事发生在英国剑桥大学，那是２０世纪２０年代，一群大学精英们正在品茶．该茶是由牛奶和茶水混合而成的．在品茶过程中，一位女士宣称：先加入牛奶还是先加入茶，不同的顺序会使茶的口感不同．周围人都认为这位女士简直是在胡言乱语，这是不可能的啊！然而在场的统计学家Ｆｉｓｈｅｒ却对这个话题很感兴趣，他请人端来１０杯调制好的茶让该女士品尝，其中有的是先加的牛奶，有的是先加的茶．结果，这位女士正确地鉴别出每一杯茶的制作顺序．该如何判断该女士是否有鉴别能力呢？Ｆｉｓｈｅｒ的想法：假设该女士没有鉴别能力，这个时候她只能靠猜，从而她猜对的概率为１２．因此，她能同时判断出１０杯茶的概率为２－１０＜０．００１，这个概率非常非常小，仅仅做一次试验是几乎不会发生的，可是，它却发生了！这表明原假设不恰当，应予以拒绝，认为该女士有鉴别能力！假设检验的基本思想：小概率反证法思想．先提出假设，然后设计试验，在原假设成立的条件下计算概率，依据小概率原理来判断是否拒绝原假设．那么多大的概率属于小概率呢？对于不同的问题，会有不同的标准，在统计学中，这个小概率称为显著性水平，常取０．０５或０．０１．接下来，我们就通过生活中的一个实际案例来探索一下假设检验的奥秘．（二）实例分析在生活中，经常会遇到一组数据，我们来看下面的例子．例２［４］㊀质检部门接到投诉后，对某金店进行调查，从标有１８Ｋ的一批项链中抽取２０条，测得其含金量如下：表１㊀某金店项链含金量数据单位：Ｋ１７．６１８．１１７．９１８．３１８．０１７．４１７．５１８．６１７．３１７．８１７．３１７．８１８．１１７．４１７．６１８．０１７．２１８．３１８．３１７．５∗通信作者：李石虎，男，讲师，博士，就职于江苏师范大学，研究方向为概率论与数理统计．联系方式：江苏省徐州市江苏师范大学泉山校区数学与统计学院；电话邮编：２２１１１６；Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｈｉｈｕｌｉ＠ｊｓｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀问：如何判断这批项链有没有达到标准呢？（显著性水平α＝０．０５）分析：观察表１中的数据，我们可以发现：有的含金量大于１８Ｋ，有的含金量小于１８Ｋ，还有的恰好等于１８Ｋ．那么我们能否直接说和标准值１８Ｋ有显著差别呢？根据所学的统计学思想方法，我们已经了解到答案是否定的，因为这里看到的只是样本数据，我们无法直接做出判断．那么应该如何判断呢？我们的思路如下：首先，计算出这２０条项链含金量的平均值为１７．８，它与标准值１８存在０．２的差值．这０．２的差值是由抽样引起的误差，还是有本质的差别？我们利用上述思想来检验一下．令ξ表示这批项链的含金量，由中心极限定理可知ξ ㊃Ｎ（μ，σ２），我们要检验均值是否为μ＝１８，具体步骤如下：１．建立假设．原假设Ｈ０：μ＝１８，表示这批项链符合标准；与之对立的备择假设Ｈ１：μʂ１８，表示这批项链不符合标准．２．在Ｈ０成立时，由Ｆｉｓｈｅｒ定理可知统计量Ｔ＝ ｘ－μＳｎｎｔ（ｎ－１）＝ｔ（１９）．３．由Ｔ分布图像（如图１）可以看出：Ｔ的取值集中在零点附近．这表明：｜Ｔ｜越大，对应的概率就越小．从而存在临界值Ｃ，使得｜Ｔ｜大于或等于Ｃ是一个小概率事件，则Ｃ要满足Ｐ（｜Ｔ｜ȡＣ｜Ｈ０成立）＝α，再由Ｔ分布图像的对称性可知Ｃ＝ｔ０．９７５（１９）ʈ２．０９３．图１㊀Ｔ分布图像从而，当｜Ｔ｜ȡ２．０９３时，非常小的概率事件在此就发生了，只能拒绝原假设Ｈ０．我们将Ｗ＝｛（ξ１，ξ２， ，ξｎ）｜｜Ｔ｜ȡ２．０９３｝这一集合称为拒绝域，如果样本的观测值落到Ｗ中，则原假设应被拒绝．４．代入样本均值和样本标准差进行计算，得到所观测的样本统计量ｔ的值：｜ｔ｜＝｜１７．８－１８｜０．４０３９３２０ʈ２．２１４＞２．０９３，其落到拒绝域Ｗ中，因此原假设被拒绝，故这批项链没有达到标准．为了更直观地理解拒绝域的含义，同学们可以参考Ｔ分布图像．小结㊀本案例利用假设检验思想得出了该金店项链的含金量不符合标准的结论，启发我们对待任何事情都不要抱有侥幸心理，不要弄虚作假，要诚信做人做事，方能赢得大家的信任．项链含金量不达标可能只是使消费者金钱方面的利益受损．试想一下：如果是某大型婴儿奶粉企业检测出质量不达标的产品呢？再或者是婴儿霜经检测含有毒物质呢？抑或是我们服用的某种药物检测出有危害健康的成分呢？这些案例都不是捕风捉影，均上过各大网站热搜，引起了消费者的恐慌．利用假设检验这个工具，有助于我们全面地认识这类事件，既可以让我们避免无谓的损失，又可以帮助我们找到有利的取舍依据．（三）假设检验的基本步骤通过对上述案例的分析，我们可以归纳出求解假设检验的基本步骤：第一步：从要研究的实际问题引入，先提出一个假设，一般称之为原假设，记为Ｈ０，与其对立的假设称为备择假设，记为Ｈ１．例如，在上述案例中，原假设为 这批项链符合标准 ，备择假设为 这批项链不符合标准 ．第二步：依据所研究总体服从的分布，我们来构造合适的检验统计量，并通过所学知识来确定统计量服从的分布．第三步：接下来，我们需要确定检验的拒绝域Ｗ使得Ｐ（（ξ１，ξ２， ，ξｎ）ɪＷ｜Ｈ０成立）ɤα．第四步：根据样本数值计算统计量所对应的观测值．如果计算所得观测值落进了Ｗ中，则说明原假设不当，应予以拒绝，否则原假设不可以被拒绝．（四）假设检验的两类错误在 女士品茶 的例子中，如果该女士本来就没有鉴别能力，但是她运气好，每次都猜对了，这时候我们的推断就出错了．事实上，在假设检验问题中，我们由样本提供的信息来推断总体信息，由于样本只包含总体的一部分信息，这就不可能保证从来不会犯错误．假设检验可能犯的错误有如下两类：（Ⅰ）是否在 拒绝假设Ｈ０ 时用了 小概率原理 ．注意小概率事件并非不可能事件，如果原假设本为真，但由于样本值落进了拒绝区域内而得出 拒绝 的结论，这里犯的错误为弃真错误，通常称为第一类错误，记为α，即Ｐ（拒绝Ｈ０｜Ｈ０为真）＝α．（Ⅱ）反之，如果原假设Ｈ０本来是不成立的，却由于样本值未落进拒绝区域而得出 不能拒绝 的结论．这里的错误是纳伪错误，一般称为第二类错误，记作β，即Ｐ（接受Ｈ０｜Ｈ０不真）＝β．根据检验法则知：当Ｈ０成立时，拒绝Ｈ０的概率小于或等于显著性水平α，但是显著性水平α取得越小越好，因为㊀㊀㊀㊀㊀此时拒绝域也会相应地减小，从而导致犯第二类错误的概率增大．这是一个矛盾的双方，类似于区间估计时的做法，我们需要先固定显著性水平α，再选择合理的检验统计量来适当地减小β的值．下面我们再结合一个实际例子来理解两类错误：在新冠肺炎疫情发生初期，新闻报道中时常会出现 假阳 的检测结果．我们可以从假设检验的两类错误的角度来理解：事实上，任何检验方法都会存在犯错误的可能性，理想的试剂应是 假阴 和 假阳 出现的概率都越小越好，但当样本量有限㊁检测技术没有明显优化提升时，一类错误概率的减少必会导致另一类错误概率的增加，因此处理原则是：人为限定犯第一类错误的概率α，为降低犯第二类错误的概率，我们可以增大样本容量．所以，从统计学的观点看，新闻报道中的 假阴 假阳 患者出现并不奇怪．启发：小概率事件虽然在一次试验中不易发生，但绝非不可能事件，重复次数多了，发生的可能性也就增大了．这说明做任何事情都不要存在投机取巧的心理，俗话说 常在河边走，哪有不湿鞋 勿以恶小而为之，勿以善小而不为 ．反之，再困难的事情，只要我们持之以恒，总是可以成功的，正所谓 锲而不舍，金石为开 ！（五）假设检验的ｐ值可以看出，显著性水平α变小，对应的拒绝域也会变小；当显著性水平α取得足够小时，使得样本值不落在相应的拒绝域中，从而在此显著性水平α下不能拒绝假设Ｈ０．当显著性水平α由上述足够小的值不断增大时，对应的拒绝域也会变大，当显著性水平α大到一定程度时，便可以使样本值落入相应的拒绝域中，从而在此显著性水平α下可以拒绝假设Ｈ０．对于一个确定的样本值，存在一个实数ｐ（０＜ｐ＜１），当显著性水平α＝ｐ时可以拒绝Ｈ０，而当α＜ｐ时原假设Ｈ０不可以被拒绝．可见，ｐ是使依据给定样本数值做出 拒绝Ｈ０ 的最小的那个显著性水平，我们称之为检验的ｐ值．在例２中，我们也可以通过统计软件计算ｔ统计量的值和ｐ值：表２㊀某金店项链含金量检验结果检验值＝１８ｔｄｆｐ值均值差值项链含金量－２．２１４１９０．０３９－０．２００００给定显著性水平α为０．０５，由表２可知ｐ值０．０３９＜０．０５，原假设应被拒绝，认为项链含金量与１８Ｋ之间有显著的统计差异，从而得出 项链不符合标准 的结论．（六）课堂小结与思政本节课我们主要通过 女士品茶 的案例引入假设检验的基本思想，通过分析项链含金量这一实际案例总结出假设检验的基本步骤，也给出了假设检验的两类错误和ｐ值的含义，这为接下来进一步学习不同类型的㊁具体的假设检验打下了必要的基础．假设检验不仅是一种重要的统计方法，更是一种思维方式，告诉我们用数据来说话，理性地看待问题．正因为如此，假设检验在我们的现实生活中有着十分重要的应用．比如，专家利用假设检验，结合临床数据分析不同采样点㊁人群㊁年龄的新冠病毒核酸检测的结果，给有关部门的决策提供参考．假设检验的理论方法不仅被广泛应用于医学检验㊁生物制药等诸多领域，在我们的生产生活，特别是工业产品的质量判断中也有着十分广泛的应用［５］，因为在工厂的实际生产过程中，产品的尺寸总是左右浮动的，存在一定的误差，那么如何判断这些误差是否在允许的范围内？这就要用到假设检验的思想方法．不仅如此，假设检验的理论还可应用于文学研究．例如，东南大学韦博成教授在２００９年［６］利用假设检验的理论方法分析了‘红楼梦“前８０回与后４０回的某些文风差异，得到的结论是 这两部分内容在写作风格方面存在明显的差异 ，给关于‘红楼梦“作者的论断提供了一个强有力的证据．在现实生活中，数据是无处不在的，学习假设检验的思想方法有助于我们正确地挖掘数据背后的规律，做出更客观的判断．如今，我们身处一个大数据时代，通过学习假设检验，更重要的是培养透过现象看本质这一统计思维．这里，调查得来的数据是现象，规律是从数据中探索出来的本质属性．我们需要借助数学模型，并结合统计方法来寻找这其中的规律和随机性，在潜移默化中培养统计思维．正如我国著名的数学家严加安院士在‘悟道诗“中所题：随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．注：课后同学们若想进一步了解统计学的发展历程，可以读一读‘２０世纪统计怎样变革了科学：女士品茶“［７］这一科普著作．ʌ参考文献ɔ［１］习近平主持召开学校思想政治理论课教师座谈会［Ｎ］．新华社，２０１９－０３－１８，２０：５７．［２］李晨，陈丽萍．概率论与数理统计课程教学中思政元素的挖掘与实践［Ｊ］．大学教育，２０２１（９）：１０４－１０６．［３］茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程：第３版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９．［４］朱元泽，李贤彬．概率论与数理统计［Ｍ］．上海：上海交通大学出版社，２０１５．［５］乔静．假设检验在工业产品质量判断中的应用［Ｊ］．机电信息，２０２０（２７）：１４２－１４３．［６］韦博成．‘红楼梦“前８０回与后４０回某些文风差异的统计分析（两个独立二项总体等价性检验的一个应用）［Ｊ］．应用概率统计，２００９（４）：４４１－４４８．［７］萨尔斯伯格．２０世纪统计怎样变革了科学：女士品茶［Ｍ］．北京：中国统计出版社，２００４．。
假设检验的基本概念及其应用假设检验是统计学中的一种重要方法,广泛应用于各个学科领域。
它主要用于判断某一假设是否成立,为研究人员提供决策依据。
本文将从基本概念、原理和步骤、常见假设检验方法等方面,系统性地介绍假设检验的基本知识,并探讨其在实际应用中的具体运用。
一、假设检验的基本概念假设检验是指根据样本信息,对总体参数或分布特征提出的假设进行检验的过程。
它包括两个关键要素:原假设和备择假设。
原假设(Null Hypothesis, H0)是待检验的命题,表示某一特征或参数的值等于某个预设值;备择假设(Alternative Hypothesis, H1)则是对原假设的否定命题,表示该特征或参数的值不等于预设值。
假设检验的基本原理是,通过对样本数据进行统计分析,计算出某个统计量的观测值,并根据该统计量的理论分布,判断原假设是否成立。
如果观测值落在原假设成立的概率很小的区域内,则可以认为原假设不成立,接受备择假设;反之,如果观测值落在原假设成立的概率较大的区域内,则无法否定原假设,应该接受原假设。
二、假设检验的基本步骤假设检验一般包括以下基本步骤:1. 提出原假设和备择假设。
根据研究目的和已有知识,合理地提出原假设和备择假设。
2. 选择检验统计量。
根据研究假设和样本信息,选择合适的检验统计量。
常见的检验统计量有t检验、卡方检验、F检验等。
3. 确定显著性水平。
一般将显著性水平(α)设置为0.05或0.01,表示在原假设成立的情况下,错误拒绝原假设的概率不超过该水平。
4. 计算检验统计量的观测值。
根据样本数据计算出检验统计量的观测值。
5. 确定临界值。
根据所选检验统计量的理论分布,查表确定在显著性水平α下的临界值。
6. 做出判断。
将检验统计量的观测值与临界值进行比较,如果观测值落在拒绝域(小于下临界值或大于上临界值),则拒绝原假设,接受备择假设;否则,接受原假设。
7. 得出结论。
根据前述判断结果,得出最终的研究结论。
高考数学知识点速记假设检验的原理与步骤高考数学知识点速记：假设检验的原理与步骤在高考数学中，假设检验是一个重要的知识点。
它不仅在统计学中有着广泛的应用，也是培养我们逻辑思维和数据分析能力的重要工具。
接下来，让我们一起深入了解假设检验的原理与步骤。
一、假设检验的基本概念假设检验是根据样本所提供的信息，对关于总体的某个假设进行检验，判断这个假设是否成立。
我们通常会提出两个相互对立的假设：原假设（H₀）和备择假设（H₁）。
原假设是我们想要检验其是否为真的假设，而备择假设则是在原假设不成立时的另一种可能。
例如，我们想检验某种药物是否有效。
原假设可能是“该药物无效”，备择假设则是“该药物有效”。
二、假设检验的原理假设检验的基本原理是基于小概率事件原理。
小概率事件在一次试验中几乎不可能发生。
如果在一次试验中，小概率事件竟然发生了，我们就有理由怀疑原假设的正确性，从而拒绝原假设，接受备择假设。
在进行假设检验时，我们首先假定原假设成立，然后根据样本数据计算出一个统计量的值。
这个统计量的值会反映样本与原假设之间的差异程度。
接着，我们根据预先设定的显著性水平（α）来确定一个临界值。
如果计算得到的统计量的值超过了临界值，就说明样本与原假设之间的差异过大，是小概率事件发生了，我们就拒绝原假设；否则，我们就不能拒绝原假设。
三、假设检验的步骤1、提出原假设和备择假设原假设和备择假设要相互对立且完整。
例如，对于一个关于均值的假设检验，原假设可以是“总体均值等于某个值μ₀”，备择假设则可以是“总体均值大于μ₀”、“总体均值小于μ₀”或“总体均值不等于μ₀”。
2、选择合适的检验统计量检验统计量的选择取决于所研究的问题、总体的分布以及样本的大小等因素。
常见的检验统计量有 z 统计量、t 统计量等。
3、确定显著性水平显著性水平α表示在原假设为真的情况下，拒绝原假设的概率。
通常，我们会选择α ＝ 005 或α ＝ 001 等。
4、计算检验统计量的值根据样本数据，按照所选检验统计量的公式计算出其值。
