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基于Catmull_Clark细分的曲面重构

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自适应细分方法进行曲面造型

自适应细分方法进行曲面造型

自适应细分方法进行曲面造型
赵宏庆;彭国华;叶正麟;周敏
【期刊名称】《计算机应用研究》
【年(卷),期】2006(023)009
【摘要】充分利用可调控Catmull-Clark细分规则与均匀的Catmull-Clark细分规则的优点,提出了自适应细分方法.该方法简单,比传统的单一细分方法有更好的灵活性,通过适当调节控制因子,可使得曲面造型比较灵活.通过分析曲面上点的曲率来控制细分,可以在较低的细分次数下达到良好的曲面造型效果,为曲面造型提供了一个新的方法.
【总页数】4页(P72-74,77)
【作者】赵宏庆;彭国华;叶正麟;周敏
【作者单位】西北工业大学,理学院,陕西,西安,710072;西北工业大学,理学院,陕西,西安,710072;西北工业大学,理学院,陕西,西安,710072;西北工业大学,理学院,陕西,西安,710072
【正文语种】中文
【中图分类】TP311.5
【相关文献】
1.用参数样条插值挖补方法进行大规模散乱数据曲面造型 [J], 关履泰;覃廉;张健
2.可调自适应三角网格的细分曲面造型方法 [J], 赵付青;艾鑫
3.基于四边形网格的可调细分曲面造型方法 [J], 任水利;张凯院;叶正麟;赵宏庆
4.三角形网格细分法及其在曲面造型中的应用 [J], 魏欣;刘希玉;牛雪丽
5.三角形网格细分法及其在曲面造型中的应用 [J], 魏欣;刘希玉;牛雪丽;
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基于Catmull-Clark细分规则的双参数细分曲面

基于Catmull-Clark细分规则的双参数细分曲面

基于Catmull-Clark细分规则的双参数细分曲面
韩旭里;邹冬花
【期刊名称】《图学学报》
【年(卷),期】2007(028)002
【摘要】通过在曲面细分过程中引入两个参数,给出一种新的细分曲面构造的算法,使得所得的细分曲面可调.通过调节一个参数值,可以得到一族细分曲面.另一个参数是细分过程的改变参数,改变它的初值,也可得细分结果.最后给出了曲面设计的实例,表明这种算法简单、有效.
【总页数】4页(P100-103)
【作者】韩旭里;邹冬花
【作者单位】中南大学数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410083;中南大学数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410083
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.基于边界采样的插值Catmull-Clark细分曲面造型 [J], 梁伟文;戴珏
2.Catmull-Clark细分曲面的正则性 [J], 王晶;蔺宏伟;王潇;卢兴江
3.带矩阵权值的Catmull-Clark细分曲面渐进插值算法 [J], 张莉;佘祥荣;葛先玉;檀结庆
4.Catmull-Clark细分曲面边界元法的结构声学拓扑优化分析 [J], 陈磊磊;王中王;
卢闯;高春华;刘林超
5.基于C-B样条的Catmull-Clark细分曲面 [J], 林兴;罗国明;张纪文
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表面细分算法

表面细分算法

表面细分算法
表面细分算法是一种用于生成高精度、高质量几何模型的方法。

它可
以将简单的三角形网络逐步细分为更复杂的几何形状，提高模型的准确性
和细节。

常见的表面细分算法包括：
1. Catmull-Clark细分算法：该算法是一种基于网格的方法，通过
对三角面片进行逐层细分，生成平滑的模型表面。

该算法适用于几何体、
动画和游戏等领域。

2. Loop细分算法：该算法是一种适用于细分高精度模型表面的方法，能够生成更细腻、更真实的表面细节。

该算法通过连接顶点和面片，生成
具有更高阶曲率的曲面。

3. Doo-Sabin细分算法：该算法可以将四边形及其子孙面细分为另
外四个四边形，从而生成更复杂的几何形状。

该算法可以产生类似于细胞、泡沫等复杂几何形状。

Catmull—Clark细分多面体的研究和实现

Catmull—Clark细分多面体的研究和实现
后 来 Ｄ ｏ和 Ｓ ｂｎ利 用 矩 阵 Ｆ ｕｉｒ 析 的技 术 对 Ｃ ｔ ｕ — ｌｒ ｏ ａｉ ０ｒ 分 ｅ ａ ｌ Ｃ ａｋ ｍ ｌ 的 收敛 性 进 行 分析 ［ 标 志 着 细分 方 法 的开 始成 为 曲面 造 型 的 一 ３ １ ． 种 工 具 。 基 于 四 边 形 网格 的 细 分 方 法 研 究 中 ．很 多 工 作 是 在
２ ｎ ４ ｎ
２ ． ５
２６ ．
（） 界 Ｅ 顶 点 ｃ边 一
（） ｄ 内部 Ｖ 顶 点 一
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文 中 实现 了正 方 体和 Ｌ型 多 面体 的 细 分 光 颇 。
【 关键词 】 ａ ｌ Ｃａｋ细分方法，细分光顺 ， ：Ｃ ｔ ｌ ｌｒ ｍｕ — 成 为 国 际 图形 学 领 域 的一 项 重 要 研 究 内 容 ． 分方 法 越 来 越受 到 广 泛 的应 用 ． 算 机 动画 以及 人 物 造 细 如计 型 方 面都 有 着 广泛 的应 用 细分 曲面 造 型 方法 在 图形 学 中 越 来 ◆Ｅ 顶 点 ： 一 即新 边 点 。根 据边 的 位 置 ， 一 点 可 以 分为 内部 Ｅ顶 越 受 研 究 者 的 青 睐 ． 目前 各 大 涉 及 造 型 的 软 件 公 司 甚 至 包 括 Ｅ 顶 点 和边 界 Ｅ 顶 点 。 一 一 Ｍｉ ｏｏ ．ｎ ｌＩＭ 等都 对 它 给 以 了非 常 高 的重 视 ， ｃ ｓｆ Ｉｔ 。Ｂ ｒ ｔ ｅ 细分 造 型 的 ● 内部 Ｅ 顶 点 ： 内部 边 的端 点 为Ｖ 和Ｖ 。 享 此边 的 两个 一 设 。 。共 原 理 已 经 在 高端 动 画 软 件 和 许 多 商业 造 型软 件 如 Ｍａ ａ， ｒｉ Ｙ Ｍｉ ． ａ 四边 形 面 分 别 为ＶＶ ＶＶ 和Ｖｌｏ ５ ０１ ２３ ＶＶ Ｖ 。那 么从 图２１Ｆｇ． （） ． ｉ２１ ｂ的 （ ） ３ ｔ ｉ Ｍａ． ｉｈ ｖ ＤＳｕ ｏ ｘ Ｌｇ ｔ ｅ等 软 件 中 使 用 。本 文 主 要 研 究 Ｃ ｔ ｄ Ｗａ ａ ． 细 分 面具 可 知相 应 的 Ｅ 顶 点 为 ： 一 １ ｌ Ｃａｋ 分 方 法 实现 多 面 体 细 分光 顺 的研 究 １ ｌ ｌｒ 细 ３ — ． ｕ ２ Ｃａｍｕｌ Ｃ ａｋ细 分 方 法 ． ｔ ｌ ｌｒ — Ｖ＝ ） ＋ ＋４ ） ｖ ２２ ．０ Ｃ ｔ ｌ Ｃａ ａ ｌ ｌ ｋ细 分 方 法 是 Ｕａ ｍｕ — ｒ ｔ ｈ大 学 的 Ｃ ｔ ｕｌ Ｃａ ａ ｌ和 ｌｒ ｍ ｋ于 Ｖ 还 可 以 写成 ： １７ 提 出… 这 是 最早 的 曲面 细分 模 式 。其 实 ． ａ ｕ 用 这 种 ９ ８年 ， Ｃｔ ｌ ｍ ｌ 思 想 生 成 曲 面 的 时 间 更早 些［ 但 当 时 还 缺 乏 严格 的 理 论 支 持 。 ２ １ ．

Catmull-Clark细分曲面等距面生成算法

Catmull-Clark细分曲面等距面生成算法

Catmull-Clark细分曲面等距面生成算法
原恩桃;邵兵;于忠海
【期刊名称】《上海电机学院学报》
【年(卷),期】2011(014)001
【摘要】针对带边界的Catmull-Clar细分曲面,根据内部顶点极限位置计算方法,给出了边界顶点极限点及法矢量的计算公式.利用控制网格顶点与其在细分曲面上位置的对应关系,将细分曲面的等距转化为解线性方程组的求解,并采用改进的基于四边形网格的Jacobi迭代法解线性方程组,得到等距后的控制网格.实例表明:采用该算法可以快速高效地生成细分曲面的等距面.
【总页数】6页(P11-16)
【作者】原恩桃;邵兵;于忠海
【作者单位】上海电机学院,机械学院,上海,200245;上海电机学院,机械学院,上海,200245;上海电机学院,机械学院,上海,200245
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.7
【相关文献】
1.一种基于网格简化的细分曲面生成算法 [J], 胡艳杰
2.Loop细分曲面的加工等距面生成及误差控制算法 [J], 白杰;赵罡;姚福生
3.Loop细分曲面的自适应等距面生成算法与实现 [J], 周海;周来水;王占东;钟大平
4.带折痕的Loop细分曲面等距面处理算法 [J], 白杰;赵罡;姚福生
5.带矩阵权值的Catmull-Clark细分曲面渐进插值算法 [J], 张莉;佘祥荣;葛先玉;檀结庆
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基于Catmull_Clark细分的曲面重构

基于Catmull_Clark细分的曲面重构
摘 要 利用收缩包围算法给出了一种对无结构三角网格拟合出 Catmull Clark 细分曲面的算 法, 根据 Catmull Clark 细分的特点, 具体设计了松弛算子和吸引算子. 通过提出用于三角形合 并的保凸约束和平坦度约束, 不但使得构造出的基网格保持了三角网格中的尖锐特征, 而且细 分后网格的边不会自交. 通过引入回插细分、给出四边形网格下的吸引算子和松弛算子, 使得 曲面在重构过程中无需识别网格中的尖锐特征, 能够对整个网格采用统一的方式进行处理. 基 网格的构造、网格顶点的调整、细分模式的选取和重构曲面的误差分析是算法的主要组成部 分. 关键词 曲面重构, 散乱数据, Catmull Clark 细分, 网格, 收缩包围算法 中图分类号 TP391 6
( 1) 如果一条边是边界边, 将其权值置为 1, 否则转步骤( 2) ; ( 2) 如果与这条边邻接的 2 个三角形合并后得到的四边形是凹四边形, 将其权值置为 1, 否则转步 骤( 3) ; ( 3) 计算与该边邻接的 2 个三角形所成的二面角的余弦值, 将这个值作为该边的权值. 以上述计算 边权值的方法为基础, 再给出定义. 定义 2 设对于一个三角形 T i , 有一个三角形 Tj 与之邻接, 若这 2 个三角形的公共边对应的权值 小于参数值 s , 则称 T i 、T j 是有效邻接; 否则就称它们无效邻接. 本文的计算中将 s 取为 0. 有了上面的准备工作, 给出三角形匹配的主要步骤如下: ( 1) 对网格中的每一条边计算权值, 并记录到相应的数据结构中. ( 2) 若面表中没有未匹配的三角形, 算法结束; 如果有尚未匹配的三角形, 但未匹配的三角形不存在 与之有效邻接的三角形, 算法结束; 否则, 计算每个未匹配三角形的有效邻接三角形的个数, 通过比较得 到与之有效邻接三角形个数最少的那个三角形 T i , 并记录其有效邻接的三角形 T j , 若同时有多个三角 形的有效邻接三角形个数同时最小, 记录其中权值最小的一对作为 T i 、T j . ( 3) 对 Ti 、Tj 进行合并, 得到一个四边形, 断开 T i 、T j 与其他三角形的联系, 将 T i 、T j 作已匹配标 记, 转步骤( 2) . 采用这个匹配过程对简化网格中的三角形进行匹配后, 或许还存在未匹配的三角形, 把这些三角形 依然保存在网格中, 不会影响后面的细分过程. 这样就得到了所需要的基网格. 原始网格、简化网格以及 用上述匹配方法得到的基网格如图 2 所示.

基于Catmull—Clark细分的曲面裁剪运算

袁鸿 吕北 生 廖文和
（． １ 南京航空航天大学 机 电学 院 ， 江苏 南京 ２０ １ ２ 西北工业大学 机 电学 院 ， １０ ６； ． 陕西 西安 ７０ ７ ） １０ ２
摘
要 ：曲 面裁剪 运 算是 Ｃ Ｄ Ｃ Ｍ 领 域 最重要 、 Ａ ／Ａ 最复 杂的 问题之 一 ， 四边 形 网格 在 工程
分曲面没有整体解 析表达式 ， 细分 曲面 求交 比参 使得 数 曲面 求 交更 加 困难 ， 导 致 细分 曲面 裁剪 不 易 实 也 现， 这也是细分 曲面未能广 泛应用 于 Ｃ Ｄ Ｃ Ｍ 曲面 Ａ ／Ａ 设 计的重要原 因之 一． 有关细分 曲面求交 裁剪 的研究 文献也 比较少 ， 国际上 目前 只有 ＬｔｅＢｅｍ ｎ ｉ ，ｉ ａｎ等在 ｋ ｒ
交点 处 的控制 网格 拓 扑结构 和 局部修 正控 制 网格顶
最复 杂 的 问题 之 一 … ， 泛 应 用 于 曲面 布 尔 运 算 、 广 数控 加工 中的 刀位 轨迹 计算 等 多 种 运 算 之 中． 谓 所
曲面裁剪就是指给定两 张曲面 ， 通过一定的算法求
出两 张 曲面的所 有交 线 的过 程 后 ， 原 来 完 整 的 将
运 算 。文 中还 给 出了控 制 网格 上任 意 点在 细 分 曲 面上 的位 置 计 算推 导 、 裁减 算 法流 程 与
应 用 实例 ．
关键 词 ：Ｃｔ ｌＣａｋ细分 曲 面 ； ａ ｌｌ ｍｕ — ｒ 拓扑 结构 ； 曲面裁 剪 ； 制 网格 控
中图分类号 ： Ｐ ９ Ｔ ３１
文献标识码 ： Ａ
曲面沿 交线 处分 开 ， 形成 新 的曲 面片 的过程 ． 由于 细
点位 置实 现 了对 细分 曲 面 的裁 剪 ． 们 的细 分 曲 面 他

几何造型中的若干细分方法研究及其应用的开题报告

几何造型中的若干细分方法研究及其应用的开题报告参考开题报告：一、研究背景几何造型在现代设计中扮演着重要角色，其应用场景越来越广泛。

在几何造型中，细分方法可以将简单的多边形网格转化为复杂的曲面，提高了造型的精度和真实感，同时也支持细节增加和曲面平滑。

因此，研究几何造型中的若干细分方法并探索其应用具有重要意义。

二、研究目的本研究旨在选取几种常用的细分方法，研究其理论原理、实现方法和特点，并通过实例分析探索其应用。

三、研究内容本研究将选取以下几种常用的细分方法进行研究：1. Catmull-Clark细分方法Catmull-Clark细分是一种基于五边形的细分方法，通过对原多边形进行递归细分，实现曲面的细化和平滑。

本研究将分析Catmull-Clark细分的理论原理、算法实现、特点和应用实例。

2. Loop细分方法Loop细分是一种基于三角形的细分方法，适用于细节增加和曲面平滑。

本研究将分析Loop细分的理论原理、算法实现、特点和应用实例，并比较其与Catmull-Clark细分的差异。

3. Doo-Sabin细分方法Doo-Sabin细分是一种基于四边形的细分方法，适用于向量量化和曲面重建。

本研究将分析Doo-Sabin细分的理论原理、算法实现、特点和应用实例。

四、研究计划1. 文献查阅和综述（两周）查阅国内外相关学术文献，了解细分方法的基本概念、历史及发展状况。

2. 细分方法理论研究（四周）对选定的三种细分方法进行理论分析，包括算法的原理、细分规则、数据结构等，并对比其优劣。

3. 细分方法实现（八周）基于选定的三种细分方法，采用OpenGL或其他图形学库实现算法，并将其应用于三维几何造型中。

4. 应用实例分析（四周）选择具有代表性的三维几何造型，通过采用不同的细分方法进行分析和比较。

5. 总结与撰写论文（六周）总结研究成果，撰写论文并进行修改和完善。

五、研究意义本研究将深入探讨几何造型中的细分方法，对其理论和实践进行分析和比较，有助于提高几何造型的精度和真实感，同时也对相关领域的研究提供一定的参考和借鉴。

基于顶点法向量约束的Catmull-Clark细分插值方法


Ｅ—ｍａｉｌ：ｃｓａ＠ｉｓｃａｓ．ａｃ．ｃｎ
ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ ．Ｃ—Ｓ—ａ．ｏｒｇ．ｃｎ
Ｔｅ１：＋８６ １０—６２６６ｌ０４１
基于顶 点法 向量约束 的 Ｃａｔｍｕｌ１．Ｃｌａｒｋ细分插值方法①
林 传 銮
（福州墨尔本理工职业 学院 计算机与文化创意系，福州 ３５０１０８） 通 讯 作 者 ：林 传 銮 ，Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｉｎｃｈｕａｎｌｕａｎ＠ｖｉｐ．ｑｑ．ｔｏｍ
ＬＩＮ Ｃｈｕａｎ—Ｌｕａｎ （Ｃｏｍｐｕｔｅｒ＆ Ｃｕｌｔｕｒａｌ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｆｕｚｈｏｕ Ｍｅｌｂｏｕｒ ｎｅ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ，Ｆｕｚｈｏｕ ３５０１０８，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｎｅｗ ｓｃｈｅｍ ｅ ｆｏｒ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ａ ｔｗｏ ｓｔｅｐｓ Ｃａｔｍ ｕｌｌ—Ｃｌａｒｋ ｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎ ｓｕｒｆａｃｅ ｗ ｉｔｈ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｎｏｒｍ ａｌ ｖｅｃｔｏｒ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｓ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｏｆ ａ ｑｕａｄｒｉｌａｔｅｒａｌ ｍ ｅｓｈ ｗｉｔｈ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｔｏｐｏｌｏｇｙ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅ ｎｅｗ ｍ ｅｓｈ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ
Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ·Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ 软件 技术 ·算 法 ２ １ １

计 算 机 系 统 应 用
ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃ—Ｓ—ａ．ｏｒｇ．ｃｎ
２０１８年 第 ２７卷 第 １Ｉ期
性较好 。相较于逼近 型细分，插 值型细分 则要求极 限曲 面通过 初始控制 网格 ，但光顺 性不如逼近 型细分．典型 的基 于 四边 形 网 格 的 逼 近 型 细 分 代 表 有 Ｃａｔｍｕｌ１． Ｃｌａｒｋ［５］细 分，生成 的极限 曲面在规 则 点处 Ｃ 连 续，不 规 则 点 处 Ｃ 连 续 ．典 型 的插 值 型 细 分 代 表 有 蝶 型 细 分 方法 （Ｂｕｔｔｅｒｆ ｌｙ Ｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎ），后来 又 由 Ｋｏｂｂｅｌｔ 等［６１作 了改进，改进 的细分方法可 以在任 意拓扑网格上 实现 ｃ 连续 ．插值 型细 分方法得 到的极 限曲面虽然不 会收缩，但是极 限曲面可能产生 不必要 的扭 曲，并且对 锐利形状的初始网格更加敏感，容易产生效果 比较 差的 曲面 ．

用Catmull-Clark细分及网格调整方法重构牙齿曲面

用Catmull-Clark细分及网格调整方法重构牙齿曲面王玉慧;张玉茹【摘要】首先根据牙齿表面测量数据点,计算出其长方体包围盒;并据此构造细分曲面的初始网格;采用矩阵对角化方法,推导Catmull-Clark细分极限点的表达式,计算初始网格的顶点经过细分后的极限点;按照极限点逼近数据点的原则移动控制网格顶点,经过逐次再细分、再调整网格,使各级网格在数据点的"引导"下逐步变形,使网格逐步逼近牙齿表面的测量数据点集合,实现牙齿表面模型的三维重建.【期刊名称】《图学学报》【年(卷),期】2010(031)006【总页数】6页(P56-61)【关键词】计算机辅助几何设计;曲面重构;细分造型;牙齿模型【作者】王玉慧;张玉茹【作者单位】北京航空航天大学机械工程及自动化学院,北京,100191;北京航空航天大学机械工程及自动化学院,北京,100191【正文语种】中文【中图分类】TP391在虚拟现实环境中，虚拟场景建模是一项重要工作，直接影响系统的性能。

本文研究力觉交互虚拟现实牙科手术培训中由测量数据点重构牙齿表面模型。

关于牙齿表面的重构，LI Zhong [1]采用双三次贝塞尔曲面进行了牙齿表面模型的重构，针对每一条轮廓线，用若干三次贝塞尔曲线段拼接得到；然后再对不同轮廓上的对应点进行贝塞尔曲线插值，得到由G2连续的双三次贝塞尔曲面片拼接而成的表面模型。

文献[2]采用B-样条曲面进行牙齿表面曲面模型的重构，由于B-样条反算要解较大的线性方程组，计算量较大。

Mikrogeorgis G[3]利用人类第六颗牙齿的断层图像得到断层轮廓数据点，通过人机交互的方式进行基于三角片的牙齿表面模型重构。

Isaac Newton Lima da Silva[4]由牙齿的断层扫描图像得到牙齿的断层数据点，然后构建牙齿的多面体模型，再利用商用软件Pro/E得到牙齿的实体模型。

用曲面拟合进行物体表面模型的重构计算复杂、计算量较大；采用直接给物体表面的数据点建立拓扑关系的方法，所建立的物体表面模型的质量依赖于测量数据点的测量精度及数据点的分布情况。

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1 引言
随着细分技术的日益成熟, 具有细分连通性的网格愈来愈受到人们的重视. 用具有细分连通性的网 格表示曲面, 有利于曲面的分层显示、分层传输和分层编辑. 用细分方法从散乱数据或无结构三角网格 得到具有细分连通性网格也是曲面重构, 这样做可以避免用样条方法重构曲面时遇到的拼接和裁减问 题.
目前关于用细分法重构曲面的研究主要集中于基于三角形细分的曲面重构, 特别是执行面 1~ 4 分 裂的曲面重构, 如 Loop 细分和蝶形细分. 这些重构方法可分为 2 类: 局部参数化方法[ 1] 和循环调整网格 顶点的方法[ 2,3] . 局部参数化方法需要将原始无结构网格划分为一系列的块, 利用调和映射对每一块进 行参数化, 然后对分块得到的三角形进行多次 1~ 4 分裂, 最后将分裂得到的新点映射到原始曲面上. 由 于原始网格的分块和调和映射的建立都不是很容易的事情, 因此与循环调整网格顶点的方法相比, 这种 方法显得繁琐. 循环调整网格顶点的方法需要一个基网格, 每次对网格细分以后, 都要多次调整网格顶 点, 使细分网格尽可能接近原始曲面. 文献[ 2] 的方法被称为收缩包围算法, 每次细分后他用吸引 收缩 的方法多次调整网格顶点. 吸引就是使网格顶点沿网格在该点处的法向移动一段距离, 收缩就是使网格 顶点沿网格在该点处的 Laplace 算子的切向分量移动一段距离. 文献[ 3] 的方法与收缩包围算法大同小 异, 他认为细分网格的每一顶点对应着原始曲面上唯一的一点, 通过迭代修正网格顶点的方法使得该顶 点的极限位置与该点在原始曲面上的对应点重合. 由于这一方法认为对每一层次的细分网格来说, 网格 顶点对应着原始曲面上唯一的一点, 因此这种方法得到的网格容易出现扭曲. 文献[ 4] 用这种方法调整
dj, j+ 1 nj ,
上式中, nj 是 pipjpj+ 1 的单位法矢量, di, j 是顶点 pi , pj 之间的距离, di, n = di ,0 .
法矢量 Ni 的方向就相当于吸引力的方向. 为了得到吸引力的大小, 把 pi 沿 Ni 向原始曲面上投影,
得到投影点 qi . 于是应该移向的位置:
( 1) 如何产生基网格. 采用现有的网格简化法对原始网格简化后得到的依然是三角形网格, 如果直 接把这样的三角形网格作为基网格, 会导致细分网格中的奇异点太多. 对简化后的三角网格两两合并三 角形得到基网格是本文的一个基础性工作.
( 2) 如何改进收缩包围算法. 正如文献[ 2] 所指出, 直接从基网格出发进行细分, 运用松弛算子和吸 引算子使得细分网格逐渐接近被逼进的曲面, 会使得细分网格产生扭曲, 甚至出现不希望的褶皱. 其中 提出的球面参数化方法无疑具有很好的鲁棒性, 很大程度上可以避免上述缺陷. 但是, 这种参数化方法 目前只能用在亏格为 0 的曲面上, 在很多场合, 希望被重新网格化的曲面是开曲面, 中间还带有 洞 ; 另 一方面, 从基网格出发进行细分, 直接运用松弛算子和吸引算子使细分网格逐渐接近被逼近的曲面, 这 种思路相当简洁. 因此, 本文在此基础上做了改进, 使得网格有比较好的逼近效果.
基于 Catmull Clark 细分的曲面重构
刘 浩 廖文和
( 南京航空航天大学机电学院, 南京 210016) ( 2006 年 7 月 12 日收稿; 2006 年 12 月 19 日收修改稿)
Liu H, Liao WH. Surface reconstruction based on Catmull Clark subdivision. Journal of the Graduate School of the Chinese Academy of Sciences, 2007, 24( 3) : 307~ 315
2 基网格的生成
文献[ 4] 列举了构造基网格的 3 种方法: ( 1) 构造包围数据点的封闭多面体作为基网格, 这种方法只 适合于表面封闭的模型; ( 2) 手工建构基网格; ( 3) 将原始网格进行简化得到基网格. 文献[ 3] 通过采用前 2 种方法构造基网格得出结论: 对于原始曲面细节比较丰富或比较尖锐的部分, 相应的基网格的形状愈 接近于原始曲面得到的重构曲面也就愈接近于原始曲面. 由于用吸引力调整控制顶点的方法是让顶点 沿着网格在该点处的法方向移动, 如果基网格与原始曲面的形状差异过大, 细分网格上某些顶点处的法 矢量与原始曲面上相应点的法矢量的偏差也就会很大, 从而导致沿细分网格的法方向移动网格顶点得 不到较好的效果;法, 而希 望基网格的形状愈接近于原始曲面愈好. 对于第 2 种手工构造基网格的方法, 它的人机交互很多, 不利 于曲面重构的全自动化处理. 因此, 本文采用第 3 种方法构造基网格.
为此, 把 2 个三角形可以合并的条件描述为 2 个约束: 保凸约束和平坦度约束. 为描述保凸约束, 给 出如下定义.
定义 1 对于空间中的一个四边形 V0 V 1 V2 V3 , 取 ri 为以 V0 为顶点的小于 180!的角的角平分线的 方向. 如果 r0∀r2 # 0, r1∀r3 # 0, 那么称该四边形为凸四边形, 否则就称为凹四边形. 如图 1 所示.
p&i = pi + ( qi - p i ) ,
∋ [ 0, 1] ,
( 1)
式( 1) 中, 是一个参数值, 将其取为 0 5, 取这个值是考虑到对于网格的不同顶点 pi = p j , 可能有 qi = qj
( 1) 如果一条边是边界边, 将其权值置为 1, 否则转步骤( 2) ; ( 2) 如果与这条边邻接的 2 个三角形合并后得到的四边形是凹四边形, 将其权值置为 1, 否则转步 骤( 3) ; ( 3) 计算与该边邻接的 2 个三角形所成的二面角的余弦值, 将这个值作为该边的权值. 以上述计算 边权值的方法为基础, 再给出定义. 定义 2 设对于一个三角形 T i , 有一个三角形 Tj 与之邻接, 若这 2 个三角形的公共边对应的权值 小于参数值 s , 则称 T i 、T j 是有效邻接; 否则就称它们无效邻接. 本文的计算中将 s 取为 0. 有了上面的准备工作, 给出三角形匹配的主要步骤如下: ( 1) 对网格中的每一条边计算权值, 并记录到相应的数据结构中. ( 2) 若面表中没有未匹配的三角形, 算法结束; 如果有尚未匹配的三角形, 但未匹配的三角形不存在 与之有效邻接的三角形, 算法结束; 否则, 计算每个未匹配三角形的有效邻接三角形的个数, 通过比较得 到与之有效邻接三角形个数最少的那个三角形 T i , 并记录其有效邻接的三角形 T j , 若同时有多个三角 形的有效邻接三角形个数同时最小, 记录其中权值最小的一对作为 T i 、T j . ( 3) 对 Ti 、Tj 进行合并, 得到一个四边形, 断开 T i 、T j 与其他三角形的联系, 将 T i 、T j 作已匹配标 记, 转步骤( 2) . 采用这个匹配过程对简化网格中的三角形进行匹配后, 或许还存在未匹配的三角形, 把这些三角形 依然保存在网格中, 不会影响后面的细分过程. 这样就得到了所需要的基网格. 原始网格、简化网格以及 用上述匹配方法得到的基网格如图 2 所示.
( 3) 如何对重构出的曲面估计误差. 误差是衡量重构曲面质量好坏的重要指标之一, 本文对重构出 的曲面给出了一种直观简洁的误差估计方式.
与已有的基于四边形网格的重构算法相比, 本文从简化后的三角形得到基网格, 而不是从原始曲面 得到基网格, 由于三角网格的简化技术比较成熟, 这样处理有利于算法的稳定. 此外, 还通过引入回插细 分、给出四边形网格下的吸引算子和松弛算子、调整吸引算子和松弛算子的参数, 使得曲面在迭代重构 过程中无需识别、记录网格中的尖锐特征.
图 2 基网格的生成
3 曲面重构过程中网格顶点的调整
为了让每一细分层次上的网格都尽可能接近原始曲面, 每次细分后都要对细分网格顶点的位置进
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行调整. 这里把文献[ 2] 的收缩包围算法推广到了四边形网格以调整网格顶点的位置. 设 Mk 是第 k 次细分得到的一个四边形网格, 考察 Mk 中顶点的调整方式. 对于 Mk 中的任意一内部
第 24 卷第 3 期 2007 年 5 月
中 国科学院 研究生院 学报 Journal of the Graduate School of the Chinese Academy of Sciences
文章编号: 1002 1175( 2007) 03 0307 09
Vol. 24 No . 3 May 2007
E mail: liuhao 01@ nuaa. edu. cn
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网格顶点后, 还将网格顶点沿 Laplace 算子的切向分量移动一段距离, 以作修正. 与基于三角形细分的曲面重构相比, 关于用四边形细分进行曲面重构的研究则较少. 实际上, 基于
四边形细分进行曲面重构有着重要的意义. 就 Catmull Clark 细分而言, 它产生的曲面具有易于与 NURBS 曲面融合的特点, 而 NURBS 方法是目前自由型曲面的主要表示方法, 对散乱点反求出的曲面也大多是 NURBS 曲面[ 5, 6] . 文献[ 7] 采用的是收缩包围算法, 将网格顶点的法矢量的方向作为吸引力的方向, 将 1 环上点的重心作为松弛后的点. 对于邻接于 2 条尖锐边的点, 则用 2 尖锐边端点的加权平均作为重心, 单个的尖锐点不进行松弛. 本文对基于 Catmull Clark 细分的曲面重构的研究主要集中在以下几个方面:
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刘 浩, 廖文和: 基于 Catmull Clark 细分的曲面重构
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图 1 空间中的凸四边形和凹四边形
为描述 2 个三角形合并得到的四边形的平坦度, 用这 2 个三角形的二面角代替原算法中的变形能. 二面角的余弦值愈小, 这 2 个三角形合并后得到的四边形愈平坦. 现采用如下方式计算网格中每一条边 的权值, 以便将这 2 个约束在程序中统一.