单调性

4.1、函数的单调性函数的单调性就是函数的一种增减性，主要看y 随x 的变化而发生的一种变化情况，简单的说当y 随x 的增大而增大时，就说y 是在相应的x 的取值范围内是增函数，对应的区间为其增区间；而当y 随x 的增大而减小时，我们就说y 是在相应的x 的取值范围内是减函数，对应的区间为其减区间。

A 、定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I 。

如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。

如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。

如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。

B 、函数单调性的证明对于某区间内的函数的单调性，一般利用定义来证明，其基本步骤如下： （1）取值：设21,x x 为该区间内的任意两个值，并且21x x <；（2）作差变形：作差)()(21x f x f -，并利用因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差值的符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （4）下结论：根据函数的单调性的定义得出结论。

C 、函数单调性的判断判断函数单调性的常用方法有：（1）定义法：即“取值——变形——定号——下结论”；（2）图像法：先作出函数的图像，在利用图像的形象直观判断函数的单调性；（但应注意极值点及其拐点） （3）复合法：)(x f y =增 增 减 减（4）导数法：求出函数导数后，在令其导数大于零的x 的连续区间为其单调递增区间，令其导数小于零的x 的连续区间为其单调递减区间；4.1.1、函数单调性的判断与证明A 、函数单调性的证明：1、证明函数12)(+-=x x f 在R 上是减函数。

判断函数单调性的常用方法判断函数单调性的常用方法一、定义法设$x_1.x_2$是函数$f(x)$定义域上任意的两个数，且$x_1f(x_2)$，则此函数为减函数。

例如，证明：当$x>0$时，$x>\ln(1+x)$。

f'(x)=\frac{1}{1+x}>0$，所以$f(x)$为严格递增的。

因为$f(x)>\lim\limits_{x\to 0}-\ln(1+x)=-\ln(1+0)=0$，所以$x>\ln(1+x)$。

二、性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题。

若函数$f(x)。

g(x)$在区间$B$上具有单调性，则在区间$B$上有：⑴$f(x)$与$f(x)+C$（$C$为常数）具有相同的单调性；⑵$f(x)$与$c\cdot f(x)$当$c>0$时具有相同的单调性，当$c<0$时具有相反的单调性；⑷当$f(x)。

g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)+g(x)$都是增（减）函数；⑸当$f(x)。

g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)\cdot g(x)$当两者都恒大于时也是增（减）函数，当两者都恒小于时也是减（增）函数。

三、同增异减法是处理复合函数的单调性问题的常用方法。

对于复合函数$y=f[g(x)]$满足“同增异减”法（应注意内层函数的值域），可令$t=g(x)$，则三个函数$y=f(t)。

t=g(x)。

y=f[g(x)]$中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。

注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；3）如果$f(x)$在区间$D$上是增（减）函数，那么$f(x)$在$D$的任一子区间上也是增（减）函数。

设单调函数$y=f(x)$为外层函数，$y=g(x)$为内层函数。

1.常见函数的单调性：（1）一元一次函数：)0(≠+=a b ax y ，当0>a 时，是增函数；当0<a 时，是减函数；（2）一元二次函数：一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ；对称轴方程是x=-a b 2；顶点为（-a b 2，a b ac 442-）； 两点式：))((21x x x x a y --=；对称轴方程是x=221x x +与x 轴交点（x 1，0）（x 2，0）； 顶点式：h k x a y +-=2)(；对称轴方程是x=k ；顶点为（k ，h ）；①一元二次函数的单调性： 当0>a 时：(-+∞,2a b ）为增函数；（-a b 2,-∞）为减函数； 当0<a 时：（-a b 2,-∞）为增函数；(-+∞,2ab ）为减函数； （3）反比例函数：)0(≠=x x a y ⇒bx c a y -+= )0(>+=k x k x y 的图象：定义域：{x|x 0≠}；值域：(][)∞+⋃-∞-,22,k k ； 奇偶性：奇函数； 单调性：(][)+∞-∞-,,,k k 是增函数；(][)0,,,0k k -是减函数。

（4）形如求y ＝cx ＋d ax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解． 定义的变式 设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. 3. 复合函数的单调性讨论函数y ＝f ［g(x)］的单调性时要注意两点：(1) 若u ＝g(x)，y ＝f （u ）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y ＝f ［g(x)］为增函数；(2) 单调性的单调区间不能用“∪”连接.4. 单调函数的运算性质若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在个区间上：(1)函数f(x)与f(x)+C(C 为常数)具有相同的单调性.(2)C ＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；C ＜0时，函数f(x)与C·f(x)具有相反的单调性.(3)若f(x)≠0，则函数f(x)与)(1x f 具有相反的单调性. 5.二次函数在闭区间上的最值一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。

2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。

注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。

（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。

（4）利用函数的图象分别指出： 一次函数y=kx+b 、 反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）． （7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法 （3导数法） 二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性， 当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性， 则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 ；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

高数单调性的原理高数中，单调性指的是函数的增减规律。

对于给定的函数，其单调性可以通过它的导数的正负性来判断。

在此我们将详细探讨高数中单调性的原理。

首先，让我们来了解一下函数的单调性的概念。

给定定义在实数集上的函数f，如果对于任意的x_1和x_2，当x_1 < x_2时，都有f(x_1) < f(x_2)，我们称函数f为递增函数；如果对于任意的x_1和x_2，当x_1 < x_2时，都有f(x_1) > f(x_2)，我们称函数f为递减函数。

特别地，如果函数f在其定义域上递增或者递减，我们称函数f为单调函数。

函数的单调性在数学分析和应用中有很重要的作用。

为了判断给定函数的单调性，我们可以通过研究其导数的正负性来进行分析。

首先，我们需要了解导数的概念。

给定定义在实数集上的函数f，如果在某一点x_0的邻域内，存在极限\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}而且这个极限与x_0的选择无关，那么我们称f'(x_0)为函数f在点x_0处的导数。

可以用f'(x)或\frac{dy}{dx}表示导数。

导数描述了函数的变化率。

对于函数f，如果在x_0的某个邻域内有f'(x) > 0，那么函数在x_0处递增；如果在x_0的某个邻域内有f'(x) < 0，那么函数在x_0处递减。

根据导数的定义，我们可以得出一些关于单调性的重要结论。

首先，如果函数f在某一区间上的导数恒为正，那么函数f在该区间上是递增的。

这是因为导数正值表示着函数在该点的变化率是正的，即函数在这一点的右侧有递增的趋势。

因此，在整个区间上都是递增的。

同理，如果函数f在某一区间上的导数恒为负，则函数f在该区间上是递减的。

其次，如果函数f在某一点的导数为0，那么该点成为函数的驻点，也就是函数f在该点上没有增减的趋势。

单调性知识点单调性是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。

在本文中，我将会详细介绍单调性的定义、性质、应用以及解题技巧。

一、定义在数学中，单调性是指函数的增减规律。

具体而言，如果对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)<=f(x2)，则称函数f(x)在区间[a,b]上单调不降；如果对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)>=f(x2)，则称函数f(x)在区间[a,b]上单调不增。

如果在区间[a,b]上既有单调不降又有单调不增，则称函数f(x)在该区间上单调不变。

反之，则称函数f(x)在区间[a,b]上不单调。

二、性质1.单调性是一个区间上的性质，不具有函数整体上的性质。

2.如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不降，则f(x)在该区间上的最小值为f(a)，最大值为f(b)；如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不增，则f(x)在该区间上的最小值为f(b)，最大值为f(a)。

3.如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不降，则其反函数f^-1(x)在区间[f(a),f(b)]上单调不降；如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不增，则其反函数f^-1(x)在区间[f(b),f(a)]上单调不降。

三、应用1.单调性可用于求函数的最值。

由于单调不降函数在区间上的最小值为f(a)，最大值为f(b)，单调不增函数反之，因此我们可由单调性确定一个函数的最值。

2.单调性可用于函数图像的预测。

由于函数单调不降或单调不增的特性，我们可以根据已知点预测函数图像的整体增减趋势，从而更好地理解该函数。

3.单调性可用于求解不等式。

对于单调不降函数，我们可以根据函数的单调性求得不等式解集的范围，从而更好地解决不等式问题。

四、解题技巧1.建立函数模型。

对于一些具体的问题，我们需要先根据已知条件建立出函数模型。

2.求得函数的导数。

利用导数可求得函数的单调性及最值。

3.求解不等式。

根据函数的单调性及已知条件，求得不等式解集的范围。

数学单调性数学单调性是数学中一种重要的概念，它为很多经典数学问题提供了重要的解决方案。

由于它对许多数学问题具有重要的作用，所以了解它的概念及它的应用是必不可少的。

数学单调性的定义是，在一个函数中，当它的自变量在某一方向上的变化时，它的值不会发生变化。

在简单的语言中，可以理解为一个函数具有某种“单调”的特点，当变量增大时函数的值也会增大，当变量减小时函数的值也会减小。

数学单调性是以特定的场景和具体的函数为考虑因素，将函数的变化方向和变化大小写在一起形成函数变化模型的概念。

数学单调性的定义也可以从另一个角度进行分析。

在数学空间中，当函数在某个方向上增加或减小时，函数曲线的斜率不会发生明显的变化，即斜率的变化值是恒定的，这就是数学单调性的概念。

另外，也可以将它理解为在某一方向上，函数的值如果发生变化，则在另一方向上，函数的值也会发生相应的变化。

数学单调性是数学研究中一类重要的概念，它可以用来解决一系列数学问题，如枚举最小值、最大值、求解极值等。

举例来说，当它用来解决求极值问题时，可以利用数学单调性来找出极值点，即局部极值点，因为在这一点上斜率的变化会发生变化，而在其他点上的斜率则是恒定的。

数学单调性还可以应用于其他方面。

例如，在生物学中，它可以应用于群体进化的研究中，用来构建种群的演化模型，研究种群的发展规律；同样，也可以将它用于经济学中，如利用数学单调性来研究价格的变化规律，以及它对市场有何影响等。

另外，在计算机科学中，数学单调性还可以作为一种解决方案被用于多种算法中。

例如基于单调函数的多维度数据索引算法、基于单调索引的数据库索引算法等。

这些算法可以利用数学单调性，大大提高算法的运行效率、查询效率，从而节省计算机系统的资源，提高系统的效率。

总而言之，数学单调性是一个重要的概念，它可以用于解决各种数学问题，也可以用于生物学、经济学和计算机科学等多个领域，有着重要的应用价值。

它为数学研究提供了依据，为其他学科提供了解决问题的思路，为社会发展提供了助力，因此值得我们深入研究和探索。