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2024高考数学函数的单调性与极值在2024年高考数学考试中，函数的单调性与极值是一个重要的考点。
掌握了函数的单调性与极值的概念和判断方法，能够帮助考生更好地解答相关题目。
本文将以对函数的单调性和极值的定义、判断依据和解题方法为主线，详细介绍这一考点的相关知识。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
具体而言，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意的x1和x2满足x1 <x2，则有f(x1) < f(x2)，那么称函数f(x)在区间[a, b]上是递增的；如果对于任意的x1和x2满足x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，那么称函数f(x)在区间[a, b]上是递减的。
判断函数的单调性有多种方法，常见的有导数法和图像法。
导数法的核心思想是利用函数的导数来研究函数的单调性。
如果函数在区间[a, b]上的导数大于0，则函数在该区间上递增；如果函数在区间[a, b]上的导数小于0，则函数在该区间上递减。
图像法则是通过绘制函数的图像来观察函数的变化趋势，确定函数的单调性。
二、函数的极值函数的极值是指在定义域内，函数取得的最大值和最小值。
具体而言，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果在区间内部存在一点c，使得对于任意的x，有f(c)≥f(x)，那么f(c)是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值；如果在区间内部存在一点d，使得对于任意的y，有f(d)≤f(y)，那么f(d)是函数f(x)在区间[a, b]上的最小值。
判断函数的极值需要使用极值的判定条件。
常用的判定条件有：当函数在某一点x处的导数等于0或导数不存在时，这一点可能是函数的极值点。
需要注意的是，判定得到的极值点只是可能是极值点，还需要进一步的讨论确认。
三、解题方法1. 利用导数法判断函数的单调性与极值。
首先求出函数在定义域内的导数，然后通过判断导数的符号来确定函数的单调性。
第三节函数的单调性与最值[知识能否忆起]一、函数的单调性1．单调函数的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值[小题能否全取]1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－12解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数， 则2k ＋1<0，即k <－12.3．(教材习题改编)函数f (x )＝11－x 1－x的最大值是( ) A.45B.54C.34D.43解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<11－x 1－x ≤43. 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________.解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 85．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是______．解析：由题意知f (m )>f (n )； ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1，且x ≠0.故－1<x <1且x ≠0. 答案：> (－1,0)∪(0,1) 总结 1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．[注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．典题导入[例1] 证明函数f (x )＝2x －1x在(－∞，0)上是增函数．[自主解答] 设x 1，x 2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2.则f (x 1)＝2x 1－1x 1，f (x 2)＝2x 2－1x 2， f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 2 ＝2(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2 由于x 1<x 2<0，所以x 1－x 2<0,2＋1x 1x 2>0， 因此f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(－∞，0)上是增函数．由题悟法对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．以题试法1．判断函数g(x)＝－2xx－1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则g(x1)－g(x2)＝－2x1x1－1－－2x2x2－1＝2x1－x2x1－1x2－1，由于1<x1<x2，所以x1－x2<0，(x1－1)(x2－1)>0，因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)．故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．求函数的单调区间典题导入[例2] (2012·长沙模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎨⎧f x ，f x ≤k ，k ，fx ＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[自主解答] 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1.故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)． [答案] C若本例中f (x )＝2－|x |变为f (x )＝log 2|x |，其他条件不变，则f k (x )的单调增区间为________．解析：函数f (x )＝log 2|x |，k ＝12时，函数f k (x )的图象如图所示，由图示可得函数f k(x)的单调递增区间为(0， 2 ]．答案：(0， 2 ]由题悟法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．以题试法2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．典题导入[例3] (1)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )<f (m 2)的实数m 的取值范围是________．(2)(2012·安徽高考)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.[自主解答] (1)∵f (x )在R 上为增函数，∴2－m <m 2. ∴m 2＋m －2>0.∴m >1或m <－2.(2)由f (x )＝⎩⎨⎧－2x －a ，x <－a2，2x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6.[答案] (1)(－∞，－2)∪(1，＋∞) (2)－6由题悟法单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用．以题试法3．(1)(2013·孝感调研)函数f(x)＝1x－1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．(2)已知函数f(x)＝1a－1x(a>0，x>0)，若f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a＝__________.解析：(1)∵f′(x)＝－1x－12<0，∴f(x)在[2,3]上为减函数，∴f(x)min＝f(3)＝13－1＝12，f (x )max ＝12－1＝1. (2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，所以⎩⎨⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f2＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25. 答案：(1)12 1 (2)251．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( )A ．－7B ．1C ．17D ．25解析：选D 依题意，知函数图象的对称轴为x ＝－－m 8＝m8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.3．(2013·佛山月考)若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：选B ∵y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a<0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．4．“函数f (x )在[a ，b ]上为单调函数”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f (x )在[a ，b ]上为单调递增(减)函数，则在[a ，b ]上一定存在最小(大)值f (a )，最大(小)值f (b )．所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3在[0,2]存在最大值和最小值，但该函数在[0,2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f (x )在[a ，b ]上单调”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的充分不必要条件．5．(2012·青岛模拟)已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)解析：选C 由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 解析：选C ∵f (x )是定义在R 上的函数，且 f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ∴f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0.∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是R 上的奇函数．设x 1<x 2，则x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)>0.∴f (x )在R 上是减函数．∴f (x )在[a ，b ]有最小值f (b )． 7．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎨⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，328．(2012·台州模拟)若函数y ＝|2x －1|，在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________．解析：画出图象易知y ＝|2x－1|的递减区间是(－∞，0]， 依题意应有m ≤0. 答案：(－∞，0]9．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：设x 1>x 2>－2，则f (x 1)>f (x 2)， 而f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝2ax 1＋x 2－2ax 2－x 1x 1＋2x 2＋2＝x 1－x 22a －1x 1＋2x 2＋2>0，则2a －1>0. 得a >12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 10．求下列函数的单调区间：(1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝a 1－2x －x 2(a >0且a ≠1)．解：(1)由于y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎨⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令g (x )＝1－2x －x 2＝－(x ＋1)2＋2，所以g (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．当a >1时，函数y ＝a 1－2x －x 2的增区间是(－∞，－1)，减区间是(－1，＋∞)； 当0<a <1时，函数y ＝a 1－2x －x 2的增区间是(－1，＋∞)，减区间是(－∞，－1)． 11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， ∴a ≤1. 综上所述，a 的取值范围为(0,1]． 12．(2011·上海高考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．解：(1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)．∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 同理，当a <0，b <0时，函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x＋2b ·3x>0， 当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a2b ，则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ； 同理，当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a2b ， 则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .1．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13解析：选C 由f (2－x )＝f (x )可知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增函数，所以当x <1时f (x )为减函数，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1<⎪⎪⎪⎪⎪⎪13－1<|2－1|，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)． 2．(2012·黄冈模拟)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.32解析：选C 显然函数的定义域是[－3,1]且y ≥0，故y 2＝4＋21－xx ＋3＝4＋2－x 2－2x ＋3＝4＋2－x ＋12＋4，根据根式内的二次函数，可得4≤y 2≤8，故2≤y ≤22，即m ＝2，M ＝22，所以m M ＝22.3．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并加以证明；(3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域．解：(1)∵当x >0，y >0时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，∴令x ＝y >0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0.(2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1，∵x 2>x 1>0.∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0. ∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (1)＝0，f (x )max ＝f (16)，∵f (4)＝2，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )， 知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫164＝f (16)－f (4)，∴f (16)＝2f (4)＝4， ∴f (x )在[1,16]上的值域为[0,4]． 1．求函数f (x )＝x 2＋x －6的单调区间．解：设u ＝x 2＋x －6，y ＝u . 由x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.结合二次函数的图象可知，函数u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．又∵函数y ＝u 是递增的，∴函数f (x )＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．2．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.(1)试求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论；(3)设A＝{(x，y)|f(x2)·f(y2)>f(1)}，B＝{(x，y)|f(ax－y＋2)＝1，a∈R}，若A∩B＝∅，试确定a的取值范围．解：(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.(2)任取x1，x2∈R，且x1<x2.在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为：f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)．由于x2－x1>0，所以0<f(x2－x1)<1.为比较f(x2)，f(x1)的大小，只需考虑f(x1)的正负即可．在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.因为当x>0时，0<f(x)<1，所以当x<0时，f(x)＝1f－x>1>0.又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x1∈R，均有f(x1)>0.所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0. 所以函数f(x)在R上单调递减．(3)f(x2)·f(y2)>f(1)，即x2＋y2<1.f(ax－y＋2)＝1＝f(0)，即ax－y＋2＝0.由A∩B＝∅，得直线ax－y＋2＝0与圆面x2＋y2<1无公共点，所以2a2＋1≥1，解得－1≤a≤1.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、生气，就是拿别人的过错来惩罚自己。
初中数学知识归纳函数的单调性与函数的极值初中数学知识归纳——函数的单调性与函数的极值函数是数学中的重要概念，它描述了一种元素之间的依赖关系。
而函数的单调性与函数的极值则是函数的两个重要性质。
本文将从数学角度详细解释函数的单调性与函数的极值的概念、性质以及它们在数学问题中的应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值的增减性质。
具体说，对于一个定义在区间上的函数，如果其在区间内任意两个不同的点，函数值总是满足增加或减少的关系，则称该函数在该区间上是单调的。
函数的单调性分为单调递增和单调递减两种情况。
1. 单调递增函数的单调递增指的是在函数的定义域内，随着自变量的增加，函数值也逐渐增大。
例如，对于函数$f(x)$而言，如果对于区间$[a, b]$内的任意两个不同的实数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$[a, b]$上为单调递增。
2. 单调递减函数的单调递减指的是在函数的定义域内，随着自变量的增加，函数值逐渐减小。
例如，对于函数$f(x)$而言，如果对于区间$[a, b]$内的任意两个不同的实数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$[a, b]$上为单调递减。
函数的单调性在解决实际问题中具有重要作用，它可以帮助我们分析函数的性质和得出一些结论。
二、函数的极值函数的极值是指在函数的定义域内，函数取得的最大值或最小值。
极值点对应函数曲线上的极值。
1. 极大值函数的极大值是指函数在某个点上取得的最大值。
例如，对于函数$f(x)$而言，如果存在一个点$c$，使得在以$c$为中心的某个区间内，对于任意的$x$，都有$f(x) \leq f(c)$，则称函数$f(x)$在点$c$处有极大值。
2. 极小值函数的极小值是指函数在某个点上取得的最小值。
专题六函数导数专题【考点透析】函数和导数的主要考点包括函数的概念、图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，导数及其应用、微积分及微积分基本定理等．【例题解析】题型1 函数的概念及其表示例1 （2008高考山东文5）设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．18分析：由内向外逐步计算．解析： ()()1124,24f f ==，故()211115124416f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．答案A ． 点评：本题考查分段函数的概念和运算能力．解决的关键是由内到外“逐步有选择”的代入函数解析式，求出函数值．例2（绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第14题）如图，函数()f x 的图象是曲线OAB ，其中点,,O A B 的坐标分别为()0,0,(1,2),(3,1)，则()13f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值等于 ．分析：从图象上理解自变量与函数值的对应关系．解析：对于(3)1,f =(1)2f =．点评：图象是表示函数的一种方法，图象上反应了这个函数的一切性质． 题型2 函数的图象与性质例3（浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第14题）已知m 为非零实数，若函数ln(1)1my x =--的图象关于原点中心对称，则m = ． 分析：图象的对称性反应在函数性质上就是这个函数是奇函数，根据奇函数对定义域内任意x 都有()()f x f x -=-点特点可得一个关于x 的恒等式，根据这个恒等式就可以确定m 的值，特别地()()()0000f f f -=-⇒=也可以解决问题．解析： 对于函数ln(1)1my x =--的图象关于原点中心对称,则对于()00f =，因此有ln(1)0,11,2m m m --=∴--==-．答案2-．点评：函数的奇偶性是函数的重要性质之一，这两个性质反应了函数图象的某种对称性，这二者之间是可以相互转换的．例4 （绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第5题）设0.213121log 3,,23a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c << 分析：以0和1为分界线，根据指数函数与对数和的性质解决．解析：对于0.213121log 30,1,213a b o c ⎛⎫=<>=>=> ⎪⎝⎭，因此a b c <<．答案A ．点评：大小比较问题，可以归结为某个函数就归结为一个函数、利用函数的单调性比较，不能归结为某个函数一般就是找分界线．题型3 函数与方程例5．（浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第3题）函数()23123x x f x x =+++的零点的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3分析：这是一个三次函数，可以通过研究这个函数的单调性与极值，结合函数图象的基本特征解决． 解析：对于()22131()024f x x x x '=++=++>，因此函数()f x 在R 上单调递增，而对于523(2)0,(2)033f f -=-<=>，因此其零点的个数为1个．答案B ．点评：本例和例9在本质方法上是一致的，其基本道理就是“单调函数至多有一个零点”，再结合连续函数的零点定理，探究问题的答案．例6．（浙江省五校2009届高三第一次联考理科第题）函数()221f x mx x =-+有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是 A ．(],1-∞ B ．(]{},01-∞ C ．()(],00,1-∞ D ．(),1-∞分析：函数中的二次项系数是个参数，先要确定对其分类讨论，再结合一次函数、二次函数的图象布列不等式解决．解析：当0m =时，12x =为函数的零点；当0m ≠是，若0∆=，即1m =时，1x =是函数唯一的零点，若0∆≠，显然函数0x =不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价与方程()2210f x mx x =-+=有一个正根一个负根，即()00mf <，即0m <．综合知答案B ．点评：分类讨论思想、函数与方程思想是高考所着重考查的两种数学思想，在本题体现的淋漓尽致．还要注意函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，如本题中的1x =就是函数的“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时要注意这个问题． 题型5 导数的意义、运算以及简单应用 例8．（2008高考江苏8）直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b = ． 分析：切线的斜率是12，就可以确定切点的坐标，切点在切线上，就求出来b 的值． 解析： 方法一'1y x =，令'12y =得2x =，即切点的横坐标是2，则纵坐标是ln 2，切线过点()2,ln 2，所以ln 21b =-．方法二：设曲线上一点点坐标是()00,ln x x ，由'1y x=知道过该点的曲线的切线的斜率是01x ，故过该点的曲线的切线方程是()0001ln y x x x x -=-，即001l n 1y x x =+-，根据已知这条直线和直线b x y +=21重合，故002,ln 1ln 21x b x ==-=-．答案：ln21-．点评：本题考查导数几何意义的应用，即曲线上一点处的导数值是曲线在该点的切线的斜率，解题的突破口是切点坐标，这也是解决曲线的切线问题时的一个重要思维策略．在解题中不少考生往往忽视“切点在切线上”这个简单的事实，要引以为戒．例9．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第2题）已知物体 的运动方程为t t s 32+=（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为A ．419B ．417C ．415D ．413分析：对运动方程求导就是速度非常． 解析：23'2s t t =-，将2t =代入即得．答案D ． 点评：本题考查导数概念的实际背景，考试大纲明确提出“了解导数概念的实际背景”，要注意这样的考点． 例10．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第14题）若函数()3213f x x a x =-满足：对于任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12||1f x f x -≤恒成立，则a 的 取值范围是 ．分析：问题等价于函数()f x 在区间[]0,1的最大值与最小值的差不大于1，可以通过求函数()f x 在[]0,1上的最值解决．解析：问题等价于函数在[]0,1的()()max min 1f x f x -≤．()22'f x x a =-，函数()3213f x x a x =-的极小值点是x a =，若1a >，则函数()f x 在[]0,1上单调递减，故只要()()011f f -≤，即只要243a ≤，即2313a <≤；若1a ≤，此时()()322min 1233f x f a a a a a a ==-=-，由于()()2100,13f f a ==-，故当33a ≤时，()()max 1f x f =，此时只要2212133a a a -+≤即可，即222133a a ⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦，由于33a ≤，故223110333a -≤⨯-<，故此时成立；当313a <≤时，此时()()max 0f x f =，故只要2213a a ≤即可，此显然．故43a ≤，即a 的取值范围是223,333⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 题型6 导数在研究函数、方程、不等式等问题中的综合运用例11（安徽省 \* MERGEFORMAT 皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第22题）已知函数()ln a f x x x=-， （1）当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性； （2）若()f x 在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （3）若2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．分析：（1）通过判断导数的符号解决；（2）确立函数的极值点，根据极值点是不是在区间[1,]e 上确立是不是要进行分类讨论和分类讨论的标准；（3）由于参数a 是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．解析：（1）由题意：()f x 的定义域为(0,)+∞，且221()a x a f x x x x+'=+=． 0,()0a f x '>∴>，故()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数．（2）由（1）可知：2()x af x x+'=① 若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上为增函数，min 33[()](1),22f x f a a ∴==-=∴=-（舍去）．② 若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上为减函数，min 3[()]()122a ef x f e a e ∴==-=⇒=-（舍去）． ③ 若1e a -<<-，令()0f x '=得x a =-，当1x a <<-时，()0,()f x f x '<∴在(1,)a -上为减函数， 当a x e -<<时，()0,()f x f x '>∴在(,)a e -上为增函数，min 3[()]()ln()12f x f a a a e ∴=-=-+=⇒=-， 综上可知：a e =-．（3）22(),ln af x x x x x<∴-<． 又30,ln x a x x x >∴>-令232116()ln ,()()1ln 3,()6x g x x x x h x g x x x h x x x x-''=-==+-=-=，()h x 在[1,)+∞上是减函数，()(1)2h x h ∴<=-，即()0g x '<， ()g x ∴在[1,)+∞上也是减函数，()(1)1g x g ∴<=-．令1a ≥-得()a g x >，∴当2()f x x <在(1,)+∞恒成立时，1a ≥-． ．例12．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第22题）已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为),(11y x M 、),(22y x N ． （1）求证：21,x x 为关于x 的方程022=-+t tx x 的两根； （2）设)(t g MN =，求函数)(t g 的表达式；（3）在（2）的条件下，若在区间]16, 2[内总存在1+m 个实数121,,,m a a a +（可以相同），使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．分析：（1）写出曲线上任意一点处的切线方程后，把点P 点坐标代入，就会得到一个仅仅含有参数t 的方程，而两个切点的横坐标都适合这个方程，则两个切点的横坐标必是一个以参数t 为系数的一个方程的两个解；（2）根据第一的结果和两点间距离公式解决；（3）根据第二问的结果探究解题方案． 解析：（1）由题意可知：112212,t t y x y x x x =+=+， ∵ 21)(x tx f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t x y --=+-， 又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x tx t x --=+-， 即02121=-+t tx x ， ①同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．② 由①、②，可得21,x x 是方程022=-+t tx x （ * ）的两根． （2）由（ * ）知． ⎩⎨⎧-=⋅-=+.,22121t x x t x x22211221)()(x t x x t x x x MN --++-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=t t 20202+=， ∴ )0( 2020)(2>+=t t t t g ．（3）易知)(t g 在区间]16,2[上为增函数，∴)16()()2(g a g g i ≤≤)1,,2,1(+=m i ，则)16()()()()()2(121g a g a g a g a g g m m m ≤<+++≤⋅+ ． 即)16()2(g g m <⋅，即16206120 22022022⋅+⋅<⋅+⋅m ，所以3136<m ，由于m 为正整数，所以6≤m ． 又当6=m 时，存在2621====a a a ，167=a 满足条件，所以m 的最大值为6．点评：本题第一问的解决方法具有一般的意义，许多过一点作曲线的两条切线、两个切点的横坐标之间的关系都可以得到这个结论，这对进一步解决问题往往是关键的一步．本题第三问的解决方法用的是先估计、再确定的方法，也只得仔细体会．例13．(2009江苏泰州期末20)已知()()[)ln()ln ,,0,()x f x ax x x e g x x-=--∈-=-，其中e 是自然常数，.a ∈R（1）讨论1a =-时, ()f x 的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，1|()|()2f xg x >+； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由． 分析：（1）求导后解决；（2）去绝对值后构造函数、利用函数的单调性解决，或是证明函数()()m i n m a x 12f x g x ⎡⎤>+⎢⎥⎣⎦；（3）根据极值点是不是在区间[),0e -确立分类讨论的标准，分类解决．解析：（1） ()()x x x f ---=ln ()xx x x f 111'+-=--= ∴当1-<≤-x e 时，()0'<x f ，此时()x f 为单调递减，当01<<-x 时，()0'>x f ，此时()x f 为单调递增，∴()x f 的极小值为()11=-f ．（2） ()x f 的极小值，即()x f 在[)0,e -的最小值为1，∴()1min =x f 令()()()21ln 21+--=+=x x x g x h 又 ()2ln()1'x h x x--=， 当0<≤-x e 时()0'≤x h ()x h 在[)0,e -上单调递减∴()()()min max 12121211x f e e h x h ==+<+=-=∴当[)0,e x -∈时，()()21+>x g x f（3）假设存在实数a ，使()()x ax x f --=ln 有最小值3，[)0,e x -∈，()xa x f 1'-= ①当e a 1-≥时，由于[)0,e x -∈，则()01'≥-=xa x f∴函数()()x ax x f --=ln 是[)0,e -上的增函数∴()()31min =--=-=ae e f x f解得e e a 14-<-=（舍去） ②当e a 1-<时，则当a x e 1<≤-时，()01'<-=xa x f此时()()x ax x f --=ln 是减函数 当01<<x a 时，()01'>-=xa x f ，此时()()x ax x f --=ln 是增函数 ∴()31ln 11min =⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a f x f解得2e a -=点评：本题的第二问实际上可以加强为证明对任意的[)12,,0x x e ∈-证明()()1212f xg x >+；第三问的解答方法具有一般的意义，即求函数在指定闭区间上的最值分类就是按照极值点是不是在这个区间上进行的． 则道的优秀试题．题型8 定积分（理科）例15．（安徽省 \* MERGEFORMAT 皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第5题）若20(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于A ．1-B ．1C ．3-D ．3分析：根据微积分基本定理计算定积分，利用方程解决．解析：20(sin cos )(cos sin )12,120x a x dx x a x a a ππ-=--=-+==-⎰．答案A ．点评：根据微积分基本定理计算定积分的关键是找到一个函数，使这个函数的导数等于被积函数，同时要【专题训练与高考预测】一、选择题1．已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0B ．()0,1C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,41D ．()0,32．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+，且(1)1,f -=(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2008)f f f f +++鬃?的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．13．已知函数①x x f ln 3)(=；②xex f cos 3)(=；③xe xf 3)(=；④x x f cos 3)(=．其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量2x ，使12()()3f x f x =成立的函数是（ ） A ．③B ．②③C ．①②④D ．④4．设a ∈R ，函数()xxf x e a e-=+⋅的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数 ． 若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为 （ ） A ． ln 22- B ．ln 2-C ．ln 22D ． ln 25．已知函数()ln ln a xf x x+=在[)1,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．10a e<< B ．0a e <≤ C ．a e ≤ D ．a e ≥6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 称后的位移为t t t s 2233123+-=，那么速度为零的时刻是（ ）A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末二、填空题7．已知函数1()lnsin 1xf x x x+=+-，则关于a 的不等式2(2)(4)0f a f a -+-<的解集是 ． 8．已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_________． 9．（文科）有下列命题：①函数cos cos 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数31x y x +=-的图象关于点()1,1-对称；③关于x 的方程2210ax ax --=有且仅有一个实数根，则实数1a =-；④已知命题p ：对任意的x R ∈，都有sin 1x ≤，则p ⌝：存在x R ∈，使得sin 1x >．其中所有真命题的序号是 ．9．（理科）（1）22sin xdx ππ-=⎰ ．【解析】332 这个面积是()33223115322339333x x x dx x x --⎡⎤-+=-+=+=⎢⎥⎣⎦⎰．三 解答题10．已知函数()212xx f x e ax =---，其中a 为实数． （1）若12a =-时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）当12x ≥时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，试求a 的取值范围． 11．已知4232)(23++-=cx x x x f ，)()(2x f ee x g x x +-=-， （1）若()f x 在21+=x 处取得极值，试求c 的值和()f x 的单调增区间；（2）如右图所示，若函数)(x f y =的图象在],[b a 连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在),,(b a c ∈使得=)('c f ？（用含有()(),,,a b f a f b的表达式直接回答）（3）利用（2）证明：函数()y g x =图象上任意两点的连线斜率不小于24e -． 12．已知函数()()()2ln ,0f x x g x ax x a ==-≠．（1）若函数()y f x =与()y g x =的图象在公共点P 处有相同的切线，求实数a 的值并求点P 的坐标； （2）若函数()y f x =与()y g x =的图象有两个不同的交点M 、N ，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，过线段MN 的中点作x 轴的垂线分别与()f x 的图像和()g x 的图像交,S T 点，以S 为切点作()f x 的切线1l ，以T 为切点作()g x 的切线2l ．是否存在实数a 使得1l //2l ，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【参考答案】1．解析：A 条件等价于函数()f x 单调递减． 2．解析：D 由3()()2f x f x =-+，得(3)()f x f x +=，因此，()f x 是周期函数，并且周期是3函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称, 因此，()f x =-3()2f x --，所以，(1)1f = (1)(2)(3)0f f f ++=，(1)(2)(3)(2008)f f f f +++鬃?＝(1)f3．解析：A ②④是周期函数不唯一，排除；①式当1x =1时，ln10=不存在2x 使得成立，排除；答案：A ． 4．解析：D ()'xxf x e ae -=-，由于()'f x 是奇函数，故()()''f x f x -=-对任意x 恒成立，由此得1a =，由()3'2xxf x e e-=-=得22320x x e e --=，即()()2210x xe e -+=，解得2x e =，故ln2x =，故切点的横坐标是ln 2．5．解析：D ()221(ln ln )1(ln ln )'x a x a x x f x x x ⋅-+-+==，因为()f x 在[)1,+∞上为减函数，故()'0f x ≤在[)1,+∞上恒成立，即ln 1ln a x ≥-在[)1,+∞上恒成立，等价于()ln 1ln a x ≥-在[)1,+∞上的最大值．设()1ln x x ϕ=-，()max 1x ϕ=，故ln 1a ≥，a e ≥，选答案D ．6．解析：D 2'32s t t =-+，即232v t t =-+，令0v =，解得1t =或2，选答案D ． 7．解析：(3,2) 1()lnsin 1xf x x x+=+-是奇函数， 又12(1)2()ln sin ln sin ln 1sin 111x x f x x x x x x x +--⎛⎫⎛⎫=+=+=--+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，()f x 在()1,1- 单调递增，故()f x 定义在()1,1-上的且是增函数．由已知得2(2)(4)f a f a -<--即2(2)(4)f a f a -<-．故22322412113321415335a a a a a a a a a ⎧⎧-<<-<-⎪⎪-<-<⇒<<⇒<<⎨⎨⎪⎪-<-<-<<<<⎩⎩或．即不等式的解集是(3,2)．8．解析：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ ()1'220f x mx x =+-≥对一切0x >恒成立，2122m x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，令()212g x x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则当11x=时，函数()g x 取最大值1，故21m ≥，即12m ≥．9．（文科）解析：③④ ①函数1cos cos cos 2442y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，相邻两个对称中心的距离为22T d π==，错误；②函数31x y x +=-图象的对称中心应为()1,1，错误；③正确；④正确． 9．（理科）解析：222202sin 2sin 2(cos )2xdx xdx x ππππ-==-=⎰⎰．（2）直线x y 2=与抛物线32-=x y 所围成图形的面积为 ．10．解析：（1）．当12a =-时，()()2111,222xx x f x e x f x e x '=-+-=-+，从而得()()111,12f e f e '=-=-，故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为11()(1)2y e e x -+=--，即11022e x y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭．（2）．由()0f x ≥，得22111121,,22x x e x ax e x x a x --≤--≥∴≤，令()2112,x e x g x x--=则()()221112,x e x x g x x--+'=令21()(1)1,2x x e x x ϕ=--+则()()1(1),,02x x x e x x ϕϕ''=-≥∴>，即()x ϕ在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．所以()x ϕ170282e ϕ⎛⎫≥=-> ⎪⎝⎭，因此()0x ϕ'>，故()g x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增．则()121112122e g x g --⎛⎫≥=⎪⎝⎭，因此a 的取值范围是924a e ≤-．11．解析：（1）c x x x f +-=42)(2'， 依题意，有0)21('=+f ，即 2)21(4)21(22-=+++-=c ．42232)(23+--=∴x x x x f ，242)(2'--=x x x f ． 令,0)('>x f 得12x <-或12x >+，从而()f x 的单调增区间为(,12]-∞-和[12,)++∞．（2）'()()()f b f a f c b a-=-． （3）=+-=-)()(2x f e e x g x x 42232232+--+-=-x x x e e x x ， =)('x g 24222--++-x x e e x x222(1)4xx e e x e =++--222042 4.x x e e e e ≥⋅+⋅-=- 由（2）知，对于函数()y g x =图象上任意两点,A B ，在,A B 之间一定存在一点))(,('c g c C ,使得AB K c g =)('，又42)('-≥e x g ，故有42)('-≥=e c g K AB ，证毕．12．解析：（1）设函数()y f x =与()y g x =的图象的公共点()00,P x y ，则有2000ln x ax x =- ①又在点P 有共同的切线∴()()000020011''212x f x g x ax a x x +=⇒=-⇒=代入①得 0011ln 22x x =- 设()()()1111ln '00222h x x x h x x x =-+⇒=+>> 所以函数()h x 最多只有1个零点，观察得01x =是零点，∴1a =，此时()1,0P（2）方法1 由()()22ln ln x x f x g x x ax x a x +=⇒=-⇒= 令()()()2243112ln ln 12ln 'x x x x x x x x x r x r x x x x ⎛⎫+-+ ⎪+--⎝⎭=⇒==当01x <<时，()'0r x >，则()r x 单调递增当1x >时，()'0r x <，则()r x 单调递减，且2ln 0x x x +>所以()r x 在1x =处取到最大值()11r =，所以要使2ln x x y x +=与y a =有两个不同的交点，则有01a <<．方法2 根据（1）知当1a =时，两曲线切于点()1,0，此时变化的()y g x =的对称轴是12x =，而()y f x =是固定不动的，如果继续让对称轴向右移动即11122x a a =>⇒<，两曲线有两个不同的交点，当0a <时，开口向下，只有一个交点，显然不合，所以01a <<．（3）不妨设()()1122,,,M x y N x y ，且12x x >，则MN 中点的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 以S 为切点的切线1l 的斜率12122'2S x x k f x x +⎛⎫== ⎪+⎝⎭ 以T 为切点的切线2l 的斜率()1212'12T x x k g a x x +⎛⎫==+- ⎪⎝⎭如果存在a 使得S T k k =，即()121221a x x x x =+-+ ①而且有2111ln x ax x =-和2222ln x ax x =-，如果将①的两边同乘12x x -得()()22121212122()x x a x x x x x x -=---+， 221211122121222()()ln ln ln x x x ax x ax x x x x x x -=---=-=+，即1121222(1)ln 1x x x x x x -=+． 设121x x μ=>，则有()()21ln 11μμμμ-=>+，令()()()21ln 11h μμμμμ-=->+， ()()222114'(1)(1)h μμμμμ-=-=++，∵1μ>，∴()'0h μ>因此()h μ在[)1,+∞上单调递增，故()()10h h μ>=，所以不存在实数a 使得1l //2l ．1. 几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ， 或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, 或[]21()()(),(()0,1)2f x f x f x a f x +-=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；。
