最新7第七章微分方程答案汇总

第 1 页微 分 方 程第一节 微分方程的基本概念 1.填空题(1) 微分方程0)'('''242=++y y y x 的阶是 3 (2) 若xe B Ax y )(+=是微分方程xxe y y =-'2''的一个特解，则=A 1- ，=B 32．写出下列问题所确定的微分方程(1)已知曲线)(x f y =过点)1,1(，其上任意一点),(y x 处的切线的斜率为x x ln 2，求)(x f 满足的微分方程. ⎩⎨⎧==21)1(ln 'y xx y (2000题531) （2）由曲线上任意一点引法线，它在纵轴上截得的截距的长度等于该点到坐标原点的距离的2倍，求此曲线满足的微分方程.yy x x y -+=222'(2000题531)(3)设函数)(x f 在),1[+∞上连续，若由曲线)(x f y =，直线1=x ，tx =（1≥t ）与x 周所围平面图形绕x 轴旋转一周所称的旋转体的体积为].1)([3)(2-=t f t t v π求)(x f 所满足的微分方程..023'22=+-x yxy y （北大习题586）第二节 可分离变量方程1. 填空题(1) 微分方程y y x y ln sin '=满足初始条件e y x ==2π的特解是2tanx ey =(2) 微分方程 yx ey 2'+=的通解为C ee yx =+-22(3) 微分方程)2sin()2sin('y x y x y +=-+的通解是C x y y +=-2sin |cot csc |ln2. 求解下列可分离变量的微分方程 (1)0sin tan =-xdy ydx解 分离变量得xdxy ydy sin sin cos =两边积分得 '|2tan|ln |sin |ln C xy +=第 2 页故原方程的通解为 )(2tan sin 'C e C xC y ±== (2)0)()(=++-++dy e e dx e ey y x x yx解 两边除以 yx e+，并分离变量得11+=--x x y y e dxe e dy e两边分别积分得方程的通解为 C e e yx=-+)1)(1( (3)dy x y x y ydx x )1(22222+--= 分离变量得dy yy dx x x 222211-=+ 两边分别积分得微分方程的通解为C y y x x +-=-2ln arctan 2(4))'('2y y a xy y +=- 分离变量可得x a dxayy ey +=-2两边积分求得的通解为 C x a ay yln )ln(|1|ln ++=-，即有 )(1x a C ay y+=-. 第三节 齐 次 方 程1.填空题(1) 微分方程0)(=-+ydx dy y x 的通解是yx Ce y = (2)已知函数)(x y 满足微分方程xy y xy ln'=,且在1=x 时,2e y =,则1-=x 时， y 1-2.求解下列微分方程 (1)xyx y y tan '=-解 令 ux y =，则有xdxu du =tan 两边积分得 Cx u =sin原方程的通解为 Cx xy=sin(2)0)2()23(222=-+-+dy xy x dx y xy x第 3 页解 方程可化为 xy x y x y y 2132)('2---= 令 ux y =，则有 12)1(32---=-u u u dx du x 分离变量解之得 321-=--Cx u u 原方程的通解为 C x yx x y =--322(3)yx yx y ++-=34'解 另ux y =，则有1)2(2++-=u u dx du u 分离变量两端积分得 21)2(ln +-=+u u Cx 原方程的通解为02)2(ln =+++xy xx y C (4) 2)1('+-=y x y解 另 y x u -=，则方程化为)2(+-=u u dxdu分离变量两端积分得x Ce u u22-=+ 故原方程的通解为x Ce y x yx 22-=+--第四节 一阶线性方程 1. 选择题(1) 下列为一阶线性方程的是（ C ） A ．ye yx y =+' B. y x y y =+2'C ．x y e xy x=+' D.2'⎪⎭⎫⎝⎛=+x y x y y(2)*下列为伯努利方程的是( B) A ．3)(y x dxdy+= B.2yx y x dy dx += C. 532y x y x dx dy y=+ D.3322y x y x dxdy=+ 2. 填空题(1) 0cos 2')1(2=-+-x xy y x 满足1)0(=y 的特解为11sin 2--=x x y (2)设x x e x f dt t f -=⎰)()(0，则=)(x f x e x )1(+3.求解下列微分方程第 4 页(1) 27)1(2')1(+=-+x y y x解 方程改写为 25)1(12'+=+-x y x y 由一阶线性微分方程通解公式，得])1([122512⎰+⎰+⎰=+-+--C dx ex ey dxx dx x])1(32[)1(232C x x +++= 即方程的通解为])1(32[)1(232C x x +++=(2)2y x y dx dy += 解 原方程可改写为y yxdy dx += 由一阶线性微分方程通解公式， )]([11C y y C yeex dy ydyy+=+⎰⎰=⎰---因此，方程的通解为 )(C y y x += (3)ydy ydx xdy ln 22=+解 上方程变形为yy x y dy dx ln 22=+ 由一阶线性微分方程通解公式，得)ln 2(22⎰+⎰⎰=-C dy e yy ex dyy dyy 221ln -+-=Cy y因此方程的通解为221ln -+-=Cy y x 4.求解下列微分方程(1)*xy y dxdyx2=+ 解 此方程为21=n 时的伯努立方程，两边除以y 可得到x y dxdyy x 2=+ 令 y z = 上方程化为xz x dx dz 121=+ 由一阶线性微分方程的通解公式得到)(1C x xz +=，因此，原方程的通解为 2)(1C x xy +=。

第七章习题解答1.求下列函数的定义域。

()(){}1,:112222≤+--=y x y x D y x z 解：()()(){}1,4,:14ln 222222≥<+-+--=x y x y x D x y x z 解：()()()(){} ,2,1,0,122,:sin 32222±±=+≤+≤+=k k y x k y x D y x z ππ解：()()()[](){}164,:1416ln 422222222<+<---+--=y x y x D yx y x y x z 解：()(){}0,,:115><<--++=x x y x y x D yx yx z 解：()(){},0,:62>≤≤-=x x y y x D yx z 解：()()(){}222222,42,:3arcsin 7y x y x y x D y x y x z >≤+≤---=解：()()()(){}(){}94,11,1410,1,:410ln ln arcsin 82222222<+≤-≤-=>--≤---+-=y x y x y x y x y x y x D y x y x z 解：2.求下列函数的极限。

()()()()()1sin lim 1sin lim 1sin lim 10222222022220==+++++→→→→→uu u y x y x y x y x y x u x x y y 解：()()()()()001lim1lim lim lim limlim 222222222220000=+=+++=+++=++++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→y yx xy x y x yy x x y x y x y x y x y y y y y y x x x x x x 解：()221sin lim sin lim sin limsin lim 322220000=⋅=⋅=⋅=→→→→→→→→y u uu xy y xy xy x xy xxy y y y y u x x x 解：()022lim limlim4220222222000=⋅+=++→→→→→→yy x xy y x xy y x xy y y y x x x 解：3求下列函数的一阶偏导数。

第七章 微分方程§ 1 微分方程的基本概念1、由方程x 2-xy+y 2 ）的解。

A. (x-2y)y ''=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2y=Cx+C 2 ) 所满足的微分方程 （ ）'+y '2 B.y=Cx+y '2 C. xy '+y '2=C D. y '=xy '+y '23y=(C 1+C 2x)e 2x , y|x=0=0 , y '|x=π=1，则C 1,C 2的值为（ ）1=0 , C 2=1 B. C 1=1 , C 2=0 C. C 1=π , C 2=0 D. C 1=0 , C 2=π4.微分方程y '=yx 21-写成以y 为自变量，x 为函数的形式为（ ）A.y x 21dx dy -=B.yx 21dy dx -='=2x-y D. y '=2x-y 5. 已知某初值问题的解为y=C 1sin(x-C 2) y|x=π=1,y '|x=π=0, 确定C 1, C 2 解：y=C 1sin(x-C 2), y '=C 1cos(x-C 2)代入y|x=π=1,y '|x=π=0得C 1=1,C 2=2k π+2π6 .设物体A 从点(0,1)出发，以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动。

物体B 从点 (-1,0)与A 同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向A ，试建立物体B 的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件。

解：设在时刻t ，物体B 位于(x,y)处，则 x)vt 1(y dx dy +-=整理可得：dxdtv dx y d x 22-= ○1 而dt dx dx dy 1dt ds v 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+== 有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy 1v 21dx dt ○2 其中s 表示B 的运动轨迹的曲线的弧长。

第七章 练习题一、填空： 第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶 一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是 一 阶常微分方程. 3、01"=+xy 是 二 阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。

5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。

8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、 微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、 微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、 方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、 一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、 微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、 分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择 第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、 微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、 微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、 方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是 （ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、 微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、 微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为 （ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ） （A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、 已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为 （ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、 分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解 解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分 两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分 整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。

第七章 常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 令u x y =， 则()u f dxdux u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-⎰⎰||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()⎰-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dxx P ex C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]⎰+=⎰⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。

4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。

四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

第七章 微分方程第37次 微分方程的概念 分离变量法一、指出下列微分方程的阶数，并验证括号中的函数是否为微分方程的解，若是解，说明该解是通解还是特解：1．330()xy y y Cx -'+==解 一阶 43y Cx -'=-433(3)30xy y x Cx Cx --'+=⋅-+=， 所以3y Cx -=为微分方程的解又3y Cx -=中只含有一个任意常数，故其为通解．2．21d d 0()2kx x y y kx -==解 一阶 d d y kx x =d d d d 0kx x y kx x kx x -=-=， 所以212y kx =为微分方程的解 又212y kx =中不含有任意常数，故其为特解． 3．0(sin )y y y C x ''+==解 二阶cos y C x '=，sin y C x ''=-sin sin 0y y C x C x ''+=-+=， 所以sin y C x =为微分方程的解又sin y C x =中只含有一个任意常数，故其既不是通解，也不是特解．4．220()xy y y y x e '''-+==解 二阶 22x x y xe x e '=+，222(2)22224x x x x x x x x x y xe x e e xe xe x e e xe x e '''=+=+++=++ 2222242(2)20x x x x x x x y y y e xe x e xe x e x e e '''-+=++-++=≠，所以2xy x e =不是微分方程的解二、求下列微分方程的通解：1．22()d (1)d 0xy x x x y +++=解 22d d 11y x x y x -=++⎰⎰21arctan ln(1)2y x C =-++ 2．()d ()d 0x y x x y y e e x e e y ++-++=解 e e d d e 1e 1y xy x y x =--+⎰⎰ ln e 1ln e 1ln y x C -=-++即 (e 1)(e 1)y x C -+=3．d 2d y xy x x+= 解 d d 21y x x y =--⎰⎰211ln 2122y x C -=-+22e 121e 2x x C y C y --+⇒-=⇒= 4．sin ln y x y y '=解 d csc d ln y x x y y=⎰⎰ ln ln ln csc cot ln y x x C =-+ln (csc cot )y C x x =-三、求下列微分方程满足初始条件的特解：1．52,(0)0x y y ey -'== 解 25e d e d y x y x =⎰⎰2511e e 25y x C =+ 又(0)0y =，310C = 微分方程的特解：25113e e 2510y x =+2．2d (1)tan ,(0)2d y y x y x=-= 解2d tan d 1y x x y =-⎰⎰2111ln ln sec ln sec 211y y x C C x y y++=+⇒=-- 又(0)2y =，3C =- 微分方程的特解：213sec 1y x y+=-- 四、镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R 成正比.由经验材料得知，经过1600年后，只剩原始量0R 的一半.试求镭的现存量R 与时间t 的关系.解d d R R tλ=- d d R t R λ=-⎰⎰ ln ln e t R t C R C λλ-=-+⇒=又0(0)R R =，0C R =；所以0e t R R λ-= 又0(1600)2R R =， 160000e 2R R λ-=，所以ln 21600λ=；故ln 216000e t R R -=第38次 变量代换法 一阶线性微分方程一、求下列微分方程的通解或特解：1．22()d d 0x y x xy y +-=解 d d y x y x y x=+ （1） 令,y u x=则,y u xu ''=+ 代入（1）得：1u xu u u'+=+ 分离变量 1d d u u x x= 两边积分 1d d u u x x =⎰⎰得 2ln ln ln 2u x C Cx =+= 22222y u x Cx eCx e =⇒= 2．,(1)0y x y y e y x '=+= 解 令,y u x= 则,y u xu ''=+ 代入原方程得：u u xu e u '+=+分离变量 1d d u e u x x-=两边积分 1d d u e u x x -=⎰⎰ 得 ln u e x C --=+ln yxe x C --=+ 又(1)0y =，得1C =- 原方程特解：ln 1y x ex --=- 3．d 11d y x x y=+- 解 令,u x y =-d d 111d d y u x x u=-=+ d 1d d d u u u x x u-=⇒=- d d u u x =-⎰⎰ 22()22u x y x C x C -=-+⇒=-+ 4．21tan (2)2y x y '=+ 解 令2,u x y =+ 2d 1d 11tan d 2d 22y u u x x =-= 22d 1tan sec d u u u x=+= 2cos d d u u x =⎰⎰ 积分得11sin 224u u x C +=+ 原方通特解：1111(2)sin 2(2)sin 2(2)2424x y x y x C y x x y C +++=+⇒-++=二、求下列微分方程的通解或特解：1．d d x y y e x-+= 解 ()1,()x P x Q x e -==对应齐次微分方程的通解为d x x y C e C e --⎰==令原方程的通解为()x y C x e -=，将,y y '代入原方程整理得 ()()1x x C x e e C x --''=⇒= ()C x x C =+故原方程的通解为()x y x C e -=+2．sin cos ,(0)2x y y x e y -'+==解 sin ()cos ,()x P x x Q x e -==对应齐次微分方程的通解为cos d sin x x x y C e C e --⎰==令原方程的通解为sin ()x y C x e-=，将,y y '代入原方程整理得 sin sin ()()1x x C x e e C x --''=⇒= ()C x x C =+故原方程的通解为sin ()x y x C e-=+ 又(0)2y =，得2C =故原方程的特解为sin (2)x y x e -=+3．23d d 1y x x y x x++=-+ 解 22d d d 1d 1y y y y x x x x x x=--⇒+=-++ 21(),()1P x Q x x x==-+ 对应齐次微分方程的通解为1d ln(1)11x x x C y C e C e x --++⎰===+ 令原方程的通解为1()1y C x x=⋅+，将,y y '代入原方程整理得 221()()(1)1C x x C x x x x ''=-⇒=-++ 3411()34C x x x C =--+故原方程的通解为34111341y x x C x⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭ 4．226y y x y '=- 解 d 3d 3d 2d 2x y x y x x y y y y ⎛⎫=-⇒+-=- ⎪⎝⎭ 3(),()2y P y Q y y =-=- 对应齐次微分方程的通解为33d ln 3y y y x C eC e Cy --⎰=== 令原方程的通解为3()x C y y =，将,x x '代入原方程整理得321()()22y C y y C y y ''=-⇒=- 1()2C y C y=+ 故原方程的通解为312y C y y ⎛⎫=+⎪⎝⎭三、已知连续函数()f x 满足条件320()()d 3x x t f x f t e =+⎰，求()f x ． 解 2()3()2x f x f x e '=+且(0)1f = 2d (3)2d x y y e x+-= 2()3,()2x P x Q x e =-=对应齐次微分方程的通解为3d 3x x y C e C e --⎰==令原方程的通解为3()x y C x e =，将,y y '代入原方程整理得 32()2()2x x x C x e e C x e -''=⇒= ()2x C x e C -=-+故原方程的通解为3(2)x x y e C e -=-+又(0)1f =，得3C =，故3()(23)x x f x e e -=-+第39次 可降阶的高阶微分方程一、求下列微分方程的通解或特解：1．sin 1y x x '''=++解 ()211sin 1d cos 2y x x x x x x C ''=++=-++⎰ 321211sin 62y x x x C x C '=-+++ 432123111cos 2462y x x x C x C x C =+++++ 2．y y x '''=+解 设()y p x '=，则,y p '''= 代入方程得p p x '=+ 变形得(1)p p x '+-= （1）对应齐次方程的通解为d x x p Ce C e --⎰==令原方程的通解为()xp C x e =，将,p p '代入（1）整理得 ()()x x C x e x C x xe -''=⇒= 1()d d d x x x x x x C x xe x x e e x xe e xe C ------==-=-=--+⎰⎰⎰故（1）的通解为11()1x x x x p e xe C e x C e --=--+=--+即 11x y x C e '=--+ 故21212x y x x C e C =--++ 3．20yy y '''+=解 设()y p y '=，则d ,d p y p y''= 代入方程得 2d 0,d p y p p y += 即d d p y p y=-⎰⎰ 两端积分得1ln ln ln ,p y C =-+ 1py C =1y y C '= 即 1d d y y C x =⎰⎰ 故所求通解为2122y C x C =+ 4．21y y '''=+解 设()y p x '=，则21,p p '=+ 即21d d 1p x p =+⎰⎰ 两端积分得1arctan ,p x C =+ 1tan()p x C =+1tan()y x C '=+ 112tan()d ln cos()y x C x x C C =+=-++⎰ 故所求通解为12ln cos()y x C C =-++5．20020,0,1x x y y y y ==''''-===-解 设()y p x '=，则220,p p '-= 即21d 2d p x p =⎰⎰ 两端积分得112,x C p-=+ 112,x C y -=+'又 01x y ='=-，11C ∴= 121x y -=+'，即1d d 21y x x =-+⎰⎰ 故所求通解为21ln 212y x C =-++ 又00x y ==，故20C = 故所求特通解为1ln 212y x =-+。

微 分 方 程第一节 微分方程的基本概念 1.填空题(1) 微分方程0)'('''242=++y y y x 的阶是 3 (2) 若x e B Ax y )(+=是微分方程x xe y y =-'2''的一个特解，则=A 1- ，=B 32．写出下列问题所确定的微分方程(1)已知曲线)(x f y =过点)1,1(，其上任意一点),(y x 处的切线的斜率为x x ln 2，求)(x f 满足的微分方程.⎩⎨⎧==21)1(ln 'y xx y (2000题531) （2）由曲线上任意一点引法线，它在纵轴上截得的截距的长度等于该点到坐标原点的距离的2倍，求此曲线满足的微分方程.yy x x y -+=222'(2000题531)(3) 列车在水平直线路上以20m/s (相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式4.022-=dts d . (5) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dt ds v . (6)把(5)式两端积分一次, 得14.0C t dt ds v +-==; (7)再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (8) 这里C 1, C 2都是任意常数. 把条件t =0，v =20代入(7)得20=C 1;把条件t =0，s =0代入(8)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(7)及(8)式得v =-0.4t +20, (9) s =-0.2t 2+20t . (10)在(9)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(10), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).第二节 可分离变量方程 1. 填空题（1）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1y x=． 【详解】由dy y dx x =-，得dy dx y x=-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+． 代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=． (1) 微分方程 y x e y 2'+=的通解为C ee yx=+-22(3) 微分方程(1)y x y x-'=的通解是e (0).xy Cx x -=≠【分析】 本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得e x y C x -=.（1e C C =）2. 求解下列可分离变量的微分方程 (1)0sin tan =-xdy ydx解 分离变量得xdxy ydy sin sin cos =两边积分得 '|2tan |ln |sin |ln C xy += 故原方程的通解为 )(2tan sin 'C e C x C y ±==(2)0)()(=++-++dy e e dx e e y y x x y x 解 两边除以 yx e+，并分离变量得11+=--x x yy e dxe e dy e 两边分别积分得方程的通解为 C e e yx=-+)1)(1( (3)dy x y x y ydx x )1(22222+--= 分离变量得dy yy dx x x 222211-=+ 两边分别积分得微分方程的通解为C y y x x +-=-2ln arctan 2(4))'('2y y a xy y +=- 分离变量可得x a dxayy ey +=-2两边积分求得的通解为 C x a ay yln )ln(|1|ln ++=-，即有 )(1x a C ay y+=-. 第三节 齐 次 方 程1.填空题(1) 微分方程0)(=-+ydx dy y x 的通解是yx Ce y =(2)已知函数)(x y 满足微分方程x y y xy ln '=,且在1=x 时,2e y =,则1-=x 时， y 1-2.求解下列微分方程 (1)xyx y y tan '=-解 令 ux y =，则有xdxu du =tan 两边积分得 Cx u =sin原方程的通解为 Cx xy=sin(2)0)2()23(222=-+-+dy xy x dx y xy x解 方程可化为 xy x y x y y 2132)('2---= 令 ux y =，则有 12)1(32---=-u u u dx du x 分离变量解之得 321-=--Cxu u原方程的通解为 C x yx x y =--322(3)yx yx y ++-=34'解 另ux y =，则有1)2(2++-=u u dx du u分离变量两端积分得 21)2(ln +-=+u u Cx 原方程的通解为02)2(ln =+++xy xx y C(4) 2)1('+-=y x y解 另 y x u -=，则方程化为)2(+-=u u dx du分离变量两端积分得x Ce u u22-=+ 故原方程的通解为x Ce y x yx 22-=+--第四节 一阶线性方程1. 选择题(1) 下列为一阶线性方程的是（ C ） A ．ye yx y =+' B. y x y y =+2'C ．x y e xy x=+' D.2'⎪⎭⎫⎝⎛=+x y x y y(2)*下列为伯努利方程的是( B)A ．3)(y x dx dy += B. 2yx y x dy dx += C. 532y x y x dx dy y=+ D.3322y x y x dxdy=+ 2. 填空题(1) 0cos 2')1(2=-+-x xy y x 满足1)0(=y 的特解为11sin 2--=x x y(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】 直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为x y x y ln 2=+'，于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx=2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=3.求解下列微分方程 (1) 27)1(2')1(+=-+x y y x解 方程改写为 25)1(12'+=+-x y x y由一阶线性微分方程通解公式，得])1([122512⎰+⎰+⎰=+-+--C dx ex ey dxx dx x])1(32[)1(232C x x +++=即方程的通解为])1(32[)1(232C x x +++=(2)2y x y dx dy +=解 原方程可改写为y yxdy dx += 由一阶线性微分方程通解公式， )]([11C y y C yeex dyy dyy+=+⎰⎰=⎰---因此，方程的通解为 )(C y y x += (3)ydy ydx xdy ln 22=+解 上方程变形为yy x y dy dx ln 22=+ 由一阶线性微分方程通解公式，得)ln 2(22⎰+⎰⎰=-C dy e yy ex dyy dyy 221ln -+-=Cy y因此方程的通解为221ln -+-=Cy y x第五 可降阶的高阶微分方程 1. 填空题 (1) 微分方程x ysin )4(=的通=y 432231sin C x C x C x C x ++++(2) y y sin ''=经过变换p y =',可化为一阶微分方程py dy dp sin =二、求解下列微分方程的通解 (1)x x y ln 2''=解 对原方程两端连续两次积分得1222ln ln 2'C x x x dx x x y +-==⎰23313ln 185C xx x x C y ++-= (2)x y xy 4'''=+解 令p y ='，则原方程化为41=+p xdx dp 由一阶线性方程的通解公式，得 x xC C dx ee p dxx dxx 2)4(1111+=+⎰⎰=⎰-. 从而有x xC y 2'1+=两端积分得到原微分方程的通解为221||ln C x x C y ++=3、求下列微分方程的通解(1) 【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.令'()y P y =(以y 为自变量),则'''.dy dP dPy P dx dx dy=== 代入方程得 20dP yPP dy +=,即0dPy P dy+=(或0P =,但其不满足初始条件01'2x y ==). 分离变量得 0,dP dyP y+= 积分得ln ln ',P y C +=即1C P y=(0P =对应10C =); 由0x =时11,',2y P y ===得11.2C =于是1',2,2y P ydy dx y===积分得22y x C =+. 又由01x y==得21,C =所求特解为y =(2).0,1,'1''20'2==+===x x y yy yy 解 令 ,'p y =故 dydppy =''，代入原方程化为 .122y dyppdp =+ 两边积分得12ln )1ln(C y p +=+ 由初始条件解得11=C ,从而上式化简为dx y dy =-±1两边积分得212C x y +=-±，由初始条件，可解得02=C ，因此，原方程的通解为.412x y += 第六 高阶线性微分方程１．选择题(1). 若1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个特解,则 2211y C y C y +=(其中21,C C 为任意常数) ( B ) (A)是该方程的通解； (B)是该方程的解 (C)是该方程的特解 (D)不一定是该方程的解(2)．设12,y y 是方程)(x f by y a y =+'+'' (*)的两个特解,则下列结论正确的是 ( D )(A) 21y y +是(*)的解 (B) 21y y +是方程0=+'+''by y a y 的解 (C) 21y y -是(*)的解 (D) 21y y -是方程0=+'+''by y a y 的解 (3).设321,,y y y 是)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的解,21,C C 伟任意常数，则该齐次方程的通解为( D )(A) 32211y y C y C ++ (B) 3212211)(y C C y C y C +-+ (C)3212211)1(y C C y C y C ---+ (D)3212211)1(y C C y C y C --++ (4) 下列函数组线性无关的是( C )(A) 1,1,-+x x x (B) 32,,,0x x x(C) 22,-+x xe e (D) x x e e --22,第七节 常系数齐次线性微分方程 1.填空题 (1)设xe-与x e x -+)23(是方程0=+'+''by y a y 的两个解,则a 2 b 1(2) 在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=. (C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).【详解】由123cos2sin 2x y C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).2.求解下列微分方程(1) 06'5''=+-y y y解 原方程的特征方程为 0652=+-r r ，特征根为.3,221==r r 方程的通解为x x e C e C y 3221+=. (2)04'4''=++y y y解 特征方程为 0442=++r r ，特征根为 221-==r r , 方程的通解为x x xe C e C y 2221--+=. (3)09''=+y y解 特征方程为 092=+r ，特征根为i r 3±=,方程的通解为x C x C y 3sin 3cos 21+=.第八节 常系数非齐次线性微分方程 1.填空题若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12x y C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = 。

第七章 微分方程第37次 微分方程的概念 分离变量法一、指出下列微分方程的阶数，并验证括号中的函数是否为微分方程的解，若是解，说明该解是通解还是特解：1．330()xy y y Cx -'+==解 一阶43y Cx -'=-433(3)30xy y x Cx Cx --'+=⋅-+=， 所以3y Cx -=为微分方程的解又3y Cx -=中只含有一个任意常数，故其为通解．2．21d d 0()2kx x y y kx -==解 一阶 d d y kx x =d d d d 0kx x y kx x kx x -=-=， 所以212y kx =为微分方程的解 又212y kx =中不含有任意常数，故其为特解． 3．0(sin )y y y C x ''+==解 二阶cos y C x '=，sin y C x ''=-sin sin 0y y C x C x ''+=-+=， 所以sin y C x =为微分方程的解又sin y C x =中只含有一个任意常数，故其既不是通解，也不是特解．4．220()xy y y y x e '''-+==解 二阶 22x x y xe x e '=+，222(2)22224x x x x x x x x x y xe x e e xe xe x e e xe x e '''=+=+++=++ 2222242(2)20x x x x x x x y y y e xe x e xe x e x e e '''-+=++-++=≠，所以2xy x e =不是微分方程的解二、求下列微分方程的通解：1．22()d (1)d 0xy x x x y +++=解 22d d 11y x x y x -=++⎰⎰21a r c t a n l n (1)2y x C =-++ 2．()d ()d 0x y x x y y e e x e e y ++-++=解 e e d d e 1e 1y xy x y x =--+⎰⎰ ln e 1ln e 1ln y x C -=-++即 (e 1)(e 1)y x C -+=3．d 2d y xy x x+= 解 d d 21y x x y =--⎰⎰211ln 2122y x C -=-+22e 121e 2x x C y C y --+⇒-=⇒= 4．sin ln y x y y '=解 d csc d ln y x x y y=⎰⎰ ln ln ln csc cot ln y x x C =-+l n (c s c c o ty C x x =- 三、求下列微分方程满足初始条件的特解：1．52,(0)0x y y ey -'== 解 25e d e d y x y x =⎰⎰2511e e 25y x C =+ 又(0)0y =，310C = 微分方程的特解：25113e e 2510y x =+2．2d (1)tan ,(0)2d y y x y x=-= 解2d tan d 1y x x y =-⎰⎰2111ln ln sec ln sec 211y y x C C x y y++=+⇒=-- 又(0)2y =，3C =- 微分方程的特解：213sec 1y x y+=-- 四、镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R 成正比.由经验材料得知，经过1600年后，只剩原始量0R 的一半.试求镭的现存量R 与时间t 的关系.解d d R R tλ=- d d R t R λ=-⎰⎰ ln ln e t R t C R C λλ-=-+⇒=又0(0)R R =，0C R =；所以0e t R R λ-= 又0(1600)2R R =， 160000e 2R R λ-=，所以ln 21600λ=；故ln 216000e t R R -=第38次 变量代换法 一阶线性微分方程一、求下列微分方程的通解或特解：1．22()d d 0x y x xy y +-=解 d d y x y x y x=+ （1） 令,y u x=则,y u xu ''=+ 代入（1）得：1u xu u u'+=+ 分离变量 1d d u u x x= 两边积分 1d d u u x x =⎰⎰得 2ln ln ln 2u x C Cx =+= 2222y u x Cx eCx e =⇒= 2．,(1)0y x y y e y x '=+= 解 令,y u x= 则,y u xu ''=+ 代入原方程得：u u xu e u '+=+分离变量 1d d u e u x x-=两边积分 1d d u e u x x -=⎰⎰ 得 ln u e x C --=+ln yxe x C --=+ 又(1)0y =，得1C =- 原方程特解：ln 1y x ex --=- 3．d 11d y x x y=+- 解 令,u x y =-d d 111d d y u x x u =-=+ d 1d d d u u u x x u-=⇒=- d d u u x =-⎰⎰ 22()22u x y x C x C -=-+⇒=-+ 4．21tan (2)2y x y '=+ 解 令2,u x y =+ 2d 1d 11tan d 2d 22y u u x x =-= 22d 1tan sec d u u u x=+= 2c o s d d u u x =⎰⎰ 积分得11sin 224u u x C +=+ 原方通特解：1111(2)sin 2(2)sin 2(2)2424x y x y x C y x x y C +++=+⇒-++=二、求下列微分方程的通解或特解：1．d d x y y e x-+= 解 ()1,()x P x Q x e -==对应齐次微分方程的通解为d x x y C e C e --⎰==令原方程的通解为()x y C x e -=，将,y y '代入原方程整理得 ()()1x x C x e e C x --''=⇒= ()C x x C =+ 故原方程的通解为()x y x C e -=+2．sin cos ,(0)2x y y x e y -'+==解 sin ()cos ,()x P x x Q x e -==对应齐次微分方程的通解为cos d sin x x x y C e C e --⎰== 令原方程的通解为sin ()x y C x e -=，将,y y '代入原方程整理得s i n s i n ()()1x x C x e e C x --''=⇒= ()C x x C =+ 故原方程的通解为sin ()x y x C e-=+ 又(0)2y =，得2C =故原方程的特解为sin (2)x y x e -=+3．23d d 1y x x y x x++=-+ 解 22d d d 1d 1y y y y x x x x x x=--⇒+=-++ 21(),()1P x Q x x x==-+ 对应齐次微分方程的通解为1d ln(1)11x x x C y C e C e x --++⎰===+ 令原方程的通解为1()1y C x x=⋅+，将,y y '代入原方程整理得 221()()(1)1C x x C x x x x ''=-⇒=-++ 3411()34C x x x C =--+故原方程的通解为34111341y x x C x⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭ 4．226y y x y '=- 解 d 3d 3d 2d 2x y x y x x y y y y ⎛⎫=-⇒+-=- ⎪⎝⎭ 3(),()2y P y Q y y =-=- 对应齐次微分方程的通解为33d ln 3y y y x C e C e Cy --⎰=== 令原方程的通解为3()x C y y =，将,x x '代入原方程整理得 321()()22y C y y C y y ''=-⇒=- 1()2C y C y=+ 故原方程的通解为312y C y y ⎛⎫=+⎪⎝⎭三、已知连续函数()f x 满足条件320()()d 3x x t f x f t e =+⎰，求()f x ． 解 2()3()2x f x f x e '=+且(0)1f = 2d (3)2d x y y e x+-= 2()3,()2x P x Q x e =-=对应齐次微分方程的通解为3d 3x x y C e C e --⎰== 令原方程的通解为3()x y C x e =，将,y y '代入原方程整理得 32()2()2x x x C x e e C x e -''=⇒= ()2x C x e C-=-+ 故原方程的通解为3(2)x x y e C e -=-+又(0)1f =，得3C =，故3()(23)x x f x e e -=-+第39次 可降阶的高阶微分方程一、求下列微分方程的通解或特解：1．sin 1y x x '''=++解 ()211sin 1d cos 2y x x x x x x C ''=++=-++⎰ 321211sin 62y x x x C x C '=-+++ 432123111c o s 2462y x x x C x C x C =+++++ 2．y y x '''=+解 设()y p x '=，则,y p '''= 代入方程得p p x '=+ 变形得(1)p p x '+-= （1）对应齐次方程的通解为d x x p Ce C e --⎰== 令原方程的通解为()x p C x e =，将,p p '代入（1）整理得 ()()x x C x e x C x xe -''=⇒=1()d d d x x x x x x C x x e x x e e x x e e x e C------==-=-=--+⎰⎰⎰ 故（1）的通解为11()1x x x x p e xe C e x C e --=--+=--+ 即 11x y x C e '=--+ 故21212x y x x C e C =--++ 3．20yy y '''+=解 设()y p y '=，则d ,d p y p y''= 代入方程得 2d 0,d p y p p y+= 即d d p y p y =-⎰⎰ 两端积分得1ln ln ln ,p y C =-+ 1p y C =1y y C '= 即 1d d y y C x =⎰⎰ 故所求通解为2122y C x C =+ 4．21y y '''=+解 设()y p x '=，则21,p p '=+ 即21d d 1p x p =+⎰⎰ 两端积分得1arctan ,p x C =+ 1t a n ()p x C =+ 1tan()y x C '=+ 112tan()d ln cos()y x C x x C C =+=-++⎰ 故所求通解为12ln cos()y x C C =-++5．20020,0,1x x y y y y ==''''-===-解 设()y p x '=，则220,p p '-= 即21d 2d p x p =⎰⎰ 两端积分得112,x C p-=+ 112,x C y -=+'又 01x y ='=-，11C ∴= 121x y -=+'，即1d d 21y x x =-+⎰⎰ 故所求通解为21ln 212y x C =-++ 又00x y ==，故20C = 故所求特通解为1ln 212y x =-+。