7第七章微分方程答
案
微分方程?Skip Record If...?
第一节微分方程的基本概念
1.填空题
(1) 微分方程?Skip Record If...?的阶是 ?Skip Record If...?
(2) 若?Skip Record If...?是微分方程?Skip Record If...?的一个特
解，则
?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...? 3 2．写出下列问题所确定的微分方程
(1)已知曲线?Skip Record If...?过点?Skip Record If...?，其上任意一点?Skip Record If...?处的切线的斜率为 ?Skip Record If...?，求?Skip Record If...?满足的微分方程.
?Skip Record If...?(2000题531) （2）由曲线上任意一点引法线，它在纵轴上截得的截距的长度等于该点到坐标原点的距离的2倍，求此曲线满足的微分方程.
?Skip Record If...?(2000题531)
(3) 列车在水平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶;当制动时列车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米.根据题意,反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式
?Skip Record If...?. (5) 此外,未知函数s=s(t)还应满足下列条件:
t=0时,s=0, ?Skip Record If...?. (6) 把(5)式两端积分一次,得
?Skip Record If...?; (7)
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再积分一次,得
s=-0.2t2 +C1t+C2, (8) 这里C1,C2都是任意常数.
把条件t=0，v=20代入(7)得
20=C1;
把条件t=0，s=0代入(8)得
0=C2.
把C1,C2的值代入(7)及(8)式得
v=-0.4t+20, (9)
s=-0.2t2+20t. (10) 在(9)式中令v=0,得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
?Skip Record If...?(s).
再把t=50代入(10),得到列车在制动阶段行驶的路程
s=-0.2?502+20?50=500(m).
第二节可分离变量方程1.填空题
（1）微分方程?Skip Record If...?满足条件?Skip Record If...?的解是?Skip Record If...? .
【答案】应填?Skip Record If...?．
【详解】由?Skip Record If...?，得?Skip Record If...?．两边积分，得?Skip Record If...?．
代入条件?Skip Record If...?，得?Skip Record If...?．所以?Skip Record If...?．
(1)微分方程 ?Skip Record If...?的通解为?Skip Record If...?(3) 微分方程?Skip Record If...?的通解是?Skip Record If...?
【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可
【详解】原方程等价为
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?Skip Record If...?，
两边积分得?Skip Record If...?，整理得
?Skip Record If...?.（?Skip Record If...?）2.求解下列可分离变量的微分方程
(1)?Skip Record If...?
解分离变量得 ?Skip Record If...?
两边积分得 ?Skip Record If...?
故原方程的通解为 ?Skip Record If...?
(2)?Skip Record If...?
解两边除以 ?Skip Record If...?，并分离变量得
?Skip Record If...?
两边分别积分得方程的通解为 ?Skip Record If...?
(3)?Skip Record If...?
分离变量得
?Skip Record If...?
两边分别积分得微分方程的通解为?Skip Record If...?
(4)?Skip Record If...?
分离变量可得 ?Skip Record If...?
两边积分求得的通解为 ?Skip Record If...?，即有
?Skip Record If...?.
第三节齐次方程
1.填空题
(1) 微分方程?Skip Record If...?的通解是?Skip Record If...?
(2)已知函数?Skip Record If...?满足微分方程?Skip Record If...?,且在?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?时， ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?
2.求解下列微分方程
(1)?Skip Record If...?
解令 ?Skip Record If...?，则有 ?Skip Record If...?
两边积分得 ?Skip Record If...?
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原方程的通解为 ?Skip Record If...?
(2)?Skip Record If...?
解方程可化为 ?Skip Record If...?
令 ?Skip Record If...?，则有 ?Skip Record If...?
分离变量解之得 ?Skip Record If...?
原方程的通解为 ?Skip Record If...?
(3)?Skip Record If...?
解另?Skip Record If...?，则有?Skip Record If...?
分离变量两端积分得 ?Skip Record If...?
原方程的通解为?Skip Record If...?
(4) ?Skip Record If...?
解另 ?Skip Record If...?，则方程化为?Skip Record If...?分离变量两端积分得 ?Skip Record If...?
故原方程的通解为 ?Skip Record If...?第四节一阶线性方程
1.选择题
(1)下列为一阶线性方程的是（ C ）
A．?Skip Record If...? B. ?Skip Record If...?
C．?Skip Record If...? D.?Skip Record If...?
(2)*下列为伯努利方程的是( B)
A．?Skip Record If...? B. ?Skip Record If...?
C. ?Skip Record If...?
D.?Skip Record If...?
2.填空题
(1) ?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?的特解为?Skip Record If...?
(2)?Skip Record If...?微分方程?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?的解为?Skip Record If...?.
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【分析】直接套用一阶线性微分方程?Skip Record If...?的通解公式：
?Skip Record If...?，
再由初始条件确定任意常数即可.
【详解】原方程等价为
?Skip Record If...?，
于是通解为 ?Skip Record If...?
=?Skip Record If...?，
由?Skip Record If...?得C=0，故所求解为?Skip Record If...?
3.求解下列微分方程
(1) ?Skip Record If...?
解方程改写为 ?Skip Record If...?
由一阶线性微分方程通解公式，得?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
即方程的通解为?Skip Record If...?
(2)?Skip Record If...?
?Skip Record If...?解原方程可改写为 ?Skip Record If...?由一阶线性微分方程通解公式，
?Skip Record If...?
因此，方程的通解为 ?Skip Record If...?
(3)?Skip Record If...?
解上方程变形为 ?Skip Record If...?
由一阶线性微分方程通解公式，得
?Skip Record If...? ?Skip Record If...?
因此方程的通解为?Skip Record If...?
?Skip Record If...?第五节可降阶的高阶微分方程
1.填空题
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(1)微分方程?Skip Record If...?的通?Skip Record If...??Skip
Record If...?
(2)?Skip Record If...?经过变换?Skip Record If...?,可化为
一阶微分方程?Skip Record If...?
二、求解下列微分方程的通解
(1)?Skip Record If...?
解对原方程两端连续两次积分得
?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
(2)?Skip Record If...?
解令?Skip Record If...?，则原方程化为
?Skip Record If...?
由一阶线性方程的通解公式，得
?Skip Record If...?.
从而有
?Skip Record If...?
两端积分得到原微分方程的通解为?Skip Record If...?
3、求下列微分方程的通解
(1)【分析】这是二阶的可降阶微分方程.
令?Skip Record If...?(以?Skip Record If...?为自变量),则?Skip Record If...?
代入方程得?Skip Record If...?,即?Skip Record If...?(或?Skip Record If...?,但其不满足初始条件?Skip Record If...?).
分离变量得?Skip Record If...?
积分得?Skip Record If...?即?Skip Record If...?(?Skip Record If...?对应?Skip Record If...?);
由?Skip Record If...?时?Skip Record If...?得?Skip Record If...?于是
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第七章 微分方程与差分方程 习题7－1（A ） 1． 说出下列微分方程的阶数： ;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2． 下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2; 02)1(==+'-'' )(2; 0)()2(2为任意常数C x x C y xdy dx y x -==++ ),(cos sin ; 0) 3(212122 2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+ )(ln ; 02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+ 3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5, )1(0 22==-=x y C y x ;1,0,)()2(0 221=' =+===x x x y y e x C C y . 0,1, )(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y 4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程： 点横坐标的平方。 处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x 轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2( 习题7－1（B ） 1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ; 1)()1(22=+-y C x . )2(21x x e C e C xy -+= 2．用微分方程表示下列物理问题： 平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1( 。 速度成反比（比例系数同时阻力与， 成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m 习题7－2（A ） 1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ; )()3(2y y a y x y '+='-'
第三章 线性系统的时域分析法 3.1 引言 分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。 实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。 许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。 3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号： ① 实际系统的输入信号不可知性； ② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系； ③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。 突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。 （单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t 室温调节系统和水位调节系统 （单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t ∝ （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线 0,2 12 ≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ 正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。 通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统非周期信号（Step 、Ramp 、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。 3.1.2 动态过程和稳态过程
§29 交流电路与交流元件 ［作业］ P652：2、3、4 2、C=79.6微法的电容，接到220伏50周的交流电源上，求它的阻抗和通过它的电流。 解： A Z U I C Z C C 5.5,0.41 == Ω== ω 3、L=31.8毫亨的线圈，其电阻可略去不计，当加上220伏50周的交流电压时，求它的阻抗和通过它的电流。 解：A Z U I L Z L L 22,10== Ω==ω 4、（1）分别求频率为50周和500周时，10亨利电感的阻抗；（2）分别求50周和500周时，10微法电容的阻抗；（3）在哪一个频率时，10亨利电感器的阻抗等于10微法电容器的阻抗。 解： ()()()HZ LC f fC fL C f Z C f Z L f Z L f Z C C L L 16121,21233221,3202121014.32,1014.3212211 4 2223111== = Ω ==Ω== Ω?==Ω?==π ππππππ §30 元件的串联和并联 ［作业］ P669：6、10、14 6、在附图中Z C =Z L =R ，求下列各量的位相差，并用矢量图说明之：（1）U C 和I R ；（2） I C 与I R ；（3）U R 与U L ；（4）U 与I 。 解：以U R （U C ）为基准，I R 与U R 同相，I C 超前U C π/2， C R I I I +=超前U R π/4，U L 超前I π/2，L R U U U +=超前U R π/2，故U C 与I R 位相差为0，I C 与I R 位相差为π/2， U R 与U L 位相差为-3π/4，U 与I 位相差为π/4，其矢量图如图所示。
第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
第七章 微分方程—练习题参考答案 一、填空题 1. 三阶； 2. 023=+'-''y y y ； 3. 1-=' x y y ； 4. x e 22ln ? ； 5. x x e c e c 221-+； 6. 错误 、错误、错误、正确. 二、选择题 1-5:ACDCB; 6-8: CCB; 三、计算与应用题 1、（1）解：变量分离得， 1 1 2 2 -= +x xdx y ydy ， 两边积分得， c x y ln 2 1)1ln(2 1)1ln(2 12 2 +-=+， 从而方程通解为 )1(122-=+x c y . （2）解：整理得， x y x y dx dy ln =，可见该方程是齐次方程， 令 u x y =，即xu y =，则dx du x u dx dy +=，代入方程得，u u dx du x u ln =+， 变量分离得， x dx u u du = -) 1(ln ，积分得，c x u ln ln )1ln(ln +=-， 所以原方程的通解为cx x y =-1ln ，或写为1 +=cx xe y . （3）解：整理得，x e y x y =+ '1，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 )(1)(1)(1 1 c e xe x c dx xe x c dx e e e y x x x dx x x dx x +-= +=+??=??- . （4）解：整理得， x y x x dx dy 1ln 1= +，这是一阶线性方程，利用公式得通解为 )2 ln (ln 1)ln (ln 1)1(2 ln 1 ln 1 c x x c dx x x x c dx e x e y dx x x dx x x +=+=+??=??- ， 代入初始条件1==e x y 得2 1= c ，从而所求特解为)ln 1(ln 2 1x x y + = . （5）解：将方程两边逐次积分得，12 arctan 11c x dx x y +=+= '? ， 212 1)1ln(2 1arctan )(arctan c x c x x x dx c x y +++-=+= ? ，
第7章 常微分方程数值解法 7.0 基本概念 1. 一阶常微分方程的初值问题 ???=∈='0)(),()),(,()(y a y b a x x y x f x y (7.0-1) 注：若f 在D = {a x b , |y |<+}连续，且满足Lip 条件： L 0，使|f (x – y 1) – f (x ，y 2)| L |y 1 – y 2| (7.0-2) 则(7.0-1)的连续可微解y (x )在[a ，b ]上唯一存在。 2. 初值问题的数值解 称(7.0-1)的解y (x )在节点x i 处的近似值 y i y (x i ) a < x 1 第七章 微分方程 1.一阶微分方程 （1）微分方程的基本概念： ①、微分方程：含有未知函数、未知函数的导数即自变量的等式叫做微分方程。未知函数是一元函数，叫做常微分方程；未知函数是多元函数，叫做偏微分方程。 ②、微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，叫做微分方程的阶。 ③、微分方程的解：若某个函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数就叫做该微分方程的解。 ④、微分方程的通解：若微分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。 ⑤、微分方程的初始条件、特解：用来确定微分方程通解中任意常数的条件叫做初始条件。确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解。 （2）可分离变量方程：形如)()(dx dy x g x f =的方程称为可分离变量微分方程。设g(y)≠0,则可将方程化为dx )() (dy x f y g ，其特点是方程的一端只含有y 的函数dy ，另一端只含有x 的函数dx ，即将两个变量分离在等式两端，其接法是分离变量后两边积分得到通解。 （3）齐次方程：形如)(y x y f =＇的方程称为齐次方程。其解法是做变换x y u =，则y=ux,dx du dx dy x u +=,代入方程化为可分离变量的微分方程。 （4）一阶线性微分方程：形如)()(dx dy x Q y x P =+的方程称为一阶线性微分呢方程，其特点是方程中的未知函数及其导数为一次的。如果0)(≡x Q ，则称为一阶线性齐次微分方程；如果Q(x)不恒等于零 ，则称为一阶线性非齐次微分方程，其通解为 C dx e x Q e y dx x P dx x P +?=??-)()()((。 （5）伯努利方程：形如)1,0()()('≠=+n y x Q y x P y n 的方程称为伯努利方程。次方程的特点是未知函数的导数仍是一次的，但未知函数出现n 次方幂。其解法是做变量替换n y z -=1，则： ,dx dz 11dx dy ,dx dy )1(dx dz 11n y y n n n -=-=--即 代入原方程，得： ),()1()()1(dx dz x Q n z x P n -=-+ 这是一个线性非齐次微分方程，再按线性非齐次微分方程的解法求出通解；最后以n y z -=1换回原变量，即为所求。 2、高阶微分方程，常系数线性微分方程： （1）可降价的高阶微分方程： ①、)()(x f y n =：其特点是右端仅含有自变量x ，通过连续积分n 次得到通解。 ②、)',(''y x f y =：其特点是方程不显含未知函数y 。令'''),('p y x p y ==则，代入原方程化为一阶微分 第十二章微分方程答案 一、选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A. ( x2 y)dx ( x 2 y)dy 0 B. ( y 3x2)dx (4 y x)dy 0 C.3(2 x3 3xy2 )dx 2(2 x2 y y2 )dy 0 D. 2x( ye x2 1)dx e x2 dy 0 2. 若y3是二阶非齐次线性方程(1): y P(x) y Q(x) f (x) 的一个特解， y1, y2是对应的齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（c1 ,c2 , c3为任意常数） C 2 A. c1y1 c2 y2是(2)的通解 B. c1y1 y3是(1)的解 C. c1 y1 c2 y2 c3 y3是(1)的通解 D. y2 y3是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy x2 y2 dx 的积分因子的是 D 2 A. x2 y2 B. 1 y 2 C. x2 y2 D. 1 y2 x2 x2 4．方程d3 y x d 2 y 2 x 1 的通解应包含得独立常数的个数为（ B ） . 1 dx3 e dx 2 e (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程y ' p(x) y 0 的一个特解y cos 2x ，则该方程满足初始特解y(0) 2 的特解为（ C ）. 2 (A) y cos2x 2 (B) y cos 2x 1 (C) y 2cos 2x (D) y 2cos x 6．方程d3 y x d 2 y 2 x 1 的通解应包含得独立常数的个数为（ B ） . 1 dx3 e dx 2 e (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数y1, y2, y3都是微分方程y '' p(x) y ' q( x) y f ( x) 的解，则该方程的通解为（D）. 2 (A) y c1 y1 c2 y2 y3 (B) y c1 y1 c2 y2 (c1 c2 ) y3 (C) y c1 y1 c2 y2 (1 c1 c2 ) y3 (D) y c1 y1 c2 y2 (1 c1 c2 ) y3 8．设方程y '' 2 y ' 3y f ( x) 有特解y * ，则其通解为（ B ） . 1 第七章 微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程： ()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程() ()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 §12. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ?=xdx y 2, 即y =x 2 +C , (3) 实验报告七常微分方程 初值问题的数值解法 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】 浙江大学城市学院实验报告 课程名称 数值计算方法 实验项目名称 常微分方程初值问题的数值解法 实验成绩 指导老师（签名 ） 日期 2015/12/16 一. 实验目的和要求 1． 用Matlab 软件掌握求微分方程数值解的欧拉方法和龙格－库塔方法； 2． 通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题。 二. 实验内容和原理 编程题2-1要求写出Matlab 源程序(m 文件)，并有适当的注释语句；分析应用题2-2，2-3，2-4，2-5要求将问题的分析过程、Matlab 源程序和运行结果和结果的解释、算法的分析写在实验报告上。 2-1 编程 编写用向前欧拉公式和改进欧拉公式求微分方程数值解的Matlab 程序，问题如下： 在区间[],a b 内(1)N +个等距点处，逼近下列初值问题的解，并对程序的每一句添上注释语句。 Euler 法 y=euler(a,b,n,y0,f,f1,b1) 改进Euler 法 y=eulerpro(a,b,n,y0,f,f1,b1) 2-2 分析应用题 假设等分区间数100n =，用欧拉法和改进欧拉法在区间[0,10]t ∈内求解初值问题 ()()20(0)10y t y t y '=-??=? 并作出解的曲线图形，同时将方程的解析解也画在同一张图上，并作比较，分析这两种方法的精度。 2-3 分析应用题 用以下三种不同的方法求下述微分方程的数值解，取10h = 画出解的图形，与精确值比较并进行分析。 1）欧拉法； 2）改进欧拉法； 3）龙格－库塔方法； 2-4 分析应用题 考虑一个涉及到社会上与众不同的人的繁衍问题模型。假设在时刻t (单位为年)， 社会上有人口()x t 人，又假设所有与众不同的人与别的与众不同的人结婚后所生后代也是与众不同的人。而固定比例为r 的所有其他的后代也是与众不同的人。如果对所有人来说出生率假定为常数b ，又如果普通的人和与众不同的人的婚配是任意的，则此问题可以用微分方程表示为： 第十二章 微分方程答案 一、 选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的 齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 2321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程32232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2 (A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1 第七章 非线性控制系统分析 习题与解答 7-1 设一阶非线性系统的微分方程为 3x x x +-= 试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。 解 令 x =0 得 -+=-=-+=x x x x x x x 3 2 1110()()() 系统平衡状态 x e =-+011,, 其中：0=e x ：稳定的平衡状态； 1,1+-=e x ：不稳定平衡状态。 计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。 可见：当x ()01<时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x ()01>时，系统发散；1)0(- ?? ?<=-+I I >=++I ) 0(0: )0(0:x x x x x x x x 令0x x == ，得平衡点：0e x =。 系统特征方程及特征根： 2 1,221,21: 10,()2 2:10, 1.618, 0.618 () s s s j s s s I II ? ++==- ±?? ?+-==-+? 稳定的焦点鞍点 (, ) , , x f x x x x dx dx x x x dx dx x x x x x ==--=--= =-- =-+=αα β111 ??? ? ??? <-= >--=) 0(1 1 :II ) 0(1 1: I x x β αβ α 计算列表 用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a ）所示。 微分方程 （一）基本概念和一阶微分方程 1、 通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解； 有时也称为一般解但不一定是全部解。 特解：不含有任意常数或任意常数确定后的解。 （有的是用隐函数表示！！！） 2、几阶微分方程就有几个初始条件。 微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条几分曲线；而通解在几何上是 一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 3、可分离变量的微分方程：dx x f dy y g )()(= 推广形式：齐次方程)1(:??+=+=-=+===C x C x dx u u f du u dx du x u dx dy u x y x y dx dy ||ln )()(,),(??则令 形。属于可分离变量方程情则 令则令情形当属于齐次方程情形。，则令的解情形，先求出 当则令)(, ),)((,,0|b a b a |2)( )(, ),,(0 00|b a b a | 1)()3() ()(,),0,0)(()2(2 11111112 11111121222112 21 122112221112 2 11222111c u c u f b a dx dy b a dx du y b x a u c y b x a c y b x a f dx dy b b a a u v b a u y b a f v b u a v b u a f du dv y v x u c y b x a c y b x a c y b x a c y b x a f dx dy c x dx u bf a du u bf a dx du u c by ax b a c by ax f dx dy +++=+=+=++++=====?><++=++=-=-==++=++≠=?><++++=+==+?+==++≠≠++=??λλλβαβα4、一阶线性微分方程及其推广 ) )((),(,)(),()()2(,,0)(: )1()()()()(C dx e x Q e y x C e x C y x Q y x P dx dy C Ce y y x P dx dy dx x P dx x P dx x P dx x P +??=?==+?==+? ---则得代入方程求出令解公式 用常数变易法可求出通一阶线性非齐次方程：为任意常数）（通解公式为，它也是可分离变量方程一阶线性齐次方程(3) （3）见下页 第十二章 微分方程答案 一、 选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程322321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2 7第七章微分方程答 案 微分方程?Skip Record If...? 第一节微分方程的基本概念 1.填空题 (1) 微分方程?Skip Record If...?的阶是 ?Skip Record If...? (2) 若?Skip Record If...?是微分方程?Skip Record If...?的一个特 解，则 ?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...? 3 2．写出下列问题所确定的微分方程 (1)已知曲线?Skip Record If...?过点?Skip Record If...?，其上任意一点?Skip Record If...?处的切线的斜率为 ?Skip Record If...?，求?Skip Record If...?满足的微分方程. ?Skip Record If...?(2000题531) （2）由曲线上任意一点引法线，它在纵轴上截得的截距的长度等于该点到坐标原点的距离的2倍，求此曲线满足的微分方程. ?Skip Record If...?(2000题531) (3) 列车在水平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶;当制动时列车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米.根据题意,反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式 ?Skip Record If...?. (5) 此外,未知函数s=s(t)还应满足下列条件: t=0时,s=0, ?Skip Record If...?. (6) 把(5)式两端积分一次,得 ?Skip Record If...?; (7) 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 浙江大学城市学院实验报告 课程名称 数值计算方法 实验项目名称 常微分方程初值问题的数值解法 实验成绩 指导老师（签名 ） 日期 2015/12/16 一. 实验目的和要求 1． 用Matlab 软件掌握求微分方程数值解的欧拉方法和龙格－库塔方法； 2． 通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题。 二. 实验内容和原理 编程题2-1要求写出Matlab 源程序(m 文件)，并有适当的注释语句；分析应用题2-2，2-3，2-4，2-5要求将问题的分析过程、Matlab 源程序和运行结果和结果的解释、算法的分析写在实验报告上。 2-1 编程 编写用向前欧拉公式和改进欧拉公式求微分方程数值解的Matlab 程序，问题如下： 在区间[],a b 内(1)N +个等距点处，逼近下列初值问题的解，并对程序的每一句添上注释语句。 0(,)()y f x y a x b y a y '=≤≤= Euler 法 y=euler(a,b,n,y0,f,f1,b1) 改进Euler 法 y=eulerpro(a,b,n,y0,f,f1,b1) 2-2 分析应用题 假设等分区间数100n =，用欧拉法和改进欧拉法在区间[0,10]t ∈内求解初值问题 ()()20 (0)10y t y t y '=-?? =? 并作出解的曲线图形，同时将方程的解析解也画在同一张图上，并作比较，分析这两种方法的精度。 2-3 分析应用题 用以下三种不同的方法求下述微分方程的数值解，取10h = 201 (0)1 y y x x y '=+≤≤?? =? 画出解的图形，与精确值比较并进行分析。 1）欧拉法； 2）改进欧拉法； 3）龙格－库塔方法； 2-4 分析应用题 考虑一个涉及到社会上与众不同的人的繁衍问题模型。假设在时刻t (单位为年)，社会上有人口()x t 人，又假设所有与众不同的人与别的与众不同的人结婚后所生后代也是与众不同的人。而固定比例为r 的所有其他的后代也是与众不同的人。如果对所有人来说出生率假定为常数b ，又如果普通的人和与众不同的人的婚配是任意的，则此问题可以用微分方程表示为： 第七章 微分方程 总结 一、基本概念 1．微分方程的定义： ． 2．微分方程的阶的定义： ． 3．微分方程的解的定义： ． 4．微分方程的通解的定义： ． 5．微分方程的初始条件： ． 一阶微分方程的初始条件形式为 ； 二阶微分方程的初始条件形式为 ． 6．微分方程的特解： ． 7．积分曲线： ． 8．积分曲线族： ． 9．两个函数)(1x y 与)(2x y 线性相关的定义： ． 两个函数)(1x y 与)(2x y 线性无关的定义： ． 二、性质与结论 1．二阶齐次线性微分方程的通解结构： ． 2．二阶非齐次线性微分方程的通解结构： ． 3．二阶非齐次线性微分方程特解的叠加性： ． 三、类型与解法 1．一阶微分方程的计算 （1）可分离变量的微分方程的形式： ， 求解方法： ． （2）齐次型微分方程的形式： ， 求解方法： ． （3）一阶线性微分方程的形式： ， 当 时，上式称为一阶线性齐次微分方程，否则称为一阶线性非齐次微分方程， 求解方法：（1）先求一阶线性齐次微分方程的通解为 ； （2）再使用常数变易法求就可求得一阶线性非齐次微分方程通解， 其通解公式为： ． 2．可降阶的高阶微分方程的计算 （1）()()n y f x =型微分方程的解法是 ． （2）(,)y f x y '''=型微分方程的解法是 ． （3）),(y y f y '=''型微分方程的解法 ． 3．二阶线性微分方程的计算 （1）二阶常系数齐次线性微分方程的形式： ． 其通解： （1） ； （2） ； （3） ． （2）二阶常系数非齐次线性微分方程的形式： ． 当()e ()x m f x P x λ=时，其特解可设*y = ． ①若λ不是02=++q pr r 的根，则k = ； ②若λ是02=++q pr r 的一个单根，则k = ； ③若λ是r pr q 20++=的二重根，则k = ． 当()e x f x λ=[)()1(x P l x ωcos +]sin )()2(x x P n ω时，其特解可设*y = ． ①当ωλi +不是特征根时，k = ； ②当ωλi +是特征根时，k = ． 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为： ． 高等数学复习题 第七章：常微分方程 一、选择题（本题20分，每小题2分） （1）下列微分方程中，给出通解的选项是（ ）. A. x y y '= ，y x = B. x y y '=，222x y C -= C. x y y '=- ，C y x = D. x y y '=-，222 x y C += （2）函数sin y C x =（其中C 为任意常数）是方程0y y ''+=的（ ）. A. 通解 B. 特解 C. 解 D. 不是解 （3）微分方程(2)2x y y x y '-=-的通解是（ ）. A. 2 2 x y C += B. x y C += C. 1y x =+ D. 2 2 x xy y C -+= （4）下列微分方程中，可分离变量的方程是（ ）. A. dy xy x dx =+ B. sin xy dy y e x dx = C. 2dy xy x dx =+ D. 22dy y x dx =+ （5）给定一阶微分方程2dy x dx =，下列结果正确的是（ ）. A. 通解为2 y Cx = B. 通过点(1,4)的特解为2 15y x =- C. 满足 1 2ydx =?的解为2 53 y x =+ D. 与直线23y x =+相切的解为2 1y x =+ （6）设()y f x =是微分方程sin x y y e '''+=的解，并且0()0f x '=，则()f x 在0x 处（ ）. A. 取极小值 B. 取极大值 C. 不取极值 D. 取最大值 （7）微分方程(2)2x y y x y '-=-的通解是（ ）. A. 2 2 x y C += B. x y C += C. 1y x =+ D. 2 2 x xy y C -+= （8）函数()y y x =的图形上点(0,2)-的切线为236x y -=，且该函数满足微分方程 6y x ''=，则此函数为（ ）. A. 2 2y x =- B. 2 32y x =+ C. 3 33260y x x --+= D. 323 y x x =+ （9）若1y 和2y 是二阶齐次线性方程()()0 y P x y Q x y '''++=的两个特解，则 第7章 常微分方程 一、单项选择题 1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ） A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶 2．微分方程222y x dx dy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程 3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ） A.0'2)'(2=+-x yy y x B.0'2=-+x yy xy C.0'2=+y x xy D.0)()67(=++-dy y x dx y x 4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ） A.x x x y +=ln B.Cx x x y +=ln C.x x x y +=ln 2 D.Cx x x y +=ln 2 5．微分方程y y x 2='的通解为（ c ） A ．2x y = B ． c x y +=2 C ． 2cx y = D ．0=y 6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ） A.x y = B. c x y += C.cx y = D.0=y 8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ） A 一阶微分方程 B 二阶微分方程 C 可分离变量的微分方程 D 一阶线性微分方程 9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ） A ．2x y e C =+ B ． x y Ce = C ． 2x y Ce = D ．22x y Ce = 二、填空题 1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____； 2．微分方程0=+y dx dy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=； 4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x y e C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --???=+? ； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。 三、判断题 第七章 习题一 基本概念，一阶微分方程的积分解法 一．选择题 1．在n 阶微分方程的解中，通解为（ D ） （A ）含有任意常数的解； （B ）含有n 个任意常数的解； （C ）含有独立常数的解； （D ）含有n 个独立的任意常数的解． 2．微分方程096=+'-''y y y 满足条件2|0='=x y ，0|0==x y 的特解为 （ D ） （A ）C xe x +221； （B ）C xe x +32 1 ； （C ）x 2； （D ）x xe 32. 3．设1)(C x f ∈，则微分方程)()()(x f x f y x f y '='+'的通解是（ C ） （A ）)()(x f Ce x f -+； （B ）C e e x f x f x f +-)()()(； （C ）)(1)(x f Ce x f -+-； （D ）)(1)(x f Ce x f +-． 4．若)(1x y 是非齐次线性方程)()(x q y x p y =+'的特解，则该方程的通解是（ B ） （A ）?+-dx x p e x y )(1)(； （B ）?+-dx x p Ce x y )(1)(； （C ）C e x y dx x p +?+-)(1)(； （D ）? +dx x p Ce x y )(1)(． 二．计算题 1．设1y 和2y 是)()(x Q y x P y =+'的两个解，其中0)(≠x Q ，若21y y βα+是0)(=+'y x P y 的解，其中α、β是常数，求αβ+。 解：因为1y 和2y 是)()(x Q y x P y =+'的两个解， 所以11'()()y P x y Q x ααα+=，22'()()y P x y Q x βββ+= 两式相加可得：1212()'()()()()y y P x y y Q x αβαβαβ+++=+。 又因为21y y βα+是0)(=+'y x P y 的解且0)(≠x Q 。 所以0αβ+= 2．求微分方程)2(tan 2 12y x y +='的通解. 解：由)2(tan 2 12y x y +='可知，2(2)'tan (2)1y x x y +=++。微分方程总结
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