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第七章常微分方程数值解 课件

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常微分方程数值解法5262115页PPT文档

常微分方程数值解法5262115页PPT文档
x 1 ( t ) 表示时刻 t 食饵的密度，x 2 ( t ) 表示捕食者的密度；
r 表示食饵独立生存时的增长率；
d 表示捕食者独立生存时的死亡率；
a 表示捕食者的存在对食饵增长的影响系数，反映捕
食者对食饵的捕获能力；
b 表示食饵的存在对捕食者增长的促进系数，反映食
饵对捕食者的喂养能力
150 100
令 y 1 y ,y 2 y ',y 3 y '', ,y n y ( n 1 )
可以将以上高阶微分方程化为如下一阶常微分方程组
y1 ' y2 y2 ' y3 yn ' an(x)y1
a1(x)yn f (x)
例：P120,1(a),Bessel方程
常微分方程的数值解
一般地，凡表示未知函数，未知函数的导 数与自变量之间的关系的方程叫做微分方 程．未知函数是一元函数的，叫常微分方 程;未知函数是多元函数的，叫做偏微分方 程．
如
y ' x y'x2y2 y''y'xy
Matlab实现 [t,x]=ode45(f,ts,x0,options,p1,p2,......)
50 0 0
30 20 10
0 0
10
20
50
30
20
10

0
30
0
10
8
6
4
2
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0
50
100
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50
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高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程
y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a ( n 1 ) ( x ) y ' a n ( x ) y f( x )

chap7常微分方程的数值解法-PPT精品文档

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如果利用下列数值微分公式
y ( x ) y ( x )h n 1 n y ( x ) y ( ) ,( x x ) n 1 n n n n 1 h 2
( x ) f ( x,y ( x ) )类似的可导出 由y


y y hf ( x , y ) n 1 n n 1 n 1


2 h y ( x ) y ( x ) hf ( x , y ( x )) y ( )( 7 . 1 . 5 ) n 1 n n n n 2 !
7: ODE 10
2. Taylor 展开法 设 y (x)∈C2[a , b], 由 Taylor 公式有
2 h y ( x ) y () x h y () x y ()( x x ) . n 1 n n n n n n 1 2 (7.1.4) () f (, x y () x ) ,故上式即为 由于yx
上述公式称为后退的 Euler 公式, 此公式为 单步法公式. 又因为它关于 yn+1 成隐式形式, 所以该公式为隐式公式，简称隐格式.
7: ODE 9
y (x x (x ), n) f ( n, y n) 如果利用下列三点数值微分公式 y (x 0 ,1 , ,N . 0) y 0,n
y ( x ) y ( x ) h n 1 n fx ( , y ( x ) ) y ( ) , n n n h 2
7: ODE 7


有
略去余项, 并以数值解 yn , yn+1 代替 y (xn) 及 y (xn+1), 则得差分方程
y y hf ( x , y ) ( 7 . 1 . 2 ) n 1 n n n

常微分方程数值解法课件

常微分方程数值解法课件
使用龙格-库塔公式计算 下一个时间点的数值解的 近似值。
根据选择的步长，确定当 前时刻的数值解的近似值 。
重复上述步骤，直到达到 所需的时间积分区间终止 点。
龙格-库塔方法的误差分析
误差主要来源于时间步长 的离散化，步长越小，误 差越小。
龙格-库塔方法的收敛性 和稳定性取决于所选步长 和步数。
ABCD
机械工程
在机械工程中，机构的动力学行为可以用常微分方程来描 述，如机器人的运动轨迹、机械臂的姿态等，通过数值解 法可以模拟这些机构的运动。
在金融问题中的应用
股票价格模拟
股票价格的变化可以用常微分方程来描述，通过数值解法可以模 拟股票价格的走势，预测未来的股票价格。
期货价格模拟
期货价格的变化也可以用常微分方程来描述，通过数值解法可以 模拟期货价格的走势，预测未来的期货价格。
可以通过增加步数来减小 误差，但会增加计算量。
在实际应用中，需要根据 具体问题选择合适的步长 和步数，以达到精度和计 算效率的平衡。
05
数值解法的应用
在物理问题中的应用
计算物体运动轨迹
通过数值解法求解常微分方程，可以模拟物体的运动轨迹，如行星 运动轨迹、炮弹弹道等。
模拟振动系统
在物理中，许多系统可以用常微分方程来描述，如弹簧振荡器、电 磁振荡器等，通过数值解法可以模拟这些系统的振动行为。
终止条件
当达到预设的精度或迭代次数时，停止迭代并输出结果。
欧拉方法的误差分析
截断误差
由于欧拉方法使用离散化近似 ，因此存在截断误差。这种误 差的大小取决于步长$h$的选
择。
稳定性
欧拉方法对于某些微分方程可 能是不稳定的，这意味着随着 迭代的进行，解可能会发散或

第七章常分方程数值解-PPT课件

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的解y=y(x)代表通过点 (x0 , y0 ) 的一条称之为 微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点 ( x, y) 的切线的斜率 y(x) 等于函数 f (x, y) 在 这点的值。
Euler法的求解过程是:从初 始点P0(即点(x0,y0))出发, 作积分曲线y=y(x)在P0点上
P0
P1 P1
x , y p 1 , 2 , , k ) i p i p(
，即前面k步的值，此类方法称为多步法；其代表
是亚当斯法。
7.3 欧拉（Euler）法 7.3.1 Euler公式 欧拉（Euler）方法是解初值问题的最 简单的数值方法。初值问题
, y) y f (x y(x0 ) y0
y f ( x , y )( x x ) 当 x xn1 时,得 y n 1 n n n x 1 n
取 y(xn) yn
P1 P0 P1
y y f ( x , y )( x x ) 0 0 0 0
当x x1时,得
y y f ( x , y )( x x ) 1 0 0 0 1 0
这样就获得了P1点的坐标。
P1 P0 P1
Pi+1 Pn y=y(x) Pi Pn Pi+1 Pi
x0
x1
xi
xi+1
P1 P0 P1
Pi+1 Pn Pi Pi+1 Pi
y=y(x) Pn
x0
x1
xi
xi+1
xn
由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系 列的点:P1,P1,…,Pn。对已求得点 P n (x n, y n)
以 y(xn ) = f (xn , yn ) 为斜率作直线

常微分方程的数值解及其它问题PPT课件

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2020/10/13
3
• 数值积分
• quad('fname',a,b,tol,trace) Simpson法求数值积 分。
• quad8('fname',a,b,tol,trace) Newton-Cotes法求 数值积分。
• fname是被积函数文件名。
• b,a分别是积分上下限。
• 用tol来控制积分精度。可缺省。缺省时默认 tol=0.001。
b
1
( b a )n
a f ( x ) d ( b x a ) 0 f ( a ( b a ) u ) d u ni 1 f ( a ( b a ) u i)
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13
例 如 对 于 上 面 的 离 散 函 数 ， 我 们 有 a=1 ， b=1.5。于是我们可键入：
• 用trace来控制是否用显示积分过程。可缺省。 缺省时默认trace=0，不显示过程。
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4
例如：求
e3 x2
0
dx。
第一步：在编辑器中建立被积函数的M文
件。取名为fname。即在编辑器中输入：
functiห้องสมุดไป่ตู้n y=fname(x)
y=exp(-x^2);
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例如有函数
x i 1 . 0 0 0 0 1 . 1 0 0 0 1 . 2 0 0 0 1 . 3 0 0 0 1 . 4 0 0 0 1 . 5 0 0 0 y i 1 . 8 4 1 5 2 . 1 9 0 3 2 . 5 5 8 4 2 . 9 4 2 6 3 . 3 3 9 6 3 . 7 4 6 2
常微分方程的数值解及其它问 题的数值解

数值求解常微分方程PPT课件

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程叫做微分方程,求解微分方程必须附加某种
定解条件.微分方程和定解条件一起组成定解
问题,定解条件分为初始条件(初值问题)和边
界条件(边值问题)两种.未知函数为一元的微
分方程叫做常微分方程,未知函数为多元函数,
叫做偏微分方程.微分方程中导数的最高阶叫
做微分方程的阶.本章主要讨论一阶常微分方
程.
1
第1页/共51页
36
第36页/共51页
4. 阿达姆斯方法
我们已经知道，初值问题等价于积分方程， 即
y(xn1) y(xn )
xn1 xn
f (x, y(x))dx
对积分式分别采用矩形公式和梯形公式可得到 欧拉公式和改进的欧拉公式，截断误差分别为 O(h2)和O(h3)。
37
第37页/共51页
为此，我们自然可以想到，若用更高次的 插值多项式来代替f(x，y)，则所得公式的精 度会更高。这就是线性多步法的起源思想。
本章前面介绍的方法称为单步法，因为 在计算yi+1时，只用到前面yi的值。而对于线 性多步法是要利用前面已经算出的若干个值yik，…，yi-1，yi来求yi+1。
38
第38页/共51页
现 用 k 次 多 项 式 Pk(x)
来代替f(x，y(x))
y(xi1) y(xi )
xi 1 xi
Pk (x)dx
为 了 改 善 精 度 , 将 函 数 y(x) 在 点 xi 处 的 导 数 y’(xi) 用 中 心 差 商 来 表示，即
欧
拉
公
式y变'
为( x:i误)
差
正y比( x于i h13), xi1
是
二y(阶x精i1度) xi1

第七章常微分方程的数值解法课件

第七章常微分方程的数值解法课件
量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内，
一个物体的温度变化速度与这个物体的温度和其所在的介质温度的差
值成正比。这是已为实验证实了的牛顿（Newton）冷却定律。设物 体在时刻的温度为 u ， u则(t)温度的速度以 来示d。u
dt
注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，因而 。u0 所 u以a 温 度差 恒正u；又ua因物体将随时间而逐渐冷却,故温度变化速度恒负。故有：
不过并不是所有的微分方程模型都可用上述方法求解出来。1638年莱布尼 茨向全世界提出如下的求解方法.
dy x2 y2 dx
该问题1886年才被数学家刘维尔证明没有解析解。只能借助于本章要介绍的 数值解法。
7.2 初值问题数值解法的推导方式及常用解法
我们先考虑常微分方程初值问题。它的数学模型是：求 y，使y(之x)满足
取步长h=0.02.
解 因为步长h=0.02，所以各节点xi 0.02i,i 0,1, 2,3, 4,5. 因为 y0 利1,用欧拉法的计算公式
yi1
yi
0.9hyi 1 2xi
,
可取 y1 0.9820, y2 0.9650, y3 0.9489, y4 0.9337, y5 0.9192.
,
需要知道两个初值.在此，我们利用后退欧拉法计算的结 果 y1 再 0依.9次830计, 算
y2 0.9660, y3 0.9508, y4 0.9354, y5 0.9218.
例7.2.1的解析解是 y (1 2用x)它0.45计, 算各节点的函数值可得
y1 0.9825055161, y2 0.9659603719, y3 0.9502806582,
把上述y4 三 0种.9方353法92计54算62的, y结5 果0.同921准23确07对78照3.,可以看出它们确 实都是准确值的近似值,只是误差不一样.欧拉法的误差偏 小,后退欧拉法偏大,中点法最小.这跟它们的局部截断误差 的符号、阶数、大小是一致的。

第七章 常微分方程数值解

第七章 常微分方程数值解

第七章常微分方程数值解7.1 引言本章讨论常微分方程初值问题(7.1.1)的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(7.1.1)中f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有(7.1.2)则初值问题(7.1.1)的解存在唯一.假定(7.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点上求的近似.通常取，h称为步长，求(7.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截断误差，计算稳定性以及数值解的收敛性与整体误差等问题. 7.2 简单的单步法及基本概念7.2.1 Euler法、后退Euler法与梯形法求初值问题(7.1.1)的一种最简单方法是将节点的导数用差商代替，于是(7.1.1)的方程可近似写成(7.2.1)从出发，由(7.2.1)求得再将代入(7.2.1)右端，得到的近似，一般写成(7.2.2)称为解初值问题的Euler法.Euler法的几何意义如图7-1所示.初值问题(7.1.1)的解曲线y=y(x)过点，从出发，以为斜率作一段直线，与直线交点于，显然有，再从出发，以为斜率作直线推进到上一点，其余类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线.Euler法也可利用的Taylor展开式得到，由(7.2.3) 略去余项，以，就得到近似计算公式(7.2.2).另外，还可对(7.1.1)的方程两端由到积分得(7.2.4)若右端积分用左矩形公式，用，，则得(7.2.2).如果在(7.2.4)的积分中用右矩形公式，则得(7.2.5)称为后退(隐式)Euler法.若在(7.2.4)的积分中用梯形公式，则得(7.2.6)称为梯形方法.上述三个公式(7.2.2)，(7.2.5)及(7.2.6)都是由计算，这种只用前一步即可算出的公式称为单步法，其中(7.2.2)可由逐次求出的值，称为显式方法，而(7.2.5)及(7.2.6)右端含有当f对y非线性时它不能直接求出，此时应把它看作一个方程，求解，这类方法称为稳式方法.此时可将(7.2.5)或(7.2.6)写成不动点形式的方程这里对式(7.2.5)有，对(7.2.6)则，g与无关，可构造迭代法(7.2.7)由于对y满足条件(7.1.2)，故有当或，迭代法(7.2.7)收敛到，因此只要步长h足够小，就可保证迭代(7.2.7)收敛.对后退Euler法(7.2.5)，当时迭代收敛，对梯形法(7.2.6)，当时迭代序列收敛.例7.1用Euler法、隐式Euler法、梯形法解取h=0.1，计算到x=0.5，并与精确解比较.解本题可直接用给出公式计算.由于，Euler法的计算公式为n=0时，.其余n=1,2,3,4的计算结果见表7-1.对隐式Euler法，计算公式为解出当n=0时，.其余n=1,2,3,4的计算结果见表7-1.表7-1 例7.1的三种方法及精确解的计算结果对梯形法，计算公式为解得当n=0时，.其余n=1,2,3,4的计算结果见表7-1.本题的精确解为，表7-1列出三种方法及精确解的计算结果.7.2.2 单步法的局部截断误差解初值问题(7.1.1)的单步法可表示为(7.2.8)其中与有关，称为增量函数，当含有时，是隐式单步法，如(7.2.5)及(7.2.6)均为隐式单步法，而当不含时，则为显式单步法，它表示为(7.2.9)如Euler法(7.2.2)，.为讨论方便，我们只对显式单步法(7.2.9)给出局部截断误差概念.定义2.1设y(x)是初值问题(7.1.1)的精确解，记(7.2.10)称为显式单步法(7.2.9)在的局部截断误差.之所以称为局部截断误差，可理解为用公式(7.2.9)计算时，前面各步都没有误差，即，只考虑由计算到这一步的误差，此时由(7.2.10)有局部截断误差(7.2.10)实际上是将精确解代入(7.2.9)产生的公式误差，利用Taylor展开式可得到.例如对Euler法(7.2.2)有，故它表明Euler法(7.2.2)的局部截断误差为，称为局部截断误差主项.定义2.2 设是初值问题(7.1.1)的精确解，若显式单步法(7.2.9)的局部截断误差，是展开式的最大整数，称为单步法(7.2.9)的阶，含的项称为局部截断误差主项.根据定义，Euler法(7.2.2)中的=1故此方法为一阶方法.对隐式单步法(7.2.8)也可类似求其局部截断误差和阶，如对后退Euler法(7.2.5)有局部截断误差故此方法的局部截断误差主项为，也是一阶方法.对梯形法(7.2.6)同样有它的局部误差主项为，方法是二阶的.7.2.3 改进Euler法上述三种简单的单步法中，梯形法(7.2.6)为二阶方法，且局部截断误差最小，但方法是隐式的，计算要用迭代法.为避免迭代，可先用Euler法计算出的近似，将(7.2.6)改为(7.2.11)称为改进Euler法，它实际上是显式方法.即(7.2.12)右端已不含.可以证明，=2,故方法仍为二阶的，与梯形法一样，但用(7.2.11)计算不用迭代.例7.2用改进Euler法求例7.1的初值问题并与Euler法和梯形法比较误差的大小.解将改进Euler法用于例7.1的计算公式当n=0时，.其余结果见表7-2.表7-2 改进Euler法及三种方法的误差比较从表7-2中看到改进Euler法的误差数量级与梯形法大致相同，而比Euler法小得多，它优于Euler法.讲解：求初值问题（7.1.1）的数值解就是在假定初值问题解存在唯一的前提下在给定区间上的一组离散点上求解析解的一组近似为此先要建立求数值解的计算公式，通常称为差分公式，简单的单步法就是由计算下一步，构造差分公式有三种方法，一是用均差（即差商）近似，二是用等价的积分方程（7.2.4）用数值积分方法，三是用函数的Taylor展开，其中Taylor展开最有普遍性，可以得到任何数值解的计算公式及其局部截断误差。

第七章 常微分方程数值解法.

第七章 常微分方程数值解法.
本章解决的问题：一阶常微分方程的初值问题
y f ( x, y), x [a,b]

y(
x0
)

y0
23
7.1 欧拉法和改进的欧拉法
欧拉公式

yi1 yi y0 y( x0 )
h
f
(xi ,
yi )
,
i

0,1,2,
改进的欧拉公式

yi
1

26
引言：
公式构造思想：从泰勒公式出发，寻找更高阶的 数值公式。
例如，泰勒公式计算到二阶可得
y(x + h) = y(x) + yⅱ(x)h + 1 y ?(x)h2 + O(h3) 2!
因
ìïïïíïïïî
y¢(x) = yⅱ(x) =
f (x, y(x)) df (x, y(x))
dx
=
fx (x, y(x)) +
可证明预测－校正公式的截断误差也为 O(h3)。
18
7.1.2 改进的欧拉法及预测-校正公式
例 取步长h=0.2,用改进的欧拉法的预测－校正公
式求解初值问题的数值解y1 , y2 .
ìïïíïïî
y¢= x + y(0) = 1
y
解
f (x, y) = x + y, x0 = 0, y0 = 1
预测-校正公式具体是
y( p) 2
=
0.2x1 +
1.2 y1
=
0.2?
0.2
1.2? 1.24
1.528
y2 = y1 + 0.1[(x1 + y1) + (x2 + y2( p) )] = 1.24 + 0.1(0.2 + 1.24 + 0.4 + 1.528) = 1.5768
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这样就获得了 P1点的坐标。
P1?
P1 P0
P?i+1 Pn? y=y(x)
Pi?
Pn
Pi Pi+1
x0 x1
xi xi+1 xn
同样, 过点P1(x1,y1),作积分曲线 y=y(x)的切线
交直线 x=x2于P2点,切线 P1P2 的斜率 y?(x1) = f (x1, y1 ) 直线方程为
y ? y1 ? f ( x1 , y1 )( x ? x1 )
xi xi+1 xn
相交于 P 1点(即点 (x1,y1),得到y1作为y(x 1)的近似值 , 如上图所示。过点 (x0,y0),以f(x0,y0)为斜率的切线 方程为
y ? y 0 ? f ( x 0 , y 0 )( x ? x 0 )
当x ? x1时,得
y1 ? y0 ? f (x0 , y0 )( x1 ? x0 )
称为定步长，这时节点可表示为 xi ? x0 ? ih, i ? 1,2,? , n
数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求
出离散节点的数值解。
对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散
化。其数值解法有两个基本特点，它们都采用“步
进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步
地向前推进，描述这类算法，要求给出用已知信息
Tel： 86613747 E-mail ： lsszjtcm 授课: 68 学分：4
第七章 常微分方程的数值解法
7.1 引言 包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微
分的方程称为微分方程。在微分方程中 , 自变量的 个数只有一个 , 称为常微分方程 .。自变量的个数 为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分 方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分 方程的阶数。如果未知函数 y及其各阶导数
? ?
y(x0 )
?
y0
的数值解法，首先要解决的问题就是如何对微分方
程进行离散化，建立求数值解的递推公式。递推公
式通常有两类，一类是计算 yi+1时只用到 xi+1, xi 和yi， 即前一步的值，因此有了初值以后就可以逐步往下
计算，此类方法称为单步法；其代表是龙格 —库塔
法。另一类是计算 yi+1时，除用到 xi+1,xi和yi以外， 还要用到 xi? p, yi? p ( p ? 1,2,?, k) ，即前面 k步的值，此类方法称为多步法；其代表
当 x ? x2 时,得 y2 ? y1 ? f (x1 , y1 )(x2 ? x1 )
P 1?
P1 P0
P ?i+1 P n?
P i?
Pi
P i+1
y=y(x) Pn
x0 x1ຫໍສະໝຸດ xix i+1
xn
由此获得了 P2的坐标。重复以上过程 ,就可获得一系
列的点 :P1,P1,…,Pn。对已求得点 Pn (xn , yn )
y?? x2 ? y2
这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积 分来表达它的解。
再如，方程
? y?? y
? ?
y
(0 )
?
1
的解 y ? e x ,虽然有表可查,但对于表 上没有给出 e x 的值,仍需插值方法来
计算
从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主要依
靠数值解法来解决。本章主要讨论一阶常微分方程
初值问题
? y?? f (x, y)
? ?
y(x0 )
?
y0
( 7.1 )
在区间a ≤ x ≤ b 上的数值解法 。
可以证明 ,如果函数在带形区域 R=a≤x≤b,
-∞＜y＜∞}内连续，且关于 y满足李普希兹
(Lipschitz) 条件，即存在常数 L(它与x,y无关)使
f (x, y1 ) ? f (x, y2 ) ? L y1 ? y2 对R内任意两个 y1, y2 都成立 ,则方程 ( 7.1 )的解 y ? y(x) 在?a, b ?上存在且唯一。
以 y?(xn ) = f (xn , yn ) 为斜率作直线 y ? yn ? f (xn, yn)(x ? xn)
当 x ? xn?1 时,得 yn?1 ? yn ? f (xn , yn )( xx?1 ? xn )
取 y(xn ) ? yn
P 1?
P1 P0
y i , y i ? 1 , y i ? 2 , ? , y 0 计算 y i ? 1 的递推公式。建立 这类递推公式的基本方法是在这些节点上用数值积
分、数值微分、泰勒展开等离散化方法，对初值问
题
? y?? f (x, y)
? ?
y(x0 )
?
y0
中的导数 y ? 进行不同的离散化处理 。
对于初值问题 ? y ? ? f ( x , y )
7.2 数值方法的基本思想 对常微分方程初值问题 (7.1)式的数值解法，就
是要算出精确解 y(x)在区间?a,b ?上的一系列离散节 点 a ? x0 ? x1 ? ? ? xn?1 ? xn ? b 处的函数值 y ( x 0 ), y ( x1 ), ? , y ( x n ) 的近似值 y 0 , y 1 , ? , y n 。相邻两个节点的间距 h ? xi?1 ? xi 称为步长，步 长可以相等，也可以不等。本章总是假定 h为定数，
y ?, y ??, ? , y ( n )
都是一次的 ,则称它是线性的 ,否则称为非线性的。
在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出 了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分离变 量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次 线性方程的解法等。但能求解的常微分方程仍然是 有限的，大多数的常微分方程是不可能给出解析解。 譬如
这点的值。
Euler 法的求解过程是 :从初
始点 P 0(即点 (x 0,y0)) 出发 , 作积分曲线 y=y(x)在P0点上 切线 P0 P1 ( 其斜率为 y?(x0) ? f (x0, y0)), 与x=x1直线
P1? P1
P0
x0 x1
P?i+1Pn? y=y(x)
Pi?
Pn
Pi Pi+1
是亚当斯法。
7.3 欧拉（Euler ）法 7.3.1 Euler 公式
欧拉（Euler ）方法是解初值问题的最 简单的数值方法。初值问题
? y?? f (x, y)
? ?
y(x0
)
?
y0
的解y=y(x)代表通过点 (x0 , y0 ) 的一条称之为 微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点
(x, y) 的切线的斜率 y?(x) 等于函数 f (x, y) 在