九年级中考数学考点提升训练——专题：《找规律：数字变化类》(三)(Word版,带答案)

2021年九年级数学中考二轮复习探索规律专题突破训练：数字的变化规律（附答案）1．计算1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2017+2018﹣2019﹣2020的值为（）A．0B．﹣1C．2020D．﹣20202．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……第2020个单项式是（）A．2020a B．﹣2020a C．a2020D．﹣a20203．已知函数f（x）＝，若M＝f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014），N＝f （）+f（）+f（）+…+f（）+f（），则M+N＝（）A．2014B．C．2013D．4．一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（）A．37B．41C．55D．715．在数列，，，，，，，，，，…中，请你观察数列的排列规律，推算该数列中的第5055个数为（）A．B．C．D．6．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，按如图所示进行排列，则﹣2021应排在（）A．A位置B．B位置C．D位置D．E位置7．已知f（1）＝2（取1×2的末位数字），f（2）＝6（取2×3的末位数字），f（3）＝2（取3×4的末位数字），…，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）的值为（）A．6B．4028C．4042D．40488．已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，…，依此类推，则a2035的值为（）A．﹣2035B．2035C．﹣1018D．﹣10179．一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗的取出，最终盒内都只剩下一颗糖，如果每次以11颗的取出，那么正好取完，则盒子里共有颗糖．10．按一定规律排列的一列数依次为，﹣，，﹣，，﹣，…，按此规律排列下去，这列数中第8个数是，第n个数是（n为正整数）．11．一组按规律排列的式子：，，，，，其中第8个式子是，第n个式子是（用含的n式子表示，n为正整数）．12．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2019的值为．13．设第n行第m个数为a n，m．满足a n，n＝a n，1＝，a n，m＝a n+1，m+a n+1，m+1，求a12，11＝．14．正整数按如图所示的规律排列，则第29行第30列的数字为．15．已知a1＝0，a n+1＝﹣|a n+n|（n≥1，且n为整数），则a2020的值是．16．正整数按如图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字．17．观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．18．如果a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝4，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2022＝．19．观察下列两个数的积（这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10）；71×79＝5609；24×26＝624；35×35＝1225；53×57＝3021；…（1）计算83×87＝，552＝．（2）根据观察与计算能得出什么结论，请将它用文字或字母表示出来；（3）证明得出的结论．20．阅读材料：求1+2+22+23+…+22019+22020的值．解：设S＝1+2+22+23+…+22019+22020①，将等式①的两边同乘以2，得2S＝2+22+23+24+…+22020+22021②，用②﹣①得，2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．即1+2+22+23+…+22019+22020＝22021﹣1．请仿照此法计算：（1）请直接填写1+2+22+23的值为；（2）求1+5+52+53+…+510的值；（3）请直接写出1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020﹣的值．21．我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若对于一个数列中任意相邻有序的三个数a，b，c总满足c＝ab+2a﹣b，则称这个数列为“梦数列”．（1）若0，1，﹣1，2，y是“梦数列”，则y＝；（2）如果数列…，x，3，6x﹣1，…是“梦数列”，求x的值；（3）如果数列…，2m，n，5…是“梦数列”，求代数式8m﹣2n+4mn﹣9的值．22．有一系列等式：第1个：52﹣12＝8×3；第2个：92﹣52＝8×7；第3个：132﹣92＝8×11；第4个：172﹣132＝8×15；……（1）请写出第5个等式：．（2）请写出第n个等式，并加以验证．（3）依据上述规律，计算：8×3+8×7+8×11+……+8×399．23．观察下列等式：＝1，＝，＝．将以上三个等式的两边分别相加，得：+＝1＝1＝．（1）直接写出计算结果：＝．（2）计算：．（3）猜想并直接写出：＝．（n 为正整数）24．阅读下列材料，然后回答问题：观察下列等式：＝1，＝，将以上三个等式相加得：＝1＝1＝．（1）猜想并写出：＝；（2）直接写出下列各式的结果：①＝；②＝；（3）探究并计算：．25．观察下列各式：12+32+42＝2×（12+32+3）；22+42+62＝2×（22+42+8）；32+52+82＝2×（32+52+15）；…（1）用a，b，c表示等式左边的由小到大的三个底数，发现c与a，b的数量关系是；（2）等式右边括号内的三个数可用a，b表示为：；（3）用a，b表示你发现的等式，并加以证明．26．定义一种新运算“⊙”，观察下列等式：①1⊙3＝1×3﹣（﹣1）﹣（﹣3）＝7，②（﹣1）⊙（﹣2）＝（﹣1）×（﹣2）﹣1﹣2＝﹣1，③0⊙（﹣2）＝0×（﹣2）﹣0﹣2＝﹣2，④4⊙（﹣3）＝4×（﹣3）﹣（﹣4）﹣3＝﹣11，…（1）计算（﹣5）⊙3的值；（2）有理数的加法和乘法运算满足交换律，“⊙”运算是否满足交换律？请说明理由．27．有一列数，按一定规律排成1，，，，，，…．（1）这列数中的第7个数是，第n个数是．（2）若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中最大的数是多少？28．观察下列等式：①1﹣1﹣＝﹣；②﹣﹣＝﹣；③﹣﹣＝﹣；④﹣﹣＝﹣；…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第⑤个等式；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）并证明其正确性．29．我们将不大于2020的正整数随机分为两组，第一组按照升序排列得到a1＜a2＜…＜a1010，第二组按照降序排列得到b1＞b2＞…＞b1010．求|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a1010﹣b1010|的所有可能值．30．观察下列等式：12＝；12+22＝；12+22+32＝；12+22+32+42＝；…（1）根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；（2）你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）．（3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+…+592+602．参考答案1．解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四项结果为﹣4，∵2020÷4＝505，∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×505＝﹣2020．故选：D．2．解：∵一列单项式为：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，…，∴第n个单项式为（﹣1）n+1•a n，当n＝2020时，这个单项式是（﹣1）2020+1•a2020＝﹣a2020，故选：D．3．解：根据题意可知：f（2）＝＝，f（）＝÷（1+）＝，∴f（2）+f（）＝+＝1，…可得：f（2014）+f（）＝1，又∵f（1）＝，∴M+N＝2013+＝．故选：D．4．解：1＝1×2﹣1，5＝2×3﹣1，11＝3×4﹣1，19＝4×5﹣1，…第n个数为n（n+1）﹣1，则第7个数是：55．故选：C．5．解：观察数列发现规律：第n组的分数有n个，它们的分子是从1开始的连续自然数，分母是从n开始的连续降序自然数，因为前100组有：1+2+3+…+100＝5050个分数，所以5055个数在第101组的第5个，分母为101﹣4＝97，分子是5，所以第5055个数为：．故选：B．6．解：由图可知，每个凸起对应5个数字，这些数字的奇数都是负数，偶数都是正数，∵（2021﹣1）÷5＝2020÷5＝404，∴﹣2021应排在E位置，故选：D．7．解：∵f（1）＝2（取1×2的末位数字），f（2）＝6（取2×3的末位数字），f（3）＝2（取3×4的末位数字），f（4）＝0（取4×5的末位数字），f（5）＝0（取5×6的末位数字），f（6）＝2（取6×7的末位数字），f（7）＝6（取7×8的末位数字），f（8）＝2（取8×9的末位数字），f（9）＝0（取9×10的末位数字），f（10）＝0（取10×11的末位数字），f（11）＝2（取11×12的末位数字），…，可知末位数字以2，6，2，0，0依次出现，∵2021÷5＝404…1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）＝（2+6+2+0+0）×404+2＝10×404+2＝4040+2＝4042，故选：C．8．解：由题意可得，a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣2，…，∵（2035﹣1）÷2＝2034÷2＝1017，∴a2035＝﹣1017，故选：D．9．解：已知如果每次11颗地取出正好取完，则盒子内糖数必为11的倍数．又知盒子里装有不多于200颗糖，则盒子内糖数可能为11、22、33、44、55、66、77、88、99、110、121、132、143、154、165、176、187、198．又已知如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，则盒子内糖数为12的倍数+1．又知盒子里装有不多于200颗糖则盒子内糖数可能为13，25，37，49，61，73，85，97，109，121，133，145，157，169，181，193．取上面两组数的交集可得121，故盒子里共有121颗糖．故答案为：121．10．解：根据分析可知：一列数依次为：，﹣，，﹣，，﹣，…，按此规律排列下去，则这列数中的第8个数是﹣，所以第n个数是：（﹣1）n+1（n是正整数）．故答案为：﹣；（﹣1）n+1．11．解：∵＝（﹣1）2•，﹣＝（﹣1）3•，＝（﹣1）4•，…∴第8个式子是，第n个式子为：（﹣1）n+1•．故答案是：；（﹣1）n+1•．12．解：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，a6＝﹣|a5+5|＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，a7＝﹣|a6+6|＝﹣|﹣3+6|＝﹣3，…，所以，n是奇数时，a n＝﹣（n﹣1），n是偶数时，a n＝﹣，∴a2019＝﹣（2019﹣1）＝﹣1009．故答案为：﹣1009．13．解：因为a n，n＝a n，1＝，所以a11，11＝a11，1＝，a12，12＝a12，1＝，因为a n，m＝a n+1，m+a n+1，m+1，所以a12，11＝a11，11﹣a12，12＝﹣＝．故答案为：．14．解：根据图表分析如下：第一行：首个数字1，横向箭头共有1个数字，第二行：首个数字4，横向箭头共有2个数字，第三行：首个数字9，横向箭头共有3个数字，第四行：首个数字16，横向箭头共有4个数字，可以发现每行首个数字是行数的平方，每行横向箭头数字个数等于行数，因此，第29行第30列的数字应该为第30行第1列上面的数字的平方减去30，302﹣30＝870．故答案为：870．15．解：∵a1＝0，a n+1＝﹣|a n+n|（n≥1，且n为整数），∴a2＝﹣|0+1|＝﹣1，a3＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，a4＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，a5＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，a6＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，a7＝﹣|﹣3+6|＝﹣3，…，∴a2020＝﹣＝﹣1010，故答案为：﹣1010．16．解：第一行第二列对应的数字为：2＝1×2，第二行第三列对应的数字为：6＝2×3，第三行第四列对应的数字为：12＝3×4，第四行第五列对应的数字为：20＝4×5，…第20行，第21列对应的数字为：20×21＝420；故答案为：420；17．解：观察下列一组数：﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n．故答案为：（﹣1）n．18．解：∵a1＝4a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝4，…数列以4，﹣，三个数依次不断循环，∵2022÷3＝674，∴a2022＝a3＝，故答案为：．19．解：（1）∵83×87＝7221，552＝3025，（2）可得规律为：十位上数字乘以十位上数字加一作为结果的千和百位数字，两个个位相乘作为结果的个位和十位．（3）设十位数字为x，个位数字为y，一个数为10x+y，则另一个数为10x+10﹣y＝10（x+1）﹣y，（10x+y）[10（x+1）﹣y]＝100x（x+1）+y（10﹣y），前一项就是十位上数字乘以十位上数字加一，后一项就是两个个位数字相乘．故答案为：（1）7221；3025．20．解：（1）1+2+22+23＝1+2+4+8＝15，故答案为：15；（2）设S＝1+5+52+53+ (510)则5S＝5+52+53+ (511)∴5S﹣S＝511﹣1，∴4S＝511﹣1，∴S＝，即1+5+52+53+…+510＝；（3）设S＝1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020，则10S＝10﹣102+103﹣104+105﹣…﹣102020+102021，∴S+10S＝1+102021，∴11S＝1+102021，∴S＝，∴1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020﹣＝﹣＝．21．解：（1）∵0，1，﹣1，2，y是“梦数列”，∴y＝﹣1×2+2×（﹣1）﹣2＝﹣2+（﹣2）+（﹣2）＝﹣6，故答案为：﹣6；（2）∵数列…，x，3，6x﹣1，…是“梦数列”，∴6x﹣1＝3x+2x﹣3，解得x＝﹣2，即x的值为﹣2；（3）∵数列…，2m，n，5…是“梦数列”，∴5＝2mn+4m﹣n，∴8m﹣2n+4mn﹣9＝2（2mn+4m﹣n）﹣9＝2×5﹣9＝1．22．解：（1）由题意可知：相间两个奇数的乘方差，等于这个两数的平均数的8倍，∴第5个等式为：212﹣172＝8×19，故答案为：212﹣172＝8×19；（2）第n个等式为：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8（4n﹣1）．验证：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝16n2+8n+1﹣（16n2﹣24n+9）＝32n﹣8＝8（4n﹣1），∴（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8（4n﹣1）；（3）8×3+8×7+8×11+……+8×399＝52﹣12+92﹣52+132﹣92+……+4012﹣3972＝4012﹣12＝402×400＝160800．23．解：（1）＝1﹣+…+＝1﹣＝，故答案为：；（2）＝1﹣+…+＝1﹣＝＝；（3）＝×（1﹣+…+）＝×（1﹣）＝×＝×＝，故答案为：．24．解：（1）由题意可得，＝，故答案为：；（2）①＝1﹣+…+＝1﹣＝，故答案为：；②＝＝1﹣+…+＝1﹣＝＝，故答案为：；（3）＝×（+…+）＝×（）＝×＝．25．解：（1）∵12+32+42＝2×（12+32+3）；22+42+62＝2×（22+42+8）；32+52+82＝2×（32+52+15）；…，∴用a，b，c表示等式左边的由小到大的三个底数，则c＝a+b，故答案为：c＝a+b；（2）∵12+32+42＝2×（12+32+3）；22+42+62＝2×（22+42+8）；32+52+82＝2×（32+52+15）；…，∴用a，b，c表示等式左边的由小到大的三个底数，则等式右边括号内的三个数可表示为a2+b2+ab，故答案为：a2+b2+ab；（3）a2+b2+（a+b）2＝2（a2+b2+ab），证明：∵a2+b2+（a+b）2＝a2+b2+a2+2ab+b2＝2（a2+b2+ab），∴a2+b2+（a+b）2＝2（a2+b2+ab）．26．解：（1）观察已知等式可知：（﹣5）⊙3＝﹣5×3﹣5﹣（﹣3）＝﹣17；（2）“⊙”运算满足交换律，理由如下：因为a⊙b＝ab﹣（﹣a）﹣（﹣b）＝ab+a+b；b⊙a＝ba﹣（﹣b）﹣（﹣a）＝ab+b+a＝ab+a+b＝a⊙b．所以a⊙b＝b⊙a．27．解：（1）∵一列数为1，，，，，，…．∴这列数的第n个数为，当n＝7时，这个数是＝﹣，故答案为：﹣，；（2）设这三个数是4x，﹣2x，x，则4x+（﹣2x）+x＝，解得x＝﹣，则﹣2x＝，4x＝﹣，故这三个数中最大的数是．28．解：（1）∵左边的第2项和第3项的分母分别是连续的奇数和偶数，右边的分母为是左边第2项和第3项的分母之积，∴第5个等式为：﹣﹣＝﹣；（2）第n个等式为：﹣﹣＝﹣，证明：左边＝＝﹣，右边＝﹣，∴左边＝右边，∴原式成立．29．解：（1）若a k≤1010，且b k≤1010，则a1＜a2＜…＜a k≤1010，1010≥b k＞b k+1＞…＞b1010，则a1，a2，…a k，b k，……，{b1010，共1011个数，不大于1010不可能；（2）若a k＞1010，且b k＞1010，则a1010＞a1009＞…＞a k+1＞a k＞1010及b1＞b2＞…＞b k＞1010，则${b}_{1}，……，{b}_{k}，{a}_{k}……{a}_{1010}共1011个数都大于100，也不可能；∴|a1﹣b1|，……，|a1010﹣b1010|中一个数大于1010，一个数不大于1010，∴|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a1010﹣b1010|＝1010×1010＝1020100．30．解：（1）12+22+32+42+52＝＝55，即12+22+32+42+52的值是55；（2）∵12＝；12+22＝；12+22+32＝；12+22+32+42＝；…∴第n个算式是12+22+32+…+n2＝；（3）62+72+82+92+…+592+602＝12+22+32+…+602﹣（12+22+32+42+52）＝﹣＝73810﹣55＝73755。

【单点训练】规律型：数字的变化类【单点训练】规律型：数字的变化类一、选择题（共15小题）2．（2004•荆门）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个2n数的和，依次写出1或0即可，如19（+）=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=10011（二）为二进制下3．（2007•台湾）将化成小数，则小数点后第122位数为（）4．（2005•镇江）一个正整数数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：则第6行中的最后一5．（2003•荆门）64名男子乒乓球选手进行单打淘汰赛（胜者进入下一轮，败者淘汰出局），直至决出单打冠军，共6．（2007•孝感）将一正方形按如图方式分成n个全等矩形，上、下各横排两个，中间竖排若干个，则n的值为（）8．（2005•淮安）已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…将这列数排成下列形式：第1行1第2行﹣2 3第3行﹣4 5﹣6第4行7﹣8 9﹣10第5行11﹣12 13﹣14 15…按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于（）9．（2007•呼和浩特）观察下列三角形数阵：则第50行的最后一个数是（）10．（2006•柳州）请你认真观察和分析图中数字的变化规律，由此得到图中所缺的数字是（）11．（2008•赤峰）给定一列按规律排列的数：1，，，，…它的第10个数是（）．C D．12．（2006•烟台）计算：21﹣1=1，22﹣1=3，23﹣1=7，24﹣1=15，25﹣1=31，…归纳各计算结果中的个位数字规律，200614．（2004•淄博）观察下列数表：15．（2003•郴州）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，通过观察，用你所发现的规27二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16．（2009•南宁）正整数按如图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字_________．17．（2009•天水）观察下列计算：•（+1）=（﹣1）（+1）=1，（+）（+1）=[（﹣1）+（﹣）]（+1）=2，（++）（+1）=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）]（+1）=3，…从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：（+++…+）（+1）=_________．18．（2009•绵阳）将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第_________行第_________列．19．（2008•遵义）如图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a=7时，b=_________．20．（2008•宜宾）观察如下一列有规律的数，请在空格处填入合适的数字：1，1，2，3，4，6，9，_________，19，_________…21．（2009•朝阳）下列是有规律排列的一列数：…其中从左至右第100个数是_________．22．（2009•深圳）已知依据上述规律，则a99=_________．23．（2009•鸡西）有一列数﹣，，﹣，，…，那么第7个数是_________．24．（2009•恩施州）观察数表根据表中数的排列规律，则字母A所表示的数是_________．25．（2009•内江）把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止．那么2007，2008，2009，2010这四个数中_________可能是剪出的纸片数．26．（2008•永春县）按一定的规律排列的一列数依次为：﹣2，5，﹣10，17，﹣26，…按此规律排下去，这列数中的第9个数是_________．27．（2008•咸宁）观察右表，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有_________次．28．（2008•莆田）观察下列按顺序排列的等式：0+1=12，2×1+2=22，3×2+3=32，4×3+4=42．请你猜想第10个等式应为_________．29．（2008•肇庆）已知21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，观察上面规律，试猜22008的末位数是_________．30．（2008•烟台）表2是从表1中截取的一部分，则a=_________．三、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）31．（2007•无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面﹣层有一个圆圈，以下各层均比上﹣层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n=．如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．【单点训练】规律型：数字的变化类参考答案与试题解析一、选择题（共15小题）2．（2004•荆门）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个2n数的和，依次写出1或0即可，如19（+）=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=10011（二）为二进制下3．（2007•台湾）将化成小数，则小数点后第122位数为（）=0.7037034．（2005•镇江）一个正整数数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：则第6行中的最后一5．（2003•荆门）64名男子乒乓球选手进行单打淘汰赛（胜者进入下一轮，败者淘汰出局），直至决出单打冠军，共6．（2007•孝感）将一正方形按如图方式分成n个全等矩形，上、下各横排两个，中间竖排若干个，则n的值为（）8．（2005•淮安）已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…将这列数排成下列形式：第1行1第2行﹣2 3第3行﹣4 5﹣6第4行7﹣8 9﹣10第5行11﹣12 13﹣14 15…+1个数，此行第一个数的绝对值为个数，此行第一个数的绝对值为9．（2007•呼和浩特）观察下列三角形数阵：则第50行的最后一个数是（）．××个数表示为：个数为：10．（2006•柳州）请你认真观察和分析图中数字的变化规律，由此得到图中所缺的数字是（）11．（2008•赤峰）给定一列按规律排列的数：1，，，，…它的第10个数是（）．C D．个数是．12．（2006•烟台）计算：21﹣1=1，22﹣1=3，23﹣1=7，24﹣1=15，25﹣1=31，…归纳各计算结果中的个位数字规律，200614．（2004•淄博）观察下列数表：15．（2003•郴州）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，通过观察，用你所发现的规27二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）20行，第21列的数字420．17．（2009•天水）观察下列计算：•（+1）=（﹣1）（+1）=1，（+）（+1）=[（﹣1）+（﹣）]（+1）=2，（++）（+1）=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）]（+1）=3，…从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：（+++…+）（+1）=2009．﹣﹣）（（+118．（2009•绵阳）将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第670行第3列．19．（2008•遵义）如图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a=7时，b=22．20．（2008•宜宾）观察如下一列有规律的数，请在空格处填入合适的数字：1，1，2，3，4，6，9，13，19，28…21．（2009•朝阳）下列是有规律排列的一列数：…其中从左至右第100个数是．，个数，个数，个数可表示为：．个数是22．（2009•深圳）已知依据上述规律，则a99=．=．=．23．（2009•鸡西）有一列数﹣，，﹣，，…，那么第7个数是．个数为﹣．24．（2009•恩施州）观察数表根据表中数的排列规律，则字母A所表示的数是﹣10．25．（2009•内江）把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止．那么2007，2008，2009，2010这四个数中2008可能是剪出的纸片数．26．（2008•永春县）按一定的规律排列的一列数依次为：﹣2，5，﹣10，17，﹣26，…按此规律排下去，这列数中的第9个数是﹣82．27．（2008•咸宁）观察右表，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有8次．28．（2008•莆田）观察下列按顺序排列的等式：0+1=12，2×1+2=22，3×2+3=32，4×3+4=42．请你猜想第10个等式应为10×9+10=102．29．（2008•肇庆）已知21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，观察上面规律，试猜22008的末位数是6．30．（2008•烟台）表2是从表1中截取的一部分，则a=18．三、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）31．（2007•无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面﹣层有一个圆圈，以下各层均比上﹣层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n=．如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．=78+n=。

九年级中考数学考点提升训练——专题：《找规律：数字变化类》（四）1．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上的数的和都相等．（1）求前4个台阶上的数的和；（2）求第5个台阶上的数x的值；（3）从下到上前n（n为奇数）个台阶上的数的和能否为2020？若能，求出n的值；若不能，请说明理由．2．仔细观察下列等式：第1个：52﹣12＝8×3第2个：92﹣52＝8×7第3个：132﹣92＝8×11第4个：172﹣132＝8×15…（1）请你写出第6个等式：；（2）请写出第n个等式，并加以验证；（3）运用上述规律，计算：8×7+8×11+…+8×399+8×403．3．观察下列数据的规律，完成各题的解答：（1）第8行的最后一个数是；（2）第n行的第一个数是，第n行共有个数．4．你能比较数20182019和20192018的大小吗？为了解决这个问题，可以先将它们一般化，即比较n n+1和（n+1）n的大小（n为正整数）然后从分析n＝1，n＝2，n＝3这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳猜想得出结论．【观察比较】通过计算、比较下列各组数中两个数的大小（在横线上填“＞”“＝”或“＜”）：①1221；②2332；③3443；④4554；⑤5665…【归纳猜想】观察分析上面的结论，猜想n n+1与（n+1）n的大小（直接写出结论）；【实际运用】根据上面归纳猜想得到的结论，可以判断2018201920192018．（在横线上填“＞”或“＜”）5．阅读材料，求值：1+2+22+23+24+…+22019解：设S＝1+2+22+23+24+…+22019，将等式两边同时乘以2得：2S＝2+22+23+24+…+22019+22020将下式减去上式得2S﹣S＝22020﹣1即S＝1+2+22+23+24+…+22019＝22020﹣1（1）请你仿照此法计算：①1+2+22+23+24+25+26②1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）（2）求410+411+412+413+…+420的值．6．观察以下等式：第1个等式：52﹣22＝3×7，第2个等式：72﹣42＝3×11，第3个等式：92﹣62＝3×15，…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式和第n个等式；（2）证明你写的第n个等式的正确性．7．观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第7个等式： ； （2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的等式表示），并加以证明．8．给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，以此类推，第n 个数记为a n （n 为正整数）如下面这列数1，3，5，7，9中，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝5，a 4＝7，a 5＝9．规定运算sum （a 1：a n ）＝a 1+a 2+a 3+……+a n ，即从这列数的第一个数开始依次加到第n 个数，如在上面这列数中：sum （a 1：a 3）＝a 1+a 2+a 3＝1+3+5＝9．（1）已知一列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10．则sum （a 1：a 10）＝ ．（2）已知一列有规律的数：（﹣1）1×1，（﹣1）2×2，（﹣1）3×3，（﹣1）4×4，……，按照规律，这列数可以无限的写下去sum （a 1：a 2016）＝ ．②是否有正整数n 满足等式sum （a 1：a n ）＝﹣50成立？如果有，求出n 的值，如果没有，请说明理由9．观察下列算式：①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1 ②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1 ③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1（1）请你按照三个算式的规律写出第④个、第⑤个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来，并说明其正确性．10．观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，…，它们有一定的规律，若记第一个数为a 1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n．（1）请写出29后面的第一个数；（2）通过计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…由此推算a100﹣a99的值；（3）根据你发现的规律求a100的值．参考答案1．解：（1）﹣5+（﹣2）+1+9＝3，∴前4个台阶上的数的和为3；（2）﹣2+1+9+x＝3，∴x＝﹣5，∴第5个台阶上的数为﹣5；（3）阶梯上数字为﹣5，﹣2，1，9，﹣5，﹣2，1，9，…由此可得，﹣5，﹣2，1，9四个循环一次，且和是3，∵2020÷3＝673…1，∴673×4＝2692，∴前2692个台阶上数字之和是2019，∴前2700个台阶上数字之和是2025，∵第2701个台阶上数字是﹣5，∴前2701个台阶上数字之和是2020，∴n＝2701，∵n是奇数，∴n存在，n是2701．2．解：（1）根据式子的特点，可知第6个等式是：252﹣212＝8×23；故答案为：252﹣212＝8×23；（2）第n个等式是：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8（4n﹣1）．验证：左边＝（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝16n2+8n+1﹣16n2+24n﹣9＝32n﹣8＝8（4n﹣1）＝右边；（3）8×7+8×11+…+8×399+8×403＝92﹣52+132﹣92+…+4012﹣3972+4052﹣4012＝4052﹣52＝（405+50）（405﹣5）＝410×400＝164000．3．解：（1）观察数据规律可知：第n行最后一个数是n2，则第8行的最后一个数是64；故答案为64；（2）第n行的第一个数是第n﹣1行最后一个数加上1，即（n﹣1）2+1；因为第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，…发现规律，第n行共有（2n﹣1）个数．故答案为：（n﹣1）2+1，（2n﹣1）．4．解：【观察比较】分别计算每一项可得：12＜21，23＜32，34＞43，45＞54，56＞65，故答案为＜，＜，＞，＞，＞；【归纳猜想】当n＝1，n＝2时，n n+1＜（n+1）n；当n≥3时，n n+1＞（n+1）n；【实际运用】当n＝2018时，20182019＞20192018．故答案为＞．5．解：（1）设x＝1+2+22+23+24+25+26 ①由①×2得，2x＝2+22+23+24+25+26+27 ②由②﹣①得，2x﹣x＝27﹣1，即x＝27﹣1；设y＝1+3+32+33+34+…+3n③由③×3得，3y＝3+32+33+34+35+…+3n+1 ④由④﹣③得，3y﹣y＝3n+1﹣1，即y＝；（2）设m＝1+4+42+43+44+ (420)n＝1+4+42+43+ (49)由（1）可知，m＝，n＝，410+411+412+413+…+420＝（1+4+42+43+44+...+420）﹣（1+4+42+43+ (49)＝m﹣n＝﹣＝6．解：（1）观察以下等式：第1个等式：52﹣22＝3×7，第2个等式：72﹣42＝3×11，第3个等式：92﹣62＝3×15，…按照以上规律可知：第6个等式：152﹣122＝3×27；∴第n个等式：（2n+3）2﹣（2n）2＝3（4n+3）；（2）证明：第n个等式的左边＝（2n+3+2n）（2n+3﹣2n）＝3（4n+3）＝右边．所以第n个等式正确．7．解：（1）通过观察不难知道等式右边都等于2，等式左边：第一个因式的分子为1，分母与等式序号数相等；第二个因数分子为2，分母是等式的序号数加1；第三个因数是等式序号数与序号数的平方之和．∴写出第7个等式为：故答案为：；（2）第n 个等式：． 证明：左边＝＝右边． 8．解：（1）sum （a 1：a 10）＝1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9﹣10＝﹣1×5＝﹣5故答案为：﹣5．（2）①sum （a 1：a 2016）＝（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4+…+（﹣1）2016×2016＝﹣1+2﹣3+4﹣…﹣2015+2016＝1×1008＝1008故答案为：1008．②若当n 为奇数时，则有：sum （a 1：a n ）＝﹣n ＝﹣50解得：n ＝99，此时等式sum （a 1：a n ）＝﹣50成立；若当n 为偶数时，则有：sum （a 1：a n ）＝＝﹣50解得：n ＝﹣100，与题意不符∴若当n 为奇数时，等式sum （a 1：a n ）＝﹣50成立，且n 的值为99；若当n 为偶数时，等式sum （a 1：a n ）＝﹣50不成立．9．解：（1）①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1，②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1，③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1，④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1，⑤5×7﹣62＝35﹣36＝﹣1；（2）第n 个式子是：n ×（n +2）﹣（n +1）2＝﹣1．故答案为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；n ×（n +2）﹣（n +1）2＝﹣1．10．解：（1）29后面的第一位数是37；（2）由题意：a 2﹣a 1，＝2，a 3﹣a 2＝3，a 4﹣a 3＝4…由此推算a 100﹣a 99＝100；（3）a 100＝2+2+3+4+…+100＝1+×100＝5051。

备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《找规律：数字变化类》（一）1．按照一定的规律排列的n个数：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后四个数的和为2560，则n为（）A．9 B．10 C．11 D．122．下面表格中的四个数都是按照同一规律填写的，仔细想一想表格中的m是多少？（）A．136 B．170 C．191 D．2323．观察等式：1+2+22＝23﹣1；1+2+22+23＝24﹣1；1+2+22+23+24＝25﹣1；若1+2+22+ (29)210﹣1＝a，则用含a的式子表示210+211+212+…+218+219的结果是（）A．a20﹣1 B．a2+a C．a2+a+1 D．a2﹣a4．如图，平面内有公共端点的六条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1、2、3、4、5、6、7、…，则数字“2019”在射线（）A．OA上B．OC上C．OE上D．OF上5．仔细观察，探索规律：则22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是（）A．1 B．3 C．5 D．76．按一定规律排列的一列数依次是、1、、、、…按此规律，这列数中第100个数是（）A．B．C．D．7．一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“前两个数依次为a、b，紧随其后的第三个数是2a﹣b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么这组数中y 表示的数为（）A．9 B．﹣9 C．8 D．﹣88．定义一种对正整数n的“C运算”：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如，n＝66时，其“C运算”如下：若n＝26，则第2019次“C运算”的结果是（）A．40 B．5 C．4 D．19．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰5”中C的位置是有理数，﹣2019应排在A、B、C、D、E中的位置．其中两个填空依次为（）A．24，C B．24．A C．25，B D．﹣25，E10．将正偶数按表1排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行 2 4 6 8第2行16 14 12 10第3行18 20 22 24第4行32 30 28 26………………根据上面的排列规律，2018应在（）A．第252行，第1列B．第252行，第4列C．第253行，第2列D．第253行，第5列11．下列一组按规律排列的数1，2，4，8，16，…，第2012个数应是（）A．22011B．22012C．22013D．22012﹣112．观察下面的几个算式：1+2+1＝4，1+2+3+2+1＝9，1+2+3+4+3+2+1＝16，1+2+3+4+5+4+3+2+1＝25，…根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1＝（）A．0 B．1250 C．100 D．1000013．几个连续自然数按规律排成如图，根据规律，从2002到2004，箭头方向为（）A．B．C．D．14．如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A开始连续的正整数1，2，3，4，…，当字母B第2n+1次出现时（n为正整数）．恰好数到的数是（）A．4n+2 B．6n+2 C．8n+2 D．12n+215．一列数a1，a2，a3，…，其中（n≥2，且n为整数），则a2012值为（）A．B．2 C．﹣1 D．﹣16．如图数表是由从1开始的连续自然数组成：则第n行的第一个数是（）A．n2﹣1 B．2n﹣1 C．（n﹣1）2+1 D．n2﹣n17．将1、、、按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（4，2）与（21，2）表示的两数之积是（）A．1 B．2 C．2D．618．在一张某月的月历上，任意圈出竖列上的连续三个数的和不可能是（）A．57 B．46 C．39 D．2419．我国古代文献《周易》上记载了“八卦”的由来，当时的人们认为世界上的万事万物归根结底是由阴阳两种基本元素构成的，就把它们化成了两种卦爻，阳爻为“﹣”，阴爻为“﹣﹣”．将阳爻和阴爻每次取三个，就会形成8种不同的排列方式，这与德国数学家莱布尼茨（1646﹣1716）创造的二进制竟不谋而合．下表就反映了“八卦”图符与二进制间的对应关系，根据表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是（）000 110 100 111 001 101A．100，011 B．010，011 C．011，101 D．101，110 20．有2006个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数等于它前后两数的和，若第一个数和第二个数都是1，则这2006个数的和等于（）A．2006 B．﹣1 C．0 D．2参考答案1．解：由所给数可得规律：第n个数为（﹣2）n，∴（﹣2）n﹣1+（﹣2）n+（﹣2）n﹣2+（﹣2）n﹣3＝2560，∴（﹣2）n﹣3（﹣8﹣2+4+1）＝2560，∴n﹣3＝9，∴n＝12，故选：D．2．解：由题可知：右下方的数是对角两个数相乘减去左上方的数，即m＝10×20﹣9＝191，故选：C．3．解：由已知可得1+2+22+…+29+210+211+212+…+218+219＝220﹣1，∵1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，∴210+211+212+…+218+219＝220﹣1﹣210+1＝220﹣210，∵210﹣1＝a，∴220﹣210＝a（a+1），故选：B．4．解：通过观察已知图形，发现共有六条射线，∴数字1﹣2019每六个数字一个循环．∵2019÷6＝336…3，∴2019在射线OC上．故选：B．5．解：22019+22018+22017+…+2+1＝（2﹣1）×（22019+22018+22017+…+2+1）＝22020﹣1，∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，2020÷4＝505，∴22020的末个位数字是6，∴22020﹣1的个位数字是5，故选：C．6．解：由、、、、、、…可得第n个数为．∵n＝100，∴第100个数为：故选：B．7．解：解法一：常规解法∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b，∴2×3﹣x＝7，∴x＝﹣1，则2×（﹣1）﹣7＝y，解得y＝﹣9．解法二：技巧型∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b，∴7×2﹣y＝23，∴y＝﹣9．故选：B．8．解：若n＝26，第一次结果为13，第2次结果为：3n+1＝40，第3次“C运算”的结果是：＝5，第4次结果为：3n+1＝16，第5次结果为：，第6次结果为：3n+1＝4，第7次结果为：1，…可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数是奇数时，结果是1，第2019次是奇数，结果是1，故选：D．9．解：∵每个峰需要5个数，∴4×5＝20，20+1+3＝24，∴“峰5”中C位置的数的是24，∵（2019﹣1）÷5＝403余3，∴﹣2019为“峰404”的第3个数，排在C的位置．故选：A．10．解：∵2018÷2＝1009，∴201，8是第1009个偶数，而1009÷4＝252…1，∴第1009个偶数在第253行，∵奇数行的数从第2列开始向后面排，∴第1009个偶数在第2列，∴2018应在第253行第2列，故选：C．11．解：∵1＝20，是第1个数，2＝21，是第2个数，4＝22，是第3个数，8＝23，是第4个数，16＝24，是第5个数，…，∴第2012个数是22011．故选：A．12．解：根据所给的数据可得：它的规律是：最中间数的平方，则1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1＝1002＝10000；故选：D．13．解：观察这n个连续自然数的排列规律，知：从0开始，依4为循环单位；∵2002＝500×4+2，2003＝500×4+3，2004＝501，∴根据规律，从2002到2003再到2004的箭头方向与从2到3再到4箭头方向一致，即可得出答案A正确，故选：A．14．解：按照A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式进行，每6个字母ABCDCB一循环，每一循环里字母B出现2次，当循环n次时，字母B第2n次出现时（n为正整数），此时数到最后一个数为6n，当字母B第2n+1次出现时（n为正整数），再数2个数为6n+2．故选：B．15．解：∵a1＝，a n＝，∴a2＝＝2，a3＝＝﹣1，a4＝＝，a5＝＝2，∴数列a1，a2，a3，…a n，以，2，﹣1循环，∵2012÷3＝670…2，∴a2012＝2．故选：B．16．解：观察发现，第1行共1个数，第2行共3个数，第3行共5个数，第4行共7个数，第5行共9个数，第6行共11个数，…，依此类推，第n行共（2n﹣1）个数，1+3+5+7+9+11+…+（2n﹣1）＝＝n2，所以，第（n﹣1）的最后一个数是（n﹣1）2，第n行的第一个数是（n﹣1）2+1．故选：C．17．解：从图示中知道，（4，2）所表示的数是：；∵第20排最后一个数的序号是：1+2+3+4+…+20＝210，则（21，2）表示的是第210+2＝212个数，212÷4＝53，∴（21，2）表示的数是：，∴（4，2）与（21，2）表示的两数之积是：×＝6．故选：D．18．解：设中间一个数为：x，则它上面的数是x﹣7，下面的数是x+7，∴x+x﹣7+x+7＝3x，故一定是3的倍数，四个选项中，只有46不是3的倍数，故选：B．19．解：通过观察题中所给表格可知：二个横线代表0，一个横线代表1，∴第三个数字为：010，第四个数字为：011．故选：B．20．解：∵任意相邻的三个数中，中间的数等于它前后两数的和，而且第一个数和第二个数都是1，∴此行数为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1…，∴1+1+0﹣1﹣1+0＝0，∵2006÷6＝334…2，∴第2005个数为1，第2006个数为1，∴这2006个数的和为：334×0+1+1＝2．故选：D．。

九年级中考数学考点提升训练——专题：《找规律：数字变化类》（一）1．阅读下列材料，完成相应任务：神奇的等式第1个等式：++＝1；第2个等式：++＝；第3个等式：++＝；第4个等式：++＝；…第100个等式：++＝；…任务：（1）第6个等式为：；（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并证明．2．找规律：（1）计算：①2﹣1＝；②22﹣2﹣1＝；③23﹣22﹣2﹣1＝；④24﹣23﹣22﹣2﹣1＝；⑤25﹣24﹣23﹣22﹣2﹣1＝；（2）根据上面的计算结果猜想：①2200﹣2199﹣2198﹣…﹣22﹣2﹣1的值为；②2n﹣2n﹣1﹣2n﹣2﹣…﹣22﹣2﹣1的值为；（n为正整数）（3）根据上面猜想的结论，试求212﹣211﹣210﹣29﹣28﹣27﹣26的值．3．观察以下等式：第1个等式：2+＝22×；第2个等式：3+＝32×；第3个等式：4+＝42×；第4个等式：5+＝52×；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．4．按如下方式排列正整数，第1行有1个数，第2行有3个数，第3，4行分别有7个、13个数．依此规律．解答下列问题：12 3 43 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 10…15 16…（1）第10行有个数，第n行有个数（结果用含n的式子表示）（2）第2，3，4行都含有数4，其中第2行最先出现4．那么2015最先出现在第几行？5．给出下列算式：32﹣12＝8＝8×1；52﹣32＝16＝8×2；72﹣52＝24＝8×3；92﹣72＝32＝8×4．（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？（2）用含n的式子表示其规律（n为正整数）．（3）计算20192﹣20172的值，此时n是多少？6．观察下列等式①1+＝1+②+＝+③+＝+…………（1）第④个等式为：；（2）请你猜想第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数），并证明其正确性．7．观察下列等式：①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…根据等式所反映的规律，解答下列问题：（1）直接写出：第⑤个等式为；（2）猜想：第n个等式为（用含n的代数式表示），并证明．8．【概念学习】我们知道：求几个相同加数的和的简便运算是乘法，也可以叫做连加．例如：2+2+2＝2×3，5+5+5+5+5+5＝5×6类似地，求若干个相同的有理数的减法运算叫做连减，例如2﹣2﹣2，记作2↓3．一般地，把n个a连减记作a↓n，a↓n＝＝（n为整数，且n≥2）．【初步探究】直接写出计算结果：2↓4＝，3↓5＝；＝；【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，相同加数的加法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的连减运算如何转化为乘法运算呢？例如：2↓3＝2﹣2﹣2＝（﹣2）×1，5↓6＝5﹣5﹣5﹣5﹣5﹣5＝（﹣5）×4，．（1）试一试：将下列连减运算直接写成两数相乘的形式．8↓7＝，（﹣1）↓8＝，a↓n＝；（n为整数，且n≥2）（2）算一算：÷（﹣2）．9．观察以下等式：第1个等式：×（1+）＝2﹣，第2个等式：×（1+）＝2﹣，第3个等式：×（1+）＝2﹣，第4个等式：×（1+）＝2﹣．第5个等式：×（1+）＝2﹣．…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．10．小东同学在学习多项式乘以多项时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题就是要确定该一次项的系数，根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：•5•（﹣6）+2•（﹣6）•4+3•4•5＝﹣3，即一次项为﹣3x，认真领会小东同学解决问题的思路方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为．（2）（x+6）（2x+3）（5x﹣4）所得多项式的二次项系数为．（3）若计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式的一次项系数为0，则a＝．（4）若（x+1）2021＝a0x2021+a1x2020+a2x2019+…+a2020x+a2021，则a2020＝．参考答案1．解：（1）第6个等式为：++＝；（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示）为：++＝；证明：∵左边＝++＝＝＝，∴左边＝右边，等式成立．故答案为：++＝．2．解：（1）①2﹣1＝1；②22﹣2﹣1＝1；③23﹣22﹣2﹣1＝1；④24﹣23﹣22﹣2﹣1＝1；⑤25﹣24﹣23﹣22﹣2﹣1＝1；故答案为：1；1；1；1；1．（2）根据上面的计算结果猜想：①2200﹣2199﹣2198﹣…﹣22﹣2﹣1＝2199﹣2198﹣…﹣22﹣2﹣1＝2198﹣…﹣22﹣2﹣1＝2﹣1＝1②2n﹣2n﹣1﹣2n﹣2﹣…﹣22﹣2﹣1＝2n﹣1﹣2n﹣2﹣…﹣22﹣2﹣1＝2n﹣2﹣…﹣22﹣2﹣1＝22﹣2﹣1＝1故答案为：1；1．（3）212﹣211﹣210﹣29﹣28﹣27﹣26＝211﹣210﹣29﹣28﹣27﹣26＝210﹣29﹣28﹣27﹣26＝29﹣28﹣27﹣26＝28﹣27﹣26＝27﹣26＝26＝64．3．解：（1）第1个等式：2+＝22×，即2+＝22×；第2个等式：3+＝32×，即3+＝32×；第3个等式：4+＝42×，即4+＝42×；第4个等式：5+＝52×，即5+＝52×；……按照以上规律可得，第5个等式：6+，即6+，故答案为：6+；（2）根据题意得，第n个等式：n+1+＝（n+1）2•．证明：左边＝＝，右边＝，左边＝右边，即n+1+＝（n+1）2•，故答案为：n+1+＝（n+1）2•．4．解：（1）根据题意可知，第2行最后一数为4＝22，数字个数是22﹣1；第3行最后一数为9＝32，数字个数是32﹣2；第4行最后一数为16＝42，数字个数是42﹣3；…，∴第10行最后一数为102＝100，数字个数是102﹣9＝91；第n行最后一数n2，数字个数是n2﹣（n﹣1）＝n2﹣n+1；（2）∵第44行最后一数是442＝1936，∴第45行第一个数字是1937，而最后一个数字是452＝2025，1937＜2015＜2025，∴2015最先出现在第45行．故答案为：（1）91，n2﹣n+1．5．解：（1）规律：等式的左边是两个连续奇数的平方差，右边是8的倍数；（2）∵32﹣12＝8＝8×1，52﹣32＝16＝8×2，72﹣52＝24＝8×3，92﹣72＝32＝8×4，…∴设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）2n+1＝2019，解得：n＝1009，∴20192﹣20172＝8×1009＝8072．答：20192﹣20172的值8072，此时n是1009．6．解：（1）根据上面的规律可得第④个等式为：+＝+；故答案为：+＝+；（2）根据上面的规律可得第n个等式：+＝+，证明：左边＝+＝＝，右边＝+＝，∴左边＝右边，∴等式成立，猜想正确．7．解：（1）由①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…得出第⑤个等式36﹣35＝2×35；故答案为：36﹣35＝2×35；（2）由①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…得出第n 个等式的底数不变，指数依次分别是n+1、n、n，即3n+1﹣3n＝2×3n．证明：左边＝3n+1﹣3n＝3×3n﹣3n＝3n×（3﹣1）＝2×3n＝右边，所以结论得证．故答案为：3n+1﹣3n＝2×3n．8．解：【初步探究】2↓＝2﹣2﹣2﹣2＝﹣4，4＝3﹣3﹣3﹣3﹣3＝﹣9，3↓5＝＝﹣4，故答案为：﹣4；﹣9；﹣4；【深入思考】（1）8↓＝8﹣8﹣8﹣8﹣8﹣8﹣8＝（﹣8）×5，7＝（﹣1）﹣（﹣1）﹣（﹣1）﹣（﹣1）﹣（﹣1）﹣（﹣1）﹣（﹣1）﹣（﹣1）↓8（﹣1）＝1×6，a↓＝．n故答案为：（﹣8）×5；1×6；﹣a（n﹣2）；（2）÷（﹣2）＝×5×24+（﹣4）×3÷（﹣2）＝60+6＝66．9．解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，∴等式成立．故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．10．解：（1）由题意得：一次项系数为：1×1×（﹣3）+2×3×（﹣3）+2×1×5＝﹣11；（2）由题干材料知：二次项系数为：×2×（﹣4）+6×2×5+×5×3＝63.5；（3）一次项系数为：1×a×（﹣1）+1×（﹣3）×（﹣1）+1×a×2＝0，解得a＝﹣3；（4）通过题干以及前三问知：a＝2021×1＝2021．2020故答案为：﹣11；63.5；﹣3；2021．。

2022-2023学年九年级数学中考复习《探索数字的变化规律》填空题专题训练（附答案）1．观察下列各数：，，，，，，…则第n个数是．2．观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…，将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是．3．已知整数a1、a2、a3，a4…a2023满足下列条件a1＝﹣1，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+1|，……则a1+a2+a3+a4+…+a2023＝．4．我们可以用符号f（a）表示代数式．当a是正整数时，我们规定如果a为偶数，f（a）＝0.5a；如果a为奇数，f（a）＝5a+1．例如：f（20）＝10，f（5）＝26．设a1＝6，a2＝f（a1），a3＝f（a2）…；依此规律进行下去，得到一列数：a1，a2，a3，a4…（n为正整数），则2a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2019﹣a2022＝．5．有若干个数，依次记为a1，a2，…，第n个数记为a n．若a1＝﹣，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”，那么，a2＝＝＝，…，则a2022＝．6．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2022次输出的结果是．7．观察等式：①2＝1×2，②2+4＝6＝2×3，③2+4+6＝12＝3×4，…按照这种规律写出第n个等式2+4+6+…+2n＝．8．有一列数：1，3，2，﹣1，…，其规律是：从第二个数开始，每一个数都是其前后两个数之和，根据此规律，则第2022个数是．9．若曦对自己上学路线的长度进行了20次测量，得到20个数据x1，x2，…，x20，已知x1+x2+…+x20＝2022，当代数式（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x20）2取得最小值时，x的值为．10．观察下列各式：；；；；…，则a1+a2+a3+…+a200＝．11．观察下列等式：……，请根据，上面计算规律计算＝．12．a1，a2，a3，a4，a5，a6，…是一列数，已知第1个数a1＝1，第5个数a5＝﹣1，且任意三个相邻的数之和为2022，则第2022个数a2022的值是．13．1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2021﹣2022的值是．14．观察下列各式的计算过程：（1）（2）（3）根据上面算法，计算：＝．15．（1+3+5+…+2017+2019+2021）﹣（2+4+6+…+2018+2020+2022）＝．16．正整数按如图的规律排列，请写出：（1）第3行，第6列的数字是；（2）正整数2022在第行，第列．17．如下表，从左到右在每一个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子所填整数之和都相等3a b c﹣2…那么c＝，第2021个数是．18．观察下列等式：3＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，39＝19683，…，它们的个位数字有什么规律，用你发现的规律直接写出32021的个位数字是．19．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第5行从左至右第2个数是；第9行从左至右第8个数是．20．如图，每个正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，可知m的值应是（用a的代数式表示）．参考答案1．解：∵，＝，，，，，……，第n个数为：，故答案为：．2．解：∵第9行的最后一个数的绝对值为92＝81，∴第10行从左边数第9个数的绝对值是81+9＝90，∵90是偶数，∴第10行从左边数第9个数是正数，为90，故答案为：90．3．解：根据题意可得，a1＝﹣1，a2＝﹣|a1+1|＝0，a3＝﹣|a2+1|＝﹣1，a4＝﹣|a3+1|＝0，…，观察其规律可得，2023÷2＝1011……1，∴a2023＝﹣1，∴a1+a2+a3+a4+…+a2023＝﹣1+0+（﹣1）+0+…+（﹣1）＝﹣1×1012＝﹣1012．故答案为：﹣1012．4．解：由题意可得，a1＝6，a2＝f（a1）＝0.5×6＝3，a3＝f（a2）＝5×3+1＝16，a4＝f（a3）＝8，a5＝f（a4）＝4，a6＝f（a5）＝2，a7＝f（a6）＝1，a8＝f（a7）＝6，…，由上可得，上述数列依次以6，3，16，8，4，2，1循环出现，∵2019÷7＝288……3，∴a2019＝16，∵2020÷14＝144……4，∴2a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2017﹣a2018+a2019﹣a2020＝a1+（a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7）﹣（a8﹣a9+a10﹣a11+a12﹣a13+a14）…+（a2017﹣a2018+a2019﹣a2020）＝6+0+0+…+0+（6﹣3+16﹣8）＝6+0+11＝17，故答案为：17．5．解：由题意得：a1＝﹣，a2＝，a3＝＝3，a4＝，…则该数据为﹣，，3的循环排列，∵2022÷3＝674，∴a2022＝a3＝3．故答案为：3．6．解：第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是1，第六次输出的结果是4，……，∴运算结果每三次计算循环一次，∵2022÷3＝674，∴第2022次输出的结果与第三次输出的结果相同，∴第2022次输出的结果是1，故答案为：1．7．解：根据题意2＝1×2＝1×（1+1）；2+4＝6＝2×3＝2×（2+1）；2+4+6＝12＝3×4＝3×（3+1）；由此得出，第n个等式2+4+6+…+2n＝n×（n+1）．故答案为：n（n+1）．8．解：根据题意可知：一列数是1，3，2，﹣1，﹣3，﹣2，1，3，2…，发现1，3，2，﹣1，﹣3，﹣2，6个数一个循环，所以2022÷6＝337，所以第2022个数与第6个数相同，是﹣2．故答案为：﹣2．9．解：＝＝．则当时，y取得最小值，即当x＝101.1时，取得最小值；故答案为：101.1．10．解：原式＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+...+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+...+﹣）＝×（1﹣）＝．故答案为：．11．解：＝×（1﹣+…+）＝＝＝．故答案为：．12．解：∵第1个数a1＝1，第5个数a5＝﹣1，且任意三个相邻的数之和为2022，∴a1+a2+a3＝a2+a3+a4，∴a4＝a1＝4，∵a3+a4+a5＝2022，∴a3＝2022，∴a2＝2022﹣a1﹣a3＝﹣1，则这一列数以1，﹣1，2022这三个循环出现，∵2022÷3＝674，∴第2022个数a2022的值为：2022．故答案为：2022．13．解：1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2021﹣2022＝（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+…+（2021﹣2022）＝﹣1+（﹣1）+（﹣1）+…+（﹣1）＝﹣1×1011＝﹣1011．故答案为：﹣1011．14．解：＝××××……××＝×＝，故答案为：．15．解：（1+3+5+…+2017+2019+2021）﹣（2+4+6+…+2018+2022）＝1+3+5+……+2017+2019+2021﹣2﹣4﹣6﹣…﹣2018﹣2022＝（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+…+（2017﹣2018）+（2019﹣2020）+（2021﹣2022）＝＝﹣1×1011＝﹣1011．故答案为：﹣1011．16．解：（1）由图可知，第六列的第一个数是26，∴第3行，第6列的数字是28，故答案为：28；（2）每行的第一个数n2，∴第45行的第一个数是2025，∵2025﹣2022＝3，∴2022在第45行第4列，故答案为：45，4．17．解：由题意可得，3+a+b＝a+b+c＝b+c+（﹣2），∴c＝3，a＝﹣2，∵2021÷3＝673……2，∴第2021个数和a的值一样，都是﹣2，故答案为：3，﹣2．18．解：∵一列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，39＝19683，…，∴这列等式的个位数字是3，9，7，1循环出现，∴31的个位数字是3，31+32的个位数字是2，31+32+33的个位数字是9，31+32+33+34的个位数字是0，31+32+33+34+35的个位数字是3，…，∵2021÷4＝505……1，∴32021的个位数字是3．19．解：由图形可知，第n行最后一个数为＝，∴第4行最后一个数为＝，则第5行从左至右第2个数是＝2，第9行最后一个数为＝；由规律可知第9行有9个数，所以第8个数为：＝＝2．20．解：由正方形中的数字可知，左上角的数字是一些连续的偶数，从0开始，右上角的数字是一些连续的奇数，从4开始，左下角的数字比右上角的数字都小2，右下角的数字都是相对应的左上角的数字的4倍与6的和，故当左上角的数字是a时，右下角的数字是4a+6，即m的值是4a+6，故选：4a+6．。

2021年九年级数学中考复习——专题：找规律之数字变化类（三）1．阅读下列材料，然后回答问题：已知a＞0，S1＝，S2＝﹣S1﹣1，S3＝，S4＝﹣S3﹣1，S5＝，…．当n为大于1的奇数时，S n＝；当n为大于1的偶数时，S n＝﹣S n﹣1﹣1．直接写出S2020＝（用含a的代数式表示）；计算：S1+S2+S3+…+S2022＝．2．定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为3n+5；（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝72，则第2019次运算结果是．3．观察下面的变化规律：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…根据上面的规律计算：＝．4．一组按规律排列的式子：，﹣，，﹣，…（ab≠0），其中第10个式子是．5．按下面一组数的排列规律，在横线上填上适当的数：，，，，，．6．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，请你仔细观察，找出规律，根据这种规律计算可知：m的值为．7．观察多项式：8x﹣16x2+32x3﹣64x4+128x5…，以此规律，第n项为．8．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a6＝，a200＝．9．观察下列式子：2＝22×，3＝32×，4＝42×，…．你发现它们之间存在的规律是．（用含n的式子表示出来，n表示大于等于2整数）10．给定一列按规律排列的数：，1，，，…，根据前4个数的规律，第2020个数是．11．小磊想编一个循环“插数”程序，对有序的数列：﹣2，0进行有规律的“插数”：对任意两个相邻的数，都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间，产生一个个新数列．如：第1次“插数”产生的一个新数列是﹣2，2，0；第2次“插数”产生的一个新数列是﹣2，4，2，﹣2，0；第3次“插数”产生的一个新数列是﹣2，6，4，﹣2，2，﹣4，﹣2，2，0；……，第2019次插数产生的一个新数列的所有数之和是．12．观察下列一组数，按规律在横线上填写适当的数，﹣，，﹣，，……，第7个数是．13．在一列数a1，a2，a3，a4，…a n中，已知a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…a n＝，则a＝．202014．按照一定规律排列的一组数：，，，，…，，，…（其中a，b 为正整数），则a﹣b＝．15．已知一列数的和x1+x2+……+x2019＝×（1+2+…+2019），|x1﹣3x2+1|＝|x2﹣3x3+2|＝…＝|x2018﹣3x2019+2018|＝|x2019﹣3x1+2019|，则x1﹣2x2﹣3x3＝．16．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，当m＝99时，则M的值为．17．按一定规律排列的一列数依次为，﹣，，﹣，，﹣，…，按此规律排列下去，这列数中第8个数是，第n个数是（n为正整数）．18．一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗的取出，最终盒内都只剩下一颗糖，如果每次以11颗的取出，那么正好取完，则盒子里共有颗糖．19．观察这一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…，若将这列数排成如图所示的形式，按照这个规律排下去，那么第10行从左边起第8个数是．20．按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为．参考答案1．解：∵S1＝，S＝﹣S1﹣1＝，2S＝＝，3S＝﹣S3﹣1＝，4S＝＝﹣a﹣1，5S＝﹣S5﹣1＝a，6S＝＝，7…．当n为大于1的奇数时，S n＝；当n为大于1的偶数时，S n＝﹣S n﹣1﹣1．发现规律：每6个结果为一个循环，所以2020÷6＝336…4，所以S2020＝；因为2022÷6＝337，所以S1+S2+S3+…+S2022＝337（+++﹣a﹣1+a）＝337（﹣1﹣1﹣1）＝﹣1011．故答案为：，﹣1011．2．解：由题意n＝72时，第一次经F运算是9，第二次经F运算是32，第三次经F运算是1，第四次经F运算是8，第五次经F运算是1…以后出现1、8循环，奇数次是1，偶数次是8，∴第2019次运算结果1，故答案为：1．3．解：由题干信息可抽象出一般规律：（a，b均为奇数，且b＝a+2）．故＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故答案：．4．解：分子为b，其指数为2，5，8，11，…，其规律为3n﹣1，分母为a，其指数为1，2，3，4，…，其规律为n，分数符号为+、﹣，+，﹣，…，其规律为（﹣1）n+1，…第n个式子是（﹣1）n+1．所以，第10个式子是﹣．故答案是：﹣．5．解：∵，，，，…，∴这列数的第n个数为：，∴当n＝5时，＝，故答案为：．6．解：由表格可得，左上角的数字是一些连续的奇数，从大到小排列，从3开始，左下角的数字比左上角的数字大2，右上角的数字比左下角的数字大2，右下角的数字等于左下角与右下角的数字的乘积，∴当左上角的数字为﹣3时，左下角的数字为﹣3+2＝﹣1，右上角的数字为﹣1+2＝1，右下角的数字为（﹣1）×1＝﹣1，∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．7．解：根据分析的规律，得第n项为（﹣1）n+12n+2x n．（n≥1的自然数）．故答案为：（﹣1）n+12n+2x n（n≥1的自然数）．8．解：由题意可得，a＝1，1a＝1+2＝3，2a＝1+2+3＝6，3a＝1+2+3+4＝10，4a＝1+2+3+4+5＝15，5…，∴a n＝1+2+3+…+n＝，∴当n＝6时，a6＝＝21，当n＝200时，a200＝＝20100，故答案为：21，20100．9．解：2＝22×，3＝32×，4＝42×，…∴用含n（n表示大于等于2整数）的代数式表示出来为：n+．故答案为n+．10．解：观察这列数发现，奇数项是负数，偶数项是正数；分子分别为3，5，7，9，…；分母分别为12+1，22+1，32+1，…，∴该列数的第n项是（﹣1）n，∴第2020个数是＝，故答案为．11．解：∵第一次操作增加数字：2，第二次操作增加数字：4，2，﹣2，第三次操作增加数字：6，4，﹣2，2，﹣4，﹣2，2，∴第一次操作增加2，第二次操作增加4+2﹣2＝4，第三次操作增加6+4﹣2+2﹣4﹣2+2＝6，…，即，每次操作加2，第2019次操作后所有数之和为﹣2+0+2019×2＝4036．故答案为：4036．12．解：观察一组数，﹣，，﹣，，……，发现规律：第n个数是（﹣1）n，所以第7个数是﹣．故答案为：﹣．13．解：∵a1＝2，∴a2＝＝﹣1；a＝＝；3a＝＝2；4…，发现规律：每3个数一个循环，所以2020÷3＝673…1，则a2020＝a1＝2．故答案为：2．14．解：∵一组数：，，，，…，，，…（其中a，b为正整数），∴这组数是：，，，，…，，，，…，∴a＝15×16＝240，b＝17×18＝306，∴a﹣b＝240﹣306＝﹣66，故答案为：﹣66．15．解：因为x1﹣3x2+1+x2﹣3x3+2+...+x2018﹣3x2019+2018+x2019﹣3x1+2019 ＝x1+x2+......+x2019﹣3（x1+x2+......+x2019）+（1+2+3+ (2019)＝×（1+2+...+2019）﹣3××（1+2+...+2019）+（1+2+ (2019)＝0．所以绝对值内的2019个式子相加等于0，且它们的绝对值相等，所以|x1﹣3x2+1|＝|x2﹣3x3+2|＝…＝|x2018﹣3x2019+2018|＝|x2019﹣3x1+2019|＝0，所以x2＝3x3﹣2，所以x1＝3x2﹣1＝3（3x3﹣2）﹣1＝9x3﹣7，所以x1﹣2x2﹣3x3＝9x3﹣7﹣2（3x3﹣2）﹣3x3＝﹣3．故答案为：﹣3．16．解：∵3＝2×1+1，15＝4×3+3，35＝6×5+5，∴M＝mn+m，且n＝m+1，当m＝99时，M＝99×100+99＝9999，故答案为：9999．17．解：根据分析可知：一列数依次为：，﹣，，﹣，，﹣，…，按此规律排列下去，则这列数中的第8个数是﹣，所以第n个数是：（﹣1）n+1（n是正整数）．故答案为：﹣；（﹣1）n+1．18．解：已知如果每次11颗地取出正好取完，则盒子内糖数必为11的倍数．又知盒子里装有不多于200颗糖，则盒子内糖数可能为11、22、33、44、55、66、77、88、99、110、121、132、143、154、165、176、187、198．又已知如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，则盒子内糖数为12的倍数+1．又知盒子里装有不多于200颗糖则盒子内糖数可能为13，25，37，49，61，73，85，97，109，121，133，145，157，169，181，193．取上面两组数的交集可得121，故盒子里共有121颗糖．故答案为：121．19．解：∵第n行左边第一个数的绝对值为（n﹣1）2+1，奇数为负，偶数为正，∴第10行从左边数第1个数绝对值为82，即这个数为82，∴从左边数第8个数等于﹣89．故答案为：﹣89．20．解：由数列知第n个数为，则前2018个数的和为++++…+＝++++…+＝1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，故答案为：．。

中考专题复习 ----------- 猜想、规律与探索一、设计类【例1】在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。

（1）请你利用这个几何图形求的值为。

（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。

【例2】(2005年河北省中考题)观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。

二、动态类【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A 2，A3，…。

若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推。

则第10圈的长为。

【例4】)已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。

在平面直角坐标系内，现有一动点P 第1次从原点O 出发按甲方式运动到点P 1，第2次从点P 1出发按乙方式运动到点P 2，第3次从点P 2出发再按甲方式运动到点P 3，第4次从点P 3出发再按乙方式运动到点P 4,……。

依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P 所在位置P 11的坐标是 。

三、数字类【例5】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，……，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。

请你按这种规律写出第七个数据是 。

【例6】观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，…．根据上述算式中的规【例7】按下列规律排列的一列数对（1，2）（4，5）（7，8），…，第5个数对是 。

【例8】一组按规律排列的数：，，，，，…请你推断第9个数是【例9】把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、…，则第10个数为 。

【九年级】2021中考数学试卷规律型数字的变化类分类汇编2021中考数学真题分类汇编：规律型（数字的变化类）一．选择题（共5小题）1．（2021•张家界）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2021，则m的值是（）A．46 B．45 C．44 D．432．（2021•荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2021=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）3．（2021•包头）观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）A．B．C．D．4．（2021•泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135 B．170 C．209 D．2525．（2021•德州）一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15二．填空题（共19小题）6．（2021•巴中）a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为=?1；?1的差倒数是 = ；已知a1=3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数．a4是a3差倒数，…依此类推，则a2021= ．7．（2021•酒泉）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是，2021是第个三角形数．8．（2021•黔西南州）已知A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A52=5×4×3×2=120，A63=6×5×4×3=360，依此规律A74= ．9．（2021•孝感）观察下列等式：12=1，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2021=．10．（2021•郴州）请观察下列等式的规律：= （1? ）， = （ ? ），= （ ? ）， = （ ? ），…则+ + +…+ =．11．（2021•娄底）下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为．12．（2021•绥化）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c= ．13．（2021•济宁）若1×22?2×32=?1×2×7；（1×22?2×32）+（3×42?4×52）=?2×3×11；（1×22?2×32）+（3×42?4×52）+（5×62?6×72）=?3×4×15；则（1×22?2×32）+（3×42?4×52）+…+[（2n?1）（2n）2?2n（2n+1）2]= ．14．（2021•黔东南州）将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是．15．（2021•常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是（请用文字语言表达）．16．（2021•通辽）一列数x1，x2，x3，…，其中x1= ，xn= （n为不小于2的整数），则x2021= ．17．（2021•东莞）观察下列一组数：，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是．18．（2021•恩施州）观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是．19．（2021•黔南州）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，按此规律，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则该报数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为．20．（2021•咸宁）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400= ．21．（2021•安徽）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是．22．（2021•遵义）按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是．23．（2021•淮安）将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a行，第b列，则a+b= ．24．（2021•常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：，如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为．三．解答题（共1小题）25．（2021•张家界）阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为，第4项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： =q， =q， =q，… =q．所以：a2=a1•q，a3=a2•q=（a1•q）•q=a1•q2，a4=a3•q=（a1•q2）•q=a1•q3，…由此可得：an= （用a1和q的代数式表示）．（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．2021中考数学真题分类汇编：规律型（数字的变化类）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2021•张家界）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2021，则m的值是（）A．46 B．45 C．44 D．43考点：规律型：数字的变化类．分析：观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2021的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．解答：解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m3有m个奇数，所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m= ，∵2n+1=2021，n=1007，∴奇数2021是从3开始的第1007个奇数，∵ =966， =1015，∴第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m=45．故选B．点评：本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．2．（2021•荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2021=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算出2021是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．解答：解：2021是第 =1008个数，设2021在第n组，则1+3+5+7+…+（2n?1）≥1008，即≥1008，解得：n≥ ，当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024?1=2047，第32组的第一个数为：2×962?1=1923，则2021是（ +1）=47个数．故A2021=（32，47）．故选B．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．3．（2021•包头）观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）A．B．C．D．考点：规律型：数字的变化类．分析：观察数据，发现第n个数为，再将n=6代入计算即可求解．解答：解：观察该组数发现：1，，，，…，第n个数为，当n=6时， = = ．故选C．点评：本题考查了数字的变化类问题，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是发现第n个数为．4．（2021•泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135 B．170 C．209 D．252考点：规律型：数字的变化类．分析：首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4?1=3，6?2=4，8?3=5，10?4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少；最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数，求出x的值是多少即可．解答：解：∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209故选：C．点评：此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．5．（2021•德州）一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15考点：规律型：数字的变化类．分析：根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答即可．解答：解：∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x=1+2=3，∴y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8．故选：A．点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是求出x的值是多少．二．填空题（共19小题）6．（2021•巴中）a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为=?1；?1的差倒数是 = ；已知a1=3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数．a4是a3差倒数，…依此类推，则a2021= ? ．考点：规律型：数字的变化类；倒数．专题：规律型．分析：根据差倒数定义表示出各项，归纳总结即可得到结果．解答：解：a1=3，a2是a1的差倒数，即a2= =? ，a3是a2的差倒数，即a3= = ，a4是a3差倒数，即a4=3，…依此类推，∵2021÷3=671…2，∴a2021=? ．故答案为：? ．点评：此题考查了规律型：数字的变化类，以及新定义，找出题中的规律是解本题的关键．7．（2021•酒泉）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是45 ，2021是第63 个三角形数．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据所给的数据发现：第n个三角形数是1+2+3+…+n，由此代入分别求得答案即可．解答：解：第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+…+n=2021，n（n+1）=4032，解得：n=63．故答案为：45，63．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．8．（2021•黔西南州）已知A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A52=5×4×3×2=120，A63=6×5×4×3=360，依此规律A74= 840 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：对于Aab（b＜a）来讲，等于一个乘法算式，其中最大因数是a，依次少1，最小因数是b．依此计算即可．解答：解：根据规律可得：A74=7×6×5×4=840；故答案为：840．点评：本题考查了规律型?数字的变化，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．注意找到Aab（b＜a）中的最大因数，最小因数．9．（2021•孝感）观察下列等式：12=1，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2021=1016064 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，可得1+3+5+…+（2n?1）=n2，据此求出1+3+5+…+2021的值是多少即可．解答：解：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，所以1+3+5+…+2021=1+3+5+…+（2×1008?1）=10082=1016064故答案为：1016064．点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：1+3+5+…+（2n?1）=n2．10．（2021•郴州）请观察下列等式的规律：= （1? ）， = （ ? ），= （ ? ）， = （ ? ），…则+ + +…+ =．考点：规律型：数字的变化类．分析：观察算式可知 = （ ? ）（n为非0自然数），把算式拆分再抵消即可求解．解答：解：+ + +…+= （1? ）+ （ ? ）+ （ ? ）+…+ （ ? ）= （1? + ? + ? +…+ ? ）= （1? ）= ×= ．故答案为：．点评：考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为 = （ ? ）（n为非0自然数）．11．（2021•娄底）下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为22 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：先找到数的排列规律，求出第n?1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行的第1个数，即可求出第7行的第1个数．解答：解：由排列的规律可得，第n?1行结束的时候排了1+2+3+…+n?1= n（n?1）个数．所以第n行的第1个数 n（n?1）+1．所以n=7时，第7行的第1个数为22．故答案为：22．点评：此题主要考查了数字的变化规律，找出数字排列的规律是解决问题的关键．12．（2021•绥化）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c= 110 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：观察不难发现，左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，根据此规律列式进行计算即可得解．解答：解：根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，可得6+4=a，6+3=c，ac+1=b，可得：a=10，c=9，b=91，所以a+b+c=10+9+91=110，故答案为：110点评：本题是对数字变化规律的考查，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的变化规律是解题的关键．13．（2021•济宁）若1×22?2×32=?1×2×7；（1×22?2×32）+（3×42?4×52）=?2×3×11；（1×22?2×32）+（3×42?4×52）+（5×62?6×72）=?3×4×15；则（1×22?2×32）+（3×42?4×52）+…+[（2n?1）（2n）2?2n（2n+1）2]= ?n （n+1）（4n+3）．考点：规律型：数字的变化类．分析：仔细观察题目提供的三个算式，发现结果和式子序列号之间的关系，然后将这个规律表示出来即可．解答：解：∵1×22?2×32=?1×2×7=?1×2×（4×1+3）；（1×22?2×32）+（3×42?4×52）=?2×3×11=?2×3×（4×2+3）；（1×22?2×32）+（3×42?4×52）+（5×62?6×72）=?3×4×15??3×4×（4×3+3）；…（1×22?2×32）+（3×42?4×52）+…+[（2n?1）（2n）2?2n（2n+1）2]=?n（n+1）（4n+3），故答案为：?n（n+1）（4n+3）．点评：本题考查了数字的变化类问题，仔细观察提供的算式，用含有n的代数式表示出来即可．14．（2021•黔东南州）将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是50 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：先找到数的排列规律，求出第n?1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第5个数，即可求出第10行从左向右的第5个数．解答：解：由排列的规律可得，第n?1行结束的时候排了1+2+3+…+n?1= n（n?1）个数．所以第n行从左向右的第5个数 n（n?1）+5．所以n=10时，第10行从左向右的第5个数为50．故答案为：50．点评：此题主要考查了数字的变化规律，找出数字排列的规律是解决问题的关键．15．（2021•常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和（请用文字语言表达）．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据以上等式得出规律进行解答即可．解答：解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和点评：此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．16．（2021•通辽）一列数x1，x2，x3，…，其中x1= ，xn= （n为不小于2的整数），则x2021= 2 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据表达式求出前几个数不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用2021除以3，根据商和余数的情况确定a2021的值即可．解答：解：根据题意得，a2= =2，a3= =?1，a4= = ，…，依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，∵2021÷3=671…2，∴a2021是第671个循环组的第2个数，与a2相同，即a2021=2．故答案为：2．点评：本题考查数字的变化规律，计算并观察出每三个数为一个循环组依次循环是解题的关键．17．（2021•东莞）观察下列一组数：，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是．考点：规律型：数字的变化类．分析：由分子1，2，3，4，5，…即可得出第10个数的分子为10；分母为3，5，7，9，11，…即可得出第10个数的分母为：1+2×10=21，得出结论．解答：解：∵分子为1，2，3，4，5，…，∴第10个数的分子为10，∵分母为3，5，7，9，11，…，∴第10个数的分母为：1+2×10=21，∴第10个数为：，故答案为：．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解答此题的关键．18．（2021•恩施州）观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是15 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据每个数n都连续出现n次，可列出1+2+3+4+…+x=119+1，解方程即可得出答案．解答：解：因为每个数n都连续出现n次，可得：1+2+3+4+…+x=119+1，解得：x=15，所以第119个数是15．故答案为：15．点评：此题考查数字的规律，关键是根据题目首先应找出哪哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．19．（2021•黔南州）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，按此规律，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则该报数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为 4 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据报数规律得出甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，即可得出报出的数为3的倍数的个数，即可得出答案．解答：解：∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束；∴50÷4=12余2，∴甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，∴报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需报到：9，21，33，45这4个数时，应拍手4次．故答案为：4．点评：此题主要考查了数字规律，得出甲的报数次数以及分别报数的数据是解决问题的关键．20．（2021•咸宁）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400= 1.6×105或160000 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：首先计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论．解答：解：∵ ；；；…∴ ；∴ ．故答案为：1.6×105或160000．点评：本题考查的是规律发现，根据计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值可以发现规律为，发现规律是解决本题的关键．21．（2021•安徽）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是xy=z ．考点：规律型：数字的变化类．分析：首项判断出这列数中，2的指数各项依次为 1，2，3，5，8，13，…，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数，满足xy=z，据此解答即可．解答：解：∵21×22=23，22×23=25，23×25=28，25×28=213，…，∴x、y、z满足的关系式是：xy=z．故答案为：xy=z．点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x、y、z的指数的特征．22．（2021•遵义）按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是．考点：规律型：数字的变化类．分析：首先根据， = ，可得当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、14、…，分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列，据此求出这列数中的第10个数与第16个数各是多少；然后求出它们的积是多少即可．解答：解：∵ ， = ，∴这列数依次为：，，，，…，∴当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、14、…，∵8?5=11?8=14?11=3，∴分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列，∴这列数中的第10个数与第16个数的积是：== ．故答案为：．点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：当这列数的分子都化成4时，分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列．23．（2021•淮安）将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a行，第b列，则a+b= 147 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：首先根据连续正整数的排列图，可得每行都有4个数，所以用565除以4，根据商和余数的情况判断出正整数565位于第几行；然后根据奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小，判断出565在第几列，确定出b的值，进而求出a+b的值是多少即可．解答：解：∵565÷4=141…1，∴正整数565位于第142行，即a=142；∵奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小，∴正整数565位于第五列，即b=5，∴a+b=142+5=147．故答案为：147．点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：（1）每行都有4个数．（2）奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小．24．（2021•常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：，如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为128、21、20、3 ．考点：规律型：数字的变化类；推理与论证．分析：首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可．解答：解：根据分析，可得则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3．故答案为：128、21、20、3．点评：（1）此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．（2）此题还考查了推理和论证问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．三．解答题（共1小题）25．（2021•张家界）阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为 2 ，第4项是24 ．（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： =q， =q， =q，… =q．所以：a2=a1•q，a3=a2•q=（a1•q）•q=a1•q2，a4=a3•q=（a1•q2）•q=a1•q3，…由此可得：an= a1•qn?1（用a1和q的代数式表示）．（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．考点：规律型：数字的变化类．专题：阅读型．分析：（1）由第二项除以第一项求出公比q的值，确定出第4项即可；（2）根据题中的定义归纳总结得到通项公式即可；（3）由公比q与第二项的值求出第一项的值，进而确定出第4项的值．解答：解：（1）q= =2，第4项是24；（2）归纳总结得：an=a1•qn?1；（3）∵等比数列的公比q=2，第二项为10，∴a1= =5，a4=a1•q3=5×23=40．故答案为：（1）2；24；（2）a1•qn?1点评：此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。