2020中考数学复习突破与提升专题提升练习(五类常用数学思想分类汇编)(无答案)

专题五 数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与 局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目 的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例 1 （2013・吉林）若 a-2b=3,则 2a-4b-5= ______ .对应训练1. （2013•福州）已知实数 a, b 满足 a+b=2, a-b=5,贝ij （a+b ） 3* （a-b ） 3 的值是 ____ .考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知 问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将 实际问题转化为数学问题。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都 可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2 （2013•东营）如图，圆柱形容器屮，高为1.2m,底而周长为1m,在容器内舉离容器底部 0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处, 则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ______________ m （容器厚度忽略不计）.< B厂 . 、对应训练2. （2013*宁德质检）如图，在RtAABC 中，ZC=90°, AC=8, BC 二6,点P 是AB 上的任意一点,在解答某些数学问题时，冇时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后 综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重耍的数学思想，同时也是一种 重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

分类的原则：（1）分类 中的每一部分是相互独立的；（2） 一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行.正确的分类必 须是周全的，既不重复、也不遗漏.例3 （2013-山西）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂冇甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需耍.两种卬刷方式的费用y （元） 与印刷份数x （份）之间的关系如图所示：连结DE,则DE 的最小值为（1）填空：甲种收费的函数关系式是_____________乙种收费的函数关系式是_______________ .（2）该校某年级每次需印制100〜450 （含100和450）份学案，选择哪种卬刷方式较合算?对应训练3. （2013-tt丹江）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700 元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑毎台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元.设A型电脑购进x台、商场的总利润为y （元）•（1）请你设计出进货方案；（2）求岀总利润y （元）与购进A型电脑x （台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？（3）商场准备拿出（2）屮的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶.在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案.四、中考真题演练1. （2013＞达州）如图，在RtAABC 中，ZB=90°, AB=3, BC二4,点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有-ADCE中，DE最小的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 52. （2013-荆州）如图，将含60。

第 1 页 共 37 页 几何最值问题复习本内容全部需要在做讲义题目之前进行 一、 读一读下面的内容，想一想 1. 解决几何最值问题的理论依据①两点之间，线段最短（已知两个定点）；②_______________（已知一个定点、一条定直线）； ③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）． 2. 几何最值问题常见的基本结构①利用几何变换进行转化——在右侧一栏中画出相关分析的辅助线，找到最终时刻点P 的位置求min ()PA PB +，异侧和最小MN 为固定线段长，求min ()AM BN +求max PB PA -，同侧差最大 ②利用图形性质进行转化llllll第 2 页 共 37 页求max OD不变特征：Rt △AOB 中，直角与斜边长均不变，取斜边中点进行分析．二、 还原自己做最值问题的过程（从拿到题目读题开始），与下面小明的动作对标，补充或调整与自己不一样的地方．①研究背景图形，相关信息进行标注；②分析考查目标中的定点、动点及图形特征，利用几何变换或图形性质对问题进行分析； ③封装常见的几何结构，当成一个整体处理，后期直接调用分析．三、 根据最值问题做题的思考过程，思考最值问题跟存在性问题、动点问题在分析过程中有什么样的区别和联系，简要写一写你的看法． 答：DCAB O NM下面是小明的看法：①都需要分层对问题分析，一层层，一步步进行分析；②都需要研究基本图形，目标，条件，相关信息都需要有标注；③在画图分析时，都会使用与之有关的性质，判定，定理及公理．如存在性问题需要用四边形的判定；最值问题需要回到问题处理的理论依据．四、借助对上述问题的思考，做讲义的题目．几何最值问题（讲义）一、知识点睛解决几何最值问题的通常思路：1.分析定点、动点，寻找不变特征．2.若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．第 3 页共37 页第 4 页 共 37 页 二、精讲精练1. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为BC 边上一动点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ．若M 为EF 的中点，则AM 长度的最小值为____________．第1题图 第2题图2. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，点D 在BC 边上，则以AC 为对角线的所有□ADCE 中，DE 长度的最小值为_____________．3. 若点D 与点A (8，0)，B (0，6)，C (a ，)是一平行四边形的四个顶点，则CD 长度的最小值为_____________．4. 如图，已知AB =2，C 是线段AB 上任一点，分别以AC ，BC 为斜边，在AB 的同侧作等腰直角三角形ACD 和等腰直角三角形BCE ，则DE 长度的最小值为_____________．第4题图 第5题图5. 如图，已知AB =10，C 是线段AB 上任一点，分别以AC ，BC 为边，在AB 的同侧作等边三角形ACP 和等边三角形BCQ ，则PQ 长度的最小值为_____________．6. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为________________．M FE PCBAOED CBAa ED B CAQPCBA第 5 页 共 37 页7. 如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的对应点记为P ．（1）当点P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围是_______．（2）当点P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 长度的最小值为_____________．8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AC =BC 的中点为D ．将△ABC 绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC ，EF 的中点为G ，连接DG ，则在旋转过程中，DG 长度的最大值为____________．QPA'DCB A D CBA P F ED CB APFE DCBADCBA DCBA DGFECB A第 6 页 共 37 页9. 如图，已知△ABC 是边长为2的等边三角形，顶点A 的坐标为(0，6)，BC 的中点D 在点A下方的y 轴上，E 是边长为2且中心在坐标原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕其中心旋转一周，则在旋转过程中DE 长度的最小值为_________．10. 探究：如图1，在等边三角形ABC 中，AB =6，AH ⊥BC 于点H ，则AH =_______，△ABC 的面积__________．发现：如图2，在等边三角形ABC 中，AB =6，点D 在AC 边上（可与点A ，C 重合），分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为点E ，F ，设BD =x ，AE =m ，CF =n ．图1 图2（1）用含x ，m ，n 的代数式表示及；（2）求()与x 之间的函数关系式，并求出()的最大值和最小值．应用：如图，已知正方形ABCD 的边长为1，P 是BC 边上的任一点（可与点B ，C 重合），分别过点B ，C ，D 作射线AP 的垂线，垂足分别为点B ′，C ′，D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为______，最小值为______．三、回顾与思考ABC S =△ABD S △CBD S △m n +m n +BCFDE AHB AD'B'C'P D CBA________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________【参考答案】精讲精练1．12 52．33．4．1 5．5 6．27．（1）84PD-≤；（2）88．69．410．探究：发现：（1）12ABDS xm=△，12CBDS xn=△（2）m n+=m+n的最大值为6，最小值为应用：2中考数学阅读创新型考题复习要点剖析阅读创新型考题，是中考的创新题型之一，它要求在阅读过程中，必须认真感知阅读材料中的有关数学符号，图形符号，公式，定义等，理解每个数学术语，在阅读中自然语言与数学语言转换拼盘，是一个内部语言转化的过程，最终要用自己的语言来理解新认知的数学定义或定理第7 页共37 页或公式，继而对新知识进行同化和顺应，在数学阅读过程中，数学材料主要以归纳和演绎的方式呈现，有时以新定义的方式呈现，具有一定的严谨性，因此阅读者要求有严密的逻辑思维能力，记忆、理解、抽象、分析、归纳、类比、联想、迁移等思维活动都充分协调调动，才能实现好的阅读效果.二、典型例题1.三角函数型阅读问题例1 （2018•贵阳）如图1，在Rt△ABC中，以下是小亮探究asinA与bsinB之间关系的方法：因为sinA=ac，sinB=bc，所以c=asinA，c=bsinB，所以asinA=bsinB.根据你掌握的三角函数知识．在图2的锐角△ABC中，探究asinA、bsinB、csinC之间的关系，并写出探究过程．解法1 ：三者的关系如下：asinA=bsinB=csinC.理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在Rt△ABE中，sinA=BEc,所以BE=csinA；在Rt△BEC中，sinC=BEa,所以BE=asinC；所以csinA= asinC，所以asinA=csinC.第8 页共37 页第 9 页 共 37 页同理可得，b sinB =c sinC ，所以a sinA =b sinB =csinC. 点评：阅读内容展示了两个重要信息：必须构造出直角三角形，会用不同的表达式表示同一个量.构造一边上的高，并在不同的直角三角形中表示同一条高成为解题的关键.解法2 ：三者的关系如下：a sinA =b sinB =csinC. 理由为：如图3，作△ABC 的外接圆，并作直径AE 、BD ，连接AD,CD,CE ，则∠BAD, ∠BCD, ∠ACE 都是直角，在Rt △ABD 中，sin ∠BDA=c BD ,所以BD=c sin ∠BDA,因为∠BDA=∠BCA, 所以BD=csin ∠BCA；同理可得，BD=a sin ∠BAC ,AE=bsin ∠ABC；因为同圆的直径相等，所以所以a sin ∠BAC =b sin ∠ABC =c sin ∠BCA.点评：构造三角形的外接圆，借助直径上的圆周角是直角构造直角三角形，利用同弧上的圆周角相等，将△ABC C的三个内角迁移到直角三角形，为三角函数的使用创造了条件，利用同圆的直径相等，实现了结论的证明，这也是证明的好方法，值得推广.解法3 ：三者的关系如下：asinA=bsinB=csinC.理由为：如图2，过B作BE⊥AC，在Rt△ABE中，sinA=BEc,所以BE=csinA,设△ABC的面积为S，则S=12AC BE=12bcsinA；同理可证，S=12absinC =12acsinB；所以12bcsinA=12absinC =12acsinB，同除以abc，得sinA sinB sinC==a b c，所以asinA=bsinB=csinC.点评：通过构造高构造直角三角形，借助同一个三角形的面积相等，把不同的面积表示法建立起等式，为证明奠定基础，同除以abc和求倒数成为解题的两个关键细节，值得掌握.2.新定义几何图形型阅读问题例2 （2018年浙江宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知4，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC 是比例三角形；（3）如图5，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求BDAC的值.第10 页共37 页解析：（1）设AC=x，当22=3x时，x=43；当23=2x时，x=92；当2x=3×2时，；（2）证明：因为AD∥BC，所以∠ACB =∠CAD，因为∠BAC=∠ADC，所以△ABC∽△DCA，所以BC CA=CA AD即2CA=BC·AD，因为AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD，因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD，所以∠ADB=∠ABD，所以AB=AD，所以2CA=BC·AB，所以△ABC是比例三角形.（3）解：如图5，过点A作AH⊥BD于点H,因为AB=AD,所以BH=12BD,所以AD∥BC，∠ADC=90°,所以∠BHA=∠BCD=90°,又因为∠ABH=∠DBC,所以△ABH∽△DBC,所以AB BH=DB BC,所以AB·BC=DB·BH,所以AB·BC= 122BD,因为AB·BC=2CA,所以122BD=2CA,所以BDAC.评注：注重数学思想的渗透，这里主要体现了分类的思想，解答时，要根据新定义和所求结论来选择解题思想和解题方法，使得解答不漏不重；第二问的解答，相似是基础，新定义的意义是根本，以相似为解题出发点，以新定义的内涵为解题目标，整合梳理即可得证；第三问是前两问的直接应用，这也体现了问题的呈现层次，展示了解题的顺序，体现了解题要步步为营的求解策略.3. 介绍新法型阅读问题例3 （2018年•随州）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示第11 页共37 页为分数形式呢？请看以下示例：例：将0.化为分数形式，由于0. =0.777…，设x=0.777…①则10x=7.777…②，②﹣①得9x=7，解得x=，于是得0. =．同理可得0. = =，1. =1+0. =1+=根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）0. = ，5. = ；（2）将0.化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）0. 1= ，2.0= ；（注：0. 1=0.315315…，2.0=2.01818…）【探索发现】（4）①试比较0.与1的大小：0. 1（填“＞”、“＜”或“=”）②若已知0. 8571=，则3. 1428= ．（注：0. 857l=0.285714285714…）解：（1）由题意知0. =59、5. =5+89=539，（2）0. =0.232323……，设x=0.232323……①，第12 页共37 页则100x=23.2323……②，②﹣①，得：99x=23，解得：x=2399，∴0. =2399；（3）同理0. 1=315 999=35111，2.0=2+1181099=11155.所以答案为：35111，11155.（4）①0. =99=1故答案为：=；②3. 1428.=3+714285999999=3+57=267.故答案为：267.点评：数学学习的四大关键：知识点的学习，数学方法的学习，数学思想的学习，数学应用能力的培养.数学方法走进考场，是一个必然，也是一个新趋势.考点就是一面旗帜，是一个导向，是学习一个方向，因此在常态的数学学习过程中，要夯实数学知识基础，掌握数学方法策略，筑牢数学思想灵魂，培养数学应用能力，让自己成为一名真正的数学强者.4.方案型阅读问题例4 （2018•衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图6所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：第13 页共37 页方案三：【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，方案三：a2+==a2+2ab+b2=（a+b）2．5.解题步骤阅读型问题例5 （2018•吉林）某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2）（第一步）=a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）=2ab﹣b2（第三步）（1）该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；（2）写出此题正确的解答过程．【分析】先计算乘法，然后计算减法．【解答】解：（1）该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；故答案是：二；去括号时没有变号；（2）原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2）=a2+2ab﹣a2+b2=2ab+b2．6.数学史型阅读问题第14 页共37 页第 15 页 共 37 页例6（2018•自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x =N （a ＞0，a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x=log a N ．比如指数式24=16可以转化为4=log 216，对数式2=log 525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a （M •N ）=log a M+log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）；理由如下：设log a M=m ，log a N=n ，则M=a m ，N=a n∴M •N=a m •a n =a m+n ，由对数的定义得m+n=log a （M •N ） 又∵m+n=log a M+log a N ∴log a （M •N ）=log a M+log a N 解决以下问题：（1）将指数43=64转化为对数式 3=log 464 ；（2）证明log a =log a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0） （3）拓展运用：计算log 32+log 36﹣log 34= 1 ． 【分析】（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；（2）先设log a M=m ，log a N=n ，根据对数的定义可表示为指数式为：M=a m ，N=a n ，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：log a （M •N ）=log a M+log a N 和log a =log a M ﹣log a N 的逆用，将所求式子表示为：log 3（2×6÷4），计算可得结论．【解答】解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464，故答案为：3=log464；（2）设loga M=m，logaN=n，则M=a m，N=a n，∴==a m﹣n，由对数的定义得m﹣n=loga，又∵m﹣n=loga M﹣logaN，∴loga =logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）log32+log36﹣log34，=log3（2×6÷4），=log33，=1，故答案为：1．7. 填空型阅读问题例7（2018•临安区）阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4（A）∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）（B）∴c2=a2+b2（C）∴△ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： C ；第16 页共37 页（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况；（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；（3）根据题意可以写出正确的结论．【解答】解：（1）由题目中的解答步骤可得，错误步骤的代号为：C，故答案为：C；（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，故答案为：没有考虑a=b的情况；（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．8.寻找规律型阅读问题例8（2018•滨州）观察下列各式：=1+，=1+，=1+，……第17 页共37 页请利用你所发现的规律，计算+++…+，其结果为9．【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．【解答】解：由题意可得：+++…+=1++1++1++ (1)=9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=9+=9．故答案为：9．9.公式推荐型阅读问题例9 （2018•枣庄）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 1 ．第18 页共37 页第 19 页 共 37 页【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC 的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵S=，∴△ABC 的三边长分别为1，2，，则△ABC 的面积为：S==1，故答案为：1．10.介绍新知识型阅读问题例10（2018年•常德）阅读理解：a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号a bc d称为2×2阶行列式，并且规定：a bc d =a ×d ﹣b ×c ，例如：3212-- =3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=﹣4．二元一次方程组111222a x+b y =c a x+b y =c ⎧⎪⎨⎪⎩的解可以利用2×2阶行列式表示为：x y D x =D D y =D ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩；其中D=1122a b a b ，x D =1122b bc c ，D y =1122a a c c ．第 20 页 共 37 页问题：对于用上面的方法解二元一次方程组2x+y =13x 2y =12⎧⎪⎨-⎪⎩时，下面说法错误的是（ ）A ．D=2132-=﹣7 B ．x D =﹣14 C ．D y =27 D ．方程组的解为x =2y =3⎧⎪⎨-⎪⎩分析：根据行列式的定义，分别计算D=1122a b a b ，x D =1122b bc c ，D y =1122a a c c 可得结论．解：因为D=1122a b a b =2132-=﹣7，所以选项A 正确；x D =1122b bc c =11122-=﹣2﹣1×12=﹣14，所以选项B 正确；D y =1122a a c c =21312=2×12﹣1×3=21，所以选项C 不正确；方程组的解：x y D 14x =D 7D 21y =D 7⎧-=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩即x =2y =3⎧⎪⎨-⎪⎩，所以选项D 正确；所以选C ．点评：理解行列式的意义是解题的关键.这种先阅读后应用的考题方式是一种创新学习方式即自主学习，是数学学习的有效方式之一，值得推广. 11.定义新运算型阅读问题例11（2018年江苏扬州）对于任意实数a 、b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b=2a+b.例如3⊗4=2×3+4=10.（1）求2⊗(-5)的值；（2）若x⊗y=2，且2y⊗x=-1，求x+y的值.分析：理解新运算的意义，利用新运算转化为二元一次方程组问题求解即可. 解：（1）2⊗(-5)= 2×2+（-5）=-1；（2）根据新定义得2x y=2(1)x+4y=1(2)⎧+⎪⎨-⎪⎩，解得：7x=94y=9⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，所以x+y=741 993-=.点评：利用新运算把陌生知识点问题转化成熟悉的二元一次方程组问题是解题的关键.12.定义新概念型阅读问题例12 （2018•内江）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}=﹣1，max{﹣2，﹣1，0}=0，max{﹣2，﹣1，a}=解决问题：（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}= ，如果max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则x 的取值范围为；（2）如果2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，求x的值；（3）如果M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，求x的值．【分析】（1）根据定义写出sin45°，cos60°，tan60°的值，确定其中位数；根据max{a，b，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，可得不等式组：则，可第21 页共37 页得结论；（2）根据新定义和已知分情况讨论：①2最大时，x+4≤2时，②2是中间的数时，x+2≤2≤x+4，③2最小时，x+2≥2，分别解出即可；（3）不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x﹣2，画出图象，根据M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，可知：三个函数的中间的值与最大值相等，即有两个函数相交时对应的x的值符合条件，结合图象可得结论．【解答】解：（1）∵sin45°=，cos60°=，tan60°=，∴M{sin45°，cos60°，tan60°}=，∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则，∴x的取值范围为：，故答案为：，；（2）2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，分三种情况：①当x+4≤2时，即x≤﹣2，原等式变为：2（x+4）=2，x=﹣3，②x+2≤2≤x+4时，即﹣2≤x≤0，原等式变为：2×2=x+4，x=0，③当x+2≥2时，即x≥0，原等式变为：2（x+2）=x+4，x=0，综上所述，x的值为﹣3或0；第22 页共37 页（3）不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x﹣2，画出图象，如图所示：结合图象，不难得出，在图象中的交点A、B点时，满足条件且M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}=yA =yB，此时x2=9，解得x=3或﹣3．例13（2018•娄底）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（）A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k）C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：f（1）=[]﹣[]=0﹣0=0，故选项A正确；f（k+4）=[]﹣[]=[+1]﹣[+1]=[]﹣[]=f（k），故选项B正确；C、当k=3时，f（3+1）=[]﹣[]=1﹣1=0，而f（3）=1，故选项C错误；D、当k=3+4n（n为自然数）时，f（k）=1，当k为其它的正整数时，f（k）=0，所以D选项的结论正确；第23 页共37 页故选：C．13.例题变式型阅读问题例14（2018•绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．（1）请你解答以上的变式题．（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．解析：（1）若∠A为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；所以∠B=50°或20°或80°；（2）分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，所以∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B=（180-x2）°；第24 页共37 页若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．当180-x2≠180﹣2x且180﹣2x≠x且180-x2≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．平行四边形的性质一、基础知识点知识点1：平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别＿的四边形叫做平行四边形。

中考数学常用数学思想专题卷（附答案）一、单选题（共4题；共8分）1.甲乙两地相距180km，一列快车以40km/h的速度从甲地匀速驶往乙地，慢车出发30分钟后，一列快车以60km/h的速度从甲地匀速驶往乙地．两车相继到达终点乙地，再次过程中，两车恰好相距10km的次数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42.已知二次函数（m为常数），当时，的最大值是15，则的值是（）A. -10和6B. -19和C. 6和D. -19和63.若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为（）A. 10B.C. 10或D. 10或4.平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（）个．A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（共8题；共16分）5.正方形ABCD的边长为3，点E为射线AD上一点连接CE，设直线CE与BD交于点F，若AD＝2DE，则BF的长为________．6.已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是________．7.在△ABC中，∠A = 30°，AB = m，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△ECD，若△ECD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，则△ABC的面积为________（用m的代数式表示）．8.已知：在中，为边上的高，且，若，，则的面积为________.9.在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为________度．10.已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D为平面内的任意一点，且满足CD＝AC，若△ADB是以AD为腰的等腰三角形，则∠CDB的度数为________．11.如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B 重合）．若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边△ABC的边上，则BN的长为________cm．12.如图，已知平行四边形ABCD中，AD = 6，AB = ，∠A = 45°．过点B、D分别做BE⊥AD，DF⊥BC，交AD、BC与点E、F．点Q为DF边上一点，∠DEQ = 30°，点P为EQ的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN = EQ，则EM的长等于________．三、综合题（共8题；共96分）13.已知二次函数y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3（m是常数）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）如果二次函数的图象经过原点．①求m的值；②若m＜0，点C是一次函数y＝﹣x+b（b＞0）图象上的一点，且∠ACB＝90°，求b的取值范围；（2）当﹣3≤x≤2时，函数的最大值为5，求m的值．14.若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”（1）若对任意m，n，点M（m，n）和点N（﹣m+4，n）恒在“等边抛物线”C1：y＝ax2+bx上，求抛物线C1的解析式；（2）若抛物线C2：y＝ax2+bx+c为“等边抛物线“，求b2﹣4ac的值；（3）对于“等边抛物线“C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，总存在实数b，使二次函数C3的图象在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．15.如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．16.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得点P在射线BC上，且∠APB＝∠ACB（0°＜∠ACB＜180°），则称P为⊙C的依附点．（1）当⊙O的半径为1时①已知点D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），在点D，E，F中，⊙O的依附点是________；②点T在直线y＝﹣x上，若T为⊙O的依附点，求点T的横坐标t的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y＝﹣2x+2与x轴、y轴分别交于点M、N，若线段MN上的所有点都是⊙C的依附点，请求出圆心C的横坐标n的取值范围．17.在数轴上，点A，B，C表示的数分别是－6，10，12．点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时线段BC以每秒1个单位长度的速度也向右运动．（1）运动前线段AB的长度为________；（2）当运动时间为多长时，点A和线段BC的中点重合？（3）试探究是否存在运动到某一时刻，线段AB= AC？若存在，求出所有符合条件的点A表示的数；若不存在，请说明理由．18.如图，现有两条乡村公路AB、BC，AB长为1200米，BC长为1600，一个人骑摩托车从A处以20m/s 的速度匀速沿公路AB、BC向C处行驶；另一人骑自行车从B处以5m/s的速度从B向C行驶，并且两人同时出发．（1）求经过多少秒摩托车追上自行车？（2）求两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米？19.如图，在Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=20，BC=15,点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A 运动，当运动到点A时停止.若设点D的运动时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度.（1）当t=2时，求CD、AD的长；解：t=2时，CD=2×2=4∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15∴AC=AD=AC-CD=25-4=21（1）当t=2时，求CD、AD的长；（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形，若不能，请说明理由，若能，请求出t的值；（3）当t为何值时，△CBD是等腰三角形，请直接写出t的值.20.如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣n（n＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．（1）若AB＝4，求n的值；（2）如图，若△ABC为直角三角形，求n的值；（3）如图，在（2）的条件下，若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、单选题1. D2. D3. C4. B二、填空题5. 6 或26. ﹣1.5或7. 或8. 48或1689. 60或10 10. 45°或135°11. 1或2 12. 1或2三、综合题13. （1）解：①∵二次函数的图象经过原点，∴m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝﹣1，m2＝3．②∵m＜0，∴m＝﹣1．把m＝﹣1代入y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3中，得：y＝x2﹣4x．当y＝x2﹣4x＝0时，x1＝0，x2＝4，∴AB＝4．以AB为直径作⊙P，根据直径所对的圆周角为直角，可知：当一次函数y＝﹣x+b（b＞0）的图象与圆相交时，可得∠ACB＝90°．如图，一次函数y＝﹣x+b（b＞0）的图象与⊙P相切于点C，与y轴交于点E，与x轴交于点F，连接PC，易得∠PCF＝90°．当x＝0时，y＝﹣x+b＝b，∴点E（0，b）；当y＝﹣x+b＝0时，x＝b，∴点F（b，0）．∴AE＝AF＝b，∴∠PFC＝45°．又∵∠PCF＝90°，∴△PCF为等腰直角三角形，∴PF＝PC＝2 ，∴b＝AF＝2+2 ．∴b的取值范围为0＜b≤2+2（2）解：∵y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3＝（x+m﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝1﹣m．①当1﹣m≤﹣0.5，即m≥1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝2时，函数最大值为5，∴（2+m﹣1）2﹣4＝5，解得：m＝2或m＝﹣4（舍去）；②当1﹣m＞﹣0.5，即m＜1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝﹣3时，函数最大值为5，∴（﹣3+m﹣1）2﹣4＝5，解得：m＝1或m＝7（舍去）．综上所述，m＝2或m＝1．14. （1）解：由题意得，点H和点N关于对称轴对称，∴对称轴x＝＝2，又∵x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax，①当a＞0时，顶点坐标为（2，﹣2 ），代入y＝ax2﹣4ax，得：﹣2 ＝4a﹣8a，解得：a＝，∴y＝x2﹣2 x；②当a＜0时，顶点坐标为（2，2 ），代入y＝ax2﹣4ax，得：2 ＝4a﹣8a，解得：a＝﹣，∴y＝﹣x2+2 x；综上，y＝x2﹣2 x或y＝﹣x2+2 x（2）解：设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），令y＝ax2+bx+c＝0，∴x＝，∴AB＝|x1﹣x2|＝| ﹣|＝| |＝| |，又∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），∴＝，∵b2﹣4ac≠0，∴| |＝，∴b2﹣4ac＝12（3）解：由（2）得b2﹣4ac＝12，∴c＝，∴C3：y＝x2+bx+ ，由题意知该等边抛物线过（1，1），∴1+b+ ＝1，解得b＝﹣6或b＝2，又对称轴x＝﹣＝﹣＞1，∴b＜﹣2，∴b＝﹣6，∴y＝x2﹣6x+6，联立，解得x＝1或x＝6，∴m的最大值为615. （1）解：对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝∴k＝．（2）解：如图，∵tan∠BAO＝∴∠BAO＝60°，∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°，∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP＝2t，当0＜t＜时，S＝•OQ•P y＝（1﹣2t）• t＝﹣t2+ t．当t＞时，S＝OQ•P y＝（2t﹣1）• t＝t2﹣t．（3）解：∵OQ+AB＝（BQ﹣OP），∴2t﹣1+2＝∴2t+1＝∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7，∴3t2﹣11t+6＝0，解得t＝3或（舍弃），∴P（，），Q（5，0），设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线PQ的解析式为16. （1）①E,F②如图2，∵点T在直线y＝﹣x上，∴点T在第二象限或第四象限，直线y＝﹣x与x轴所夹的锐角为60°，当点T在第四象限，当OT＝1时，作CT⊥x轴，易求点C（，0），当OT'＝3时，作DT'⊥x轴，易求D（，0），∴满足条件的点T的横坐标t的取值范围＜t＜，当点T在第二象限，同理可得满足条件的点T的横坐标t的取值范围﹣＜t＜﹣，综上所述：满足条件的点T的横坐标t的取值范围：＜t＜或﹣＜t＜﹣，（2）解：如图3﹣1中，当点C在点M的右侧时，由题意M（1，0），N（0，2）当CN＝3时，OC＝＝，此时C（，0），当CM＝1时，此时C（2，0），∴满足条件的n的值的范围为2＜n＜．如图3﹣2中，当点C在点M的右侧时，当⊙C与直线MN相切时，由题意M（1，0），N（0，2），∴MN＝，∴sin∠MON＝＝＝，∴C'M＝∴C'M＝1﹣，∴C′（1﹣，0），当CM＝3时，C（﹣2，0），∴满足条件的m的值的范围为﹣2＜n＜1﹣，综上所述，满足条件的n的值的范围为：2＜n＜或﹣2＜n＜1﹣．17. （1）16（2）解：设当运动时间为x秒长时，点A和线段BC的中点重合，依题意有﹣6+3t=11+t，解得t=故当运动时间为秒长时，点A和线段BC的中点重合（3）解：存在，理由如下：设运动时间为y秒，①当点A在点B的左侧时，依题意有(10+y)﹣(3y﹣6)=2，解得y=7，﹣6+3×7=15；②当点A在线段BC上时，依题意有（3y-6）-（10+y）=解得y=-6+3 =19综上所述，符合条件的点A表示的数为15或1918. （1）解：设经过x秒摩托车追上自行车，20x=5x+1200，解得x=80．答：经过80秒摩托车追上自行车．（2）解：设经过y秒两人相距150米，第一种情况：摩托车还差150米追上自行车时，20y-1200=5y-150解得y=70．第二种情况：摩托车超过自行车150米时，20y=150+5y+1200解得y=90．答：经过70秒或90秒两人在行进路线上相距150米19. （1）解：t=2时，CD=2×2=4∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15∴AC=AD=AC-CD=25-4=21（2）解：①∠CDB=90°时，即解得BD=12所以CD=t=9÷2=4.5②∠CBD=90°时,点D和点A重合t=25÷2=12.5综上所述，t=4.5或12.5秒（3）t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形.20. （1）解：当y＝0时，x2﹣x﹣n＝0，解得：x1＝，x2＝，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（，0）．∵AB＝4，∴﹣＝4，整理，得：9+8n＝16，解得：n＝（2）解：当x＝0时，y＝x2﹣x﹣n＝﹣n，∴点C的坐标为（0，﹣n）．∵△ABC为直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠CBO．又∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴，∴OA•OB＝OC2，即﹣• ＝n2，整理，得：n2﹣2n＝0，解得：n1＝0（舍去），n2＝2．（3）解：由（2）可知，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝．设点P的坐标为（m，m2﹣m﹣2），分两种情况考虑，如图2所示：①若BC为边，当四边形BCP1Q1为平行四边形时，﹣m＝4﹣0，解得：m＝﹣，∴点P1的坐标为（﹣，）；当四边形BCQ2P2为平行四边形时，m﹣＝4﹣0，解得：m＝，∴点P2的坐标为（，）．②若BC为对角线，设BC，P3Q3的交点为M，∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2），∴点M的坐标为（2，﹣1），∴+m＝2×2，解得：m＝，∴点P3的坐标为（，﹣）．综上所述：存在以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为（﹣，），（，）或（，﹣）．第11 页共11 页。

2020中考数学压轴题突破与提升专题练习坐标系中的几何问题一．例题解析1.已知：如图1，等边ABC ∆的边长为x轴上且()10A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．（1）直接写出点B C 、的坐标；（2）若直线()10y kx k =-≠将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值； （3）如图2，过点A B C 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()2,0G -作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论：① GNM CDM ∠=∠ ②MGN DCM ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．图2图1【解析】解：（1）()10B +；()13C ，． （2）过点C 作CP AB ⊥于P ，交EF 于点Q ，取PQ 的中点R ．∵ABC ∆是等边三角形，()10A ． ∴60EAO ∠=︒ ．在Rt EOA ∆中，90EOA ∠=︒．∴(tan 6013EO AO =⋅︒=-=．∴(0,3E ．∵EF ∥AB 交BC 于F ，()13C ，．∴1R ⎛ ⎝⎭． （就是四边形对角线的中点，横坐标自然和C 一样，纵坐标就是E 的纵坐标的一半）∵直线1y kx =-将四边形EABF 的面积两等分． ∴直线1y kx =-必过点1R ⎛⎝⎭．∴1k -，∴k =（3）正确结论：①GNM CDM ∠=∠．证明：可求得过A B C 、、的抛物线解析式为222y x x =-++∴()02D ，． ∵()20G -，． ∴OG OD =．由题意90GON DOM ∠=∠=︒． 又∵GNO DNH ∠=∠ ∴NGO MDO ∠=∠ ∴NGO ∆≌MDO ∆∴GNO DMO ∠=∠，OM ON = ∴45ONM NMO ∠=∠=︒过点D 作DT CP ⊥于T ∴1DT CT == ∴45CDT DCT ∠=∠=︒ 由题意可知DT ∥AB ∴TDM DMO ∠=∠∴454545TDM DMO GNO ∠+︒=∠+︒=∠+︒ ∴TDM CDT GNO ONM ∠+∠=∠+∠即：GNM CDM ∠=∠． （这一问点多图杂，不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图）GPNM HTD C BA O xy例2.如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线21410189y x x =--与ｘ正半轴交于点A,与ｙ轴交于点B,过点B 作x 轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC ．现有两动点P 、Q 分别从O 、C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC,PQ 相交于点D,过点D 作DE∥OA,交CA 于点E,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P,Q 移动的时间为t(单位:秒) (1)求A,B,C 三点的坐标;(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0＜t ＜92时,△P QF 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t _________时,△P QF 为等腰三角形? 【解析】解：(1) 21(8180)18y x x =--，令0y =得281800x x --=，()()18100x x -+=∴18x =或10x =-∴(18,0)A ；在21410189y x x =--中，令0x =得10y =即(0,10)B -； 由于BC ∥OA ，故点C 的纵坐标为－10，由2141010189x x -=--得8x =或0x =即(8,10)C -于是，(18,0),(0,10),(8,10)A B C --（2）若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA.故只要QC=PA 即可 ∵184,PA t CQ t =-= ∴184t t -= 得185t =（3）设点P 运动t 秒，则4,OP t CQ t ==，0 4.5t <<，说明P 在线段OA 上，且不与点O 、A 重合，由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t === ∴4AF t OP ==∴18PF PA AF PA OP =+=+= 又点Q 到直线PF 的距离10d =∴1118109022PQF S PF d ∆==⨯⨯=g g∴△PQF 的面积总为90（4）由上知，(4,0),(184,0),(8,10)P t F t Q t +--，0 4.5t <<。

专题01 数学思想方法初中数学思想方法主要有：①整体思想；②方程思想；③类比思想；④数形结合思想；⑤分类讨论思想等.考点一、整体思想【例1】（2019·浙江）已知m 是方程2x 3x 0-=的一个根，求()()2(m 3)m 2m 2-++-的值．【解析】∵m 是方程2x 3x 10-+=的一个根，∴2m 3m 10-+=， ∴2m 3m -=-1，∴原式=22m 6m 9m 4-++-=()22m 3m 5-+=3. 考点二、方程思想【例2】（2019·河北）如图，有一块三角形余料ABC ，120BC mm =，高线80AD mm =，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，点P ，M 分别在AB ，AC 上，若满足:3:2PM PQ =，则PM 的长为______.【解析】解：如图，设PM 交AD 于点E ，∵四边形PQNM 是矩形，AD ⊥BC ，∴PM ∥BC ，AD ⊥PM ，∴△APM ∽△ABC ， ∴AE PMAD BC=， ∵:3:2PM PQ =，∴设PM =3x ，PQ =2x ，则AE =80－2x ， ∴802380120x x-=，解得x =20，即PM =60mm . 故答案为：60mm . 考点三、类比思想【例3】（2019·吉林）阅读下面材料: 小明遇到下面一个问题：如图1所示，AD 是ABC ∆的角平分线，,AB m AC n ==，求BDDC的值. 小明发现，分别过B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为,E F .通过推理计算，可以解决问题（如图2）.请回答，BDDC=________.参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，四边形ABCD 中，2,6,60,AB BC ABC BD ==∠=︒平分ABC ∠，AB AC ⊥，CD BD ⊥.AC 与BD 相交于点O .（1）AOOC=______. （2）tan DCO ∠=__________.【解析】由作法可知：∠BAD =∠CAD ，∠AEB =∠AFC =90°， ∴△ABE ∽△ACF ， ∴AB BEAC CF=，∵∠BDE=∠CDF，∠AEB=∠AFC=90°，∴△BDE∽△CDF，∴BD BE CD CF=，∴BD AB m CD AC n==.（1）借助上面的结论可知：2163 AO ABOC BC===；（2）∵ABO DCO∠=∠，∴3 tan tanDCO ABO∠=∠=.考点四、数形结合思想【例4】（2019·安徽）某班级同学从学校出发去太阳岛研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的同学20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候5min，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的10 7继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6 km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S(单位：km)和行驶时间t(单位：min)之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：(1)学校到景点的路程为________km，a=________；(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80 km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？【解析】（1）由图形可得：学校到景点的路程为40km，小轿车的速度：4016020=-（千米/分），∵大客车中途停车等候5min，∴(30520)115 a=+-⨯=，故答案为：40，15；（2）由（1）得：15a =，得大客车原来的速度：151302=（千米/分），小轿车赶上来之后，驶过景点入口时，大客车又行驶了：101125(6035)727-⨯⨯=（千米）， ∴12550401577--=（千米） 答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有507千米.（3）设直线AF 的解析式为：=+S kt b ，小汽车驶过景点入口时为点F ， ∵(20,0)A ，(60,40)F ，∴2006040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：120k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AF 的解析式为：20S t =-当46S =时，4620t =-，66t =，小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间：40153511027-=⨯，小轿车司机折返时的速度：36(353566)2÷+-=（千米/分）90=千米/时80>千米/时，∴小轿车折返时已经超速．1．（2019·安徽）如图中的图象（折线ABCDE ）描述了一汽车在某一直道上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车共行驶了120千米； ②汽车在行驶途中停留了0.5小时； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为1603千米/时； ④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少． 其中正确的说法有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2019·湖北）当x =1时，代数式ax 3+bx +4的值为5．则x =﹣1时，ax 3+bx +4的值为 ． 3．（2019·江苏）已知a 是方程x 2﹣2013x +1=0一个根，求a 2﹣2012a +220131a 的值为_____． 4．（2019·山东）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在A '处，若EA '的延长线恰好过点C ，则sin ∠ABE 的值为_____．5．（2019·江苏）运动会上，小捷掷出的铅球在场地上砸出一个小坑（图示是其主视图），其中AB 为8cm ，小坑的最大深度为3cm ，则该铅球的半径为__________cm ．6．（2019·台州）如图，直线y ＝2x +6与反比例数y ＝xk（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．（1）求m 的值和反比例函数的表达式； （2）观察图像，直接写出不等式2x +6-kx＞0的解集 （3）在反比例函数图像的第一象限上有一动点M ，当S △BOM <S △BOD 时，直接写出点M 纵坐标的的取值范围。

中考数学复习必考题型《全等三角形》经典模型突破与提升策略一．手拉手模型FGHDECBA例1. 如图，直线AB的同一侧作△ABD和△BCE都为等边三角形，连接AE、CD，二者交点为H。

求证：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）∠DHA=60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）连接GF，GF∥AC；（7）连接HB，HB平分∠AHC。

二.一线三等角模型例2. 将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，3），则点C的坐标为（）A．3，1）B．（﹣13）C．31）D．3，﹣1）解析:①若题目中有一线三等角，可以直接证明相似或全等实现边与角的转化；②若题目中没有给出一线三等角，可以根据需要来构造。

练习反馈:1.如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A.3 B．4 C．5 D．72.已知：如图，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，∠C=90°,若A点坐标为（0,6），点B坐标为（2,0）,则点C的坐标为______.3. 已知点P的坐标为(3，4)，O为原点，连结OP，将线段OP绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PQ，则点Q的坐标为________4. 如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数是_________5. AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝42°，则∠AEB＝________.6. 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE' 的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠AEB＝_______度.7. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为．OH GABCDFE CB A8.如图，△ADC 与△EDC 都为等腰直角三角形，连接AG 、CE ，相交于点H ， 问：（1）AG 与CE 是否相等？（2）AG 与CE 之间的夹角为多少度？9.如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在 BC 上，且AE=CF 。

专题一5大数学思想方法类型一分类讨论思想(2018·临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．【分析】 (1)先判定四边形BDFA是平行四边形，可得FD＝AB，再根据AB＝CD，即可得出FD＝CD；(2)当GC＝GB时，点G在BC的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角α的度数．【自主解答】在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案．1．(2018·宿迁中考)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是( )A．5 B．4 C．3 D．22．(2018·随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x 天(1≤x≤15，且x 为整数)每件产品的成本是p 元，p 与x 之间符合一次函数关系，部分数据如表：天数(x) 1 3 6 10 每件成本p(元)7.58.51012任务完成后，统计发现工人李师傅第x 天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系：设李师傅第x 天创造的产品利润为W 元．(1)直接写出p 与x ，W 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； (2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？(3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？类型二 数形结合思想(2018·齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20 min 后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的107继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6 km 时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：(1)学校到景点的路程为________ km，大客车途中停留了________ min，a＝________；(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 80 km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待________分钟，大客车才能到达景点入口．【分析】 (1)根据图形可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算a的值；(2)计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后大客车行驶的路程，从而可得结论；(3)先计算直线CD的解析式，计算小轿车驶过景点入口6 km时的时间，再计算大客车到达终点的时间，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6 km的速度与80 km/h作比较可得结论．(4)利用路程÷速度＝时间计算出大客车所用时间，计算与小轿车的时间差即可．【自主解答】把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决．3．(2018·大庆中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，点B(3，0)，点C(4，y 1)，若点D(x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值为－4a ； ②若－1≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a； ③若y 2＞y 1，则x 2＞4；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两个根为－1和13.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2018·苏州中考)如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝kx 在第一象限内的图象经过点D 交BC 于点E.若AB ＝4，CE ＝2BE ，tan∠AOD＝34，则k 的值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．125．(2018·上海中考)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求y 关于x 的函数关系式；(不需要写自变量的取值范围)(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？类型三 转化与化归思想(2017·江西中考)如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直．(1)若屏幕上下宽BC ＝20 cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长； (2)若肩膀到水平地面的距离DG ＝100 cm ，上臂DE ＝30 cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离FH ＝72 cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？(参考数据：sin 69°≈1415，cos 21°≈1415，tan 20°≈411，tan 43°≈1415，所有结果精确到个位)【分析】 (1)在Rt△ABC中利用三角函数即可直接求解；(2)延长FE交DG于点I，利用三角函数求得∠DEI即可求得β的值，从而作出判断．【自主解答】把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题可以有效地解决问题．在解三角形中，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题，把实际问题转化为数学问题等．6．(2018·山西中考)如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是( )A ．4π－4B ．4π－8C ．8π－4D ．8π－87．(2018·黄冈中考)则a －1a ＝6，则a 2＋1a2值为______．8．(2018·白银中考)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A ，B 两地被大山阻隔，由A 地到B 地需要绕行C 地，若打通穿山隧道，建成A ，B 两地的直达高铁，可以缩短从A 地到B 地的路程．已知∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC ＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将缩短约多少公里？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)类型四 方程思想(2018·娄底中考)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵，弦CD 交AB 于点E.(1)当PB 是⊙O 的切线时， 求证：∠PBD＝∠DAB； (2)求证：BC 2－CE 2＝CE·DE；(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．【分析】 (1)由AB 是⊙O 的直径知∠BAD＋∠ABD＝90°，由PB 是⊙O 的切线知∠PBD＋∠ABD ＝90°，据此可得证；(2)连接OC ，设圆的半径为r ，证△ADE∽△CBE，由AC ︵＝BC ︵知∠AOC＝∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可得证；(3)先求出BC ，CE ，再根据BC 2－CE 2＝CE·DE 计算可得． 【自主解答】在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化．9．(2018·白银中考)若正多边形的内角和是1 080°，则该正多边形的边数是________． 10．(2018·上海中考)如图，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是________．类型五 函数思想(2017·杭州中考)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x ，y.①求y关于x的函数解析式；②当y≥3时，求x的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【分析】(1)①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；(2)直接利用x＋y的值结合根的判别式得出答案．【自主解答】在解答此类问题时，建立函数模型→求出函数解析式→结合函数解析式与函数的性质作出解答．要注意从几何和代数两个角度思考问题．11．(2018·桂林中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线y的函数解析式及点C的坐标；(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案类型一【例1】 (1)如图1，连接AF.由四边形ABCD是矩形，结合旋转可得BD＝AF，∠EAF＝∠ABD.∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠AEB，∴∠EAF＝∠AEB，∴BD∥AF，∴四边形BDFA 是平行四边形，∴FD＝AB.∵AB＝CD ，∴FD＝CD.(2)如图2，当点G 位于BC 的垂直平分线上，且在BC 的右边时，连接DG ，CG ，BG ，易知点G 也是AD 的垂直平分线上的点，∴DG＝AG.又∵AG＝AD ，∴△ADG 是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴α＝60°.如图3，当点G 位于BC 的垂直平分线上，且在BC 的左边时，连接CG ，B G ，DG ，同理，△ADG 是等边三角形，∴∠DAG＝60°，此时α＝300°.综上所述，当α为60°或300°时，GC ＝GB.变式训练1．C2．解：(1)设p 与x 之间的函数关系式为p ＝kx ＋b ，代入(1，7.5)，(3，8.5)得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝7.5，3k ＋b ＝8.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.5，b ＝7， 即p 与x 的函数关系式为p ＝0.5x ＋7(1≤x≤15，x 为整数)．当1≤x＜10时，W ＝[20－(0.5x ＋7)](2x ＋20)＝－x 2＋16x ＋260.当10≤x≤15时，W ＝[20－(0.5x ＋7)]×40＝－20x ＋520，即W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋16x ＋260（1≤x<10，x 为整数），－20x ＋520（10≤x≤15，x 为整数）. (2)当1≤x＜10时，W ＝－x 2＋16x ＋260＝－(x －8)2＋324，∴当x ＝8时，W 取得最大值，此时W ＝324.当10≤x≤15时，W ＝－20x ＋520，∴当x ＝10时，W 取得最大值，此时W ＝320.∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元．(3)当1≤x＜10时，令－x 2＋16x ＋260＝299，得x 1＝3，x 2＝13，当W ＞299时，3＜x ＜13.∵1≤x＜10，∴3＜x ＜10.当10≤x≤15时，令W ＝－20x ＋520＞299，得x ＜11.05，∴10≤x≤11.由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为20×(11－3)＝160(元)． 答：李师傅共可获得160元奖金．类型二【例2】(1)由图形可得学校到景点的路程为40 km ，大客车途中停留了5min ，小轿车的速度为4060－20＝1(km/min)， a ＝(35－20)×1＝15.故答案为40，5，15.(2)由(1)得a ＝15，∴大客车的速度为1530＝12(km/min)． 小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(60－35)×107×12＝1257(km)，40－1257－15＝507(km)． 答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有507km. (3)设直线CD 的解析式为s ＝kt ＋b ，将(20，0)和(60，40)代入得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝0，60k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－20， ∴直线CD 的解析式为s ＝t －20.当s ＝46时，46＝t －20，解得t ＝66.小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为40－1512×107＝35(min)， 小轿车司机折返时的速度为6÷(35＋35－66)＝32(km/min)＝90 km/h ＞80km/h. 答：小轿车折返时已经超速．(4)大客车的时间：4012＝80(min)，80－70＝10(min)． 故答案为10.变式训练3．B 4.A5．解：(1)设该一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，将(150，45)，(0，60)代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧150k ＋b ＝45，b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－110，b ＝60，∴该一次函数解析式为y ＝－110x ＋60. (2)当y ＝－110x ＋60＝8时，解得x ＝520， 即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．530－520＝10(千米)，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．答：在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米． 类型三【例3】 (1)∵Rt△ABC 中，tan A ＝BC AB， ∴AB＝BC tan A ＝BC tan 20°≈20411＝55(cm)． (2)如图，延长FE 交DG 于点I ，则四边形GHFI 为矩形，∴IG＝FH ，∴DI＝DG －FH ＝100－72＝28(cm)．在Rt△DEI 中，sin∠DEI＝DI DE ＝2830＝1415，∴∠DEI≈69°，∴β＝180°－69°＝111°≠100°，∴此时β不符合科学要求的100°.变式训练6．A 7.88．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640，∴CD＝320，AD＝3203，∴BD＝CD＝320，BC＝3202，∴AC＋BC＝640＋3202≈1 088，∴AB＝AD＋BD＝3203＋320≈864，∴1 088－864＝224(公里)．答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约224公里．类型四【例4】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°.∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP＝90°，∴∠PBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠PBD.(2)∵∠A＝∠DCB，∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴DEBE＝AECE，即DE·CE＝AE·BE.如图，连接OC.设圆的半径为r ，则OA ＝OB ＝OC ＝r ，则DE·CE＝AE·BE＝(OA －OE)(OB ＋OE)＝r 2－OE 2.∵AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴CE 2＝OE 2＋OC 2＝OE 2＋r 2，BC 2＝BO 2＋CO 2＝2r 2，则BC 2－CE 2＝2r 2－(OE 2＋r 2)＝r 2－OE 2，∴BC 2－CE 2＝DE·CE.(3)∵OA ＝4，∴OB＝OC ＝OA ＝4，∴BC＝OB 2＋OC 2＝4 2.又∵E 是半径OA 的中点，∴AE＝OE ＝2，则CE ＝OC 2＋OE 2＝42＋22＝2 5.∵BC 2－CE 2＝DE·CE，∴(42)2－(25)2＝DE·25，解得DE ＝655.变式训练 9．8 10.127类型五【例5】 (1)①由题意可得xy ＝3，则y ＝3x .②当y≥3时，3x ≥3，解得x≤1，∴x 的取值范围是0＜x≤1.(2)∵一个矩形的周长为6，∴x＋y ＝3，∴x＋3x＝3，整理得x 2－3x ＋3＝0. ∵b 2－4ac ＝9－12＝－3＜0，∴矩形的周长不可能是6，∴圆圆的说法不对．∵一个矩形的周长为10，∴x＋y ＝5，∴x＋3x＝5，整理得x 2－5x ＋3＝0. ∵b 2－4ac ＝25－12＝13＞0，∴矩形的周长可能是10，∴方方的说法对．变式训练11．解：(1)将点A ，B 的坐标代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋6＝0，a ＋b ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4， ∴抛物线的函数解析式为y ＝－2x 2－4x ＋6，当x ＝0时，y ＝6，∴点C 的坐标为(0，6)．(2)由MA ＝MB ＝MC 得M 点在AB 的垂直平分线上，M 点在AC 的垂直平分线上． 设M(－1，y)，由MA ＝MC 得(－1＋3)2＋y 2＝(y －6)2＋(－1－0)2，解得y ＝114， ∴点M 的坐标为(－1，114)． (3)①如图，过点A 作DA⊥AC 交y 轴于点F ，交CB 的延长线于点D. ∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∠DAO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠AFO＝90°， ∴∠DAO＝∠ACO，∠C AO ＝∠AFO，∴△AOF∽△COA，∴AO OF ＝CO AO， ∴AO 2＝OC·OF.∵OA＝3，OC ＝6，∴OF＝326＝32，∴F(0，－32)． ∵A(－3，0)，F(0，－32)， ∴直线AF 的解析式为y ＝－12x －32.∵B(1，0)，C(0，6)，∴直线BC的解析式为y＝－6x＋6，联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝－12x－32，y＝－6x＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1511，y＝－2411，∴D(1511，－2411)，∴AD＝24115，AC＝35，∴tan∠ACB＝2451135＝811.∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB，∴tan∠ABE＝2.如图，过点A作AM⊥x轴，连接BM交抛物线于点E. ∵AB＝4，tan∠ABE＝2，∴AM＝8，∴M(－3，8)．∵B(1，0)，M(－3，8)，∴直线BM的解析式为y＝－2x＋2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝－2x 2－4x ＋6，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，(舍去)∴E(－2，6)．②当点E 在x 轴下方时，如图，过点E 作EG⊥AB，连接BE. 设点E(m ，－2m 2－4m ＋6)，∴tan∠ABE＝GE BG ＝2m 2＋4m－6－m ＋1＝2，∴m＝－4或m ＝1(舍去)，可得E(－4，－10)．综上所述，E 点坐标为(－2，6)或(－4，－10)．。

第二轮中考题型专题复习专题复习(一)数学思想方法类型1整体思想前言：“一学就会，一考就废？”，正是因为考试后缺少了这个环节从小学到初中，学生们经历了无数次考试。

通过考试可以检测同学们对知识的理解、掌握情况，提高应试能力。

但对待考试，部分同学只关注自己的分数，而对试卷的分析和总结缺乏重视。

结果常常出现一些题在考试中屡次出现，但却一错再错的情况。

这样，学生们无法从考试中获益，考试也就失去了它的重要意义。

做好试卷分析和总结是十分有必要的。

那么，怎样做好试卷分析呢？我认为，应从下面两点做起：一．失分的原因主要有如下四方面：（1）考试心理：心理紧张，马虎大意；（2）知识结构：知识面窄，基础不扎实；（3）自身能力：审题不清，读不懂题意；（4）解题基本功：答题规范性差。

只有查出、找准原因，才能对症下药，从弱项方面加强训练，以提高成绩。

二．“扭转乾坤”的方法做题的过程中对每一道题要试图问如下几个问题？（1）怎样做出来的？——想解题方法；（2）为什么这样做？——思考解题原理；（3）怎样想到这种方法？——想解题的基本思路；（4）题目体现什么样的思想？——揭示本质，挖掘规律；（5）是否可将题目变化？——一题多变，拓宽思路；（6）题目是否有创新解法？——创新、求异思维。

转变，让我们从一轮复习开始。

按照上面两点认真完成后面练习题。

希望每一位同学经过一轮复习后，能够扭转“一考就废”的局面，最后决胜中考。

整体思想是一种解题思想，它主要渗透在解题步骤当中．常见的有：1．求代数式的值时，不是求出代数式中每个字母的值，而是求代数式中整体某一个部分的值．2．求零散图形的面积时，利用它们的结构特点或全等变换进行整体求出．1．(2019·泰州)若2a －3b ＝－1，则代数式4a 2－6ab ＋3b 的值为(B)A ．－1B ．1C ．2D ．32．若3x 2－5x ＋1＝0，则5x(3x －2)－(3x ＋1)(3x －1)＝(A)A ．－1B ．0C ．1D ．－23．(2019·北京)如果m ＋n ＝1，那么代数式(2m ＋n m 2－mn＋1m )·(m 2－n 2)的值为(D) A ．－ 3 B ．－1 C ．1 D ．34．(2018·南充)已知1x －1y ＝3，则代数式2x ＋3xy －2y x －xy －y的值是(D) A ．－72 B ．－112 C.92 D.345．如图，分别以n 边形的顶点为圆心，2为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为(D)A ．ΠB ．2πC ．3πD ．4π6．(2018·玉林)已知ab ＝a ＋b ＋1，则(a －1)(b －1)＝2．7．如图，点E 是矩形ABCD 内任一点．若AB ＝30，BC ＝40，则图中阴影部分的面积为600．8．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －my ＝5，2x ＋ny ＝6的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，则关于a ，b 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3（a ＋b ）－m （a －b ）＝5，2（a ＋b ）＋n （a －b ）＝6的解是⎩⎨⎧a ＝32b ＝－12．9．(2018·内江)已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝0的两根之和为1．类型2 分类讨论思想分类讨论思想常见的几种类型：1．等腰三角形：如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时，要考虑所给的边是腰还是底边，所给的角是顶角还是底角进行分类解决．2．直角三角形：在直角三角形中未明确哪个角为直角时，要注意分情况进行讨论(分类讨论)，然后利用勾股定理或解直角三角形即可求解．3．相似三角形：若题目中出现两个三角形相似，则需要讨论各边的对应关系；若出现位似，则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论．4．圆：圆的一条弦(直径除外)对两条弧，常分优弧和劣弧两种情况讨论；求圆中两条平行弦的距离，常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论．10．(2018·安顺)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(A) A．12 B．9 C．13 D．12或911．(2018·安顺)若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝－1或7．12．(2019·本溪)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(4，2)，B(5，0)，以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为(2，1)或(－2，－1)．13．已知在半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝22，则∠COD的度数为30°或150°．14．(2019·通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为15．(2019·徐州)函数y＝x＋1的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有4个．16．在一个等腰三角形中，若腰上的高与底角的平分线的比值为32，则这个等腰三角形的顶角的度数为20°或100°．17．(2019·绥化)半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB，OC，延长CO交弦AB于点D.若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为18．(2018·河南)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为类型3化归思想化归思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，将“未知”转化为“已知”，将“陌生”转化为“熟悉”，将“复杂”转化为“简单”的解题方法．化归思想常见的六种类型：1．在解方程和方程组中的应用：通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程；通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程；通过去分母把分式方程转化为整式方程．2．多边形化为三角形：解决平行四边形、正多边形的问题通过添加辅助线转化为全等三角形、等腰三角形、直角三角形去解决．3．立体图形转化为平面图形：立体图形的展开与折叠、立体图形的三视图体现了立体图形与平面图形之间的相互转化．4．一般三角形转化为直角三角形：通过作已知三角形的高，将问题转化为直角三角形问题．5．化不规则图形为规则图形：根据图形的特点进行平移、旋转、割补等方法将不规则图形的面积转化为规则图形(如三角形、矩形、扇形等)面积的和或差进行求解．6．转化和化归在圆中的应用：圆中圆心角与圆周角、等弧与等弦、等弧与等弧所对的圆周角都是可以相互转化的．19．(2019·娄底)如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝1x和y＝－1x，则阴影部分的面积是(C)A．4π B．3πC．2π D．π20．(2018·东营)如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是(C)A ．31＋πB ．3 2 C.34＋π22D ．31＋π221．在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b(a ＞b)的正方形纸片按图1、图2两种方式放置(图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2.当AD －AB ＝2时，S 2－S 1的值为(B)图1 图2A ．2aB ．2bC ．2a －2bD ．－2b 22．已知x 为实数，且3x 2＋x －(x 2＋x)＝2，则x 2＋x 的值为1． 23．如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，CD ⊥OA ，CD 与AB ︵交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作CE ︵交OB 于点E.若OA ＝4，∠AOB ＝120°3(结果保留π)24．(2018·无锡)如图，已知∠XOY ＝60°，点A 在边OX 上，OA ＝2.过点A 作AC ⊥OY 于点C ，以AC 为一边在∠XOY 内作等边△ABC ，点P 是△ABC 围成的区域(包括各边)内的一点，过点P 作PD ∥OY 交OX 于点D ，作PE ∥OX 交OY 于点E.设OD ＝a ，OE ＝b ，则a ＋2b 的取值范围是2≤a ＋2b ≤5．类型4 数形结合思想数形结合思想常见的四种类型：1．实数与数轴：实数与数轴上的点具有一一对应关系，因此借助数轴观察数的特点，直观明了．2．在解方程(组)或不等式(组)中的应用：利用函数图象解决方程问题时，常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决；利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题更直观、形象，易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解．3．在函数中的应用：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法，函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法．4．在几何中的应用：对于几何问题，我们常通过图形找出边、角的数量关系，通过边、角的数量关系，得出图形的性质等．25．数轴上有O ，A ，B ，C 四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点D ，D 点所表示的数为d ，且|d －5|＝|d －c|，则关于D 点的位置，下列叙述正确的是(D)A ．在A 的左边B ．介于A ，C 之间C ．介于C ，O 之间D ．介于O ，B 之间26．(2019·娄底)如图，直线y ＝x ＋b 和y ＝kx ＋2与x 轴分别交于点A(－2，0)，点B(3，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b>0，kx ＋2>0的解集为(D)A ．x ＜－2B ．x ＞3C ．x ＜－2或x ＞3D ．－2＜x ＜327．(2019·梧州)已知m ＞0，关于x 的一元二次方程(x ＋1)(x －2)－m ＝0的解为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下列结论正确的是(A)A ．x 1＜－1＜2＜x 2B ．－1＜x 1＜2＜x 2C ．－1＜x 1＜x 2＜2D ．x 1＜－1＜x 2＜228．(2018·河南)如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →D →B 以1 cm/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FBC 的面积y(cm 2)随时间x(s)变化的关系图象，则a 的值为(C)图1 图2 A. 5 B ．2C.52 D ．2 5 29．(2019·贵阳)在平面直角坐标系内，已知点A(－1，0)，点B(1，1)都在直线y ＝12x ＋12上．若抛物线y ＝ax 2－x ＋1(a ≠0)与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是(C)A ．a ≤－2B ．a ＜98C ．1≤a ＜98或a ≤－2D ．－2≤a ＜92类型5 方程、函数思想方程与函数思想是一种重要的数学思想：(1)在某些图形的折叠问题中，求线段长时，通常利用勾股定理建立方程模型来解决问题；(2)在运动中求最大值或最小值时，通常可以考虑将问题转化为函数的最值讨论问题，利用二次函数的顶点坐标或函数取值范围解决．30．如图，正方形ABCD 的边长为3，将正方形折叠，使点A 落在边CD 上的点A′处，点B 落在点B′处，折痕为EF.若A′C ＝2，则DF 的长是(B)A ．1 B.43C.53D ．231．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1 cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2 cm/s 的速度运动(点Q 运动到点B 停止)，在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为(C)A ．19 cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 232．在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门(AD 和BC)，门边缘D ，C 两点到门槛的距离是1尺，两扇门的间隙CD 为2寸，则门宽AB 是101寸．(1尺＝10寸)。

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝12•PB•QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，12•（6﹣t）•t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．2．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x13x2=13【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 1=1+3，x 2=1﹣3．3．将m 看作已知量，分别写出当0<x<m 和x>m 时，与之间的函数关系式；4．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根， （1）解方程求两条线段的长。

（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。

（3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴cm ；∴经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是；（2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ．（16-2x-3x ）2+62=102，即（16-5x ）2=64，∴16-5x=±8，∴x 1=85，x 2=245； ∴经过85s 或245sP 、Q 两点之间的距离是10cm ； （3）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y ， ∴12PB•BC=12，即12×（16-3y ）×6=12， 解得y=4；②当163＜x≤223时， BP=3y-AB=3y-16，QC=2y ，则12BP•CQ=12（3y-16）×2y=12， 解得y 1=6，y 2=-23（舍去）； ③223＜x≤8时， QP=CQ-PQ=22-y ，则12QP•CB=12（22-y ）×6=12， 解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．考点：一元二次方程的应用．2．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0．【答案】(1)12x x ==1222y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0 ∴． ∴12313313,22x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或， ∴12223,223y y =-+=--3．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 13x 2=13【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 13，x 2=134．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（）【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-，5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x （元）之间的关系式为y ＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x ﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w 元，根据题意得：w ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值． 【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m =【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥- ∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =- 92m ≥- 3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.7．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解．【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】【分析】 (1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论．【详解】 (1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数，∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．8．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．(1)求n 的取值范围；(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯-->解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，∴1n =，则方程为220x x -=，即(2)0x x -=，解得120,2x x ==．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.9．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.10．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，若点P 从点A 沿AB 边向B 点以1 cm/s 的速度移动，点Q 从B 点沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，两点同时出发．(1)问几秒后，△PBQ 的面积为8cm²？(2)出发几秒后，线段PQ 的长为cm ?(3)△PBQ 的面积能否为10 cm 2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．【答案】(1) 2或4秒2 cm；(3)见解析.【解析】【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=12BP×BQ，列出表达式，解答出即可；（2）设经过x秒后线段PQ的长为2cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解；（3）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断．【详解】(1)设P，Q经过t秒时，△PBQ的面积为8 cm2，则PB＝6－t，BQ＝2t，∵∠B＝90°，∴12(6－t)× 2t＝8，解得t1＝2，t2＝4，∴当P，Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8 cm2；(2)设x秒后，PQ＝2 cm，由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，解得x1＝25，x2＝2，故经过25秒或2秒后，线段PQ的长为2 cm；(3)设经过y秒，△PBQ的面积等于10 cm2，S△PBQ＝12×(6－y)× 2y＝10，即y2－6y＋10＝0，∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，∴△PBQ的面积不会等于10 cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.。

数学思想创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日数学思想是连接根底知识与解题才能的桥梁，是解题规律的总结，是到达以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路.中考常用的数学思想有：整体思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，要注意领会例题中所表达的数学思想，培养用数学思想解题的意识．数形结合思想例〔2021·〕图1是二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕图象的一局部，对称轴是直线x=-2．关于以下结论：①ab ＜0；②b 2-4ac ＞0；③9a-3b+c ＜0；④b-4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=-4，其中正确的结论有〔 〕A ．①③④B ．②④⑤C ．①②⑤D ．②③⑤ 解析：由图象，可得抛物线开口向下，a ＜0，对称轴为x=-2ba=-2，b=4a ＜0，所以ab ＞0，①错误，④正确；抛物线与x 轴有两个交点，交于-4，0两点，所以b 2-4ac ＞0，②⑤正确； 当x=-3时，y ＞0，即9a-3b+c ＞0，所以③错误. 故正确的有②④⑤，选B ． 跟踪训练：1.〔2021·〕有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图2所示，以下各式正确的选项是〔 〕A ．a+b ＜0B ．a-b ＜0C ．a •b ＞0D ．ab＞0 2.〔2021·〕图3是轰炸机机群的一个飞行队形，假如最后两架轰炸机的平面坐标分别图1图2为A〔-2，1〕和B〔-2，-3〕，那么第一架轰炸机C的平面坐标是____.3.〔2021·黔西南州〕如图，点A是反比例函数y=kx图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，矩形ABOC的面积为4，那么k=___.整体思想例1 〔2021·〕a+b=3,a-b=5，那么代数式a2-b2的值是 .分析：将a2-b2分解因式，视a+b与a-b为一个整体，代入计算即可．解： a2-b2=(a+b)(a-b)=3×5=15.例2〔2021·〕如图1，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，那么∠P的度数是〔〕A．60° B．65° C．55° D．50°解析：根据五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，可得∠EDC +∠BCD=540°-300°=240°，再根据角平分线的定义可得∠PDC+∠PCD=12〔∠EDC +∠BCD〕=120°，所以∠P=180°-120°=60°．应选A．跟踪训练：1.〔2021·黔东南州〕设x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两根，那么x12+x22=〔〕A．6 B．8 C．10 D．12 图1图3图42.〔2021·〕抛物线y=ax 2+bx+2经过点〔-2，3〕，那么3b-6a=____.3.〔2021·〕如图2，在△ABC 中，AC=4 cm ，线段AB 的垂直平分线交AC 于点N ，△BCN 的周长是7 cm ，那么BC 的长为〔 〕 A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cm D ．4 cm4.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学惯用品，假设购置铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支一共需3.15元；假设购置铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支一共需4.2元，那么购置铅笔、练习本、圆珠笔各1件一共需〔 〕5.〔2021·〕先化简，再求值：〔222a a a +-+2144a a a --+〕÷4a a-，其中a 满足a 2-4a-1=0. 方程思想例1〔2021·〕为响应国家的“节能减排〞政策，某厂家开发了一种新型的电动车.如图1，它的大灯A 射出的光线AB ，AC 与地面MN 的夹角分别为22°和31°，AT ⊥MN ，垂足为T ，大灯照亮地面的宽度BC 的长为56m ． 〔1〕求BT 的长〔不考虑其他因素〕；〔2〕一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反响时间是是0.2s ，从发现危险到电动车完全停下所行驶的间隔 叫做最小平安间隔 .某人以20km/h 的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停顿的刹车间隔 是149m ，请判断该车大灯的设计是否能满足最小平安间隔 的要求〔大灯与前轮前端间程度间隔 忽略不计〕，并说明理由． 〔参考数据：sin22°≈38，tan22°≈25，sin31°≈1325，tan31°≈35〕图2图1分析：〔1〕在Rt△ACT中，根据正切的定义，设AT=3x，CT=5x，在Rt△ABT中利用三角函数表示出BT，即可列方程求解；〔2〕求出正常人作出反响过程中电动车行驶的路程，加上刹车间隔，然后与BT的长进展比拟即可．解：〔1〕由图知∠ACT=31°，∠ABT=22°.在Rt△ACT中，∠ACT=31°，tan31°=ATCT≈35，所以设AT=3x，CT=5x.在Rt△ABT中，∠ABT=22°，tan22°=ATBT＝ATBC CT+≈25，即3556xx+＝25，解得x＝13.所以CT＝5×13＝53，BT＝BC+CT＝56+53＝52m.〔2〕20km/h＝509m/s，509×0.2＝109m，109+149＝83＞52，所以该车大灯的设计不能满足最小平安间隔的要求．例2〔2021•〕如图2，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，那么∠CDE的正切值为___.解析：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°.根据旋转的性质，可得AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6.∴△ADE为等边三角形.∴DE=AD=5.图2如图3，过点E 作EH ⊥CD 于H ，设DH=x ，那么CH=4-x. 在Rt △DHE 中，EH 2=52-x 2，在Rt △CHE 中，EH 2=62-〔4-x 〕2. ∴52-x 2=62-〔4-x 〕2，解得x=58.∴EH=2255-8⎛⎫⎪⎝⎭=1578.在Rt △DHE 中，tan ∠HDE=EHDH=37. 跟踪训练：1.〔2021·〕假如单项式-xy b+1与12x a-2y 3是同类项，那么〔a-b 〕2021=___. 2.〔2021·〕一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，那么这个多边形对角线的条数是〔 〕A ．27B ．35C ．44D ．543.如图4，矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转后得到矩形A ′BC ′D ′.假设边A ′B 交线段CD 于H ，且BH=DH ，那么DH 的值是〔 〕 D ．6 2A ．74 B ．8−2 3 C ．2544.〔2021·〕如图5，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上.假设BC=3，AD=2，EF=23EH ，那么EH 的长为____. 转化思想例1〔2021•〕如图1，透明的圆柱形容器〔容器厚度忽略不计〕的高为12 cm ，底面周长为10 cm ，在容器内壁离容器底部3 cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm 的点A 处，那么蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短途径是〔 〕图4图5A ．13 cmB ．261cmC ．61 cmD ．234 cm分析：将容器侧面展开，作点A 关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短，可知A ′B 的长度即为所求．解：将容器侧面展开，作点A 关于EF 的对称点A ′，连接A ′B ，那么A ′B 即为最短间隔 .A ′B=22A D BD '+=22512+=13〔cm 〕．应选A ．例2〔2021•〕如图3，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC=2∠D ，连接OA ，OB ，OC ，AC ，OB 与AC 相交于点E ． 〔1〕求∠OCA 的度数；〔2〕假设∠COB=3∠AOB ，OC=23，求图中阴影局部面积〔结果保存π和根号〕. 分析：〔1〕由内接四边形的性质得∠ABC+∠D=180°，结合∠ABC=2∠D ，可得∠D=60°，∠AOC=2∠D=120°，于是∠OCA 的度数易得；〔2〕首先根据∠COB=3∠AOB 可得∠AOB=30°，从而∠COB 为直角，然后利用S 阴影=S 扇形OBC -S △OEC 求解． 解：〔1〕∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABC+∠D=180°.图1图2图3∵∠ABC=2∠D，∴∠D+2∠D=180°，解得∠D=60°.∴∠AOC=2∠D=120°.∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°.〔2〕∵∠COB=3∠AOB，∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，解得∠AOB=30°.∴∠COB=∠AOC-∠AOB=90°.在Rt△OCE中，OC=2 3，OE=OC•tan∠OCE=23•tan30°=2.∴S△OEC=12OE•OC=12×2×23=23，S扇形OBC=290(23)360π⨯=3π.∴S阴影=S扇形OBC-S△OEC=3π-2 3．评注：在求不规那么的阴影局部的面积时常转化为几个规那么几何图形的面积和或者差.跟踪训练：1.〔2021•〕如图4，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，那么阴影局部的面积是____〔结果保存π〕．2.〔2021•〕图5，图6为同一长方体房间的示意图，图7为该长方体的外表展开图.〔1〕蜘蛛在顶点A′处.①苍蝇在顶点B处时，试在图5中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近道路；②苍蝇在顶点C处时，图HY画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条道路，往天花板ABCD爬行的最近道路A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近道路A′HC，试通过计算判断哪条道路更近.〔2〕在图7中，半径为10 dm的⊙M与D′C相切，圆心M到边C′C的间隔为15 dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙⊙M相切，试求PQ的长度的范围.图4函数思想例1〔2021•黔南州〕为理解交通拥堵情况，经统计分析，彩虹桥上的车流速度v〔千米/时〕是车流密度x〔辆/千米〕的函数，当桥上的车流密度到达220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/时．研究说明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．〔1〕求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；〔2〕在交通顶峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/时且小于60千米/时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？〔3〕当车流量〔辆/时〕是单位时间是内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值.解析：〔1〕设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b.由题意，得20802200k bk b+=⎧⎨+=⎩，，解得2588.kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以当20≤x≤220时，v=-25x+88.当x=100时，v=- 25×100+88=48〔千米/时〕.〔2〕由题意，得288405288605xx⎧-+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＞，＜，解得70＜x＜120.所以应控制彩虹桥上的车流密度在70＜x＜120范围内.〔3〕当20≤x≤220时，y=vx=〔-25x+88〕x=-25〔x-110〕2+4840.所以当x=110时，y最大，为4840.所以当车流密度是110辆/千米，车流量y获得最大值，为每小时4840辆．例2〔2021·〕某乒乓球馆使用发球机进展辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动道路固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的程度间隔为x〔米〕，与桌面的高度为y〔米〕，运行时间是为t〔秒〕，经屡次测试后，得到如下局部数据：t〔秒〕0 …x〔米〕0 1 2 …y〔米〕…〔1〕当t为何值时，乒乓球到达最大高度？〔2〕乒乓球落在桌面时，与端点A的程度间隔是多少？〔3〕乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a〔x-3)2+k.①用含a的代数式表示k；②如图1，球网高度为米，球桌长〔×2〕米，假设球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值.分析：〔1〕由表格中数据可直接得出.〔2〕判断出y是x的二次函数，设顶点式，求出y关于x的解析式，y=0时的x值即为所求.〔3〕①由〔2〕可得乒乓球落在桌面时的坐标，代入y=a(x-3)2+k即可得结果.图1②由题意，易得扣杀道路在直线y=101x 上，将y=101x 代入y=a(x-3)2+k ，得20ax 2-(120a+2)x+175a=0，由于球弹起后，恰好有唯一的击球点，所以方程根的判别式等于0，求出此时的a ，符合题意的即为所求.解：如图2，以点A 为原点，桌面中线为x 轴，乒乓球程度运动方向为正方向，建立平面直角坐标系.〔1〕由表格中数据，可得当秒时，乒乓球到达最大高度.〔2〕由表格中数据，可判断y 是x 的二次函数，且顶点为〔1，〕，所以可设y=a(x-1)2+0.45. 将〔0，〕代入，得0.25=a(0-1)2，a=-0.2. 所以二次函数的解析式为y=-0.2(x-1)2+0.45. 当y=0时，-0.2(x-1)2+0.45=0，解得x 1，x 2〔舍去〕. 所以乒乓球落在桌面时，与端点A 的程度间隔 是米. 〔3〕①由〔2〕得乒乓球落在桌面时的坐标为〔，0〕.将〔，0〕代入y=a(x-3)2+k ，得0=a(2.5-3)2+k ，化简，得k=-41a. ②由题意，可知扣杀道路在直线y=101x 上，由①得y=a(x-3)2-41a. 令a(x-3)2-41a=101x ，整理，得20ax 2-(120a+2)+175a=0.当∆=(120a+2)2-4×20a ×175a=0时，符合题意，解得12635635,1010a a -+--==. 当63510a -+=时，求得352x =-，不合题意，舍去； 当63510a --=时，求得352x =，符合题意.所以当63510a --=时，可以将球沿直线扣杀到点A.跟踪训练：1.〔2021·〕小刚以400米/分的速度匀速骑车5分钟，在原地休息了6分钟，然后以500米/分的速度骑回出发地.以下函数图象能表达这一过程的是〔 〕图2ABCD2.〔2021·〕如图3，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有局部水，如今匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y 〔cm 〕和注水时间是x 〔s 〕之间的关系满足图4中的图象，那么至少需要____ s 能把小水杯注满.3.〔2021·〕某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y 〔微克/毫升〕与服药时间是x 〔小时〕之间的函数关系如图56所示〔当4≤x ≤10时，y 与x 成反比例〕．〔1〕根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式； 〔2〕问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间是为多少小时？5.〔2021·〕小明到服装店进展社会理论活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元，乙种每件进价60元，售价90元．方案购进两种服装一共100件，其中甲种服装不少于65件．〔1〕假设购进这100件服装的费用不得超过7500元，那么甲种服装最多购进多少件？图 5图3图4O〔2〕在〔1〕的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a 〔0＜a ＜20〕元的价格进展促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？分类讨论思想例1〔2021·〕如图1，二次函数y=ax 2+bx-3a 经过点A 〔-1，0〕，C 〔0，3〕，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ． 〔1〕求此二次函数的解析式；〔2〕连接DC ，BC ，DB ，求证：△BCD 是直角三角形；〔3〕在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？假设存在，求出符合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明理由.分析：〔1〕将A 〔-1，0〕，C 〔0，3〕代入二次函数y=ax 2+bx-3a ，即可确定二次函数的解析式；〔2〕分别求得线段BC ，CD ，BD 的长，利用勾股定理的逆定理进展断定即可；〔3〕分以CD 为底和以CD 为腰两种情况讨论，运用两点间间隔 公式建立起点P 横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．解：〔1〕将点A 〔-1，0〕，C 〔0，3〕代入二次函数y=ax 2+bx-3a ，得3033a b a a --=⎧⎨-=⎩，，解得12.a b =-⎧⎨=⎩，所以二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3．〔2〕由二次函数解析式y=-x 2+2x+3，可得点D 坐标为〔1，4〕，点B 坐标为〔3，0〕，所以CD=22(10)(43)-+-=2，BC=2233+=32，BD=22(31)(40)-+-=25. 因为CD 2+BC 2=〔2〕2+〔32〕2=20，BD 2=〔25〕2=20，所以CD 2+BC 2=BD 2，△BCD 是直角三角形.〔3〕存在，如图2.①假设以CD 为底边，那么P 1D=P 1C.图1设点P1的坐标为〔x，y〕，易得P1C2=x2+〔3-y〕2，P1D2=〔x-1〕2+〔4-y〕2，因此x2+〔3-y〕2=〔x-1〕2+〔4-y〕2，即y=4-x．又点P1在抛物线上，所以4-x=-x2+2x+3，即x2-3x+1=0，解得x1=352+，x2=352-＜1〔舍去〕.所以x=352+，y=4-x=552-，即点P1的坐标为〔352+，552-〕．②假设以CD为一腰.点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性，知点P与点C关于直线x=1对称，此时点P2的坐标为〔2，3〕．所以符合条件的点P的坐标为〔352+，552-〕或者〔2，3〕．例2〔2021•〕如图3，在平面直角坐标系xOy中，直线y=3x﹣23与x轴，y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1．(1〕判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；(2〕当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；(3〕当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．分析：〔1〕由直线y=3x﹣23易得点A，B的坐标，从而得∠OBA=30°，然后过点O作OH⊥AB于点H，利用三角函数可求得OH的长，继而可得结论；(2〕当⊙P过点B，点P在y轴右侧时，易得⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为120°，那么可求得弧长；同理可求得当⊙P过点B，点P在y轴左侧时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长；(3〕首先求得当⊙P与x轴相切，且位于x轴下方时，点D的坐标，然后利用对称性可得当⊙P与x轴相切，且位于x轴上方时，点D的坐标．解：〔1〕原点O在⊙P外．图3理由：由，易得A 〔2，0〕，B 〔0，﹣23〕. 在Rt △OAB 中，tan ∠OBA=23323OA OB ==，所以∠OBA=30°. 如图4，过点O 作OH ⊥AB 于点H. 在Rt △OBH 中，OH=OB •sin ∠OBA=3.3＞1，所以原点O 在⊙P 外.(2〕如图5，当⊙P 过点B ，点P 在y 轴右侧时，设⊙P 与y 轴的另一交点为C. 因为PB=PC ，所以∠PCB=∠OBA=30°.所以⊙P 被y 轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°﹣30°﹣30°=120°，弧长为=；同理：当⊙P 过点B ，点P 在y 轴左侧时，弧长同样为. 所以当⊙P 过点B 时，⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长为.(3〕如图6，当⊙P 与x 轴相切，且位于x 轴下方时，设切点为D ， 因为PD ⊥x 轴，所以PD ∥y 轴，∠APD=∠ABO=30°. 在Rt △DAP 中，AD=DP •tan ∠DPA=1×tan30°=，OD=OA ﹣AD=2﹣.所以此时点D 的坐标为〔2﹣，0〕；当⊙P 与x 轴相切时，且位于x 轴上方时，根据对称性，可得此时切点的坐标为〔2+，0〕.综上可得，当⊙P 与x 轴相切时，切点的坐标为〔2﹣，0〕或者〔2+，0〕．跟踪训练：1.〔2021•〕一个等腰三角形的两边长分别是2和4，那么该等腰三角形的周长为〔〕A．8或者10 B．8 C．10 D．6或者122.〔2021•〕在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，那么∠A的度数为___.3.〔2021•〕△ABC为⊙O的内接三角形，假设∠AOC=160°，那么∠ABC的度数是〔〕A．80° B．160° C．100° D．80°或者100°4.〔2021•〕如图7，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，那么当△PAB为直角三角形时，AP的长为____.图75.〔2021•凉山州〕在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于点O，那么S△MOD∶S△COB=____.x2+bx+c过点A〔0，4〕〔2021·黔南州〕如图8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-16和C〔8，0〕，P〔t，0〕是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D.〔1〕求b，c的值；〔2〕当t为何值时，点D落在抛物线上？〔3〕是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？假设存在，求此时t的值；假设不存在，请说明理由.图8参考答案数形结合思想 1.B 2.〔2，-1〕 3.-4 整体思想提示：由题可得x1+x2=2，x1x2=-3，所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=22-2×〔-3〕=10.324.B提示：设购置一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x ，y ，z 元. 由，可得37 3.15,482 4.2.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩②-①，得x+y+z=1.05. 5.解：原式=2(2)(2)(1)(2)4a a a a a a a a +-+-•--=21(2)a -. 因为a 2-4a-1=0，所以(a-2)2=5，故原式=15. 方程思想 1.12.C3.C4.32转化思想3π函数思想 1.C2.53.〔1〕血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x〔0≤x＜4〕，下降阶段的函数关系式为y=32x〔4≤x≤10〕．〔2〕6小时5.〔1〕75件；〔2〕当0＜a＜10时，购进甲种服装75件，乙种服装25件；②当a=10时，按哪种方案进货都可以；③当10＜a＜20时，购进甲种服装65件，乙种服装35件.分类讨论思想1.C °或者35°或者2 5.4∶9或者1∶9历恰面日期：2020年1月1日。

第九讲数学思想方法【专题知识结构】【专题解题分析】数学思想方法在中考中的常考点有分类讨论思想方法，数形结合思想方法，方程函数建模思想，化归思想方法以及代入法、消元法、待定系数法等；代数与几何的综合题所涉及的思想方法很多，以数形结合思想为主线，综合考查其他思想方法的灵活运用，难度较大，一般为中考中的压轴题.【典型例题解析】例题1:（2017江西）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为﹣3 ．【考点】11：正数和负数．【分析】根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：图②中表示（+2）+（﹣5）=﹣3，故答案为：﹣3．例题2:（2017江西）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【考点】LN：中点四边形．【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．【解答】解：A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH 为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH 为矩形，故B正确；C．当E，F，G，H不是各边中点时，EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH为平行四边形，故C 正确；D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，故D错误；故选：D．例题3：（2017山东枣庄）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）A．2＜r＜B．＜r＜3C．＜r＜5 D．5＜r＜【考点】M8：点与圆的位置关系；KQ：勾股定理．【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．【解答】解：给各点标上字母，如图所示．AB==2，AC=AD==，AE==3，AF==，AG=AM=AN==5，∴＜r＜3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．故选B．例题4：（2017湖南株洲）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞﹣1；以上结论中正确结论的序号为①④．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），可得c=﹣2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），可得a﹣b﹣2=0，依此判断①②；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，可得x2=2，比较大小即可判断④；从而求解．【解答】解：由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，∵开口向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∴﹣＞0，∴a﹣2＜0，∴a＜2；∴0＜a＜2；∴①正确；∵抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），∴c=﹣2，故③错误；∵抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b﹣2=0，无法得到0＜a＜2；②﹣1＜b＜0，故①②错误；∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，∴x2=2＞﹣1，故④正确．故答案为：①④．例题5：（2017江西）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据：（1）根据表中数据的规律，完成以下表格，并直接写出y关于x的函数解析式；（2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；（3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）观察表格可知，y是x使得一次函数，设y=kx+b，利用待定系数法即可解决问题；（2）列出方程组即可解决问题；（3）由题意当y=0，x=150，当x=0时，y=75，可得75≤l≤150．【解答】解：（1）观察表格可知，y是x使得一次函数，设y=kx+b，则有，解得，∴y=﹣x+75．（2）由题意，解得，∴单层部分的长度为90cm．（3）由题意当y=0，x=150，当x=0时，y=75，∴75≤l≤150．例题6：（2017重庆B）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m 的值．【分析】（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案．【解答】解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400﹣x≤7x，解得：x≥50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；（2）由题意可得：100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20，令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000，整理可得：8y2﹣y=0解得：y1=0，y2=0.125∴m1=0（舍去），m2=12.5∴m2=12.5，答：m的值为12.5．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出水果的销售总金额是解题关键．例题7：（2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，则FD=6﹣x=．故选：B．例题8：（2017重庆B）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线的解析式可变形为y=（x+1）（x﹣3），从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入求得k和b的值，从而得到AE的解析式；（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入求得m的值，从而得到直线CE的解析式，过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=x2+x．由三角形的面积公式得到△EPC的面积=﹣x2+x，利用二次函数的性质可求得x的值，从而得到点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．然后利用轴对称的性质可得到点G 和点H的坐标，当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH；（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况求解即可．【解答】解：（1）∵y=x2﹣x﹣，∴y=（x+1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．当x=4时，y=．∴E（4，）．设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=．∴直线AE的解析式为y=x+．（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=．∴直线CE的解析式为y=x﹣．过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．∴△EPC的面积=×（x2+x）×4=﹣x2+x．∴当x=2时，△EPC的面积最大．∴P（2，﹣）．如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．∵K是CB的中点，∴k（，﹣）．∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为（，﹣）．∵点G与点K关于CD对称，∴点G（0，0）．∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．∴GH==3．∴KM+MN+NK的最小值为3．（3）如图3所示：∵y′经过点D，y′的顶点为点F，∴点F（3，﹣）．∵点G为CE的中点，∴G（2，）．∴FG==．∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=对称，∴点Q″（3，2）．当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=﹣．∴点Q1的坐标为（3，﹣）．综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称最短路径问题、等腰三角形的定义和性质，找到KM+MN+NK取得最小值的条件是解答问题（2）的关键；分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况分别进行计算是解答问题（3）的关键．【达标检测评估】一、选择题：1.（2017江西）如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A= 75 度．【考点】KH：等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=30°，∴∠A==75°，故答案为：75．2. （2017重庆B）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为（）A．116 B．144 C．145 D．150【分析】根据题意图形得出小星星的个数变化规律，即可的得出答案．【解答】解：∵4=1×2+2，11=2×3+2+321=3×4+2+3+4第4个图形为：4×5+2+3+4+5，∴第⑨个图形中的颗数为：9×10+2+3+4+5+6+7+8+9+10=144．故选：B．【点评】此题主要考查了图形变化规律，正确得出每个图形中小星星的变化情况是解题关键．3. （2017重庆B）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据同角三角函数关系，可得∠1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图，设DE=xm，CE=2.4xm，由勾股定理，得x2+（2.4x）2=1952，解得x≈75m，DE=75m，CE=2.4x=180m，EB=BC﹣CE=306﹣180=126m．∵AF∥DG，∴∠1=∠ADG=20°，tan∠1=tan∠ADG==0.364．AF=EB=126m，tan∠1==0.364，DF=0.364AF=0.364×126=45.9，AB=FE=DE﹣DF=75﹣45.9≈29.1m，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出DE，CE的长是解题关键．4.（2017年江苏扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A．6 B．7 C．11 D．12【考点】K6：三角形三边关系．【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．【解答】解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是2和4，∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．则三角形的周长：8＜C＜12，C选项11符合题意，故选C．5.（2017江苏盐城）如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．B．C．D．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．【解答】解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=9，∴AA′=3，即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+4．故选D．二、填空题：6. （2017重庆B）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需18 分钟到达终点B．【分析】根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案．【解答】解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，甲的速度是1÷6=千米/分钟，由纵坐标看出AB两地的距离是16千米，设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得10x+16×=16m，解得x=千米/分钟，相遇后乙到达A站还需（16×）÷=2分钟，相遇后甲到达B站还需（10×）÷=20分钟，当乙到达终点A时，甲还需20﹣2=18分钟到达终点B，故答案为：18．【点评】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键．7. （2017浙江衢州）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是a+6 ．【考点】4G：平方差公式的几何背景．【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解．【解答】解：拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32，=（a+3+3）（a+3﹣3），=a（a+6），∵拼成的长方形一边长为a，∴另一边长是a+6．故答案为：a+6．8. （2017浙江衢州）如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方形作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是（5，），翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为（+896）π．【考点】O4：轨迹；D2：规律型：点的坐标．【分析】如图作B3E⊥x轴于E，易知OE=5，B3E=，观察图象可知3三次一个循环，一个循环点M的运动路径为++=（）π，由2017÷3=672…1，可知翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672•（）π+π=（+896）π．【解答】解：如图作B3E⊥x轴于E，易知OE=5，B3E=，∴B3（5，），观察图象可知3三次一个循环，一个循环点M的运动路径为++=（）π，∵2017÷3=672…1，∴翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672•（）π+π=（+896）π．故答案为（+896）π．9.（2017江苏盐城）如图，曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为8 ．【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G5：反比例函数系数k的几何意义．【分析】由题意A（﹣4，4），B（2，2），可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN=S△OBM﹣S△OBN计算即可．【解答】解：∵A（﹣4，4），B（2，2），∴OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴．在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），∴直线AB解析式为y′=﹣2x′+8，由，解得或，∴M（1.6），N（3，2），∴S△OMN=S△OBM﹣S△OBN=•4•6﹣•4•2=8，故答案为8三、解答题：10. （2017山东枣庄）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有50 人，在扇形统计图中，m的值是30% ；（2）将条形统计图补充完整；（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【分析】（1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中m的值；（2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好为一男一女的情况数，即可求出所求概率．【解答】解：（1）20÷40%=50（人），15÷50=30%；故答案为：50；30%；（2）50×20%=10（人），50×10%=5（人），如图所示：（3）∵5﹣2=3（名），∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，则P（一男一女）==．11. （2017湖南株洲）如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α其中tanα=2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．①求点H到桥左端点P的距离；②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】①在Rt△AHP中，由tan∠APH=tanα=，即可解决问题；②设BC⊥HQ于C．在Rt△BCQ中，求出CQ==1500米，由PQ=1255米，可得CP=245米，再根据AB=HC=PH﹣PC计算即可；【解答】解：①在Rt△AHP中，∵AH=500，由tan∠APH=tanα===2，可得PH=250米．∴点H到桥左端点P的距离为250米．②设BC⊥HQ于C．在Rt△BCQ中，∵BC=AH=500，∠BQC=30°，∴CQ==1500米，∵PQ=1255米，∴CP=245米，∵HP=250米，∴AB=HC=250﹣245=5米．答：这架无人机的长度AB为5米．12. （2017浙江衢州）“五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．【考点】FH：一次函数的应用；FA：待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于x的函数表达式即可；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1＞y2时，15x+80＞30x，当y1＜y2时，15x+80＞30x，分求得x的取值范围即可得出方案．【解答】解：（1）设y1=k1x+80，把点（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15，∴y1=15x+80（x≥0）；设y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30，∴y2=30x（x≥0）；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，解得x=；当y1＞y2时，15x+80＞30x，解得x＜；当y1＜y2时，15x+80＞30x，解得x＞；∴当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．13.（2017年江苏扬州）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC=AO2﹣BO2．（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则AB△AC= 0 ，OC △OA= 7 ；（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求AB△AC、BA△BC的值；（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON=AO．已知AB△AC=14，BN△BA=10，求△ABC的面积．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）①先根据勾股定理求出BC=10，再利用直角三角形的性质得出OA=OB=OC=5，最后利用新定义即可得出结论；②再用等腰三角形的性质求出CD=3，再利用勾股定理求出OD，最后用新定义即可得出结论；（2）①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2，OB=2，再用新定义即可得出结论；②先构造直角三角形求出BE，AE，再用勾股定理求出BD，最后用新定义即可得出结论；（3）先构造直角三角形，表述出OA，BD2，最后用新定义建立方程组求解即可得出结论．【解答】解：①∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC=10，∵点O是BC的中点，∴OA=OB=OC=BC=5，∴AB△AC=AO2﹣BO2=25﹣25=0，②如图1，取AC的中点D，连接OD，∴CD=AC=3，∵OA=OC=5，∴OD⊥AC，在Rt△COD中，OD==4，∴OC△OA=OD2﹣CD2=16﹣9=7，故答案为0，7；（2）①如图2，取BC的中点D，连接AO，∵AB=AC，∴AO⊥BC，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，在Rt△AOB中，AB=4，∠ABC=30°，∴AO=2，OB=2，∴AB△AC=AO2﹣BO2=4﹣12=﹣8，②取AC的中点D，连接BD，∴AD=CD=AC=2，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E，在Rt△ABE中，∠BAE=180°﹣∠BAC=60°，∴∠ABE=30°，∵AB=4，∴AE=2，BE=2，∴DE=AD+AE=4，在Rt△BED中，根据勾股定理得，BD===2，∴BA△BC=BD2﹣CD2=24；（3）如图3，设ON=x，OB=OC=y，∴BC=2y，OA=3x，∵AB△AC=14，∴OA2﹣OB2=14，∴9x2﹣y2=14①，取AN的中点D，连接BD，∴AD=DB=AN=×OA=ON=x，∴OD=ON+DN=2x，在Rt△BOD中，BD2=OB2+OD2=y2+4x2，∵BN△BA=10，∴BD2﹣DN2=10，∴y2+4x2﹣x2=10，∴3x2+y2=10②联立①②得，或（舍），∴BC=4，OA=3，∴S△ABC=BC×AO=6．14（2017张家界）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．（1）求c1的解析式；（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到结论；（2）解方程组得到x2+3x+m﹣3=0，由于直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到结论；（3）根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，根据图象即可刚刚结论；（4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB==4，①当AP=AB，②当AB=BP=4时，③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于是得到结论．【解答】解：（1）∵抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，∴a=﹣1，∴抛物线c1的解析式为：y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；（2）解得x2+3x+m﹣3=0，∵直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，∴△=9﹣4m+12=0，∴m=；（3）∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，∴抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），∴抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，∴①当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点；②当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点；③当3＜n＜4或n＞3时，l2与c1和c2共有四个交点；（4）如图，∵若c2与x轴正半轴交于B，∴B（3，0），∴OB=3，∴AB==4，①当AP=AB=4时，PB=8，∴P1（﹣5，0），②当AB=BP=4时，P2（3﹣4，0）或P3（3+4，0），③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB=4，∴P4（﹣1，0），综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣4，0）或（3+4，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．。