中考数学专题--正方形经典题型(培优提高)
- 格式:doc
- 大小:600.56 KB
- 文档页数:8
正方形的性质及判定
知识归纳
1.正方形的定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2.正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形.它具有前三者的所有性质:
①边的性质:对边平行,四条边都相等.
②角的性质:四个角都是直角.
③对角线性质:两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.
④对称性:正方形是中心对称图形,也是轴对称图形.
平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系:(如图)
3.正方形的判定
判定①:有一组邻边相等的矩形是正方形.
判定②:有一个角是直角的菱形是正方形.
4.重点:知晓正方形的性质和正方形的判定方法。
难点:正方形知识的灵活应用
例题讲解
一、正方形的性质
例1:如图,已知正方形ABCD的面积为256,点F在CD上,点E在CB的延长线上,且20
AE AF AF
⊥=
,,则BE的长为
F
E
D
C
B
A
变式1:如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G,F分别为AD,BC边上的点,若1
AG=,2
BF=,90
GEF
∠=︒,则GF的长为.
正
方
形
菱形
矩形
平行四边形
变式2:将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放,点12...n A A A ,,,分别是正方形的中心,则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
例2:如图,E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点,求证:AE CE =.
E
D
C
B
A
变式1:如图,P 为正方形ABCD 对角线上一点,PE BC ⊥于E ,PF CD ⊥于F .求证:
AP EF =.
F E
P
D
C
B A
例3:如图,已知P 是正方形ABCD 内的一点,且ABP ∆为等边三角形,那么DCP ∠=
P
D
C
B
A
变式1:如图,已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ,若50EAF ∠=︒, 则CME CNF ∠+∠= .
N
M
F
E
D
C
B
A
变式2:如图,四边形ABCD 为正方形,以AB 为边向正方形外作正方形ABE ,CE 与BD 相交于点F ,则AFD ∠=
F
E
D
C
B
A
例4:如图,正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上,连接,BE DG ,求证:
BE DG =.
G
C F
E
D
B
A
变式1:如图,在正方形ABCD 中,E 为CD 边上的一点,F 为BC 延长线上的一点,
CE CF =,30FDC ∠=︒,求BEF ∠的度数.
B
D
C
A
E
F
变式2:已知:如图,在正方形ABCD 中,G 是CD 上一点,延长BC 到E ,使CE CG =,连接BG 并延长交DE 于F .
(1)求证:BCG DCE ∆∆≌;
(2)将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆,判断四边形E BGD '是什么特殊四
边形?并说明理由.
例5:若正方形ABCD 的边长为4,E 为BC 边上一点,3BE =,M 为线段AE 上一点,射
A
B
C
D
E
F E '
G
线BM 交正方形的一边于点F ,且BF AE =,则BM 的长为 .
变式1:如图1,在正方形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,HA EB FC GD ===,连接EG 、FH ,交点为O .
⑴ 如图2,连接EF FG GH HE ,,,,试判断四边形EFGH 的形状,并证明你的结论;
⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开,再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个
四边形.若正方形ABCD 的边长为3cm ,1cm HA EB FC GD ====,则图3中阴影部分的面积为_________2cm .
图3
图1图2
H D
G
C F
E
B
A
O
H G
F
E
D
C B
A
变式2:如图,正方形ABCD 对角线相交于点O ,点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点,AQ DP ⊥,求证:(1)OP OQ =;(2)OP OQ ⊥.
B
O D C
A
Q
P
例6:如图,正方形ABCD 中,E F ,是AB BC ,边上两点,且EF AE FC DG EF =+⊥,于G ,求证:DG DA =
G F
E
C D
B
A
变式1:如图,点M N ,分别在正方形ABCD 的边BC CD ,上,已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半,求MAN ∠的度数