中考数学专题--正方形经典题型(培优提高)

第22讲正方形考点•方法•破译1．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形，即邻边相等的矩形或有一个角为直角的菱形叫正方形．2．熟练掌握正方形的性质，并能在解决问题时将正方形与等腰直角三角形进行替换思考．3．掌握正方形的判断方法，并应用它的对称性质解决问题．经典•考题•赏析【例1】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O, E是BD延长线上的点，且“CE是等边三角形.⑴求证：四边形ABCD是菱形；⑵若/AED=2Z EAD,求证：四边形ABCD是正方形.【变式题组】01.如图，已知正方形ABCD的对角线AC和BD相交于O,点M、N分别在OA、OD上, 且MN〃AD.探究：线段DM和CN之间的数童关系，写出结论并给出证明.A02.如图，点P是正方形ABCD对角线AC上的点，PE±AB, PF±BC, E、F是垂足，问PD与EF有怎样的关系？请说明理由.03 .如图，将正方形ABCD中的△ ABD绕对称中心O旋转至△ GEF的位置，EF交AB于M, GF交BD于N.请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论.04．把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图.【例2】如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转废后得到正方形AEFG,边EF与CD交于点O.⑴以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；⑵若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为“ cm2,求旋转的角度.3【变式题组】01.如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是_________ .02.我们给定两个全等的正方形ABCD、AEFG它们共顶点A（如图1）,可以绕顶点A旋转，CD、EF相交于点P.⑴连接BE、DG（如图2）,求证：BE=DG, BE±DG⑵连接BG、CF（如图），求证：BG//CF.【例3】数学课上，张老师提出了问题：如图1,四边形ABCD是正方形，点E是BC 边的中点.Z AEF = 90°,且EF交正方形外角N DCG的平分线CF于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则似AM=EC, 易证△ AME/△ ECF,所以AE=EF.在此基础上,同学们进一步的研究：⑴小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论"AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确,写出证明过程；如果不正确,请说明理由；（2）小华提出：如图3,点E是边BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论" AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确,请说明理由．图】图2 图3【变式题组】01.如图，已知正方形ABCD在直线MN上方，BC在直线MN上；E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.⑴连接GD,求证：△ ADG/△ ABE；⑵连接FC,观察并猜测Z FCN的度数，并说明理由.02.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE± EF.⑴延长EF交正方形外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由;⑵在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明;若不存在,请说明理由．【例4】已知：正方形ABCD中，N MAN=45°,N MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别CB、DC（或它们的延长线）点M、N.当N MAN绕点A旋转至U BM=DN时（如图1）, 易证BM+DN=MN.⑴当N MAN绕点A旋转至U BN W DN时（如图2）,线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想,并加以证明；⑵当N MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想并明．【变式题组】01.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中:⑴N EAF的大小是否有变化？请说明理由；⑵^ECF的周长是否有变化？请说明理由.02.如图，有四个动点P、Q、E、F分别从边长为1的正方形ABCD的四个顶点出发，沿AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动⑴试判断四边形PQEF的形状，并证明；⑵PE是否总过某一定点，并说明理由；⑶四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小和最大？各是多少?03.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、％轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕点O顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=%上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=%于点M,BC边交％轴于点N（如图）.⑴旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；⑵设△ MBN的周长为p，在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．【例5】小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到了这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H只分别在AB、BC、CD、DA上，若EG± FH ,则GE=FH”经过思考，大家给出了以下两个方案：（甲）过点A做AM〃HF交BC于点M，过点B作BN〃EG交CD于点N；（乙）过点A做AM〃HF交BC于点M,作AN〃EG交CD的延长线于点N；小杰和他的同学顺利的解决了该题后，人家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．⑴对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；⑵如果把条件中的“EG± HF"改为“EG与HF的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1, FH的长为至（如图2）,试求EG的长度.2【变式题组】01.若正方形ABCD的边长为4, E为BC边上一点，BE =3, M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F,且BF = AE，则BM的长为.02.如图，已知正方形ABCD的边长为3, E为BC边上一点，BE=1.以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°,得4ADE'，连接EE，，则EE'的长等于.03.已知正方形ABCD中,点E在边DC上，DE=2, EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为.04.小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处,折痕为（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）.如果第二次折叠后，M 点正好在N NDG的平分线上，矩形ABCD长与宽的比值为.E B (! B C /? C B E C H E① ②③第之题图第W题掰第4噩图05.平面内有一等腰直角三角板（N ACB=90°）和一直线MN.过点C作以CE± MN于点E,过点B作BF± MN于点F.当点E与A重合时（如图1）,易证：AF+BF=2CE.当三角板绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，清直接写出你的猜想,并证明．演练巩固•反馈提高01．顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）A .等腰梯形反 正方形C 平行四边形。

正方形的性质及判定知识归纳1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：①边的性质：对边平行，四条边都相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．平行四边形正矩形方菱形形判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．4．重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。

难点：正方形知识的灵活应用例题讲解一、正方形的性质例1：如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且AE⊥AF，AF=20，则BE的长为A DFE B C变式1：如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90︒，则GF的长为．....变式2：将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A，A，，A分别是正方形的中12n心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为A2A3A4A1A5例2：如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE=CE．A DEB C变式1：如图，P为正方形ABCD对角线上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F.求证：AP=EF.A DPB E例3：如图，已知P是正方形ABCD内的一点，且∆ABP为等边三角形，那么∠DCP=DPF CCA B 变式1：如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、C D上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50︒，则∠CME+∠CNF=．D F CNEMA B.变式2：如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作正方形ABE，CE与BD相交于点F，则∠AFD=D AEFC B例4：如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE,DG，求证：BE=DG.E FA DB C G变式1：如图，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC延长线上的一点，CE=CF，∠FDC=30︒，求∠BEF的度数.A DEB C F变式2：已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：∆BCG≌∆DCE；（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90︒得到∆DAE'，判断四边形E'BGD是什么特殊四边形？并说明理由．ADE'G FB C E 例5：若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射.F线 BM 交正方形的一边于点 F ，且 BF = AE ，则 BM 的长为．变式 1：如图 1，在正方形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别为边 AB 、 BC 、 C D 、 DA 上的点， HA = EB = FC = GD ，连接 EG 、 FH ，交点为 O ．⑴ 如图 2，连接 EF ，FG ，GH ，HE ，试判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形 ABCD 沿线段 EG 、 HF 剪开，再把得到的四个四边形按图 3 的方式拼接成一个四边形．若正方形 ABCD 的边长为 3cm ， HA = EB = FC = GD = 1cm ，则图 3中阴影部分的面积为_________ cm 2．DGC D G CFFH OHA图1E BA图2E B图3变式 2：如图，正方形 ABCD 对角线相交于点 O ，点 P 、Q 分别是 BC 、CD 上的点，AQ ⊥ DP ，求证：（1） OP = OQ ；（2） OP ⊥ OQ .ADOQBPC例 6：如图，正方形 ABCD 中，E ， 是 AB ，BC 边上两点，且 EF = AE + FC ，DG ⊥ EF 于 G ，求证： DG = DAAEDGBF C变式 1：如图，点 M ，N 分别在正方形 ABCD 的边 BC ，CD 上，已知 ∆MCN 的周长等于正方形 ABCD 周长的一半，求 ∠MAN 的度数.DNCM A B变式2：如图，设EF∥正方形ABCD的对角线AC，在DA延长线上取一点G，使AG=AD，EG与DF交于H，求证：AH=正方形的边长．G A DEHB F C例7：把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．D A G CHBFE变式1：如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90︒，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABFE，作EP⊥l于点P，求证2EP+AD=2CD.lA M DP EB CF.二、正方形的判定例1：四边形ABCD的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形E FGH，求证：⑴四边形EFGH对角互补；⑵若四边形ABCD为平行四边形，则四边形EFGH为矩形．⑶四边形ABCD为长方形，则四边形EFGH为正方形．ABGH FEDC变式1：如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且∆ACE是等边三角形．⑴求证：四边形ABCD是菱形；⑵若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．EA DOB C变式2：已知：如图，在∆ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是∆ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．⑴求证：四边形ADCE为矩形；⑵当∆ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．MA E NBDC例2：如图，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AE=a，AF=b，.= ，则 b - a =若 S2EFGH 3AEDFBGHC例 3：如图，若在平行四边形 ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．ENRSDCABQ PFM.F附加题：1.如图， A 在线段 BG 上， ABCD 和 DEFG 都是正方形，面积分别为 7cm 2 和 11cm 2 ，则∆CDE 的面积为ECDFBAG2.如图，在正方形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点，求证： AM = AD ．ADEMBFC3.如图，正方形 ABCD 中， O 是对角线 AC ，BD 的交点，过点 O 作 OE ⊥ OF ，分别交AB ，CD 于 E ， ，若 AE = 4，CF = 3 ，则 EF =ADOEBFC4.如图所示， ABCD 是正方形， E 为 BF 上的一点，四边形 AEFC 恰好是一个菱形，则∠EAB = ______.FDCEAB.。

中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.正方形的性质：①具有平行四边形的一切性质。

②具有矩形与菱形的一切性质。

所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。

对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。

练习题1．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，2）【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，即可得出结论．【解答】解：如图，连接OB，∵正方形OABC的边长为，∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴OB＝＝＝2，∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，∴B 1在y 轴正半轴上，且OB 1＝OB ＝2，∴点B 1的坐标为（0，2），故选：D ．2．（2022•广州）如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE ＝1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则MN 的长为（ ）A ．26B ．23C ．2﹣3D ．226− 【分析】连接EF ，由正方形ABCD 的面积为3，CE ＝1，可得DE ＝﹣1，tan ∠EBC ＝＝＝，即得∠EBC ＝30°，又AF 平分∠ABE ，可得∠ABF ＝∠ABE ＝30°，故AF ＝＝1，DF ＝AD ﹣AF ＝﹣1，可知EF ＝DE ＝×（﹣1）＝﹣，而M ，N 分别是BE ，BF 的中点，即得MN ＝EF ＝． 【解答】解：连接EF ，如图：∵正方形ABCD 的面积为3，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝，∵CE ＝1，∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，∵AF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝1，∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，∵M，N分别是BE，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN＝EF＝．故选：D．3．（2022•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）A．4B．8C．12D．16【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．【解答】解：由题意可得，小正方形的边长为3﹣1＝2，∴小正方形的周长为2×4＝8，故选：B．4．（2022•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE 的长度为（ ）A ．26B ．6C ．22D ．23【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC ，然后利用等边三角形的性质可求出OE ．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝2，∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝2，AO ＝，∴OE ＝×＝． 故选：B ．5．（2022•泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 为一边作正方形DEFG ．设DE ＝d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2、d 3，则d 1+d 2+d 3的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．4【分析】连接AE ，那么，AE ＝CG ，所以这三个d 的和就是AE +EF +FC ，所以大于等于AC ，故当AEFC 四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE ，∵四边形DEFG 是正方形，∴∠EDG ＝90°，EF ＝DE ＝DG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴AE ＝CG ，∴d 1+d 2+d 3＝EF +CF +AE ，∴点A ，E ，F ，C 在同一条线上时，EF +CF +AE 最小，即d 1+d 2+d 3最小，连接AC ，∴d 1+d 2+d 3最小值为AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ＝2，∴d 1+d 2+d 3最小＝AC ＝2， 故选：C ．6．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF 的长为（ ）A ．23+2B ．5﹣33C ．3﹣3D ．3+1【分析】方法一：如图，延长DA 、BC 交于点G ，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG ＝90°，AB ＝2，∠ABC ＝60°，运用解直角三角形可得AG ＝2，DG ＝2+2，再求得∠G ＝30°，根据直角三角形性质得出答案．方法二：过点E 作EG ⊥DF 于点G ，作EH ⊥BC 于点H ，利用解直角三角形可得EH ＝1，BH ＝，再证明△BEH ≌△DEG ，可得DG ＝BH ＝，即可求得答案．【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．7．（2022•随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（）①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．A．只有①B．①②C．①③D．②③【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；②利用①的结论可以证明OM≠MP解决问题；③如图，过M作MG⊥BC于G，设AB＝BC＝x，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出BE和MG即可判定是否正确．【解答】解：①如图，∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴EF∥BD，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∵四边形ABCD为正方形，∴A、O、P、C在同一条直线上，∴△ABC、△ACD、△ABD、△BCD、△OAB、△OAD、△OBC、△OCD、△EFC都是等腰直角三角形，∵M，N分别为BO，DO的中点，∴MP∥BC，NF∥OC，∴△DNF、△OMP也是等腰直角三角形．故①正确；②根据①得OM＝BM＝PM，∴BM≠PM∴四边形MPEB不可能是菱形．故②错误；③∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，∵四边形ABCD是正方形，且设AB＝BC＝x，∴BD＝x，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO＝OD，∴点P在AC上，∴PE＝EF，∴PE＝BM，∴四边形BMPE是平行四边形，∴BO＝BD，∵M为BO的中点，∴BM＝BD＝x，∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝x，过M作MG⊥BC于G，∴MG＝BM＝x，∴四边形BMPE的面积＝BE•MG＝x2，∴四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的．∵E、F是BC，CD的中点，∴S△CEF＝S△CBD＝S四边形ABCD，∴四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的（1﹣﹣﹣）＝．故③正确．故选：C．8．（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积B．四边形EFGH的面积C．△BEF的面积D．△AEH的面积【分析】根据题意设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得AP＝x+y，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项．【解答】解：设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，∴2AP+2（x﹣y）＝4x，∴AP＝x+y，∵图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣2△ADH﹣2S△AEB＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2ו（x﹣y）（2x+y）﹣2ו（2x﹣y）•x＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy＝2xy，A、正方形纸片的面积＝x2，故A不符合题意；B、四边形EFGH的面积＝y2，故B不符合题意；C、△BEF的面积＝•EF•BQ＝xy，故C符合题意；D、△AEH的面积＝•EH•AM＝y（x﹣y）＝xy﹣y2，故D不符合题意；故选：C．9．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故选：C．10．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠F AO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF ≌△BOE （SAS ）．∴∠F AO ＝∠EBO ＝20°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠CBE ＝∠EBO +∠OBC ＝65°．故选：C ．11．（2022•益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD 沿其对角线AC 平移，使A 的对应点A ′满足AA ′＝31AC ，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 ．【分析】由正方形边长为3，可求AC ＝3，则AA ′＝AC ＝，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【解答】解：∵正方形ABCD 的边长为3，∴AC ＝3，∴AA ′＝AC ＝， ∴A ′C ＝2，由题意可得重叠部分是正方形，且边长为2，∴S 重叠部分＝4．故答案为：4．12．（2022•海南）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE ＝AF ，∠EAF ＝30°，则∠AEB ＝ °；若△AEF 的面积等于1，则AB 的值是 ．【分析】利用“HL”先说明△ABE与△ADF全等，得结论∠BAE＝∠DAF，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出∠AEB；先利用三角形的面积求出AE，再利用直角三角形的边角间关系求出AB．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．∴∠BAE＝∠DAF．∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣30°）＝30°．∴∠AEB＝60°．故答案为：60．过点F作FG⊥AE，垂足为G．∵sin∠EAF＝，∴FG＝sin∠EAF×AF．∵S△AEF＝×AE×FG＝×AE×AF×sin∠EAF＝1，∴×AE2×sin30°＝1．即×AE2×＝1．∴AE＝2．在Rt△ABE中，∵cos∠BAE＝，∴AB＝cos30°×AE＝×2＝．故答案为：．13．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝42，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得△EGH'≌△EGH，所以△EGH′的周长＝△EGH的周长，接下来计算△EGH的三边即可；证明△BME≌△FNE（ASA）和△BEO≌△EFP（AAS），得OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，利用三角函数和勾股定理分别计算EG，GH和EH的长，相加可得结论．【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，∴△EGH'≌△EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2，∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠BME＝∠FNE，∴△BME≌△FNE（ASA），∴EB＝EF，∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，∴∠BEO＝∠EFP，∵∠BOE＝∠EPF＝90°，∴△BEO≌△EFP（AAS），∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，∵tan∠OEG＝＝，即＝，∴OG＝1，∴EG＝＝，∵OB∥FP，∴∠OBH＝∠PFH，∴tan∠OBH＝tan∠PFH，∴＝，∴＝＝2，∴OH＝2PH，∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，∴OH＝×2＝，在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．故答案为：5+．14．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE 且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝．【分析】设CG＝x，则BG＝8﹣x，根据勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x 的值，进而求出BG的长．【解答】解：连接AG，EG，∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝4，设CG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得AB2+BG2＝CE2+CG2，即82+（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝7，∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．故答案是：1．15．（2022•江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为．【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长＝＝．故答案为：．。

正方形培优题
正方形培优题是一种培训和提高学生思维能力的方法，通过解
决各种正方形相关的问题来帮助学生锻炼逻辑思维和分析能力。

本
文将介绍一些正方形培优题的例子和解题思路。

1. 正方形周长和面积
问题：一个正方形的周长是24cm，请问它的面积是多少平方
厘米？
解题思路：假设正方形的边长为x，根据正方形的性质，它的
周长=4x，所以4x=24，解得x=6。

因此，正方形的面积等于边长的平方，即6^2=36平方厘米。

2. 二次方程和正方形
问题：已知二次方程x^2+px+q=0的两个根互为正方形的边长，求p和q的值。

解题思路：设二次方程的两个根为a和-a，由于它们互为正方
形的边长，所以a=-a。

解得a=0。

根据二次方程的性质，p=-a-a=0，q=a*(-a)=0。

因此，p和q的值都是0。

3. 正方形的对角线
问题：一个正方形的边长是8cm，求它的对角线的长度。

解题思路：设正方形的边长为x，根据正方形的性质，它的对
角线的长度等于边长的平方根乘以√2。

所以对角线的长度
=8*√2≈11.31 cm。

通过解决这些正方形培优题，学生们可以培养逻辑思维和分析
问题的能力，提高数学解题的技巧和速度。

希望这些例子对学生们
有所帮助！。

中考数学总复习《正方形》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O .第1题图(1)若四边形ABCD是平行四边形，请添加条件__________，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】__________________________；(2)若四边形ABCD是矩形，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】__________________________；(3)若四边形ABCD是菱形，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】__________________________．2. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.(1)∠ABC＝________，∠BAC＝________，∠COD＝________；(2)若AB＝3，则BC＝________，CD＝________；(3)若OA＝2，则AC＝________，BD＝________，AD＝________；(4)若OA＝4，则正方形ABCD 的面积是________，周长是________．第2题图知识逐点过考点1 正方形的性质及面积边四条边都相等，对边平行角四个角都是直角1.对角线相等且互相①________；对角线2．每一条对角线平分一组对角对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对称中心是两条②________的交点面积公式S＝a2＝12l2【温馨提示】正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形考点2 正方形的判定边1.有一组邻边相等，并且有一个角是③________的平行四边形是正方形(定义)；2．有一组邻边④________的矩形是正方形角有一个角是⑤________的菱形是正方形对角线1.对角线⑥________的矩形是正方形；2．对角线⑦________的菱形是正方形；3．对角线互相⑧__________的四边形是正方形考点3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系从边、角的角度看从对角线的角度看考点4 中点四边形概念依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形原图形任意四边形矩形菱形正方形对角线相等的四边形对角线垂直的四边形对角线垂直且相等的四边形中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形菱形矩形正方形【温馨提示】连接特殊四边形中点的四边形面积是原图形的一半教材原题到重难考法与正方形有关的证明与计算例如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF，DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．例题图变式题1. 结合角度求线段长如图，正方形ABCD的边长为4，点F为对角线AC上一点，连接BF，当∠CBF＝22.5°时求AF的长．第1题图2. 过点F作AB边的垂线如图，在正方形ABCD中，F是对角线AC上一点，作EF⊥AB于点E，连接DF，若BC＝6，BE＝2，求DF的长．第2题图3. 过点F分别作AB，BC边的垂线如图，F是正方形ABCD对角线AC上一点，过点F分别作FE⊥AB，FG⊥BC，垂足分别为点E，G，连接DF，EG.(1)求证：EG＝DF；(2)若正方形的边长为3＋3，∠BGE＝30°，求DF的长．第3题图真题演练命题点正方形性质的相关计算1. 如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K .则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM ＝1∶4.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第1题图2. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________．第2题图基础过关1. 正方形具有而菱形不具有的性质是()A. 对角线平分一组对角B. 对角线相等C. 对角线互相垂直平分D. 四条边相等2. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 互相平分且相等D. 互相垂直且相等3.如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是()A. (3，－3)B. (－3，3)C. (3，3)D. (－3，－3)第3题图4. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于()A. 2αB. 90°－2αC. 45°－αD. 90°－α第4题图5.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件_________________________ 使得矩形ABCD为正方形．6. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC，则图中阴影部分的面积是__________．第6题图7. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为__________dm2.第7题图8. 如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为__________．第8题图9. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，点F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为__________．第9题图10. 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.(1)求证：△ABE≌△FMN；(2)若AB＝8，AE＝6，求ON的长．第10题图综合提升11. 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG＝()A. 23B. 352 C. 5＋1 D. 10第11题图12. 如图，在正方形ABCD 中，点E 为BD 上一点，DE ＝3BE ，连接AE ，过点E 作AE 的垂线，交CD 于点F ，连接AF 交BD 于点G .下列结论：①sin ∠BAE ＝13 ；②∠EAF ＝45°；③点F 为CD 的中点；④BE ＋DG ＝GE .其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第12题图13. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE ，△ABF ，△BCG ，△CDH )和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD 中，∠ABF >∠BAF ，连接BE .设∠BAF ＝α，∠BEF ＝β，若正方形EFGH 与正方形ABCD 的面积之比为1∶n ，tan α＝tan 2β，则n ＝( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2第13题图参考答案1. (1)AC ＝BD ，且AC ⊥BD (答案不唯一)；【判定依据】对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形(答案不唯一)； (2)AC ⊥BD (答案不唯一)；【判定依据】对角线互相垂直的矩形是正方形； (3)∠ABC ＝90°(答案不唯一)【判定依据】有一个角是直角的菱形是正方形．2. (1)90°，45°，90°；(2)3，3；(3)4，4，22 ；(4)32，162 . 教材原题到重难考法例 解：△ABC ≌△ADC ，△ABF ≌△ADF ，△CDF ≌△CBF ，理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠DAC ＝∠BAC ＝∠DCA ＝∠BCA ＝45° 在△ABC 和△ADC 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAC ＝∠DAC AC ＝AC∴△ABC ≌△ADC (SAS) 在△ABF 和△ADF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAF ＝∠DAF AF ＝AF∴△ABF ≌△ADF (SAS) 在△DCF 和△BCF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝BC ∠DCF ＝∠BCF CF ＝CF∴△DCF ≌△BCF (SAS).(选择其中任意一对证明即可) 1. 解：在正方形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ∴∠BAC ＝∠BCA ＝45° ∵∠CBF ＝22.5°∴∠ABF ＝∠ABC －∠CBF ＝90°－22.5°＝67.5°∴∠AFB ＝180°－∠BAC －∠ABF ＝180°－45°－67.5°＝67.5° ∴∠ABF ＝∠AFB ∴AF ＝AB ＝4.2. 解：如解图，连接BF第2题解图∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC＝6，∠EAF＝45°∵EF⊥AB∴EF＝AE＝AB－BE＝6－2＝4∴BF＝BE2＋EF2＝25∵正方形ABCD关于AC对称∴DF＝BF＝25.3. (1)证明：如解图，连接FB.∵四边形ABCD为正方形∴DA＝AB，∠DAC＝∠BAC∵AF＝AF∴△DAF≌△BAF∴DF＝BF∵四边形ABCD为正方形∴∠ABC＝90°∵FG⊥BC，FE⊥AB∴∠FGB＝∠FEB＝90°∴∠FGB＝∠FEB＝∠ABC＝90°∴四边形FEBG是矩形∴EG＝FB∴EG＝DF；(2)解：∵正方形的边长为3＋3，∠BGE＝30°∴BC＝3＋3∴BG＝BC－CG＝3＋3－CG∵∠BGE＝30°∴BG＝3BE∵AC为正方形ABCD的对角线∴∠DCF＝∠BCF＝45°∵FG⊥BC∴∠FGC＝∠FGB＝90°∴∠CFG＝45°∴FG＝CG∵四边形FEBG是矩形∴EB＝FG∴FG＝CG＝EB设FG＝CG＝EB＝x∴GE＝2x∴BG＝3BE＝3x∵BG＝BC－CG＝3＋3－x∴3＋3－x＝3x∴x＝3∴GE＝2x＝23∴DF＝BF＝GE＝23.第3题解图知识逐点过①垂直平分②对角线③直角④相等⑤直角⑥互相垂直⑦相等⑧垂直平分且相等真题演练1. C 【解析】∵四边形EFGB 是正方形，EB ＝2，∴FG ＝BE ＝2，∠FGB ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，H 为AD 的中点，∴AD ＝4，AH ＝2，∠BAD ＝90°，∴∠HAN ＝∠FGN ，AH ＝FG ，∵∠ANH ＝∠GNF ，∴△ANH ≌△GNF (AAS)，故①正确；∴∠AHN ＝∠HFG ，∵AG ＝FG ＝2＝AH ，∴AF ＝2 FG ＝2 AH ，∴∠AFH ≠∠AHF ，∵AD ∥FG ，∴∠AHF ＝∠HFG ，∴∠AFN ≠∠HFG ，故②错误；∵△ANH ≌△GNF ，∴AN ＝12 AG ＝1，∵GM＝BC ＝4，∴AH AN ＝GM AG＝2，∵∠HAN ＝∠AGM ＝90°，∴△AHN ∽△GMA ，∴∠AHN ＝∠AMG ，∠MAG ＝∠HNA ，∴AK ＝NK ，∵AD ∥GM ，∴∠HAK ＝∠AMG ，∴∠AHK ＝∠HAK ，∴AK ＝HK ，∴AK ＝HK ＝NK ，∵FN ＝HN ，∴FN ＝2NK ；故③正确；∵延长FG 交DC 于M ，∴四边形ADMG 是矩形，∴DM ＝AG ＝2，∵S △AFN ＝12 AN ·FG ＝12 ×2×1＝1，S △ADM＝12 AD ·DM ＝12×4×2＝4，∴S △AFN ∶S △ADM ＝1∶4，故④正确． 2. 15 【解析】如解图，∵四边形ABCD ，ECGF ，IGHK 均为正方形，∴CD ＝AD ＝10，CE ＝FG ＝CG ＝EF ＝6，∠CEF ＝∠F ＝90°，GH ＝IK ＝4，∴CH ＝CG ＋GH ＝10，∴CH ＝AD ，∵∠D ＝∠DCH ＝90°，∠AJD ＝∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ (AAS)，∴CJ ＝DJ ＝5，∴EJ ＝1，∵GL ∥CJ ，∴△HGL ∽△HCJ ，∴GL CJ ＝GH CH ＝25，∴GL ＝2，∴FL ＝4，∴S阴影＝S梯形EJLF＝12 (EJ ＋FL )·EF ＝12(1＋4)×6＝15.第2题解图基础过关1. B2. D 【解析】如解图，点E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EH ∥DB ∥GF ，HG ∥AC ∥EF ，EF ＝12 AC ，FG ＝12 BD ，∴四边形EFGH 为平行四边形．要使其为正方形，即EF ⊥FG ，FE ＝FG ，则AC ⊥BD ，AC ＝BD ，即对角线一定互相垂直且相等．第2题解图3. C 【解析】 ∵边长为3的正方形OBCD 两边与坐标轴正半轴重合，∴OB ＝BC ＝3，∴C (3，3).4. A 【解析】如解图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，则AF ＝AG ，∠DAF ＝∠BAG .∵∠EAF ＝45°，∴∠BAE ＋∠DAF ＝45°，∴∠GAE ＝∠EAF ＝45°.在△GAE 和△F AE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AF ∠GAE ＝∠F AE AE ＝AE ，∴△GAE ≌△F AE (SAS)，∴∠AEF ＝∠AEG .∵∠BAE ＝α，∴∠AEB ＝90°－α，∴∠AEF ＝∠AEB ＝90°－α，∴∠FEC ＝180°－∠AEF －∠AEB ＝180°－2(90°－α)＝2α.第4题解图5. AB ＝BC (答案不唯一，符合条件即可，如：AC ⊥BD ) 【解析】∵邻边相等的矩形是正方形，∴可添加条件AB ＝BC ；∵对角线互相垂直的矩形是正方形，∴还可以添加条件AC ⊥BD .6. 2 【解析】如解图，过点E 作EF ⊥BC 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝2，AD ∥BC ，∴EF ＝AB ＝2，∴S △BCE ＝12 BC ·EF ＝12×2×2＝2.∵S 正方形ABCD ＝BC 2＝22＝4，∴S阴影＝S 正方形ABCD －S △BCE ＝4－2＝2.第6题解图7. 2 【解析】如解图，依题意得OD ＝22 AD ＝22 ，OE ＝12OD ＝2 ，∴图中阴影部分的面积为OE 2＝(2 )2＝2(dm 2).第7题解图8. 3 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝∠BAC .∵PE ⊥AD ，PF ⊥AB ，∴PE ＝PF .∵PE ＝3，∴点P 到直线AB 的距离为PF ＝3.第8题解图9.172【解析】∵CE ＝7，△CEF 的周长为32，∴CF ＋EF ＝32－7＝25.∵点F 为DE 的中点，∴DF ＝EF .∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，∴CF ＝EF ＝DF ＝252，∴DE ＝25，∴在Rt △DCE 中，CD ＝DE 2－CE 2 ＝24，∴BC ＝CD ＝24.∵点O 为BD 的中点，∴OF 是△BDE 的中位线，∴OF ＝12 (BC －CE )＝12 (24－7)＝172 .10. (1)证明：∵四边形ABCD 为正方形 ∴AB ＝AD ，∠A ＝∠D ＝90°. ∵MF ∥AD ∴∠DFM ＝90° ∴四边形ADFM 为矩形 ∴MF ＝AD ＝AB . ∵MN 垂直平分BE ∴∠BOM ＝90° ∴∠ABE ＋∠BMO ＝90°. ∵∠FMN ＋∠BMO ＝90° ∴∠ABE ＝∠FMN . 在△ABE 和△FMN 中⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠MFN AB ＝FM ∠ABE ＝∠FMN∴△ABE ≌△FMN (ASA)； (2)解：如解图，连接ME . ∵MN 垂直平分BE ∴ME ＝BM .设BM ＝x ，则AM ＝8－x ，ME ＝x .在Rt △AME 中，由勾股定理得ME 2＝AE 2＋AM 2，即x 2＝62＋(8－x )2. 解得x ＝254 ，即BM ＝254.在Rt △ABE 中，由勾股定理得BE ＝62＋82 ＝10. ∵∠MBO ＝∠EBA ，∠MOB ＝∠A ∴△BOM ∽△BAE ∴OM AE ＝BMBE∴OM ＝AE ·BM BE ＝6×25410 ＝154 .由(1)知△ABE ≌△FMN ∴MN ＝BE ＝10∴ON ＝MN －OM ＝10－154 ＝254.第10题解图11. B 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ⊥AB ，CD ∥AB ，CD ＝AB .∵EF ⊥AB ，∴EF ∥BC ，∴AE EC ＝AF FB .∵AF ＝2，FB ＝1，∴AE EC ＝21 .∵CD ∥AB ，∴CD ∥AG ，∴∠DCE＝∠GAE ，∠CDE ＝∠AGE ，∴△DCE ∽△GAE ，∴AG CD ＝AE CE ＝21，∴AG ＝2CD ，∴CD ＝AB ＝BG .∵∠DCM ＝∠GBM ＝90°，∠DMC ＝∠GMB ，∴△DCM ≌△GBM (AAS)，∴DM＝GM ＝12 DG .∵AF ＝2，FB ＝1，∴AB ＝3.∵AD ＝AB ＝3，∴AG ＝6，∴在Rt △DAG 中，DG ＝32＋62 ＝35 ，∴MG ＝352.12. B 【解析】 如解图，延长AE 交BC 于点H .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，AD ∥BC ，∴△ADE ∽△HBE ，∴AD HB ＝DEBE ，∵DE ＝3BE ，∴AD ＝3HB ，∴AB ＝3HB ，在Rt △ABH 中，由勾股定理得AH ＝AB 2＋HB 2 ＝10 HB ，∴sin ∠BAE ＝HB AH ＝1010 ，①错误；如解图，过点E 分别作AB ，CD 的垂线，交AB ，CD 于点M ，N ，∴∠AME ＝∠ENF ＝90°，∴∠AEM ＋∠MAE ＝90°，∵∠AEF ＝90°，∴∠AEM ＋∠NEF ＝90°，∴∠MAE ＝∠NEF ，∵∠MBE ＝45°，∴MB ＝ME ，∵AB ＝MN ，∴AM ＝EN ，∴△AME ≌△ENF ，∴AE ＝EF ，∵∠AEF ＝90°，∴∠EAF ＝45°，②正确；∵△AME ≌△ENF ，∴ME ＝NF ＝MB ，∵BE ＝2 ME ，∴CF ＝2ME ＝2 BE ，∵DE ＝3BE ，∴BD ＝4BE ，∴CD ＝22BD ＝22 BE ，∴CD ＝2CF ，∴点F 为CD 的中点，③正确；∵点F 为CD 的中点，∴DF ＝12 CD ＝12 AB ，∵AB ∥CD ，∴△FDG ∽△ABG ，∴DG BG ＝DF AB ＝12 ，∴DG ＝13 BD ，GB ＝23 BD ，设BE ＝x ，则DE ＝3x ，BD ＝4x ，∴DG ＝43 x ，GB ＝83 x ，∴GE ＝GB －BE ＝53 x ，∴BE ＋DG ＝73 x ≠GE ，④错误．第12题解图13. C 【解析】设BF ＝a ，AF ＝b ，则AB ＝a 2＋b 2 ，EF ＝b －a ，∴tan α＝tan ∠BAF ＝BFAF＝a b ，tan β＝tan ∠BEF ＝BF EF ＝a b －a .∵正方形EFGH ∽正方形ABCD ，∴S 正方形EFGH S 正方形ABCD ＝(EFAB )2＝EF 2AB 2 ＝（b －a ）2a 2＋b 2 ＝1n .∵tan α＝tan 2β，∴a b ＝a 2（b －a ）2 .∴(b －a )2＝ab ，b 2＋a 2－2ab ＝ab ，∴a 2＋b 2＝3ab ，∴n ＝a 2＋b 2（b －a ）2＝a 2＋b 2ab ＝3abab ＝3.。

正方形存在性问题巩固练习（提优）1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，AD＝24，BC＝32，点P从A点出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以3cm/s的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点，也随之停止运动．（1）从运动开始，两点运动多长时间时，PQ＝CD？（2）从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y 轴于点C、B，点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，且AB⊥BC．（1）求直线BC和AB的解析式；（2）将点B沿某条直线折叠到点O，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm．点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜3）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点？（2）设四边形PNQM的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM：S△ABC＝4：9？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．4．在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，点C是线段AB的中点．（1）如图，求直线OC的解析式；（2）点D从点O出发，沿射线OC方向运动，速度为每秒个单位，过点D作x轴的垂线，交直线AB于点E，设△EDC的面积为S，点D的运动时间为t，写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点D运动时间恰好为2秒时，点P为直线AD上的动点，在平面内，是否存在点Q，使以点O，A，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，sin∠B，AB＝10，点D以每秒5个单位长度的速度从点B处沿沿射线BC方向运动，点F以相同的速度从点A出发沿边AB向点B 运动，当F运动至点B时，点D、E同时停止运动，设点D运动时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段BD和BF的长度．则BD＝，BF＝．（2）设△BDF的面积为S，求S关于t的函数表达式．（3）如图2，以DF为对角线作正方形DEFG，在运动过程中，是否存在正方形DEFG的一边恰好落在Rt△ABC的一边上，若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．6．如图，直线L1：y＝x+1与直线L2：y＝﹣x+5相交于点C直线L1与x轴相交于点A，直线L2与x轴相交于点B．（1）求三角形ABC的面积；（2）若经过点C的一条直线交x轴于D，直线CD把三角形ABC分成两个三角形，且这两个三角形面积的比为1：2，请直接写出点D的坐标；（3）假设G是直线y＝x+1上的点，在坐标平面上是否存在一点Q，使以A，B，Q，G为顶点的四边形是正方形，若存在求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．7．如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合）EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．（1）求证：CE＝EP（2）若点E坐标为（3，0）时．①在y轴上是否存在点M使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．②在平面内是否存在点Q，使四边形CEPQ为正方形，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y x+4分别交x、y轴于B、A两点，将△AOB沿直线l2：y＝2x B落在点C处．（1）点C的坐标为；（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的解析式；（3）在（2）的条件下，当点D在第一象限时，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．9．如图，对称轴为直线x的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．正方形存在性问题巩固练习（提优）1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，AD＝24，BC＝32，点P从A点出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以3cm/s的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点，也随之停止运动．（1）从运动开始，两点运动多长时间时，PQ＝CD？（2）从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．【解答】（1）t＝10；（2）t＝8时，四边形ABQP是正方形【解析】（1）分两种情况：①当P、Q运动到P1D＝Q1C，P1D平行且等于Q1C，如图所示：此时四边形P1DCQ1是平行四边形，此时P1Q1＝CD．设运动时间为t秒，则AP1＝t，P1D＝24﹣t，CQ1＝3t，BQ1＝32﹣3t，∵P1D＝CQ1，∴24﹣t＝3t，解得t＝6，即t＝6时，P1Q1＝CD；②当P、Q运动到P2，Q2时，过D，P2分别作DH⊥BC于H，P2G⊥BC于G，如图所示：当Q2G＝HC＝8时，△P2Q2G≌△DCH，此时P2Q2＝CD．∵CQ2＝CH+HG+GQ2＝CH+DP2+GQ2，∴3t＝8+（24﹣t）+8，解得t＝10．综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，PQ＝CD；（2）假设存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形．如图．∵∠B＝90°，AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形ABQP为矩形，即t＝32﹣3t，解得t＝8，此时AP＝AB＝8，∴矩形ABQP为正方形，所以当t＝8时，四边形ABQP是正方形．2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y 轴于点C、B，点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，且AB⊥BC．（1）求直线BC和AB的解析式；（2）将点B沿某条直线折叠到点O，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）直线AB的解析式为，直线BC；【解答】（2）F坐标为（﹣2，0）或（0，0）；（3）M″（﹣3﹣，3+），N﹣3﹣3）【解析】（1）在Rt△AOB中，∵OA＝2，∠ABO＝30°，∴OB，在Rt△OBC中，∵∠BCO＝30°，OB，∴OC＝6，∴B（0），C（﹣6，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AB的解析式为，设直线BC的解析式为y＝k′x+b′则有，解得，∴直线BC．（2）如图，根据对称性可知，当点F与O重合时，∠EF′D＝∠EBD＝90°，此时F′（0，0），设DE交OB于K，作FH⊥DE于H．当△EFD≌△DF′E时，∠EFD＝∠DF′E＝90°，易证DK＝EH＝1，DE＝＝4，∴KH＝OF＝4﹣2＝2，∴F（﹣2，0），综上所述，满足条件的点F坐标为（﹣2，0）或（0，0）．（3）如图2中，∵B（0），C（﹣6，0），∴BC＝4，当BC为正方形BCMN的边时，M（﹣6﹣，6），N（﹣，2+6）或M′（2﹣6，﹣6），N′（2，2﹣6）．当BC为正方形的对角线时，M″（﹣3﹣，3+），N″（﹣3，﹣3）．3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm．点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜3）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点？（2）设四边形PNQM的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM：S△ABC＝4：9？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1；（2）y＝S四边形PNQM ＝t2+6（0＜t＜5）；（3）t＝（4）不存在【解析】（1）过点A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝3，AD＝4，∵PM⊥BC，∴PM∥AD，∴∵点M是AB的中点，∴BM＝AB，∵BP＝t，∴；（2）∵∠B＝∠B，∠MPB＝∠ADB＝90°，∴△MBP∽△ABD，∴，∴∴，同理：△QCN∽△ACD，∴，∴CQ＝5﹣t，∴，∴QN＝（5﹣t）＝4t，CN＝3﹣，∴PN＝6﹣t﹣3+t，∴y＝S四边形PNQM＝MP+QN）•PN t+4t）（3﹣）＝t2+6（0＜t＜5）；（3）存在，理由：假设存在t，使S四边形PNQM：S△ABC＝4：9，，∴y＝SBC•AD＝12，∵S，∴t＝﹣t＝即：存在时间t＝S四边形PNQM：S△ABC＝4：9，（4）不存在，理由：假设存在，使四边形PNQM为正方形，∴PM＝QN，PM＝PN，当PM＝QN时，t＝4t，∴t，∴PM t＝，PN＝3﹣＝，∴PM≠PN，∴不存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形．4．在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，点C是线段AB的中点．（1）如图，求直线OC的解析式；（2）点D从点O出发，沿射线OC方向运动，速度为每秒个单位，过点D作x轴的垂线，交直线AB于点E，设△EDC的面积为S，点D的运动时间为t，写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点D运动时间恰好为2秒时，点P为直线AD上的动点，在平面内，是否存在点Q，使以点O，A，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）y＝2x；（2）S＝2t2﹣12t+18（t＞0且t≠3）；（3）Q1（6，6），Q2（3，﹣3）【解析】（1）∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，∴当y＝0时，﹣2x+12＝0，解得x＝6，即A（6，0），当x＝0时，y＝12，即B（0，12），∵点C是线段AB的中点，∴点C坐标为（3，6）．设直线OC的解析式为y＝kx，则3k＝6，解得k＝2，故直线OC的解析式为y＝2x；（2），点D从点O出发，沿射线OC方向运动，速度为每秒个单位，∴点D运动到点C．设ED⊥x轴于点M．∵OC为直角△ABC斜边AB的中线，∴OC＝AC，∴∠DOM＝∠OAB．∵在直角△DOM中，OD＝t，∴OM＝OD•cos∠DOM＝OD•cos∠OAB＝，DM＝OD•sin∠DOM＝OD•sin∠OAB，∴D（t，2t），∴E（t，﹣2t+12）．如图，分两种情况：①当0＜t＜3时，D在线段OC上，∵DE＝﹣2t+12﹣2t＝﹣4t+12，C到DE的距离为：3﹣t，∴S△CDE＝4t+12）（3﹣t）＝2t2﹣12t+18，即S＝2t2﹣12t+18；②当t＞3时，D线段OC的延长线上，∵DE＝2t﹣（﹣2t+12）＝4t﹣12，C到DE的距离为：t﹣3，∴S△CDE＝4t﹣12）（t﹣3）＝2t2﹣12t+18，即S＝2t2﹣12t+18；综上所述，S与t的函数关系式为S＝2t2﹣12t+18（t＞0且t≠3）；（3）当点D运动时间为2秒时，OD，D（2，4）．设直线AD的解析式为y＝mx+n，∵A（6，0），D（2，4），∴，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+6，∴直线AD与y轴交点为（0，6）．以点O，A，P，Q为顶点的四边形为正方形时，分两种情况：①如果OA为正方形的边，如图，作正方形OP1Q1A，则P1为直线AD与y轴交点，如图所示：∵OA＝OP1＝6，∠OAQ1＝90°，∴Q1点的坐标为（6，6）；②如果OA为正方形的对角线，设OA中点为N，则N（3，0），当x＝3时，y＝﹣3+6＝3．作OA的垂直平分线l，交直线AD于点P2，如图所示：则P2点的坐标为（3，3），在l上截取NQ2＝NP2，则四边形OP2AQ2是正方形，此时Q2点的坐标为（3，﹣3）．综上所述，所求Q点的坐标为Q1（6，6），Q2（3，﹣3）．5．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，sin∠B，AB＝10，点D以每秒5个单位长度的速度从点B处沿沿射线BC方向运动，点F以相同的速度从点A出发沿边AB向点B 运动，当F运动至点B时，点D、E同时停止运动，设点D运动时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段BD和BF的长度．则BD＝，BF＝．（2）设△BDF的面积为S，求S关于t的函数表达式．（3）如图2，以DF为对角线作正方形DEFG，在运动过程中，是否存在正方形DEFG的一边恰好落在Rt△ABC的一边上，若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）BD＝5t，BF＝10﹣5t；（2）S＝﹣t2+15t；（3）t＝s或s或s时，正方形DEFG的一边恰好落在Rt△ABC的一边上【解析】（1）在Rt△ABC中，∵AB＝10，tanB，∴AC＝6，BC＝8．由题意BD＝5t，BF＝10﹣5t，（2）如图1中，作FM⊥BC于M．∵FM∥AC，∴∴，∴FM10﹣5t）＝6﹣3t，∴S＝BD•FM＝5t•（6﹣3t）＝﹣t2+15t．（3）如图2中，当DE在BC边上时，作FM⊥AC于M．易知FM＝EC＝4t，AM＝3t，CM＝EF＝DE＝6﹣3t，∵BD+DE+EC＝8，∴5t+6﹣3t+4t＝8，∴t s．如图3中，当FG在AB边上时，易知DG＝FG＝3t，BG＝4t，∵BG+FG+AF＝10，∴4t+3t+5t＝10，∴t s．如图4中，当DG在BC边上上时，易知FG＝DG＝6﹣3t，BG＝8﹣4t，∵BD＝BG+DG＝5t，∴8﹣4t+6﹣3t＝5t，∴t s．如图5中，当EF在边AB上时，易知BE＝4t，DE＝EF＝3t，∵BE﹣EF＝BF，∴4t﹣3t＝10﹣5t，∴t＝．综上所述，t s或或s或时，正方形DEFG的一边恰好落在Rt△ABC的一边上．6．如图，直线L1：y＝x+1与直线L2：y＝﹣x+5相交于点C直线L1与x轴相交于点A，直线L2与x轴相交于点B．（1）求三角形ABC的面积；（2）若经过点C的一条直线交x轴于D，直线CD把三角形ABC分成两个三角形，且这两个三角形面积的比为1：2，请直接写出点D的坐标；（3）假设G是直线y＝x+1上的点，在坐标平面上是否存在一点Q，使以A，B，Q，G为顶点的四边形是正方形，若存在求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．【解答】（1）S△ABC＝9；（2）D（1，0）或D（3，0）；（3）Q（﹣1，6）或Q（2，﹣3）【解析】（1）在y＝x+1中，当y＝0时，则x＝﹣1，∴A（﹣1，0）在y＝﹣x+5中当y＝0时，则x＝5，∴B（5，0）∴AB＝OA+OB＝6，由，解得，∴C（2，3）∴作CE⊥x轴于E．∴E（2，0）∴CE＝3•AB•CE6×3＝9，∴S（2）由题意A（﹣1，0），B（5，0），AD＝2BD或BD＝2AD，可得D（1，0）或D（3，0）．（3）设y＝x+1交y轴于F，则F（0，1）．∴OF＝OA，∴∠OAF＝45°，同理∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，∴CA＝CB，在L1上取点G（G异于A），且CG＝CA，在L2上取点Q（Q异于B），且CQ＝CB∴CG＝CA＝CQ＝CB，又∵AG⊥BQ，∴四边形ABGQ为正方形，又∵A（﹣1，0），∴AB＝AQ＝6∴Q（﹣1，6）．当G与C重合时，以AB为对称轴作G的对称点Q，于是四边形AQBG为正方形．又∵G（2，3），∴Q（2，﹣3）综合上述：Q（﹣1，6）或Q（2，﹣3）．7．如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合）EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．（1）求证：CE＝EP（2）若点E坐标为（3，0）时．①在y轴上是否存在点M使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．②在平面内是否存在点Q，使四边形CEPQ为正方形，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，说明理由．【解答】（1）见解析；（2）①M（0，2），②Q（5，8）【解析】（1）证明：如图1，在OC上截取OK＝OE．连接EK，∵OC＝OA，∠COA＝∠BAO＝90°，∠OEK＝∠OKE＝45°，∵AP为正方形OCBA的外角平分线，∴∠BAP＝45°，∴∠EKC＝∠P AE＝135°，∴CK＝EA，∵EC⊥EP，∴∠CEF＝∠COE＝90°，∴∠CEO+∠KCE＝90°，∠CEO+∠PEA＝90°，∴∠KCE＝∠PEA，在△CKE和△EAP中，，∴△CKE≌△EAP（ASA），∴EC＝EP；（2）①y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形．如图2，过点B作BM∥PE交y轴于点M，连接BP，EM，则∠CQB＝∠CEP＝90°，所以∠OCE＝∠CBQ，∵在△BCM和△COE中，∵，∴△BCM≌△COE（ASA），∴BM＝CE，∵CE＝EP，∴BM＝EP．∵BM∥EP，∴四边形BMEP是平行四边形，∵△BCM≌△COE，∴CM＝OE＝3，∴OM＝CO﹣CM＝2．故点M的坐标为（0，2）．②如图3，存在点Q使四边形CEPQ是正方形，过点Q作QH⊥y轴于点Q，则∠QHC＝∠COE＝90°，∴∠HQC+∠HCQ＝90°，∵∠QCE＝90°，∴∠HCQ+∠ECO＝90°，∴∠ECO＝∠HQC，∵四边形CEPQ是正方形，∴CQ＝EC，∴△HCQ≌△OEC（AAS），∴HC＝OE＝3，HQ＝OC＝5，则HO＝8，∴点Q的坐标为（5，8）．8．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y x+4分别交x、y轴于B、A两点，将△AOB沿直线l2：y＝2x B落在点C处．（1）点C的坐标为；（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的解析式；（3）在（2）的条件下，当点D在第一象限时，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】（1）（0，3）；（2）y＝2x或y＝﹣2x；（3）点P（﹣3，1）【解析】（1）直线l1：分别交x、y轴于B、A两点，则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（6，0），设直线l2与y轴交于点H（0，），则CH＝BH OC＝HC﹣OH，故答案为：（0，3）；（2）①点D在第一象限时，∵△CDB与△CDO面积相等，∴CD∥OB，∴点D的纵坐标为3，当y＝3时，+4＝3，解得：x，∴点D的坐标为（3），∴直线OD的解析式为：y＝2x；②点D在第二象限时，AC＝4﹣3＝1．设点D到y轴的距离为a，则S△CDB＝S△CDA+S△CAB＝1•a×1×6＝+3，∵△CDB与△CDO面积相等，∴+3＝×3a，解得a＝3，∴点D的横坐标为﹣3，当x＝﹣3时，y＝3）+4＝6，∴点D的坐标为（﹣3，6），∴直线OD的解析式为：y＝﹣2x；（3）存在，理由：设直线OD平移后的解析式为y＝2x+b，令y＝0，则2x+b＝0，解得x＝﹣，令x＝0，则y＝b，所以OE b，OF＝b，过点M作MN⊥y轴于N，过点P作PQ⊥x轴于Q，如图所示：∵四边形EFMP为正方形，∴△MNF≌FOE≌△EQP，∴MN＝OF＝EQ，NF＝OE＝PQ，M（m，3），∴ON＝b+b＝3，解得b＝2，∴OE＝1，OF＝2，∴OQ＝OE+QE＝1+2＝3，∴M（﹣2，3），P（﹣3，1）．故存在点M（﹣2，3）和点P（﹣3，1），使四边形EFMP为正方形．9．如图，对称轴为直线x的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）（2）S＝﹣4（x﹣）2+25（1＜x＜6）；（3）①是，②不存在【解析】（1）由题可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣）2+k，∵抛物线经过点A（6，0）和B（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为（2）过点E作EH⊥OA，垂足为H，如图1，由＝0得x1＝1，x2＝6．∵点E（x，y）是抛物线上位于第四象限一动点，∴1＜x＜6，y＜0．∵四边形OEAF是平行四边形，∴△OAE≌△AOF．∴S＝2S△OAE＝2•EH＝OA•EH＝﹣6y＝﹣6×[x2﹣＝﹣4（x）2+25．∴四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式为S＝﹣4（x）2+25，其中1＜x＜6．（3）①当S＝24时，﹣4（x）2+25＝24，解得x1＝4，x2＝3．Ⅰ．当x＝4时，y×（4﹣）2﹣＝﹣4，则点E（4，﹣4）．过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2，则有OH＝4，EH＝4，AH＝2．∵EH⊥x轴，∴OE AE．∴OE≠AE．∴平行四边形OEAF不是菱形．Ⅱ．当x＝3时，y×（3﹣）2﹣＝﹣4，则点E（3，﹣4）．过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图3，则有OH＝3，EH＝4，AH＝3．∵EH⊥x轴，∴OE＝5，AE＝5．∴OE＝AE．∴平行四边形OEAF是菱形．综上所述；当点E为（4，﹣4）时，平行四边形OEAF不是菱形；当点E为（3，﹣4）时，平行四边形OEAF是菱形．②不存在点E，使四边形OEAF为正方形．理由如下：当点E在线段OA的垂直平分线上时，EO＝EA，则平行四边形OEAF是菱形，如图4，此时，x E＝＝3，y E＝﹣4，点E为（3，﹣4）．则有OA＝6，EF＝8．∵OA≠EF，∴菱形OEAF不是正方形．∴不存在点E，使四边形OEAF为正方形．。

正方形一、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，即：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（2）对角线与边的夹角为︒45；（3）正方形是中心对称和轴对称图形，对称中心在两条对角线交点上；对称轴有四条；（4）正方形内任意一点P 到四个顶点的长也满足下列关系： 2222PD PB PC PA +=+二、正方形的判定（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角 的平行四边形是正方形。

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（3）有一个角是直角的菱形是正方形。

（4）对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。

特殊四边的中点四边形：ABCDP等腰梯形的中点四边形是菱形直角梯形的中点四边形是平行四边形梯形的中点四边形是平行四边形平行四边形的中点四边形是平行四边形矩形的中点四边形是菱形菱形的中点四边形是矩形正方形的中点四边形是正方形归纳：特殊四边形的中点四边形：◆平行四边形的中点四边形是平行四边形◆矩形的中点四边形是菱形◆菱形的中点四边形是矩形◆正方形的中点四边形是正方形◆等腰梯形的中点四边形是菱形◆直角梯形的中点四边形是平行四边形◆梯形的中点四边形是平行四边形一般四边形的中点四边形：决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系例题分析例1 下列叙述错误的是（）A.既是矩形又是菱形的四边形是正方形B.有一组邻边相等的矩形是正方形C.有一个角是直角的菱形是正方形D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形例2 如图1-3-1，正方形ABCD 的面积为256，点E 在AD 上，点F 在AB 的延长线上，EC ⊥FC ，∆CEF 的面积是200，则BF 的长是 .例 3 已知E 为边长是1的正方形ABCD 内一点，且AEB S ∆=0.1999，则CED S ∆= .例4 如图1-3-2，正方形ABCD 的边长AB=20，F 为AD 上的一点，连接CF ，作CE ⊥CF 交AB 的延长线于E ，作DG ⊥CF 交CF 于G ，若BE=15，则DG 的长为 .例5 如图1-3-3，正方形ABCD 中，E ，F 为BC ，CD 上的点，且∠EAF=45°，求证EF=BE+DF .1-3-11-3-21-3-3例6 如图1-3-4，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为AD ，BC 上的两个点，且BF=DE=1，从EF 的中点O 作EF 的垂直平分线，交CD 于G ，则OG = .例7 如图1-3-5，正方形ABCD 的边长为a ，E ，F ，G ，H 分别在正方形的四条边上，已知EF//GH ，EF=GH ，（1）若AE=AH=13a ，求四边形EFGH 的周长和面积；（2）求四边形EFGH 的周长的最小值.例8 如图1-3-6，已知E 是正方形ABCD 内一点，且∠ECD=∠EDC=15°，则AEB ∠= .90.DEC D DE A DE A AD AEB ∆︒''∆∆∠分析：利用旋转将以为中心顺时针旋转得到，再将以为轴对称即可得出度数1-3-41-3-61-3-51-3-81.在正方形ABCD 内有点P ，使∆PAB 、 ∆PBC 、∆PCD 、∆PDA 都是等腰三角形，那么具有这样性质的点是 个2.已知边长为4的正方形ABCD 中，F 是AD 的中点，E 点在AB 边上，且AE:EB=1:3，那么EFC S ∆= .3.一张边长为6的长方形纸片，按图1-3-7加以折叠，使得一角顶点落在对边上，则折痕长为 .4.若P 是边长为1的正方形ABCD 内一点，且0.31ABP S ∆=，则DCP S ∆= .5.边长为10的正方形，把边长增加同样的长度后，所得面积是625，则边长增加了 .6.如图1-3-8将正方形内接于等腰Rt ABC ∆，如果按照图甲的放法，可求得该正方形的面积是441，如果按照图乙的放法，那么只能放边长为 的正方形1-3-77.如图1-3-9，在面积为1的正方形ABCD 内取一点P ，使PBC ∆为等边三角形，求∆BPD 的面积.8.如图1-3-10，正方形OPQR 内接于∆ABC .已知∆AOR 、∆BOP 和∆CRQ 的面积分别是1、3和1.试求正方形OPQR 的面积.9.如图1-3-11，已知正方形AC 、BD 相交于点O ，BE 平分∠OBA ，CF ⊥BE 与F ，交OB 于G ，求证OE=OG.10.如图1-3-12，点P 在正方形ABCD 内，若PA:PB:PC=1：2：3，求∠APB 的度数.1-3-91-3-101-3-111-3-1211.如图1-3-13，过正方形ABCD 的顶点B 作直线l ，过,A C 作l 的垂线，垂足分别为,E F .若1AE =，3CF =，则AB 的长度为 .练习12（中，折叠与正方形的性质）如图1-3-14，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合。

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】正方形（提高）责编：康红梅【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】【特殊的平行四边形（正方形）知识要点】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2016•哈尔滨）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．【思路点拨】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．【答案与解析】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ【总结升华】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等．举一反三：【变式1】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG．(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．Y【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴ DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．又∵ CE＝AG，∴△DCE≌△DAG，∴∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＋∠GDA＝90°，∴ DE⊥DG．(2)四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK，DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD．∴四边形CKGD为平行四边形．∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF∴四边形CEFK为平行四边形．【特殊的平行四边形（正方形）例9】【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．【答案】2；提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.类型二、正方形的判定2、（2015•闸北区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC 的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．（1）求证：AF=BF；（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形．【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，再根据等角的余角相等可得∠B=∠BAF，所以AF=BF．（2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形．【答案与解析】证明：（1）∵AD=CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC．即得DE是线段AC的垂直平分线．∴AF=CF．∴∠FAC=∠ACB．在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．∴∠B=∠BAF．∴AF=BF．（2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．在△AEG和△CEF中，，∴△AEG≌△CEF（AAS）．∴AG=CF．又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．即得点F是边BC的中点．又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．∴四边形AFCG是正方形．【总结升华】本题考查的是正方形的判定方法，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质．举一反三：【变式】（2015春•上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【答案】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHG=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG 的面积=CG •FQ=×2×2=2．类型三、正方形综合应用3、E、F 分别是正方形ABCD 的边AD 和CD 上的点，若∠EBF＝45°．(1)求证：AE＋CF＝EF．(2)若E 点、F 点分别是边DA、CD 的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明．【答案与解析】证明：（1）延长DC，使CH＝AE，连接BH，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，∴ Rt△BAE≌Rt△BCH，∴∠1＝∠2，BE＝BH．又∵∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，∴∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，⎧BE =BH ,在△EBF 和△HBF 中，⎪⎨∠EBF =∠HBF ,⎪⎩BF =BF ,∴△EBF≌△HBF，∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF．(2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE．证明：在CF 上截取CH＝AE，连接BH．∵四边形ABCD 是正方形，∴在Rt△EAB 和Rt△HCB 中，⎧⎪AE =CH ,⎨∠EAB =∠HCB =90°,⎪⎩AB =BC ,∴ Rt△EAB≌Rt△HCB，∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．∵∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴∠EBA ＋∠ABH＝90°．又∵∠EBF＝45°，∴∠HBF＝45°，即∠EBF＝∠HBF．⎧BE=BH,⎪在△EBF和△HBF中⎨∠EBF=∠HBF,⎪BF=BF,⎩∴△EBF≌△HBF，∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE．【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补短”的方法正确地作出辅助线.4、正方形ABCD的对角线交点为O，如图所示，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC＝2FO．【思路点拨】在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1，通常采用折半2法或加倍法．而折半法又可分直接折半法和间接折半法；加倍又可分直接加倍法和间接加倍法．这就需要学生仔细研究，找到解决问题的合适方法．【答案与解析】证法一：(间接折半法)如图①所示．∵∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．∴∠3＝∠5，BE＝BF．取AE的中点G，连接OG，∵ AO＝OC，∴ OG 1 EC．2由∠7＝∠5，∠8＝∠3，∴∠7＝∠8，∴ FO＝GO．∴ EC＝2OG＝2FO．证法二：(直接折半法)如图②所示．由证法一得BE＝BF．取EC的中点H，连接OH．∵ AO＝OC，∴ OH∥AE．∴∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．∴ BO＝BH，∴ FO＝EH．∴ EC＝2EH＝2FO．证法三：(直接加倍法)如图③所示．由证法一得BE＝BF．在OD上截取OM＝OF，连接MC．易证Rt△AOF≌Rt△COM．∴∠OAF＝∠OCM，∴ AE∥MC．由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，∴ FM＝EC．∴ EC＝FM＝2FO．【总结升华】若题目中涉及线段的倍半关系和中点问题时，要联想中位线定理，利用中点构造中位线，要注意从不同的角度进行思构，构造不同的辅助线来解决问题．举一反三：【变式】在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图①，易证EG＝CG，且EG⊥CG．(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明．【答案】解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．(2)EG＝CG，且EG⊥CG．证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴ MG＝1FD＝FG．2∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°．又FG＝DG，∠CMG＝1∠EMD＝45°，2∴∠F＝∠GMC，∴△GFE≌△GMC，∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，∵ MG⊥DF，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，∴ EG⊥CG．。

初中数学里，正方形相关的题型是非常重要的，它涉及到了面积、周长、对角线、图形的性质等等。

掌握好正方形的相关知识，对学生的数学学习有着重要的影响。

在这篇文章中，我们将会介绍初中数学中与正方形相关的压轴题题型，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这部分知识。

一、正方形的性质1.定义正方形是一种特殊的四边形，它有四条边，四个角均为直角，且四条边均相等。

2.面积公式正方形的面积公式为：面积 = 边长× 边长，即S=a^2。

3.周长公式正方形的周长公式为：周长= 4 × 边长，即C=4a。

4.对角线性质正方形的对角线相等且垂直平分。

二、正方形的应用题1.求面积已知一个正方形的边长为5cm，求其面积。

解：根据正方形的面积公式可知，面积= 5cm × 5cm = 25cm²。

该正方形的面积为25平方厘米。

2.求周长已知一个正方形的周长为24dm，求其边长。

解：根据正方形的周长公式可知，周长= 4 × 边长，即24dm = 4 × 边长，解得边长为6dm。

该正方形的边长为6分米。

3.求对角线长已知一个正方形的对角线长为10m，求其面积。

解：根据对角线分割正方形为两个全等的直角三角形，可以利用勾股定理求得正方形的边长，再利用面积公式求得面积。

三、正方形的相关性质1.正方形的对角线长度为边长的√2倍。

2.正方形的边长、对角线和面积的关系。

3.正方形与菱形的关系。

四、解题方法1.结合图形进行解题。

2.利用正方形的性质和公式进行计算。

3.将问题转化为方程，从而求解。

五、典型例题分析1.已知一个正方形的对角线长为6cm，求其面积和周长。

2.一个正方形的面积是16平方米，求其边长和周长。

3.一个正方形和一个等边三角形的周长相等，且它们的面积分别为36平方米和24平方米，求正方形的边长。

六、学习方法1.掌握正方形的定义和性质。

2.熟练掌握正方形的面积和周长公式。

3.多做相关的练习题，加深对知识的理解和掌握。

《正方形》提高训练一、选择题1．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，B点的坐标是（）A．（2，0）B．C．（2，﹣1）D．（2，1）2．下列说法中正确的是（）A．对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直且一组邻边相等的平行四边形是正方形C．四个角都相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形3．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的大小是（）A．67.5°B．22.5°C．30°D．45°4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠DAE=67.5°，EF ⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1B．C．4D．35．如图，正方形ABCD的边长为6，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=4，则四边形EFGH的面积是（）A．14B．16C．18D．20二、填空题6．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠DEF=度．7．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BG于点E，CF⊥AD于点F，∠B=60°，当边AD：AB=时，四边形AECF是正方形．8．如图，在正方形ABCD中，边长为4，对角线AC、BD交于点O，点E是BC 边上任意一点，分别向BD、AC作垂线，垂足分别为F、G，则四边形OFEG 的周长是．9．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为72cm2，则菱形的边长为．（结果中如有根号保留根号）10．如图，在△BC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点．延长DE到点F，使DE=EF，得四边形ADCF．若使四边形ADCF是正方形，则应在△ABC中再添加一个条件为．三、解答题11．如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE，求证：AF=AD+CF．12．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）求证：BG⊥DE．13．如图（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．（1）求证：△ABD≌△FBC；（2）如图（2），求证：AM2+MF2=AF2．14．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：BM=CM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时，四边形MENF是正方形？为什么？15．如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数．小明同学的想法是：不妨设PA=x，PB=2x，PC=3x，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．请你回答图2中∠APB=度．请你参考小明同学的方法，解答下列问题．如图3，P是等边△ABC内一点，PA：PB：PC=3：4：5，那么∠APB=度．请写出推理过程．《正方形》提高训练参考答案与试题解析一、选择题1．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，B点的坐标是（）A．（2，0）B．C．（2，﹣1）D．（2，1）【分析】依据题意画出图形，然后依据旋转的性质确定出点B′的坐标即可．【解答】解：如图所示：过点B′作B′E⊥x轴，垂足为E．由旋转的性质可知：OA=AE=1，OB=BE′=1，∴点B′的租表为（2，﹣1）．∴旋转后B点的坐标是（2，﹣1）．故选：C．【点评】本题主要考查的是旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．2．下列说法中正确的是（）A．对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直且一组邻边相等的平行四边形是正方形C．四个角都相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形【分析】根据正方形的判定方法即可判断；【解答】解：A、对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，这个四边形是矩形，不一定是正方形；本选项不符合题意；B、对角线互相垂直且一组邻边相等的平行四边形是正方形，这个四边形是菱形，不一定是正方形；本选项不符合题意；C、四个角都相等的菱形是正方形，正确，本选项符合题意；D、对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形，这个四边形是菱形，不一定是正方形；本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的大小是（）A．67.5°B．22.5°C．30°D．45°【分析】由四边形ABCD是正方形，即可求得∠BAC=∠ACB=45°，又由AE=AC，根据等边对等角与三角形内角和等于180°，即可求得∠ACE的度数，又由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ACB=45°，∵AE=AC，∴∠ACE=∠E==67.5°，∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=67.5°﹣45°=22.5°．故选：B．【点评】此题考查了正方形的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质．4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠DAE=67.5°，EF ⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1B．C．4D．3【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，∵∠DAE=67.5°，在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE=4，∵正方形的边长为4，∴BD=4，∴BE=BD﹣DE=4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BE=×（4﹣4）=4﹣2．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．5．如图，正方形ABCD的边长为6，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=4，则四边形EFGH的面积是（）A．14B．16C．18D．20【分析】由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为6，AE=BF=CG=DH=4，可得AH=2，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴AH=BE=CF=DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB=BC=CD=DA=6，AE=BF=CG=DH=4，∴AH=BE=DG=CF=2，∴EH=FE=GF=GH==2，∴四边形EFGH的面积是：2×2=20，故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质和判定定理全等三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，证得四边形EFGH是正方形是解答此题的关键．二、填空题6．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠DEF=50度．【分析】直接利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出∠CBE=∠CDE=20°，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCE=45°，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE=∠CDE=20°，∴∠BFC=70°，∴∠DEF的度数是：70°﹣20°=50°．故答案为50．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△BCE≌△DCE（SAS）是解题关键．7．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BG于点E，CF⊥AD于点F，∠B=60°，当边AD：AB=2：（+1）时，四边形AECF是正方形．【分析】根据平行四边形的性质和正方形的判定解答即可．【解答】解：当AD：AB=2：（+1）时，∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∵AE⊥BG于点E，CF⊥AD于点F，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠B=60°，AE⊥BG，∴AB=2BE，AE=BE，∵AD：AB=2：（+1），∴BC：AB=2：（+1），∴EC=BC﹣BE=BE，∴AE=EC，∴平行四边形AECF是正方形．故答案为：2：（+1）【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，正方形的判定与性质的作用：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法．8．如图，在正方形ABCD中，边长为4，对角线AC、BD交于点O，点E是BC 边上任意一点，分别向BD、AC作垂线，垂足分别为F、G，则四边形OFEG 的周长是4．【分析】只要证明四边形OFEG的周长=OB+OC即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4，∴AC⊥BD，OB=OC=2，∠OBC=∠OCB=45°，∵EF⊥OB，EG⊥OC，∴∠EFO=∠FOG=∠EGO=90°，∴四边形OFEG是矩形，∴OF=EG，EF=OG，∵△EFB，△EGC都是等腰直角三角形，∴EF=FB，GE=GC，∴四边形OFEG的周长=OF+FE+OG+GE=OF+FB+OG+GC=OB+OC=4，故答案为4．【点评】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为72cm2，则菱形的边长为2．（结果中如有根号保留根号）【分析】连接AC、BD，由正方形的面积，可计算出正方形的边长和对角线AC 的长，再根据菱形的面积，计算出菱形的对角线BD的长，在直角△AOB中，求出菱形的边长．【解答】解：连接AC、BD，AC、BD相交于点O．∵正方形AECF的面积为72cm2，∴AE==6，AC=6×=12．∵菱形ABCD的面积为120cm2，即AC×BD=120∵AC=12，∴BD=20∵四边形ABCD是菱形，∴AO=AC=6，BO=BD=10，∴AB===2故答案为：2【点评】本题考查了菱形的性质、面积，正方形的面积及勾股定理．解决本题的关键是根据面积，求出菱形对角线的长．10．如图，在△BC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点．延长DE到点F，使DE=EF，得四边形ADCF．若使四边形ADCF是正方形，则应在△ABC中再添加一个条件为∠ACB=90°．【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可，再利用∠ACB=90°得出答案即可．【解答】解：∠ACB=90°时，四边形ADCF是正方形，理由：∵E是AC中点，∴AE=EC，∵DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AD=DB，AE=EC，∴DE=BC，∴DF=BC，∵CA=CB，∴AC=DF，∴四边形ADCF是矩形，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∵∠ACB=90°，∴∠AED=90°，∴矩形ADCF是正方形．故答案为：∠ACB=90°．【点评】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、正方形的判定；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．三、解答题11．如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE，求证：AF=AD+CF．【分析】过E点作EG⊥AF，垂足为G，根据题干条件首先证明Rt△AEG≌Rt△AED，即可得AG=AD，同理证明出CF=GF，于是结论可以证明AF=AD+CF．【解答】解：过E点作EG⊥AF，垂足为G，∵∠DAE=∠EAF，∠B=∠AGE=90°，即AE为角平分线，ED⊥AD，EG⊥AG，∴DE=EG，在Rt△AEG和Rt△AED中，，∴Rt△AEG≌Rt△AED（HL），∴AG=AD，∵E是CD的中点∴DE=EC=EG同理可知CF=GF，∴AF=AG+FG=AD+CF．【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质，此题难度不大．12．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）求证：BG⊥DE．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解答】证明：（1）∵∠BCD=∠GCE=90°，∴∠BCG=∠DCE，在△BCG与△DCE中，∴△BCG≌△DCE（SAS）；（2）∵△BCG≌△DCE，∴∠HBC=∠ODH，∵∠BHC=∠DHO，∵∠HBC+∠BHC=90°，∴∠ODH+∠DHO=90°，∴∠DOH=90°，∴BG⊥DE．【点评】本题考查三角形全等的判定和性质和正方形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．13．如图（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．（1）求证：△ABD≌△FBC；（2）如图（2），求证：AM2+MF2=AF2．【分析】（1）根据四边形ABFG、BCED是正方形得到两对边相等，一对直角相等，根据图形利用等式的性质得到一对角相等，利用SAS即可得到三角形全等；（2）根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵四边形ABFG、BCED是正方形，∴AB=FB，CB=DB，∠ABF=∠CBD=90°，∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠ABD=∠CBF，在△ABD和△FBC中，，∴△ABD≌△FBC（SAS）；（2）∵△ABD≌△FBC，∴∠BAD=∠BFC，∴∠AMF=180°﹣∠BAD﹣∠CNA=180°﹣（∠BFC+∠BNF）=180°﹣90°=90°，∴AM2+MF2=AF2．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．14．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：BM=CM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时，四边形MENF是正方形？为什么？【分析】（1）根据题意可以证明△AMB≌△DMC，从而可以证明结论成立；（2）根据题意和菱形的判定方法可以解答本题；（3）根据题意和（2）中的结论可以解答本题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵M为AD中点，∴AM=DM，在△ABM和△DCM中，∴△ABM≌△DCM（SAS），∴BM=CM；（2）四边形MENF是菱形．证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴NE∥CM，NE=CM，∵MF=CM，∴NE=FM，∵NE∥FM，∴四边形MENF是平行四边形，由（1）知△ABM≌△DCM，∴BM=CM，∵E、F分别是BM、CM的中点，∴ME=MF，∴平行四边形MENF是菱形；（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：∵M为AD中点，∴AD=2AM，∵AD：AB=2：1，∴AM=AB，∵∠A=90∴∠ABM=∠AMB=45°，同理∠DMC=45°，∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°，∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形，即当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．【点评】本题考查矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数．小明同学的想法是：不妨设PA=x，PB=2x，PC=3x，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．请你回答图2中∠APB=135度．请你参考小明同学的方法，解答下列问题．如图3，P是等边△ABC内一点，PA：PB：PC=3：4：5，那么∠APB=150度．请写出推理过程．【分析】图2中，根据旋转的性质知△BCP≌△BAE．由全等三角形的对应边相等、等腰三角形的判定推知△BPE是等腰三角形，则∠BPE=∠BEP=45°；然后由全等三角形的对应边相等、勾股定理证得∠APE=90°；最后根据图中角与角间的数量关系求得∠APB=135°；如图3，将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△ABM，然后连接PM，根据旋转的性质知∠PBM=60°，△BCP≌△BMA．推出△PBM是等边三角形，得到∠BPM ═∠PBM=60°，根据勾股定理的逆定理得到∠APM=90°，于是得到结论．【解答】解：如图2．∵根据旋转的性质知∠PBE=90°，△BCP≌△BAE，∴BP=BE，PC=AE，∴∠BPE=∠BEP=45°，PE=PB，又PA：PB：PC=1：2：3，设PA=x，PB=2x，PC=3x，∴AE=PC=3x，AP=x，PE=2x，∴AE2=AP2+PE2，∴∠APE=90°，∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°，即图2中∠APB的度数为135°．故答案是：135；如图3，将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△ABM，然后连接PM，∵根据旋转的性质知∠PBM=60°，△BCP≌△BMA．∴PB=BM，∴△PBM是等边三角形，∴∠BPM═∠PBM=60°，∵PA：PB：PC=3：4：5，∴PA=3x，PB=4x，PC=5x，∴AM=PC=5x，BM=PB=PM=4x，PA=3x，∴AM2=PA2+PM2，∴∠APM=90°，∴∠APB=90°+60°=150°∴PA：PB：PC=3：4：5，那么∠APB=150度，故答案是：150．【点评】本题综合考查了旋转的性质，等边三角形和正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点．旋转变化前后，对应角、对应线段分别相等，图形的大小、形状都不变．。

正方形的判定（4种题型）【知识梳理】一．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．二．正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【考点剖析】题型一：正方形判定定理的理解例1．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）满足下列条件的四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形B．对角线互相垂直的菱形C．对角线相等的矩形D．对角线互相垂直平分的四边形【答案】A【分析】根据正方形的判定方法即可求解．【详解】解：A选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故A选项正确，符合题意；B选项，对角线互相垂直的长方形是正方形，故B选项错误，不符合题意；C选项，对角线相等的菱形是正方形，故C选项错误，不符合题意；D选项，对角线互相垂直平分的长方形是正方形，故D选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形的判定，掌握“对角线相互垂直的矩形是正方形”，“对角线相等的菱形是正方形”，“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”的知识是解题的关键． 【变式】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交O ，添加下列条件不能判定矩形ABCD 是正方形的是（ ）A ．AB BC =B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．12∠=∠【答案】B 【分析】根据正方形的判定方法即可一一判断．【详解】解：A 、正确．邻边相等的矩形是正方形，不符合题意；B 、错误．矩形的对角线相等，但对角线相等的矩形不一定是正方形，故符合题意；C 、正确．∵四边形ABCD 是矩形，∴OD OB =，OC OA =，∵AC BD ⊥，∴AD AB =，∴矩形ABCD 为正方形，故不符合题意；D 、正确，∵12∠=∠，AB CD ，∴2ACD ∠=∠，∴1ACD ∠=∠，∴AD CD =，∴矩形ABCD 是正方形，故不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法．题型二：添加一个条件使四边形是正方形 例2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，D 是ABC 内一点，AD BC ⊥，E 、F 、G 、H 分别是AB BD CD AC 、、、的中点，添加下列哪个条件，能使得四边形EFGH 成为正方形（）A ．BD CD =B ．BD CD ⊥C ．AD BC = D ．AB AC =【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质可证EF GH =，EH FG =，推出四边形EFGH 是平行四边形，再根据AD BC ⊥证明EF FG ⊥，可得四边形EFGH 是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形可得选项C 为正确答案．【详解】解： E 、F 、G 、H 分别是AB BD CD AC 、、、的中点，∴ EF 是ABD △的中位线，CH 是ADC △的中位线，FG 是DBC △的中位线，EH 是ABC 的中位线， ∴12EF AD =，EF AD ∥，12GH AD =，GH AD ∥，12FG BC =，FG BC ∥，12EH BC =，EH BC ∥， ∴EF GH =，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形，EF AD ∥，FG BC ∥，AD BC ⊥，∴EF FG ⊥，∴四边形EFGH 是矩形，当AD BC =时，1122EF AD BC FG ===，可得四边形EFGH 是正方形．故选C ．【点睛】本题考查三角形中位线的性质，正方形的判定，解题的关键是掌握正方形的判定方法，以及中位线的性质，即平行于三角形的第三条边，且等于第三边长度的一半．【变式】．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）数学活动课上，何老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC 折出一个以A ∠为内角的菱形吗？石雨的折法如下：第一步，折出A ∠的平分线，交BC 于点D ，第二步，折出AD 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于点E 、F ，把纸片展平，第三步，折出DE 、DF ，得到四边形AEDF ，(1)请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形AEDF 是菱形；(2)ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 是正方形？请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)ABC 为直角三角形且90BAC ∠=︒，理由见解析．【分析】（1）根据要求画出图形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；（2）根据正方形与菱形的关系即可得知ABC 为直角三角形且90BAC ∠=︒，有一个角为直角的菱形为正方形．【详解】（1）解：图形如图所示：理由：∵AD 是BAC ∠ 的平分线，∴BAD CAD ∠=∠，∵EF 是AD 的垂直平分线，∴EA ED =，∴EAD EDA ∠=∠，∴EDA CAD ∠=∠，∴ED AF ∥．同理AE FD ∥，∴四边形 AEDF 是平行四边形，又EA ED =，∴四边形 AEDF 是菱形．（2）ABC 为直角三角形且90BAC ∠=︒，理由如下：∵四边形 AEDF 是菱形，90BAC ∠=︒，∴四边形AEDF 是正方形．【点睛】本题考查作图——复杂作图，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定等知识解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．题型三：证明四边形是正方形例3.如图，等边△AEF 的顶点E ，F 在矩形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠CEF ＝45°．求证：矩形ABCD 是正方形．【分析】先判断出AE ＝AF ，∠AEF ＝∠AFE ＝60°，进而求出∠AFD ＝∠AEB ＝75°，进而判断出△AEB ≌△AFD ，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝∠C ＝90°，∵△AEF 是等边三角形，∴AE ＝AF ，∠AEF ＝∠AFE ＝60°，∵∠CEF ＝45°，∴∠CFE ＝∠CEF ＝45°，∴∠AFD ＝∠AEB ＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出∠AFD＝∠AEB是解本题的关键．【变式1】如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分△ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：四边形CEDF是正方形．【分析】根据有三个角是直角的四边形是矩形判定四边形CEDF是矩形，再根据正方形的判定方法即可得出结论．【解答】证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．【点评】本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．【变式2】如图，已知点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是正方形．【分析】可通过证明△AEH，△DHG，△CGF，△BFE全等，先得出四边形EFGH是菱形，再证明四边形EFGH 中一个内角为90°，从而得出四边形EFGH是正方形的结论【解答】解：四边形EFGH是正方形．证明：∵AE＝BF＝CG＝GH，∴AH＝DG＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD．∴四边形EFGH是菱形．∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，∴∠EHA+∠GHD＝90°．∴∠EHG＝90°．∴四边形EFGH是正方形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、菱形的判定和性质、正方形的性质和判定，熟练掌握应用全等三角形的性质是解题的关键．题型四：根据正方形的判定与性质求线段长例4.如图所示△ABC中，∠C＝90A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CEDF为正方形；（2）若AC＝6，BC＝8，求CE的长．【分析】（1）直接利用矩形的判定方法以及角平分线的性质得出四边形CEDF为正方形；（2）利用三角形面积求法得出EC的长．【解答】（1）证明：过点D作DN⊥AB于点N，∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，∴四边形FCED是矩形，又∵∠A，∠B的平分线交于D点，∴DF＝DE＝DN，∴矩形FCED是正方形；（2）解：∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∴AB＝10，∵四边形CEDF为正方形，∴DF＝DE＝DN，∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC，则EC（AC+BC+AB）＝AC×BC，故EC＝＝2．【点评】此题主要考查了正方形的判定以及三角形面积求法和角平分线的性质等知识，得出DF＝DE是解题关键．【变式】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a．（1）求证：四边形ABCF是正方形；（2）求BG的长．【分析】（1）先根据∠B＝∠A＝∠AFC＝90°，判定四边形ABCF是矩形，再根据AB＝BC，即可得到四边形ABCF是正方形；（2）先判定△CEG≌△DEF（AAS），得出CG＝FD，再根据正方形ABCF中，BC＝AF，即可得到AF+FD＝BC+CG，即AD＝BG＝a．【解答】解：（1）∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，∴FC＝FD，∴∠D＝∠FCD＝45°，∴∠CFD＝90°，即∠AFC＝90°，又∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCF是正方形；（2）∵FG垂直平分CD，∴CE＝DE，∠CEG＝∠DEF＝90°，∵BG∥AD，∴∠G＝∠EFD，在△CEG和△DEF中，，∴△CEG≌△DEF（AAS），∴CG＝FD，又∵正方形ABCF中，BC＝AF，∴AF+FD＝BC+CG，∴AD＝BG＝a．【点评】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：有一组邻边相等的矩形是正方形；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．题型五：中点四边形 例5（2023·陕西西安·校考二模）已知四边形ABCD 为菱形，点E 、F 、G 、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，依次连接E 、F 、G 、H 得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 为（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形【答案】C【分析】连接AC BD 、，根据三角形中位线定理得到1122HG EF BD FG EH AC ====，，根据菱形的性质得到AC BD ⊥，即可判断四边形EFGH 为矩形．【详解】连接AC BD 、交于O ，∵点E 、F 、G 、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，∴1122HG EF BD FG EH AC ====，，FG AC ∥，EF BD ∥，∴四边形EFGH 为平行四边形，∵四边形ABCD 为菱形，∴90AOB ∠=︒，∴90AOB BPF GFE ∠=∠=∠=︒，∴四边形EFGH 为矩形，故选：C ．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定、菱形的性质是解题的关键．【变式】（2023·山东临沂·统考一模）四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交点O ，点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点．有下列四个推断，①对于任意四边形ABCD ，四边形MNPQ 可能不是平行四边形；②若AC BD =，则四边形MNPQ 一定是菱形；③若AC BD ⊥，则四边形MNPQ 一定是矩形；④若四边形ABCD 是菱形，则四边形MNPQ 也是菱形． 所有正确推断的序号是_____________．【答案】②③【分析】根据四边形的性质及中位线的性质推导即可．【详解】解：点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点，MN AC ∴∥且12MN AC =，PQ AC ∥且12PQ AC =，MN PQ ∴∥且MN PQ =，MNPQ ∴是平行四边形，故①错误； 点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点，∴12MN AC =，12PN BD =，AC BD =，MN PN ∴=，MNPQ 是平行四边形，∴四边形MNPQ 是菱形，故②正确；点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点，MN AC ∴∥，MQ BD ∥，AC BD ⊥，MN MQ ∴⊥，90QMN ∴∠=︒，MNPQ 是平行四边形，∴MNPQ 是矩形，故③正确；若要四边形MNPQ 是菱形，需满足AC BD =,当四边形ABCD 是菱形，AC 不一定等于BD ，故④错误；综上，正确的有：②③，故答案为：②③．【点睛】本题考查了中位线定理，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【过关检测】一、单选题 A ．AC BD =B ．【答案】B 【分析】已知四边形ABCD 是矩形，要使它成为正方形只有两种方法：（1）一组邻边相等；（2）对角线互相垂直，据此求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴当AC BD ⊥或当AD AB =或AB BC =或BC CD =或AD CD =时，四边形ABCD 是正方形；故选：B.【点睛】本题主要考查了正方形的判定，熟练地掌握正方形的判定方法是解题的关键．（1）一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．2．（2023春·广东深圳·九年级深圳市福田区石厦学校校考开学考试）下列命题正确的是（）A．对角线垂直的四边形是菱形B．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形C．顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是正方形D．对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半【答案】D【分析】利用平行四边形、菱形及正方形的判定方法及菱形的面积计算方法等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；B、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；C、顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是对角线相等且互相垂直的四边形，故原命题错误，不符合题意；D、对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、菱形及正方形的判定方法及菱形的面积计算方法等知识．【答案】B【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：A、四边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；B、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，符合题意；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，原命题是假命题，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握正方形的判定方法，是解题的关键．A ．①③B ．①②【答案】C 【分析】①根据正方形的性质和中位线定理可以解决问题；②利用①中结论可以证明OM MP ≠，可以解决问题；③利用①③中的结论，确定四边形EFNB 的面积与OMP 的面积比，正方形ABCD 面积与OMP 的面积比，可以解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，BD 为对角线∴45ABO ADB CBD BDC ∠=∠=∠=∠=︒，90BAD BCD ∠=∠=︒∴ABD △、BCD △是等腰直角三角形∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴EF BD ∥，12EF BD =，CE CF =∵90ECF ∠=︒,CE CF =∴CEF △是等腰直角三角形∵AP EF ⊥，EF BD ∥∴90AOD AOB ∠=∠=︒又∴45ABO ADB ∠=∠=︒∴ABO 、ADO △是等腰直角三角形∴AO BO =，AO DO =∴BO DO =∴AOB AOD △≌△∴AO BD ⊥又∵OP BD ⊥∴A 、O 、P 三点共线 ∴12PE PF EF ==又∵M ，N 分别为BO ，DO 的中点∴F O P M MB ON P ND E =====连接PC ，如图，∵FD CF =，ON ND =∴NF 是CDO 的中位线，∴NF AC ∥∵90DNF ∠=︒，45FDB ∠=︒∴DNF △是等腰直角三角形∴NF ND ON ==∵90ONF NOP OPF ∠=∠=∠=︒∴四边形FNOP 是矩形∵NF ON =∴四边形FNOP 是正方形∴OM OP =∴OMP 是等腰直角三角形∴图中的三角形都是等腰直角三角形故①正确；∵OMP 是等腰直角三角形∵45FDB ∠=︒∴MP BC ∥∴四边形MPEB 是平行四边形，在Rt OMP △中，MP OM ＞即BE BM ＞∵BE BM ≠∴四边形MPEB 不是菱形故②错误；∵OM BM ON ==，SBEPM BM OP =⨯，1S 2OMP OM OP =⨯⨯，S ONFP ON OP =⨯ ∴S S 2S BEPM ONFP OMP == ∴S S S S 5S BEPM OMP OMP ONFP EFNB =++=正方形四边形 ∵11S 2222AOB OB OA OM OP =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 即1S 44S 2AOB OMP OM OP =⨯⨯⨯= 又∵S 4S AOB ABCD =正方形 ∴S 16S OMP ABCD =正方形5S S 16ABCD EFNB =正方形四边形故③错误；故选：C ．【点睛】此题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题【答案】【分析】四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，AB=，如图所示，过点E作EH AD⊥于H，交BC于Q，AE与BC交于点P，可证(SAS)BCG QEC△≌△，(SAS)EQP ABP△≌△，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，AB=∴1122BG AG AB===，∴在Rt BCG中，52CG===，如图所示，过点E作EH AD⊥于H，交BC于Q，AE与BC交于点P，∵四边形CEFG为正方形，∴CE CG=，∵12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，在,BCG QEC△△中，1390EQC B CE CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)BCG QEC △≌△，∴EQ BC ==CQ GB ==，即Q 为BC 中点， 同理，可证(SAS)EQP ABP △≌△，∴1122QP BP BQ ====，12EP AP AE ==∴在Rt ABP 中，AP ====，∴22AE AP ===，故答案为：．【点睛】本题主要考查正方形与直角三角形勾股定理的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 6．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 作ON OM ⊥，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是5，则AB 的长为______．【答案】【分析】如图，过O 作OE AD ⊥于E ，OF CD ⊥于F ，则四边形OEDF 是正方形，证明()ASA EOM FON ≌，则EOM FON S S =，5OEDF MOND S S ==四边形，即25OE =，解得OE =，根据2AB OE =，计算求解即可．【详解】解：如图，过O 作OE AD ⊥于E ，OF CD ⊥于F ，则四边形OEDF 是正方形，∴OE OF =，90EOF EOM MOF ∠=︒=∠+∠，∵90MON FON MOF ∠=︒=∠+∠，∴EOM FON ∠=∠，∵EOM FON ∠=∠，OE OF =，90OEM OFM ∠=∠=︒，∴()ASA EOM FON ≌， ∴EOM FON SS =，∴5OEDF MOND S S ==四边形，即25OE =，解得OE =OE =，∴2AB OE ==故答案为：【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7．（2023·四川凉山·统考一模）如图，正方形ABCD 的边长为2，,E F 分别是,AD AB 边上一点，且AE BF =，连接,BE CF 交于点P ，则线段DP 的最小值为___________1【分析】如图所示，线段DP 中，点P 运动的路径是以BC 中点为圆心，12BC 为半径的半圆，分类讨论，①当E F 、在线段AD AB 、上时；②当E F 、在线段AD AB 、延长线上时；图形结合，根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，线段DP 中，点P 运动的路径是以BC 中点为圆心，12BC 为半径的半圆，①当E F 、在线段AD AB 、上时，如图所示，∴当BE CF ⊥时，DP 的值最小，∵正方形ABCD 的边长为2，∴如图所示，由此，对角线的长为AC BD ===∴1122DP AB ===②当E F 、在线段AD AB 、延长线上时，如图所示，∴当BE CF ⊥时，即点,,O P D 在一条直线，DP 的值最小，如图所示，连接OP ，∵BE CF ⊥，∴90BPC ∠=︒， ∵112122OB OP OC BC ====⨯=，2CD AB ==，∴在Rt OCD △中，OD =∴1DP OD OP =−=；综上所示，DP 1，1． 8．（2023·安徽安庆·校考一模）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，E 为AB 边上一点，将BEC 沿CE 翻折，点B 落在点F 处．当AEF △为直角三角形时，AE =___________．【答案】2或5/5或2【分析】分90,90,90AEF AFE FAE ∠=︒∠=︒∠=︒三种情形计算．【详解】解：当90AFE ∠=︒时，连接AC ，∵四边形ABCD 是矩形，8AB =，6AD =，∴90ABC CFE ∠=∠=︒，10AC ==，6AD BC ==，∵90AFE ∠=︒，∴180AFE CFE ∠+∠=︒，∴,,A F C 三点共线，根据折叠的性质，得6,CF BC EF EB ===，∴4AF AC CF =−=，设AE x =，则8EF EB x ==−，根据勾股定理，得()22284x x =−+，解得5x =，故5AE =；当90AEF ∠=︒时，∵四边形ABCD 是矩形，8AB =，6AD =，∴90ABC CFE ∠=∠=︒，6AD BC ==，∵90AFE ∠=︒，∴四边形BCFE 是矩形，根据折叠的性质，得6,CF BC EF EB ===，∴四边形BCFE 是正方形，∴6CF BC EF EB ====，∴862AE AB BE =−=−=，故2AE =；当90=︒∠FAE 时，∵CD CF ＞，∴F 点不可能落到AD 上，故90=︒∠FAE 不成立，故2AE =或5AE =，故答案为：2或5．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，分类思想，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．9．（2023·福建·模拟预测）如图，在正八边形ABCDEFGH 中，AC 、AE 是两条对角线，则∠CAE 的度数为_________°．【答案】45【分析】连接AG 、GE 、EC ，易知四边形ACEG 为正方形，根据正方形的性质即可求解．【详解】解：连接AG 、GE 、EC ，如图所示：∵八边形ABCDEFGH 是正八边形∴AB BC CD DE EF FG GH HA=======，(82)1801358ABC BCD CDE DEF EFG FGH GHA HAB −︒∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠==︒∴ABC CDE EFG GHA ∆≅∆≅∆≅∆∴AC CE EG GA ===∴四边形ACEG 是菱形又1(180135)22.52BAC BCA ∠=∠=︒−︒=︒，1(180135)22.52HAG HGA ∠=∠=︒−︒=︒∴13522.522.590CAG BAH BAC HAG ∠=∠−∠−∠=︒−︒−︒=︒∴四边形ACEG 为正方形，∵AE 是正方形的对角线，∴∠CAE=119022CAG ∠=⨯︒=45°．故答案为：45．【点睛】本题考查了正多边形的性质、正方形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．二、解答题 10．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，在ABC 中，90ACB ∠=，CD 为角平分线，DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．求证：四边形DECF 是正方形．【答案】见解析 【分析】先证明四边形DECF 是矩形，再由角平分线的性质得出DE DF =，即可得出结论．【详解】CD 是角平分线，DE AC ⊥，DF BC ⊥，DE DF ∴=，90CED CFD ∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，∴四边形DECF 是矩形，又DE DF =，∴四边形DECF 是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定方法、矩形的判定方法、角平分线的性质；熟练掌握正方形的判定方法，11．（2023·山西太原·太原市实验中学校考一模）已知，如图，矩形ABCD 中，6AD =，7DC =，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，2AH =，连接CF ．(1)如图1，若2DG =，求证四边形EFGH 为正方形；(2)如图2，若4DG =，求△FCG 的面积；(3)当DG 为何值时，△FCG 的面积最小．【答案】(1)见解析(2)3(3)当DG =△FCG 的面积最小为7【分析】（1）由于四边形ABCD 为矩形，四边形HEFG 为菱形，那么90D A ∠=∠=︒，HG HE =，而2AH DG ==，易证AHE DGH ≌，从而有DHG HEA ∠=∠，等量代换可得90AHE DHG ∠+∠=︒，易证四边形HEFG 为正方形；（2）过F 作FM DC ⊥，交DC 延长线于M ，连接GE ，由于AB CD ，可得AEG MGE ∠=∠，同理有HEG FGE ∠=∠，利用等式性质有AEH MGF ∠=∠，再结合90A M ∠=∠=︒，HE FG =，可证AHE MFG △△≌，从而有2FM HA ==（即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2)，进而可求三角形面积；（3）先设DG x =，由第（2）小题得，7FCG S x ∆=−，在AHE 中，7AE AB ≤=，利用勾股定理可得253HE ≤，在Rt DHG 中，再利用勾股定理可得21653x +≤，进而可求x ≤，从而可得当x GCF ∆的面积最小．【详解】（1）四边形ABCD 为矩形，四边形HEFG 为菱形，90D A ∴∠=∠=︒，HG HE =，又2AH DG ==，()Rt Rt HL AHE DGH ∴≌，DHG HEA ∴∠=∠， 90AHE HEA ∠+∠=︒，90AHE DHG ∴∠+∠=︒，90EHG ∴∠=︒，∴四边形HEFG 为正方形；（2）过F 作FM DC ⊥，交DC 延长线于M ，连接GE ， ∥AB CD ，AEG MGE ∴∠=∠，HE GF ∥，HEG FGE ∴∠=∠，∴∠=∠AEH MGF ，在AHE 和MFG 中，90A M ∠=∠=︒，HE FG =，AHE MFG ∴≌，2∴==FM HA ，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2， 因此()11274322FCG S FM GC =⨯⨯=⨯⨯−=；（3）设DG x =，则由第（2）小题得，7FCG S x ∆=−，在AHE ∆中，7AE AB ≤=，253HE ∴≤，21653x ∴+≤，x ∴FCG S ∆∴的最小值为7DG∴当DG =FCG ∆的面积最小为(7．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．（2023·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图，在平行四边形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ，点E ，F 在AC 上，且AE CF =，连接BE DF ，．(1)求证：BOE DOF ≌；(2)连接BF DE ，，若AB AD =，线段OE 满足什么条件时，四边形BEDF 为正方形．【答案】(1)证明见解析(2)当OE OD =时，四边形BEDF 为正方形，理由见解析【分析】（1）由平行四边形的性质得到OD OB OA OC ==，，再证明OE OF =即可利用SAS 证明BOE DOF ≌；（2）根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ，相交于点O ，∴OD OB OA OC ==，，∵AE CF =，∴OA AE OC CF −=−，即OE OF =，又∵DOF BOE ∠=∠，∴()SAS BOE DOF ≌△△；（2）解：当OE OD =时，四边形BEDF 为正方形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD OD OB OA OC ==⊥，，，∵AE CF =，∴OA AE OC CF −=−，即OE OF =，又∵OE OD =，∴OE OD OF OB ===，∴EF 与BD 互相垂直平分且相等，∴四边形BEDF 为正方形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定，灵活运用所学知识是解题的关键． (1)求证：①EFB EBF ∠=∠②矩形DEFG 是正方形；(2)求AG AE +的值．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)【分析】（1）①过E 作EM AD ⊥于M ，EN AB ⊥于N 利用正方形的性质和角平分线的性质得到()SAS ADE ABE ≌，EM EN =进而得到DE BE =，再证明四边形ANEM 是矩形，又四边形DEFG 是矩形和全等三角形的判定证明()ASA EMD ENF ≌，得到EF BE =，利用等腰三角形的性质可证得结论；②根据正方形的判定可得结论；（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明()SAS ADG CDE ≌△△得到AG CE =，进而得到AG AE AC +=即可求解．【详解】（1）证明：过E 作EM AD ⊥于M ，EN AB ⊥于N ，则90EMA EMD ENF ENB ∠=∠=∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45EAD EAB ∠=∠=︒，AD AB =，又AE AE =，∴()SAS ADE ABE ≌，EM EN =，∴DE BE =，∵90EMA ENA DAB ∠=∠=∠=︒，∴四边形ANEM 是矩形，又四边形DEFG 是矩形，∴90MEN DEF ∠=∠=︒，∴90DEM FEN MEF ∠=∠=︒−∠，又90EMD ENF ∠=∠=︒，EM EN =，∴()ASA EMD ENF ≌，则DE EF =，∴EF BE =，则EFB EBF ∠=∠；②∵四边形DEFG 是矩形，DE EF =，∴四边形DEFG 是正方形；（2）解 ：∵四边形DEFG 是正方形，四边形ABCD 是正方形，∴DG DE =，DC DA =，90GDE ADC ∠=∠=︒，∴ADG CDE ∠=∠，∴()SAS ADG CDE ≌△△，∴AG CE =，∴AG AE CE AE AC +=+===【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答的关键．14．（2023·山东聊城·统考三模）如图，已知四边形ABCD 为正方形，E 为对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 延长线于点F ，以DE ，EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．(1)求证：矩形DEFG 是正方形；(2)求证：CG 平分DCF ∠．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）过点E 分别作EM BC ⊥于点M ，EN CD ⊥于点N ，先证出四边形EMCN 为正方形，根据正方形的性质可得EM EN =，90MEN ∠=︒，再根据矩形的性质可得90DEF ∠=︒，从而可得DEN FEM ∠=∠，然后根据ASA 定理证出DEN FEM ≅，根据全等三角形的性质可得ED EF =，最后根据正方形的判定即可得证；（2）先根据正方形的性质可得,DE DG AD CD ==，ADE CDG ∠=∠，再根据SAS 定理可得ADE CDG ≅，根据全等三角形的性质可得45DCG DAE ∠=∠=︒，由此即可得证．【详解】（1）证明：如图，过点E 分别作EM BC ⊥于点M ，EN CD ⊥于点N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90BCD ∠=︒，45ECN ∠=︒，∴90EMC ENC BCD ∠=∠=∠=︒，∴NE NC =，∴四边形EMCN 为正方形，∴EM EN =，90MEN ∠=︒，∵四边形DEFG 是矩形，∴90DEF ∠=︒，∴90DEN NEF FEM NEF ∠+∠=∠+∠=︒，DEN FEM ∴∠=∠，在DEN 和FEM △中，90DNE FME EN EM DEN FEM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA DEN FEM ≅，∴ED EF =，∴矩形DEFG 为正方形．（2）证明：∵矩形DEFG 为正方形，DE DG ∴=，90EDC CDG EDG ∠+∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴=，90ADE EDC ADC ∠+∠=∠=︒，45DAE =︒∠，∴ADE CDG ∠=∠，在ADE V 和CDG 中，AD CD ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ADE CDG ≅，∴45DCG DAE ∠=∠=︒，∵90DCF ∠=︒，∴CG 平分DCF ∠．【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．(2)应用（1）中的结论解决问题：如图2，中山公园有一块菱形场地，其面积为19200m地上修建一个正方形花圃，并且要使正方形花圃的四个顶点分别落在菱形场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为________m．+【答案】(1)a b(2)48【分析】（1）连接CE ，利用等积法解答即可；（2）如解析图，设菱形CDEF 的两条对角线分别为2,2CE a DF b ==，根据菱形的性质可求出2009600a b ab +=⎧⎨=⎩，然后判定OPGQ 为正方形，且这个正方形为直角三角形COF 的“所容正方形”，再根据（1）的结论求解．【详解】（1）解：连接CE ，如图，设正方形DEFC 的边长为x ，则DE EF x ==，∵在ACB △中，90C ∠=︒，AC b BC a ==，， ∴()111111222222ABC S AC DE BC EF bx ax x a b ab =⋅+⋅=+=+=， ∴abx a b =+； 故答案为：aba b +；（2）如图，设菱形CDEF 的两条对角线交于点O ，且其长度分别为2,2CE a DF b ==，则,,CE DF CO EO a FO DO b ⊥====， 根据题意可得：22400122192002a b a b +=⎧⎪⎨⨯⨯=⎪⎩，整理得：2009600a b ab +=⎧⎨=⎩，若正方形MNGH 为在这个菱形场地上修建的正方形花圃，则根据菱形和正方形的对称性可得,GN DF GH CE ⊥⊥，则四边形OPGQ 也为正方形，且这个正方形为直角三角形COF 的“所容正方形”， 则由（1）的结论可得：这个正方形的边长960048200ab a b ===+m ；故答案为：48．【点睛】本题考查了勾股定理的拓展、菱形的性质以及正方形的判定和性质等知识，正确理解题意、熟练掌握相关图形的性质、合理利用所求的相关结论作答是解题的关键． (1)求证：ABF ECF ≌；(2)若AE AD =，连接BE ，当线段OF 与【答案】(1)证明见解析(2)当BD =时，四边形ABEC 为正方形，证明见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质得出ABF ECF ∠=∠，BAF CEF ∠=∠，进而利用全等三角形的判定得出即可；（2）首先判定四边形ABEC 是平行四边形，进而利用矩形的判定定理可得四边形ABEC 是矩形，结合BD =，证明BE CE =，从而可得结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，AB CD =，OA OC =，。

中考数学专题复习——正方形(详细答案) 中考数学复专题——正方形一．选择题（共4小题）1.如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）。

A。

等于B。

等于1C。

等于3/4D。

随点E位置的变化而变化2.如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）。

A。

1/8B。

1/4C。

1/2D。

3/43.下列说法中，正确个数有（）①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．A。

1个B。

2个C。

3个D。

4个4.下列说法中，正确的是（）A。

两条直线被第三条直线所截，内错角相等B。

对角线相等的平行四边形是矩形C。

相等的角是对顶角D。

角平分线上的点到角两边的距离相等二．填空题（共7小题）5.以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是60°。

6.如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△___由△DAM平移得到。

若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°。

其中正确结论的序号为①和②。

7.如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为9.8.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（3，-2）。

9.在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为2.1.如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题09 正方形中的最值问题【例题讲解】P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若2AB =，则AP BP CP ++的最小值为_______ 【解答】如解图，将ABP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AEF △，∵,60AP AF PAF =∠=︒， ∴PAF △是等边三角形，∴PA PF AF ==，EF PB =，∴PA PB PC EF PF PC ++=++， ∴当E ､F ､P ､C 共线时，PA PB PC ++最小，作EM DA ⊥交DA 的延长线于M ，ME 的延长线交CB 的延长线于N ，则四边形ABNM 是矩形，在Rt AME 中，∵90,30,2M MAE AE ∠=︒∠=︒=，∴1,3ME AM BN ===，∵2MN AB ==，∴1EN =，∴2222221(32)843(6)262(2)EC EN NC =+=++=+=+⋅⋅+2(62)62=+=+．∴PA PB PC ++的最小值为62+．【综合演练】1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）A ．4B ．42C ．25D ．52．如图，P 为正方形ABCD 内一动点，4PA AB ==，M 为PB 的中点，则CM 的最小值为（ ）A ．125B ．135C ．22D ．252-3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为（）A ．12B ．20C ．48D ．804．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是BC 上任意一点，PE BD ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，若22AC =，则EF 的长的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．225．如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是正方形内部一点，连接BE ，CE ，且∠ABE ＝∠BCE ，点P 是AB 边上一动点，连接 PD ，PE ，则PD+PE 长度的最小值为（ ）A ．82B ．410C ．854D ．41346．如图，正方形ABCD 与矩形EFGH 在直线l 的同侧，边AD ，EH 在直线l 上，且5cm AD =，4cm EH =，3cm EF =．保持正方形ABCD 不动，将矩形EFGH 沿直线l 左右移动，连接BF ，CG ，则BF CG +的最小值为______cm．7．如图，正方形ABCD中，AB＝42，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝35 CD．（1）连接CG，则∠DCG＝____________．（2）连接GH，GH的最小值为____________．8．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE PF的值最小时，CP的值为______．9．如图，点P为线段AB上的一个动点，AB＝6，以P A、PB为边向同侧作正方形APDC、正方形PBEF，两正方形的对角线的交点分别记为O1、O2，连接O1O2，则O1O2的最小值为_____．10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD ＝_____°．11．如图，正方形ABCD 中，2AB =，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E 、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF 、BE 相交于点P ，M 是线段BC 上任意一点，则MD MP +的最小值为___．12．在正方形ABCD 中，4AB =，点E 、F 分别为AD CD 、上一点，且AE CF =，连接BF CE 、，则BF CE +的最小值是________________．13．如图，正方形ABCD 的边长是8，点E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，且1AE CF ==，若点P 是对角线AC 上一个动点，则EP PF +的最小值是______．14．如图，在正方形ABCD 中，22AB =AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．15．如图，正方形ABCD 边长为4，P 是正方形内一动点，且:1:3PAB PCD S S =△△，则PC PD +的最小值是______．16．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，点H 是CD 上一点，且23DH CD =，连接GH ，则GH 的最小值为______．17．如图，正方形ABCD ，边长为7，点E 在边BC 上，2BE =，点F 是AB 边上一动点，连接EF ，以EF 为边向右作等边EFG ，连接CG ，线段CG 的最小值是___________．18．如图，AC 是边长为2的正方形ABCD 的对角线，P 为BC 边上一动点，E ，F 为AB ，AC 的中点．当PE +PF 的值最小时，CP 的值为________．19．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接,DF CF ，则DF CF +的最小值是_____．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝23，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是_____．21．如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AC 与BD 相交于点O ，M 是AO 的中点，P ，Q 为对角线BD 上的两点，若PQ =2，则PM +CQ 的最小值为 ___．22．如图，正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ．若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ ＋PQ 的最小值是________．答案与解析【例题讲解】P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若2AB =，则AP BP CP ++的最小值为_______ 【解答】如解图，将ABP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AEF △，∵,60AP AF PAF =∠=︒， ∴PAF △是等边三角形，∴PA PF AF ==，EF PB =，∴PA PB PC EF PF PC ++=++， ∴当E ､F ､P ､C 共线时，PA PB PC ++最小，作EM DA ⊥交DA 的延长线于M ，ME 的延长线交CB 的延长线于N ，则四边形ABNM 是矩形，在Rt AME 中，∵90,30,2M MAE AE ∠=︒∠=︒=，∴1,3ME AM BN ===，∵2MN AB ==，∴1EN =，∴2222221(32)843(6)262(2)EC EN NC =+=++=+=+⋅⋅+2(62)62=+=+．∴PA PB PC ++的最小值为62+．【综合演练】1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）A ．4B ．42C ．25D ．5 【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N′，N′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【解答】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，∴DN =BN ，连接BD ，BM 交AC 于N′，连接DN′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =2222345CM BC +=+=故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．2．如图，P 为正方形ABCD 内一动点，4PA AB ==，M 为PB 的中点，则CM 的最小值为（ ）A ．125B ．135C ．22D ．252-【答案】D【分析】取AB 的中点N ，连接MN ，根据三角形中位线的性质可求出MN 的长度，然后根据三角形三边关系即可求出CM 的最小值．【解答】解：因为4PA AB ==，M 为PB 的中点，取AB 的中点N ，连接MN ，CN ，易得25CN =，所以122MN PA ==. 在点P 的运动过程中，MN 的值不变，因为CM MN CN +≥，当C ，M ，N 三点在同一条直线上时，CM 最小，此时252CM CN MN =-=-．故选：D【点评】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线．3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为（）A．12B．20C．48D．80【答案】D【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．【解答】解：解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE＋DE＝DH．在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80∴DH＝45∴BF＋DE最小值为45故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．⊥4．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE BD⊥于点E，PF AC 于点F，若22AC=，则EF的长的最小值为（）A．2 B．1 C2D．22【答案】B【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解．【解答】解：如图，连接OP、EF，∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，∴四边形OEPF为矩形，∴EF=OP，∴EF最小时OP最小，当OP⊥BC于P的时候OP最小，而当OP⊥BC时，P为BC的中点，BC，∴OP=12∵AC=22，则BC=2，∴OP=1，∴EF的长的最小值为1．故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题．5．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（）A．82B．410C．854-D．4134-【答案】D【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO 交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵∠ABE=∠BCE，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠BEC=90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE=4，∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，∴OG=12，2222=+=+==（勾股定理），OF FG OG812208413∴4134EF=-，∴PD+PE的长度最小值为4134-，故选D．【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题6．如图，正方形ABCD 与矩形EFGH 在直线l 的同侧，边AD ，EH 在直线l 上，且5cm AD =，4cm EH =，3cm EF =．保持正方形ABCD 不动，将矩形EFGH 沿直线l 左右移动，连接BF ，CG ，则BF CG +的最小值为______cm ．【答案】17【分析】作点C 关于FG 的对称点P ，连接GP ，以FG ，PG 为邻边作平行四边形PGFQ ，则BF CG BF QF +=+，当B ，F ，Q 三点共线时，BF CG +的最小值为BQ 的长，过点Q 作QN AB ⊥于N ，依据勾股定理即可得到Rt BNQ ∆中，224117BQ =+=，即可得出BF CG +的最小值为17．【解答】解：如图所示，作点C 关于FG 的对称点P ，连接GP ，以FG ，PG 为邻边作平行四边形PGFQ ，则FQ PG CG ==，4FG QP ==，BF CG BF QF ∴+=+，∴当B ，F ，Q 三点共线时，BF CG +的最小值为BQ 的长，过点Q 作QN AB ⊥于N ，由题可得2(53)4BN =-=，541NQ =-=，Rt BNQ∴△中，224117BQ=+=，BF CG∴+的最小值为17，故答案为：17．【点评】本题主要考查了正方形、矩形的性质以及最短距离问题，解决问题的关键是构造平行四边形；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．如图，正方形ABCD中，AB＝42，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝35 CD．（1）连接CG，则∠DCG＝____________．（2）连接GH，GH的最小值为____________．【答案】45°8 5【分析】（1）利用正方形的性质证明△ADE≌△CDG，即可求解；（2）由∠DCG＝45°，得到点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短，即可解答．【解答】解：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCC＝∠DAE＝45°，故答案为：45°；（2）∵∠DCG＝45°，∴点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，∵DH＝35CD，∵42 CD AB==∴CH ＝CD ﹣DH ＝25 CD ＝825， ∴GH 最小值＝CH •sin 45°＝8228525⨯= ． 故答案为：85． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线垂线段最短，证得三角形全等和得到点G 的运动轨迹是射线CG ，是解题的关键．8．如图，AC 是边长为2的正方形ABCD 的对角线，P 为BC 边上一动点，E ，F 为AB ，AC 的中点．当PE PF +的值最小时，CP 的值为______．【答案】32【分析】延长AB ，作E 关于BC 的对称点Q ，连接FQ ，交BC 于点P ，此时PE PF + 值最小，再利用三角形的中位线性质即可求解．【解答】解：延长AB ，作E 关于BC 的对称点Q ，连接FQ ，交BC 于点P ，此时PE PF + 值最小.正方形ABCD 边长为2，2AB BC ∴==，222AC AB ==.E ，F 为AB ，AC 的中点，//EF BC ∴，112EF BC ==. B 为EQ 中点， BP ∴为EFQ △的中位线，1122BP EF ∴==.2BC =，13222CP BC BP ∴=-=-=． 故答案为：32． 【点评】本题考查了两点间线段最短（将军饮马）的应用以及三角形中位线定理得运用，作出对称点进行求解是解题的关键．9．如图，点P 为线段AB 上的一个动点，AB ＝6，以P A 、PB 为边向同侧作正方形APDC 、正方形PBEF ，两正方形的对角线的交点分别记为O 1、O 2，连接O 1O 2，则O 1O 2的最小值为_____．【答案】3【分析】作O 1M ⊥AP 于M ，O 2N ⊥PB 于N ，O 1Q ⊥O 2N 于Q ，如图，利用正方形的性质得△AO 1P 和△PO 2B都是等腰直角三角形，则AM ＝PM ，PN ＝BN ，所以MN ＝12AB ＝3，再证明四边形O 1MNO 2为矩形得到O 1Q ＝MN ＝3，然后根据垂线段最短得到O 1O 2的最小值．【解答】解：作O 1M ⊥AP 于M ，O 2N ⊥PB 于N ，O 1Q ⊥O 2N 于Q ，如图，∵四边形APDC 和四边形PBEF 都为正方形，111222,90,,90O A O P AO P O P O B PO B ∴=∠=︒=∠=︒ ,∴△AO 1P 和△PO 2B 都是等腰直角三角形，∵O 1M ⊥AP ，O 2N ⊥PB ，∴AM ＝PM ，PN ＝BN ，∴MN ＝PM +PN ＝12AB ＝3，∵O1M⊥AP，O2N⊥PB，O1Q⊥O2N，1190Q MN QNM QQN∴∠=∠=∠=︒,∴四边形O1MNO2为矩形，∴O1Q＝MN＝3，∵O1O2≥O1Q，∴O1O2的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短是解题的关键．10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD ＝_____°．【答案】45【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°．11．如图，正方形ABCD中，2AB=，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD MP+的最小值为___．【答案】10【分析】首先作出点D 关于BC 的对称点D ，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，PD '最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：1PG =，3GD '=，最后由勾股定理即可求得PD '的长，从而可求得MD MP +的最小值．【解答】解：如图作点D 关于BC 的对称点D ，连接PD '，由轴对称的性质可知：2MD D M CD CD ''===，，∴PM DM PM MD PD +=+=''，过点P 作PE 垂直DC ，垂足为G ，由题意得AE DF =，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB AD =，90BAE ADF ∠=∠=︒，∴BAE ADF △≌△，∴ABE DAF ∠=∠，∴90BAP DAF ∠+∠=︒，∴90BAP ABP ∠+∠=︒，∴90APB ∠=︒，故可知P 的轨迹为以AB 为直径的四分之一圆弧上，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时， 此时，PD '最短．∵四边形ABCD 为正方形，∴112PG AD ==，112GC DC ==． ∴3GD '=．在Rt PGD '△中，由勾股定理得：22221310PD PG GD ''=+=+=．故答案为：10．【点评】本题主要考查的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确定出点P 的位置是解题的关键．12．在正方形ABCD 中，4AB =，点E 、F 分别为AD CD 、上一点，且AE CF =，连接BF CE 、，则BF CE +的最小值是________________．【答案】45 【分析】首先利用正方形的性质可以证明ADF ∆和()CDE SAS ∆，然后利用全等三角形的性质得到BF CE +的最小值就是BF AF +的最小值，最后利用轴对称即可求解．【解答】解：如图，连接AF ，正方形ABCD 中，AE CF =，AD CD ∴=，DE DF =，在ADF ∆和CDE ∆中，AD CD ADC ADC DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADF ∴∆和()CDE SAS ∆，CE AF ∴=，BF CE BF AF ∴+=+，BF CE ∴+的最小值就是BF AF +的最小值，如图，作A 关于CD 的对称点H ，连接BH 交CD 于F ，则F 即可满足BF AF +最小，4AB =，AH=，4∴==，8AD DH2245∴+=+==+=．BF CE BF AF BH AB AHBF CE∴+的最小值是45．故答案：45．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，最短路径问题，同时也利用了正方形的性质，有一定的综合性．13．如图，正方形ABCD的边长是8，点E、F分别是边AB、BC上的点，且1==，若点P是对角AE CF线AC上一个动点，则EP PF+的最小值是______．【答案】10【分析】过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，则E′F 即为所求，根据正方形的性质可知△AEE′是等腰三角形，AE′=1，GD=CF=1，由AD=10即可求出GE′的长，再由勾股定理即可求出E′F的长．【解答】解：过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AC是正方形ABCD的一条对称轴，∴点E、E′关于AC对称，∴PE=PE′，∴PE +PF的最小值是E′F的长，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=45°，∵EE′⊥AC，∴△AEE′是等腰三角形，∴AE=AE′=3，∵GF⊥AD，∴GD=CF=1，∴GE′=8-GD-AE′=8-1-1=6，在Rt△GFE′中，GE′=6，GF=8，∴E′F=2222'+=+=10．68E G GF故答案为：10．【点评】本题考查的是最短路线问题及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．BM=，14．如图，在正方形ABCD中，22AB=，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且3-的最大值为_____________．P为对角线BD上一点，则PM PN【答案】1【分析】作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到EM=CM=1即可．【解答】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，∴当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，在正方形ABCD 中，AB =4，∴AC =42，∵N 是AO 的中点，点N 和E 关于BD 成轴对称，∴点E 是OC 中点，∴CE =14AC =2， ∵BC =4，BM =3，∴CM =1=14BC ， ∵∠BCQ =45°，∴△MCQ 为等腰直角三角形，∴CQ =2CM =22， ∴EQ =22， ∴CM =EM =1，即PM -PN 的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．15．如图，正方形ABCD 边长为4，P 是正方形内一动点，且:1:3PAB PCD S S =△△，则PC PD +的最小值是______．【答案】213【分析】过点P 作EF AD ∥，由:1:3PAB PCD S S =△△可得13PE PF =，得PE =1，PF =3，过点P 作MN //AB 交AD 于点M ，交BC 于点N ，可得出四边形PFCN 是矩形，得CN =PF =3，延长CB 到K ，使NK =CN =3，连接DK ，根据两点之间线段最短故可知PC PD +的最小值为DK 的长，根据勾股定理可求解【解答】解：如图，过点P 作EF AD ∥，交AB 于点E ，交CD 于点F ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB AD ⊥，AB BC ⊥，BC CD ⊥，4AB BC CD AD ====，∴EF AB EF CD ⊥⊥，∵12PAB S AB PE =⋅△，12PCD S CD PF =⋅△， ∴112132PABPCD AB PE S S CD PF ⋅==⋅△△， ∴13PE PF = ∵EF AD ∥∴4EF AD ==，∴3PF =，1PE =，过点P 作MN //AB 交AD 于点M ，交BC 于点N ，则PN BC ⊥，∴∠90PNC NCF CFP ︒=∠=∠=∴四边形CFPN 是矩形，∴四边形AEFD 是矩形，∴=3CN PF =，∵∠90DAE AEF EPD ADF ︒=∠=∠=∠=，延长CB 到K ，使NK =CN =3，则有：6CK CN KN =+=连接DK ，当D P K ，，在一条直线上时，DP PK DK +=，当D P K ，，不在一条直线上时，DP PK DK +>，故当D P K ，，共线时，222246213DP PK DK DC CK +==+=+=又N 是CK 的中点，PN CK ⊥，∴PN 是CK 的垂直平分线，∴CP =PK ，所以PC PD +的最小值为213， 故答案为：213．【点评】本题主要考查正方形的性质，矩形的判断与性质，勾股定理以及线段的垂直平分线的判断与性质等知识，掌握正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键．16．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，点H 是CD 上一点，且23DH CD =，连接GH ，则GH 的最小值为______．【答案】22【分析】连接CG ．证明(SAS)ADE CDG ≌△△，推出45DCG DAE ∠=∠=︒，推出点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ⊥时，GH 的值最小．【解答】解：连接CG ．四边形ABCD 是正方形，四边形DEFG 是正方形，==3DA DC AB ∴=，DE DG =，90ADC EDG ∠=∠=︒，45DAC ∠=︒，ADE CDG ∴∠=∠，(SAS)ADE CDG ∴≌△△，45DCG DAE ∴∠=∠=︒，∴点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ⊥时，GH 的值最小，223DH CD ==，321CH CD DH ∴=-=-=，此时sin GH DCG CH∠= ∴ 22sin 45122GH CH =⋅︒=⨯=，即GH 的最小值为22． 故答案为：22．【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形三角形的判定与性质，垂线段最短，解决本题的关键(SAS)ADE CDG ≌△△得到45DCG DAE ∠=∠=︒，证明出点G 的运动轨迹是射线CG ．17．如图，正方形ABCD ，边长为7，点E 在边BC 上，2BE =，点F 是AB 边上一动点，连接EF ，以EF 为边向右作等边EFG ，连接CG ，线段CG 的最小值是___________．【答案】92【分析】把△EBF 绕点E 顺时针旋转60°得到△EHG ，如图，延长HG 交CD 于M ，过C 点作CQ ⊥HM ，过E 点作EP ⊥CQ ，根据旋转的性质得∠BEH ＝60°，EB ＝EH ＝2，∠EHG ＝∠EBF ＝90°，易得四边形HEPQ 为矩形，则PQ ＝EH ＝2，∠HEP ＝90°，接着计算出CP ，从而得到CQ 的长，然后利用垂线段最短得到CG 的最小值．【解答】解：∵△EFG 为等边三角形，∴EF ＝EG ，把△EBF 绕点E 顺时针旋转60°得到△EHG ，如图，延长HG 交CD 于M ，过C 点作CQ ⊥HM ，过E 点作EP ⊥CQ ，∴∠BEH ＝60°，EB ＝EH ＝2，∠EHG ＝∠EBF ＝90°，即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，易得四边形HEPQ为矩形，∴PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，∵∠CEP＝90°−∠BEH＝30°，∴CP＝12CE＝722＝52，∴CQ＝CP＋PQ＝52＋2＝92．∴CG的最小值为92．故答案为92．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，比较综合．18．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为________．【答案】3 2【分析】作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，再利用中位线的性质求解即可．【解答】如图，作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，∵E ，F 为AB ，AC 的中点，BC =2，∴//EF BC ，112EF BC ==， ∵B 为EQ 中点，//BP EF ，∴BP 为EFQ △的中位线，∴1122BP EF ==， ∴13222CP BC BP =-=-=． 故答案为：32． 【点评】本题考查了最短路线问题-将军饮马模型，中位线的性质，熟练掌握将军饮马模型的作法是解题的关键．19．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接,DF CF ，则DF CF +的最小值是_____．【答案】45【分析】如图所示，根据题意构造出△AED 和△GFE 全等，分析出点F 的轨迹，然后根据D 、F 、C 三点共线时求出最小值即可．【解答】解：连接BF ，过点F 作FG ⊥AB 交AB 延长线于点G ，∵将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，∴EF ⊥DE ，且EF ＝DE ，∵90ADE AED ∠+∠=︒，90GEF AED +=︒∠∠，∴∠EDA ＝∠FEG ，∴在△AED 和△GFE 中，A EGF ADE FEG DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△GFE （AAS ），∴FG ＝AE ，AD GE =，又∵AD AB =，∴GE AB =，∴AE BG =，∴FG BG =，又∵FG BG ⊥，∴BGF 是等腰直角三角形，∴45GBF ，∴BF 是∠CBC ′的角平分线，即F 点在∠CBC ′的角平分线上运动，过点C 作BF 的对称点C '，则4,BC BC '==∴C 点在AB 的延长线上，CBC '△是等腰直角三角形，∴当D 、F 、C 三点共线时，DF +CF ＝DC '最小，∴在DAC '△中，AD ＝4，8AC AB BC AB BC ''=+=+=，∴22224845DC AD AC ''=+=+=，∴DF +CF 的最小值为45，故答案为：45． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝23，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是_____．【答案】23【分析】分别作,DC DE 的中点,H I 连接HI ，P 点在HI 上运动，当PB HI ⊥时，PB 有最小值，证明PHB △≌CHB 即可求得BP 的最小值．【解答】分别作,DC DE 的中点,H I 连接HIP 为DF 中点当F 点与C 点重合时，P 点与H 点重合，当F 点与E 点重合时，P 点与I 点重合，∴P 点在HI 上运动当PB HI ⊥时，PB 有最小值四边形ABCD 是矩形,AB ＝4，AD ＝2390A ABC BCD ∴∠=∠=∠=︒4,23CD AB BC AD ====H为DC∴1HC=2E为AB∴=AE BE=DE EC∴DEC是等边三角形∴∠=ECD60HI EC//DHI∴∠=60=HC BC2,∴=HB∴∠=HBC∴∠=BHCPB与CHB中≌CHB（【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出图形并证明PHB△≌CHB是解题的关键．21．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD相交于点O，M是AO的中点，P，Q为对角线BD上的两点，若PQ=2，则PM+CQ的最小值为___．【答案】25【分析】如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小，证明四边形PQTM 是平行四边形，得到PM=TQ，可推出PM+CQ=CT，利用勾股定理求出CT即可．【解答】解：如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∴AC=BD=42，∴OD=OB=OA=OC=22，∵AM=OM，AT=DT，OD=2，∴MT=12∴MT=PQ=2，∵MT∥PQ，∴四边形PQTM是平行四边形，∴PM=TQ，∴PM+CQ=TQ+CQ=CT，∵∠CMT=90°，MT=2，CM=32，∴CT=2225+=，MT CM故答案为：25．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．22．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．【答案】22【分析】过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′ 即为DQ+PQ的最小值．【解答】解：如图，过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于点D′，再过点D′作D′P'⊥AD于点P'，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△ADF≌△AD′F，∴AD′＝AD＝4，∵点D′与点D关于AE对称，∴QD＝QD′，∴DQ＋PQ＝QD′＋PQ＝PD′，∴D′P'的长即为DQ＋PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP'＝P'D′，∴在Rt△AP'D′中，P'D′2＋AP'2＝AD′2，即2D'P'2＝16，∴P'D′＝22，即DQ＋PQ的最小值为22．故答案为：22.【点评】本题考查的是轴对称——最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．。

特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理一、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：第一步：先证明它是平行四边形；第二步：再证明它是菱形（或矩形）；第三步：最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积： 设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=222b a 中考典例精选考点典例一、矩形的性质与判定【例1】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,若AB ＝AO ， 求∠ABD 的度数.图6A B 【答案】∠ABD =60°.【解析】考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．【举一反三】1.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【答案】详见解析.【解析】试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△BEF≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得证．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2. 如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在E 处，EQ 与BC 相交于F ．若AD=8cm ，AB=6cm ，AE=4cm ．则△EBF 的周长是 cm ．【答案】8.【解析】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x ，则DH=AD ﹣AH=8﹣x ，在Rt △AEH 中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x ，EH=DH=8﹣x ，∴EH 2=AE 2+AH 2，即（8﹣x ）2=42+x 2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C △AEH =12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH ．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF ∽△HAE ，∴32==∆∆AH BE C C HAE EFB ． ∴C △EBF =23=C △HAE =8．考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.考点典例二、菱形的性质与判定【例2】如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.【解析】（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AF=AB ，∴四边形ABEF 是菱形．考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，8=AC ，6=DB ，AB DH ⊥于H ，则DH 等于A ．524 B ．512 C ．5 D ．4【答案】A.【解析】 考点：菱形的性质.2. 如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（ ）A. 5B. 7C. 8D. 213 CD H【答案】B．【解析】考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．考点典例三、正方形的性质与判定【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】证明见解析.【解析】考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】1.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2 C．D．10﹣5【答案】B.【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.考点典例四、特殊平行四边形综合题【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE ⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由见解析.【解析】（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 【举一反三】如图，正方形ABCD 的边长为1,AC 、BD 是对角线，将△DCB 绕点D 顺时针旋转450得到△DGH ， HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ，则下列结论：①四边形AEGF 是菱形 ②△AED ≌△GED③∠DFG ＝112.5︒ ④BC ＋FG ＝1.5其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）图5F EH G BA【答案】①②③. 【解析】试题分析：由旋转的性质可得HD=BD=2 ∴HA=12-考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定.课后巩固、提高自测小练习一、选择题1．关于ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC ABCD是菱形B．若AC⊥BD ABCD是正方形C．若AC=BD，则ABCD是矩形D．若AB=AD ABCD是正方形【答案】C.【解析】试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.考点：矩形、菱形的判定.2. 下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形【答案】D.【解析】考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.【解析】试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．此时，EP+FP的值最小，值为EF′．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．考点：1轴对称；2菱形.4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）A ．AB =AD B ．AC ⊥BD C ．AC =BD D ．∠BAC =∠DAC 【答案】C ． 【解析】考点：菱形的判定；平行四边形的性质．5. 如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CE =2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③EG =DE +BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为6，CE =2DE ，∴DE =2，EC =4，∵把△ADE 沿AE 折叠使△ADE 落在△AFE 的位置，∴AF =AD =6，EF =ED =2，∠AFE =∠D =90°，∠FAE =∠DAE ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AB =AF ，AG =AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴GB =GF ，∠BAG =∠FAG ，∴∠GAE =∠FAE +∠FAG =12∠BAD =45°，所以①正确； 设BG =x ，则GF =x ，C =BC ﹣BG =6﹣x ，在Rt △CGE 中，GE =x +2，EC =4，CG =6﹣x ，∵222CG CE GE +=，∴222(6)4(2)x x-+=+，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴EH EFGC EG=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：EH EFGC EG==25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．6.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】B．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．7.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D．【解析】考点：菱形的性质；平行四边形的性质．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B．【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB//CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．考点：菱形的判定；平移的性质．二、填空题1.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）【答案】①②③④.【解析】考点：1菱形的性质和判定；2轴对称；3平行线的性质.2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．【答案】22.5°．【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB ﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．3. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．【答案】（1），（2），（3），（5）．【解析】1（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，4∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=2OA；故正确；（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE：OB=OG：OE，∴OG•OB=OE2，∵OB=12BD，OE=22EF，∴OG•BD=EF2，∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，∴EF2=AE2+CF2，∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．考点：四边形综合题．4.如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为．【答案】24． 【解析】试题分析：根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=21×6×8=24. 考点：菱形的性质．5．将矩形ABCD 纸片按如图所示的方式折叠，EF ，EG 为折痕，试问∠AEF +∠BEG = ．【答案】90°． 【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．6. 如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（4，3），∠CAO 的平分线与y 轴相交于点D ，则点D 的坐标为 ．【答案】（0，43）．【解析】考点：矩形的性质；坐标与图形性质．三、解答题1.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：C P=AQ；（2）若BP=1，PQ=22，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：A E=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AE F=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC 的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．试题解析：取AB的中点H，连接EH．∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，∵∠1=∠2，AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．4. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【答案】详见解析.【解析】∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．考点：全等三角形的性质；菱形的判定．。

培优冲刺03 几何最值类问题综合本考点是中考五星高频考点，难度中等偏上，在全国很多地市的中考试卷中多有考查。

（2022年柳州中考试卷第18题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF 长的最小值为 ．【分析】连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：方法一：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM＝＝2，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值为2﹣2，方法二：连接AG、AE，由方法一同理得，AE＝CF，AG＝2，∵AE≥AG﹣EG＝2﹣2，∴AE的最小值为2﹣2，∴CF的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．点评：本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，做辅助线构造全等三角形是解题的关键。

初中数学中，几何最值问题属于难度较大的一类题，问题环境可以是三角形、四边形、圆或者反比例函数、二次函数。

而常用到的最值原理则有：两点之间线段最短（三点共线）、点到直线的距离垂线段最短、圆和圆外定点的最值原理等。

这类题的原理虽然较为固定，但对学生的逻辑思维能力要求较高，综合型较强。

本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别还会以压轴题出现，在全国多地市的中考试卷中多有考查。

中考数学复习《正方形》专项提升训练(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.如图，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用如图表示，则图中阴影部分所表示的图形是( )A.矩形B.菱形C.矩形或菱形D.正方形2.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是( )A.22.5°B.25°C.23°D.20°3.如图，已知菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )A.16B.12C.24D.184.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE＝AC，则∠E＝( )A.90°B.45°C.30°D.22.5°5.将一正方形纸片按图中⑴、⑵的方式依次对折后，再沿⑶中的虚线裁剪，最后将⑷中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的( )6.如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC 和DEF 沿直线l 滑动，下列说法错误的是( )A.四边形ACDF 是平行四边形B.当点E 为BC 中点时，四边形ACDF 是矩形C.当点B 与点E 重合时，四边形ACDF 是菱形D.四边形ACDF 不可能是正方形 7.下列叙述，错误的是( )A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是矩形8.已知一个无盖长方体的底面是边长为1的正方形，侧面是长为2的长方形，现展开铺平.如图，依次连结点A ，B ，C ，D 得到一个正方形，将周围的四个长方形沿虚线剪去一个直角三角形，则所剪得的直角三角形较短直角边与较长直角边的比是( )A.12B.13C.23D.459.如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点O 又是正方形A 1B 1C 1O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A 1B 1C 1O 绕点O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的( )A.12B.13C.14D.1510.如图,点O(0,0)，A(0,1)是正方形OAA 1B 的两个顶点，以OA 1对角线为边作正方形OA 1A 2B 1，再以正方形的对角线OA 2作正方形OA 1A 2B 1，…，依此规律，则点A 2027的坐标是( )A.(0，21013)B.(21013，21013)C.(21014，0)D.(21014，﹣21014) 二、填空题11.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠BED 的度数是 .12.如图．将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF ，则∠EBF 的大小为 ．13.如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是．14.若正方形的面积是9，则它的对角线长是 .15.如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q.若PQ＝AE，则AP等于_______cm.16.如图，线段AC＝n＋1(其中n为正整数)，点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME.当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3；则S3﹣S2＝.三、解答题17.如图，已知点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE．求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；(2)四边形EFPQ是正方形．18.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别延长OA、OC到点E、F，使AE＝CF，依次连接B、F、D、E各点.(1)求证：△BAE≌△BCF；(2)若∠ABC＝50°，则当∠EBA＝________°时，四边形BFDE是正方形.19.如图，已知在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．(1)求证：AP＝BQ；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．20.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，BE，AF交于点O，且AE＝DF．(1)求证：△ABE≌△DAF；(2)若BO＝4，DE＝2，求正方形ABCD的面积．21.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE 于点F，交CD于点G．(1)证明：△ADG≌△DCE；(2)连接BF，证明：AB＝FB．22.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于点Q.(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.23.在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线(如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等)把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.(1)(探究发现)如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为________(直接写出结果).(2)(验证猜想)同学们讨论得出下列三种证明思路(如图1)：思路一：过点A作AG⊥AE，交CD的延长线于点G.思路二：过点A作AG⊥AE，并截取AG＝AE，连接DG.思路三：延长CD至点G，使DG＝BE，连接AG.请选择一种思路证明(探究发现)中的结论.(3)(应用)如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且BC＝3BE，∠EAF ＝45°，设BE＝t，试用含t的代数式表示DF的长.参考答案1.D.2.A3.A.4.D5.B.6.B.7.D.8.C.9.C.10.B11.答案为：45°.12.答案为：45°．13.答案为：100.14.答案为：3 2.15.答案为：1或2.16.答案为：52 .17.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD ∵AF＝BP＝CQ＝DE∴DF＝CE＝BQ＝AP在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS)∴EF＝FP＝PQ＝QE；(2)∵EF＝FP＝PQ＝QE∴四边形EFPQ是菱形∵△APF≌△BQP∴∠AFP＝∠BPQ∵∠AFP＋∠APF＝90°∴∠APF＋∠BPQ＝90°∴∠FPQ＝90°∴四边形EFPQ是正方形．18.证明：(1)在菱形ABCD中，BA＝BC∴∠BAC＝∠BCA∴∠BAE＝∠BCF.在△BAE与△BCF中BA＝BC，∠BAE＝∠BCF，AE＝CF∴△BAE≌△BCF(SAS).(2)20.19.证明：(1)∵正方形ABCD∴AD＝BA，∠BAD＝90°，即∠BAQ＋∠DAP＝90°∵DP⊥AQ∴∠ADP＋∠DAP＝90°∴∠BAQ＝∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB＝∠DPA＝90°∴△AQB≌△DPA(AAS)∴AP＝BQ(2)①AQ﹣AP＝PQ②AQ﹣BQ＝PQ③DP﹣AP＝PQ④DP﹣BQ＝PQ20.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°又AE＝DF∴△ABE≌△DAF；(2)∵△ABE≌△DAF∴∠FAD＝∠ABE又∠FAD＋∠BAO＝90°∴∠ABO＋∠BAO＝90°∴△ABO∽△EAB∴AB：BE＝BO：AB，即AB：6＝4：AB∴AB2＝24所以正方形ABCD面积是24．21.解：(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC又∵AG⊥DE∴∠DAG＋∠ADF＝90°＝∠CDE＋∠ADF∴∠DAG＝∠CDE∴△ADG≌△DCE(ASA)；(2)如图所示，延长DE交AB的延长线于H∵E是BC的中点∴BE＝CE又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB∴△DCE≌△HBE(ASA)∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点又∵∠AFH＝90°∴Rt△AFH中BF＝12AH＝AB．22.解：(1)PB＝PQ.证明：连接PD ∵四边形ABCD是正方形∴∠ACB＝∠ACD，∠BCD＝90°，BC＝CD又∵PC＝PC∴△DCP≌△BCP(SAS)∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC∵∠PBC＋∠PQC＝180°，∠PQD＋∠PQC＝180°∴∠PBC＝∠PQD∴∠PDC＝∠PQD∴PQ＝PD∴PB＝PQ(2)PB＝PQ.证明：连接PD同(1)可证△DCP≌△BCP∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC∵∠PBC＝∠Q∴∠PDC＝∠Q∴PD＝PQ∴PB＝PQ.23.解：(1)EF＝BE＋DF.(2)思路三：延长CD至点G，使DG＝BE，连接AG. ∵正方形ABCD∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°∵BE＝DG∴△ABE≌△ADG(SAS)∴AE＝AG,∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝45°∴∠BAE＋∠DAF＝45°∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝45°∴∠GAF＝∠EAF∴AF＝AF∴△EAF≌△GAF(SAS)∴EF＝GF＝BE＋DF.(3)由题意可知，CE＝2t，设DF＝x，则CF＝3t-x，EF＝2t＋x ∴在RtCEF中，EF2＝CE2＋CF2∴(x＋t)2＝(3t-x)2＋(2t)2∴x＝32t.即DF＝32t.。