2020年九年级中考数学复习微专题《因式分解》专题提升练习(无答案)

一、知识要点1、 因式分解：把一个多项式化成几个整式_______的形式叫做因式分解因式分解区别: 多项式 整式的积整式的乘法2、因式分解的方法：①________________ ② ___________________③________________ ④ __________________3、因式分解的一般步骤①如果一个多项式各项有公因式,一般应先____________________②如果一个多项式各项没有公因式,一般应思考运用_________;如果多项式有两项应思考用___________公式,如果多项式有三项应思考用________________或用十字相乘法;如果多项式超过三项应思考用_________________法③分解因式时必须要分解到______________________为止4、重要公式平方差公式：_________________________完全平方公式:________ ________________ ________________________ 十字相乘法: ________________________________二、典型例题例1 填空1、代数式与的公因式为______________2、22________()R r R r ππ+=+; 1622(__________)abx ax ax +=3、分解因式: 21______________x -=; 221_________________a a ++=2524____________y y --= 29______________x -=4、 22249___(___)x y y ++=-， 2712(3)(____)t t t t ++=++5、下列变形是因式分解的是( )A B 243(2)(2)3x x x x x -+=+-+C 234(4)(1)x x x x --=-+ D6、下列各式可以用完全平方公式分解的是( )A B C D例2、分解因式（1） （2）（3） （4）（5）（6）（7）（8）2019-2020年九年级数学补习测试：因式分解一、填空题:1、把6x2y－8xy2 分解因式时应该提取公因式是_______________。

中考数学模拟题《因式分解》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（20题）一 单选题1．（2023·河北·统考中考真题）若k 为任意整数，则22(23)4k k +-的值总能（ ）A ．被2整除B ．被3整除C ．被5整除D ．被7整除2．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）计算：255a a a -=-（ ） A ．5a -B ．5a +C ．5D ．a二 填空题3．（2023·山东东营·统考中考真题）因式分解：22363ma mab mb -+= ．4．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）因式分解：2225x y -= ．5．（2023·湖南·统考中考真题）已知实数m 1x 2x 满足：()()12224mx mx --=．①若1193m x ==，，则2x = ． ①若m 1x 2x 为正整数．．．，则符合条件的有序实数．．．．对()12,x x 有 个 6．（2023·江苏无锡·统考中考真题）分解因式：244x x -+= ．7．（2023·湖北恩施·统考中考真题）因式分解：()21x x -+= ．8．（2023·湖南·统考中考真题）分解因式：n 2﹣100= ．9．（2023·甘肃武威·统考中考真题）因式分解：22ab ab a -+= ．10．（2023·山东日照·统考中考真题）分解因式：3a b ab -= ．11．（2023·四川德阳·统考中考真题）分解因式：ax 2﹣4ay 2= ．12．（2023·吉林长春·统考中考真题）分解因式：21a -= ．13．（2023·贵州·统考中考真题）因式分解：24x -= ．14．（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a b 满足6a b += 7ab =，则22a b ab +的值为 ．15．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）因式分解：2x xy xz yz +--= ．16．（2023·湖北十堰·统考中考真题）若3x y += 2y =，则22x y xy +的值是 ． 17．（2023·四川雅安·统考中考真题）若2a b += 1a b -=，则22a b -的值为 ．18．（2023·山东·统考中考真题）已知实数m 满足210m m --=，则32239m m m --+= ． 19．（2023·湖南永州·统考中考真题）22a 与4ab 的公因式为 ．20．（2023·湖南张家界·统考中考真题）因式分解：22x y xy y ++= ．参考答案一 单选题1．（2023·河北·统考中考真题）若k 为任意整数，则22(23)4k k +-的值总能（ ）A ．被2整除B ．被3整除C ．被5整除D ．被7整除【答案】B【分析】用平方差公式进行因式分解 得到乘积的形式 然后直接可以找到能被整除的数或式．【详解】解：22(23)4k k +-(232)(232)k k k k =+++-3(43)k =+ 3(43)k +能被3整除①22(23)4k k +-的值总能被3整除故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式的应用 平方差公式为22()()a b a b a b -=-+通过因式分解 可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式．2．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）计算：255a a a -=-（ ） A ．5a -B ．5a +C ．5D ．a【答案】D【分析】分子分解因式 再约分得到结果． 【详解】解：255a a a -- ()55a a a -=- a = 故选：D ．【点睛】本题考查了约分 掌握提公因式法分解因式是解题的关键．二 填空题3．（2023·山东东营·统考中考真题）因式分解：22363ma mab mb -+= ．【答案】()23m a b -【分析】根据因式分解中的提公因式法和完全平方公式即可求出答案．【详解】解：22363ma mab mb -+()2232m a ab b =-+()23m a b =- 故答案为：()23m a b -．【点睛】本题考查了因式分解 涉及到提公因式法和完全平方公式 解题的关键需要掌握完全平方公式． 4．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）因式分解：2225x y -= ．【答案】()()55x y x y +-【分析】直接利用平方差分解即可．【详解】解：()()222555x y x y x y -=+-． 故答案为：()()55x y x y +-．【点睛】本题考查因式分解 解题的关键是熟练掌握平方差公式．5．（2023·湖南·统考中考真题）已知实数m 1x 2x 满足：()()12224mx mx --=．①若1193m x ==，，则2x = ． ①若m 1x 2x 为正整数．．．，则符合条件的有序实数．．．．对()12,x x 有 个 【答案】 18 7【分析】①把1193m x ==，代入求值即可 ①由题意知：()()122,2mx mx --均为整数 12121,1,21,21mx mx mx mx ≥≥-≥--≥-，则4142241,=⨯=⨯=⨯再分三种情况讨论即可．【详解】解：①当1193m x ==，时 211(92)(2)433x ⨯-⨯-=解得：218x =①当m 1x 2x 为正整数时()()122,2mx mx --均为整数 12121,1,21,21mx mx mx mx ≥≥-≥--≥-而4142241,=⨯=⨯=⨯122124mx mx -=⎧∴⎨-=⎩或122222mx mx -=⎧⎨-=⎩或122421mx mx -=⎧⎨-=⎩ 1236mx mx =⎧∴⎨=⎩或1244mx mx =⎧⎨=⎩或1263mx mx =⎧⎨=⎩ 当1236mx mx =⎧⎨=⎩时 1m =时 123,6x x == 3m =时 121,2x x == 故()12,x x 为(3,6),(1,2) 共2个当1244mx mx =⎧⎨=⎩时 1m =时 124,4x x == 2m =时 122,2x x == 4m =时 121,1x x == 故()12,x x 为(4,4),(2,2),(1,1) 共3个当1263mx mx =⎧⎨=⎩时 1m =时 126,3x x == 3m =时 122,1x x == 故()12,x x 为(6,3),(2,1) 共2个综上所述：共有2327++=个．故答案为：7．【点睛】本题考查了整式方程的代入求值 整式方程的整数解 因式分解的应用 及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题．6．（2023·江苏无锡·统考中考真题）分解因式：244x x -+= ．【答案】()22x -/()22x -【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：244x x -+=()22x -故答案为：()22x -．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解 是解题的关键．7．（2023·湖北恩施·统考中考真题）因式分解：()21x x -+= ．【答案】()21x -/()21x -【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：()()2221211x x x x x -+=-+=-故答案为：()21x -．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．8．（2023·湖南·统考中考真题）分解因式：n 2﹣100= ．【答案】（n -10）（n +10）【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：n 2-100=n 2-102=（n -10）（n +10）．故答案为：（n -10）（n +10）．【点睛】本题主要考查了公式法分解因式 正确应用平方差公式是解题关键．9．（2023·甘肃武威·统考中考真题）因式分解：22ab ab a -+= ．【答案】()21a b -【分析】先提取公因式a 再利用公式法继续分解．【详解】解：()()2222211ab ab a a b b a b -+=-+=-故答案为：()21a b -．【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式 正确应用公式是解题的关键．在分解因式时要注意分解彻底．10．（2023·山东日照·统考中考真题）分解因式：3a b ab -= ．【答案】()()11ab a a -+【分析】根据提取公因式法和平方差公式 即可分解因式．【详解】3a b ab -=2(1)(1)(1)ab a ab a a -=+-故答案是：()()11ab a a +-．【点睛】本题主要考查提取公因式法和平方差公式 掌握平方差公式 是解题的关键．11．（2023·四川德阳·统考中考真题）分解因式：ax 2﹣4ay 2= ．【答案】a （x+2y ）（x ﹣2y ）【分析】先提公因式a 然后再利用平方差公式进行分解即可得.【详解】ax 2﹣4ay 2=a （x 2﹣4y 2）=a （x+2y ）（x ﹣2y ）故答案为a （x+2y ）（x ﹣2y ）.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式 熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键. 12．（2023·吉林长春·统考中考真题）分解因式：21a -= ．【答案】()()11a a +-．【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【详解】解：()()2111a a a -=+-．故答案为：()()11a a +-【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式 掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 13．（2023·贵州·统考中考真题）因式分解：24x -= ．【答案】(+2)(-2)x x【详解】解：24x -=222x -=(2)(2)x x +-故答案为(2)(2)x x +-14．（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a b 满足6a b += 7ab =，则22a b ab +的值为 ．【答案】42【分析】首先提取公因式 将已知整体代入求出即可．【详解】22a b ab +()ab a b =+76=⨯42=．故答案为：42．【点睛】此题考查了求代数式的值 提公因式法因式分解 整体思想的应用 解题的关键是掌握以上知识点．15．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）因式分解：2x xy xz yz +--= ．【答案】()()x y x z +-【分析】先分组 然后根据提公因式法 因式分解即可求解．【详解】解：2x xy xz yz +--=()()()()x x y z x y x y x z +-+=+-故答案为：()()x y x z +-．【点睛】本题考查了因式分解 熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．16．（2023·湖北十堰·统考中考真题）若3x y += 2y =，则22x y xy +的值是 ．【答案】6【分析】先提公因式分解原式 再整体代值求解即可．【详解】解：22x y xy +()xy x y =+①3x y += 2y =①1x =①原式123=⨯⨯6=故答案为：6．【点睛】本题主要考查因式分解 熟练掌握因式分解的方法 利用整体思想方法是解答的关键． 17．（2023·四川雅安·统考中考真题）若2a b += 1a b -=，则22a b -的值为 ．【答案】2-【分析】先将代数式根据平方差公式分解为：22a b -=()()a b a b +- 再分别代入求解．【详解】①2a b += 1a b -=-①原式()()2(1)2a b a b =+-=⨯-=-．故答案为：2-．【点睛】本题主要考查了平方差公式 熟记公式是解答本题的关键。

2020年中考数学复习微专题 分式的计算突破与提升专题练习一． 分式的定义1. 要使分式1x+2有意义，则x 的取值应满足( ) A.x=-2B.x ≤-2C.x>-2D.x ≠-22. 下列式子：x−1π+5，3xx 2−1，m−nm+n ，aba 2−b 2中，分式个数为( ) A.1个B.2个C.3个D.4个3. 在分式x+a3x−1中，当x=-a 时，下列结论正确的是( ) A.分式的值为零 B.分式无意义C.若a ≠-13时，分式的值为零 D.若a ≠13时，分式的值为零 4. 若分式|x|−3x −4x+3的值为0，则x 的值为________. 5. 若分式8x−1的值为正整数，则整数x 的值为_______. 6. 当x 取何值时，分式x 2−9(x−3)(x+2) (1)有意义.(2)无意义.(3)值为0.二． 分式的基本性质 1. 下列等式：①−(a−b)c=-a−b c；②−x+y −x=x−y x；③−a+b c=-a+b c；④−m−n m=-m−n m中，成立的是( ) A.①②B.③④C.①③D.②④2. 化简a 2b−ab 2b−a，结果正确的是( ) A.abB.-abC.a 2-b 2D.b 2-a 23. 下列分式中是最简分式的是( ) A.x 3+1x +1B.x 2+x x −1C.5xy 23x yD.a 2−b 2a b−2ab +b4. 若将分式x+yxy 中的x ，y 都扩大为原来的3倍，则分式的值( ) A.不变B.变为原来的3倍C.变为原来的13D.不确定5.如果xy =3，则x+y y的值为________.6. 能使3x x +x =3x+1成立的条件是________. 7. (1)x−y2y =(x−y)2( ).(2)−2x2x−1=( )2x −x.三． 分式的乘除 1. 计算3b 2a·−a6b 的结果为( ) A.-b2B.b2C.b4aD.-b4a2. 下列运算错误的是( ) A.(12)0=1 B.x 2+x 2=2x 4C.|a|=|-a|D.(b a 2)3=b 3a 63. 计算(x 2y )2·(y 2x )3÷(−y x )4的结果是( ) A.x 5B.x 5yC.y 5D.x 154. 化简16−a 2a 2+4a+4÷a−42a+4·a+2a+4，其结果是( ) A.-2B.2C.-2(a+2)2D.2(a+2)25. 计算：3xy 2÷6y 2x=________.6. 计算：21m 5n 7÷(−3mn 62a 2b )÷7m 3n ab 2=________.7. 化简a 2−4a+2÷(a-2)·1a−2的结果是________.8. 已知|3a-b+1|+(3a −32b)2=0.求b 2a+b ÷[(ba−b )·(aba+b )]的值.四． 分式的加减 1.若3-2x x -1=( )+1x -1，则( )中的数是 ( ) 五． A.-1B.-2C.-3D.任意实数2. 计算2a b -a +a+b a -b 的结果是 ( )A .3a+b b -abB.3a+b a -bC.1D.-13. 化简(x x -1-2x+2x 2-1)÷(x -2x 2-x )的结果为 ( )A.xB.1xC.x+1x -1D.x -1x+14.化简x 2-1x 2+2x+1+2x+1的结果是__ __.5. 计算x 2x -1-x-1的结果是_ _. 6.若abc=1，则aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1的值为____.7. 如果实数x 满足x 2+2x-3=0，那么代数式(x 2x+1+2)÷1x+1的值为__ _.8.先化简2a+2a -1÷(a+1)+a 2-1a -2a+1，然后在-1，1，2三个数中任选一个合适的数代入求解.9先化简，再求值：(x -1-x -1x)÷x 2-1x +x ，其中x=√3+1.10.已知A=x2+2x+1x-1-xx-1.(1)化简A.(2)当x满足不等式组{x-1≥0,x-3<0,且x为整数时，求A的值.六．分式方程1.下列方程中是分式方程的是( )A.-2x3-3x=6 B.1x-1-1=0 C.x2-3x=5 D.2x2+3x=-22.(分式方程xx-1-1=3(x-1)(x+2)的解为 ( )A.x=1B.x=-1C.无解D.x=-23.若分式1m+1有意义，且关于x的分式方程2x-mx+1=3的解是负数，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )4.符号“|a bc d|”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：|a bc d|=ad-bc，请你根据上述规定求出下列等式中x 的值.若|2 111-x 1x -1|=1，那么x=__ __. 5. 方程2x 2-1-1x -1=1的解为x= .6.若m -3m -1·|m |=m -3m -1，则m=_ __. 7. (1)解分式方程：x x+1-1=3(x+1)(x -2).(2)(2017·眉山中考)解方程：1x -2+2=1-x 2-x .8. 关于x 的分式方程x -ax+3=-2的根是负数，试确定a 的取值范围.。

第二十一章一元二次方程21.2.3 因式分解法解一元二次方程一．选择题1.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是( )A．(x－2)(x＋5)＝2 B．(x－2)2＝ x2－4C． x2＋5x－2＝0 D．12(2－x)2＝32．一元二次方程x(x－3)＋3－x＝0的根是( )A．1 B．3C．1和3 D．1和23．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是( )A．5 B.7C．5或7 D．10二．填空题1. 方程x2＝|x|的根是．2. 如果x2－x－1＝(x ＋1)0，那么x的值为．3. 若正数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，-a是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是．4. 由多项式乘法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+(a+b) x+ab=(x+a)(x+b).示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)尝试：分解因式：x2+6x+8=(x+ )(x+ )；三．计算题1.x2-7x=02. 2（x-1）2-18＝ 03. x2+4x-1＝ 04. 9（x+1）2＝（2x-5）25. 9x2-12x-1＝06. 2(x－3)2＝x2－97. (3x＋2)2-4x2＝08. 5x(2x－3)＝10x-159. (x-5)(x-6)=x-510. 16(x-3)2-25(x-2)2=011. 已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长．。

2020年中考数学提分练习 因式分解试卷（含答案）一、单选题1.已知x 、y 是实数，()096432=+-++y y x ，若y x axy =-3，则实数a 的值是（ ） A.41 B.41- C.47 D.47- 2.下列因式分解正确的是（ ）A.()()222211x x x =+--B.()22211x x x +-=-C. ()2211x x +=+ D.()2212x x x x -+=-+ 3.下列因式分解正确的是（ ）A.()()222211x x x =+--B.()2221x x x +-=-1C. ()2211x x +=+ D.()2212x x x x -+=-+ 4.已知，x －2y ＝3，则代数式6－2x ＋4y 的值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．﹣3D ．35.把多项式()()222m a m a -+-分解因式正确的是（ ）A ．()()22a m m -+B ．()()21m a m -+C ．()()21m a m --D ．()()22a m m -+6.下面分解因式正确的是（ ） A ．()22121x x x x ++=++ B ．()2344x x x x -=-C ．()ax bx a b x +=+D ．()2222m mn n m n -+=+ 7.把代数式29xy x -分解因式，结果正确的是（ ）Ａ.()29x y - Ｂ.()23x y + Ｃ.()()33x y y +-Ｄ.()()99x y y +- 8.若()()2153x mx x x n +-=++，则m 的值为（ ）A.－5B.5C.－2D.2二、填空题（共有9道小题）9.分解因式：224a b b -＝ .10.因式分解：24520ab a -= .11.因式分解：()()24224______x x x -+=-12.因式分解：23x y y -＝ ．13.已知225-=x x ，则2241--x x 的值为______． 14.分解因式：92-x = .15.已知0106222=++-+y x y x 则=+y x ．16.分解因式：234a b ab -=__________.17.因式分解：224ax ay - ．三、计算题（共有4道小题）18.分解因式：322a a b a c abc +++19.因式分解：()222416a a ＋－20.分解因式：226y y +-21.分解因式：()()2712x y x y ++++四、解答题（共有3道小题）22.已知a ，b ，c 分别是△ABC 三边的长，且()22222=0a b c b a c ++-+请判断△ABC 的形状，并说明理由．23.若22634100x x y y +++-=，求x y +的值24.已知054222=+++-b b a a 求b a ,的值．参考答案一、单选题（共有8道小题）1.A2.A3.A4.A5.C6.C7.C8.C二、填空题（共有9道小题）9.()()22b a b a b +-10.()()53232a b b +-11.4,212.y (x ＋y )(x －y )13.914.()()33x x +-15.-216.()34ab a -17.()()22a x y x y +-三、计算题（共有4道小题）18.()()a a b a c ++19.()()()()2222444422a a a a a a +++-=+-20.()()231y y +-21.()()34x y x y ++++四、解答题（共有3道小题）22.解：由()22222=0a b c b a c ++-+可知：222222=0a b c ab bc -++-22222=0a ab b bc c --++()()22=0a b b c +--∴0,0a b b c -=-=∴a b c ==∴三角形为等边三角形23.解：由22634100x x y y +++-=，可得： 226910250x x y y +++-+=即()()22350x y ++-=∴()()223=0,50x y +-=∴3,5x y =-=∴2x y +=24.因为054222=+++-b b a a ，所以22(1)(2)0a b -++=.即1, 2.a b ==-。

初三因式分解公式练习题因式分解是代数学中的一项基本操作，通过将多项式化简成乘积的形式，使我们更好地理解和运用代数表达式。

在初三数学中，因式分解在解题过程中经常出现。

下面是一些初三因式分解公式的练习题，帮助同学们加深对这一知识点的理解。

练习题1：因式分解多项式将以下多项式进行因式分解：1. $x^2 + 2x + 1$2. $4x^2 - 9$3. $6x^2 - 15x + 9$练习题2：因式分解含有公因式的多项式将以下多项式进行因式分解，并注意提取公因式：4. $2x^3 + 4x^2 + 2x$5. $3a^2 - 15ab + 24b^2$6. $6x^4 + 9x^3 - 15x^2$练习题3：因式分解差的平方将以下差的平方进行因式分解：7. $16y^2 - 25$8. $9x^2 - 4$练习题4：因式分解平方差将以下平方差进行因式分解：10. $9a^4 - 4b^2$11. $x^4 - 81$12. $25y^2 - 36z^4$练习题5：因式分解完全平方差将以下完全平方差进行因式分解：13. $x^4 - 16$14. $4x^6 - 1$15. $9a^6 - 36$练习题6：因式分解立方差将以下立方差进行因式分解：16. $64x^3 - 125$17. $216y^3 - 27z^3$18. $27a^3 - 8b^3$练习题7：因式分解立方和将以下立方和进行因式分解：20. $125x^3 + 8$21. $64a^3 + 125b^3$练习题的答案：1. $(x + 1)^2$2. $(2x - 3)(2x + 3)$3. $3(2x - 1)(x - 3)$4. $2x(x + 1)^2$5. $3b(a - 2b)(a - 4b)$6. $3x^2(x + 1)(2x - 5)$7. $(4y - 5)(4y + 5)$8. $(3x - 2)(3x + 2)$9. $(2m - n)(2m + n)$10. $(3a^2 - 2b)(3a^2 + 2b)$11. $(x^2 - 9)(x^2 + 9)$12. $(5y - 6z^2)(5y + 6z^2)$13. $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$14. $(2x^3 - 1)(2x^3 + 1)$15. $3(a^2 - 2)(a^2 + 2)$16. $(4x - 5)(16x^2 + 20x + 25)$17. $(6y - 3z)(36y^2 + 18yz + 9z^2)$18. $(3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)$19. $(m + 3)(m^2 - 3m + 9)$20. $(5x + 2)(25x^2 - 10x + 4)$21. $(4a + 5b)(16a^2 - 20ab + 25b^2)$这些练习题旨在巩固和提升你对因式分解的理解和应用能力。

《因式分解》提高测试(100分钟，100分)一选择题(每小题4分，共20分)：1.下列等式从左到右的变形是因式分解的是 ................................ ((A) (x+2)(才-2) — x—4 (B) x—4 + 3x= (x+2) 3-2) +3x(C) / —3才一4= (x—4) (x+1) (D) x +2x~3= (x+1) 2—42.分解多项式a2 -b2 -c2 ^2bc时，分组正确的是............................. ( )(A) ( a2 -/?2)-(c2- 2bc)(B) (a2 -b2 -c2) + 2bc(C) (a2-c2)-(Z?2-2/?c) (D) a2 -(b2 +c2 -2bc)3.当二次三项式4/ +Ax+25 = 0是完全平方式时，4的值是................... ( )(A) 20 (B) 10 (C) -20 (D)绝对值是 20 的数4.二项式x n+5 -x n+1作因式分解的结果，合于要求的选项是..................... ((A) x(x n+4 - x n)(B) x n (x5 - x)(C) x n+1(x2+l)(x + l)(x-l) (D) x n+1(x4-l)5.若a=-4b ,则对a的任何值多项式a+3ab~M} +2的值 .................... ( )(A)总是2 (B)总是0 (C)总是1 (D)是不确定的值答案：1. C； 2 . D； 3 . D； 4 . D； 5 . A.二把下列各式分解因式(每小题8分，共48分)：1. y+1—169Z+2 (刀是自然数)；解：广一16"2=x+2 (/-169)= x+2 (x+13) (x—13)；2 . (a+2Z?) 2-10 (a+2Z9 +25；解：(a+2万)2-10 (a+2万)+25—(a+2Z?—5) 2；3. 2xy+9~x—y；解：2x^+9 —x—y= 9~x +2xy—y=9— (^—2jry+y)=3? —(x—y) 2=(3 +x—y) (3 —x+y)；4 .疽 3 —2Q)2+ Q(2Q— x)3；解：/(% —2Q)2+ Q(2Q— x)3=/ (% — 2.)2 — Q(«X _ 2.)3=a{x-2a)2\a-(x-2a)]=a(x - 2a)2 (a -x + 2a)=a(x - 2a)2 (3a - x)；5.(m2 +3m)2 -8(m2 +3m) + 16；解：(m2 + 3m)2— 8(m2 + 3m) +16=(m2 + 3m)2一2(m2 + 3m)x4 + 42=(m2 + 3m)2— 8(m2 + 3m) +16=[(m2 + 3m)- 4]2=[(m + 4)(m -1) ]2=(m + 4)2(m - I)2；6.(x2+y2 -z2)2 -4x2y2.M：(x2 + y2-z2)2-4x2y2=[(x2 + y2 -z2) + 2xy ] [ (x2 + y2 - z2)-2xy ]=[(x + y)2 -z2 ][ (x-y)2-z2 ]=(x + y + z)(.r + y-z)(.r-y + z)(.r- y-z).三下列整式是否能作因式分解？如果能，请完成因式分解(每小题10分，共20分：1.(l-x2)(l-y2)-4xy ；解：展开、整理后能因式分解.(l-x2)(l-y2)-4xy= (l-x2 -y2 +x2y2')-4xy—(x~ y 一— 2xy +1) —(了一 + 2xy + y")= (xy-1)2—(x + y)2=(.ry _ 1 + x + y) (xy -1 - x - y)；2.(2x2 - 3x + l)2 -22x2 +33x-l.解：能，用换元法.(2.x- -3.X + 1)2 -22.x- +33x-l=(2.x2 -3.X + 1)2 -11(2./ —3." 1) + 1。

中考数学总复习《因式分解》练习题附带答案一、单选题1．下列因式分解正确的是（）A．x2−4x+4=(x−4)2B．4x2+2x+1=(2x+1)2C．9－6(m－n)+(n－m) 2 =(3－m+n) 2D．x4−y4=(x2+y2)(x2−y2)2．把(a−b)+m(b−a)提取公因式(a−b)后，则另一个因式是（）A．1−m B．1+m C．m D．−m 3．已知a﹣b=3，b+c=﹣5，则代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为（）A．-15B．-2C．-6D．6 4．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a3b=3a2•2ab B．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4C．2x2+4x﹣3=2x（x+2）﹣3D．ax﹣ay=a（x﹣y）5．下列分解因式正确的是（）A．x2+y2=（x+y）（x﹣y）B．m2﹣2m+1=（m-1）2C．（a+4）（a﹣4）=a2﹣16D．x3﹣x=x（x2﹣1）6．分解因式x2y−y3结果正确的是（）.A．y(x+y)2B．y(x−y)2C．y(x2−y2)D．y（x+y）（x﹣y）7．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A．(x+2)(x−2)=x2−4B．x2+4x−2=x(x+4)−2 C．x2−4=(x+2)(x−2)D．x2−4+3x=(x+2)(x−2)+ 3x8．有下列各式：①x2−6x+9；②25a2+10a−1；③x2−4x+4；④a2+a+ 1.其中能用完全平方公式因式分解的个数为（）4A．1B．2C．3D．4 9．多项式3x3﹣12x2的公因式是（）A．x B．x2C．3x D．3x2 10．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（）A．a（x+y）＝ax+ayB．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）C．x2﹣4x+4＝（x﹣4）2D．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x11．﹣m（m+x）（x﹣n）+mn（m﹣x）（n﹣x）的公因式是（）A．﹣m B．m（n﹣x）C．m（m﹣x）D．（m+x）（x﹣n）12．计算：1252﹣50×125+252=（）A．100 B．150C．10000D．22500二、填空题13．因式分解：x2+2xy+y2−1=．14．分解因式：a3−81ab2=．15．在实数范围内分解因式：x2y﹣3y=16．多项式2a2b3+6ab2的公因式是．17．分解因式：12x2-x+ 12=。

2019-2020年中考数学专题复习《因式分解》提高测试一 选择题（每小题4分，共20分）：1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是…………………………………………（ ）（A ）（x ＋2）（x –2）＝x 2－4（B ）x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3x（C ）x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）（D ）x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－42．分解多项式 时，分组正确的是……………………………（ ）（A ）（ （B ）（C ） （D ）3．当二次三项式 4x 2 ＋kx ＋25＝0是完全平方式时，k 的值是…………………（ ）（A ）20 （B ） 10 （C ）－20 （D ）绝对值是20的数4．二项式作因式分解的结果，合于要求的选项是………………………（ ）（A ） （B ）二 把下列各式分解因式（每小题8分，共48分）：1．x n ＋4－169x n ＋2 （n 是自然数）；解：x n ＋4－169xn ＋2 ＝x n ＋2（x 2－169）＝x n ＋2（x ＋13）（x －13）；２．（a ＋2b ）2－10（a ＋2b ）＋25；解：（a ＋2b ）2－10（a ＋2b ）＋25＝（a ＋2b －5）2；3．2xy ＋9－x 2－y 2；解：2xy ＋9－x 2－y2 ＝9－x 2＋2xy －y2 ＝9－（x 2－2xy ＋y 2）＝32－（x －y ）2 ＝（3 ＋x －y ）（3－x ＋y ）；４．；解：＝＝[])2()2(2a x a a x a --- ＝＝；5．16)3(8)3(222++-+m m m m ；解：16)3(8)3(222++-+m m m m ＝222244)3(2)3(+⨯+-+m m m m ＝16)3(8)3(222++-+m m m m＝＝＝；6．．解：＝＝[][]2222)()(z y x z y x ---+＝))()()((z y x z y x z y x z y x --+--+++． 三 下列整式是否能作因式分解？如果能，请完成因式分解（每小题10分，共20分）：1．；解：展开、整理后能因式分解．＝xy y x y x 4)1(2222-+--＝)2()12(2222y xy x xy y x ++-+-＝ ＝； 2．13322)132(222-+-+-x x x x ．解：能，用换元法． 13322)132(222-+-+-x x x x ＝10)132(11)132(222++--+-x x x x＝＝.四 （本题12 分）作乘法：，１．这两个乘法的结果是什么？所得的这两个等式是否可以作为因式分解的公式使用？用它可以分解有怎样特点的多项式？２．用这两个公式把下列各式分解因式：（1）；（2）．解：1．结果为3322))((y x y xy x y x +=+-+； 3322))((y x y xy x y x -=++-． 利用它们从右到左的变形，就可以对立方和或立方差的多项式作因式分解； 2．（1）))(2()2(8223333b ab a b a b a b a+-+=+=+；（2） ]1))[(1(2222++-=m m m)1)(1)(1(24++-+=m m m m ．选作题（本题20分）：证明：比4个连续正整数的乘积大1的数一定是某整数的平方．证明：设n 为一个正整数，据题意，比4个连续正整数的乘积大1的数可以表示为A ＝n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）＋1，于是，有A ＝ n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）＋1＝（n 2＋3n ＋2）（n 2＋3n ）＋1＝（n 2＋3n ）2＋2（n 2＋3n ）＋1＝[（n 2＋3n ）＋1]2 ＝（n 2＋3n ＋1）2，这说明A 是（n 2＋3n ＋1）表示的整数的平方．#23816 5D08 崈22115 5663 噣.20160 4EC0 什K40168 9CE8 鳨21668 54A4 咤403379D91 鶑20244 4F14 伔31769 7C19 簙j24263 5EC7 廇q23370 5B4A 孊。

2020年中考数学因式分解专题复习（后附答案）1．因式分解(1)定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．(2)因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：(a＋b)(a－b)a2－b2.即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性．【因式分解的理解(1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式．(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解．(3)因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底．】【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()．A．a(x＋y)＝ax＋ay B．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4C．10a2－5a＝5a(2a－1) D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y答案：C点拨：A是整式乘法，B、D等号右边不是整式积的形式，而是和的形式，不是因式分解．2．公因式(1)定义：多项式的各项中都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式．(2)确定公因式的方法：确定一个多项式的公因式，要对数字系数和字母分别进行考虑，在确定多项式的公因式时，一看系数，二看字母，三看指数．【确定公因式的方法(1)对于系数(只考虑正数)，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数．(2)对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂．最后还要根据情况确定符号．】【例2】把多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式时，应提取的公因式是()．A．3a2b B．3ab2C．3a3b3D．3a2b2答案：D点拨：在多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3中，这三项系数的最大公约数是3，各项都含有字母a，b，字母a的最低次幂是a2，字母b的最低次幂是b2，所以各项的公因式是3a2b2，故选D.3．提公因式法(1)定义：一般地，如果多项式中各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． (2)提公因式的步骤： ①确定应提取的公因式；②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； ③把多项式写成公因式与剩余因式的和这两个因式的积的形式．【提公因式的注意点 (1)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式； (2)如果多项式的首项系数是负数，应先提出“－”号．可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项全部提出莫漏“1”，括号里面分到“底”．】【例3】 用提公因式法分解因式：(1)12x 2y －18xy 2－24x 3y 3； (2)5x 2－15x ＋5； (3)－27a 2b ＋9ab 2－18ab ； (4)2x (a －2b )－3y (2b －a )－4z (a －2b )． 解：【课堂练习】1、下列各式中，从等式左边到右边的变形，属因式分解的是 （填序号）①()22221y x y x -∙=- ②()()y x y x y x-+=-22③()()222244y x y x y x -+=- ④()2222y xy x y x ++=+2、若分解因式()()n x x mx x ++=-+3152，则m 的值为 .3、把下列各式分解因式：(1)ma+mb ； (2)5y 3-20y 2； (3)2ax 2y-axy 2；(4)-4kx-8ky ； (5)-4x+2x 2； (6)-8m 2n-2mn4、把下列各式分解因式：(1)a 2b-2ab 2 +ab ； (2)3x 3–3x 2–9x ； (3)-20x 2y 2-15xy 2+25y 3 ；(4)-24x 3+28x 2-12x ； (5)-4a 3b 3+6a 2b-2ab ； (6) 6a(m-2)+8b(m-2)；（7）(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)；（8）4（x-y）3-8x(y-x)2；（9）(1+x)(1-x)-(x-1)5、利用提公因式计算：（1）21×3.14+62×3.14+17×3.14；（2）1998×6.55+425×19.98－0.1998×80004．用平方差公式分解因式(1)因式分解的平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来．(2)平方差公式的特点：左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数(或整式)的和与这两个数(或整式)的差的积．凡是符合平方差公式左边特点的多项式都可以用这个公式分解因式．【例4】把下列多项式分解因式：(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.解：【随堂练习】1．下列多项式，能用平方差公式分解的是（）A．－x2－4y2B．9 x2+4y2C．－x2+4y2D．x2+（－2y）22.分解因式：25－(m+2p)2 = ；2ax2－2ay2= ；9(m+n)2-16(m-n)2= ；x5－x3= ；a2-(a+b)2= .3.拓展练习小明说：对于任意的整数n，多项式（4n2+5）2－9都能被8整除．他的说法正确吗？请说明理由．5．用完全平方公式分解因式(1)因式分解的完全平方公式：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来．(2)完全平方公式的特点：左边是一个二次三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号．【例5】 把下列多项式分解因式：(1)x 2＋14x ＋49； (2)(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9； (3)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (4)－x 2－4y 2＋4xy . 解： 【随堂练习】1．23616x kx ++是一个完全平方式，则k 的值为（ ） A ．48 B ．24C ．－48D ．±482．分解因式n n n +-2344＝ ．3．一次课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题，你认为小明做的不够完整的一题是（ ）A ．()123-=-x x x x B ．()2222y x y xy x -=+- C ．()y x xy xy y x -=-22 D ．()()y x y x y x -+=-224. 把下列各式分解因式：⑴t 2+22t+121； ⑵m 2+41n 2－mn ； （3）ax 2+2a 2x+a 3；（4）(x+y)2-4(x+y)+4； （5）25m 2-10mn+n 2； （6）4(x-y)2+12(y-x)+95．当a ＝3，a －b ＝1时，a 3－2a 2b+ab 2的值是 ．6．在多项式2a +1中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式为 ． 7．分解因式：2mx 2+4mx +2m = 8、拓展练习用简便方法计算：（1）20012－4002+1； (2) 9992 ； (3 ) 200226．十字相乘法分解因式（1）十字相乘法的公式：利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．即 acx 2+（ad+bc ）x +bd =(ax ＋b )(cx ＋d )（2）特点：这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（i ）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式： ))(()(2b x a x ab x b a x++=+++；（ii ）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=，它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．【十字相乘法分解因式的易错点：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．】【例6】把下列多项式分解因式：（1）x 2＋7x ＋12； (2) x 2-14x ＋45； （3）7x 2＋56x ＋49； （4）x 2-5xy -6y 2；解：【随堂练习】1、若x 2+mx+15=（x-3）（x+a ），则m= ，a= ；2、分解因式：3m 2+15mn+4n 2= ； 5x 2-6x+1= ；1522--x x = ； a 2-3ax-10x 2= ； -2x 3y+4x 2y 2+6xy 3= ； 3、把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ； （2）3832-+x x ； （3）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（4）120)8(22)8(222++++a a a a ； （5）22210235y aby b a -+； （6）90)242)(32(22+-+-+x x x x ．4、分解因式：①655222-+-+-y x y xy x ； ②ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟： ① 法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式．法2：把字母y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式． ②先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．7．因式分解的一般步骤根据多项式的特点灵活选择分解因式的方法，其一般步骤概括为：一提、二套、三查． 一提：如果多项式的各项有公因式，首先考虑提取公因式；二套：提公因式后或无公因式可提，就考虑运用公式法，即平方差公式或完全平方公式； 三查：因式分解一定要分解到不能分解为止，要检查每个因式是否还可以继续分解．8．运用公式法分解因式易出现的错误在分解因式时，多项式的项数若是两项，且含有平方项，则考虑用平方差公式进行分解因式．若多项式是三项式，则考虑用完全平方公式．在应用公式法分解因式时常出现的错误是：对公式的结构特征掌握不熟，理解不透彻，易出现符号、项数上的错误，二次项、一次项系数搞错，把两个公式混淆等．【例7】 把下列各式分解因式：(1)18x 2y －50y 3； (2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2； （3）22)1(2)1(4-+-b b a ； （4）244yz y z z --.解：【例8】（1）下列各式能用完全平方公式分解因式的有( )．①4x 2－4xy －y 2； ②x 2＋25x ＋125； ③－1－a －a 24； ④m 2n 2＋4－4mn ； ⑤a 2－2ab ＋4b 2； ⑥x 2－8x ＋9.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①⑤⑥不符合完全平方公式的结构特点，不能用完全平方公式分解因式．②④符合完全平方公式的特点，③提取“－”号后也符合完全平方公式的特点，所以②③④能用完全平方公式分解．①中的y 2前面是“－”号，不能用完全平方公式分解．⑤中间项有a 、b 的积的2倍，前后项都是平方式，但中间项不是“首尾积的2倍”，不能用完全平方公式分解．⑥也不符合．（2）已知(19x -31)(13x -17)-(13x -17)(11x -23)可因式分解成(ax +b )(8x +c )，其中a 、b 、c 均为整数，则a +b +c =（ ）A ．-12B ．-32C ．38D ．729．运用分解因式解决动手操作题动手操作题是让学生在实际操作的基础上设计有关的问题．这类题对同学们的能力有更高的要求，有利于培养学生乐于动手、勤于思考的意识和习惯，有利于培养学生的创新能力和实践能力．这类题目主要考查动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图等．不仅考查动手能力，还考查想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．此类题目就是通过拼图，用不同的式子表示图形面积，以达到把多项式分解因式的目的．【例9】 如某同学剪出若干个长方形和正方形卡片，如图(1)所示，请运用拼图的方法，选取图中相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形，使它的面积等于a 2＋4ab ＋3b 2，并根据你拼成的图形的面积，把此多项式分解因式．图(1) 图(2)解：因为拼成一个面积等于a 2＋4ab ＋3b 2的大长方形，就要用1个边长为a 的正方形、3个边长为b 的正方形和 4个边长分别为a ，b 的长方形，可以拼成如图(2)所示的图形，由此知长方形的边长分别为(a ＋b )和(a ＋3b )． 由面积可知a 2＋4ab ＋3b 2＝(a ＋b )(a ＋3b )．【巩固练习】1、 因式分解：①222axy y x a -； ②c ab ab abc 249714+--； ③()()x y y y x x ---；④()y x y x m +--2； ⑤324(1)2(1)q p p -+-； ⑥22412925x xy y -+-2、 若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 3、 分解因式：=+-+)(3)(2y x y x ，2m mn mx nx -+-= ．4、下列因式分解错误的是()A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+ D ．222()x y x y +=+5、把多项式2288x x -+分解因式，结果正确的是（ ） A ．()224x - B ．()224x -C ．()222x -D ．()222x +6、已知3， 2a b ab +==， 22ab b a --的值为 ；7、用因式分解计算：151713191713⨯-⨯-； 2298196202202+⨯+8、求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。

中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列因式分解结果正确的是（ ） A ．32(1)x x x x -=-B ．229(9)(9)x y x y x y -=+-C ．232(3)2x x x x -+=-+D ．()()22331x x x x --=-+2．分式 212x x x ---有意义， 则（ ） A ．2x ≠ B ．1x ≠- C ．2x ≠或1x ≠- D ．2x ≠且1x ≠- 3．下列多项式中是多项式243x x -+的因式的是（ ）A ．1x -B ．xC ．2x +D ．3x +4．已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x -，乙与丙相乘的积为26x x +-，则甲与丙相减的结果是( )A ．5-B ．5C ．1D ．1-5．将下列各式分解因式，结果不含因式()2x +的是（ ）A ．22x x +B ．24x -C ．()()21211x x ++++D ．3234x x x -+ 6．甲、乙两位同学在对多项式2x bx c ++分解因式时甲看错了b 的值，分解的结果是()()45x x -+，乙看错了c 的值，分解的结果是()()34x x +-，那么2x bx c ++分解因式正确的结果为（ ）A ．()()54x x --B ．()()45x x +-C ．()()45x x -+D ．()()45x x ++ 7．如果多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，那么:a b 的值是（ ）A ． 2-B ． 3-C ．3D ．6 8．若分解因式()()2153x mx x x n +-=--则m 的值为（ ）A ．5-B ．5C ．2-D ．2二、填空题9．因式分解26a a +-的结果是 ．三、解答题21424x x -+ 解：24(2)(12)=-⨯- (2)(12)14-+-=-21424(2)(12)x x x x ∴-+=-- 解：原式222277724x x =-⋅⋅+-+2(7)4924x =--+2(7)25x =-- (75)(75)x x =-+--(2)(12)x x =-- (1)按照材料一提供的方法分解因式：22075x x -+；(2)按照材料二提供的方法分解因式：21228x x +-．20．利用整式的乘法运算法则推导得出：()()()2ax b cx d acx ad bc x bd ++=+++．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得()()()2acx ad bc x bd ax b cx d +++=++．通过观察可把()2acx ad bc x bd +++看作以x 为未知数，a 、b 、c 、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式221112x x ++的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则()()221112423x x x x ++=++．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：2627x x +-；(2)用十字相乘法分解因式：2673x x --；(3)结合本题知识，分解因式：220()7()6x y x y +++-．参考答案： 1．D【分析】本题考查了因式分解；根据因式分解－十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，进行分解逐一判断即可． 【详解】解：A 、()()32(1)11x x x x x x x -=-=+-故本选项不符合题意；B 、229(3)(3)x y x y x y -=+-故本选项不符合题意；C 、()()23221x x x x -+=--故本选项不符合题意；D 、223(3)1)x x x x --=-+（故本选项符合题意； 故选：D ．2．D【分析】本题考查的是分式有意义的条件，利用十字乘法分解因式，根据分式有意义的条件：分母不为零可得 ²20x x --≠，再解即可． 【详解】解：由题意得： ²20x x --≠ 210x x解得： 2x ≠且1x ≠-故选： D ．3．A【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握十字乘法是解本题的关键．【详解】解：()()24313x x x x -+=--；∴1x -是多项式243x x -+的因式；故选A4．D【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．【详解】解：∴甲与乙相乘的积为29(3)(3)x x x -=+-，乙与丙相乘的积为()262(3)x x x x +-=-+，甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数 ∴甲为3x -，乙为3x +，丙为2x则甲与丙相减的差为：()(3)21x x ---=-；故选：D5．D【分析】本题主要考查了分解因式，正确把每个选项中的式子分解因式即可得到答案．【详解】解：A 、()222x x x x +=+故此选项不符合题意；B 、()()2422x x x -=+-故此选项不符合题意；C 、()()()()2221211112x x x x ++++=++=+故此选项不符合题意；D 、()()323441x x x x x x =+-+-故此选项符合题意； 故选：D ．6．B【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及因式分解，根据甲分解的结果求出c ，根据乙分解的结果求出b ，然后代入利用十字相乘法分解即可．【详解】解：∴()()24520x x x x -+=+-∴20c =-∴()()23412x x x x +-=--∴1b∴2x bx c ++220x x =--()()45x x =+-故选：B ．7．A【分析】由于()()2221+-=+-x x x x ，而多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除．运用待定系数法，可设商是A ，则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-，则2x =-和1x =时4322370x x ax x b -+++=，分别代入，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解此方程组，求出a 、b 的值，进而得到:a b 的值.【详解】解：∴()()2221+-=+-x x x x∴432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除设商是A ．则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-则2x =-和1x =时右边都等于0，所以左边也等于0．当2x =-时43223732244144420x x ax x b a b a b -+++=++-+=++= ∴当1x =时43223723760x x ax x b a b a b -+++=-+++=++= ∴-①②，得3360a +=∴12a =-∴66b a =--=．∴:12:62a b =-=-故选：A ．【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出2x =-和1x =时原多项式的值均为0，从而求出a 、b 的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．8．D【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m 的值即可．【详解】解：已知等式整理得：()()()2215333x mx x x n x n x n +-=--=+--+可得3m n =-- 315n =-解得：2m = 5n =-故答案为：D ．【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．(3)(2)a a +-【分析】解：本题考查了公式法进行因式分解，掌握2()()()x p q x pq x p x q +++=++进行因式分解是解题的关键．【详解】26(3)(2)a a a a +-=+-故答案为：(3)(2)a a +-．10．(2)(3)y y y --【分析】本题考查提公因式法，十字相乘法，掌握提公因式法以及2()()()x p q x pq x p x q +++=++是正确解答的关键．先提公因式y ，再利用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：原式2(56)y y y =-+(2)(3)y y y =--．故答案为：(2)(3)y y y --．11．()()21a a a --/()()12a a a --【分析】先去括号合并后，直接提取公因式a ，再利用十字相乘法分解因式即可．本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止【详解】解：2(3)2a a a -+3232a a a -+=()232a a a =-+(2)(1)a a a =--．故答案为：(2)(1)a a a --．12．1±或5±【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解()()()2x a b x ab x a x b +++=++．把6-分成3和2-，3-和2，6和1-，6-和1，进而得到答案．【详解】解：当()()2632x mx x x +-=+-时()321m =+-=当()()2632x mx x x +-=-+时321m =-+=-当()()2661x mx x x +-=-+时615m =-+=-当()()2661x mx x x +-=+-时615m =-=综上所述：m 的取值是1±或5±故答案为：1±或5±．13．6±【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，根据5可以分成15⨯或()()15-⨯-即可求解．【详解】解：155⨯= ()()155-⨯-=()()21565x x x x ++=++ ()()26515x x x x =---+∴如果关于x 的二次三项式25x kx ++可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数k 等于6±． 故答案为：6±．14．()()21x x +-【分析】本题主要考查了根与系数的关系、十字相乘法因式分解的知识点，先根据根与系数的关系确定b 、c 的值，然后再运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2- 根据根与系数的关系可得：()12b -=+- ()12c =⨯-∴1b = 2c =-∴()()22221x bx c x x x x ++=+-=+-故答案为：()()21x x +-．15．()()211x x --【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将1x =代入原方程，求出m 的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程2210x mx ++=有一个根是1∴把1x =代入，得210m ++=解得：3m =-．则()()2221231211x mx x x x x ++=-+=--故答案为：()()211x x --．16．()()23x x +-【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出p q ，，再进行因式分解即可．【详解】解：∴方程20x px q ++=的两个根分别是2和3-∴23p -=- ()23q ⨯-=∴1,6p q ==-∴()()2623x x x x --=+-；故答案为()()23x x +-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．(1)()()322x x x +-(2)()23y x y --(3)()()26x x +-【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法和十字相乘法，即可．（1）先提公因式3x ，然后根据()()22a b a b a b -=+-，即可； （2）先提公因式y -，再根据()2222a b a ab b ±=±+，即可；（3）根据十字相乘法，进行因式分解，即可．【详解】（1）3312x x -()234x x =- ()()322x x x =+-；（2）22369xy x y y --()2269y xy x y =--++()2296y x xy y =--+ ()23y x y =--； （3）2412x x --()()26x x =+-．18．3a b += 2ab =.【详解】解：因为()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，且232x x ++因式分解的结果是()()x a x b ++所以3a b += 2ab =.19．(1)(5)(15)x x --(2)(14)(2)x x +-【分析】本题考查了因式分解，解答本题的关键是理解题意，明确题目中的分解方法． （1）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案；（2）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案．【详解】（1）解：75(5)(15)=-⨯- (5)(15)20-+-=-22075(5)(15)x x x x ∴-+=--；（2）解：原式222266628x x =+⋅⋅+--2(6)3628x =+--2(6)64x =+-(68)(68)x x =+++-(14)(2)x x =+-．20．(1)()()39x x -+(2)()()2331x x -+(3)()()443552x y x y +++-【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．（1）利用十字相乘法进行求解即可；（2）利用十字相乘法进行求解即可；（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．【详解】（1）解：2627x x +-第 11 页 共 11 页 ()()39x x =-+；（2）解：2673x x -- ()()2331x x =-+；（3）解：220()7()6x y x y +++- ()()4352x y x y ⎡⎤⎡⎤=+++-⎣⎦⎣⎦ ()()443552x y x y =+++-．。

2020年中考数学总复习因式分解专题训练一、单选题1．下列变形是因式分解的是（ ）A ．22(2)x x x x +=+B ．222(1)1x x x +=+−C ．22221x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ D ．22(1)x x x x x +=++2．已知a 、b 、c 是ABC 的三条边，且满足22a bc b ac +=+，则ABC 是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形3．把(a 2+1)2-4a 2分解因式得( )A ．(a 2+1-4a )2B ．(a 2+1+2a )(a 2+1-2a )C ．(a +1)2(a -1)2D ．(a 2-1)2 4．把多项式a 2﹣4a 分解因式，结果正确的是（ ）A ．a （a ﹣4）B ．（a+2）（a ﹣2）C ．（a ﹣2）2D ．a （a+2（a ﹣2） 5．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）．A ．2323623x y x y =⋅B ．ax − ay −1 = a (x − y ) −1C ．22111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫−=+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．29x − = (x + 3)(x − 3)6．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的多项式的个数为（ ）．①x 2−10x + 25；②4x 2+ 4x −1；③9x 2y 2− 6xy +1；④214x x −+；⑤42144x x −+． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个7．下列因式分解：①()()()()22224a b a b a b a b a +++−+−=；②()()()22412a b a b a b +−+−=+−；③()4222211x x x −+=−；④()422244 41x y x y x y x −=−．正确的式子有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．下列各选项中因式分解正确的是（ ）A ．()2211x x −=−B ．()32222a a a a a −+=−C ．()22422y y y y −+=−+D ．()2221m n mn n n m −+=− 9．将下列多项式分解因式，结果中不含因式(x +1)的是( )A ．x 2－1B ．x (x －3)－(3－x )C ．x 2－2x +1D ．x 2+2x +110．下列从左到右的变形属于因式分解的是( )A ．(x ＋1)(x －1)＝x 2－1B ．m 2－2m －3＝m(m －2)－3C ．2x 2＋1＝x(2x ＋1x ) D ．x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)11．若多项式3212x mx nx ++−含有因式()3x −和()2x +，则n m 的值为 （ ） A ．1 B ．-1 C ．-8 D ．18−12．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）A ．()()2224x x x +−=−B ．623xy x y =C ．()()23441x x x x −−=−+D ．222111144x x x x x ⎛⎫−+=−+ ⎪⎝⎭二、填空题13．分解因式：222x −= _________．14．分解因式：32a ab −=_________．15．已知3221−可以被10到20之间某两个整数整除，则这两个数是___________． 16．若x ＋y ＝1，xy ＝-7，则x 2y ＋xy 2＝_____________．17．分解因式：（2a+b ）2﹣（a+2b ）2= ．18．已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且2281252a b a b +=+−，其中c 是△ABC 中最短的边长，则c 的取值范围是________．19．已知a ，b ，c 为三角形的三边，且满足a 2c 2−b 2c 2=a 4−b 4，那么它的形状是_______． 20．分解因式：a 2b+4ab+4b=______．三、解答题21．（知识情境）通常情况下，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．（1）如图1，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形()a b >．把余下的部分剪拼成一个长方形（如图2）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________；（拓展探究）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．如图3是边长为+a b 的正方体，被如图所示的分割线分成8块．图3（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式可以为：_________________________________________________________________； （3）已知4a b +=，2ab =，利用上面的恒等式求33+a b 的值．22．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式24x x m −+有一个因式是()3x +，求另一个因数及m 的值． 解：设另一个因式为()x n +，由题意，得()()243x x m x x n −+=++， 化简、整理，得()2433x x m x n x n −+=+++， 于是有343n m n +=−⎧⎨=⎩解得217m n =−⎧⎨=−⎩， ∴另一个因式为()7x −，m 的值为21−．问题：仿照上述方法解答下面的问题：已知二次三项式223x x k +−有一个因式是()4x +，求另一个因式及k 的值． 23．观察：22213−=；2222432110−+−=；22222265432121−+−+−=． 探究：（1）2222222287654321−+−+−+−= ．（直接写出答案）（2）222222(2)(21)(22)(23)21n n n n −−+−−−+−= ．（直接写出答案）应用：（3）如图，20个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为20cm ，向里依次为19cm 、18cm 、……1cm ，那么在这个图形中，所有阴影部分的面积和是多少？（结果保留π）24．材料1：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．例如：()am bm cm m a b c ++=++，2221(1)x x x ++=+都是因式分解．因式分解也可称为分解因式．材料2：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程称作一元二次方程．一元二次方程的般形式是：20ax bx c ++=（其中a ，b ，c 为常数且0a ≠）．“转化”是一种重要的数学思想方法，我们可以利用因式分解把部分一元二次方程转化为一元一次方程求解．例如解方程；240x −=24(2)(2)x x x −=+−()()220x x ∴+−=20x ∴+=或20x −=∴原方程的解是12x =−，22x =∴原方程的解是12x =−，22x =又如解方程：2210x x −+=2221(1)x x x −+=−()210x ∴−=10x ∴−=∴原方程的解是121x x ==请阅读以上材料回答以下问题：（1）若22(2)(2)x x m x n x −+=+−，则m =_______；n =_______； （2）请将下列多项式因式分解：22a a −=_______，2244x xy y −+=________；（3）在平面直角坐标系中，已知点()2,1P m m −，)Q n ，其中m 是一元二次方程()22(3)134m m m −−−=的解，n 为任意实数，求PQ 长度的最小值．知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

专题4.1 因式分解专项突破卷（1）1．B【解析】首先提取公因式a ，再利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】4a ﹣a 3=a （4﹣a 2）=a （2﹣a ）（2+a ）．故选：B ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．2．C【解析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；D. 244x x -+=（x -2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．3．A【解析】试题分析：把多项式分别进行因式分解，多项式2mx m -=m （x+1）（x -1），多项式221x x -+=()21x -，因此可以求得它们的公因式为（x -1）．故选A考点：因式分解4．B【解析】试题分析：根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可：A 、()2421421a a a a +-=+-不是因式分解，故此选错误；B 、()()242137a a a a +-=-+，正确； C 、()()237421a a a a -+=+-，不是因式分解，故此选错误；D 、()22421225a a a +-=+-，不是因式分解，故此选错误.故选B ．考点：因式分解的意义．.5．A【解析】直接提取公因式a 即可：a 2－4a=a （a －4）。

故选A6．C【解析】根据提公因式法和运用公式法分解每一个多项式，即可得到结论．【详解】A ．m 2﹣2m +1=（m ﹣1）2；B ．21m +，不能分解；C ．2m m +=m （m +1）；D ．()()21211m m ++++=（m +1+1）2=（m +2）2．故选C ．【点睛】本题考查了提公因式法和运用公式法分解因式，熟练掌握提公因式法和运用公式法是解题的关键． 7．B【解析】移项并分解因式，然后解方程求出a 、b 、c 的关系，再确定出△ABC 的形状即可得解．【详解】移项得，a 2c 2−b 2c 2−a 4＋b 4＝0，c 2（a 2−b 2）−（a 2＋b 2）（a 2−b 2）＝0，（a 2−b 2）（c 2−a 2−b 2）＝0，所以，a 2−b 2＝0或c 2−a 2−b 2＝0，即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，因此，△ABC 等腰三角形或直角三角形．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a 、b 、c 的关系式是解题的关键．8．B【解析】试题分析：根据平方差公式的特点：两个平方项，且异号．完全平方公式的特点：两个数的平方项，且同号，再加上或减去这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：①原式=（2x+y ）（2x ﹣y ），能分解因式；②原式=2x 2（x+2y ）2，能分解因式；③两个数的平方项，且异号，不能分解因式；④原式=（x+3y ）（x ﹣2y ），能分解因式；⑤不能化为两个整式积的形式，故不能分解因式．则不能分解因式的有2个．故选B ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．点评：本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握各个公式的结构特征是解题的关键． 9．C【解析】先运用分组分解法进行因式分解，求出a ，b 的值，再代入求值即可．【详解】解：△a 2+b 2﹣4a ﹣10b +29＝0，△（a 2﹣4a +4）+（b 2﹣10b +25）＝0，△（a ﹣2）2+（b ﹣5）2＝0，△a ＝2，b ＝5，△当腰为5时，等腰三角形的周长为5+5+2＝12，当腰为2时，2+2＜5，构不成三角形．故选：C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握完全平方公式．10．C【解析】△x 2+mx -15=（x+3）（x+n ），△x 2+mx -15=x 2+nx+3x+3n ，△3n=-15，m=n+3，解得n=-5，m=-5+3=-2．11．x （x -9）【解析】【详解】()2x 9x x x 9-=-， 故答案为：()x x 9-.12．2(21)a -【解析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．【详解】解：22441(21)a a a -+=-．故答案为2(21)a -．【点睛】本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．13．4(a+2)(a -2)【解析】先提公因式4，然后再利用平方差公式进行因式分解.【详解】原式=24(4)a -=4(a+2)(a -2)，故答案为4(a+2)(a -2).14．(x -3)(x+1)；【解析】根据因式分解的概念和步骤，可先把原式化简，然后用十字相乘分解，即原式=x 2﹣3x+x ﹣3 =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣3）（x+1）；或先把前两项提公因式，然后再把x -3看做整体提公因式：原式=x （x ﹣3）+（x ﹣3）=（x ﹣3）（x+1）.故答案为（x ﹣3）（x+1）．点睛：此题主要考查了因式分解，关键是明确因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.再利用因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），进行分解因式即可. 15．2(a －1)2【解析】先提公因式法，再套用完全平方公式.【详解】解：3a 2-6a+3=3（a 2-2a+1）=3(a -1)2.【点睛】考点：提公因式法与公式法的综合运用．16．()()1n n m m -+【解析】mn(n -m)-n(m -n)= mn(n -m)+n(n -m)=n(n -m)(m+1)，故答案为n(n -m)(m+1).17．a 2+2ab+b 2=（a+b ）2【解析】试题分析：两个正方形的面积分别为a 2，b 2，两个长方形的面积都为ab ，组成的正方形的边长为a ＋b ，面积为(a ＋b )2，所以a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2．点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系． 18．(10)(3)x x +-.【解析】因为-30可分解为-3×10，7=-3+10，所以利用十字相乘法分解因式即可得解.【详解】2730x x +-，=2(3+10(3)10x x +-+-⨯)=(10)(3)x x +-.【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练运用分解因式的方法是解题的关键.19．2（x -3）2【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】原式=2（x 2-6x+9）=2（x -3）2．【点睛】考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．x(x +1)(x −1)【解析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解.【详解】解：x 3-x=x(x 2-1)=x(x+1)(x -1)21．见解析【解析】将前两项以及后两项分组进而利用公式法以及提取公因式法分解因式即可；【详解】解：2222a b a b --+()()2222a b a b =---()()()2a b a b a b =+---()()2a b a b =-+-⎡⎤⎣⎦()()2a b a b =-+-【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用公式是解题关键．22．（1）()()2323x x +-；（2）()23a x y + 【解析】（1）直接运用平方差公式进行分解即可；（2）先提取公因式3a ，然后进行完全平方公式进行分解即可.【详解】解：（1）原式=()()2323x x +-；（2）原式=()()22233a x xy y a x y ++=+. 【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 23．（1）（x +52）2； （2）3a （x +2）2（x ﹣2）2 【解析】（1）原式整理后，利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式及完全平方公式分解即可．【详解】解：（1）原式＝x 2+5x +254＝（x +52）2； （2）原式＝3a [（x 2+4）2﹣16x 2]＝3a （x +2）2（x ﹣2）2【点睛】此题考察多项式的因式分解，根据多项式的特点选择恰当的分解方法是解题的关键，还需注意分解因式需分解到不能再分解为止.24．（1）C ；（2）没有考虑a=b 的情况；（3）△ABC 是等腰三角形或直角三角形．【解析】【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；（2）根据题目中B 到C 可知没有考虑a=b 的情况；（3）根据题意可以写出正确的结论．【详解】（1）由题目中的解答步骤可得，错误步骤的代号为：C ，故答案为：C ；（2）错误的原因为：没有考虑a=b 的情况，故答案为：没有考虑a=b 的情况；（3）本题正确的结论为：△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故答案为：△ABC 是等腰三角形或直角三角形．【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．25．(1)2,4；（2）.【解析】试题分析：(1)把8分解成24，且2+4=6，类比例题即可求解；(2)把-4分解成1（-4），且1+（-4）=-3，类比例题分解因式，利用因式分解法解方程即可.试题解析：（1）_2__4_)；（2）考点：“十字相乘法”因式分解，解一元二次方程26．（1）2(a 2)-；（2）2；（3）ABC V 为等边三角形，理由见解析 【解析】(1)运用完全平方公式将 2a 4a 4-+ =0 ，变形为2(a 2)-，，即可得结论；(2)首先将22a 2a b 6b 100++-+=，，分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出a ，b 的值即可； (3)先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质解题．【详解】解：()221a 4a 4(a 2)Q -+=-， 故答案为2(a 2)-； ()222a 2a b 6b 100++-+=Q ，22(a 1)(b 3)0∴++-=，a 1∴=-，b 3=，a b 2∴+=；()3ABC V 为等边三角形.理由如下：222a 4b c 2ab 6b 2c 40++---+=Q ，222(a b)(c 1)3(b 1)0∴-+-+-=，a b 0∴-=，c 10-=，b 10-=a b c 1∴===，ABC ∴V 为等边三角形．【点睛】本题考查配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判断解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题。

第2课时 因式分解建议用时： 15分钟基础达标1. (2020·金华)下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( C )A ．a 2＋b 2B ．2a －b 2C ．a 2－b 2D ．－a 2－b 22. (2020·河北)对于①x －3xy ＝x (1－3y )，②(x ＋3)·(x －1)＝x 2＋2x －3，从左到右的变形，表述正确的是( C )A ．都是因式分解B ．都是乘法运算C ．①是因式分解，②是乘法运算D ．①是乘法运算，②是因式分解3. (2019·台湾)若多项式5x 2＋17x －12可因式分解成(x ＋a )(bx ＋c )，其中a ，b ，c 均为整数，则a ＋c ＝( A )A ．1B ．7C ．11D ．134. (2020·眉山)已知a 2＋14b 2＝2a －b －2，则3a －12b 的值为( A ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－45. (2020·宿迁)已知a ＋b ＝3，a 2＋b 2＝5，则ab ＝__2__．6. (2020·雅安)若(x 2＋y 2)2－5(x 2＋y 2)－6＝0，则x 2＋y 2＝__6__．7. (2020·大庆)分解因式：a 3－4a ＝__a (a ＋2)(a －2)__．8. (2020·哈尔滨)把多项式m 2n ＋6mn ＋9n 分解因式的结果是__n (m ＋3)2__．9. 如图，在一块边长为a 米的正方形空地的四角均留出一块边长为b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b<a 2米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算：当a ＝13.6，b ＝1.8时，草坪的面积．解：由图可得，草坪的面积是a 2－4b 2.当a ＝13.6，b ＝1.8时，a 2－4b 2＝(a ＋2b )(a －2b )＝(13.6＋2×1.8)×(13.6－2×1.8)＝17.2×10＝172(m 2)．答：草坪的面积是172平方米．10. (2019·广安)因式分解：3a 4－3b 4＝__3(a 2＋b 2)(a ＋b )(a －b )__．11. (2020·常德)阅读理解：对于x 3－(n 2＋1)x ＋n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x 3－(n 2＋1)x ＋n ＝x 3－n 2x －x ＋n ＝x (x 2－n 2)－(x －n )＝x (x －n )(x ＋n )－(x －n )＝(x －n )(x 2＋nx －1)．理解运用：如果x 3－(n 2＋1)x ＋n ＝0，那么(x －n )·(x 2＋nx －1)＝0，即有x －n ＝0或x 2＋nx －1＝0，因此，方程x －n ＝0和x 2＋nx －1＝0的所有解就是方程x 3－(n 2＋1)x ＋n 0的解．解决问题：方程x 3－5x ＋2＝0的解为___．12. (2020·内江)我们知道，任意一个正整数x 都可以进行这样的分解：x ＝m ×n (m ，n 是正整数，且m ≤n )，在x 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m ×n 是x 的最佳分解，并规定：f (x )＝m n. 例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18－1＞9－2＞6－3，所以3×6是18的最佳分解，所以f (18)＝36＝12. (1)填空：f (6)＝__23__；f (9)＝__1__； (2)一个两位正整数t (t ＝10a ＋b ，1≤a ≤b ≤9，a ，b 为正整数)，交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数，并求f (t )的最大值；解：由题意得，新数t′＝10b ＋a∴t′－t ＝(10b ＋a )－(10a ＋b )＝9(b －a )＝54∴b －a ＝6.∵1≤a ≤b ≤9，a ，b 是正整数，∴b ＝9，a ＝3或b ＝8，a ＝2或b ＝7，a ＝1. ∴t ＝39或28或17.∵f (39)＝313，f (28)＝47，f (17)＝117， ∴f (t )的最大值为47. (3)填空：①f (22×3×5×7)＝__2021__； ②f (23×3×5×7)＝__1415__； ③f (24×3×5×7)＝__2021__； ④f (25×3×5×7)＝__1415__。

初三上学期<因式分解>能力提升卷2一．选择题（共12小题）1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（）A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y22．多项式﹣8m2n3+10m3n2+2m2n2被﹣2m2n2除，所得的商为（）A．4n+5m﹣1 B．4n﹣5m+1 C．4n﹣5m﹣1 D．4n+5m3．下列因式分解正确的是（）A．8x﹣10y+2=2（4x﹣5y）B．x2﹣5x﹣6=（x﹣2）（x﹣3）C．4m2﹣9=（4m+3）（4m﹣3）D．a2﹣8a+16=（a﹣4）24．若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|=0，则a2﹣b2的值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣65．若多项式﹣6ab+18abx+24aby的一个因式是﹣6ab，那么另一个因式是（）A．1﹣3x﹣4y B．﹣1﹣3x﹣4y C．1+3x﹣4y D．﹣1﹣3x+4y6．下列各式变形中，是因式分解的是（）A．a2﹣2ab+b2﹣1=（a﹣b）2﹣1 B．x4﹣1=（x2+1）（x+1）（x﹣1）C．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4 D．2x2+2x=2x2（1+）7．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：南、爱、我、美、游、济，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．济南游C．我爱济南D．美我济南8．已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值为（）A．6 B．18 C．28 D．509．下列各式能用平方差公式计算的是（）A．（x﹣0.2）（0.2﹣x）B．（﹣2x﹣5）（5﹣2x）C．（3x﹣1）（2x+1）D．（﹣2x﹣5）（2x+5）10．下列因式分解正确的是（）A．m2+n2=（m+n）2 B．a2+b2+2ab=（b+a）2 C．m2﹣n2=（m﹣n）2D．a2+2ab﹣b2=（a﹣b）2 11．设n为某一正整数，代入代数式n5﹣n计算其值时．四个学生算出了下列四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是（）A．7770 B．7775 C．7776 D．777912．下列各式分解因式结果是（a﹣2）（b+3）的是（）A．﹣6+2b﹣3a+ab B．﹣6﹣2b+3a+ab C．ab﹣3b+2a﹣6 D．ab﹣2a+3b﹣6二．填空题（共18小题）13．把多项式bx2+2abx+a2b分解因式的结果是．14．因式分解：x3y2﹣x3=．15．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=．16．化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99=．17．已知ab=2，a﹣2b=﹣3，则a3b﹣4a2b2+4ab3的值为．18．多项式a2﹣9b n（其中n是小于10的自然数）可以分解因式，则n能取的值共有种．19．若a﹣b=1，则a2﹣2b﹣b2=．20．已知多项式x2+xy﹣2y2+8x+10y+k有一个因式是x+2y+2，则k=．21．已知正数a，b，c是△ABC三边的长，而且使等式a2﹣c2+ab﹣bc=0成立，则△ABC是三角形．22．计算=．23．已知m2+2mn=384，3mn+2n2=560，那么2m2+13mn+6n2﹣444的值是．24．分解因式：16m2﹣4=．25．y2﹣x2﹣x+y分解因式：．26．因式分解：x2﹣3x+（x﹣3）=．27．分解因式：4a2﹣25b2=．28．分解因式：m2n﹣4mn﹣4n=．29．将式子a2+2a（a+1）+（a+1）2分解因式的结果等于．30．已知x+y=，那么x2+xy+y2的值为．三．解答题（共10小题）31．已知n是正整数，则所有大于1的奇数可以用代数式2n+1来表示．（1）分解因式：（2n+1）2﹣1；（2）我们把所有“大于1的奇数的平方减去1”所得的数叫”白银数”，则所有”白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由．32．如果有理数m可以表示成2x2﹣6xy+5y2（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”．（1）两个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗？为什么？（2）证明：两个“世博数”a、b（b≠0）之商也是“世博数”．33．分解因式：（1）a2b﹣b3；（2）﹣（x2+2）2+6（x2+2）﹣934．将如图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，再据此图写出一个多项式的因式分解．35．阅读：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．解“设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴解得∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21问题：仿照上述方法解答下列问题：（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式及k的值．（2）已知2x2﹣13x+p有一个因式x﹣3，则P=．36．对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“差异数”，将一个“差异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算F（243）；（2）若一个“差异数”表示为，（其中1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，且a，b，c均为正整数），则求证：F（）=a+b+c；（3）若s，t都是“差异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，直接写出k的最大值．37．给出三个单项式：a2，b2，2ab（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；（2）当a=2018，b=2017时，求代数式a2+b2﹣2ab的值．38．对下列多项式进行分解因式：（1）（x﹣y）2+16（y﹣x）．（2）1﹣a2﹣b2﹣2ab．39．我们已经知道，完全平方公式、平方差公式可以用几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．例如，（a+b）（2a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图1的图形的面积表示．（1）请你写出图2所表示的代数恒等式；（2）多项式a2+4ab+3b2可以因式分解为，试在图3位置的横线上方，画图验证．（只画图，标注清楚字母即可）40．先因式分解，再求值：4x3y﹣9xy3，其中x=﹣1，y=2．初三上学期<因式分解>能力提升卷2参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（）A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y2【解答】解：能直接运用完全平方公式进行因式分解的是x2y2﹣xy+1=（xy﹣1）2．故选：B．2．多项式﹣8m2n3+10m3n2+2m2n2被﹣2m2n2除，所得的商为（）A．4n+5m﹣1 B．4n﹣5m+1 C．4n﹣5m﹣1 D．4n+5m【分析】被除数提取公因式后除以除数，约分即可得到商．【解答】解：根据题意列得：（﹣8m2n3+10m3n2+2m2n2）÷（﹣2m2n2）=2m2n2（﹣4n+5m+1）÷（﹣2m2n2）=4n﹣5m﹣1．故选：C．3．下列因式分解正确的是（）A．8x﹣10y+2=2（4x﹣5y）B．x2﹣5x﹣6=（x﹣2）（x﹣3）C．4m2﹣9=（4m+3）（4m﹣3） D．a2﹣8a+16=（a﹣4）2【分析】利用提公因式法、十字相乘法、平方公式及完全平方公式逐一因式分解可得．【解答】解：A、8x﹣10y+2=2（4x﹣5y+1），此选项错误；B、x2﹣5x﹣6=（x+1）（x﹣6），此选项错误；C、4m2﹣9=（2m+3）（2m﹣3），此选项错误；D、a2﹣8a+16=（a﹣4）2，此选项正确；故选：D．4．若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|=0，则a2﹣b2的值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6【分析】由非负数的性质得出a﹣b=2，a+b=﹣3，求出a，b的值，再代入a2﹣b2进行计算即可．【解答】解：∵（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|=0，∴a﹣b=2，a+b=﹣3，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=2×（﹣3）=﹣6；故选：D．5．若多项式﹣6ab+18abx+24aby的一个因式是﹣6ab，那么另一个因式是（）A．1﹣3x﹣4y B．﹣1﹣3x﹣4y C．1+3x﹣4y D．﹣1﹣3x+4y【分析】利用多项式的每一项除以公因式，即可得到另一个因式．【解答】解：﹣6ab+18abx+24aby=﹣6ab（1﹣3x﹣4y），所以另一个因式是（1﹣3x﹣4y）．故选：A．6．下列各式变形中，是因式分解的是（）A．a2﹣2ab+b2﹣1=（a﹣b）2﹣1 B．x4﹣1=（x2+1）（x+1）（x﹣1）C．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4 D．2x2+2x=2x2（1+）【解答】解：x4﹣1=（x2+1）（x+1）（x﹣1）是因式分解，故选：B．7．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：南、爱、我、美、游、济，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．济南游C．我爱济南D．美我济南【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解，确定出密码信息即可．【解答】解：原式=2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），则呈现的密码信息可能是我爱济南，故选：C．8．已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值为（）A．6 B．18 C．28 D．50【分析】先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=18．故代数式a3b+2a2b2+ab3的值为18．故选：B．9．下列各式能用平方差公式计算的是（）A．（x﹣0.2）（0.2﹣x）B．（﹣2x﹣5）（5﹣2x）C．（3x﹣1）（2x+1）D．（﹣2x﹣5）（2x+5）【分析】只要符合两项的和与这两项的差的积的形式，才能运用平方差公式计算．【解答】解：A、（x﹣0.2）（0.2﹣x）=﹣（x﹣0.2）（x﹣0.2），故本选项错误；B、（﹣2x﹣5）（5﹣2x）=（﹣2x﹣5）（﹣2x+5），符合平方差公式的特点，正确；C、两个括号里包括三项，故本选项错误；D、两个括号里的数符号都相反，故本选项错误．故选：B．10．下列因式分解正确的是（）A．m2+n2=（m+n）2B．a2+b2+2ab=（b+a）2C．m2﹣n2=（m﹣n）2 D．a2+2ab﹣b2=（a﹣b）2【分析】根据完全平方公式和平方差公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、两个平方项同号，不能运用公式法分解，错误；B、正确运用了完全平方公式，正确；C、两个平方项异号，可运用平方差公式，原式=（m+n）（m﹣n），错误；D、两个平方项同号时，才能运用完全平方公式，错误．故选：B．11．设n为某一正整数，代入代数式n5﹣n计算其值时．四个学生算出了下列四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是（）A．7770 B．7775 C．7776 D．7779【分析】看到代数式n5﹣n，首先想到的对其进行因式分解，分解后确定因式取值的情况即可．【解答】解：∵n5﹣n=n（n2+1）（n+1）（n﹣1）由于n是正整数，则（n﹣1）n（n+1）是3个连续的自然数，必有一个偶数，且有一个是3的倍数，所以，一定是6的倍数．又∵n5和n个位数相同，所以n5﹣n个位数是0．∴故选：A．12．下列各式分解因式结果是（a﹣2）（b+3）的是（）A．﹣6+2b﹣3a+ab B．﹣6﹣2b+3a+ab C．ab﹣3b+2a﹣6 D．ab﹣2a+3b﹣6【分析】依据多项式乘以多项式法则，将（a﹣2）（b+3）展开，与四个选项对比即得结果．【解答】解：（a﹣2）（b+3）=﹣6﹣2b+3a+ab．故选：B．二．填空题（共18小题）13．把多项式bx2+2abx+a2b分解因式的结果是b（x+a）2．14．因式分解：x3y2﹣x3=x3（y+1）（y﹣1）．15．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=（y﹣1）2（x﹣1）2．【分析】式中x+y；xy多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点，设x+y=a，xy=b，将a、b代入原式，进行因式分解，然后再将x+y、xy代入进行因式分解．【解答】解：令x+y=a，xy=b，则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1=（b﹣a+1）2；即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．故答案为：（y﹣1）2（x﹣1）2．16．化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99=（a+1）100．【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．【解答】解：原式=（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]=（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97] =（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]=…=（a+1）100．故答案为：（a+1）100．17．已知ab=2，a﹣2b=﹣3，则a3b﹣4a2b2+4ab3的值为18．【分析】将a3b﹣4a2b2+4ab3进行因式分解，得出a3b﹣4a2b2+4ab3=ab（a2﹣4ab+4b2）=ab（a﹣2b）2，再将ab=2，a﹣2b=﹣3代入计算即可．【解答】解：∵ab=2，a﹣2b=﹣3，∴a3b﹣4a2b2+4ab3=ab（a2﹣4ab+4b2）=ab（a﹣2b）2=2×（﹣3）2=18．故答案为18．18．多项式a2﹣9b n（其中n是小于10的自然数）可以分解因式，则n能取的值共有5种．【分析】依据平方差公式进行判断即可．【解答】解：当n=0时，a2﹣9b n=a2﹣9=（a+3）（a﹣3）；当n=2时，a2﹣9b2=a+3b）（a﹣3b）；当n=4时，a2﹣9b4=（a+3b2）（a﹣3b2）；当n=6时，a2﹣9b6=（a+3b3）（a﹣3b3）；当n=8时，a2﹣9b8=（a+3b4）（a﹣3b4）．故答案为：5．19．若a﹣b=1，则a2﹣2b﹣b2=1．【分析】首先根据a﹣b=1，应用平方差公式，求出a2﹣b2的值；然后用它减去2b即可．【解答】解：∵a﹣b=1，∴a2﹣2b﹣b2=a2﹣b2﹣2b=（a+b）（a﹣b）﹣2b=a+b﹣2b=a﹣b=1故答案为：1．20．已知多项式x2+xy﹣2y2+8x+10y+k有一个因式是x+2y+2，则k=12．【分析】先分解因式，根据结果设多项式的另一个因式为x﹣y+a，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2+xy﹣2y2+8x+10y+k=（x+2y）（x﹣y）+8x+10y+k，∵多项式x2+xy﹣2y2+8x+10y+k有一个因式是x+2y+2，∴设另一个因式为x﹣y+a，则x2+xy﹣2y2+8x+10y+k=（x+2y+2）（x﹣y+a）∵（x+2y+2）（x﹣y+a）=（x+2y）（x﹣y）+a（x+2y）+2（x﹣y）+2a=x2+xy﹣2y2+（a+2）x+（2a﹣2）y+2a，∴a+2=8且2a﹣2=10，2a=k，∴a=6，k=12，故答案为：12．21．已知正数a，b，c是△ABC三边的长，而且使等式a2﹣c2+ab﹣bc=0成立，则△ABC是等腰三角形．【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．【解答】解：∵a2﹣c2+ab﹣bc=0，∴（a+c）（a﹣c）+b（a﹣c）=0，即（a﹣c）（a+c+b）=0∵a+b+c≠0，∴a﹣c=0，故该三角形是等腰三角形．故答案为：等腰．22．计算=．【分析】将变形为，将（20102﹣1）整体约分即可求解．【解答】解：===．故答案为：．23．已知m2+2mn=384，3mn+2n2=560，那么2m2+13mn+6n2﹣444的值是2004．【分析】首先把2m2+13mn+6n2变为2m2+4mn+9mn+6n2，然后分组分解因式即可利用已知等式的结论，利用整体代入的方法即可求解．【解答】解：∵2m2+13mn+6n2﹣444=2m2+4mn+9mn+6n2﹣444=2（m2+2mn）+3（3mn+2n2）而m2+2mn=384，3mn+2n2=560，∴2m2+13mn+6n2﹣444=2×384+3×560﹣444=2004．故答案为：2004．24．分解因式：16m2﹣4=4（2m+1）（2m﹣1）．【解答】解：原式=4（4m2﹣1）=4（2m+1）（2m﹣1），故答案为：4（2m+1）（2m﹣1）25．y2﹣x2﹣x+y分解因式：（y﹣x）（y+x+1）．【分析】将y2﹣x2、﹣x+y各为一组，利用平方差公式分解后，再提取公因式y﹣x可得．【解答】解：原式=（y+x）（y﹣x）+（y﹣x）=（y﹣x）（y+x+1），故答案为：（y﹣x）（y+x+1）．26．因式分解：x2﹣3x+（x﹣3）=（x﹣3）（x+1）．【分析】原式展开后合并同类项，再利用十字相乘法分解可得．【解答】解：方法一：原式=x（x﹣3）+x﹣3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1）；方法二：原式=x（x﹣3）+（x﹣3）=（x﹣3）（x+1）；故答案为：（x﹣3）（x+1）．27．分解因式：4a2﹣25b2=（2a+5b）（2a﹣5b）．28．分解因式：m2n﹣4mn﹣4n=n（m2﹣4m﹣4）．29．将式子a2+2a（a+1）+（a+1）2分解因式的结果等于（2a+1）2．30．已知x+y=，那么x2+xy+y2的值为 1.5．三．解答题（共10小题）31．已知n是正整数，则所有大于1的奇数可以用代数式2n+1来表示．（1）分解因式：（2n+1）2﹣1；（2）我们把所有“大于1的奇数的平方减去1”所得的数叫”白银数”，则所有”白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由．【分析】（1）可根据平方差公式进行因式分解；（2）由（1）可知，“白银数”为4n（n+1），观察式子，n（n+1）中，n、n+1必有一个是偶数，因此这个白银数必是8的倍数，由此求得白银数的最大公约数．【解答】解：（1）（2n+1）2﹣1=（2n+1+1）（2n+1﹣1）=4n（n+1）；（3分）（2）所有”白银数”的最大公约数是8；（1分）理由：∵n正整数，则n与n+1必有一个偶数，∴n（n+1）必是2的倍数，则4n（n+1）必是8的倍数，∴所有”白银数”的最大公约数是8．（2分）32．如果有理数m可以表示成2x2﹣6xy+5y2（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”．（1）两个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗？为什么？（2）证明：两个“世博数”a、b（b≠0）之商也是“世博数”．【分析】先将有理数m=2x2﹣6xy+5y2变形为（x﹣2y）2+（x﹣y）2，可知“世博数”m=p2+q2（其中p、q是任意有理数）．两个“世博数”a、b，不妨设a=j2+k2，b=r2+s2，其中j、k、r、s为任意给定的有理数．（1）a、b之积为=（jr+ks）2+（js﹣kr）2是“世博数”；（2）a、b（b≠0）之商=也是“世博数”．【解答】解：∵m=2x2﹣6xy+5y2=（x﹣2y）2+（x﹣y）2，其中x、y是有理数，∴“世博数”m=p2+q2（其中p、q是任意有理数），只须p=x﹣2y，q=x﹣y即可．（3分）∴对于任意的两个两个“世博数”a、b，不妨设a=j2+k2，b=r2+s2，其中j、k、r、s为任意给定的有理数，（3分）则（1）ab=（j2+k2）（r2+s2）=（jr+ks）2+（js﹣kr）2是“世博数”；（3分）（2）=也是“世博数”．（3分）33．分解因式：（1）a2b﹣b3；（2）﹣（x2+2）2+6（x2+2）﹣9【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=b（a2﹣b2）=b（a+b）（a﹣b）；（2）原式=﹣[（x2+2）2﹣6（x2+2）+9]=﹣（x2﹣1）2=﹣（x+1）2（x﹣1）2．34．将如图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，再据此图写出一个多项式的因式分解．【解答】解：拼接如图：，长方形的面积为x2+3x+2，还可以表示面积为（x+2）（x+1），即x2+3x+2=（x+2）（x﹣1）．35．阅读：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．解“设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴解得∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21问题：仿照上述方法解答下列问题：（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式及k的值．（2）已知2x2﹣13x+p有一个因式x﹣3，则P=27．【分析】根据题意给出的方法即可求出答案．【解答】解：（1）设另外一个因式为：x+n∴（2x2+3x﹣k）=（2x﹣5）（x+n）∴∴n=4，k=﹣20（2）设另一个因式为：2x+n∴2x2﹣13x+p=（2x+n）（x﹣3）∴∴解得：故答案为：（2）2736．对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“差异数”，将一个“差异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算F（243）；（2）若一个“差异数”表示为，（其中1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，且a，b，c均为正整数），则求证：F（）=a+b+c；（3）若s，t都是“差异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，直接写出k的最大值．【分析】（1）根据F（n）的计算公式代入就可得．（2）差异数abc表示为100a+10b+c，再代入计算公式就可得．（3）根据（2）的结论可求s=x+5，t=y+6，再代入F（s）+F（t）=18，可求x，y的值，最后代入可求K的值．【解答】解：（1）F（243）=（342+234+423）÷111=9（2）F（）=（100a+10c+b+100c+10b+a+100b+10a+c）÷111=111（a+b+c）÷111=a+b+c（3）（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．∵F（t）+F（s）=18，∴x+5+y+6=x+y+11=18，∴x+y=7．∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，∴，，，，，∵s，t是差异数，∴x≠3，x≠2，y≠1，y≠5，∴，，∴K==或1或∴K的最大值为37．给出三个单项式：a2，b2，2ab（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；（2）当a=2018，b=2017时，求代数式a2+b2﹣2ab的值．【分析】（1）直接选取两个单项式相减再分解因式即可；（2）直接分解因式，再把已知代入求出答案．【解答】解：（1）a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；b2﹣a2=（b+a）（b﹣a），a2﹣2ab=a（a﹣2b）；2ab﹣a2=a（2b﹣a），b2﹣2ab=b（b﹣2a）；2ab﹣b2=b（2a﹣b）；（2）a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2，当a=2018，b=2017时，原式=（a﹣b）2=（2018﹣2017）2=1．38．对下列多项式进行分解因式：（1）（x﹣y）2+16（y﹣x）．（2）1﹣a2﹣b2﹣2ab．【分析】（1）首先把多项式变为（x﹣y）2﹣16（x﹣y），再提公因式x﹣y即可；（2）把后三项放在括号里，括号前面加“﹣”，利用完全平方公式进行分解，再利用平方差进行二次分解即可．【解答】解：（1）原式=（x﹣y）2﹣16（x﹣y）=（x﹣y）（x﹣y﹣16）；（2）原式=1﹣（a2+b2+2ab）=1﹣（a+b）2=（1+a+b）（1﹣a﹣b）．39．我们已经知道，完全平方公式、平方差公式可以用几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．例如，（a+b）（2a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图1的图形的面积表示．（1）请你写出图2所表示的代数恒等式（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）多项式a2+4ab+3b2可以因式分解为a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b），试在图3位置的横线上方，画图验证．（只画图，标注清楚字母即可）【分析】（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．（2）根据题目的要求和恒等式的意义即可画出图形．【解答】解：（1）根据图形可得：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）．画图如下：故答案为：a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）．40．先因式分解，再求值：4x3y﹣9xy3，其中x=﹣1，y=2．【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式，最后代入求出即可．【解答】解：4x3y﹣9xy3=xy（2x+3y）（2x﹣3y），当x=﹣1，y=2时，原式=（﹣1）×2×[2×（﹣1）+3×2]×[2×（﹣1）﹣3×2]=﹣2×4×（﹣8）=64．。