函数的最大值最小值问题

函数的最大值和最小值例1.设x是正实数，求函数的最小值。

解：先估计y的下界。

又当x=1时，y=5，所以y的最小值为5。

说明本题是利用“配方法”先求出y的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。

“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。

例如，本题我们也可以这样估计：但y是取不到-7的。

即-7不能作为y的最小值。

例2. 求函数的最大值和最小值。

解去分母、整理得：(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.当时，这是一个关于x的二次方程，因为x、y均为实数，所以D=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y+3)³0, y2+3y--4£0,所以-4£y£1又当时，y=-4;x=-2时，y=1.所以y min=-4，y max=1.说明本题求是最值的方法叫做判别式法。

例3.求函数，xÎ[0,1]的最大值解：设，则x=t2-1y= -2(t2-1)+5t= -2t2+5t+1原函数当t=时取最大值例4求函数的最小值和最大值解：令x-1=t()则y min=例5.已知实数x,y满足1£x2+y2£4,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值解：∵∴又当时f(x,y)=6，故f(x,y)max=6又因为∴又当时f(x,y)=，故f(x,y)min=例6.求函数的最大值和最小值解：原函数即令(0<t£1) 则y=5t2-t+1∴当x=±3时，函数有最小值，当x=0时，函数取最大值5例7.求函数的最大值解：设，则f(x)=由于0£a<1,故f(x)£，又当x=(k为整数)时f(x)= ,故f(x)max=例8.求函数的最大值解：原函数即在直角坐标系中，设点P(x,x2),A(3,2),B(0,1)，则f(x)=|PA|-|PB|£|AB|=又当时，f(x)=故f max(x) =例9.设a是实数,求二次函数y=x2-4ax+5a2-3a的最小值m，当0£a2-4a-2£10中变动时，求m的最大值解：y=x2-4ax+5a2-3a=(x-2a)2+a2-3a由0£a2-4a-2£10解得：或£a£6故当a=6时，m取最大值18例10.已知函数f(x)=log2(x+1)，并且当点(x,y)在y=f(x)的图象上运动时，点在y=g(x)的图象上运动，求函数p(x)=g(x)-f(x)的最大值。

函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。

例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。

3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。

将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。

例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。

通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。

例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。

将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。

函数的最大值和最小值问题（高一）一．填空题：1. ()35,[3,6]f x x x =+∈的最大值是 。

1()f x x=，[]1,3x ∈的最小值是 。

2.函数y =的最小值是 ，最大值是3.函数212810y x x =-+的最大值是 ，此时x = 4.函数[]23,3,21x y x x -=∈--+的最小值是 ，最大值是 5.函数[]3,2,1y x x x=-∈--的最小值是 ，最大值是 6.函数y=2-x -21+x 的最小值是。

y x =-的最大值是 7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 最小值是 .8.函数()21f x x =-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。

9.函数y =x x 213+-（x ≥0）的值域是______________. 10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值 。

12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 222251x x y x x ++=++的最大值是 14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为：18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是 。

二、解答题20.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 a 的值。

函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得y=40-2x，z=x-10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)=-x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0解由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值．解因为的范围内分三种情况讨论．-a2＋4a-1＝-3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2≤X≤4．易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以p2＋16p+13=30，p=1(p=-17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，解得-4≤y≤1．时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．因x是实数，故△=(-a)2-4・y・(y-b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)≤0，即y2-3y-4≤0．②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习：1．填空：(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．是_______．(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．交点间的距离的平方最小，求m的值．6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．。

函数的最大值和最小值的求解方法1.图像法：通过绘制函数的图像来估计最大值和最小值。

首先，通过计算函数的导数来确定函数的增减性。

然后，在函数的定义域内绘制函数的图像，并观察图像的走势。

函数在其图像上的最高点（最大值）和最低点（最小值）对应着函数的最大值和最小值。

2.导数法：通过计算函数的导数来确定函数的最大值和最小值。

对于函数f(x)，当f'(x)=0或f'(x)不存在时，f(x)可能取得极值。

因此，函数的最大值和最小值发生在导数为零或导数不存在的点上。

用一阶导数测试和二阶导数测试可以判断一个点是极大值还是极小值。

3.函数的端点：当函数在一个区间的一个或多个端点处定义时，此区间的端点可能是函数的最大值和最小值。

在确定端点的值后，通过计算函数在这些点上的函数值，可以判断哪个点是函数的最大值和最小值。

4.根的方法：对于函数f(x)，要找出其最大值和最小值，首先需要找到所有满足f'(x)=0的x值，即函数f(x)的零点。

然后，在这些零点中找出所有满足f''(x)=0的x值，即函数f'(x)的零点。

在这些零点中找到的x值对应的f(x)值即为函数的最大值和最小值。

5. 化简方法：对于一些特殊形式的函数，可以通过化简来确定最大值和最小值。

比如，对于一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，可以通过求导或者用二次函数的顶点公式来确定函数的最大值和最小值。

需要注意的是，以上方法并非适用于所有的函数和问题。

对于复杂的函数和问题，可能需要使用其他更高级的方法，如微积分的高级理论和算法来求解函数的最大值和最小值。

同时，计算最大值和最小值时，也要注意函数的定义域和约束条件，避免出现错误的求解结果。