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利用导数解决恒成立问题
已知函数 f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8. (1)求函数 f(x)的极值; (2)若对任意的 x∈[0,+∞)都有 f(x)≥g(x),求实数 a 的取值范围.
【解析】(1)f'(x)=3x +4x+1,令 f'(x)=0,解得 x1=-1,x2=- .
3 3 1
3 2 2
1
3
4
[0,3]上的最大值是 4,最小值是- .
3
4
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利用函数的最值求参数的范围
函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取 值范围是( B ).
A.0≤a<1 C.-1<a<1
B.0<a<1 D.0<a<
1 2
【解析】由题意 f'(x)=3x -3a 的图像在(0,1) 内与 x 轴有交点,且函数图像由下到上与 x 轴相交. ∴ f'(0) < 0, 得 0<a<1. f'(1) > 0,
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已知函数 f(x)=2x3-6x2+a 在[-2,2]上有最小值-37. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)在[-2,2]上的最大值.
e 4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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4
设 f(x)=ax3-6ax2+b 在区间[-1,2]上的最大值为 3, 最小值为-29,且 a>0,求 a,b 的值.
【解析】f'(x)=3ax -12ax=3ax(x-4), 令 f'(x)=0,得 x=0 或 x=4, 则函数 f(x)在[-1,2]上的单调性及极值情况如下表所示:
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问题1 函数的最值
函数的最值分为函数的最大值与最小值,函数的最大值 和最小值是一个整体性概念, 最大值 必须是整个区间上所有 函数值中的最大者, 中的最小者.
问题2 函数的最值与极值的区别
最小值 必须是整个区间上的所有函数值
(1)函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得 出的,极大值、极小值是比较
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1
下列说法正确的是( D
).
A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
【解析】最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后 得到的.
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2
函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f'(x)( A ).
3 2a -4 3 2a -4 3
.
时,f'(x)<0;
2a -4
时,f'(x)>0,
2a -4 3
∴当 x∈(0,+∞)时,F(x)min=F( 即(
2a -4 3
)≥0,
)3+(2-a)(
2a -4 3
)2+4≥0,
解不等式得 a≤5,∴2<a≤5. 当 x=0 时,F(x)=4 满足题意. 综上所述,a 的取值范围为(-∞,5].
(1)求f(x)在开区间(a,b)内所有使 及 端点 的函数值,其中最大的一个为
f'(x)=0 的点.
(2)计算函数f(x)在区间内使f'(x)=0的所有点
最大值 ,最小
的一个为
最小值 .
问题4 利用导数可以解决以下类型的问题:
(1)恒成立问题;(2)函数的
零点 即方程根的问题;(3)不等
式的证明问题;(4)求参数的取值范围问题.
第3课时
函数的极值
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1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系. 2.掌握求在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的最大值和最小
值的方法和步骤.
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如图,设铁路线 AB=50 km,点 C 处与 B 之间的距离为 10 km,现将货物从 A 运往 C,已知 1 km 铁路费用为 2 元,1 km 公路费用为 4 元,在 AB 上 M 处修筑公路至 C,使运费由 A 到 C 最省,求 M 的具体位置.
极值点 附近的函数值得出的; 一 个;
(2)函数的极值可以有多个,但最值只能有 (3)极值只能在区间内取得,最值可以在
端点处取得;
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(4)有极值未必有最值,有最值也未必有极值; (5)极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得,那
么最值必定是 极值 .
问题3
求函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:
【解析】 f'(x)=x -4,令 f'(x)=0,即 x -4=0,因为 f'(x)>0 时,x<-2 或 x>2,f'(x)<0 时,-2<x<2,所以在[0,3] 上,当 x=2 时,f(x)取极小值,极小值为 f(2)=- . 又由于 f(0)=4,f(3)=1,因此,函数 f(x)= x -4x+4 在
x
f'(x) f(x)
2
[-1,0)
+ ↗
0
0 极大值
(0,2]
↘
∴f(0)=b=3. 又∵f(-1)=-a-6a+3=-7a+3, f(2)=8a-24a+3=-16a+3<f(-1), ∴f(2)=-16a+3=-29, ∴a=2.
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利用导数求函数的最值
求函数 f(x)=3 x -4x+4 在[0,3]上的最大值与最小值.
A.等于 0 C.小于 0
B.大于 0 D.以上都有可能
【解析】由题意知函数在闭区间上所有函数值 相等,故其导数为 0.
3
函数 y=x·e 在 x∈[2,4]上的最小值为
【解析】y'=
-x
-x
4 e4
.
e x -xe x 1-x ex 2
=
ex
,当 x∈[2,4]时,y'<0,即
函数 y=x·e 在 x∈[2,4]上单调递减,故当 x=4 时, 函数有最小值为 4 .
3
2
1
当 x 变化时,f'(x)、f(x)的变化情况如下表:
x
f'(x) f(x)
(-∞,-1)
+ 递增
-1
0 极大值 递减 0 极小值 + 递增
∴当 x=-1 时,f(x)取得极大值为-4; 当 x=- 时,f(x)取得极小值为1 112
.
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(2)设 F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4, F(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立 ⇔F(x)min≥0,x∈[0,+∞). 若 2-a≥0,即 a≤2,显然 F(x)min=4>0. 若 2-a<0,即 a>2,f'(x)=3x2+(4-2a)x, 令 f'(x)=0,解得 x=0 或 x= 当 0<x< 当 x>
