函数的最大值和最小值(教案与课后反思)

课题：函数的最大值与最小值 教学目的：⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 教学过程：一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 二、讲解新课： 1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值三、讲解范例：例1求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-例2已知x,y 为正实数，且满足22240x x y -+=，求xy例3.设213a <<,函数323()(11)2f x x ax b x =-+-≤≤的最大值为1,最小值为,求常数a,b 例4已知23()log x ax bf x x++=,x ∈(0,+∞).是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由.四、课堂练习：1．下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能3.函数y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( )A.0B.－2C.－1D.1213 4.函数y =122+-x x x 的最大值为( )。

《函数的最大值和最小值》教学设计函数的最大值和最小值【教学目标】一、理解函数的最大（小）值的意义，掌握求函数最大（小）值的方法；并能解决一些实际问题；二、加深对求最值问题意义的认识，提高分析问题和解决问题的能力；三、数学应用于实践，推动社会不断进步，激发学习动力，学会数学地思考；四、体验数学应用广泛性，培养学好数学的信念。

【教学重点难点】1、利用函数单调性求函数最值的方法。

2、求一些实际问题的最大值与最小值。

【教具使用】直尺【课时安排】1课时【教学过程】一、知识回顾，设置情境，引入课题由于前面两节课我们讲了函数单调性和函数单调性的证明口述（老师和学生一起）：我们规定在函数定义域内的某个区间D上，任意x1<x2,我们只需要判断f(x1)与f(x2)大小？板书：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，1、如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数, 区间D称为函数f(x)的单调增区间.2、如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1) >f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数, 区间D称为函数f(x)的单调减区间.3、画出前面例1的函数图像让他们观察y值的最高点与最低点，引出课题—1.3.2（2）函数最大（小）值（给学生3分钟看今天需要讲解的教材）二、新课讲解让学生先自己在草稿本上画y=-x2+9的函数图像，老师在黑板上画出图像并讲解要点，观察图像得出最大值存在的两个条件，给出函数最大值定义一般地，在函数y=f(x)的定义域I内，满足：⨯⨯≈⨯24(-4.9)18-14.7h =294(-4.9)2∈f(x)=(x [2,6])x -1212112121212(x -2)-(x -2)x -x 11f(x )-f(x )=-==x -2x -2(x -2)(x -2)(x -2)(x -2)26≤≤≤12x x ,1221x -x >0,(x -2)(x -2)>0,12f(x )-f(x )>012f(x )>f(x )（1） 对于x ∈I ，有f(x)≤M（2） 存在x 0∈I ，使得f(x 0)=M此时称M 为f(x)的最大值，并记作：f(x)max让学生画出y=x 2的函数图像并探究出最小值的定义（板书如下）一般地，在函数y=f(x)的定义域I 内，满足：（1） 对于x ∈I ，有f(x)≥N（2） 存在x 0∈I ，使得f(x 0)=N此时称N 为f(x)的最小值，并记作：f(x)min三、例题讲解、训练例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般期望它在最高点时爆炸。

函数的最大值和最小值的课堂记录与课前备课的对比反思首先，课前备课部分的教学目标较听课记录的清晰、明了，细化到每一部分。

知识明确，过程清晰，一目了然。

如：1.知识与技能：（1）理解函数的最大值和最小值的几何意义；（2）学会运用函数图像理解和研究函数性质.2.过程与方法：通过实例，体会函数的最大值和最小值，实际就是函数的最高点和最低点的纵坐标，因而借助函数图像的直观性可得出函数的最值，有利于培养数形结合的思想.3.情感与价值观：利用函数的单调性和函数图像的直观性求函数的最大值和最小值，解决日常生活中的问题，激发学习的积极性.然后，在引入课题中，听课记录中运用最熟悉的一次函数、二次函数为列来研究函数的最值，比较自然，符合学生的起点知识与起点能力，提问层层深入，学生能从直观的图像观察得思考2：函数y=f(x)图像上最高点的纵坐标为M ，则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M 的大小关系如何？对函数定义域内任意自变量x ，均有f(x)≤M 成立。

思考3：设函数f(x)=1-2x ,则f(x)≤2成立吗？f(x)的最大值是2吗？为什么？ f(x)≤2成立，但f(x)的最大值不是2,因为找不到一个自变量x.,使得f(x)=2成立 思考4：怎样定义函数f(x)的最大值？用什么符号表示？而课前备课部分，叫学生画图形在来观察较为麻烦，且没有代表性，因此，在引入课堂部分听课记录较好。

如：画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ （1）32)(+-=x x f（2）32)(+-=x x f ]2,1[-∈x （3）12)(2++=x x x f（4）12)(2++=x x x f ]2,2[-∈x其次，在听课记录中类比最大值利用图像总结归纳出最小值得概念，这样的引入更合情合理，自然清新，容易接受。

函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 理解函数最大值和最小值的概念。

2. 学会使用导数和图像来求解函数的最大值和最小值。

3. 能够应用函数最大值和最小值解决实际问题。

二、教学内容1. 函数最大值和最小值的定义。

2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。

3. 利用图像求函数最大值和最小值的方法。

4. 实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，求解方法及实际应用。

2. 教学难点：利用导数和图像求解函数最大值和最小值的方法。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。

2. 使用案例分析法分析实际问题中的应用。

3. 利用数形结合法讲解利用图像求解函数最大值和最小值的方法。

五、教学准备1. 教学课件：包含函数最大值和最小值的概念、求解方法及实际应用。

2. 案例分析：选取几个实际问题进行分析。

3. 数形结合：准备函数图像，用于讲解求解方法。

六、教学过程1. 引入新课：通过复习导数的概念和性质，引导学生思考如何利用导数求解函数的最值。

2. 讲解函数最大值和最小值的定义，解释其在数学和实际应用中的重要性。

3. 分步讲解利用导数求解函数最值的方法，包括：a. 确定函数的单调区间b. 找到导数为零的点c. 判断极值点是最大值还是最小值4. 通过案例分析，让学生练习利用导数求解函数最值，并讨论解题过程中的关键步骤。

七、案例分析1. 分析案例一：给定函数f(x) = x^2 4x + 5，引导学生利用导数求解最值。

2. 分析案例二：给定函数g(x) = (x 1)^2 + 3，引导学生利用导数求解最值。

3. 学生分组讨论，分享解题过程和结果，教师点评并总结。

八、图像分析1. 利用计算机软件或板书，绘制函数f(x) = x^2 4x + 5和g(x) = (x 1)^2 + 3的图像。

2. 引导学生观察图像，找出函数的局部最大值和最小值。

3. 解释图像分析与导数求解之间的关系，强调数形结合的重要性。

函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念。

2. 让学生掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。

2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，利用导数求函数最大值和最小值的方法。

2. 教学难点：利用导数求函数最大值和最小值的方法。

四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数最大值和最小值的概念。

2. 采用案例分析法，让学生通过实际案例掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。

3. 采用练习法，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。

五、教学准备1. 教学课件。

2. 相关案例题。

3. 粉笔、黑板。

教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入函数最大值和最小值的概念。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数最大值和最小值的概念。

2. 讲解利用导数求函数最大值和最小值的方法。

3. 通过案例分析，让学生理解并掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成相关案例题，巩固所学知识。

四、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调函数最大值和最小值的概念及求解方法。

五、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。

六、教学拓展（10分钟）1. 讲解函数在区间上的最大值和最小值的存在性定理。

2. 介绍利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理证明函数最大值和最小值的存在性。

七、实际应用（10分钟）1. 介绍函数最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济管理问题等。

2. 让学生举例说明函数最大值和最小值在实际问题中的应用。

八、课堂互动（10分钟）1. 学生分组讨论：如何求解多元函数的最大值和最小值。

2. 各组汇报讨论成果，教师点评并总结。

九、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结函数最大值和最小值的求解方法。

3.2.1 单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值（一）教学目标1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义；2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值；3．通过本节课的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力。

（二）教学重点与难点重点：会求函数的最值。

难点：掌握求函数最值的方法。

（三）过程与方法合作讨论式教学法。

通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念。

从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法。

（四）核心素养借助函数最值的求法，培养直观想象、数学运算及逻辑推理等素养。

（五）教学过程变式：求函数()22+2f x x x =-在区间[],1t t +上的最小值()g t 。

问题（2）()22+2f x x x =-在[]0,3上既有最低点又有最高点，所以最小值为1，最大值为5。

变式解：二次函数的对称轴为1x =解。

变式：学生先独立思考，然后进行小组交流讨论，找出代表展示讨论结果，最后教师总结。

通过思考、讨论和展示，不仅培养了学生自主学习能力，也激发例2已知函数y=21x-(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值.当1t t+<，即0t<时，函数图象如图①所示，函数()f x在区间[],1t t+上单调递减，所以最小值为()211f t t+=+；当11t t≤≤+，即01t≤≤时，函数图象如图②所示，最小值为()11f=；当1t>时，函数图象如图③所示，函数()f x在区间[],1t t+上单调递增，所以最小值为()222f t t t=-+。

综上可得，()221,0,1,01,22, 1.t tg t tt t t⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩例2分析：由函数21yx=-([]2,6x∈)的分母变大，整体变小，函数21yx=-在区间[]2,6上递减. 所以，函数21yx=-在区间[]2,6的两个端点上分别取得最大值和最小值。

函数的最大小值与导数的教学设计与反思
一、教学设计
1、教学前准备
(1)教学准备:课件、课文《微积分基础》
(2)教学活动准备:多媒体课件、白板、笔。

2、教学过程
（一）活动一:理解二元函数的最大值与最小值
1.板书函数y=f(x)，并用图示阐释函数的含义
2.引导学生探讨函数y=f(x)的最大值和最小值，阐释定义：在函数f(x)的定义域内，存在一个实数m，使得f(m)≥f(x)∀x∈D，则m叫函数f(x)的极大值，f(m)叫函数f(x)的最大值。

（二）活动二:求二元函数的最大值与最小值
1.指导学生了解求最大最小值的四种方法：（1）图像法；（2）极值点法；（3）反函数法；（4）利用导数法。

2.指导学生学习利用导数法求最大最小值，并强调：由二元函数的导数大小可以判断函数的最大最小值；由二元函数的导数与切线的方向关系可以决定函数的极值点在哪个区间上。

（三）活动三:练习
1.用导数法求函数y=x^2-2x+4的极大值
2. 用导数法求函数y=2cosx-sinx的极小值
3.导出开口为2的双曲线x^2/4-y^2/9=1的极值点的坐标
（四）活动四:总结
1.复习前面内容，板书导数法求最大最小值的基本过程
2.总结本节课学习内容，梳理求极值点的方法
二、反思
本次教学中，我采用活动教学的方法。

有关函数的最大最小值的教学教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念，掌握函数取得最大值和最小值的判定条件。

2. 培养学生运用函数最值解决实际问题的能力，提高学生的数学建模素养。

3. 引导学生通过合作、探究、交流，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。

2. 函数取得最大值和最小值的判定条件。

3. 实际问题中函数最值的运用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，函数取得最大值和最小值的判定条件。

2. 教学难点：实际问题中函数最值的运用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数最值问题。

2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题学会运用函数最值解决实际问题。

3. 采用合作学习法，培养学生团队合作和沟通能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生关注函数最值问题。

2. 知识讲解：讲解函数最大值和最小值的概念，阐述函数取得最大值和最小值的判定条件。

3. 案例分析：分析实际问题，让学生学会运用函数最值解决问题。

4. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。

5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学活动设计1. 小组讨论：让学生分组讨论函数最值在实际生活中的应用，例如最优化问题、成本问题等。

2. 分享成果：每组选取一名代表分享讨论成果，其他组进行评价和补充。

3. 案例研究：选取几个典型的实际问题，让学生运用函数最值进行解决，并展示解题过程。

4. 互动提问：鼓励学生提问，解答学生在学习过程中遇到的问题。

七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习态度。

2. 练习题：对学生所做的练习题进行批改，评价学生的掌握程度。

3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作、沟通、解决问题能力等。

有关函数的最大最小值的教学教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大最小值的概念，掌握求解函数最大最小值的方法。

2. 培养学生运用函数解决实际问题的能力，提高学生的数学思维能力。

3. 通过对函数最大最小值的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。

2. 求解函数最大最小值的方法：导数法、函数图像法、不等式法等。

3. 实际问题中的应用：如最优化问题、线性规划等。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大最小值的概念，求解函数最大最小值的方法。

2. 教学难点：如何运用不同的方法求解复杂函数的最大最小值。

四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解函数最大最小值的概念和求解方法。

2. 利用案例分析法，分析实际问题中的最大最小值问题。

3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作能力。

4. 利用数形结合法，让学生直观地理解函数最大最小值。

五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如购物最优惠、路线最短等，引导学生思考最大最小值问题。

2. 讲解：讲解函数最大最小值的概念，引导学生理解最大值、最小值的意义。

3. 案例分析：分析实际问题，让学生学会将最大最小值问题转化为数学问题。

4. 方法讲解：讲解求解函数最大最小值的方法，如导数法、函数图像法、不等式法等。

5. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数最大最小值概念的理解程度，以及学生对不同求解方法的掌握情况。

2. 练习题解答：检查学生作业中练习题的完成情况，评估学生对知识的掌握和应用能力。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和合作能力，了解学生对实际问题分析的能力。

七、教学拓展1. 介绍函数最大最小值在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。

2. 引入更高级的数学工具，如微分方程、线性规划等，为学生提供更深入的数学学习方向。

八、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，辅助教学，提高学生的学习兴趣。

有关函数的最大最小值的教学教案一、教学目标1. 理解函数的最大值和最小值的概念。

2. 学会使用一阶导数和二阶导数来求解函数的最大值和最小值。

3. 能够应用函数的最大最小值解决实际问题。

二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的定义。

2. 利用一阶导数求解函数的最大值和最小值。

3. 利用二阶导数求解函数的最大值和最小值。

4. 实际问题中的应用。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数的最大值和最小值的概念及求解方法。

2. 利用数形结合法，结合图形演示一阶导数和二阶导数在求解函数最大最小值中的应用。

3. 采用案例分析法，分析实际问题中函数的最大最小值的求解过程。

四、教学准备1. 教学PPT。

2. 教学案例。

3. 数学图形软件。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考函数的最大最小值的概念。

2. 讲解：讲解函数的最大值和最小值的定义，引导学生理解。

3. 演示：利用数学图形软件，演示一阶导数和二阶导数在求解函数最大最小值中的应用。

4. 练习：让学生通过练习题，巩固求解函数最大最小值的方法。

5. 案例分析：分析实际问题中函数的最大最小值的求解过程，让学生学会将理论知识应用于实际问题。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对函数最大最小值概念的理解程度。

2. 练习题：布置针对性的练习题，检验学生掌握求解方法的熟练程度。

3. 案例分析报告：评估学生在实际问题中应用函数最大最小值解决问题的能力。

七、教学拓展1. 介绍其他求解函数最大最小值的方法：如利用拉格朗日乘数法、利用区间端点值等。

2. 探讨函数最大最小值在优化问题中的应用：如线性规划、非线性规划等。

八、教学反思1. 反思教学过程：分析课堂教学中的优点和不足，如教学方法、课堂组织等。

2. 学生反馈：听取学生的意见和建议，了解他们对本节课教学内容的掌握程度。

函数最大最小值教学反思求函数的最大值和最小值的方法。

常见的求最值方法有:1、配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值.2、判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于,∴0,求出y的最值,此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验.3、利用函数的单调性首先明确函数的定义域和单调性,再求最值.4、利用均值不等式,形如的函数,及≥,注意正,定,等的应用条件,即:a,b均为正数,是定值,a=b的等号是否成立.5、换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t的定义域范围,再求关于t的函数的最值.还有三角换元法,参数换元法.6、数形结合法形如将式子左边看成一个函数,右边看成一个函数,在同一坐标系作出它们的图象,观察其位置关系,利用解析几何知识求最值.求利用直线的斜率公式求形如的最值.7、利用导数求函数最值2.首先要求定义域关于原点对称然后判断f(x)和f(-x)的关系：若f(x)=f(-x),偶函数；若f(x)=-f(-x),奇函数。

如：函数f(x)=x^3,定义域为R,关于原点对称；而f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x),所以f(x)=x^3是奇函数.又如：函数f(x)=x^2,定义域为R,关于原点对称；而f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x),所以f(x)=x^3是偶函数.扩展资料：一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。

简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。

函数最大（小)值的几何意义—函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值。

最小值设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≥M，②存在x0∈I。

使得f(x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。

最大值设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I。

函数的最大值和最小值一、教学目标：1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念。

2. 让学生掌握求函数最大值和最小值的方法。

3. 培养学生解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 函数的最大值和最小值的定义。

2. 求函数最大值和最小值的方法。

3. 实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的最大值和最小值的定义，求最大值和最小值的方法。

2. 教学难点：如何运用方法求解实际问题中的最大值和最小值。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。

2. 利用案例分析，让学生理解最大值和最小值在实际问题中的应用。

3. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。

五、教学过程：1. 引入新课：通过生活中的例子，如购物时如何选择最划算的商品，引出函数的最大值和最小值的概念。

2. 讲解概念：详细讲解函数的最大值和最小值的定义，让学生明确最大值和最小值的意义。

3. 方法讲解：讲解求函数最大值和最小值的方法，并通过示例进行演示。

4. 案例分析：分析实际问题中的最大值和最小值，让学生了解最大值和最小值在生活中的应用。

5. 小组讨论：让学生分组讨论，运用所学方法解决实际问题。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调最大值和最小值的概念及求解方法。

7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

课后反思：本节课通过生活中的例子引入最大值和最小值的概念，让学生容易理解。

在讲解方法时，结合示例进行演示，有助于学生掌握。

在案例分析和小组讨论环节，学生能够积极参与，运用所学知识解决实际问题。

但部分学生在理解最大值和最小值的应用时仍有一定难度，需要在今后的教学中加强引导和练习。

六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课后访谈等方式，了解学生对函数最大值和最小值概念的理解程度。

2. 评估学生在实际问题中运用最大值和最小值方法的能力。

3. 根据学生的表现，调整教学策略，以提高教学质量。

七、教学拓展：1. 引导学生关注其他类型的函数（如二次函数、指数函数等）的最大值和最小值问题。

函数的最大值和最小值（第1课时）【教材分析】本节教材知识间的前后联系，以及地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值．高中阶段对用导数求可导函数在闭区间上的最值的方法不要求作严密的理论推导，这一方法完全可以由学生通过对函数图象的观察、归纳得到，所以本节教材还有一个重要的教育功能，那就是培养学生的探索精神，体验自主学习的成功愉悦.【教学目标】根据本节教材特点，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的三维教学目标：1．知识和技能目标（1）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值．（2）理解上述函数的最值存在的可能位置．（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤．2．过程和方法目标（1）在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识．（2）培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．3．情感和价值目标（1）通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物注意的教育，在数形结合中体现数学的图形美。

（2）认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想．（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．（4）探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。

【教学重点、难点】1．教学重点基于以上对本节教材特点和教学目标的分析，将本节课的教学重点确定为：（1）培养学生的探索精神,积累自主学习的经验；（2）会求闭区间上的连续函数的最大值和最小值．2．教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是(1)发现闭区间上的连续函数f (x)的最值只可能存在于极值点处或区间端点处；(2)理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．3．教学关键本节课突破难点的关键是：通过合作探究的方式，让学生在运动变化的过程中通过观察、比较，发现结论．【教法选择】关于教法与学法：（1）班杜拉的社会学习原理认为：观察学习是重要的学习方法．这节课采用的第一个方法就是“观察、比较法”；（2）为了克服学生已有知识经验和阅历不足的弱点，采用多媒体辅助教学，设计了一个动画课件，让学生在函数图象的运动变化中观察、比较，发现数学本质；（3）根据新课标的教学理念，教学中要培养学生合作共事的团队精神，这节课还采用了“合作、讨论法”，让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识．【学法指导】对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．【教学过程】本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈建构”四个环节进行组织．教学环节教学内容设计意图一、创设情境，铺垫导入1．问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm,体积为Vcm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20).所以体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）（60－2x）x=4（40－x）（30－x）x.2．引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值．以实例引入新课，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生用数学的意识，．通过运用几何画板演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．实际问题中，在设元、列式后将这个实际问题转化为求函数在闭区间上的最值问题．这时学生经思考后会发现，以前学习过的知识不能解决这一问题，从而激发起学生的学习热情．二、合作学习，探索新知1．我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．2．如图为连续函数f(x)的图象：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别在何处取得？yxOyxOyxOyxO ba baba ba3．以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的关键是什么？归纳：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f (x)在(a,b)内的极值；（2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．通过对已有相关知识的回顾和深入分析，自然地提出问题：闭区间上的连续函数最大值和最小值在何处取得？如何能求得最大值和最小值？以问题制造悬念，引领着学生来到新知识的生成场景中．为新知的发现奠定基础后，提出教学目标，让学生带着问题走进课堂，既明确了学习目的，又激发起学生的求知热情．为让学生更好地进行发现，教学中通过改变区间位置，引导学生观察同一函数在不同区间内图象上最大值最小值取得的位置，形成感性认识，进而上升到理性的高度．学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作．在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力．环节三、指导应用，鼓励创新例2如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时，V最大，可用本节课学习的导数法加以解决．例题2的解决与本课的引例前后呼应，继续巩固用导数法求闭区间上连续函数的最值，同时也让学生体会到现实生活中蕴含着大量的数学信息，培养他们用数学的意识和能力．四、归纳小结，反思建构课堂小结：1．在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在 [a,b]上必有最大值与最小值;2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;3．利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为零的点的判定．.作业布置：P134 1．选做题：已知抛物线y =4 x2的顶点为O，点A（5，0），倾斜角为4的直线与线段OA相交，且不过O、A两点，l 交抛物线于M、N两点，求使△AMN面积最大时的直线l 的方程．.通过课堂小结，深化对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力．课外作业分必做题与选做题，因材施教、及时反馈，让不同的学生在数学上得到不同的发展．同时有利于教师发现教学中的不足，及时反馈调节．【教学设计说明】本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的一个具体体现，整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以“是否存在？存在于哪里？怎么求？”为线索展开．1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能动性．3．为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．4．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．。

函数的最大值与最小值教案教案：函数的最大值与最小值一、教学目标1.理解函数的最大值与最小值的概念；2.掌握求解函数最大值和最小值的方法；3.能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学重难点1.理解函数的最大值与最小值的含义；2.运用导数来确定函数的极值点；三、教学准备1.课件、投影仪；2.板书工具。

四、教学过程Step 1 引入新知1.引出问题：大家知道什么是函数吗？函数在数学中有很多应用，我们今天要了解一个新的概念，函数的最大值与最小值。

2.引导学生思考：你们在实际生活中有遇到过函数的最大值或最小值吗？可以举例说明。

Step 2 基本概念解释1.函数的最大值与最小值：当变量的取值范围为一个区间内时，函数在这个区间内的最大值与最小值分别称为函数的最大值和最小值。

Step 3 寻找函数极值的方法1.导数的作用：导数是函数变化速率的度量。

2.求解函数的极值点：通过求解导数为0或不存在的点来确定函数的极值点。

3.边界值的考虑：将函数定义域的边界值带入函数，与极值点进行比较，确定最大值和最小值。

Step4 理论分析1.什么是极大值和极小值：函数在极值点上取得的最大值和最小值。

2.极值点与导数的关系：导数为0或不存在的点是函数的极值点。

Step5 实例演练1.案例一：已知函数y=x^3-3x+2，求函数在[-2,2]上的最大值和最小值。

Step6 拓展应用1.案例二：一个圆形的围墙，我们要从中间开一个门出去。

怎样选择门的位置，使走出来的路径最短？五、课堂练习1.练习一：已知函数y=2x^3-3x^2-12x+5，求函数在[-3,3]上的最大值和最小值。

2.练习二：一堆火柴棍，可以任意拼成数字。

请问我们可以拼出哪些差值为0的正整数？3.练习三：已知函数y=x^4-4x^3+4x+1，求函数在[-1,3]上的最大值和最小值。

六、总结与展望1.今天我们学习了函数的最大值与最小值的概念和求解方法；2.函数的最大值和最小值在实际生活中有很多应用；3.下节课我们将进一步学习函数的应用领域，如优化问题等。

函数的最大值和最小值教案第一章：函数最大值和最小值的概念1.1 函数最大值1.2 函数最小值1.3 函数的最大值和最小值的意义第二章：函数的单调性2.1 单调递增函数2.2 单调递减函数2.3 单调性与最大值最小值的关系第三章：一次函数的最大值和最小值3.1 一次函数的图像特征3.2 一次函数的最大值和最小值的求法3.3 实际问题中的应用第四章：二次函数的最大值和最小值4.1 二次函数的图像特征4.2 二次函数的最大值和最小值的求法4.3 实际问题中的应用第五章：分段函数的最大值和最小值5.1 分段函数的定义5.2 分段函数的最大值和最小值的求法5.3 实际问题中的应用本教案旨在帮助学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握求解函数最大值和最小值的方法，并能够将所学知识应用于解决实际问题。

在教学过程中，应注意引导学生通过观察函数图像、分析函数性质来求解最大值和最小值，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

结合具体实例，使学生能够更好地理解函数最大值和最小值在实际问题中的应用。

第六章：利用导数求函数的最值6.1 导数的定义6.2 导数与函数单调性的关系6.3 利用导数求函数的最值第七章：利用基本不等式求最值7.1 基本不等式的概念7.2 基本不等式在求最值中的应用7.3 常见不等式求最值的方法第八章：函数最值在实际问题中的应用8.1 最大利润问题8.2 最小成本问题8.3 最优路径问题第九章：函数最值的计算技巧9.1 换元法9.2 构造法9.3 利用不等式性质求最值10.1 函数最值的重要性质10.3 函数最值在实际问题中的应用案例分析重点和难点解析一、函数最大值和最小值的概念补充说明：理解函数最大值和最小值在数学分析中的重要性，以及它们在实际问题中的应用。

二、函数的单调性补充说明：深入解析单调性如何影响函数的最大值和最小值的求解，以及如何利用单调性进行简化计算。

三、一次函数的最大值和最小值补充说明：详细阐述一次函数图像特征对最大值和最小值求解的影响，以及如何通过图像分析得到答案。

函数的最大值和最小值教案第一章：引言1.1 课程目标让学生理解函数的概念，掌握函数的最大值和最小值的基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

1.2 教学内容本章将介绍函数的最大值和最小值的概念，并通过实例来解释它们的含义和应用。

1.3 教学方法采用讲解和案例分析相结合的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。

第二章：函数的最大值和最小值的概念2.1 课程目标让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并能够判断一个函数是否存在最大值或最小值。

2.2 教学内容本章将通过具体的例子来介绍函数的最大值和最小值的概念，并解释它们的区别和联系。

2.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。

第三章：函数的最大值和最小值的求法3.1 课程目标让学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。

3.2 教学内容本章将介绍常用的求函数最大值和最小值的方法，包括导数法、图像法和对称轴法等。

3.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。

第四章：函数的最大值和最小值的应用4.1 课程目标让学生能够运用函数的最大值和最小值的概念和求法解决实际问题，提高解决问题的能力。

4.2 教学内容本章将通过实例来介绍函数的最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等。

4.3 教学方法采用案例分析的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的应用。

第五章：总结与展望5.1 课程目标让学生总结本章所学的内容，理解函数的最大值和最小值的概念、求法和应用，并能够运用这些知识解决更复杂的问题。

本章将对本章所学的内容进行总结和回顾，并通过思考题来激发学生对函数的最大值和最小值更深入的思考。

5.3 教学方法采用总结和思考题的方式，引导学生对所学内容进行回顾和思考，提高解决问题的能力。

函数的最大值和最小值教学内容：本节课主要讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值。

教学目标：1. 理解函数的最大值和最小值的概念。

2. 学会使用图像法求解函数的最大值和最小值。

3. 学会使用导数法求解函数的最大值和最小值。

教学准备：1. 教学课件。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的最大值和最小值的概念。

2. 举例说明函数的最大值和最小值的意义。

二、函数的最大值和最小值的概念（10分钟）1. 讲解函数的最大值和最小值的定义。

2. 给出函数的最大值和最小值的判定条件。

三、图像法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解图像法求解函数的最大值和最小值的方法。

2. 举例说明图像法求解函数的最大值和最小值的步骤。

四、导数法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解导数法求解函数的最大值和最小值的方法。

2. 举例说明导数法求解函数的最大值和最小值的步骤。

五、练习题讲解（10分钟）1. 讲解练习题的解题思路。

2. 逐个解答学生提出的疑问。

教学反思：本节课通过讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值，使学生掌握了这一重要知识点。

在教学过程中，采用图像法和导数法两种方法进行讲解，使得学生能够更好地理解和运用。

通过练习题的讲解，巩固了学生所学的知识，并解答了学生提出的疑问。

总体来说，本节课的教学效果较好，学生对函数的最大值和最小值的概念和求解方法有了较为深入的理解。

但在教学过程中，仍需注意引导学生主动思考和探索，提高学生的学习兴趣和参与度。

六、案例分析：实际问题中的最大值和最小值（10分钟）1. 引入实际问题，如成本最小化、收益最大化等。

2. 展示如何将实际问题转化为函数的最大值和最小值问题。

3. 引导学生运用所学的图像法和导数法解决实际问题。

七、练习与讨论：小组合作求解复杂函数的最大值和最小值（15分钟）1. 分配练习题，要求学生以小组合作的形式进行求解。

《函数的最大值和最小值》教学设计（一）【教学目标】一、理解函数的最大（小）值的意义，掌握利用导数求函数最大（小）值的方法；并能解决一些实际问题；二、加深对导数意义的认识，提高分析问题和解决问题的能力；三、数学应用于实践，推动社会不断进步，激发学习动力，学会数学地思考； 四、体验数学应用广泛性，培养学好数学的信念。

【教学重点难点】一、利用导数求函数最值的方法。

二、求一些实际问题的最大值与最小值。

【教具使用】CAI 课件、多媒体辅助教学【课时安排】1课时【教学过程】一、设置情境，引入课题：观察下面一个定义在区间[a ，b]上的函数f(x)的图像。

（如图1）我们知道，图中f(x 1)与f(x 2)是极小值，f(0)是极大值。

在解决实际问题时，往往关心的是函数在指定区间上，哪个值最大？哪个值最小？从图中可以看出，函数在[a ，b]上的最大值是f(b )，最小值是f(x 2)。

二、新课探究1． 函数最值的概念。

定义：可导函数．．．．f(x)．．．．在闭区间．．．．[a ．．，．b]．．上所有点处的函数值中的最大（或最．．．．．．．．．．．．．．．．小）值，叫做函数．．．．．．．．f(x)．．．．的最大（或最小）值．．．．．．．．．。

一般地，在闭区间上连续的函数f(x) 在[a ，b]上必有最大值与最小会值。

注：在开区间（a ，b ）内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值。

例如f(x)=1/ x 在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值。

2． 求可导函数f(x)在[a ，b]上最大值、最小值的方法。

结合上图的例子不难看出，只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大（最小）值了。

例1 （教材P137 例1）求函数42()25f x x x =-+在区间[－2，2]上的最大值与最小值。

解：'y =4x 3-4x 。

令'y =0，有4x 3-4x=0，解得：x=－1,0,1 当x 变化时，'y ，y 的变化情况如下表：【解题回顾】设函数f(x)在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，求f(x)在[a ，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1） 求．f(x)．．．．在（．．a ．，．b ．）内的极值；．．．．．． （2） 将．f(x)．．．．的各极值与．．．．．f(．．a ．)．，．f(．．b ．)．比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．最小值．．．。