函数的最大值和最小值的求解方法[1]

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函数的最大值和最小值的求解方法[1]

根 A.有且只有一个
B.有2个
（） C
C.至多有一个
D.以上均不对
解析 ∵f（x）在R上是增函数，
∴对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2), 反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个. 若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.
3.已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是 A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.（-∞,-1)∪(1,+∞)
要注意函数思想在求函数值域中的运用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函数探的究最提值高解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立, 只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数的性质得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.
（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,则由于当x>1时，f(x)<0,
x1 1, x2
所因所以此以f函(x数1)ff<((fx(xx)x12在2)),区即间0f((,0x1,)+-∞f()x上2)<是0,单调递减函数.
（3）由
知能迁移2 函数y=
log
1
(2x的2 递3减x区间1)为
（）
2
A
A.(1,+∞)
B.
C.
D.
解析( 1作,出t=)2x2-3x+1的示意
(, 3]
[
3
4 ,)
图如图2所示，
4

高数数学必修一《3.2.1.2函数的最大(小)值》教学课件

几何意义
f(x)图象上最高点的 ___纵_坐_标_____
f(x)图象上最低点的 ___纵_坐_标_____
微点拨❶
(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝ x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？ ②通过观察图1你能发现什么？
(2)观察下面两个函数的图象，回答下列问题．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最低点？ ②通过观察图3你能发现什么？
提示：①题图3中函数f(x)＝x2的图象有一个最低点．题图4中函数y＝x的图象没有最低点． ②对任意x∈R，都有f(x)≥f(0)．
M].( × )
2.函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值和最
小值分别为( )
A．3，0
B．3，1
C．3，无最小值 D．3，2
答案：C 解析：由图可知，f(x)在[－2，＋∞)上的最大值为3，最小值取不到．故选C.
3．已知函数y＝2x，x∈[1，2]，则此函数的最大值是____2____，最小值是____1____．
课堂小结 1.函数最大值、最小值的定义． 2．求函数最值的方法．
提示：(1)最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)不一定，需要考虑函数的单调性．
例2 已知f(x)＝2xx++11. (1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值．

函数的最大值与最小值90830

已知a为实数，f ( x) ( x2 4)( x a)
（Ⅰ）求导数 f ( x) ；
（Ⅱ）若 f (1) 0 ，求 f ( x)在[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若 f ( x) 在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围。
练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最
r 2

V
(3 V 2
)2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值. 答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,
而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),
但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).
的最大值为 ,最小值为
。
分析: (1) 由 f ´(x)=3x²+6x－9=0, 得x1=－3，x2=1 函数值为f (－3)=27, f (1)=－5
(2) 区间［－4 , 4 ］端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76
当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表：
x -4 (-4,-3) -3 (- 1 (1,4) 4 3,1)
大值和最小值.
答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.
四、实际应用
1.实际问题中的应用. 在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的
最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常注意确定函数的定义域.
在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f (x) 0 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间.

求函数最值问题常用的10种方法

分析先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比
较大小，确定最值．
解析因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3，－17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点．
三、换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________．分析先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值．
解析因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说，利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋

初中数学求最大值最小值的方法

初中数学求最大值最小值的方法求解最大值最小值的问题，在初中数学中主要注重以下方法：插值法、二分法、多项式函数的性质、排列组合和不等式。

一、插值法插值法常用于确定连续函数在其中一区间内的最大值最小值。

插值法的基本思想是根据已知的一些数值推算未知数值，然后利用推算得到的数值进行分析。

在初中数学中，可以应用插值法来确定一个函数在两个点之间的最大值最小值。

具体步骤如下：1.根据题目给出的条件，建立函数模型；2.根据给出的两个点，求出这两个点之间的差值；3.根据差值构造等差数列或等比数列；4.利用等差数列或等比数列的特性，给出一个近似的解；5.根据近似解，验证是否等差数列或等比数列的最大值最小值。

二、二分法二分法是一种逐步逼近的方法，它可以用来求解一个问题的最大值最小值。

二分法的基本思想是将问题的解域逐步缩小，通过排除不可能的解来逼近最终的解。

在初中数学中，可以应用二分法来求解一元函数的最大值最小值。

具体步骤如下：1.利用题目给出的条件建立函数模型；2.根据函数模型在给定区间内进行等分，确定中位数；3.利用中位数确定的点，验证其是否是函数的最大值最小值；4.如果不是，根据中位数及其左右两边的点，更新最大值最小值的区间；5.重复步骤2-4，直到得出符合条件的最大值最小值。

三、多项式函数的性质多项式函数的性质可以用来求解多项式函数在其中一区间内的最大值最小值。

在初中数学中，可以利用多项式函数的性质来求解复杂的多项式函数的最大值最小值。

具体步骤如下：1.利用给出的多项式函数进行展开；2.根据多项式的展开式，提取各项的系数和次数；3.通过观察各项的系数和次数，判断函数的最大值最小值出现的条件；4.根据判断条件，确定最大值最小值的区间；5.在确定的区间内，求解最大值最小值。

四、排列组合排列组合可以用来求解一组数据的最大值最小值。

在初中数学中，可以利用排列组合的方法来求解一组数据的最大值最小值。

具体步骤如下：1.根据题目给出的数据，列出所有可能的排列组合；2.根据题目要求的最大值或最小值的属性，制定策略；3.运用制定的策略，筛选出符合条件的排列组合；4.对筛选出的排列组合进行比较，得出最大值最小值。

函数的最大值与最小值

(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
75 2 75 2 , f (1 2 ) . 相应的函数值为: f (1 2 ) 2 2 又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0 75 2 ; 比较得, f(x)在点 x1 1 2 处取得最大值 2 75 2 . 在点 x2 1 2 处取得最小值 2
二、新课——函数的最值y源自观察右边一个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值，_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ，最小值大值，在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。是_______

使函数的值最大或最小的方法

使函数的值最大或最小的方法在数学中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值。

这些极值点对于问题的解决至关重要。

下面将介绍一些常用的方法，可以帮助我们找到函数的最大值或最小值。

1. 导数法导数法是一种常用的方法，通过求函数的导数来找到函数的极值点。

根据导数的定义，函数在极值点处的导数为零或不存在。

首先，我们需要计算函数的导数。

对于一个一元函数，我们可以使用微积分中的导数计算公式来求导。

然后，我们将导数为零或不存在的点找出来，这些点即为函数的极值点。

通过计算函数在这些点上的值，我们可以确定函数的最大值或最小值。

例如，假设我们需要找到函数f(x) = x^2 - 2x + 1的最小值。

首先，我们计算函数的导数f'(x) = 2x - 2。

然后，我们令f'(x) = 0，解方程得到x = 1。

接下来，我们计算f(x)在x = 1处的值，即f(1) = 0。

因此，函数f(x)的最小值为0。

2. 二分法二分法是一种适用于单调函数的方法，通过不断缩小搜索范围来找到函数的极值。

对于一个闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果f(a) > f(b)，则函数在[a, b]上是单调递减的；如果f(a) < f(b)，则函数在[a, b]上是单调递增的。

首先，我们取区间的中点c = (a + b) / 2。

然后，比较f(a)和f(c)的值。

如果f(a) > f(c)，则函数的极值在[a, c]之间；如果f(a) < f(c)，则函数的极值在[c, b]之间。

通过不断缩小搜索范围，最终可以找到函数的极值点。

例如，我们需要找到函数f(x) = x^2的最大值，在区间[0, 2]上。

我们首先取中点c = (0 + 2) / 2 = 1，计算f(0) = 0和f(1) = 1的值。

由于f(1) > f(0)，我们可以确定函数的极值在区间[1, 2]之间。

然后，我们再次取中点c = (1 + 2) / 2 = 1.5，计算f(1)和f(1.5)的值。

求最大值和最小值的公式三角函数

求最大值和最小值的公式三角函数在数学中，我们经常需要找出函数的最大值和最小值，特别是在三角函数中。

通过对三角函数的分析和观察，我们可以找到一些公式和方法来求解函数的最大值和最小值。

正弦函数（Sine Function）正弦函数是一种常见的三角函数，通常用符号sin表示。

正弦函数的最大值和最小值是固定的，分别为1和-1。

具体而言，正弦函数的最大值出现在角度为90度或π/2弧度时，即sin(90°) = sin(π/2) = 1；最小值出现在角度为270度或3π/2弧度时，即sin(270°) = sin(3π/2) = -1。

余弦函数（Cosine Function）余弦函数是另一种常见的三角函数，通常用符号cos表示。

余弦函数的最大值和最小值也是固定的，同样为1和-1。

最大值出现在角度为0度或0弧度时，即cos(0°) = cos(0) = 1；最小值出现在角度为180度或π弧度时，即cos(180°) =cos(π) = -1。

正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一种重要函数，用符号tan表示。

正切函数在某些角度下可能没有最大值或最小值，但在一些特定情况下有最大值或最小值。

在正切函数的图像中，我们可以观察到周期性的最大值和最小值。

具体计算最大值和最小值的方法需要通过导数等方法来求解。

总结通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的分析，我们可以得出它们的最大值和最小值的规律。

这些规律不仅有助于我们求解函数的最值，也有助于更深入地理解三角函数的特性和性质。

在实际问题中，我们可以利用这些公式和规律来简化计算，提高求解效率。

通过以上分析，我们可以看到三角函数中求最大值和最小值的公式都具有一定的规律和特点，掌握这些规律将有助于我们更好地理解和利用三角函数。

希望这些内容对您有所帮助！希望本文对你有所启发，谢谢阅读！。

函数的最大值与最小值

(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 2 9
2 3
3 32 3 . 9
3
例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值. 解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.
1 1 2 2 例3:证明不等式: ln x ( x 1) 1 (1 x )3 ( x 0). x 2 3 1 1 2 2 3 f ( x ) ln x ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 0). 证 :设 x 2 3 1 1 2 3 2x 1 则 f ( x ) 2 ( x 1) 2( x 1) ( x 1) 2 , x x x

3.求函数最值问题常用的10种方法

【例 1】设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命题： ① 若存在常数 M ，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤M ，
则 M 是函数 f(x)的最大值；
② 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有 f(x)<f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；
③ 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤f(x0)，
φ(y)＝0(g(y)≠0)的判别式Δ≥0去求解，要注意验
证g(y)＝0时y的值对应的x的值是否是函数定义域内的值，若是，则使g(y)＝0的y的值在函数的值域内，否则相反．
八、平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．
一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值．我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．
【例8】已知函数y＝ 1－x＋ x＋3的最大值为
m
M ，最小值为m ，则的值为
M
A.14
B.12
C.
2 2
()
D.
3 2
分析本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义
域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进
而可以利用二次函数的最值解决．
1－x≥0，解析由题意，得
x＋3≥0，

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本文首先介绍了函数的单调性，包括增函数和减函数的定义，以及单调区间的概念。在此基础上，详细阐述了函数最大值和最小值的求解方法。要求函数的最满足对于定义域内任意x，函数值f(x)都大于或等于（或小于或等于）某一实数M的条件，同时存在至少一个x0使得f(x0)等于M。文档还通过一系列的基础自测题，如判断函数的单调性、求解函数的零点等，来加深读者对函数最大值和最小值求解方法的理解。此外，还通过深度剖析的例题，展示了如何应用函数的单调性来证明函数在某一区间上的增减性，从而进一步掌握求解函数最大值和最小值的方法。

函数的最大值和最小值的求解方法[1]

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