变式练习

变式训练一、变式训练的含义变式教学在中国由来已久，被广大教师自觉或不自觉地运用. 心理学研究表明：“概念的本质特征越明显，学习越容易，非本质特征越多，学习越困难”. 所谓变式就是变更概念或问题的认识角度，以突出概念或问题中那些隐蔽的本质特征，以便学生在变式中思维，从而使学生更好地掌握概念或问题的本质规律. 具体来说，变式训练注重问题的情境变化，把一些解决问题的思想和思路相同或相关的题目用变式的形式串联起来，在变式中（条件变化、形式变化、结论发散、适时引深、过程变化、背景复杂化等等）求不变，从而使学生在解决变式的问题中，感受知识的形成过程，并获得对知识的概括性的认识，提高学生识别、应变、概括的能力，促进学生思维的发展.变式训练其主导思想是：面向全体学生，抓基本，重宗旨，促进全面发展，提高学生综合素质. 其教学思想采用从特殊到一般的归纳法，这有益于学生创新思维的发展. 其教学方法不同于传统的“灌输”法，也不同于“题海战术”，它是在教师的指导下，放手让学生自己去探究、尝试、归纳、总结，从而使学生解决问题的思路由窄变宽，由低到高，分析问题、解决问题的能力逐渐提高，主动钻研的精神和创新思维得到培养，创新能力得到增强.二、变式训练在数学解题教学中的实施数学教学离不开解题训练，变式训练作为在数学解题教学中实施的一种手段，要求教师要有组织地对学生进行变式训练，训练的思维性要有一定的梯度，逐渐增加创造性的层次. 变式训练可以实施在数学解题教学的不同阶段，如用于对概念的理解、掌握和形成的过程中；用于巩固知识、形成技能的过程中；用于对问题引申的过程中；用于解决问题的过程中；用于阶段性综合复习的过程中，等等. 学生通过变式训练，解决这些变化性的问题，便能更清楚地理解概念的本质，更快地探求解题规律并形成技能.1. 用于对概念的理解、掌握和形成的过程每一个数学概念都有一个形成的过程，在进行对数学概念的教学过程中，教师向学生提供变式，让学生体验这个概念的形成过程，促使学生对相关知识进行比较，分析出其中最本质的成份，并对它们进行概括. 如在学习三角形的高这一概念时，教师为学生提供一些在形状（锐角、直角、钝角三角形）位置等方面变化的不同三角形的高的典型题目，让学生从多角度理解并对几种典型高的变式进行思维加工，从中抽象、概括出三角形高的概念. 同时，通过变式训练，使学生懂得怎样从事物千变万化的复杂现象中抓住本质，举一反三，从而培养学生的概括能力以及思维的深刻性和灵活性.2. 用于巩固知识、形成技能的过程变式训练不仅在形成概念的教学中具有重要作用，而且在掌握知识，启发思维，形成技能中也具有着重要作用. 在学习了概念后，教师或学生若能把课后练习或习题进行选择分类，排列层次，适当变式，然后进行训练，会收到事半功倍的效果. 如学习了平方差公式后，教师对书后习题适当调整或进行变式，并做有序练习：①（3x + 2y）（3x - 2y）；②（m + 2n）（2n - m）；③（-2a + b）（-2a - b）；④（-5a - 3）（5a - 3）；⑤（-m + 1）（-m - 1）（m2 + 1），效果定会良好.3. 用于数学问题引申的教学过程适时地对数学教学中的问题进行引申变式，可以培养学生的应用能力和创新能力. 如对高中解析几何题：△abc的两个顶点a，b 的坐标分别是（-6，0），（6，0），边ac，bc所在直线的斜率乘积等于- 求顶点c的轨迹方程. 进行引申变式练习，变式1：若边ac，bc所在直线的斜率乘积为求顶点c的轨迹方程. 变式2：若两个顶点a，b的坐标分别是（a，0），（-a，0），边ac，bc所在直线的斜率乘积为- a > b），求点c的轨迹方程. 变式3：若ac，bc所在的直线的斜率乘积等于 a > b），求点c的轨迹方程. 变式4：若ac，bc所在直线的斜率乘积等于常数k（k ≠ 0），求点c的轨迹方程. 学生通过解决这些变式性的题目，可以创造性地发现椭圆和双曲线还可以有新定义.4. 用于解决问题的过程在解决数学问题时，一条基本思路就是“将未知的问题化归为已知的问题，将复杂的问题化归为简单的问题”. 但由于未知（复杂）问题与已知（简单）问题之间往往没有明显联系，因此需要设置一些过程性的多层次的变式，在两者之间进行适当铺垫，作为化归的台阶，从而使学生对问题解决过程本身的结构有一个清晰认识，这有益于提高学生解决问题的能力，同时也培养了学生的创新思维.当然，变式训练还可以实施在数学解题教学的其他过程中. 同时变式训练的方法可以灵活多样，可以是教师有组织的变式训练，也可以是学生自编题目进行的变式训练. 变式训练可以灵活多样，可以是一些相关题目组合，也可以是一个题目分层次的变化，等等.三、结论《数学课程标准》指出：“既要关注学生学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展，既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学实践活动中表现出来的情感与态度……”教学应是教与学相互统一的过程，学生积极性、主动性的调动，全在于老师创造性地发挥与教学技巧的恰当运用. 总之，变式训练在中学数学解题教学中是富有成效的训练途径. 它符合基础教育课程改革的新形势，有利于克服教学只重结果，而轻过程的现象，也有利于避免学生死记硬背，单纯接受知识的学习方式. 对学生实施变式训练，不仅使中学数学的“双基”教学得到了进一步的加强，而且可使学生亲身体验到了数学知识的形成过程，提高了学生理解、探究、掌握和运用数学知识的能力. 更重要的是培养了学生创新思维的综合品质，促进了学生创新能力的发展.。

小学生变式练习题1. 加法变式练习题- 题目：小明有5个苹果，小华给了他3个苹果，现在小明一共有多少个苹果？- 答案：5 + 3 = 82. 减法变式练习题- 题目：班级里有20名学生，放学后有5名学生离开了，现在班级里还有多少名学生？- 答案：20 - 5 = 153. 乘法变式练习题- 题目：一个班级有6行，每行有8个座位，这个班级一共有多少个座位？- 答案：6 × 8 = 484. 除法变式练习题- 题目：老师有48支铅笔，平均分给6个学生，每个学生能分到多少支铅笔？- 答案：48 ÷ 6 = 85. 混合运算变式练习题- 题目：小丽有24元钱，她买了3个笔记本，每个笔记本5元，然后她又买了4支铅笔，每支铅笔2元，小丽一共花了多少钱？- 答案：(3 × 5) + (4 × 2) = 15 + 8 = 236. 时间计算变式练习题- 题目：如果现在是下午3点，再过2小时30分钟是几点？- 答案：3点 + 2小时30分钟 = 5点30分7. 货币计算变式练习题- 题目：小刚有10元钱，他买了一个5元的玩具，然后又买了2个2元的冰淇淋，小刚还剩下多少钱？- 答案：10 - 5 - (2 × 2) = 10 - 5 - 4 = 18. 面积计算变式练习题- 题目：一个正方形的边长是4米，这个正方形的面积是多少平方米？- 答案：4 × 4 = 169. 体积计算变式练习题- 题目：一个长方体的长是5厘米，宽是3厘米，高是2厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？- 答案：5 × 3 × 2 = 3010. 分数计算变式练习题- 题目：如果一个蛋糕被分成了8份，小芳吃了其中的3份，她吃了蛋糕的几分之几？- 答案：3/8这些练习题旨在帮助小学生通过不同的数学问题来巩固和提高他们的数学能力。

变式练习1．将下列溶液置于敞口容器中，溶液质量会增加的是（ ）A ．浓硫酸B ．稀硫酸C ．浓盐酸D ．浓硝酸答案：A2．下列变化中，能证明硫酸是强酸的事实是（ ）A ．能使石蕊试液变红B ．能跟磷酸钙反应制磷酸C ．能跟氯化钠反应制氯化氢D ．能跟锌反应产生氢气解析：A 、D 两项证明硫酸具有酸性；C 项证明硫酸具有难挥发性。

答案：B3．m g 铜与足量浓H 2SO 4共热时完全反应，在标准状况下生成n L 气体，则被还原的H 2SO 4的量是（ ）A ．32m mol B ．64m mol C ．4.2298n g D ．4.22196n g 解析：Cu ＋2H 2SO 4（浓）CuSO 4＋SO 2↑十2H 2O 64m mol 4.22n mol 参加反应的Cu ，生成的SO 2与被还原的H 2SO 4的物质的量相等。

答案：BC4．将90％H 2SO 4溶液和10％H 2SO 4溶液等体积混合，所得溶液的百分比浓度为（ ）A ．小于50％B ．大于50％C ．等于50％D ．不能确定解析：设各取体积为V L ，90％H 2SO 4密度为1d ，10％H 2SO 4密度为2d ，则1d ＞2d 。

依题意，混合后溶液的百分比浓度P ％＝21211.09.0Vd Vd Vd Vd ＋＋＝501.09.0121－＋d d d ％＝()028.08.02121＞＋－d d d d 所以P ％＞50％，选B 。

答案：B5．下列各组气体中，在通常情况下既能用浓硫酸又能用碱石灰干燥的有（ ）A ．SO 2、O 2、N 2B ．HCl 、Cl 2、CO 2C ．CH 4、H 2、COD ．SO 2、Cl 2、O 2解析：A 组中SO 2不能用碱石灰干燥。

B 组均不能用碱石灰干燥的气体。

D 组均可用浓H 2SO 4作干燥剂，但其中SO 2、Cl 2不能用碱石灰干燥。

答案：C6．检验氨气可选用（ ）A ．湿润的蓝色石蕊试纸B ．干燥的红色石蕊试纸C ．干燥的蓝色石蕊试纸D ．湿润的红色石蕊试纸答案：D7．用一充满氨气的烧瓶做喷泉实验，当水充满整个烧瓶后，烧瓶内的氨水的物质的量浓度是（按标准状况下计算）（ ）A ．0.045mol ·L －1B ．1mol ·L －1 C ．0.029mol ·L －1 D ．不能确定 解析：氨气溶于水形成氨水，其溶质为氨气。

乘法变式练习题一、基础乘法变式1. 计算下列乘法并写出变式：- 3 × 4 = 12- 4 × 3 = 12- 12 ÷ 3 = 4- 12 ÷ 4 = 32. 完成以下乘法并找出乘法的变式：- 5 × 6 = 30- 6 × 5 = 30- 30 ÷ 5 = 6- 30 ÷ 6 = 5二、乘法与加法的变式1. 将下列乘法表达式转换为加法表达式：- 4 × 7 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 42. 完成以下乘法并转换为加法：- 8 × 9 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8三、乘法与除法的变式1. 将下列乘法表达式转换为除法表达式：- 6 × 8 = 48 → 48 ÷ 6 = 8- 9 × 5 = 45 → 45 ÷ 9 = 52. 完成以下乘法并找出对应的除法：- 7 × 11 = 77 → 77 ÷ 7 = 11- 12 × 3 = 36 → 36 ÷ 12 = 3四、乘法的逆运算1. 给定乘法结果，找出乘法的两个因数：- 24 ÷ 3 = ?- 56 ÷ 7 = ?2. 根据乘法结果找出可能的乘法表达式：- 36 ÷ 4 可能的乘法表达式是4 × 9 或9 × 4五、乘法的应用题1. 一个班级有4个小组，每个小组有8名学生。

这个班级总共有多少名学生？2. 一个果园里有5排苹果树，每排有12棵。

这个果园里总共有多少棵苹果树？六、乘法的拓展练习1. 计算下列乘法表达式，并找出它们的变式：- 7 × 13 = ?- 13 × 7 = ?2. 计算下列乘法表达式，并将其转换为加法表达式：- 9 × 14 = ?结束语通过以上乘法变式练习题，学生可以加深对乘法运算规则的理解，提高解决实际问题的能力。

四年级数学变式练习题1. 小明有5个苹果，他把其中的2个苹果分给了小红，剩下的他自己吃掉了一半。

请问小明一共吃了几个苹果？解答：小明分给小红的苹果数量：2个小明自己剩下的苹果数量：5个 - 2个 = 3个小明自己吃掉的苹果数量：3个 ÷ 2 = 1.5个答案：小明一共吃了1.5个苹果。

2. 有一排花，小明先数了其中的4朵花，他数了两朵红花和两朵白花。

已知红花的数量是白花的3倍，那么这排花总共有几朵？解答：红花的数量：2朵白花的数量：2朵红花的数量 = 白花的数量 × 32朵 = 白花的数量 × 3白花的数量 = 2朵 ÷ 3 = 0.67朵（约等于2/3朵）整数朵数的花有：4朵小数朵数的花有：0.67朵答案：这排花总共有4朵整数朵数的花和0.67朵小数朵数的花。

3. 小明参加了一个比赛，他一共打了27个靶。

已知他打中了其中的2/3靶，没有打中的靶有几个？解答：小明打中的靶数量：27个 × 2/3 = 18个小明没有打中的靶数量：27个 - 18个 = 9个答案：小明没有打中的靶有9个。

4. 一队士兵正在做训练，他们一共有45人。

排成5列，每列人数相等。

请问每列有几个士兵？解答：士兵总数：45人列数：5列每列士兵数量 = 士兵总数 ÷列数 = 45人 ÷ 5列 = 9人答案：每列有9个士兵。

5. 小华去超市买了一盒饼干，饼干共有30块。

她把其中的1/3块分给了小明，自己留下了剩下的饼干。

请问小华自己留下了几块饼干？解答：饼干总数：30块小明得到的饼干数量：30块 × 1/3 = 10块小华自己留下的饼干数量：30块 - 10块 = 20块答案：小华自己留下了20块饼干。

总结：通过以上四年级数学变式练习题，我们练习了解决实际问题的能力。

这些问题涉及了分数、比例、分配等数学概念，通过计算和推理，我们可以准确地得出答案。

继续练习这些变式题目，可以帮助我们提高数学思维和解决问题的能力。

小学数学变式练习题可打印在小学数学教学中，练习题是非常重要的一环。

通过练习题的完成，学生能够巩固知识、提高解题能力，培养逻辑思维和创新思维。

本文将为大家提供一些小学数学的变式练习题，并提供可打印的链接，方便学生进行练习。

一、加减法练习1. (1) 58 + 27 =(2) 43 + 65 =(3) 91 - 38 =(4) 76 - 29 =2. (1) 176 + 65 =(2) 256 - 93 =(3) 382 + 237 =(4) 879 - 462 =3. (1) 623 + 158 =(2) 779 - 347 =(3) 524 + 237 =(4) 964 - 582 =4. (1) 1234 + 567 =(3) 289 + 456 =(4) 987 - 221 =二、乘除法练习1. (1) 7 × 8 =(2) 9 × 3 =(3) 25 ÷ 5 =(4) 42 ÷ 6 = 2. (1) 15 × 6 =(2) 27 × 4 =(3) 64 ÷ 8 =(4) 98 ÷ 7 = 3. (1) 23 × 7 =(2) 43 × 5 =(3) 72 ÷ 9 =(4) 84 ÷ 4 = 4. (1) 34 × 9 =(2) 52 × 8 =(3) 99 ÷ 3 =三、综合运算练习1. 求下列各题的值：(1) 15 + 46 - 8 × 3 ÷ 2 =(2) (28 - 7 × 3) ÷ 5 + 9 =(3) 4 + 5 × 7 - 6 ÷ 2 =(4) (56 ÷ 7 + 3) × 4 - 9 =2. 小明一共有35元，他买了一本数学书花了18元，剩下的钱他想平均分给他的两个朋友，请问每个人能分到多少钱？3. 一包巧克力有8块，小明吃掉了其中的3块，请问还剩下多少块巧克力？4. 阿姨从市场上买回来8斤苹果，她用了2斤苹果煮成了一大锅苹果汁，剩下的苹果有多少斤？以上是一些小学数学的变式练习题，供学生进行练习。

浅谈自主学习中的变式练习摘要：变式是变换概念肯定例证的非本质特征以突出本质属性的变化形式。

它在学科教学中运用十分广泛，尤其在知识巩固深化阶段加强变式练习的设计，可使学生对知识或技能展开得到更为广泛的概括。

关键词：自主学习变式练习设计一、变式练习的含义变式练习就是在其他有效学习条件不变的情况下，变化概念和规则例证的练习。

换而言之，是指依据教学内容、教学目的及学生心理状态而设计的不同角度、不同层面、不同类型的变化练习，即变换内容、形式和角度的练习。

设计变式练习时一般要遵循四个原则：1．科学性原则科学性是一切练习形式的灵魂，只有依据教育学、心理学和逻辑学的科学原理来设计各种练习，才能以最少的练习量，花最少的时间，收到最好的效果，设计练习应充分利用旧知，在已知的前提下做适当迁移，并注意由易到难，顺序渐进。

另外，还应注意将面向全体和因材施教结合起来，将及时和间时练习结合起来，将口诵心记和动手操作结合起来。

2．实用性原则实用性是使学生练习能收到实效的保证，也是“一切从实际出发”的思想理论在教学工作中的体现。

练习什么，怎样练习，练习多少，都要从教学目的、教学内容、学生状况等实际出发，而不能为了形式而形式，搞花架子，把学生带进题海迷宫。

3．灵活性原则设计变式练习的目的，是为了通过变换练习形式，改变一层不变的呆板重复的练习状况，以不断激活学生的学生兴趣和有意注意，逐步提高学生的认识层次，从而提高练习质量和学习效果。

因此，采取什么形式的练习方法和确定什么练习内容，要视具体情况灵活安排，这就要求教师必须具备较高的素质，熟练掌握各种练习技巧，根据情况随时做出最佳构思，制订最佳练习方案。

不可因循守旧，死搬教条。

4．针对性原则灵活性、实用性的基础是针对性，而针对性的前提则是教师对训练的目的、任务、内容、对象等有全面的了解。

只有充分了解情况，才能知己知彼，百战百胜。

因此，在设计练习时一定要对各种情况，灵活多变、优化组合、精选精练，才能达到最佳效果。

哈力中学：杜广富一，题目 计算：2)32(-．（人教课本P 8 2（4）题） 解 原式=32)32()32(22==-． 点评 大家知道，当a ≥0时，2a 有意义，且a a =2．而当a ＜0时，2a 也有意义，此时||2a a =，进一步的，则等于－a （－a ＞0）．为了预防解题粗心出错（如32)32(2-=-），通常是根据平方（或立方）的意义，先处理掉（好）符号，再按有关顺序和规定运算．演变变式1 填空：（1）94= ；（2）412= ．（答案：（1）32 （2）23） 变式2 当x 时，式子231-x 在实数范围内有意义？ （答案：x ＞32） 变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）．（答案：n = 1，2，9，17等．）变式4 是否存在正整数n ，使得231+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在正整数n ，使231+n 是有理数，则因为3n + 2是正整数，所以3n + 2应该是一个完全平方数．假设3n + 2等于k （k ≥3，k 是正整数）的平方，则k = 3p 或者3p + 1或者3p + 2，也就是说k 除以3余0或者1或者2，而（3p ）2 除以3余0，（3p + 1）2 = 9p 2 + 6p + 1，（3p + 2）2 = 9p 2 + 12p + 4 除以3都余1，所以没有数的平方除以3余2．表明3n + 2不是完全平方数，从而假设不成立，因此，不存在正整数n ，使231+n 是有理数． 二，题目 计算：65027÷⨯．（人教课本P 15 6（4）题）解 原式=6)23(15625336253322÷⨯=÷⨯=÷⨯⨯⨯= 15．另法 原式=1525965027=⨯=⨯． 点评 进行二次根式的乘除运算时，根据乘法、除法规定（ab b a =⋅（a 、b ≥0），b a ba =（a ≥0，b ＞0）），可以从左往右正向使用（如另法），也可以从右往左逆向使用（法一），往往可视其具体题目的数字特点和结构特征，灵活选用．一般情况是尽可能先把根式化简，大数化小，遇到字母开平方时，必须注意字母的正、负性（或讨论）．演变变式1 填空：（1）50276⨯÷= ；（2）65027⨯÷= ． （答案：（1）310 （2）59） 因为原式=)32(25323⨯÷⨯⨯，2 + 3 = 5，所以设2 = a ，3 = b ，则 5 = a + b ，题目可演变成如下形式：变式2 化简：ab b a a b ÷+⨯23)(．解 原式=)(])([b a a b a b b ⋅÷+⨯= b （a + b ）= ab + b 2．若赋予a 一些不同的值（相应的可得到b 的值），则可得到一组二次根式的乘法除法试题．变式3 甲、乙两同学在化简 xy x y x 5253÷⨯ 时，采用了不同的方法： 甲： 因为x ，y 是二次根式的被开方数，且在分母上，所以x ＞0，y ＞0， 于是令 x = 1，y = 1，代入可得，原式=55125=÷⨯．乙： 原式=xy y x x y x x 55)5(522=⋅⋅⋅÷⋅⋅⋅．从而得出了不同的结果．请指出甲、乙同学的做法是否正确？说明理由．解 甲，乙两同学的做法都不正确． 甲同学犯了以特殊代替一般的错误，虽然最终结果是5． 乙同学对题目形式上的意义理解错误，通常xy y 5是一个整体，是被除式． 正确解法是：原式=5)5()5()5(522=⋅÷⋅=÷⋅⋅⋅y x x y x x xy x y x x ．三，题目 已知13+=x ，13-=y ，求下列各式的值：（1）x 2 + 2xy + y 2； （2）x 2－y 2． （人教课本P 21 6题）解 ∵ 13+=x ，13-=y ，∴ 32=+y x ，x －y = 2，xy = 2．于是 x 2 + 2xy + y 2 =（x + y ）2 =12)32(2=，x 2－y 2 =（x + y ）（x －y ）=34232=⨯．点评 本题属于“给值求值”类型，一般不宜直接代入算值．通常的思路是：先把已知式和待求式进行适当的等价变形化简，充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系，然后再看情况灵活地代入，往往能简捷而巧妙地求值．演变变式1 已知21+=a ，21-=b ，求：（1）22222ba b ab a -++，（2）a b b a -的值．解 由已知可得a + b = 2，22=-b a ，ab =－1．（1）原式=22222))(()(2==-+=-++b a b a b a b a b a ． （2）原式=241222))((22-=-⋅=-+=-ab b a b a ab b a ． 变式2 如果实数a ，b 满足a 2 + 2ab + b 2 = 12，3422=-b a ，求b b a -的值．解 显然b ≠0，于是由已知，得33412))(()(222222==-+=-++=-++b a b a b a b a b a b a b ab a ， ∴ )(3b a b a -=+，即 b a )13()13(+=-， 有32)13)(13()13(13132+=+-+=-+=b a ，因此311)32(1+=-+=-=-ba b b a ． 说明 上述解法，既抓住了已知式的特征（两个等式的左边有公因式，约后能降次，但要注意是否为0啰！），又避免了解方程组的难点．本题还可以进一步求出a 、b 的值．∵ 13+=x ，∴（x －1）2 = 3，得x 2－2x = 2，结合x ≠0，两边除以x ， 得22=-x x ，注意到xy 2-=，则2222)2()2(22x x x x y xy x -+-⋅+=++=4222-+x x ，22224xx y x -=-，得 变式3 若实数x 满足22=-x x ，试求：（1）224x x +；（2）x x 2+；（3）224xx -的值．（答案 （1）8 （2）32± （3）142±）四，题目 无论p 取何值时，方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．（人教课本P 4612题）解 原方程可化为x 2－5x + 6－p 2 = 0．方程根的判别式为 △=（－5）2－4（6－p 2）= 1 + 4p 2，对任何实数值p ，有1 + 4p 2＞0，∴ 方程有两个实数根 x 1 =24152p ++，x 2 =24152p +-，且两个根不相等． 另法 由 p 2 =（x －3）（x －2）= x 2－5x + 6 =41)25()25(6])25(5[2222--=-++-x x x ， 得 41)25(22+=-p x ，无论p 取何值412+p ≥41，因此41252+±=p x ． 点评 解一元二次方程有配方法，公式法或因式分解法．一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法．（1）要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时，常常只须考查方程根的判别式．（2）见到含字母系数的二次方程，在实数范围内，首先应有△≥0；若字母在二次项系数中，则还应考虑其是否为0．（3）关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式（何时选择那种方式要根据具体题目的特点来确定）：① 利用求根公式求出根来；② 利用根与系数的关系将这两个根的和与积表达出来：x 1 + x 2 =a b 2- x 1x 2 =ac ，以便后继作整体代换；③ 将根代入方程中进行整体处理．演变变式1 分别对p 赋值0，2，23-等，可得如下确定的方程： 解方程：（1）x 2－5x + 6 = 0；（2）x 2－5x + 1 = 0；（3）4x 2－20x + 21 = 0． 变式2 当x 取什么范围内的值时，由方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0确定的实数p 存在？请说明理由．解 对任意实数p ，有p 2≥0，所以只需p 2 =（x －3）（x －2）≥0，利用同号相乘得正的原理，得x 应满足 ⎩⎨⎧≥-≥-,02,03x x 或 ⎩⎨⎧≤-≤-,02,03x x 解得x ≥3或x ≤2． 表明，当x 取x ≤2或x ≥3范围内的实数时，由方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0确定的实数p 存在．变式3 指出方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0的实数根所在的范围？解 ∵ 方程有两个不相等的实数根x 1 =2412125p ++，x 2 =2412125p +-， 且对任意实数p ，有1 + 4p 2≥1，∴ 有x 1≥32125=+，x 2≤22125=-， 即方程的实数根所在的范围是x ≤2或x ≥3．变式4 试求y =（x －3）（x －2）的最小值．解 由 y =（x －3）（x －2）= x 2－5x + 6 =41)25()25(6])25(5[2222--=-++-x x x ， 得 y 的最小值为41，当25=x 时取得．五，题目 如图，要设计一幅宽20 cm ，长30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（精确到0.1 cm ）？（人教课本P 5310题）分析 结合图形，阅读理解题意（数形结合）．矩形图案中，长30 cm ，宽20 cm ．现设计了横、竖彩条各2条，且其宽度比为3:2，于是设横彩条宽为3x cm ，则竖彩条的宽就为2x cm ，其长与矩形图案的长宽相关．等量关系式为“使彩条所占面积是图案面积的四分之一”．解 根据题意，设横向彩条的宽为3x ，则竖向彩条的宽为2x ，于是，建立方程，得 20304123422023302⨯⨯=⋅⋅-⨯⨯+⨯⨯x x x x ， 化简，得 12x 2－130x + 75 = 0．解得 611.012133565≈-=x ． 因此横向彩条宽1.8 cm ，竖向彩条宽1.2 cm ． 另法 如图，建立方程，得 203041)620(4630⨯⨯=-+⨯x x x ． 法三 如图，建立方程，得 203043)620)(430(⨯⨯=--x x ． 点评 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：（1）设：即设好未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位；（2）列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；（3）解：解所列方程；（4）验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；（5）答：即答题，怎么问就怎么答，注意不要漏写单位．演变变式1 矩形图案的长、宽不变，但设计的两横两竖彩条的宽度相同，如果彩条的面积是图案面积的四分之一，求彩条的宽． （答案：219525-） 变式2 矩形图案的长、宽不变，现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形，其面积是整个矩形面积的四分之三，上下边等宽，左右等宽，应如何设计四周的宽度？解 因为矩形图案的长、宽比为30: 20 = 3:2，所以中央矩形的长、宽之比也应为3:2，设其长为3x ，则宽为2x ，所以 20304332⨯⨯=⋅x x ，得 35=x ，从而上、下边宽为 )32(5105.0)220(-=-=⨯-x x ，左、右宽为 2)32(155.0)330(-=⨯-x ． 变式3 如图，一边长为30 cm ，宽20 cm 的长方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，将四边折起，可以做成一个无盖长方体容器．求所得容器的容积V 关于截去的小正方形的边长x 的函数关系式，并指出x解 根据题意可得，V 关于x 的函数关系式为：V =（30－2x ）（20－2x ）x ．即 V = 4x 3－100x 2 + 600x ， x 的取值范围是0＜x ＜10． 变式4 在一块长30 m 、宽20 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半．小明的设计方案如图甲所示，其中花园四周小路的宽度都相等．小明通过列方程，并解方程，得到小路的宽为2.5 m 或22.5 m ．小亮的设计方案如图乙所示，其中花园每个角上的扇形（四分之一圆弧）都相同．解答下列问题：（1）小明的结果对吗？为什么？（2）请你帮小亮求出图乙中的x ？（3）你还有其他设计方案吗？甲 乙解 （1）小明的设计方案：由于花园四周小路的宽度相等，设其宽为x 米．则根据题意，列出方程，得 203021)220)(230(⨯⨯=--x x ，即 x 2－25x + 75 = 0，解得x =213525+或x =213525-．由于矩形荒地的宽是20 m ，故舍去x =213525+，得花园四周小路宽为213525-m ，所以小明的结果不对． （2）小亮的设计方案：由于其中花园的四个角上均为相同的扇形，所以设扇形的半径为x 米，列方程得 2030212⨯⨯=x π，所以πππ310310==x m ．（3）略．六，题目 如图，△ABD ，△AEC 都是等边三角形．BE 与DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（人教课本P 679题） 解 ∵ △ABD 是等边三角形，∴ AB = AD ，∠BAD = 60︒．同理AE = AC ，∠EAC = 60︒．∴ 以点A 为旋转中心将△ABE 顺时针旋转60︒ 就得到△CAD ，∴ △ABE ≌△ADC ，从而 BE = DC ．另法 ∵ △ABD ，△AEC 都是等边三角形，∴ AB = AD ，AE = AC ，∠BAD =∠EAC = 60︒，于是∠CAD =∠CAB +∠BAD =∠CAB +∠EAC =∠EAB ．从而有 △CAD ≌△EAB ，∴ DC = BE ．点评 由于旋转是刚体运动，旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．演变 变式1 如图，△ABC 和△ECD 都是等边三角形， △EBC 可以看作是△DAC 经过什么图形变换得到的？说明理由．（人教课本P 805题） 说明：如上题图，去掉BC ，把D ，A ，E 放在一直线上即得． 本题经过下列各种演变，原来的结论仍保持不变．（1）△ABC 与△CDE 在BC 的异侧．B C D A E C B A E D E A E（2）点C 在BD 的延长线上．（3）C 点在BD 外．（4）△ACD 与△BDE 在BD 的异侧，且D 点在BC 的延长线上．（5）△ABC 与△CDE 都改为顶角相等的等腰三角形，即AB = AC ，CE = DE ，∠BAC =∠CED ．变式2 如图，四边形ABCD ，ACFG 都是正方形，则BG 与CE 有什么关系？说明理由． 变式3 如图，△ABD ，△AEC 都是等腰直角三角形，则BE 与DC 有什么关系？七，题目 如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．（人教课本P 93例2）解 ∵ AB 是直径，∴ ∠ACB =∠ADB = 90︒．在Rt △ABC 中，BC 2 = AB 2－AC 2 = 102－62 = 82，即 BC = 8．∵ CD 平分∠ACB ， ∴ =，于是AD = BD ．又在Rt △ABD 中，AD 2 + BD 2 = AB 2，∴ 25102222=⨯===AB BD AD ． 点评 在涉及圆中的有关弧，弦（直径），角（圆心角，圆周角）等问题中，垂径定理，同圆中的关系（在同圆或等圆中，圆心角相等 ⇔ 弧相等 ⇔ 弦相等 ⇔ 弦心距相等 ⇔ 圆周角相等）是转化已知，沟通结论的纽带．其中半圆（或直径）所对的圆周角是直角还联结了勾股定理（将出现代数等式）．演变变式1 在现有已知条件下，可进一步的，求四边形ACBD 的面积等于多少？解 由例题及解答可知，△ACB ，△ADB 都是直角三角形，于是四边形ACBD 的面积等于4925252186212121=⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅=+∆∆BD AD BC AC S S ADB ACB cm 2． 变式2 求内角平分线CE 的长？抽取出图形中的基本图Rt △ABC ，因为AC :BC :AB = 3:4:5，于是，斜边上的高524=⋅=AB BC AC CD ，外接圆半径R = 5（也即斜边上的中线）． 设∠ACB 的平分线为CE ，过E 设为x ，于是x CE 2=，由 BC AC BC x AC x ⋅=⋅+⋅⋅212121，得 C B A E D AC B ED C B AE D B C D AF EG B C A E D7248686=+⨯=+⋅=BC AC BC AC x ， ∴ 7224=CE ． 变式3 如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，AD 与 三角形的外接圆交于点D ，求证：BD = CD ． 解 因为圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角，所以有∠DAE =∠DCB ，而∠DAC =∠DBC（同所对的圆周角相等），结合题设AD 是∠EAC 的平分线， 则有∠DCB =∠DBC ，所以 BD = CD ．变式4 如图，点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？（课本P 93练习第1题）解 ∠1 =∠4，∠2 =∠7，∠3 =∠6，∠5 =∠8．变式5 如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC =∠CPB = 60︒，判断△ABC 的形状并证明你的结论．（课本P 95第11题）解 ∵ ∠BAC =∠BPC = 60︒，∴ ∠ABC =∠APC = 60︒，因而△ABC 是等边三角形．八，题目 如图，△ABC 中，∠ABC = 50︒，∠ACB = 75︒，点O 是内心，求∠BOC 的度数．（人教课本P 1061题） 解 ∵ O 是△ABC 内切圆的圆心（内心），∴ OB ，OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线．∵ ∠ABC = 50︒，∠ACB = 75︒， ∴ ∠OBC = 25︒，∠OCB = 37.5︒，因此 ∠BOC = 180︒－25︒－37.5︒ = 117.5︒．点评 抓住“内心与各顶点连线平分每一个内角，且到三条边的距离相等”这些事实，很容易促进角或线段的转化，突破关键，解决问题．演变变式1 已知周长为l 的△ABC 的内切圆半径等于r ，求△ABC 的面积． 解 设内心为O ，连接OA ，OB ，OC ，则OA 、OB 、OC 把△ABC 分割成三个易求的小三角形，其面积的和为：r CA r BC r AB S S S S ACO BCO ABO ABC ⋅+⋅+⋅⋅=++=∆∆∆∆212121=lr CA BC AB 21)(21=++． 变式2 如图，点O 是△ABC 的内心，则A BOC ∠+︒=∠2190． 解 ∵ C B BOC ∠-∠-︒=∠2121180 B C O A BCO A=)180(21180)(21180A C B ∠-︒-︒=∠+∠-︒， ∴ A BOC ∠+︒=∠2190． 说明 变式2有多种不同的解法，如连结AO 并延长，或延长BO 交AC 于D 等等，请读者探究，收获定当不少． 变式3 如图，△ABC 中，∠B ＜∠C ，O 在∠A 的平分线上，求证：AB + OC ＞AC + OB ．证明 ∵ ∠B ＜∠C ，∴ AB ＞AC ，于是在AB 上取点D ， 使AD = AC ，连结OD ，则由已知和作图，可得△AOC ≌△AOD ，进而OC = OD ． 在△OBD 中，有 BD + OD ＞OB ，∴（AB + OC ）－（AC + OB ）=（AB －AD ）+ OD －OB = BD + OD －OB ＞0，故 AB + OC ＞AC + OB ．变式4 如图，△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 的直线DE ∥BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E ， 求证：DE = BD + CE ．解 由已知DE ∥BC ，BD 、CO 分别平分∠B 、∠C ，可以发 现△BDO 和△CEO 是等腰三角形，于是有BD = DO ，CE = OE ，因此BD + CE = DO + OE = DE ．变式5 如图，B 、C 在射线AD 、AE 上，BO 、CO 分别是∠DBC 和∠ECB 的角平分线．（1）若∠A = 60︒，则∠O 为多少度？ （2）若∠A = 90︒，120︒ 时，∠O 分别是多少度？（3）求∠A 与∠O 的关系式． 解 ∵ BO 、CO 是∠DBC 和∠ECB 的平分线， ∴ ∠DBC = 2∠2，∠ECB = 2∠3，∴ ∠ABC = 180︒－2∠2，∠ACB = 180︒－2∠3．在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB = 180︒，∴ ∠A + 180︒－2∠2 + 180︒－2∠3 = 180︒，即∠2 +∠3 = 90︒ + 12∠A ． 在△BOC 中，∠2 +∠3 +∠O = 180︒， ∴ ∠O = 90︒－12∠A ． （1）当∠A = 60︒ 时，∠O = 90︒－12× 60︒ = 60︒． （2）当∠A = 90︒ 时，∠O = 90︒－12× 90︒ = 45︒．当∠A = 120︒ 时，∠O = 90︒－12× 120︒ = 30︒． （3）∠A 与∠O 的关系式为∠O +12∠A = 90︒． 九，题目 画一个正五边形，再作出它的对角线，得到如图所示的五角星．（人教课本P 1172题）D BC O AD BC O A E A BD OE C 4 3 2 1 B A E解 先画一个圆，将圆五等分，分点依次为A ，B ，C ，D ，E ，顺次连结这些点，得正五边形ABCDE ，再作出正五边形的对角线AC ，AD ，BD ，BE ，CE ，即得如图所示的五角星．点评 正多边形与圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧（或把圆心角分成一些相等的角），就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆，如上所示作出的是一个正五角星．演变 变式1 求五角星中五个角的和．解 ∵ ∠AMN =∠B +∠D ，∠ANM =∠C +∠E ， ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =∠A +∠AMN +∠ANM = 180︒．表明正五角星中五个角的和为180︒．另法 连结CD ，则在△AEF 和△CDF 中， 有 ∠B +∠E = 180︒－∠BFE = 180︒－∠CFD =∠CDF +∠DCF ． 在△ACD 中，∠A +∠ACD +∠ADC = 180︒，即 ∠A +∠ACE +∠DCF +∠ADB +∠CDF = 180︒． ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒． 说明 正五角星中每个角都是36︒．变式2 如变式1的图，在正五角星中存在黄金分割数， 可以证明215-===BE BM BM BN NB MN （参见人教版课本46页“阅读与思考 —— 黄金分割数”），此结论待同学们学习了相似形的有关知识后即可证明．变式3 如图，是将不规则的五角星改为退化的五角星，则其五个角的和等于多少？ 解 如图，将其转化为不规则的五角星，问题立即获解，五个角的和等于180︒，或连结两个顶点后利用三角形内角和定理即可解决．变式4 六角星，七角星，甚至n 角星的各个顶角之和等于多少？解 都等于180︒．说明 解答星型n 边形顶角和的问题关键是根据“三角形的内角和为180︒及其推论”，设法将分散的角归结到某个三角形或四边形中，这是解答此类题目的金钥匙．十，题目 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？（人教课本P 1391题）解 落在海洋里的可能性更大．点评 可能性是指能成为事实的属性．然而世界上有很多事情具有偶然性，人们不能事先判断这些事情是否会发生．概率就是从数量上用来描述（刻画）随机事件发生的可能性的大小．对这一问题，需要充分把陨石抽象成随机地散落，地球也是必须抽象成平辅的面，与生活中通常所看到的质点只能正面地落在面上（不可能弯曲行进而落在背面上）．我们生活的地球，脚下大地的形状并不是无边无际的辽阔平面，而是大致接近于球面．演变 F C B A D E C B A D E M N C B A D E变式1 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则“落在海洋里”与“落在陆地上”的概率各是多大？解 落在海洋里的概率为107737=+，落在陆地上的概率为733=+变式2 扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为（ ）．A ．21 B ．π63 C ．π93 D ．π33 解 设正三角形的边长为单位1，则正三角形的面积为43，正三角形的内切圆半径6330tan 21=︒=r ，内切圆的面积为12)63(2ππ=，针扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为ππ934312=÷，选C ． 变式3 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率． 解 以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人 能够会面的条件是∣x －y ∣≤15．在平面直角坐标系中，点（x ，y ）的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的 阴影部分所表示，所以两人能会面的概率为167604560222=-=P ． 说明 把上述问题抽象成如下模型是：设在面积为S 的区域中有任意一个小区域A ，小区域的面积为S A ，则任意投点，点落入A 中的可能性大小与S A 成正比，而与A 的位置及形状无关，为SS P A =． 注意，如果是在一个线段上投点，那么面积则改为长度；如果是一个立方体内投点，则面积就改为体积．。

变式练习 一、选择题1．函数f （x ）＝)1(log 21－x 的定义域是（ ）A ．（1，＋∞）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，2）D ．]21(，解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥0)1(log 0121－＞－x x 解得1＜x ≤2． 答案：D2．函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，23）D ．（23，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）在（2，＋∞）上单调递减．答案：B3．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则xy的值为（ ） A ．4B ．1或41C ．1或4D ．41错解：由2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，得（x －2y ）2＝xy ，解得x ＝4y 或x ＝y ，则有xy ＝41或y x ＝1． 答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x －2y ＞0，所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ． 答案：D4．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，21） B ．（0，21）C ．（21，＋∞）D ．（0，＋∞）解析：因为x ∈（－1，0），所以x ＋1∈（0，1）．当f （x ）＞0时，根据图象只有0＜2a ＜l ，解得0＜a ＜21（根据本节思维过程中第四条提到的性质）． 答案：A 5．函数y ＝lg （x－12－1）的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝lg （x －12－1）＝x x －＋11lg ，所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝xx －＋11lg 的函数都为奇函数． 答案：C 二、填空题已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是__________． 解析：a ＞0且a ≠1⇒μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数，则a ＞1，又2－ax ＞0⇒a ＜32（0＜x ＜1）⇒a ＜2，所以a ∈（1，2）． 答案：a ∈（1，2）7．函数f （x ）的图象与g （x ）＝（31）x的图象关于直线y ＝x 对称，则f （2x －x 2）的单调递减区间为______．解析：因为f （x ）与g （x ）互为反函数，所以f （x ）＝31log x则f （2x －x 2）＝31log （2x －x 2），令μ（x ）＝2x －x 2＞0，解得0＜x ＜2．μ（x ）＝2x －x 2在（0，1）上单调递增，则f ［μ（x ）］在（0，1）上单调递减；μ（x ）＝2x －x 2在（1，2）上单调递减，则f ［μ（x ）］在［1，2）上单调递增． 所以f （2x －x 2）的单调递减区间为（0，1）．答案：（0，1）8．已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （21）＝0， 则不等式f （l og 4x ）的解集是______．解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－21）＝f （21）＝0．又f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，所以f （x ）在（－∞，0）上是减函数．所以f （l og 4x ）＞0⇒l og 4x ＞21或l og 4x＜－21．解得x ＞2或0＜x ＜21．答案：x ＞2或0＜x ＜21三、解答题9．求函数y ＝31log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间．解：由μ（x ）＝x 2－5x ＋4＞0，解得x ＞4或x ＜1，所以x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y ＝31log （x 2－5x ＋4）是由y ＝31log μ（x ）与μ（x ）＝x 2－5x ＋4复合而成，函数y ＝31log μ（x ）在其定义域上是单调递减的，函数μ（x ）＝x 2－5x ＋4在（－∞，25）上为减函数，在［25，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y ＝31log （x 2－5x ＋4）的增区间是定义域内使y ＝31log μ（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y ＝31log （x 2－5x ＋4）的减区间是定义域内使y ＝31log μ（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）． 10．设函数f （x ）＝532＋x ＋xx2323lg ＋－， （1）求函数f （x ）的定义域；（2）判断函数f （x ）的单调性，并给出证明；（3）已知函数f （x ）的反函数f －1（x ），问函数y ＝f －1（x ）的图象与x 轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．解：（1）由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0，解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－23＜x ＜23． （2）令 （x ）＝3x ＋5，随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；x x 2323＋－＝－1＋x236＋随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数． 又y ＝lg x 在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y ＝xx2323lg ＋－是减函数，所以f（x ）＝532＋x ＋xx2323lg ＋－是减函数．（3）因为直接求f （x ）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．设函数f （x ）的反函数f －1（x ）与工轴的交点为（x 0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f （x ）与y 轴的交点是（0，x 0），将（0，x 0）代入f （x ），解得x 0＝52．所以函数y ＝f －1（x ）的图象与x 轴有交点，交点为（52，0）。

中考复习之变式练习题黑龙江省大庆市肇源县古龙镇第一中学李英1、在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为2米的标杆影长为4米，那么影长为30米的旗杆的高为米．变式一、如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全地面上，有，他测得地面上影长为21米，留在的应高为2米，求旗杆的高度．变式二、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为5.4米，则树高为米变式三、．（2008•大庆）在同一时刻的物高与水平地面上的影长成正比例．如图，小莉发现垂直地面的电线杆AB的影子落在地面和土坡上，影长分别为BC和CD，经测量得BC=20m，CD=8m，CD与地面成30°角，且此时测得垂直于地面的1m长标杆在地面上影长为2m，求电线杆AB的长度变式四、在同一时刻的物高与水平地面上的影长成正比例。

此时测得垂直于地面的1m长标杆在地面上影长为2m。

如图、小明和小芳同学发现一棵垂直于地面的树AB的影子一部分落在地面，一部分落在斜坡下，引起了他强烈的兴趣，他们测得树地面上的影长BC=2.4米，坡面上影长CD=3.2米．身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳．测量物体高度（1）小明想测量一棵树的高度AB，在阳光下，小明测得一根长为1米的竹竿的影长为0.6米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高AB为多少米．（2）小明在某一时刻测得1m的杆子在阳光下的影子长为2m，他想测量电线杆AB的高度，但其影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=2m，BC=10m，CD与地面成45°．求电线杆的高度．测得他的影长为2m．求树AB的长度。

小学生数学习题练习加法与减法的变式训练对于小学生来说，掌握基本的加法和减法运算是非常重要的。

通过练习加法与减法的变式，可以提高他们的数学技能和思维能力。

本文将介绍一些小学生数学习题练习加法与减法的变式，帮助他们更好地掌握这两种运算。

1. 一步运算：(1) 加法变式：a) 计算：15 + 8 = ____b) 计算：23 + 9 = ____c) 计算：37 + 16 = ____d) 计算：42 + 27 = ____(2) 减法变式：a) 计算：25 - 9 = ____b) 计算：38 - 12 = ____c) 计算：53 - 21 = ____d) 计算：68 - 32 = ____2. 两步运算：(1) 加法与减法混合运算：a) 计算：34 + 9 - 6 = ____b) 计算：45 - 8 + 12 = ____c) 计算：27 + 14 - 9 = ____d) 计算：53 - 17 + 25 = ____3. 横式运算：(1) 加法变式：a) 计算： 45+ 37__________b) 计算： 56+ 78__________c) 计算： 123+ 45__________(2) 减法变式：a) 计算： 68- 12__________b) 计算： 92- 34___________c) 计算： 123- 45___________4. 故事题：(1) 加法故事题：标明：甲班有25名学生，乙班有16名学生，请问两班共有多少名学生？解答：甲班有25名学生，乙班有16名学生，所以两班共有25 + 16 = 41名学生。

(2) 减法故事题：标明：小明手里有38颗糖果，他给了小红14颗，请问小明还剩下多少颗糖果？解答：小明手里有38颗糖果，他给了小红14颗，所以小明还剩下38 - 14 = 24颗糖果。

通过以上练习，小学生可以提高他们在加法和减法方面的灵活性和计算速度。

同时，通过故事题的练习，还可以培养他们的应用问题解决能力。

变式题,基本题,综合题,发展题,思考题的区别
一、变式题
变式题是指所用的思想方法类似，但形式不同的一类问题。

变式题有这样几种：
1、变条件，得出一种新题。

2、条件不变，变结论，得出新题型。

3、常量变成变量，使问题复杂，通过讨论才能解决问题。

4、条件，结论都变化，解法不变，得出新题型。

变式练习是指在其他教学条件不变的情况下，变化概念和规则的例证。

变式练习是学习以产生式表征的程序性知识的必要条件。

变式练习是知识转化为技能的关键途径。

在概念学习中，指向学生呈现概念的正反例证让学生进行辨别判断；在规则学习中，指给学生呈现多种有变化的问题情景，要求学生运用规则解决。

二、基本题
数学基本题就是那些课本上刚讲的知识点,在这些知识点后面做的相关的那些题目,这些基本上是基础题。

三、综合题
很多知识参在一起的叫综合题。

四、发展题
表示有一定难度的题。

目的是让学生在掌握数学基础知识和基本技能的基础上,解决在生产,生活中具有一定难度的数学问题,提高与发展学生的数学应用能力以及数学思维能力。

五、思考题
一些更具有思维价值的一种特殊的习题。

思考题不只是能够巩固知识技能,还可以培养学生的综合能力,特别是对创新能力的培养更是起着积极的作用,思考题不局限于某一形式,某一题型,可以是实验探究,资料搜集,还可以是某一知识(现象或反应)的拓展。

变式练习题一、选择题1. 某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每件产品的成本为10元。

如果该公司希望获得的利润为50万元，那么该公司需要生产并销售多少件产品？A. 1万件B. 5万件C. 10万件D. 15万件2. 一个数列的前三项分别为2, 3, 5，每一项都是前一项的平方根。

请问该数列的第四项是多少？A. 7B. 8C. 9D. 113. 一个圆的半径为10厘米，那么它的周长是多少？A. 20π厘米B. 40π厘米C. 60π厘米D. 80π厘米二、填空题1. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度为______厘米。

2. 一个函数f(x)=2x^2+3x+1，求它的导数f'(x)为______。

3. 将一个长为6厘米，宽为4厘米的矩形纸板剪去四个角，每个角剪去的是一个边长为1厘米的正方形，求剪后纸板的周长为______厘米。

三、计算题1. 计算下列不定积分：∫(3x^2-2x+1)dx。

2. 已知一个物体从静止开始下落，受到的阻力与速度成正比，比例系数为0.1，求物体下落5秒后的速度。

3. 某企业生产一种产品，其边际成本为C(x)=0.1x+1，固定成本为10万元，边际收入为R(x)=0.3x+20，求该企业在生产多少产品时能够达到收支平衡。

四、简答题1. 请解释什么是边际成本，并举例说明它在企业决策中的应用。

2. 描述一下什么是导数，并解释它在物理和工程学中的应用。

3. 解释一下什么是不定积分，并说明它与定积分的区别。

五、应用题1. 某公司计划投资一个新项目，该项目的初始投资成本为500万元，预计每年能够带来的净现金流入为100万元。

如果公司的资本成本率为10%，计算该项目的净现值。

2. 某工厂生产一种产品，每件产品的销售价格为50元，生产成本为30元。

如果工厂希望获得的利润为100万元，计算工厂需要生产并销售多少件产品。

3. 某公司计划发行债券，债券的面值为1000元，票面利率为5%，期限为5年，如果市场利率为4%，计算该债券的发行价格。

高中数学变式练习题及讲解### 高中数学变式练习题及讲解#### 练习题1：函数的性质题目：给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求该函数的最小值。

解答：首先，我们可以将函数 \( f(x) \) 进行配方，得到 \( f(x) = (x - 2)^2 - 1 \)。

由于 \( (x - 2)^2 \) 总是非负的，所以 \( f(x) \) 的最小值出现在 \( (x - 2)^2 = 0 \) 时，即 \( x = 2 \)。

此时，\( f(x) = -1 \)。

因此，函数 \( f(x) \) 的最小值为 \( -1 \)。

#### 练习题2：三角函数的恒等变换题目：证明 \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)。

解答：根据三角函数的倍角公式，我们知道 \( \sin(2x) = \sin(x + x) \)。

根据正弦的和角公式，我们有 \( \sin(x + x) = \sin(x)\cos(x) +\cos(x)\sin(x) \)。

将右边的两项合并，得到 \( \sin(2x) =2\sin(x)\cos(x) \)，从而证明了该恒等式。

#### 练习题3：立体几何题目：一个正四面体的边长为 \( a \)，求其体积。

解答：正四面体的体积 \( V \) 可以通过公式 \( V =\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \) 计算。

首先，我们需要计算正四面体的高。

正四面体的高可以通过勾股定理计算，设高为 \( h \)，则 \( h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2} =\frac{\sqrt{6}}{3}a \)。

然后，使用体积公式 \( V = \frac{1}{3} \times \text{底面积} \times \text{高} \)，其中底面积为\( \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \)，代入高 \( h \)，得到 \( V =\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times\frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \)。

四年级变式练习题一、选择题（每题5分，共20分）1. 54 ÷ 9 =A. 6B. 6.7C. 7D. 82. 下面哪个数不是奇数？A. 25B. 38C. 43D. 593. (8 × 3) + (7 × 2) =A. 38B. 44C. 48D. 524. 37 + 9 =A. 45B. 46C. 47D. 48二、填空题（每题5分，共15分）1. 24 ÷ 6 = ___2. 5 × 3 = ___3. 72 - 40 = ___三、计算题（每题10分，共30分）1. 爸爸昨天给小明100元，小明花掉了80元。

请问小明还剩下多少钱？2. 小红有5个苹果，她拿出3个和小明一起分享，请问小红还剩下多少个苹果？3. 星期一到星期三，小明每天早上跑步5圈，每圈距离为300米。

请问小明一共跑了多少米？四、解答题（每题20分，共40分）1. 小明得到一张钢琴演奏比赛的比赛表。

他观察到比赛表中规律如下：第1场比赛4个小时，第2场比赛减少30分钟，第3场比赛减少30分钟，第4场比赛又减少30分钟。

请问第10场比赛会持续多久？请写出你的解答过程。

2. 小明想要在一家玩具店购买一个价值45元的玩具。

他每周得到10元的零花钱，他计划用零花钱攒钱买玩具。

请问他需要多少周才能买到这个玩具？请写出你的解答过程。

参考答案：一、1. C 2. B 3. A 4. C二、1. 4 2. 15 3. 32三、1. 20元 2. 2个苹果 3. 4500米四、1. 第10场比赛会持续2小时30分钟。

解答过程：第1场比赛持续时间为4小时，从第2场开始，每场比赛减少30分钟，所以第2场持续时间为4小时-30分钟=3小时30分钟，第3场持续时间为3小时30分钟-30分钟=3小时，第4场持续时间为3小时-30分钟=2小时30分钟。

可以看出，第3场和第4场比赛持续时间相同，所以第5场和第6场、第7场和第8场的持续时间也相同，以此类推。

变式训练练习题四年级下四年级下册变式训练练习题变式训练是培养学生解决问题能力的重要方式之一，通过自主思考和灵活运用所学知识，帮助学生进一步巩固和拓展所学知识。

下面是一些四年级下册的变式训练练习题，希望能帮助同学们更好地复习和应用所学知识。

第一节：选择题1. ( ) 6 × 7 - 5 × 7 =A. 1 × 7B. 2 × 7C. 3 × 72. ( ) 72÷8 =A. 9B. 8C. 73. ( ) 已知一个长方形的长为15厘米，宽为8厘米，求它的面积。

A. 105平方厘米B. 125平方厘米C. 120平方厘米4. ( ) 请计算：8 × 2(8 + 2)A. 96B. 160C. 265. ( ) 如果一个正方形的周长是36厘米，那么它的面积是多少？A. 144平方厘米B. 81平方厘米C. 36平方厘米6. ( ) 甲园长14米，乙园长7米，乙园是甲园长的几分之几？A. 1/2B. 1/3C. 1/4第二节：填空题1. 请写出下列算式的答案：15 + 24 - 7 = ______2. 请写出下列加法算式的结果：28 + 17 = ______3. 请计算：56 ÷ 8 = ______4. 请计算：3 × (7 + 2) = ______5. 请写出下列乘法算式的答案：9 × 8 = ______6. 请计算：125 - 58 = ______第三节：解答题1. 请用竖式计算以下整数加法：56 + 22 = ______2. 请计算下列乘法：37 × 8 = ______3. 请算出下列数的和：17 + 25 + 13 = ______4. 请用长方形的面积公式计算一个长方形，长是18厘米，宽是5厘米的面积。

长方形的面积是 ______ 平方厘米。

5. 将72÷8的计算过程写下来，并写出答案。

变式练习 一、选择题1．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ） A ．f ：x →y ＝21x B ．f ：x →y ＝31xC ．f ：x →y ＝41xD ．f ：x →y ＝61x答案：A2．函数y ＝ax 2＋a 与y ＝xa（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）答案：D3．设M ＝｛x ｜－2≤x ≤2｝，N ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是（ ）答案：B 二、填空题4．设函数f （x ）＝⎩⎨⎧≤，＜，＋)2(2)2(22x x x x 则f （－4）＝____，又知f （0x ）＝8，则0x ＝____．答案：18 4或－65．如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______． 答案：V ＝2)2(x a x －｛x ｜0＜x ＜a /2｝6．给定映射f ：（x ，y ）→（x ，x ＋y ），在映射f 下象（2，3）的原象是（a ，b ），则函数f （x ）＝ax 2＋bx 的顶点坐标是________． 答案：（81，－161） 三、解答题7．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．图1表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，把上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图2中表示出来．图1图2答案：如下图：8．画出下列函数的图象．（1）y ＝x 2－2，x ∈Z 且｜x ｜≤2； （2）y ＝－2x 2＋3x ，x ∈（0，2］； （3）y ＝x ｜2－x ｜；（4）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤．－，＜－－，＜－＝2322323x x xx y 答案：。