例谈几何变式训练.doc

变式训练一、变式训练的含义变式教学在中国由来已久，被广大教师自觉或不自觉地运用. 心理学研究表明：“概念的本质特征越明显，学习越容易，非本质特征越多，学习越困难”. 所谓变式就是变更概念或问题的认识角度，以突出概念或问题中那些隐蔽的本质特征，以便学生在变式中思维，从而使学生更好地掌握概念或问题的本质规律. 具体来说，变式训练注重问题的情境变化，把一些解决问题的思想和思路相同或相关的题目用变式的形式串联起来，在变式中（条件变化、形式变化、结论发散、适时引深、过程变化、背景复杂化等等）求不变，从而使学生在解决变式的问题中，感受知识的形成过程，并获得对知识的概括性的认识，提高学生识别、应变、概括的能力，促进学生思维的发展.变式训练其主导思想是：面向全体学生，抓基本，重宗旨，促进全面发展，提高学生综合素质. 其教学思想采用从特殊到一般的归纳法，这有益于学生创新思维的发展. 其教学方法不同于传统的“灌输”法，也不同于“题海战术”，它是在教师的指导下，放手让学生自己去探究、尝试、归纳、总结，从而使学生解决问题的思路由窄变宽，由低到高，分析问题、解决问题的能力逐渐提高，主动钻研的精神和创新思维得到培养，创新能力得到增强.二、变式训练在数学解题教学中的实施数学教学离不开解题训练，变式训练作为在数学解题教学中实施的一种手段，要求教师要有组织地对学生进行变式训练，训练的思维性要有一定的梯度，逐渐增加创造性的层次. 变式训练可以实施在数学解题教学的不同阶段，如用于对概念的理解、掌握和形成的过程中；用于巩固知识、形成技能的过程中；用于对问题引申的过程中；用于解决问题的过程中；用于阶段性综合复习的过程中，等等. 学生通过变式训练，解决这些变化性的问题，便能更清楚地理解概念的本质，更快地探求解题规律并形成技能.1. 用于对概念的理解、掌握和形成的过程每一个数学概念都有一个形成的过程，在进行对数学概念的教学过程中，教师向学生提供变式，让学生体验这个概念的形成过程，促使学生对相关知识进行比较，分析出其中最本质的成份，并对它们进行概括. 如在学习三角形的高这一概念时，教师为学生提供一些在形状（锐角、直角、钝角三角形）位置等方面变化的不同三角形的高的典型题目，让学生从多角度理解并对几种典型高的变式进行思维加工，从中抽象、概括出三角形高的概念. 同时，通过变式训练，使学生懂得怎样从事物千变万化的复杂现象中抓住本质，举一反三，从而培养学生的概括能力以及思维的深刻性和灵活性.2. 用于巩固知识、形成技能的过程变式训练不仅在形成概念的教学中具有重要作用，而且在掌握知识，启发思维，形成技能中也具有着重要作用. 在学习了概念后，教师或学生若能把课后练习或习题进行选择分类，排列层次，适当变式，然后进行训练，会收到事半功倍的效果. 如学习了平方差公式后，教师对书后习题适当调整或进行变式，并做有序练习：①（3x + 2y）（3x - 2y）；②（m + 2n）（2n - m）；③（-2a + b）（-2a - b）；④（-5a - 3）（5a - 3）；⑤（-m + 1）（-m - 1）（m2 + 1），效果定会良好.3. 用于数学问题引申的教学过程适时地对数学教学中的问题进行引申变式，可以培养学生的应用能力和创新能力. 如对高中解析几何题：△abc的两个顶点a，b 的坐标分别是（-6，0），（6，0），边ac，bc所在直线的斜率乘积等于- 求顶点c的轨迹方程. 进行引申变式练习，变式1：若边ac，bc所在直线的斜率乘积为求顶点c的轨迹方程. 变式2：若两个顶点a，b的坐标分别是（a，0），（-a，0），边ac，bc所在直线的斜率乘积为- a > b），求点c的轨迹方程. 变式3：若ac，bc所在的直线的斜率乘积等于 a > b），求点c的轨迹方程. 变式4：若ac，bc所在直线的斜率乘积等于常数k（k ≠ 0），求点c的轨迹方程. 学生通过解决这些变式性的题目，可以创造性地发现椭圆和双曲线还可以有新定义.4. 用于解决问题的过程在解决数学问题时，一条基本思路就是“将未知的问题化归为已知的问题，将复杂的问题化归为简单的问题”. 但由于未知（复杂）问题与已知（简单）问题之间往往没有明显联系，因此需要设置一些过程性的多层次的变式，在两者之间进行适当铺垫，作为化归的台阶，从而使学生对问题解决过程本身的结构有一个清晰认识，这有益于提高学生解决问题的能力，同时也培养了学生的创新思维.当然，变式训练还可以实施在数学解题教学的其他过程中. 同时变式训练的方法可以灵活多样，可以是教师有组织的变式训练，也可以是学生自编题目进行的变式训练. 变式训练可以灵活多样，可以是一些相关题目组合，也可以是一个题目分层次的变化，等等.三、结论《数学课程标准》指出：“既要关注学生学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展，既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学实践活动中表现出来的情感与态度……”教学应是教与学相互统一的过程，学生积极性、主动性的调动，全在于老师创造性地发挥与教学技巧的恰当运用. 总之，变式训练在中学数学解题教学中是富有成效的训练途径. 它符合基础教育课程改革的新形势，有利于克服教学只重结果，而轻过程的现象，也有利于避免学生死记硬背，单纯接受知识的学习方式. 对学生实施变式训练，不仅使中学数学的“双基”教学得到了进一步的加强，而且可使学生亲身体验到了数学知识的形成过程，提高了学生理解、探究、掌握和运用数学知识的能力. 更重要的是培养了学生创新思维的综合品质，促进了学生创新能力的发展.。

例谈初中数学教学中变式题的应用技巧初中数学教学中，变式题是非常重要的一部分。

变式题能够帮助学生理解数学知识，并且提高他们的解决问题的能力。

本文将介绍一些关于初中数学教学中变式题的应用技巧，希望能够对教师和学生有所帮助。

一、培养学生的逻辑思维能力在教学过程中，教师应该注重培养学生的逻辑思维能力。

变式题往往需要学生进行逻辑推理，找出其中的规律。

教师可以通过分析变式题的解题思路，向学生展示逻辑推理的过程，引导学生学会从已知条件中推断出结果。

在课堂上，教师还可以设计一些有趣的逻辑推理游戏，帮助学生提高逻辑思维能力，从而更好地理解变式题的求解方法。

二、注重培养学生的解决问题能力变式题的求解过程往往需要学生进行灵活的思维和分析，教师在教学中应该注重培养学生的解决问题能力。

可以通过设计一些实际生活中的问题，让学生运用所学的知识去解决，帮助学生理解抽象的数学知识，并且提高他们的解决问题能力。

在课堂上，教师可以组织学生进行小组讨论，让学生通过交流和讨论，学会倾听他人的观点，发现问题的不同解决方法。

三、设计丰富多样的练习题目为了帮助学生更好地掌握变式题的求解方法，教师应该设计丰富多样的练习题目。

变式题的种类很多，包括代数式的变式、几何图形的变式等等，教师可以根据学生的实际情况，设计不同类型的练习题目。

教师还可以根据教材内容，设计一些拓展性的练习题目，帮助学生更加深入地理解变式题的求解方法。

四、注意引导学生发现问题的变化规律在变式题的教学中，教师应该注重引导学生发现问题的变化规律。

变式题的求解过程往往涉及到问题的变化规律，教师在引导学生解题的过程中，应该注重启发学生思维，帮助学生通过观察和分析，找出其中的规律。

在课堂上，教师可以通过举一反三的方式，设计一些相关的问题，让学生通过比较和分析，发现问题的变化规律。

五、关注学生的学习习惯和方法在变式题的教学过程中，教师还应该关注学生的学习习惯和方法。

变式题的学习需要学生有很好的思维习惯和解题方法，教师可以通过课堂讲解、作业布置等方式，引导学生建立正确的学习习惯和解题方法。

模块二常见模型专练专题28 截长补短模型例1（2021年·四川广安·中考真题）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积．(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 cm2．(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．【答案】(1)12.5(2)(3)不是，，【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形的面积，从而可以得到四边形的面积；（2）由勾股定理可得，由配方法可求解；（3）由平行四边形的性质可得，，由勾股定理可求，由配方法可求的最小值，即可求解．【详解】（1）解：由题意可得，，，则的面积，即四边形的面积为，故答案为：12.5；（2）解：，，，，当时，取最小值，最小值为2；（3）解：如图，过点B作于H，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，当时，有最小值，即的最小值为，此时：，，是等边三角形，．综上可知，不是定值，的最小值为，此时平行四边形的面积为．本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的中考真题）如图，四边形是内正方形，是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接．(1)若点P是弧上一点，①∠BPC度数为___________；②求证：；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在的延长线上截取点E．使，连接．(2)探究当点P分别在，，上，求的数量关系，直接写出答案，不需要证明．【答案】(1)①，②见解析(2)；；；证明见解析【分析】（1）①理由正方形的性质和圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可；②在的延长线上截取点E．使，连接，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质解答即可；（2）利用截长补短法，依题意画出相应图形，按小明思路完成解答即可．【详解】（1）①解：，理由：∵四边形是正方形，∴，∴的度数为，∴，故答案为：；②证明：在的延长线上截取点E，使．连接，如图，∵四边形是内接正方形，∴，又∵点P在上，∴四边形为内接四边形∴．在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴；（2）当点P在上时，；在上取点E，使，连接，如图，∵四边形是内接正方形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴；当点P在上时，，在上取点E，使，连接，如图，∵四边形是内接正方形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴；当点P在上时，，理由：在的延长线上截取点E，使，连接，如图，∵四边形是内接正方形，∴，又∵点P在上，∴四边形为内接四边形∴．在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．∴为等腰直角三角形，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用截长补短法，构造恰当的辅助线解答是解题的关键．模型截长补短截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。

例谈变式训练在课堂教学中的运用【摘要】变式训练是一种教学方法，通过反复练习同一知识点的不同变式，促进学生对知识的深入理解和灵活运用。

在课堂教学中，变式训练不仅可以提高学生的学习兴趣和参与度，还可以帮助他们培养逻辑思维、问题解决能力和学习策略。

采用多样的方法和技巧进行变式训练，如递进式发问、案例分析和游戏化教学，能够激发学生的思维潜能，提高学习效果。

不同学科可以根据具体知识点和学生特点有针对性地运用变式训练，进一步增强教学效果。

通过对变式训练的效果评价，可以及时调整教学方法，提升教学质量。

变式训练在课堂教学中具有重要意义，有助于提高学生成绩和综合素质的培养。

【关键词】变式训练、课堂教学、概念、特点、意义、方法、技巧、不同学科、效果评价、结论。

1. 引言1.1 引言变式训练是指通过对知识或技能进行变异、组合、扩展等方式进行训练，以提高学生的学习能力和创新能力。

在课堂教学中，变式训练是一种常见的教学方法，通过设计不同形式的练习题目和活动，引导学生运用所学知识解决问题，培养其思维灵活性和创造力。

变式训练的本质是在原有知识基础上进行变化和拓展，让学生不仅掌握基本概念和方法，还能灵活运用于各种复杂情境中。

通过不同形式的变式训练，学生可以更好地理解知识点，提高问题解决能力和学习深度。

在实际教学中，教师可以通过设计不同难度和形式的变式训练题目，激发学生的学习兴趣和主动性。

变式训练还可以帮助学生巩固知识、整合知识、拓展知识，提高学习效果和成绩表现。

变式训练在课堂教学中具有重要意义，是促进学生思维发展和能力提升的有效手段。

2. 正文2.1 变式训练的概念与特点变式训练是指在教学中通过设计不同形式和难度的题目，让学生在掌握基础知识的基础上进行灵活运用和拓展，以提高他们的学习能力和解决问题的能力。

变式训练的特点包括：1. 灵活多样：变式训练可以通过设计不同形式的题目，如填空题、选择题、解答题等，以适应不同学生的学习方式和能力水平。

浅谈初中数学教材几何习题的变式教学摘要：初中数学具有较强的抽象性和逻辑性，必须让学生深入理解知识的本质，才能够提高学生学习效果，实现知识的迁移运用。

习题变式教学有助于学生深入理解知识本质，落实一题多解、多题一法。

为强化初中几何教学效果，本文通过文献法和经验法对几何习题变式教学进行了研究，从变式教学的意义和策略两方面展开详细研究，以供参考。

关键词：初中数学；几何习题；变式研究引言：随着教育教学改革的深入，提升学生的核心素养变得愈发重要。

在这样的教育背景下，教师应该注重教学模式的优化，提高学生学习自主性，让学生在学习知识、训练技能的过程中，核心素养能够得到提升。

几何习题变式教学在核心素养培养上具有积极作用，赋予了学生更多的思考空间，在一定程度上加强了学生对几何基础知识的理解，能够促使学生深度学习，进行几何习题的探索。

基于此，教师应当注重初中数学教材几何习题的变式教学，以提高学生学习效果。

一、初中数学教材几何习题变式教学的意义在初中数学几何教学中，教师进行习题变式教学对学生核心素养的提升具有积极意义。

在传统的几何教学中，关于结合概念等知识学生习惯死记硬背，这样的学习模式下，学生的思维十分固定，只能解决标准化习题。

当题目出现一定的变形时，很多学生就会不知所措，主要原因在于不能理解知识的本质。

教师通过几何习题变式教学，可以让学生通过不同的习题深入感知几何概念，提高学生举一反三的能力。

除此之外，几何习题变式教学强调以学生为中心，引导学生主动进行知识的探索和分析，有助于学生学习兴趣的提升，强化学习效果。

二、初中数学教材几何习题变式教学的策略（一）注重习题典型资源的收集与分析从近几年中考数学几何习题上分析，很多题目源于教材中的习题，对教材中的习题进行了变式，难度并不大。

但是从学生们做题的实际情况上看，教材中涉及的几何题目，大部分学生都能够进行正确解答，但是对于中考的变式题目，很多学生在做题中出现了问题。

基于此，教师在进行教材中几何习题教学的过程中，不应该局限在教材题目中，应该适当进行习题变式，让学生以递进的形式进行习题练习，以此来促使学生深入理解知识的本质，对几何变形题有深刻的认识。

例谈变式在数学教学中的应用泉州七中吴大勤在教学一线的大部分教师可以说工作勤勤恳恳，把自己的知识毫无保留的传授给学生，但学生掌握知识的效果却给我们以极大的反差：许多我们认为学生已掌握的知识，在一次次考试中，只要对问题的背景或数量关系稍作演变，有的许多学生就无所适从。

许多实例也表明：在讲解时教师直接把自己的解题思路灌输给学生，就题论题。

对一些学生薄弱的地方没有进行深入的思考，处理方法单一，缺乏演变，再加上学生参与不够，这样的课堂就变得枯燥无味，而大量单一的、重复的机械性练习，达到的不是“生巧”，而是“生厌”，它不仅对学生知识与技能的掌握无所裨益，而且还会使学生逐步丧失学习数学的兴趣。

要改变上面所提到的现状，提高学生的学习兴趣，取得更佳的效果，关键是我们的数学课堂教法上要有所改变------变式教学是有效的、重要的教学手段，下面我结合教学实例，谈谈我的几点体会：一．变式教学对新概念教学的促进作用: 概念，在数学课中的比例较大。

能否正确理解概念，是学生学好数学的关键。

概念通常比较抽象，学生感觉枯燥，学习起来索然无味，对抽象概念的理解就显困难。

通过变式等手段，不仅能有效的解决这一难题，使学生渡过难关，而且还可加深学生对概念内涵和外延的更深层次的理解。

如在讲分式的意义时，一个分式的值为零，是指分式的分子为零而分母不为零，因此对于分式321X X +-的值为零时，在得到答案x=-3时。

实际上学生对“分子为零而分母不为零”这个条件还不是很清晰，难以辨析出学生是否考虑了“分母不为零”这个条件，此时可以做如下变形： X 31X _____X 32X-1X 32X X 3X-3-=±-=-变式：当时，分式的值为零（此时）变式： 当_____时，分式的值为零（此时） 所以说，运用变式教学，不仅能加深学生对新知识的理解、解决难点，还能对概念内涵和外延的更深层次的理解，增加课堂思维量，提高课堂教学有效性。

二．变式教学有利于培养学生良好的思维品质。

变式训练在初中数学教学中的应用一、变式训练的概念和特点1. 变式训练的概念变式训练是指在数学学习中，通过变化问题的形式和内容，使学生在相同类型的问题中反复训练，提高解题的灵活性和对问题的把握能力。

变式训练不仅可以帮助学生掌握解题技巧，还能培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

二、变式训练在初中数学教学中的应用1. 适应教学需求，提高学生的解题能力初中数学学习要求学生具有较高的数学运算能力和解题能力，而变式训练可以帮助学生在相同类型的问题中不断训练，从而提高学生的解题能力。

在代数中，通过变式训练可以让学生掌握各种代数运算的方法和技巧，提高解题的准确度和速度。

2. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力初中数学教学既要求学生掌握基本的数学知识和技巧，同时也要求学生具有较强的逻辑思维和问题解决能力。

变式训练可以通过不同形式和内容的问题训练，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力，使学生能够在实际问题中运用所学的知识和方法进行解决。

3. 帮助学生建立数学信心，增强学习兴趣在学习数学的过程中，许多学生会因为解题困难而失去信心，甚至产生对数学学习的抵触情绪。

而变式训练可以通过连续反复的训练和技巧的掌握，帮助学生建立数学信心，增强学习兴趣，从而提高学生的学习积极性和主动性。

4. 注重实践操作，提高数学学习的效果变式训练在初中数学教学中的应用，不仅要注重知识点的训练，还要注重实际问题的解决和应用。

通过实践操作，可以帮助学生更好地理解和应用所学的知识，从而提高数学学习的效果。

在几何学习中，通过变式训练可以让学生更好地掌握几何图形的性质和定理，提高几何问题的解题能力。

三、变式训练在初中数学教学中的实际案例下面通过一个实际的案例，介绍变式训练在初中数学教学中的应用。

案例：小明学习了一元一次方程的解法后，老师设计了一组变式训练题目进行练习。

题目如下：1）求解方程2x+1=5；2）求解方程3x-2=7；3）求解方程4x+3=11；4）求解方程5x-4=13。

《几何图形》例题讲解与变式知识点1：生活中的立体图形例1请你分别举出在学校中常见的类似于下列几何体的两个实例．长方体：圆柱体：圆锥体：棱柱体：球体：分析要举出实例，我们必须掌握这几种几何体的特征．如长方体是由六个面组成，至少有四个面是长方形，另两个面可能是长方形，也可能是正方形，并且长方体相对的两个面是完全相同的两个长方形式正方形．所以，我们在学校常见的装墨水瓶的纸盒，桌子上平放的教科书等．解长方体：装墨水瓶的纸盒，桌子上平放的教科书．圆柱体：没有使用过的圆柱形铅笔，圆柱形水桶．圆锥体：学校实验室里用的圆锥形漏斗的圆锥形部分，圆口形防火用桶的底部．棱柱体：师生骑的自行车上的六角螺母，楼房中的混凝土房梁．球体：学校的体育用品足球、乒乓球．点评：（1）我们在把学校实验室里用的圆锥形漏斗的圆锥形部分看成圆锥时，我们是把圆锥形部分和管的接口看成了一点．（2）圆柱体和棱柱体自身的上下两个底面是完全相同的两个图形，否则就不是圆柱体或棱柱体．如上底大、下底小的圆口形水桶，就不是圆柱体．变式练习1在下面四个物体中，最接近圆柱的是（）变式练习2 如图，上面一行是一些具体的实物图形，下面一行是一些立体图形，试用线连接立体图形和类似的实物图形．参考答案：1、C2、知识点2：几何体的分类例2把下面几何体的标号写在相对应的括号里．长方体：（）棱柱体：（）圆柱体：（）球体：（）圆锥体：（）分析该题就是按括号前给出的几何体的名称进行分类，属于哪类的图形就把这个图形的标号写在对应的括号中．解长方体：（（2）（5）（8））棱柱体：（（2）（4）（5）（8））圆柱体：（（1）（3）（6））球体：（（7）（9））圆锥体：（（10））点评（1）在判断几何体的类别时应注意抓住几何体的本质特征，不要受几何体的摆放角度所影响，如（1）（3）（6）虽然大小不一样，摆放的角度也不一样，但都是圆柱体．（2）长方体、正方体都符合棱柱体的特征，所以都是棱柱体．变式练习1 指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．变式练习2观察图中的立体图形：（1）分别写出它们的名称．（2）请将以上几何图形分类，并说明理由．参考答案：1、①②⑤⑦⑧是柱体；④⑥是锥体；③是球．2、（1）它们的名称分别是：球；六棱柱；圆锥；正方体；三棱柱；圆柱；四棱锥；长方体；（2）分类：①球体：球．②柱体：六棱柱，正方体，三棱柱，长方体：③锥体：圆锥、四棱锥．知识点3：点、线、面、体例3 图中的立体图形是由哪个平面图形旋转后得到？请用线连起来．分析三角形旋转可得圆锥，长方形旋转得圆柱，半圆旋转得球，结合这些规律直接连线即可．解如图．点评熟记常见平面图形旋转可得到什么立体图形是解决本题的关键．变式练习1 如图，各图中的阴影图形绕着直线l旋转360°，各能形成怎样的立体图形？变式练习2如图，第二行图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，请用线连接起来．参考答案：1、圆柱、圆锥、球．2、。

上海中学数学• 2020年第7 —8期例谈直线型几何图形变式的常见路径324400 浙江省龙游县教育局教研室徐伟建摘要：直线型几何图形变式是数学变式问题的重要类型之一.笔者围绕初中阶段学习的直线型几何图形类型，举例分析其变式的常见路径，引导教师洞悉图形变式“套路增强图形变式设计的意识和能力，帮助学生提高对图形变式问题的分析能力，提炼类比、化归等数学思想方法，促进学生解题经验的迁移运用.关键词：直线型；几何图形；变式路径郑毓信教授说：“知识求连，方法求变，问题求活.”;1问题求活，要求教师不仅要着眼问题的具体解法，还要善于挖掘问题内涵，探索问题的衍生点，对问 题进行变式设计.变式探究可以使学生感受到知识的生成与发展过程，从而深化教学内容，揭示问题本质. 促进学生实现思维变通，提高学生的学习效率.在数学教学中，问题变式种类繁多，而直线型几何图形（以下简称几何图形）的变式无疑是重要类型之一.加强图形变式路径的探究，有利于教师洞悉罔形变式“套路”，增强对变式问题的分析、设计能力. 初中阶段学习的几何图形主要包括点、线、角、形（如 三角形、四边形）等，且研究了图形的形状、大小和位 置.笔者举例分析几何图形的类型.阐述几何图形变式的常见路径.变式当点P分别在图卜2至图1-5所示的位置时^/^尸召^尸^^户仟有怎样的数量关系？请你写出探究结论，并利用图1-4证明你的结论.一、变换几何图形的位置图形位置是几何图形研究的主要内容之一.通过改变图形的位置，学生可以从不同角度、不同层次 重新认识图形，揭示图形的本质特征，这是图形变式的常用路径.探究此类变式图形，可有效提升学生识图、用图能力，渗透数学思想方法.(—)点动点是最基本的几何图形，也是构成其他图形最基本的元素，点的位置变化，自然会牵动线与角的变化.从而改变图形结构•形成更深刻的数学问题.教学中，让静态的点“动”起来，可使呆板的图形“活”起 来，单一的习题“富”起来.例1如图卜1，矩形 4A B C D和点P,且点P在B C边上.求证：P A2 +P C2 =P B2B+P D-.解析：在R t A A B P以及图1-1Rt A D C P中，由勾股定理得P A2 — P B2 =P D2 -F C2,可得 P A2+P C2=P B2+P D2.解析：类比原问题方法，图卜2、图1-3中，结论P A2+PC'2=P B2+P D2 成立.图 1-4 过点 P 作 A D 边的垂线，分别交边于点£、R如图1-6所 示），则P A2 —P£2 =P B2 — P F2①，P D2 — P£2 =P C2— P F2②，①一②得 P A2— P D2 =P B2 —P C2成立.图1-5可类=P圧+P D2成立，F图1-6得结论 P A2+PC'2=P B2+P D2比图1-4解法，结论+=评注：例1是把点P在线段B C上，变换到在直线上、矩形内部、矩形外部等不同位置，由于点P位置的变化.引起线段P A、P B、P C、P D的变化.通过图形变式，问题层次得到深化，图卜2、图1-3可直接利用R t A A B P和 R t A D C P，由勾股定理得到；图卜4、图1-5需构造直角三角形•冉运用勾股定理解决.这既强化了对矩形性质、勾股定理的运用，又揭示了点P与矩形各个顶点的连线段之间存在的本质联系.例2如图2-1，已知A B//C D,请你猜想Z B、Z£、Z D这三个角有何关系，并说明理由.2上海中学数学• 2020年第7_8期变式探究图2-2、图2-3中这三个角的关系.探究图2-4、图2-5中这三个角的关系.探究图2-6中Z C 、Z £、Z 1这三 个角的关系.4--------------------------7 BA ______________图2-1图2-2评注：例2是通过改变图形中一个点（点JT或点 D )的位置（如图2-2、图2-3、图2-4所示），或改变两 个点的位置（如图2-5、图2-6所示），引发相关角度的 变化.通过对一系列变式图形的探究，揭示解决平行 线问题时添加辅助线的基本策略，即化归到“两条平 行直线被第三条直线所截”,学生自然明白该如何添 加辅助线、为什么要这样添加辅助线、有多少种方法 添加辅助线.(二)线动线是由点组成的基本图形，又是构成其他几何 图形的元素，通过改变线的位置（常见的有旋转或平 移变换），让图形经历从特殊到一般的变化过程，从 而揭示图形的本质属性，这是变换图形位置的又一 种惯用手法.此类变式问题，可以有效渗透化归、类 比、分类讨论等数学思想方法.例 3如图3-1，A B //C D . P B 和P C 分别平分 Z A B C 和 Z D C B , A D 过点 P.fi A D ±A B .(1) 说明R 4=P D 的理由.(2)B C 、A B 、C D 有什么 数量关系，为什么？解析：通过添加辅助线.构造出与A P A B (或 A P C D )全等的三角形，可证得= P D ,并得到B C =A B + C D .解法如下，如图3-2.构造与A /M BBA图3-1全等的三角形，有四种方法，①过点p 作p e 丄B r 于点 £：，则(H .L.),再证 A P C D gA P C £;②过点P 作ZB P £ = Z B P A ……③在BC ’上截取B £ = B A ....④如图3-3,延长B P 交CD 于点E ,先判定△B C £是等腰三角形，可得B P = £P ,再证得笤A D £P.BAPC D图3-2图3-3变式如图3-l，A B //C D ,P B 和P C 分别平 分和Z D C B ,A D 过点P ，且A D 与不垂直，那么f M = P D 还成立吗？ B C 、A B 、C D 的数量 关系还存在吗？解析：当A D 与A B 不垂直时，需分类讨论，有 图3-4至图3-6所示的三种情形.图3-4类比原题 方法，易得P A = P D ，B C =A B + C D .图3-5点A 在 点B 的左边，有两种方法，①如图3-7,延长 A B ('£是等腰三角形，则B P = E P ,再证明笤A D £P ,结论 P A = P D ,C D = A B + B C ;②如图 3-8,延长C B ，在延长线上取一点£，再类比原问题 解法，可构造A E B P 2 A A B P ，再证A P C D 笤 A P C T .图3-6点D 在点C 的左边，A B 为最长边，可 类比上述方法，求得结论P A =P D ,A B =B C +C D.B AA BB/Im 3-7图3-8上海中学数学• 2020年第7 —8期3评注：该题是将图3-1的线段A D绕点P进行旋转变换，由于旋转方向不同，需要分类讨论.如何分类？要分几类？为什么要这么分类？通过这些生成问题的思考，有效渗透分类讨论思想.从变式图形3-4至图3-6可以看出，线段A D的位置由特殊(A D丄A B)到一般（A D与A B不垂直），问题探究渐次深人，容易激起学生探究欲望.变式图形看似复杂，但探究方法均有“源”可寻，各变式图形均可直接或间接类比原题解法，让学生的学习活动经验发生正向迁移，有效渗透由特殊到一般、类比等数学思想方法.例 4 如图4-1，在正方形A B C D中，£、F分别是C D、A D上的点，A£1B F.求证:A£=B R变式1若平移图4-1中的线段A£，得到图4-2，G£丄B F.求证：G£=B F.变式2若平移图4-1中的线段A E和B F，得 到图4-3至图4-5,且G£1H F.求证:G£=H R 评注：图4-2至图4-5四个变式图形均是平移图4-1中的一条线或两条线的位置，将“A£、B F过 顶点A、B”变为不过顶点，线由正方形内部逐渐平移到正方形外部.随着线的位置变换，从直接判定两个三角形全等，到需要添加一条辅助线构造全等三角形，再到添加两条辅助线构造全等三角形，让学生 认清，线动是表象，形动（-.角形）才是本质.图4-4图4-5(三)角动边和角都是构成几何图形的元素，通过平移或旋转线的位置，可以对图形进行变式拓展.同样.保持角度的数量不变，只改变角的位置，也可以让图形经历从特殊到一般的变化过程，从而改变图形结构，形成更深层次的探究问题.例5 如图5-1，在正方形A B C D中，Z M A N=45°，且 B M=D N,求证：•B M+D J V s M N.解析：如图5-2,采用补短法，延长C B至点£，使得B£=D N，连接A£,证得竺A A B£，再 证得 A A M N2A A M E.图5-1 图5-2变式1将Z M A i V绕点A顺时针旋转，若关D N时（如图5-3)，则线段B M、D/V和MJV之间有怎样的数量关系？写出猜想并加以证明.变式2 继续将Z M A i V绕点A顺时针旋转，使Z M A/V与C B、D C的延长线分别交于点M、N(如图5-4)，则 线段S M、D N和M i V之间又有怎样的数量关系？解析：变式1类比原问题证法，结论B M+D N=M N;变式2采用截长法，如图5-5,在D C上截取D F=B M,v E n A A D F^A A B M,A A M N给A A F N，结论 D N—B M=M N.图5-4 图5-5图5-3评注：该题保持Z M A N的度数不变，通过旋转变换改变其位置，问题由浅人深、层层递进.当图形结构不变时（如图5-3所示），探究方法直接类比原问题，采用补短法；当图形结构改变时（如图5-4所 示），则间接类比，采用截长法，再迁移运用原问题的解法.通过变式探究，体现了数学思想方法的统一性与灵活性，渗透对立统一的辩证思想.(四）形动形动，即通过改变几何图形中局部图形的位置，对问题进行变式拓展，此类几何图形变式比较常见，也比较综合，对学生获取图形信息和处理信息的能力有较高要求，体现能力立意的理念.在探究形动的变式问题时，应结合图形.把握题意，将形动化归为点动、线动或角动，从中找到变化中蕴含的不变本4上海中学数学.2020年第7-8期质，这是解决问题的有效策略.例6如图6-1,在菱形A B C D和菱形B£F G 中，点A、B、£在同一条直线上，P是线段D F的中 点，连接P G、P C,若 Z A B C=Z B£F=60°，探究P G与P C的位置关系及P G : P C的值.解析：如图6-2,延长G P交C D于点T，证得△ P G F2A P T D，则 D：T =G F=G B，得 C T=C G，在等腰A C T G中，P是T G的中点，P C丄P G，评注：该题通过旋转整体图形中的局部图形一-菱形B£F G，对图形进行变式拓展，变式设计遵循了学生的认知特点，从特殊到一般，循序渐进. 菱形B£F G位置的变换引起边F G、B G的位置变动，从而带动A P G F和A B C G的位置、形状及大小改变，图形变化更加复杂，但万变不离其宗，分别寻找并判定与A P G F、A C B G全等的三角形，这一解题方法始终不变.Z P C G=60。