,12
D. 0,12
高中数学阶段测试
测试范围：圆锥曲线、数列、三角函数、不等式
考试时间：120分钟
本套试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，满分
150分.
第I 卷（选择题，共60分）
、选择题：（本题共12小题，每小题 5分，共60分?在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.）
n
1
6.若S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，且S n
，则
（ ）
n 1 a 5
D . 30
A . 45 °
B . 135 °
C . 45。或 135 °
D .以上答案都不对
4.抛物线 y
4x 2 的准线方程是（
)
A. y 1
B. y 1
C.y 丄
16
1 D. y
16
5.若椭圆 2
x a
2
y
b 2
1 a b 0 的离心率为——，
2 则a ()
b
A . 3
B .
2
C. ■. 3 D . 2
3.在△ ABC 中，A=60 °，a )
1 1
2 .
A . Ina Inb
B.— —
C . a ab
a
b
2 2
D . a b 2ab
p 是真命题
D . q 是真命题
4. 3，b 4 2，则 B=(
1.已知a b ，则下列不等式中恒成立的是（
2 .若p 是真命题，q 是假命题，则（ ）
A . p q 是真命题
B . p q 是假命题
C .
30
1(m R)
2
y_ x21有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为
( )
A.y3x
B.y x
C. y
3
x y 1 0
&实数x, y满足x2y3 0，若4x
2x y 6 0
A.,0
B.,4
C.
1 x
3
D. y3x
y m恒成立, 则实数m的取值范围是（)
7.已知双曲线my2 x2与椭圆
2
9. 已知等差数列a n满足2a3 a8 2如0，且数列b n是等比数列，若b s ，则b qg
（）
A.32
B.16
C.8
D.4
10. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：今有五人分五钱，令上二人所得与下
三人等，问各得几何.”其意思为已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、
戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（钱”是古代的一种重量单位） .这个问题中，甲所得为（)
5 “ 4 “ 3 “5“
A. -钱
B. 钱
C. -钱 D .一钱
4323
2 2
11 . 直线y 、、3x与椭圆2 1（a b0）交于A B两点，以线段AB为直径的圆恰好
a b
经过椭圆的右焦点, 则椭圆C的离心率为（)
A. 乜
B
. 3 1C. .3 1D. 4 2.3
22
12 .
2
抛物线y2px（p 0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足
AFB —，设线段AB的中点M在I上的投影为N，则|MN-1的最大值是（）
3 |AB |
A. 3 B .乜C.乜 D .乜
2 3 4
第U卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13?用含有逻辑联结词的命题表示命题’Xy 0的否定是 ___________________________ .
2 2
15.椭圆mx ny 1与直线x y 1 0相交于A,B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的
斜率为二，则m的值为_____________________ .
2 n
2
16?设命题甲：关于x的不等式x 2ax 4 0有解，命题乙：设函数f（x） log a（x a 2）在
区间（1,）上恒为正值，那么甲是乙的 _______________________ 条件.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分?解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17 .设S n是等差数列a n的前n项和，已知S3 6，a4 4 .
14?在ABC 中，若a2 b2 c2.3ab，则C =
(1)求a, b ； ( 2 )解不等式 x c ax b
19.
ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2cosC(acosB+b cosA) G
(I )求C ; (II )若c -J 7, ABC 的面积为 ------------,求VABC 的周长.
2
20.
某外商到一开放区投资 72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费 12万美元，以后每年
增加4万美元，每年销售蔬菜收入 50万美元.
(1) 若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？ (2) 若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案
：①年平均利润最大时以 48万美元出售该厂; ②
纯利润总和最大时，以 16万元出售该厂，问哪种方案最合算？
x 2 y 2
1 一
21. 已知椭圆 2- 一2 1(a b 0)的离心率为 ，短轴的一
个端点到右焦点的距离为
2
a b
2
'
(1) 试求椭圆M 的方程；
(2) 若斜率为1的直线I 与椭圆M 交于C 、D 两点，点”1, 3)为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜
2 2 率为k 1，直线PD 的斜率为k 2，试问：k 1 k 2是否为定值？请证明你的结论.
(1)求数列a n 的通项公式; (2)若 b n
3an1 3an ，求
b n
的前 n 项和
2
18.已知不等式ax 3x 6
4的解集为 xx 1或x b
3
22 .已知数列a n的前n项和为S n, a1,2S n n 1 a n 1 n 2 .
2
(1)求a2, a3, a n的通项公式；
1 * 7
(2)设b 2 n N ，数列b n的前n 项和为T n，证明：T n nN
a n 1 10
桂林中学2016—2017学年上学期期考模拟考
高二年级数学科文科答案
、选择（本大题共12小题，每题5分，满分60分）
17. （本题满分10分）
18. （本题满分12分）
所以a,b的值分别是1,2……6分
(2) 把a1,b 2代入(x c)(ax b) 0,
得(x c)(x2) 0.
当c2时, 不等式的解集为xx c或x 2 ;
当c2时, 不等式的解集为xx 2 或x c ；
当c
2
时，不等式的解集为{ xx2……12分
13. x 0且y 0 14. 30 °16.必要不充分
解：（1 ）设公差为d，则S3 3a1 a4 a1
3d
3d 6,解得
4,
a1
d
1,
??? an n . ........ 4 分
1.
(2)v b n 3n 13n3n b n 1
b n 1 3 1
b n
是等比数列.
b1
1
b2
1
b n
1(1
1(1 10分
（1）因为不等式ax23x 6 4的解集为XX 1 或x
所以b是方程ax2 3x 0的两根，由根与系数关系得解得
2
19. (本题满分12分)
试题分析:⑴先利用正弦定理曲亍边角代换化简得得cosC = l 故Q 諾；(ID 根磅胡血C =
C = j 得血=4再利用余弦走理得("+巧'=25?再根据心=丿7可得AABC 的周长为5 + J7.
试题解析：⑴ 由已乡吸正弦?里得=2ssC ：(siii A.8&B + siiiBcoEA.} = TnC ： 即 2cosCsin(A+B) = smC. 故2 sinCcosC = sinC *
1 疽 可得cosC = A 所決C =
X J
2 2 2 2
b 2abcosC 7 .故 a b 13,从而 a b 25.
所以 C 的周长为5 、、7 .……12分
20. (本题满分12分)
由题意知，每年的经费是以 12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为 f(n),则
f(n)=50n - : 12n+
_1)
X 4] -2=-n 2+4On -2……3 分
2
(1)获纯利润就是要求f(n)>0,「. En 2+40n -2>0,解得2 当n=10时，f(n)|max =128.故第②种方案共获利 128+16=144 (万美元).……10分 故比较两种方案，获利都是 144万美兀，但第①种方案只需 6年，而第②种方案需 10年，故选择 第①种方案.……12分 21.(本题满分12分) 2 2 【答案】(1) a 2,c 1 b 3 ，椭圆M 的方程为 X 1 .... 4分 4 3 (2)设直线l 的方程为： 1 y x 2 b , C(x 1, yJ,D(X 2,y 2) 联立直线|的方程与椭圆方程得: 1 , (1) y —x b 2 2 2 X J 1 (2) 4 3 (1) 代入(2) 得：3x 2 4(1 x b)2 12 (Il )由已知，-absinC 2 3,所以 ab 由已知及余弦定理得,a 2 第三节：均值不等式 1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋ ＋的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案：D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案：](32， 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 答案：C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ．9 答案：A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y +的最小值是. 答案：4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4 (),()b f b 处的切线斜率的最小值 是（ ） A.2 1 答案：A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足 恒成立，则 的最大值为. 答案：1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目 标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 答案：A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．．4 D ．答案：B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y x m m x y 8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．42m m ≥≤或－ B ．24m m ≥≤或－ C ．24m －＜＜ D ．42m －＜＜ 答案：D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ． 答案： ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 ,. 玉林市第十一中学2017春段考试卷 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 2．设数列,,,,…，则是这个数列的 A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 3．一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan A C +的值是 A ．3 B ．3- C ．3- D ．不确定 4．（选修4—5）设,x y R +∈且2x y +=，则41x y +的最小值为（ ） A ．9 B ．92 C ．7 D ．72 5．已知首项为正数的等差数列{}n a 满足：0,02004200320042003+a a a a ， 则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数是 （ ） A ．4005 B.4010 C ．4011 D ．4006 ,. 6．在ABC ?中，bc c b a ++=222，则A 等于( ) A ????30.45.60.120.D C B 7．在ABC ?中，若tan tan 1A B >，则ABC ?是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定 .38．在等差数列{}n a 中a 3＋a 4＋a 5＝12，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则S 7 ＝( ) A.14 B.21 C.28 D.35 9．已知ABC ?中，已知45,2,2,A AB BC ∠=?= =则C ∠= （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．30°或150° 10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，∠A=60o，1=b ， △ABC 的面积ABC S ?=3，则 C B A c b a sin sin sin ++++的值等于（ ） (A) 3932 (B) 3326 (C) 338 (D) 32 11．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则2a 10－a 12的值为 （ ） A.20 B.22 C.24 D.28 12．等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若12345,9,a a a a +=+=则10S 的值为 （ ） A 、55 B 、60 C 、65 D 、70 13．已知0>a ，0>b 且223=+b a ，则ab 的最大值为（ ） 数列与和式不等式 数列与和式不等式的解题方法需要同学们深入了解，在解题过程中，往往要利用一些恒等式、变换法等方法对数列和式进行变形，并结合数列求和等相关知识，灵活运用各种技巧．尤其当涉及到整数命题的证明，有时候也可以考虑用归纳法进行证明，当然在证明过程中，解题方法并非千篇一律，而是灵活多变，根据具体题意可以寻找恰当的解法，二者之间的紧密结合，也在竞赛中作为考察学生的重要题型之一，下面通过例题简要介绍几种解题方法与技巧： 例1 已知i x R ∈(1,2,,,2)i n n =≥ ，满足 1 1 ||1,0n n i i i i x x ====∑∑．求证： 1 1122n i i x i n =≤-∑ 证：设 1 1 ,n n i i i i x x A B a b i ===+=+∑∑ ，其中,A a 为正项之和，,B b 为负项之和，由题意知， 0,1A B A B +=-=，得12A B =-= ,因为,A B a A B b n n ≤≤≤≤，所以A B B a b A n n +≤+≤+, 即111 11()2222n i i x n i n =--≤≤- ∑，也就是11122n i i x i n =≤-∑ 说明：本题通过设元，将数列拆分成正负两部分，然后运用不等式相关知识，很自然过渡到绝对值不 等式． 例2 设1112n a n =+ ++ ，*n N ∈，求证：对2n ≥，有2 322()23n n a a a a n >+++ ． 证：22 2212 2211111111(1)(1)2(1)22121 1211 ()2.n n n n a a n n n n n a a n n n n n --=+++-+++=+?+++--=+-=?- 故22 321222111 2( )()2323n n a a a a a n n -=+++-+++ .所以 2 332222233221111112( )(1)2()(1)2323231223(1)1 2()2(). 2323n n n n n a a a a a a a n n n n n a a a a a a n n n =++++---->++++----??-=++++>+++ 说明：本题若通过n a 表达式来证明将非常复杂，可以考虑通过建立递推关系，使问题很容易得到解决． 例3 无穷正实数列{}n x 有以下性质：011,(0)i i x x x i +=≤≥ (1) 试证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个1n ≥，使下式成立22 201112 3.999n n x x x x x x -+++≥ (2) 寻找这样一个数列，使得下列不等式22 2011124n n x x x x x x -+++< 对任一n 成立. 证：（1） 圆锥曲线测试题及详细答案 一、选择题： 1、双曲线 22 1102x y -=的焦距为（ ） 2.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ） A ． 2 3 B ．3 C ．27 D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|132 2-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 4．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 5、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三 角形，则椭圆的离心率是（ ）. A. B. C. 2 D. 1 6．双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ． 163 B ．83 C ．316 D ．3 8 7. 若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 8．如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值，方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对 三角函数、数列、不等式练习题 命题人：刁化清 一、选择题 1．对于任意的实数,,a b c ，下列命题正确的是 A ．若22bc ac >，则b a > B ．若0,≠>c b a ，则bc ac > C ．若b a >，则 b a 11< D ．若b a >，则22b c ac > 2. 设0 C ．0()0f x < D ．)(0x f 的符号不确定 7. 在等差数列｛n a ｝中，若,8171593=+++a a a a 则=11a （ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 8．已知等差数列前n 项和为n S ，且，则13S 的值为 A ．13 B ．26 C ．8 D ．162 9．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 10=2,S 30=14,则S 40等于（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 10．在ABC ?中，角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若2cos a c B =，则ABC ?的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 {}n a 351024a a a ++= 均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥. 第1讲 等差数列与等比数列 [考情考向分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列的判定及综合应用也是高考考查的重点，注意基本量及定义的使用，考查分析问题、解决问题的综合能力． 热点一 等差数列、等比数列的运算 1.通项公式 等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n －1 . 2．求和公式 等差数列：S n ＝ n (a 1＋a n ) 2 ＝na 1＋ n (n －1) 2 d ； 等比数列：S n ＝????? a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1). 3．性质 若m ＋n ＝p ＋q ， 在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q . 例1 (1)(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 答案 B 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4， 得3???? ??3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3， 故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B. (2)(2018·杭州质检)设各项均为正数的等比数列{a n }中，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________. 答案 3 162 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 （ Ｃ ） （A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 （ ） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 （ ）． Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 高中数学阶段测试 测试范围：圆锥曲线、数列、三角函数、统计、不等式、命题 一、选择题（共12题，每题5分） 1．“2>x ”是“0822>-+x x ”成立的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．命题“,sin 1x R x ?∈>”的否定是（ ） A ．,sin 1x R x ?∈≤ B ．,sin 1x R x ?∈> C ．,sin 1x R x ?∈= D ．,sin 1x R x ?∈≤ 3. 等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a =（ ） A.15 B.30 C.31 D.64 4. 在平面直角坐标系xOy 中，若,x y 满足约束条件240100x y x y y +-≤??--≥??≥? ，则z x y =+的最大值为（ ） A ．73 B ．1 C ．2 D ．4 5. 如果方程22 x y 14m m 3 +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．3＜m ＜4 B ．7m 2 > C ．73m 2<< D ．7m 42<< 6. 已知}{n a 是公比为2的等比数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，若7612a S =+）（，则=3a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34 y x =±，且其右焦点为（5,0），则双曲线C 的方程为（ ） A ．221916x y -= B ．22 1169 x y -= C ．22134x y -= D ．22 143 x y -= 8. 已知椭圆22 1123 x y C +=：，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 §数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力． 5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n 理数 圆锥曲线 1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则 cos∠AF2F1=() A. B. C. D. [答案] 1.A [解析] 1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a, 又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a, ∴cos∠AF2F1===.故选A. 2. (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为() A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 [答案] 2.A [解析] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A. 3. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为() A. B. C. D.3 [答案] 3.B [解析] 3.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0, 于是 ∴m·n=··?m=3n. ∴a=n,b=n?c=n,∴e=,选B. 4. (2014广东,4,5分)若实数k满足0 第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0< （2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值 练习题 1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移6π 个单位，平移后的图象如图所示，则平移后 的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π =+ B ．sin()6y x π =- C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π =- 2.设0a >，对于函数()sin (0)sin x a f x x x π+=<<，下列结论 正确的是 A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值又无最小值 3.函数y =1+cos x 的图象 （A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称 （D ）关于直线x =2π 对称 4.已知函数f (x )=2sin ?x(?>0)在区间[3π-,4π ]上的最小值是－2，则?的最小值等于 A.32 B.23 C.2 D.3 5.设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π ，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C. 2π D . 4π 6.已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝( ) （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 7为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π 的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的 点 （A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31 倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31 倍（纵坐标不变） （C ）向左平移6π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移6π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 8.已知函数1 1 ()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是 2017高考数列与不等式 1.【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件 33, 1, 0, x y x y y +≤ ? ? -≥ ? ?≥ ? 则z=x+y的最大值为 A．0 B．1 C．2 D．3 2.【2017课标II，文7】设,x y满足约束条件 2+330 2330 30 x y x y y -≤ ? ? -+≥ ? ?+≥ ? ,则2 z x y =+的最小值是 A.15 - B.9- C.1 D 9 3.【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件 3260 x y x y +-≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? ，则z x y =-的取值范围是（） A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3] 4.【2017北京，文4】若,x y满足 3, 2, , x x y y x ≤ ? ? +≥ ? ?≤ ? 错误！未找到引用源。则2 x y +的最大值为 （A）1（B）3 （C）5 （D）9 5.【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件 250 30 2 x y x y -+≤ ? ? +≥ ? ?≤ ? ,则z=x+2y的最大值是 A.-3 B.-1 C.1 D.3 6.【2017浙江，4】若x，y满足约束条件 30 20 x x y x y ≥ ? ? +-≥ ? ?-≤ ? ，则y x z2 + =的取值范围是 A．[0，6] B．[0，4] C．[6，)∞ +D．[4，)∞ + 7.【2017浙江，6】已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??=3.均值不等式(全国卷1)
2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
三角函数数列不等式
高中数学竞赛专题讲座---数列与和式不等式(1)
高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案
三角函数、数列、不等式练习题练习题1
高中数学竞赛均值不等式讲义
2019高考数学二轮复习专题三数列与不等式第1讲等差数列与等比数列学案
历年高考数学圆锥曲线试题汇总
高中数学基本不等式题型总结
(完整版)圆锥曲线、数列、三角函数、统计、不等式、命题-高中数学阶段测试(有答案)
【高中数学】公式总结(均值不等式)
高中数学归纳法大全数列不等式精华版
高中数学圆锥曲线试题(含答案)
高中数学基本不等式专题复习
-+=x x x y 正确解法： 两者联系： （1）基本不等式去等号时的值即为双勾函数的拐点，
三角函数及不等式练习题
2017高考数列与不等式
高中数学讲义 均值不等式
相关主题
文本预览