高中数学：数列与不等式测试题新课标人教A版必修5

数列一、选择题1、（ 2010 全国卷 2 理数）如果等差数列n中， a3a4a512，那么a1a2...a7a（A） 14（ B）21（C） 28（ D） 35【答案】 C【解析】 a3a4a5 3a412, a44,a1 a2a77( a1a7 )7a428 22、（ 2010 辽宁文数）设S n为等比数列a n的前 n 项和，已知3S3a4 2 ， 3S2a3 2 ，则公比 q（ A） 3（B） 4（ C） 5（D） 6解析：选 B. 两式相减得，3a3a4a3， a4 4a3 ,a44 . qa33、（2010安徽文数）设数列{ a n}的前 n 项和S n n2，则 a8的值为（A ） 15(B)16(C)49（ D） 64答案： A【解析】 a8S8S76449 15.4、（ 2010 浙江文数）设s n为等比数列{ a n}的前n项和，8a2a5S5 0 则S2(A)-11(B)-8(C)5(D)115、 (2009年广东卷文 ) 已知等比数列{ a n}的公比为正数，且a3· a9=2 a52， a2=1，则 a1=1B.2C.2D.2A.22【答案】 B【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q2 a1q8 2 a1q42,即q2 2 ,又因为等比数列 { a n} 的公比为正数，所以 q2a212,故a122q,选 B6（、 2009广东卷理）已知等比数列 { a n}满足 a n0,n1,2,，且 a5 a2 5n22nn( 3) ，则当 n1时，log2a1log 2 a3log 2 a2 n 1A. n(2 n 1)B. ( n 1)2C.n2D. ( n1)2【解析】由 a5a2n 522 n (n3)得 a n2 2 2n，a n0 ， a n2n， log 2 a1 log 2 a3log 2 a2n113(2n1)n2， C.7、（ 2009江西卷文）公差不零的等差数列{ a n } 的前 n 和 S n.若 a4是 a3与a7的等比中,S832 , S10等于A.18B.24C.60D.90答案： C【解析】由 a42a3 a7得 (a13d )2(a12d )( a16d ) 得 2a13d 0 ,再由S88a156d 32 得2a1 7d 8d2, a1 3 ,所以2S1 010a190d60 ,.故C 28、（ 2009 宁卷理）等比数列{ a n } 的前 n 和S n，若S6 =3，S9= S3S6（ A ） 2（ B）78（ D ）3 3（ C）3【解析】公比q , S6(1q3) S3 ＝1＋q3＝3q3＝ 2 S3S3于是S9 1 q3q6 1 2 4 7 S 1 q3123 6【答案】 B9、（ 2009 安徽卷理）已知a n等差数列， a1+ a3+ a5=105， a2a4a6=99，以 S n表示a n的前 n 和，使得S n达到最大的 n 是（ A ） 21（ B） 20（ C）19（D ） 18[ 解析 ] ：由a1 + a3+ a5 =105 得3a3105, 即 a335 ，由 a2a4a6=99得 3a499 即a433，∴ d 2 ，a n a4(n4) (2)412n，由a n0得 n20 ，B a n110、 2009 上海十四校考）无等比数列 1,2,1,2, ⋯各的和等于（）224A ．22B ．22C． 2 1D． 2 1答案 B11、（ 2009 江西卷理）数列{ a n}的通a n n2 (cos2nsin 2n) ，其前n和S n，33S 30 为A ． 470B ． 490C ． 495D ． 510答案： A【解析】由于 {cos 2nsin 2n} 以 3 为周期 ,故33S30( 122232 ) ( 4252 62 )( 282292 302 )2221022105]1125 470 故选 A[ (3k 2)(3k1) (3k )2 ][9k9 10k 12k 12212、 2009 湖北卷文）设x R, 记不超过 x 的最大整数为 [ x ], 令 { x }= x -[ x ] ，则 {5 1} ，25 1 5 1 [],22A. 是等差数列但不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列也不是等比数列【答案】 B【解析】 可分别求得数列 .二、填空题5 1 5 1 ，[5 1222 ] 1.则等比数列性质易得三者构成等比13、 (2010 辽宁文数） （ 14）设 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和，若 S 3 3，S 6 24 ，则a 9。

第二章测试(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.S n 是数列{a n }的前n 项和,log 2S n ＝n (n ＝1,2,3,…),那么数列{a n }( )A.是公比为2的等比数列B.是公差为2的等差数列C.是公比为12的等比数列 D.既非等差数列也非等比数列解析 由log 2S n ＝n ,得S n ＝2n ,a 1＝S 1＝2,a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2,a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4,…由此可知,数列{a n }既不是等差数列,也不是等比数列. 答案 D2.一个数列{a n },其中a 1＝3,a 2＝6,a n ＋2＝a n ＋1－a n ,则a 5＝( ) A.6 B.－3 C.－12D.－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3, a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3, a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3.首项为a 的数列{a n }既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前n 项和为( )A.a n －1B.naC.a nD.(n －1)a解析 由题意,知a n ＝a (a ≠0),∴S n ＝na . 答案 B4.设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1＝1,a 5＝16,则数列{a n }的前7项和为( )A.63B.64C.127D.128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16,∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5.已知－9,a 1,a 2,－1四个实数成等差数列,－9,b 1,b 2,b 3,－1五个实数成等比数列,则b 2(a 2－a 1)的值等于( )A.－8B.8C.－98D.98 解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83, b 22＝(－1)×(－9)＝9,∴b 2＝－3, ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6.在－12和8之间插入n 个数,使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列,则n 的值为( )A.2B.3C.4D.5解析 依题意,得－10＝－12＋82(n ＋2), ∴n ＝3. 答案 B7.已知{a n }是等差数列,a 4＝15,S 5＝55,则过点P (3,a 3),Q (4,a 4)的直线的斜率为( )A.4B.14C.－4D.－14解析由a 4＝15,S 5＝55,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15，5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11),Q (4,15).k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3＋a 17＝10,则S 19＝( ) A.55 B.95 C.100D.190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95.答案 B9.S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数,则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A.S 7B.S 4C.S 13D.S 16解析 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7,∴a 7为常数.∴S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7为常数. 答案 C10.等比数列{a n }中,a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31,a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62,则通项是( )A.2n －1B.2nC.2n ＋1D.2n ＋2解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q (a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5), ∴62＝q ×31,∴q ＝2.∴S 5＝a 1(1－25)1－2＝31.∴a 1＝1,∴a n ＝2n －1. 答案 A11.已知等差数列{a n }中,|a 3|＝|a 9|,公差d <0,则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A.4或5B.5或6C.6或7D.不存在解析 由d <0知,{a n }是递减数列,∵|a 3|＝|a 9|,∴a 3＝－a 9,即a 3＋a 9＝0. 又2a 6＝a 3＋a 9＝0,∴a 6＝0. ∴S 5＝S 6且最大. 答案 B12.若a ,b ,c 成等比数列,则方程ax 2＋bx ＋c ＝0( ) A.有两个不等实根 B.有两相等的实根 C.无实数根 D.无法确定解析 a ,b ,c 成等比数列,∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根. 答案 C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.2,x ,y ,z,18成等比数列,则x ＝________.解析 设公比为q ,则由2,x ,y ,z,18成等比数列.得18＝2q 4,∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314.若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n >1，且a 1＝67,则a 2013＝________.解析 由题意,得a 1＝67,a 2＝127,a 3＝57,a 4＝107,a 5＝37,a 6＝67,a 7＝127,…,∴a 2013＝a 3＝57.答案 5715.一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ,则S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9,S 33＝－16＋33＝17,S 50＝－25,∴S 17＋S 33＋S 50＝1.答案 116.设等比数列{a n }的公比q ＝12,前n 项和为S n ,则S 4a 4＝________.解析 S 4a 4＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝15. 答案 15三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ,n ∈N *.(1)求a 1,a 2,并求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{na n }的前n 项和.解 (1)令n ＝1,得2a 1－a 1＝a 21,即a 1＝a 21,∵a 1≠0,∴a 1＝1,令n ＝2,得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2,解得a 2＝2. 当n ≥2时,由2a n －1＝S n,2a n －1＝S n －1两式相减得2a n －2a n －1＝a n ,即a n ＝2a n －1, 于是数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列, 即a n ＝2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知,na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ,于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1,① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18.(12分)已知等比数列{a n },首项为81,数列{b n }满足b n ＝log 3a n ,其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列;(2)若S 11≠S 12,且S 11最大,求{b n }的公差d 的范围. 解 (1)证明:设{a n }的公比为q , 则a 1＝81,a n ＋1a n＝q ,由a n >0,可知q >0,∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n ＝log 3q (为常数),∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列.(2)由(1)知,b 1＝log 3a 1＝log 381＝4, ∵S 11≠S 12,且S 11最大,∴⎩⎨⎧b 11≥0，b 12<0，即⎩⎨⎧b 1＋10d ≥0，b 1＋11d <0.⎩⎪⎨⎪⎧d ≥－b 110＝－25，d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19.(12分)等差数列{a n }的各项均为正数,a 1＝3,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,b 1＝1,且b 2S 2＝64,b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ;(2)证明:1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则d >0,q ≠0,a n ＝3＋(n －1)d ,b n ＝q n －1,依题意有⎩⎨⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64，b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403，(舍去).故a n ＝2n ＋1,b n ＝8n －1.(2)证明:由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2),1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2, ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0 ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34. 20.(12分)等比数列{a n }中,已知a 1＝2,a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 3,a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项,试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ,由已知,得16＝2q 3,解得 q ＝2,∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8,a 5＝32,则b 3＝8,b 5＝32.设{b n }的公差为d ,则有⎩⎨⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎨⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝2n 2＋n ,n ∈N *,数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3,n ∈N *.(1)求a n ,b n ;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ,得当n ＝1时,a 1＝S 1＝3; 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *). 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1,得b n ＝2n －1(n ∈N *). (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1,n ∈N *, ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1, 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22.(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1,a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *,n ≥2).(1)求证:数列{a n2n }是等差数列; (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ,求S n .解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0,∴a n 2n －a n －12n －1＝12, ∴{a n 2n }是以12为首项,12为公差的等差数列.(2)由(1),得a n 2n ＝12＋(n －1)×12,∴a n ＝n ·2n －1, ∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②,得 －S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1·(1－2n )1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ,∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.。

高中数学必修5解三角形、数列、不等式测试题（考试时间120分钟，总分150分）一．选择题 (本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，请把正确答案填在答题卡上)1.已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab2C ．2a－2b<0 D.1a >1b2．sin15°cos45°＋cos15°sin45°等于( ) A ．0B ．21 C ．23 D ．13.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ ）A ．21B ．23 C.1 D.34.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ ） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 1015.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 6.在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为 （ ） A. 3B. 4C. 5D. 67.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（ ）A. 0,0a <∆<B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≥D. 0,0a >∆>8.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 9．若)4πtan(α-＝3，则tan α 等于( ) A ．－2 B ．21-C ．21 D ．210．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＋a 15＋a 21=8，则a 12等于（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－211．下列各式中，值为23的是( ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°12．关于x 的方程2210ax x +-=至少有一个正的实根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－1二．填空题（共4小题，每题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡上） 13．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝14. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为15.不等式21131x x ->+的解集是 ． 16. 已知数列{}n a 满足23123222241n n n a a a a ++++=-，则{}n a 的通项公式 三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，并把正确解答过程写在答题卡上）17. （10分）(1) 解不等式0542<++-x x ，(2)求函数的定义域：5y =18．（12分）等差数列{}n a 满足 212=a ，155=a ，求通项n a 及前n 项和的最大值．19.(12分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b是方程220x -+=的两个根， 且2()1coc A B +=。

绝密★启用前人教新课标A版高中数学必修5第三章不等式单元测试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟。

一、选择题(共12小题，每小题5.0分,共60分)1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m．用不等式表示为()A．v≤120 km/h或d≥10 mB．C．v≤120 km/hD．d≥10 m2.若a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是()A．a2＋b2≥2abB．a＋b≥2C．a2＋b2≥(a＋b)2D．＋<(a≠b)3.设a＝2－1，b＝－1(t∈R)，则a与b的大小关系是()A．a≥bB．a≤bC．a<bD．a>b4.不等式组的解集为()A． {x|－2<x<－1}B． {x|－1<x<0}C． {x|0<x<1}D． {x|x>1}5.设f(x)＝x2＋bx－3，且f(－2)＝f(0)，则f(x)≤0的解集为()A． (－3,1)B． [－3,1]C． [－3，－1]D． (－3，－1]6.函数y＝的定义域是()A． {x|x<－4或x>3}B． {x|－4<x<3}C． {x|x≤－4或x≥3}D． {x|－4≤x≤3}7.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是()A． (－2,2)B． (－2,2]C． (－∞，－2)∪[2，＋∞)D． (－∞，2)8.若a>0，b>0，则不等式－b<<a等价于()A．－<x<0或0<x<B．－<x<C．x<－或x>D．x<－或x>9.当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A． (0，＋∞)B． [0，＋∞)C． [0,4)D． (0,4)10.在平面直角坐标系中，点在直线的右上方，则的取值范围是（）A．（1，4）B．（-1，4）C．（-∞，4）D．（4，+∞）11.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为()A．－3B． 3C．－1D． 112.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为() A． 0B． 1C．D． 3第ⅠⅠ卷二、填空题(共4小题，每小题4.0分,共16分)13.已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________．14.已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是________．15.记不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．16.设x，y为实数，若，则的最大值是________．三、解答题(共6小题,第17-21题每小题12.0分,第22题14分，共74分)17.(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy；(2)设1<a≤b≤c，证明：log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c.18.已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：a m＋n＋b m＋n≥a m b n＋a n b m.19.已知定义在R上的函数f(x)＝x2－(3－a)x＋2(1－a)(其中a∈R)．(1)解关于x的不等式f(x)>0；(2)若不等式f(x)≥x－3对任意x>2恒成立，求a的取值范围．20.营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪，1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg?将已知数据列成下表：21.已知实数x，y满足(1)试求z＝的最大值和最小值；(2)试求z＝x2＋y2的最大值和最小值．22.已知函数．(1) 当时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意，恒成立，试求实数的取值范围．答案解析1.【答案】B【解析】考虑实际意义，知v≤120 km/h且d≥10 m.2.【答案】D【解析】显然有a2＋b2≥2ab，a＋b≥2，又a2＋b2－(a＋b)2＝a2＋b2－ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥(a＋b)2，故选D.3.【答案】B【解析】∵t2≥0，∴t2－1≥－1，∵函数y＝2x在x∈R上是单调递增的，∴2－1≤－1，即a≤b，故选B.4.【答案】C或【解析】由得所以0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.5.【答案】B【解析】∵f(－2)＝f(0)，∴x＝－＝＝－1，∴b＝2，∴f(x)≤0⇒x2＋2x－3≤0⇒(x＋3)(x－1)≤0，∴－3≤x≤1.6.【答案】C【解析】由x2＋x－12≥0，即(x＋4)(x－3)≥0，x≥3或x≤－4.7.【答案】B8.【答案】D【解析】－b<<a⇔或⇔或⇔x>或x<－.9.【答案】C【解析】当k＝0时，不等式变为1>0，成立；当k≠0时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则即0<k<4，所以0≤k<4.10.【答案】D【解析】取原点（0，0），因为，且原点在直线的左下方，所以不等式表示的区域在直线的左下方.11.【答案】A【解析】－＝＝，∴a＝－3.12.【答案】B【解析】由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.13.【答案】≥1－a【解析】－(1－a)＝＋a－1＝＝，∵|a|<1，即－1<a<1，∴a＋1>0，a2≥0，∴≥0，故≥1－a.14.【答案】[－2，)【解析】由题意知(a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0恒成立，当a＝－2时，不等式化为－1<0，显然恒成立；当a≠－2时，则即－2<a<，综上实数a的取值范围是[－2，)．15.【答案】【解析】直线y＝a(x＋1)恒过定点P(－1,0)且斜率为a，作出可行域后数形结合可解．不等式组所表示的平面区域D为如图所示阴影部分(含边界)，且A(1,1)，B(0,4)，C.直线y＝a(x＋1)恒过定点P(－1,0)且斜率为a.由斜率公式可知kAP＝，kBP＝4.若直线y＝a(x＋1)与区域D有公共点，数形结合可得≤a≤4.16.【答案】【解析】∵，∴，即∴，∴，即.17.【答案】证明(1)由于x≥1，y≥1，所以要证x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，只需证[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]≥0，即(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数的换底公式得log c a＝，log b a＝，log c b＝，log a c＝xy，于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，其中x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．18.【答案】证明a m＋n＋b m＋n－(a m b n＋a n b m)＝(a m＋n－a m b n)－(a n b m－b m＋n)＝a m(a n－b n)－b m(a n－b n)＝(a m－b m)(a n－b n)．当a>b时，a m>b m，a n>b n，∴(a m－b m)(a n－b n)>0；当a<b时，a m<b m，a n<b n，∴(a m－b m)(a n－b n)>0；当a＝b时，a m＝b m，a n＝b n，∴(a m－b m)(a n－b n)＝0.综上，(a m－b m)(a n－b n)≥0.故a m＋n＋b m＋n≥a m b n＋a n b m.19.【答案】(1)f(x)＝(x－2)[x－(1－a)]，设函数f(x)＝0的两根为x1＝2，x1＝1－a，且x1－x2＝2－1＋a＝a＋1，f(x)>0等价于(x－2)[x－(1－a)]>0，于是当a<－1时，x1<x2，原不等式的解集为(－∞，2)∪(1－a，＋∞)；当a＝－1时，x1＝x2，原不等式的解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a>－1时，x1>x2，原不等式的解集为(－∞，1－a)∪(2，＋∞)．(2)不等式f(x)≥x－3，即a≥－恒成立，又当x>2时，－＝－(x－2＋)≤－2(当且仅当x＝3时取“＝”号)，∴a≥－2.20.【答案】每天食用食物A kg，食物B kg，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．【解析】设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z，那么⇒目标函数为z＝28x＋21y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，把目标函数z＝28x＋21y变形为y＝－x＋，它表示斜率为－且随z变化的一族平行直线.是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小．如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．解方程组得M点的坐标为.所以z min＝28x＋21y＝16.21.【答案】(1)z＝的最大值为3和最小值为；(2)z＝x2＋y2的最大值为13和最小值为．【解析】解(1)由于z＝＝，所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，如图所示，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，又∵B(0,2)，C(1,0)，∴z max＝kMB＝3；z min＝kMC＝.∴z的最大值为3，最小值为.(2)z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点A的距离最大，原点到直线BC的距离最小．故z max＝|OA|2＝13，z min＝2＝2＝.反思与感悟当斜率k，两点间的距离，点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．22.【答案】【解析】(1) ∵，∴, 当时取等号．即当时，.(2)，恒成立，即,恒成立．等价于在上恒成立，令，，∴，即.∴的取值范围是。

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】第二章测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1,2,3，…)，那么数列{a n }( )A ．是公比为2的等比数列B ．是公差为2的等差数列C ．是公比为12的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列解析 由log 2S n ＝n ，得S n ＝2n ，a 1＝S 1＝2，a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2，a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4，…由此可知，数列{a n }既不是等差数列，也不是等比数列． 答案 D2．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 5＝( ) A ．6 B ．－3 C ．－12D ．－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3， a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3， a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3．首项为a 的数列{a n }既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为( )A ．a n －1B ．naC ．a nD ．(n －1)a解析 由题意，知a n ＝a (a ≠0)，∴S n ＝na . 答案 B4．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16，∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)的值等于( )A ．－8B ．8C ．－98D.98解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83， b 22＝(－1)×(－9)＝9，∴b 2＝－3， ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6．在－12和8之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列，则n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 依题意，得－10＝－12＋82(n ＋2)， ∴n ＝3. 答案 B7．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析由a 4＝15，S 5＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15，5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11)，Q (4,15)．k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19＝( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95. 答案 B9．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数，则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A ．S 7B ．S 4C ．S 13D ．S 16解析 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，∴a 7为常数．∴S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7为常数． 答案 C10．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62，则通项是( )A ．2n －1B ．2nC ．2n ＋1D ．2n ＋2解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q (a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)， ∴62＝q ×31，∴q ＝2.∴S 5＝a 1(1－25)1－2＝31.∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 答案 A11．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．不存在解析 由d <0知，{a n }是递减数列， ∵|a 3|＝|a 9|，∴a 3＝－a 9，即a 3＋a 9＝0. 又2a 6＝a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0. ∴S 5＝S 6且最大． 答案 B12．若a ，b ，c 成等比数列，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0( ) A ．有两个不等实根 B ．有两相等的实根 C ．无实数根 D ．无法确定解析 a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根． 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2，x ，y ，z,18成等比数列，则x ＝________.解析 设公比为q ，则由2，x ，y ，z,18成等比数列．得18＝2q 4，∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n >1，且a 1＝67，则a 2013＝________.解析 由题意，得a 1＝67，a 2＝127，a 3＝57，a 4＝107，a 5＝37，a 6＝67，a 7＝127，…，∴a 2013＝a 3＝57.答案 5715．一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ，则S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9，S 33＝－16＋33＝17，S 50＝－25，∴S 17＋S 33＋S 50＝1.答案 116．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析 S 4a 4＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝15. 答案 15三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21，∵a 1≠0，∴a 1＝1，令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1＝S n －1 两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1， 于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 即a n ＝2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18．(12分)已知等比数列{a n }，首项为81，数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列；(2)若S 11≠S 12，且S 11最大，求{b n }的公差d 的范围． 解 (1)证明：设{a n }的公比为q ， 则a 1＝81，a n ＋1a n＝q ，由a n >0，可知q >0，∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n＝log 3q (为常数)，∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列． (2)由(1)知，b 1＝log 3a 1＝log 381＝4， ∵S 11≠S 12，且S 11最大，∴⎩⎨⎧b 11≥0，b 12<0，即⎩⎨⎧b 1＋10d ≥0，b 1＋11d <0.⎩⎪⎨⎪⎧d ≥－b 110＝－25，d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19．(12分)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d >0，q ≠0，a n＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎨⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64，b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403，(舍去)．故a n ＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明：由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2)，1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0 ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34. 20．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知，得16＝2q 3，解得 q ＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎨⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎨⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *)． 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1，得b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *， ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1， 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *，n ≥2)．(1)求证：数列{a n2n }是等差数列； (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n .解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0，∴a n 2n －a n －12n －1＝12，∴{a n 2n }是以12为首项，12为公差的等差数列． (2)由(1)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×12， ∴a n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1·(1－2n )1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

人教A 版必修5《数列》综合测试卷测试时间120分钟 测试分值150分 本卷分为第Ⅰ卷（非选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等比数列{}n a 的公比31-=q ，则=++++++86427531a a a a aa a a （）A ． 31- B ． -3 C ． 31 D ． 32.数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，其中,75,2511==b a ,100100100=+b a 那么数列{}n n b a +的前100项和是（ ）A ．0B ． 100C ．10000D ．1024003.等差数列{}n a 中，01>a ，若其前n 项和为n S 时，有94S S =，那么当n S 取得最大值时，n 的值为（ ）A ．4或5B ．4或6C ．5或6D ．6或74.若数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且满足22n m S S nm =，其中n m N n m ≠∈*,,，则=n ma a （）A ．n mB ． 11--n mC ． 1212--n mD ．12++n m5.等比数列{}n a 中，,6,214851152=++=++a a a a a a 则=++++1411852a a a a a （）A ． 8B ． 大于8C ． 31242D ．412406.已知等差数列{}n a 的公差是2，且100100321=++++a a a a ，那么=++++1001284a a a a （）A ． 25B ． 50C ． 75D ．100 7.已知*)(1562N n n na n ∈+=，则数列{}n a 的最大项是（ ） A ．第12项 B ． 第13项 C ． 第12或13项 D ．不存在8.等差数列{}n a 的公差为21，145100=S ，则=++++99531a a a a （）A ． 60B ．85C ．2145D ．759.若数列{}n a 的通项公式为n n na 2=，则前n 项和是（ ） A ．nn S 211-= B ． nn n n S 22121--=- C ．)211(nn n S -= D ．nn n nS 22121+-=-10. 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中，第100项是（ ） A ． 10 B ． 13 C ． 14 D ．10011.已知等差数列中，,1,16497==+a a a 则=12a （ ） A ． 15 B ． 30 C ． 31 D ．64 12.已知数列{}n a 中，)0(1>=b b a ，111+-=+n n a a （*N n ∈），能使b a n =成立的n 的数值是（ ）A ． 14B ． 15C ．16D ．17二、填空题:本大题共4小题，考生共需作答4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13.已知等差数列{}n a 中，||||93a a =，公差0<d ，则使得前n 项和n S 取得最大值的n 的值是_____.14. 数列{}n a 的前n 项和为nS ，已知35-=n n S a （*N n ∈），则na =__________.15. 已知数列}{n a 满足11=a ，1321)1(32--++++=n n a n a a a a （2≥n ），则}{n a 的通项公式=n a _____________.16.在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项31=a ，前3项和为21，则=++543a a a ________第Ⅱ卷三、解答题:本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，令n n S b 1=，且5244=b a ，1536=-S S ，n n b b b S +++= 21'.(1) 求数列{}n b 的通项公式；(2)求'n S 的表达式.18. （12分）数列{}n a 的前n 项和为,322n n S n -=求{}||n a 的前n 项和n P .19. （12分）设数列{}n a 满足：1a =1，352=a ，n n n a a a 323512-=++，*)(N n ∈. (1) 令n n n a a b -=+1*)(N n ∈，求数列{}n b 的通项公式； (2) 求数列{}n na 的前n 项和n S .20. （12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a =1且满足)13(32-=n n n S a S ，2≥n .(1) 求证：}1{Sn是等差数列； （2）设13+=n S b nn ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .21. （12分）已知数列{}n a 满足)3(21)109()109()109(2221n n a a a n n +=+++ ；（1）证明：数列{}n a 不是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）试分析数列{}n a 有没有最大项，若有，求出这个最大项；若没有，试说明理由.22.（12分）已知函数bx x x f +=2)(为偶函数，数列}{n a 满足1)1(21+-=+n n a f a ，且31=a ，1>n a ，令)1(log 2-=n n a b . （1）证明：数列}1{+n b 为等比数列； （2）设n n nb c =，求数列}{n c 的前n 项和.n S参考答案1.答案B2.解析 ∵数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，∴{}n n b a +是等差数列，{}n n b a +的前100项和为100002)100100(100=+.答案C 3.解析 等差数列前n 项和Bn An S n +=2是关于n 的二次函数，由94S S =可知，这个函数的图象关于5.6294=+=x 对称，又*N n ∈，当n=6或7时，n S 的值最大.答案D4.解析∵2211])1(2[])1(2[n m d n a n d m a m S S nm =-+-+=，∴21da =，∴1212)1(2)1(2--=-+-+=n m d n d d m da a n m . 答案C 5.解析由已知得,3311521485==++++q a a a a a a ∴3122=a ，∴312421411852=++++a a a a a .答案C6.解析 由已知得10022991001001=⨯⨯+a ，即981-=a ， ∴424252752582242525141001284⨯⨯+⨯+=⨯⨯+=++++a a a a a a .1002550)98(25=+-⨯=答案D.7.解析 法1 由⎩⎨⎧≥≥--11n n n n a a a a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++≥++--≥+156)1(1156156)1(11562222n n n n n n n n，解得1312≤≤n . 法2394115611562≤+=+=nn n n a n ，当且仅当nn 156=即392=n 时取等号，又*N n ∈，∴12=n 或13. 答案C.8.解析 ∵)()(10064299531100a a a a a a a a S +++++++++=,又145100=S ，21=d ，∴=++++99531a a a a .6025.050145=⨯-答案D9.解析 可用错位相减法或验证.,21S S 答案B 10.解析 由1002)1(<+n n 得13≤n ，∴141=+n .答案C 11.答案A12.解析 ∵,1b a =111+-=+n n a a ， ∴112+-=b a ，,111,1111143b bb a b b b a =+-+-=-+=++-=∴b a a a a a a ======161310741.答案C.13.解析:法1 由||||93a a =知|8||2|11d a d a +=+，又0<d ，∴051>-=d a ，∴65,00)1(00111≤≤∴⎩⎨⎧≤+≥-+⎩⎨⎧≤≥+n nd a d n a a a n n 即.又*N n ∈，∴5=n 或6. d a a a a 50)(299531+++++=法2 由已知可得093>-=a a ，则02936=+=a a a ，∴65S S =最大.答案5或6.14.解析 由35-=n n S a 得53+=n n a S ，当2≥n 时，5311+=--n n a S ，∴41,511-=-=--n n n n n a a a a a 即，当1=n 时，,351-=n a a ∴.431=a 则.)41(431.--=n n a 答案15.解：由已知1321)1(32--++++=n n a n a a a a （2≥n ）①得11=a ，22=a ，当3≥n 时，23211)2(32---++++=n n a n a a a a ②，①-②得）（即3)1(111≥=-=----n na a a n a a n n n n n ， ∴2!13)2)(1(3)2)(1(2n n n n a n n n a n =⨯⋅⋅--=⋅⋅--= （3≥n ）， 又11=a 不适合上式，2a =1适合上式，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥==.2,2!1,1n n n a n16.答案 84 17.解：（1）由n n S b 1=得441S b =，又,52643521144=++⇒=d a d a b a 1512315136=+⇒=-d a S S ，解得1,11==d a ， ∴.2)1(21+=+++=n n n S n .)41(431.--n则.)1(21+==n n S b n n（2）)1(2322212'11+++⨯+⨯=+++=n n b b b S n n )]111()3121()211[(2+-++-+-=n n.12)111(2+=+-=n nn 18.解：∵,16)16(22+--=n S n 当16=n 时，n S 取得最大值216.∴016>a ，当17≥n 时，n a 0<.当16≤n 时，;322n n P n -=当16>n 时，.512322)(216181716+-=-=+++-=n n S S a a a S P n n n∴⎩⎨⎧>+-≤-=.16,51232;16,3222n n n n n n P n19.解:（1）∵121+++-=n n n a a b n nn n n n b a a a a a 32)(323235111=-=--=+++， 故{}n b 是公比为32的等比数列，且32121=-=a a b ，nn b )32(=（n *N ∈）.（2）nnb )32(= )()()(121111a a a a a a a a n n n n n -++-+-=-∴-++ ，又11=a ，可得1323--=n n n a （n *N ∈）. 记数列}32{11--⋅n n n 的前n 项和为Tn ，则,)32(32211-++⋅+=n n n T])32(1[232)32()32()32(21n n n -=++++=-∴,)32()32(232322nn n T ++⋅+=两式相减得.32)3(9)32(3])32(1[91-+-=--=n nn n n n n T 从而Tn n na a a S n n 2)21(3221-+++=+++= .1832)3()1(2311-+++=-+n n n n n 20.（1）证明：当2≥n 时，)13(32-=n n n S a S ，1--=n n n S S a ，∴)13)((312--=-n n n n S S S S ，整理得1131--+=n n n S S S ，即3111=--n n S S ， 因此}1{n S 是等差数列.（2）解：,231,233)1(111-=∴-=-+=n S n n S S n n )13)(23(113+-=+=n n n S b n n ， )13)(23(11071741411+-++⨯+⨯+⨯=n n T n )]131231()10171()7141()411[(31+--++-+-+-=n n .13+=n n 21.（1）证明：当n=1时，,21091=a 则,9201=a 当n=2时5)109()109(221=+a a ，则,271002=a 当n=3时9)109()109()109(33221=++a a a ，则,72940003=a ∴3122a a a ≠.因此数列{}n a 不是等比数列.（2）解：由)3(21)109()109()109(2221n n a a a n n +=+++ 得 当2≥n 时，)]1(3)1[(21)109()109()109(211221-+-=+++--n n a a a n n ，两式相减得1+=n ，∴nn n a )910)(1(+=，又9201=a ， ∴nnn a )910)(1(+=，n *N ∈. （3）∵1)1(9)1(10)910)(1()910)(2(11>++=++=++n n n n a a nn n n ， ∴n n a a >+1，即}{n a 为递增数列，因此数列}{n a 中没有最大项. 22.解：（1）∵bx x x f +=2)(为偶函数，∴0=b ，2)(x x f =， 又1)1(21+-=+n n a f a ，∴21)1(21-=-+n n a a ，∵1>n a ，∴)1(log 21)1(2log )1(log 22212-+=-=-+n n n a a a ， 即]1)1([log 21)1(log 212+-=+-+n n a a ， ∵)1(log 2-=n n a b ，∴)1(211+=++n n b b ，又31=a ，21)13(log 1)1(log 12121=+-=+-=+a b ， ∴数列}1{+n b 是首项为2、公比为2的等比数列. （2）由（1）知,22211n n n b =⋅=+-∴,12-=n n b 又n n nb c =，∴n n c n n -⋅=2，令n n n d 2⋅=，数列}{n d 的前n 项和为n T ，则n n n T 223222132⨯++⨯+⨯+⨯= ， ① 143222322212+⨯++⨯+⨯+⨯=n n n T ， ②n n a )109(①-②得22)1(212)12(22)2222(11132--=⨯---=⨯-++++=-+++n n n n nn n n n T ， ∴22)1(1+-=+n n n T ，数列}{n c 的前n 项和2)1(22)1()21(1+-+-=+++-=+n n n n T S n n n .242)1(21-+--=+n n n n。

第二章 数列测评(A 卷)(总分：120分 时间：90分钟)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．等差数列－2，0，2，…的第15项为A ．11 2B ．12 2C ．13 2D ．142 答案：C ∵a 1＝－2，d ＝2，∴a n ＝－2＋(n －1)×2＝2n －2 2. ∴a 15＝152－22＝13 2.2．等比数列{a n }的首项a 1＝1002，公比q ＝12，记p n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ，则p n 达到最大值时，n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．11答案：C a n ＝1002×(12)n －1<1⇒n>10，即等比数列{a n }前10项大于1，从第11项起小于1，故p 10最大．3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于 A ．64 B ．81 C ．128 D ．243答案：A 公比q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝63＝2.由a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3a 1＝3，得a 1＝1，a 7＝26＝64.4．设{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝9，a 6＝9，则这个数列的前6项和等于 A ．12 B ．24 C ．36 D ．48答案：B {a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，a 3＝3，a 6＝9.∴d ＝2，a 1＝－1，则这个数列的前6项和等于6(a 1＋a 6)2＝24.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于 A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400答案：B 设数列可记为1，－5,9，－13，…，393，－397.其奇数项与偶数项分别是公差为8，－8的等差数列．于是，S 100＝(1＋9＋13＋…＋393)－(5＋13＋…＋397)＝50×(1＋393)2－50×(5＋397)2＝－200.6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且2a 2，a 3，a 1成等差数列，则a 5＋a 6a 3＋a 4的值为A ．1＋32B ．1－32 C.1－52 D.5＋12答案：A 由2a 2，a 3，a 1成等差数列得2a 3＝2a 2＋a 1，∴2a 1q 2＝2a 1q ＋a 1，整理得2q 2－2q －1＝0，解得q ＝1＋32或q ＝1－32＜0(因等比数列各项都是正数，故舍去)．∴a 5＋a 6a 3＋a 4＝a 3q 2＋a 4q 2a 3＋a 4＝q 2＝(1＋32)2＝1＋32.7．(2009广东高考，理4)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于A ．n(2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2 答案：C 由{a n }为等比数列，则a 5·a 2n －5＝a 1·a 2n －1＝22n ， 则(a 1·a 3·a 5·…·a 2n －1)2＝(22n )n ⇒a 1·a 3·…·a 2n －1＝2n 2， 故log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1·a 3·…·a 2n －1)＝n 2.8．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a n 2＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于 A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案：A 由a n ＋1－a n 2＋a n －1＝0(n ≥2),2a n ＝a n ＋1＋a n －1，得a n 2＝2a n ，即a n ＝2或a n ＝0(舍去)，所以S 2n －1－4n ＝(2n －1)×2－4n ＝－2.9．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是A ．i<4?B ．i<5?C ．i ≥5?D ．i<6? 答案：D 该程序的功能是求和∑i ＝1n1i(i ＋1)，由输出结果56＝11×2＋12×3＋…＋1n ×(n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，得n ＝5. 10．(2009山东潍坊高三第二次质检，11)已知函数f(x)＝log 2x 的反函数为f －1(x)，等比数列{a n }的公比为2，若f －1(a 2)·f －1(a 4)＝210，则2f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 2009)等于A ．21004×2008B ．21005×2009C ．21005×2008D ．21004×2009答案：D 由题意，得f －1(x)＝2x ，故f －1(a 2)·f －1(a 4)＝4222aa ⋅＝210， ∴a 2＋a 4＝10，即2a 1＋8a 1＝10. ∴a 1＝1.则f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 2009)＝log 2(a 1·a 2·…·a 2009)＝log 220＋1＋2＋…＋2008＝1＋20082×2008＝1004×2009.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上) 11．若等差数列{a n }中，a 1＋4a 7＋a 13＝96，则2a 2＋a 17的值是__________． 答案：48 ∵a 1＋4a 7＋a 13＝96，a 1＋a 13＝2a 7， ∴a 7＝16.∴2a 2＋a 17＝a 1＋a 3＋a 17＝a 7＋a 11＋a 3＝a 7＋2a 7＝3a 7＝48.12．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k(k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为0，其中正确判断的序号是__________．答案：①④ 从定义可知，数列{a n }若构成“等差比数列”，则相邻两项不可能相等，所以①正确；而等差数列与等比数列均可能为常数列，就有可能不能构成“等差比数列”，所以②③错误；如数列为{2,0,2,0,2，0，…}，则能构成“等差比数列”，所以④正确．综上所述，正确的判断是①④.13．在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＝a(a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26等于__________．答案：b 2a 由a 15＋a 16a 5＋a 6＝(a 5＋a 6)q 10a 5＋a 6＝b a ，则q 10＝ba ，则a 25＋a 26＝a 5q 20＋a 6q 20＝(a 5＋a 6)(q 10)2＝a ×(b a )2＝b 2a.14．对于一切实数x ，令[x]为不大于x 的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f(n3)，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝__________.答案：3n 2－n 2 ∵f(x)＝[x]，∴a n ＝f(n 3)＝[n3]，n ∈N *.于是，S 3n ＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ) ＝(0＋0＋1)＋(1＋1＋2)＋…＋[(n －1)＋(n －1)＋n]＝1＋4＋…＋(3n －2)＝n[1＋(3n －2)]2＝3n 2－n 2.三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)15．(本小题满分10分)(2009福建高考，文17)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .答案：解：(1)设{a n }的公比为q. 由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n(－16＋12n －28)2＝6n 2－22n.16．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n(2n －1)(n ∈N *)． (1)证明数列{a n }为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn(n ∈N *)，试判定：是否存在自然数n ，使得b n ＝900，若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．答案：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n(2n －1)－(n －1)(2n －3)＝4n －3， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，适合． ∴a n ＝4n －3.∵a n －a n －1＝4(n ≥2)，∴{a n }为等差数列．(2)解：由(1)知，S n ＝2n 2－n ，∴S nn＝2n －1.∴b n ＝S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.由n 2＝900，得n ＝30，即存在满足条件的自然数，且n ＝30.17．(本小题满分10分)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)证明数列{a n －n}是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .答案：(1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n)，n ∈N *. 又a 1－1＝1，所以数列{a n －n}是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)解：由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋2＋…＋n)＝4n －13＋n(n ＋1)2.18．(本小题满分12分)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求和：1S 1＋1S 2＋…＋1S n.答案：解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 3b 3＝(9＋3d)q 2＝960，S 2b 2＝(6＋d)q ＝64.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝8或⎩⎨⎧d ＝－65，q ＝403(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n(n ＋2)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n(n ＋2) ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). 19．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝8，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n －1·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .答案：解：(1)∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n . ∴{a n }为等差数列．设公差为d ，则由题意，得8＝2＋3d ，∴d ＝2. ∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n.(2)∵b n ＝2n －1·2n ＝n·2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .①∴2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②①－②，得－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2×(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n)×2n ＋1－2.∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。

人教A版高一必修五不等式单元检测卷A004一：选择题：1．数列的一个通项公式为 （ ）A． B． C． D．2、在数列中，，则的值为（ ）A．49 B．50 C．51 D．523、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为（）A ．15. B．17. C．19. D ．214．不等式的解集是 （ ）A． B．C． D．5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）A.5B.4C. 3D. 26．若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 （ ）A．18 B．6 C．2 D．27、数列前n项的和为（ ）A． B．C． D．8、在上满足，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．9、已知-9,a1,a2,-1四个实数成等差数列，-9,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列，则b2(a2-a1)=（ ） A.8 B.-8 C.±8D. 10、在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ ）(A) (B) (C) (D)二、填空题：11、数列中，，则 .12、计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为 元.13、已知在等比数列中，各项均为正数，且则数列的通项公式是. 14．若方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是__________________．15．（2006年天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨。

16．设为等差数列的前项和，若,则公差为 （用数字作答）。

三、解答题：17.已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，求a，b，c．18.已知不等式的解集为A，不等式的解集为B。

（1）求A∩B；（2）若不等式的解集为A∩B，求不等式的解集。

第三章 不等式一、选择题1．假设a ＝2，b ＝log π3，c ＝log πsin 52π，则( )． A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a2．设a ，b 是非零实数，且a ＜b ，则以下不等式成立的是( )． A ．a 2＜b 2B ．ab 2＜a 2bC ．21ab＜b a 21 D ．a b ＜ba3．假设对任意实数x ∈R ，不等式｜x ｜≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ＜－1B ．｜a ｜≤1C ．｜a ｜＜1D ．a ≥14．不等式x 3－x ≥0的解集为( )． A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[0，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，0]∪[1，＋∞)5．已知f (x )在R 上是减函数，则满足f (11-x )＞f (1)的实数取值范围是( )． A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1，2)6．已知不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x ｜－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中( )．A B C D7．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧yx y x y x 2＋＋－ 则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．设变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧5－－31＋－3－＋y x y x y x 设y ＝kx ，则k 的取值范围是( )．A ．[21，34] B ．[34，2] C ．[21，2] D ．[21，＋∞) ≥0 ≤1≥1 ≥0≥1 ≤1 (第6题)9．已知a ，b ∈R ，则使｜a ｜＋｜b ｜≥1成立的一个充分不必要条件是( )． A ．｜a ＋b ｜＜1 B ．a ≤1，且b ≤1 C ．a ＜1，且b ＜1D ．a 2＋b 2≥110．假设lg x ＋lg y ＝2，则x1＋y 1的最小值为( )． A ．201B ．51 C ．21 D ．2二、填空题11．以下四个不等式：①a ＜0＜b ，②b ＜a ＜0，③b ＜0＜a ，④0＜b ＜a ，其中使a 1＜b1成立的充分条件是 ．12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧-11 则不等式xf (x )＋x ≤4的解集是____________．13．假设不等式(－1)na ＜2＋nn 1)1(+-对任意正整数n 恒成立， 则a 的取值范围是 ．14．关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1＋1)x ＋a ＋a1＜0(a ＞0)的解集为__________________． 15．假设不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是空集，则a 的取值范围是 ．三、解答题16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2194)(x －，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，求f (x )的最小值．(x ＞0)，(x ＜0)．17．甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，假设m≠n，问甲乙两人谁先到达指定地点?18＊．已知关于x的不等式(ax－5)(x2－a)＜0的解集为M．(1)当a＝4时，求集合M；(2)当3∈M，且5∈M时，求实数a的取值范围．第三章不等式参考答案一、选择题 1．A解析：三个以上的实数比较大小，可以先估算，进行分类(与0比较或与1比较)，再应用不等式性质或作差法．因为π＞1，0＜sin52π＜1，所以c ＝log π sin 52π＜0． 又因为3＞1，所以b ＝log π3＞0，而a ＝2＞0，故c 最小，只需再比较a 与b 的大小． 由指数函数的性质知，2＞1而且0＜log π 3＜log π π＝1，所以a ＞b ，即a ＞b ＞c ． 2．C解析：比较两个实数的大小，可采用作差法，也可用特殊值排除法，以下用作差法． ∵a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，当a ＜b ，且a ，b 均为负数时，(a ＋b )( a －b )＞0，a 2 ＞b 2，排除A ． ∵ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，由于b －a ＞0，当a ，b 同号时(比方a ＝1，b ＝2)，ab (b －a )＞0，ab 2＞a 2b ，排除B ．∵21ab －b a 21＝22－b a b a ＜0，即21ab ＜b a 21． 同样可以用作差法判断a b ＜ba是错误的． 3．B解析：由于不等号两边的函数比较熟悉，可以尝试数形结合法． 令f (x )＝｜x ｜，g (x )＝ax ，画出图象如右图， 由图可以看出｜a ｜≤1． 4．D解析：用数轴标根法求解． x 3－x ≥0可化为 x (x －1)(x ＋1)≥0，如图，原不等式的解集为{x ｜－1≤x ≤0，或x ≥1}． 5．C解析：关键是利用单调性去掉“f ”，转化为不含“f ”的不等式求解．(第3题)(第4题)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (11-x )＞f (1)⇔11-x ＜1⇔12--x x ＞0⇔x ＜1或x ＞2． 6．B解析：首先根据方程ax 2－x －c ＝0的根确定a ，c ，再求出f (－x )． 由已知，方程ax 2－x －c ＝0的两个实根为－2和1，则(－2)＋1＝a 1，(－2)×1＝ac -，解得a ＝－1，c ＝－2，则f (x )＝－x 2－x ＋2，f (－x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －21)2＋49，由开口方向和对称轴位置判断为B ．7．D解：先画可行域如图．作直线l 0:5x ＋y ＝0，平行移动直线l 0至直线l ，从图形中可以发现，当直线l 经过平面区域内的点A 时，直线在y 轴的截距最大，此时z 最大．由⎩⎨⎧1＝＋1＝2＋y x y x ，解得⎩⎨⎧0＝1＝y x ，即A (1，0)， ∴z ＝5×1＋0＝5．(第7题)8．C解析：k 的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率．解: 先画出题中不等式组所表示的区域(如图)，可以看出k OA 最小，k OB 最大．由⎩⎨⎧⇔⎩⎨⎧1＝2＝0＝3－＋0＝5－－3y x y x y x 得A (2，1)， k OA ＝－20－1＝21； 由⎩⎨⎧⇔⎩⎨⎧2＝1＝0＝3－＋0＝1＋－y x y x y x 得B (1，2)， k OB ＝0－10－2＝2．∴21≤k ≤2，即k ∈[21，2]．9．D分析:如果①：某选项能推出|a |＋|b |≥1，则充分性成立；还需要②：|a |＋|b |≥1不能推出该选项，①和②满足，该选项就是充分不必要条件．解：假设a 2＋b 2≥1，则(|a |＋|b |)2＝a 2＋2|ab |＋b 2≥a 2＋b 2≥1，|a |＋|b |≥1，充分性成立．但|a |＋|b |≥1时，未必有a 2＋b 2≥1，例如21＋21＝1，然而221⎪⎭⎫ ⎝⎛＋221⎪⎭⎫⎝⎛＜1．10．B解：∵lg x ＋lg y ＝2，∴xy ＝100，且x ＞0，y ＞0， ∴x 1＋y 1≥2y x 11⋅＝xy2，即x 1＋y 1≥51， 当且仅当⎩⎨⎧100＝＝xy yx x ＝10，y ＝10时取等号．二、填空题 11．①②④． 解：a ＜0＜b ⇒a 1＜0＜b1，充分性成立； b ＜a ＜0⇒ab ＞0，b －a ＜0⇒aba b －＜0，即a 1＜b 1，充分性成立；b ＜0＜a ⇒b 1＜0，a1＞0⇒a 1＞b 1，充分性不成立； (第8题)0＜b ＜a ⇒ab ＞0，b －a ＜0⇒a 1＜b1，充分性成立． 12．{x ｜0＜x ≤2，或x ＜0}．解析：由于f (x )是分段函数，所以要分别对每一段(分别在x ＞0，x ＜0条件下)解不等式．由⎩⎨⎧ ⇔⎩⎨⎧ ⇔0＜x ≤2， 由⎩⎨⎧ ⇔⎩⎨⎧ ⇔x ＜0， ∴0＜x ≤2或x ＜0． 13．［－2，23)． 解析：首先处理(－1)n ，需要对n 的奇偶性进行讨论． 假设n 为奇数，原不等式⇔－a ＜2＋n 1⇔ a ＞－(2＋n 1)，即a ＞－(2＋n1)对任意正奇数n 恒成立，因为－(2＋n 1)＝－2－n1＜－2，所以只需a ≥－2． 假设n 为偶数，原不等式⇔a ＜2－n 1，即a ＜2－n1对任意正偶数n 恒成立， 只需a ＜(2－n 1)最小值＝2－21＝23，即a ＜23． 所以假设对任意正整数n 不等式恒成立，以上应同时满足， 故－2≤a ＜23． 14．{x ｜1＜x ＜a ＋a1}． 解析：首先判断方程x 2－(a ＋a 1＋1)x ＋a ＋a1＝0(a ＞0)是否有实数根，实数根大小是否确定．x 2－(a ＋a 1＋1)x ＋a ＋a 1＜0可化为(x －1)[x －(a ＋a1)]＜0， ∵a ＞0，a ＋a 1≥2＞1，∴1＜x ＜a ＋a1． 15．{x ｜－1＜a ＜3}．解析：把问题等价转化为“恒成立”问题． x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是空集， ⇔ x 2－2x ＋3＞a 2－2a －1在R 上恒成立，x ＞0 xf (x )＋x ≤4 x ＞0x ·1＋x ≤4 x ＜0 xf (x )＋x ≤4 x ＜0x ·(－1)＋x ≤4⇔ x 2－2x －a 2＋2a ＋4＞0在R 上恒成立．因为抛物线y ＝x 2－2x －a 2＋2a ＋4开口向上，故只需△＝4－4(－a 2＋2a ＋4)＜0， 即x 2－2x ＋3＜0⇔－1＜a ＜3． 三、解答题16．解析：f (x )＝(x －1)2＋2194)(x －－1≥294－1＝31． 当x －1＝2194)(x －时，即x ＝1±36时，f (x )取到最小值31． 17．分析：行走时间短者先到达指定地点，问题的实质是比较两个实数(式子)的大小，用作差法．解：设从出发地到指定地点的路程是s ，甲乙两人走完这段路程所用的时间分别为t 1，t 2，则s n t m t ＝2＋211，2＝2＋2t n s m s ，所以t 1＝n m s ＋2，t 2＝mnsn m 2＋)(． t 1－t 2＝mns n m n m s 2＋－＋2)(=)(］)([n m mn s n m mn ＋2＋－42)()(n m mn s n m ＋2－＝－2， 因为s ，m ，n 均为正数且m ≠n ，所以t 1－t 2＜0，即t 1＜t 2， 所以甲比乙先到达指定地点．18＊．解：(1)当a ＝4时，(ax －5)(x 2－a )＜0⇔(x －45)(x －2)(x ＋2)＜0，由数轴标根法得x ＜－2，或45＜x ＜2． 故M ＝{x ｜x ＜－2，或45＜x ＜2}． (2)3∈M ，且5∈M⎪⎩⎪⎨⎧⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧⇔))(())((25－1－9－35－a a a a ⎪⎩⎪⎨⎧⇔ ⇔1≤a ＜35，或9＜a ≤25．故实数a 的取值范围是{x ｜1≤a ＜35，或9＜a ≤25}． (3a －5)(9－a )＜0(5a －5)(25－a )≥0 ≤0 a ＜35，或a ＞9 1≤a ≤25＞0 (第18题)。

人教A 版高中数学 必修5 函数、数列与不等式 综合培优练习第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1．已知数列{a n }中，a 1=2, a n +1－a n =3(n ∈N*)则数列{a n }的通项a n 的表达式是（ ）A ．3n －1B ．3n －2C ．3n －5D ．132-⋅n2．若23)(-=x x f ，则)]([1x f f -为 （ ）A ．98+x B ．9x －8 C ．32+x D ．x 3．若a 、b 、c ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的（ ）A ．a +b ≥b －cB ．（a －b ）c 2≥0 C ．b a c -2＞0 D ．ac ≥bc4．如果a 、b 、c 成等比数列，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0 ( )A ．一定有两不等实根B ．一定有两相等实根C ．一定无实根D ．有两符号不相同的实根5．如果等比数列{a n }的首项为正数，公比大于1，那么数列{log 12a n }是 ( )A ．递增的等差数列B ．递减的等差数列C ．递增的等比数列D ．递减的等比数列 6．已知函数()y f x =与()y g x =的图像如图所示，则不等式()0()f xg x >的解集是( ) A ．[5,25] B ．(5,25]- C ．(15,5)(5,25]-- D ．(15,5][5,25]--7．若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n Bn n ，则135135b b +的值为（ ）A ．87B ．97C ．78D ．20198．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、∈y R ，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()n a f n =（n *∈N ），则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ） A ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦)9．设M 是具有以下性质的函数()f x 的全体：对于任意0,0s t >>，都有()()()f s f t f s t +<+.给出函数.12)(,log )(221-==x x f x x f 下列判断正确的是（ ） A ．M x f M x f ∉∉)(,)(21 B ．M x f M x f ∈∈)(,)(21 C ．M x f M x f ∉∈)(,)(21 D ．M x f M x f ∈∉)(,)(2110.如图，在公路MN 的两侧有四个村镇：A 1、B 1、C 1、D 1通过小路和公路相连，各路口分别是A 、B 、C 、D ，现要在公路上建一个长途汽车站，为使各村镇村民到汽车站所走的路程总和最小，汽车站应建在（ ） A ．A 处 B ．B 处C ．B 、C 间的任何一处（包括B 、C ）D ．A 、B 之间的任何一处（包括A 、B ）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．函数1lg1xy x -=+的定义域的区间长为 ． 12．已知f (x )＝221x x +,则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (21)＋f (31)＋f (14)＝__________________． 13．已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为____．14．定义符号运算“＃”满足#(,x y ax by a b =+是常数），且2#24,3#18==，那么2#(3)-的值是___________．15．设数列}{n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项的积为n T ，并且满足条件,01,1100991>->a a a 99100101a a -<-.给出下列结论：A.0<q <1；B.1981T <；C.991011a a <；D.使1n T <成立的最小自然数n 等于199. 其中正确结论的编号是 ．答 题 卡三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 解下列不等式： （1）1x <-； （2）3252---x x x＜－117．（本题满分12分）{a n }为等差数列，公差d >0，S n 是数列{a n }的前n 项和,已知 14427,24a a S ==，（1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）令11n n n b a a +=，求数列{b n }的前n 项和T n .18．（本题满分12分）已知函数2()(8)f x ax b x a ab =+---，当(3,2)x ∈-时，()0f x >；当(,3)(2,+)x ∈-∞-∞时，()0f x <． （1）求()f x 在[0,1]内的值域；（2）c 为何值时20ax bx c ++≤的解集为R ．19．（本题满分12分）某公司一年内共需购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．（1）要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买多少吨？（2）要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围？20．（本题满分13分）若数列{}n a 对任意*n N ∈，满足211n n n na a k a a +++-=-(k 为常数)，则称数列{}n a 为等差比数列．（1）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足)1(2-=n n a S ，求数列{}n a 的通项公式，并判断数列{}n a 是否为等差比数列；（2）若数列{}n a 为等差数列，试判断数列{}n a 是否一定为等差比数列，并说明理由；（3）试写出一个等差比数列的通项公式n a ，使此数列既不是等差数列，也不是等比数列，并证明之．21．（本题满分14分）本大题分甲、乙两题，其中乙题为9班学生必做题，其余各班的学生可从这两题中任选一题作答，若两题都选，则只以得分较少的题给分．(甲)已知二次函数2()f x ax x =+（a ∈R ，a ≠0）．（Ｉ）当０＜a ＜12，[1,1]x ∈-时，()f x （x ∈R ）的最小值为54，求实数a 的值． （II ）如果x ∈[0，1]时，总有|()f x |1≤．试求a 的取值范围．（III ）令1=a ，当[,1]()x n n n *∈+∈N 时，()f x 的所有整数值的个数为()g n ，数列(){}2ng n 的前n 项的和为n T ，求证：7n T <． （乙）设函数)(x f 的定义域、值域均为R ，)(x f 的反函数为)(1x f -，且对任意实数x ，均有15()().2f x fx x -+<.定义数列01{}:8,10,n a a a ==1(),1,2,n n a f a n -==．（1）求证：);,2,1(2511 =<+-+n a a a n n n （2）设);()21)(6(:,,2,1,0,21*+∈-<=-=N n b n a a b nn n n n 求证 （3）是否存在常数A 和B ，同时满足①当n =0及n =1时，有nn n BA a 24+⋅=成立； ②当n =2,3，…时，有nn n BA a 24+⋅<成立. 如果存在满足上述条件的实数A ，B ，求出A ，B 的值；如果不存在，证明你的结论.参考答案1．A a 1=2, a n +1－a n =3(n ∈N*)则数列{a n }的通项a n =3n －12．D 23)(-=x x f ，则11[()][32]3(32)2f f x f x x --=-=--= 9x －8 3．B a 、b 、c ∈R 且a ＞b ，则（a －b ）>0， c 2≥0 ,∴（a －b ）c 2≥04．C a 、b 、c 成等比数列，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0 的22430b ac b ∆=-=-<. 5．B 等比数列{a n }的首项为正数，公比大于1，那么数列{log 12a n }是递减的等差数列6．C 如图函数()y f x =与()y g x =的图像，不等式()0()f xg x > ()0()0()0()0f x f xg x g x ><⎧⎧⇔⇒⎨⎨><⎩⎩或解集是(15,5)(5,25]-- 7．A 两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ， 则513175131741725175a a A b b B +⨯+==+⨯-＝878．C ()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、∈y R ，都有()()()f x f y f x y =+，112a =，()n a f n =（n *∈N ） 11(1)(1)()2n n a f n f f n a +=+==11[1()]1221()1212n n n S -⇒==-- 则数列{}n a 的前n 项和的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.9．D 对于任意0,0s t >>，都有()()()f s f t f s t +<+..12)(,log )(221-==xx f x x f 判断正确的是M x f M x f ∈∉)(,)(2110. C 各路口分别是A 、B 、C 、D ，要在公路上建一个长途汽车站，使各村镇村民到汽车站所走的路程总和最小，汽车站应建在B 、C 间的任何一处（包括B 、C ） 11．2 函数1lg1xy x -=+的定义域是(1,1)-． 12．3.5 f (x )＝22221111111()()()11111[]x f f x f x x x x x=-=-=-⇒=+=+++, 则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (21)＋f (31)＋f (14)＝3+ f (1)＝3.5．13．4 181()()9916a x y a x y ++≥⇒≥⇒≥，则正实数a 的最小值为4．14．9 符号运算“＃”满足#(,x y ax by a b =+是常数），且2#24,3#18==，224,383,1a b a b a b ⇒+=+=⇒==-那么2#(3)-＝9．15．ACD 设数列}{n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项的积为n T ，并且满足条件,01,1100991>->a a a 98219799119910011101,00111a a q a q q a a q --<⇒><⇒<<--.1981T <不确定，991011a a <正确，1n T <成立的最小自然数n 等于199正确.16．解：（1）原不等式等价于2230310223(1)x x x x x ⎧-≥⎪->⇒≥⎨⎪-<-⎩且2x ≠． 故原不等式的解集为：3{|2x x ≥且2}x ≠． （2）原不等式移项，整理得322322--+-x x x x ＜0 ，同解于（x 2－3x +2）(x 2－2x －3)＜0，即：(x +1)(x －1)(x －2)(x －3)＜0 ， 由数轴标根法可有：－1＜x ＜1或2＜x ＜3 。