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初一数学讲义（三）有理数的混合运算姓名成绩知识要点：1、有理数加减混合运算中，减法可以根据减法法则转化成加法，统一成只含有加法运算的和式．例如：（-5）+（-3）-（-7）-（+2）可转化为：（-5）+（-3）+（+7）+（-2）2、在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，如上式可写成：-5-3+7-23、省略加号的和式的读法有两种如-5-3+7-2，其意义表示-5，-3，+7，-2的和，只不过加号省略未写，因此，它可读作“-5，-3，+7，-2的和”；第二种读法是按习惯读作：“负5减3加7减2”。
第一种读法有利于用加法运算律简化运算．4、在运用加法交换律和结合律时，要注意连同前面的符号一起移动，如计算-5-3+7-2时，先交换成-5-3-2+7，再进行结合为（-5-3-2）+7，无论交换加数的位置，还是进行结合，都应连同符号移动，当省略“＋”号的首项移到后面时，应补上“＋”，如5-7+3＝-7+5+3，事实上，代数和中符号应看作数的一部分．5、有理数加减混合运算的步骤（1）把算式中的减法转化成加法；（2）省略加号与括号写成代数和的形式；（3）用加法法则计算，尽可能运用运算律简便计算．例1：把（-36）-（-28）+（+125）+（-4）-（+53）-（-40）写成省略加号的和的形式并把它读出来．例2、计算-8+（-11）-2003.12-9-（-9）-（+2）-（-2003.12）.例3、已知a=13，b=-12.1，c=-10，d=25.1求a-b-（c+d）的值综合练习一、判断题1．一个数的相反数一定比原数小；（）2．如果两个有理数不相等，那么这两个有理数的绝对值也不相等；（）3．|-2.7|>|-2.6|； ( )4.若a+b=0，则a,b互为相反数。
( )二．选择题1．相反数是它本身的数是（）A. 1B. ﹣1C. 0D.不存在2．下列语句中，正确的是（）A.不存在最小的自然数B.不存在最小的正有理数C.存在最大的正有理数D.存在最小的负有理数3．两个数的和是正数，那么这两个数（）A.都是正数B.一正一负C.都是负数D.至少有一个是正数4、下列各式中，等号成立的是（）A、－=6 B、=－6 C、－=－1D、=－3.145、在数轴上表示的数8与－2这两个点之间的距离是（）A、6B、10C、-10 D-66、一个有理数的绝对值等于其本身，这个数是（）A、正数B、非负数C、零D、负数三、填空题1. |－4|－|－2.5|+|－10|＝________;2. 最大的负整数是___ ___;最小的正整数是____________3. 绝对值小于5的整数有______个；绝对值小于6的负整数有_______个4. 数轴三要素是__________,___________,___________5. 若上升6米记作＋6米，那么－8米表示。
【前铺1】 将下列各数归类：0， 1.5-，14，0.62+，3-，132，0.31•，π，98-. 其中整数有 ，分数有 ，正数有 ，负整数有 ，正分数有 ，非负数有 ，非负整数有 。
【前铺2】 下列各数2(2)-，2(2)--，2-，3(2)-①2332-⨯，②23(3)(2)-⨯-，③2007(1)-，④35(2)(3)--中，负数有 ．【前铺3】 大于112-且小于2的所有整数是 ．有理数的加减法有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差. 有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a +=+(加法交换律)第二讲 有理数的混合运算②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.()()a b c a b c++=++(加法结合律)有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b-=+-有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.例如：(3)(0.15)9(5)(11)30.159511++-++++-=--+-，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和.【例题1】计算：⑴5116( 2.39)( 1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32)( 1.57)6767-+-+++-+-+-+-++⑵11(0.75)0.375(2) 84 +-++-【拓展】⑴21(4)(3)33-+-=⑵21(6)(9)|3|7.49.2(4)55-+-+-+++-=⑶17(14)(5)( 1.25)88-+++-=⑷111(8.5)3(6)11332-++-+=⑸5317 (9)15(3)(22.5)(15)124412 -++-+-+-=⑹434(18)(53)(53.6)(18)(100)555-+++-+++-=⑺1132|1()|3553-----=⑻ 4.7( 3.3)( 5.6)( 2.1)--+----=⑼1111(3)[(3)3](3)4444⎡⎤-------=⎢⎥⎣⎦【例题2】 1997个不全相等的有理数之和为0，则这1997个有理数中( )A ．至少有一个是零B ．至少有998个正数C ．至少有一个是负数D ．至多有995个是负数【拓展】 (第17届希望杯2试)若0a b c d <<<<，则以下四个结论中，正确的是( )A ．a b c d +++一定是正数．B ．d c a b +--可能是负数．C ．d c b a ---一定是正数．D ．c d b a ---一定是正数．【例题3】 电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步有点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，．．．．．． ，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94． 求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．【例题4】 数轴的原点O 上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4个单位长度……，依次规律爬下去，当它爬完第100次处在B 点．① 求O 、B 两点之间的距离（用单位长度表示）．② 若点C 与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，需要多少时间才能到达？③ 若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O 点多远？【例题5】 在整数1，3，5，7，…，21k -，…，2005之间填入符号“＋”和“－”号，依此运算，所有可能的代数和中最小的非负数是多少？【拓展】 数列1a ，2a n a 中，任意连续3项的和为负数，任意连续5项的和为正数。
预备年级第二学期数学第二课 有理数的加减法知识要点：1、有理数的加减法的运算法则2、有理数的加法与减法的互逆关系3、利用运算律进行有理数的加减法的简便运算4、去括号法则：括号前是正号，去括号时括号内的各个加数的符号不变；括号前是负号，去括号时括号内的各个加数的符号都改变符号。
5、符号“—”有两重性：如在53-中“—”是运算符号——减号；在3+（-5）中“—”是性质符号——负号。
例题讲解：例1、如果我们规定盈利为正，那么亏损为负。
如盈利-120元就是亏损120元。
一家商店2005年上半年盈利1.2万元，下半年盈利1.8万元；2006年上半年盈利-0.3万元，下半年盈利0.8万元；2007年上半年盈利-0.4万元，下半年盈利-0.2万元。
那么这家商店每年是盈利还是亏损？盈利或亏损各多少万元？例2计算：（1）()()1525-+- （2）⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4332 （3）⎪⎭⎫⎝⎛-+5182.7（4）5-（-5） （5） ⎪⎭⎫⎝⎛--3210 （6）⎪⎭⎫ ⎝⎛---103352例3计算：（1）()()17152335-++-+ （2）⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-++512834.2375.0（3）()21432743---⎪⎭⎫⎝⎛-（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--432126117例4已知一辆小货车从A 地出发，先向东行驶5千米，卸货后再向西行驶23千米装上另一批货物，然后又向东行驶10千米后停下来，问小货车最后停在何处？例5一天早晨的气温是-2℃，中午气温上升8℃，傍晚气温又下降5℃，问傍晚的气温是多少？例6已知点A 、B 、C 在数轴上对应的数分别是a 、b 、c 化简c b c a b a +++++CO B A练习1、计算：()=+-03 ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-4131 ，=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-312211 。
2、判断下列两数和的符号：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-3255： ():0001.0+-;819918⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+()78-+-；3、计算：()()()=-+-++31316 ；=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-326513328 ；()()=-+-+5.767.4 ；()=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+4119925.2 ；=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+25.065211431；=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4161534361；=⎪⎭⎫ ⎝⎛---433535； =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---8121434、在下列各式的空格中填入适当的数，是使等式成立。
专题：有理数加减法重难点易错点解析例1题面：计算：(-40)+(+28)+(-19)24711137⎛⎫+- ⎪⎝⎭有理数的加法： 1、同号两数相加 2、异号两数相加 例2.题面：计算：(+4.7)-(-8.9)-(+7.5)517(10)125--- 有理数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数 有理数计算两步走： 先定号，再定绝对值金题精讲题一题面：计算：-7.5+3.4-6.82651432131313⎛⎫--+- ⎪⎝⎭()()273.732 3.770299⎛⎫-++--+--- ⎪⎝⎭题二题面：某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）（1）本周三生产了多少辆摩托车？（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？ （3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？ 题三 题面：计算5231591736342⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()6.6 5.2 3.8 2.6 4.8++---+--+ ()()3120.1253310 1.25483⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭题四题面：已知10个连续整数a 1，a 2，a 3，…，a 10，在这10个数中任意选择5个数，每一个数前面添加1个“+”号，另外5个数，每一个前面添加1个“-”号后，求此时10个数和的最大值．思维拓展题面：计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：讲义参考答案重难点易错点解析例1答案：-3138 491 -例2.答案：6.147 2 60金题精讲题一答案：-10.9 -20 99题二答案：（1）297辆（2）减少21辆（3）35辆题三答案：54--2.21106题四答案：25 思维拓展答案：16。
第二讲有理数的加减法有理数的加法1、有理数的加法法则（1）同号两数相加||，取相同的符号||，并把绝对值相加．（2）异号两数相加||，绝对值相等时和为0；绝对值不等时||，取绝对值较大加数的符号||，并用较大的绝对值减较小的绝对值．（3）一个数同0相加||，仍得这个数．2、有理数的加法运算及简化运算：（1）在进行有理数的加法时||，首先应判断相加两数的符号是同号还是异号||，选定有理数的加法法则||，然后确定和的符号||，最后进行绝对值的计算．（2）异号两数的加法运算：关键应首先判断两加数的绝对值大小||，确定和的符号.若正数的绝对值较大||，则和取正；若负数的绝对值较大||，则取负；然后判断用谁的绝对值减去谁的绝对值．注意：在有理数的加法中||，和不一定小于每个加数．二、例题讲解例1、计算（1）（-21）+（-31）；（2）-15+0；（3）（-13）+（+12）；（4）（-313）+0.3．例2、若|a|=2||，|b|=5||，则|a+b|=_______.例3、某家庭工厂一月份收支结余为－1200.50元||，二月份收入为2019.70元||，问二月底家庭工厂的收支结余情况如何？例4、两个有理数之和等于0||，那么这两个有理数必须是（）A、都是0B、相等C、互为相反数D、有一个数是0例5、一幢大厦地上有20层||，地下有3层||，地面一层记为0||，往上为正||，小明从8层往上走了2层||，再乘电梯往下走了13层||，问小明到了哪一层？三、课堂练习1．（+5）+（+7）=_______；（-3）+（-8）=________；（+3）+（-8）=________；（-3）+（-15）=________；0+（-5）=________；（-7）+（+7）=________．2．比-3大-6的数为_______；上升20米||，再上升-10米||，则共上升_______米．3．一个数为-5||，另一个数比它的相反数大4||，这两数的和为________．4．（-5）+______=-8；______+（+4）=-9．5．若a||，b互为相反数||，c、d互为倒数||，则（a+b）+cd=________．6．若两数的和为负数||，则这两个数一定（）A．两数同正B．两数同负; C．两数一正一负D．两数中一个为08．下列各组运算结果符号为负的有（）（+35）+（-45）||，（-67）+（+56）||，（-313）+0||，（-1.25）+（-34）A．1个B．2个C．3个D．4个9．计算:（1）（-423）+（+316）；（2）（-823）+（+4.5）；（3）（-723）+（-356）；（4）│-7│+│-9715│；（5）（+4.85）+（-3.25）；（6）（-3.1）+（6.9）；（7）（-22914）+0；（8）（-3.125）+（+318）．10．一位同学在一条由东向西的跑道上||，先向东走了20米||，又向西走了30米||，能否确定他现在位于原来的哪个方向||，与原来位置相距多少米？11．存折中原有550元||，取出260元||，又存入150元||，现在存折中还有多少元钱？家庭作业一、填空题1．计算：－3＋2＝_______．2．比－2大6的数为_______．3．存折中有存款240元||，又存入100元||，存折中现在有_______元．4．若a的相反数是－3||，b的绝对值是4||，则a＋b＝_______．5．小明和洋洋玩上楼梯游戏||，规定一步只能上一级或二级台阶||，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为1级、2级、3级、…||，楼梯的上法次数依次为：1、2、3、5、8、13、21、…(这就是著名的斐波那契数列)．则上10级台阶共有_______种上法．二、选择题6．比－3大2的数是( )A．－5 B．－1 C．1 D．57．温度从－2℃上升3℃后是( )A．1℃B．－1℃C．3℃D．5℃8．－3＋5的相反数是( )A．－2 B．－2 C．－8 D．－89．有理数a、b在数轴上的位置如图所示||，则a＋b的值( )A．大于0 B．小于0 C．小于a D．大于b10．如果两个数的和为正数||，那么这两个加数( )A．都是正数B．一个数为正||，另一个为0C．两个数一正一负||，且正数绝对值大D．以上都有可能三、解答题11．计算：(1)(－10)＋15；(2)(－0.9)＋(－3.6)；(3)0＋(－4.5)；(4)－1.5＋112．12．土星表面夜间的平均气温为－150℃||，白天的平均气温比夜间高27℃||，那么白天的平均气温是多少？13．列式解答：(1)－个数与－5的差为－8||，求这个数；(2)－个数与9的差为－5||，求这个数．14．规定扑克牌中的黑色数字为正数||，红色数字为负数||，且J为11||，Q为12||，K为13||，A 为1||，如图计算下列各组两张牌面数字之和．有理数的减法1、有理数的减法法则减去一个数||，等于加上这个数的相反数.2、有理数的减法的运算把减法转换成加法||，借助于加法计算||，因此掌握有理数减法的关键是正确地减法转化成加法||，再按有理数加法法则计算.注意两个“变”：①改变运算符号；②改变减数的性质符号（变为相反数）.牢记一个“不变”||，被减数与减数的位置不能互换||，即：减法没有交换律.【注】有理数减法的意义与小学所学减法的意义完全相同.【例1】下列结论正确的个数是()①如果两个数的差是正数||，那么这两个数都是正数；②两个数的差不一定小于这两个数的和；③两个数的差一定小于被减数；④零减去任何数都等于这个数的相反数．A．1B． 2 C． 3 D．4【例2】计算（1）2-(-3) (2)0-（-3.72）-（+2.72）（3）（+47）-133【例3】填空：(1)______+6=20；(2)20+______=17；(3)______+(-2)=-20；(4)(-20)+______=-6．【例4】已知0a<||，0b<||，且a b>||，是判断a b-的符号.【例5】以地面为标准||，A处高6.7米||，B处高-4.3米||，C处高-14.6米||，问：（1）A处比B处高多少米？（2）B处和C处相比||，哪个地方高？高多少米？（3）A处和C处比||，哪个地方低||，低多少米？【例6】全班学生分为五个组进行游戏||，每组的基本分为100分||，答对一题加50分||，答错一题扣50分.游戏结束时||，各组的分数如下:(1) 第一名超出第二名多少分?(2) 第二名超出第五名多少分?思考：如何求数轴上两点的距离？三、课堂练习：（一）选择题1．某市2009年元旦的最高气温为2℃||，最低气温为-8℃||，那么这天的最高气温比最低气温高( )．A．-10℃B．-6℃C．6℃D．10℃2．如果□+2＝0||，那么“□”内填的数的是( )．A．2 B．-2 C．0 D．-13．两个有理数相加||，和小于其中一个加数而大于另一个加数||，需满足（）A．两个数都是正数B．两个数都是负数C．一个是正数||，另一个是负数D．至少有一个数是零4．下列说法中正确的是A．正数加负数||，和为0B．两个正数相加和为正；两个负数相加和为负C．两个有理数相加||，等于它们的绝对值相加D．两个数的和为负数||，则这两个数一定是负数5．下列说法正确的是( )A．零减去一个数||，仍得这个数B．负数减去负数||，结果是负数C．正数减去负数||，结果是正数D．被减数一定大于差6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上||，分别标有质量为(25±0.1)kg||，(25±0.2)kg||，(25±0.3)kg的字样||，从中任意拿出两袋||，它们的质量最多相差( )A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg7. -3+5的相反数是( )．A．2 B．-2 C．-8 D．8（二）填空题1.有理数,,a b c c在数轴上对应点位置如图所示||，用“＞”或“＜”（1）｜a｜______｜b｜；（2）a＋b＋c______0：（3）a－b＋c______0；（4）a＋c______b；（5）c－b______a．2. 如果a＞0||，b＜0||，a＋b＜0||，那么a||，b||，- b||，-a 大小关系是3．某月股票M开盘价20元||，上午10点跌1.6元||，下午收盘时又涨了0.4元||，则股票这天的收盘价是_______．4．列出一个满足下列条件的算式：(1)所有的加数都是负数||，和为-5||，________；(2)一个加数是0||，和是-5________；(3)至少有一个加数是正整数||，和是-5||，________．5. 数学活动课上||，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b||，有a☆b＝a-b+1||，请你根据新运算||，计算(2☆3)☆2的值是.6.如图所示||，数轴上A、B两点所表示的有理数的和是_________．（三）解答题1.计算题（1）232(1)(1)( 1.75)343-----+-（2）132.1253(5)(3.2)58-+---+（3）123456782001200220032004-+-+-+-++-+-+2. 已知：|a|=2||，|b|=3||，求a+b的值．3. 某人用400元购买了8套儿童服装||，准备以一定的价格出售||，如果以每套55元的价格为标准||，超出的记为正数||，不足的记为负数||，记录如下：(单位：元)+2||，-3||，+2||，-1||，-2||，+1||，-2||，0(1)当他卖完这8套服装后的总收入是多少?(2)盈利(或亏损)了多少元?家庭作业一、选择题1．等式a—（—b）＝０成立的条件是（）（A）a=b （B）中至少有一个为0（C）a、b同号（D）a、b异号2．下列结论不正确的是（）（A）若a>0||，b<0||，则a—b >0 （B）若a<b||，b>0||，则a—b <0（C）若a<0||，b<0||，|a|>|b|||，则a—b <0 （D）若a<0||，b<0||，则a—(—b) >03．如果a、b为有理数||，且a —b > a + b||，则（）（A）a、b同号（B）a、b异号（C）a为负数（D）b为负数4．下列句子中||，正确的是（）（A）在有理数加法或减法中||，和不一定比加数大||，被减数不一定比减数大（B）减去一个数等于加上这个数（C）零减去一个数||，仍得这个数（D）两个相反数相减得零二、填空题5．有理数减法法则可以表示为：a —b = a + ；6．填空：（1）（—6）—（—4）=（—6）+（）=（）；（2）3 —（）= 7；（3）（）—（—8）= —3||。
