余角和补角(2)方位角(教师版)

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来参考自己需要的教案吧！下面是小编为大家整理的余角和补角教案，希望对大家有所帮助。

余角和补角教案1[教学目标]1、在具体情境中认识余角和补角的概念，并会运用解题；2、经历观察、操作、探究、推理、交流等活动，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力和有条理的表达能力；3、体验数学知识的发生、发展过程，敢于面对数学活动中的困难，建立学好数学的信心。

[教学重点与难点]1、教学重点：互为余角、互为补角的概念；2、教学难点：应用方程的思想解决有关余角和补角的问题。

[教学准备]多媒体课件、纸板、三角尺[教学过程]一、情境引入1、带领同学们领略意大利的比萨斜塔的壮观景象，并思考：斜塔与地面所成的角度和它与竖直方向所成的角度相加为多少度？（课件演示）2、（动手操作1）拿出一个直角纸板，将直角剪成两个角，∠1和∠2，问：∠1和∠2的和为多少度呢？∠1+∠2=90°，我们把具有这种关系的∠1、∠2称为互余，其中∠1叫做∠2的余角，∠2叫做∠1的余角。

请同学们根据老师的演示试着说出余角的定义。

（设计意图：通过比萨斜塔的现实情境和剪纸这一实际操作引出余角概念，既调起学生的兴趣，又直观易懂。

）二、新知探究1、余角的定义：如果两个角的和为90°（直角），我们就称这两个角互为余角，简称互余。

2、（动手操作2）（1）拿出和的两个角的纸板拼成一个直角，问：“这两个角互余吗？”把其中一个角移开，“这两个角还互余吗？”注意事项1：两角互余只与度数有关，与位置无关。

新2024秋季七年级人教版数学上册第四章几何图形初步《角：余角和补角（方位角）》听课记录一、教学目标（核心素养）核心素养目标：1.空间观念：通过余角和补角的概念学习，增强学生的空间想象能力，理解角之间的互补与互余关系。

2.逻辑推理：掌握余角和补角的性质，学会运用这些性质进行角的计算和推理。

3.数学运算：提高学生的数学运算能力，尤其是在处理角的加减运算时能够准确无误。

4.问题解决：能够应用余角和补角的知识解决实际问题，如计算方位角等。

二、导入教师行为：•教师首先展示一个直角，并提问：“同学们，你们知道这个角是多少度吗？”学生回答后，教师继续引导：“如果我们从这个直角中减去一个角，得到的角与原来的角之间有什么关系呢？”•教师引入余角和补角的概念，简要说明它们各自的定义和性质。

学生活动：•学生积极思考并回答教师的问题，对直角有基本的认识。

•认真倾听教师讲解余角和补角的概念，初步理解它们之间的关系。

过程点评：•导入环节通过学生熟悉的直角入手，自然引出余角和补角的概念，激发了学生的学习兴趣和好奇心。

•教师的提问和引导有助于学生建立新旧知识之间的联系，为后续学习打下基础。

三、教学过程（一）余角和补角的概念讲解教师行为：•详细讲解余角和补角的定义，强调“和为90度”与“和为180度”的关键特征。

•通过图示和实例，帮助学生直观理解余角和补角的概念及其在空间几何中的应用。

学生活动：•认真听讲，记录关键信息，尝试用自己的话复述余角和补角的定义。

•观察图示和实例，加深对余角和补角概念的理解。

过程点评：•教师讲解清晰，图文并茂，有助于学生理解和掌握余角和补角的概念。

•学生积极参与，通过复述和观察，进一步巩固了所学知识。

（二）余角和补角的性质应用教师行为：•设计一系列练习题，包括角的加减运算、判断角的余角和补角等，让学生独立完成。

•巡视课堂，及时发现并解决学生在解题过程中遇到的问题。

•邀请学生分享解题思路和答案，进行集体讨论和纠正。

4．3．3 余角与补角〔2〕方位角【课标内容】认识余角和补角的概念并区分.【教材分析】本节是继“角〞及“角的比拟和运算〞之后的内容，是进一步认识角，并认识互为余角、互为补角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下根底.同时也为以后的学习做好铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个根底，对于本节认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大.【学情分析】学生在学过余角和补角后对本节应不难理解掌握.【教学方法】五步教学法【教具准备】三角板、量角器【课时安排】1课时【教学目标】1.知识与技能：(1)在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质.(2)了解方位角，能确定具体物体的方位.2.过程与方法：进一步提高学生的抽象概括能力，知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜测.3.情感态度与价值观：体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜测和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论确实定性，能在独立思考和小组交流中获益.【教学重难点】会根据语言描述准确的画出表示方向的射线；会根据图形中的射线说出其方位.结合实际问题画出表示方向的射线.【教学过程】一、预学测查互助点拨1.如图，〔1〕射线OA的方向是南偏西40°，或者说点A在点O的南偏西40°方向．〔2〕射线OB的方向是北偏东45°，或者说点B在点O的________方向．注：北偏东45°的方向又称为“东北方向〞．所以，我们也可以称点B在点O的________方向．〔3〕在图中画出北偏西50°方向射线OC．二、例题示范提炼方法探究点1：方位角的意义1．请你阅读教材P 138例4：什么叫北偏东，北偏西，南偏东，南偏西，东北方向，西南方向，东南方向，西北方向等概念.点拨：在航行、测绘等日常生活中，我们经常会碰到描述一个物体的方位．描述一个物体的方位，通常要用到表示方位的角——方位角．方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描述物体的方向．即用“北偏东多少度〞、“北偏西多少度〞或者“南偏东多少度〞、“南偏西多少度〞来表示方向．2．点O 在点A 的南偏东65°方向，那么点A 应在点O 的______________方向.3．如图，A 、B 、C 三点分别代表邮局、商店和学校．邮局和商店分别在学校的北偏西方向，邮局又在商店的北偏东方向．那么，图中A 点应该是,B 点应该是，C 点应该是_____探究点2：方位角的判别与应用1．考察队从P 地出发，沿北偏东60°前进5千米到达A 地，再沿东南方向前进到达C 地，C 恰好在P 地的正东方．〔1〕用1㎝代表2千米，画出考察队的行进路线图．〔2〕量得∠PAC ＝________，∠ACP ＝_______．〔精确到1°〕1．灯塔A 在灯塔B 的南偏西60°，距离20海里，轮船C 在灯塔B 的西北方向，距离40海里．用1㎝表示10海里画出示意图，试确定货船C 在灯塔A 的什么方向，距A 多远？ 设计意图：通过实际应有让学生懂得学习数学是有用的，是有意义的.三、师生互动 稳固新知1.用角度表示方向：一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向， 如下图，OA 方向可表示为______________2.某同学参观展览馆A 后，想去景点B ，但他不知道如何走，你能借助右图，告诉他去景点B 应朝什么方向，大约走多远吗？ 〔图中1厘米代表1千米〕设计意图：对所学知识进行稳固，加深理解.四、应用提升 挑战自我1.如图，射线OA 的方向是:_______________；射线OB 的方向是:_______________；射线OC 的方向是:_______________；2.海面上，灯塔位于一艘船的北偏东50°，那么这艘船位于这个灯塔的〔 〕A 南偏西50°B 南偏西40°C 北偏东50°D 北偏东40°设计意图：对所学知识进行延伸迁移.五、经验总结 反思收获本节课你学到了什么？【板书设计】4．3．3 余角与补角〔2〕方位角方位角： 北A B 60º 第１题图 第２题图什么叫北偏东，北偏西，南偏东，南偏西，东北方向，西南方向，东南方向，西北方向等概念.几何中，通常以正北、正南方向为基准，来描述物体运动的方向.【教学反思】在本节要求有一半多的同学能答复老师所设的问题.在练习中，要求学生能够通过实践得出结论，有些同学也可通过简单推理得出结论，这是两个不同层次的要求，设计中真正表达面向全体学生，使不同的人在数学上得到不同的开展的理念.在教学中重视学生知识的形成过程，重视让学生自己发现、获取知识，如在推导“同角〔等角〕的补角相等和同角〔等角〕的余角相等〞性质时，充分放手给学生，让学生自己得出结论，体验到探究的乐趣.。

第33课 余角和补角学习目标1.了解补角和余角的概念.2.理解等角的余角相等,等角的补角相等.3.了解角在解决实际问题中的一些简单应用.知识点01 余角和补角的概念1.如果两个锐角的和为直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角.知识点02 余角与补角的性质余角与补角性质：同角或等角的余角相等； 同角或等角的补角相等.考点01 余角和补角的概念【典例1】已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（ ）A ．120°B ．60°C ．30°D ．150°【思路点拨】根据∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，求得∠2的度数，然后根据∠2与∠3互补，得出∠3＝180°﹣∠2．【解析】解：∵∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，能力拓展∵∠2与∠3互补，∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．故选：D．【点睛】本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．【即学即练1】已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，且∠1＝55°21'，则∠3＝　145°21′　．【思路点拨】根据互为余角的两个角的和等于90°，先求出∠2，再根据互为补角的两个角的和等于180°，列式计算即可求出∠3的度数．也可以根据同角的补角比余角大90°进行计算．【解析】解：（方法1）∵∠1与∠2互余，∠1＝55°21'，∴∠2＝90°﹣55°21′＝34°39′，∵∠2与∠3互补，∴∠3＝180°﹣34°39′＝145°21′．（方法2）∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∴∠3＝∠1+90°，∵∠1＝55°21′，∴∠3＝90°+55°21′＝145°21′．故答案为：145°21′．【点睛】本题考查了余角和补角，互余的两个角的和等于90°，互补的两个角的和等于180°，熟练掌握性质概念是解题的关键．考点02 余角与补角的性质【典例2】若∠α+∠β＝90°，∠β+∠γ＝90°，则∠α与∠γ的关系是（ ）A．互余B．互补C．相等D．∠α＝90°+∠γ【思路点拨】两式组成方程计算即可．【解析】解：已知∠α+∠β＝90°（1），∠β+∠γ＝90°（2），（1）﹣（2）得，∠α＝∠γ．故选：C．【点睛】主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是能准确的从题意中找出这两个角之间的数量关系，从而判断出两角之间的关系．【即学即练2】如图，因为∠1+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，所以∠1＝∠3，这是根据（ ）A ．同角的余角相等B ．等角的余角相等C ．同角的补角相等D ．等角的补角相等【思路点拨】根据题意知∠1与∠3都是∠2的补角，根据同角的补角相等，得出∠1＝∠3．【解析】解：∵∠1与∠3都是∠2的补角，∴∠1＝∠3（同角的补角相等）．故选：C ．【点睛】本题考查了补角的知识，注意同角或等角的补角相等，在本题中要注意判断是“同角”还是“等角”．题组A 基础过关练1.若∠α＝60°32'，则∠α的余角是（ ）A ．29°68'B ．29°28'C ．119°68'D ．119°28'【思路点拨】根据余角的定义解答即可．【解析】解：若∠α＝60°32'，则∠α的余角是90°﹣60°32'＝29°28'．故选：B ．【点睛】本题考查余角的定义．掌握和为90°的两角互为余角是解题的关键．2.若一个角的余角为65°，则这个角的补角度数为（ ）A ．105°B ．155°C ．115°D ．125°【思路点拨】根据互为余角的两个角的和等于90°求出这个角，再根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．【解析】解：∵一个角的余角是65°，∴这个角是90°﹣65°＝25°，∴这个角的补角为180°﹣25°＝155°．分层提分【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记余角和补角的概念是解题的关键．3.将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β不一定相等的是（ ）A．B．C．D．【思路点拨】A、由图形可分别求出∠α＝∠β＝45°，即可做出判断；B、由图形可得两角互余，即可做出判断；C、由对顶角相等可得∠α＝∠β，即可做出判断；D、根据同角的余角相等，即可做出判断．【解析】解：A、由图形可得∠β＝45°，∠α＝∠90°﹣45°＝45°，则∠α＝∠β＝45°，故A不符合题意；B、由图形可得∠α+∠β＝90°，故B符合题意；C、由对顶角相等得：∠α＝∠β，故C不符合题意；D、根据同角的余角相等，得：∠α＝∠β，故D不符合题意，故选：B．【点睛】本题主要考查余角，解答的关键是对余角的定义的掌握．4.一个角的余角的3倍比这个角的4倍大18°，则这个角等于（ ）A．36°B．40°C．50°D．54°【思路点拨】根据互为余角的两角和等于90°，用这个角表示出它的余角，然后根据题意列出方程求解即可．【解析】解：设这个角是x，则它的余角是90°﹣x，根据题意得，3（90°﹣x）﹣4x＝18°，去括号，得270°﹣3x﹣4x＝18°，移项、合并，得7x＝252°，系数化为1，得x＝36°．故这个角的度数36°．【点睛】本题主要考查了余角与补角，根据题意列出方程是解题的关键．5.已知一个锐角的度数为71.52°，则这个角的余角为　18°28′48″　．（结果用度、分、秒来表示）【思路点拨】根据互余的两角之和为90°，可得这个角的余角．【解析】解：90°﹣71.52°＝18.48°＝18°28′48″，∴这个角的余角是18°28′48″．故答案为：18°28′48″．【点睛】本题考查了余角的知识，度分秒的换算，关键是掌握互余的两角之和为90°．6.一个角的补角比它的余角的3倍少20°，这个角的度数是　35°　【思路点拨】设这个角为x度．根据一个角的补角比它的余角的3倍少20°，构建方程即可解决问题．【解析】解：设这个角为x度．则180°﹣x＝3（90°﹣x）﹣20°，解得：x＝35°．答：这个角的度数是35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查余角、补角的定义，一元一次方程等知识，解题的关键是学会与方程分思想思考问题，属于中考常考题型．7.若∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，则∠1与∠3的关系是　∠1＝∠3　，理由是　同角的余角相等　．【思路点拨】根据同角的余角相等的性质即可求解．【解析】解：若∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，则∠1与∠3的关系是∠1＝∠3，理由是同角的余角相等．故答案为：∠1＝∠3；同角的余角相等．【点睛】考查了余角和补角的性质：同角的补角相等．同角的余角相等．8.如图，已知A、O、E三点在同一直线上，∠1＝∠2，且∠1和∠4互为余角．（1）∠2与∠3互余吗？（2）∠3和∠4有什么关系，为什么？（3）∠3的补角是　∠AOD　．【思路点拨】（1）根据∠1+∠2+∠3+∠4＝180°和∠1+∠4＝90°推出即可；（2）根据等角的余角相等得出即可；（3）根据等角的补角相等得出即可．【解析】解：（1）∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，又∵∠1和∠4互为余角，∴∠1+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝90°，即∠2与∠3互余；（2）∠3＝∠4，理由是：∵∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4；（3）∵∠3＝∠4，∠4的补角是∠AOE，∴∠3的补角是∠AOD，故答案为：∠AOD．【点睛】本题考查了对互余和互补的定义的应用，注意：①如果∠1和∠2互余，则∠1+∠2＝90°，②如果∠1和∠2互补，则∠1+∠2＝180°．9.已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数；（2）如图2，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数．【思路点拨】（1）根据互补的意义得到∠AOB+∠BOC＝180°，则可计算出∠BOC＝180°﹣∠AOB＝140°，然后根据角平分线的定义可得到∠COD的度数；（2）根据互余的意义得到∠AOB+∠BOC＝90°，则可计算出∠BOC＝90°﹣∠AOB＝50°，然后根据角平分线的定义可得到∠COD的度数．【解析】解：（1）∵∠AOB与∠BOC互补，∴∠AOB+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，∵OD是∠BOC的平分线，∴∠COD＝∠BOC＝70°；（2））∵∠AOB与∠BOC互余，∴∠AOB+∠BOC＝90°，∴∠BOC＝90°﹣40°＝50°，∵OD是∠BOC的平分线，∴∠COD＝∠BOC＝25°．【点睛】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角；等角的补角相等．等角的余角相等．10.如图，将两块直角三角尺的顶点叠放在一起．（1）若∠DCE＝25°，求∠ACB的度数．（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数．（3）猜想∠ACB与∠DCE的关系，并说明理由．【思路点拨】（1）由于是两直角三角形板重叠，重叠的部分就比90°+90°减少的部分，所以若∠DCE ＝25°，则∠ACB的度数为180°﹣25°＝155°；（2）与（1）同理，由∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为180°﹣∠ACB＝40°；（3）由于∠ACD＝∠ECB＝90°，重叠的度数就是∠ECD的度数，所以∠ACB+∠DCE＝180°．【解析】解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝25°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝∠ACD+∠ECB﹣∠DCE＝180°﹣25°＝155°；（2）由（1）知∠ACB＝180°﹣∠ECD，∴∠ECD＝180°﹣∠ACB＝40°；（3）∠ACB+∠DCE＝180°，理由：∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+90°﹣∠DCE．∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补．【点睛】本题题主要考查了旋转的性质和互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠．题组B 能力提升练11.已知∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°（∠α≠0°，∠β≠0°），下列式子表示的角：①90°﹣∠β；②30°+∠α；③∠α+∠β；④2∠α+∠β中，其中是∠β的余角的是（ ）A．①②B．①③C．②④D．③④【思路点拨】根据3∠β＝180°﹣2∠α求出∠β＝60°﹣∠α，求出∠β的余角是90°﹣∠β，求出∠β的余角＝90°﹣（60∠α）＝30°+∠α，再逐个判断即可．【解析】解：∠β的余角是90°﹣∠β，故①正确；∵∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°，∴3∠β＝180°﹣2∠α，∴∠β＝60°﹣∠α，∴∠β的余角是90°﹣（60∠α）＝30°+∠α，故②错误；∵∠α+β＝∠α+（60°﹣∠α）＝∠α+30°﹣＝30°+∠α，∴∠α+∠β是∠β的余角，故③正确；∵2∠α+∠β＝2∠α+60°﹣∠α＝60°+∠α≠30°+∠α，故④错误；即正确的是①③，故选：B．【点睛】本题考查了余角与补角，能求出∠β的余角＝90°﹣∠β＝30°+∠α是解此题的关键．12.下列说法正确的是（ ）A．90°的角叫余角，180°的角叫补角B．如果∠1+∠2+∠3＝180°，那么∠1、∠2与∠3互补C．如果两个角相等，那么它们的补角相等D．如果∠α＞∠β，那么∠α的补角比∠β的补角大【思路点拨】根据余角和补角的概念进行判断即可．【解析】解：两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补，A错误；两个角的和等于180°，则这两个角互补，B错误；如果两个角相等，那么它们的补角相等，C正确；如果∠α＞∠β，那么∠α的补角比∠β的补角小，D错误，故选：C．【点睛】本题考查的是余角和补角的概念，两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．13.如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，那么下列说法错误的是（ ）A．∠1与∠2相等B．∠AOE与∠2互余C．∠AOD与∠1互补D．∠AOE与∠COD互余【思路点拨】根据余角和补角的定义逐一判断即可得解．【解析】解：∵∠COB＝∠EOD＝90°，∴∠1+∠COD＝∠2+∠COD＝90°，∴∠1＝∠2，故A选项正确；∵∠AOE+∠1＝90°，∴∠AOE+∠2＝90°，即∠AOE与∠2互余，故B选项正确；∵∠COB＝90°，∵∠AOD+∠2＝180°，∵∠1＝∠2，∴∠AOD+∠1＝180°，即∠AOD与∠1互补，故C选项正确；无法判断∠AOE与∠COD是否互余，D选项错误；故选：D．【点睛】本题主要考查余角和补角，余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．14.如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，下列表达式：①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③（∠β+∠α）；④（∠β﹣∠α）中，等于∠α的余角的式子有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据余角和补角定义得出∠β＝180°﹣∠α，∠α的余角是90°﹣α，分别代入，进行化简，再判断即可．【解析】解：∵∠α和∠β互补，∴∠β＝180°﹣∠α，∠α的余角是90°﹣α，∠β﹣90°＝180°﹣∠α﹣90°＝90°﹣∠α，（∠β+∠α）＝（180°﹣∠α+∠α）＝90°（∠β﹣∠α）＝（180°﹣∠α﹣∠α）＝90°﹣∠α，即①②④，3个，故选：C．【点睛】本题考查了余角和补角的定义，能知道∠α的余角＝90°﹣∠α和∠α的补角＝180°﹣∠α是解此题的关键．15.如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的关系是（ ）A．∠1＝90°+∠3B．∠3＝90°+∠1C．∠1＝∠3D．∠1＝180°﹣∠3【思路点拨】根据∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，先把∠1、∠3都用∠2来表示，再进行运算．【解析】解：∵∠1+∠2＝180°∴∠1＝180°﹣∠2又∵∠2+∠3＝90°∴∠3＝90°﹣∠2∴∠1﹣∠3＝90°，即∠1＝90°+∠3．故选：A．【点睛】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．16.如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠DOE＝90°，图中互余的角有几对？（ ）A．2对B．3对C．4对D．5对【思路点拨】根据余角的和等于90°，结合图形找出和等于90°的两个角，然后再计算对数．【解析】解：∵∠AOC＝∠DOE＝90°，∴∠AOE+∠COE＝90°，∠AOE+∠BOD＝90°，∠COD+∠COE＝90°，∠COD+∠BOD＝90°，∴互余的角有4对．故选：C．【点睛】本题结合图形考查了余角的和等于90°的性质，找出和等于90°的两个角是解题的关键．17.一个角的补角是36°35'，这个角是　143ﾟ25'　；一个锐角的余角比这个角的补角小　90　度．【思路点拨】根据互为补角、互为余角的概念求解即可．【解析】解：这个角为：180°﹣36°35′＝143°25′；设这个锐角为x，它的余角为：（90﹣x）°，它的补角为：（180﹣x）°，∵180﹣x﹣（90﹣x）＝90°，∴一个锐角的余角比这个角的补角小90度；故答案为：143°25′；90．【点睛】此题考查了余角、补角，熟练掌握余角、补角的概念是解题的关键．18.如图，已知直线AB上一点O，∠AOC＝∠DOE＝90°，∠DOC＝∠EOB．（1）求证：∠AOD＝∠COE证明（法1）：∵∠AOC＝∠DOE＝90°（已知）∴∠AOD+∠COD＝90°∠COE+∠COD＝90°∴∠AOD＝∠COE（　同角的余角相等　）（法2）∵∠AOC＝90°（已知）∴∠COB＝90°∴∠AOD+∠DOC＝90°∠COE+∠EOB＝90°∵∠DOC＝∠EOB（已知）∴∠AOD＝∠COE（　等角的余角相等　）（2）若∠COE＝∠BOD，求∠AOE、∠COD的度数．【思路点拨】（1）根据同角的余角相等以及等角的余角相等解答即可；（2）设∠BOD＝5x，∠AOD＝x，根据题意列方程解答即可．【解析】解：（1）证明（法1）：∵∠AOC＝∠DOE＝90°（已知）∴∠AOD+∠COD＝90°∠COE+∠COD＝90°∴∠AOD＝∠COE（同角的余角相等）（法2）∵∠AOC＝90°（已知）∴∠COB＝90°∴∠AOD+∠DOC＝90°∠COE+∠EOB＝90°∵∠DOC＝∠EOB（已知）∴∠AOD＝∠COE（等角的余角相等）．故答案为：同角的余角相等；等角的余角相等（2）设∠BOD＝5x，∠AOD＝x，∴5x+x＝180°，解得x＝30°，∴∠BOD＝150°，∠COD＝90°﹣0°＝60°，∠BOE＝∠COD＝60°，∠AOE＝120°．【点睛】本题结合图形考查了余角的和等于90°的性质，找出和等于90°的两个角是解题的关键．题组C 培优拔尖练19.若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的是（ ）A．①B．①②C．①②③D．①②③④【思路点拨】根据题意得：①（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°，（2）﹣（1）得出结果进行判断；②（1）+（2）得出结果进行判断；③（2）﹣（1）×2得出结果进行判断；④先把（1）等式两边乘2得2（∠1+∠2）＝180°，把（2）变形后代入2（∠1+∠2）＝180°，得出结果进行判断．【解析】解：根据题意得：（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°，∴（2）﹣（1）得，∠3﹣∠2＝90°，∴①正确；（1）+（2）得，∠1+∠2+∠1+∠3＝270°，∴∠3+∠2＝270°﹣2∠1，∴②正确；（2）﹣（1）×2得，∠3﹣∠1＝2∠2，∴③正确；∵（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°，∴2（∠1+∠2）＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝2（∠1+∠2）﹣∠1＝∠1+2∠2，∴∠3＞∠1+∠2，∴④错误；故选：C．【点睛】本题考查余角和补角，掌握余角和补角的定义，根据题目的要求对两个等式进行不同的计算是解题关键．20.下列语句中，正确的个数是（ ）①直线AB和直线BA是两条直线；②射线AB和射线BA是两条射线；③若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余；④一个角的余角比这个角的补角小；⑤一条射线就是一个周角；⑥两点之间，线段最短．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据射线、直线的定义，余角与补角，周角的定义，以及线段的性质即可求解．【解析】解：①直线AB和直线BA是一条直线，原来的说法是错误的；②射线AB和射线BA是两条射线是正确的；③互余是指的两个角的关系，原来的说法是错误的；④一个角的余角比这个角的补角小是正确的；⑤周角的特点是两条边重合成射线．但不能说成周角是一条射线，原来的说法是错误的；⑥两点之间，线段最短是正确的．故正确的个数是3个．故选：C．【点睛】本题考查了射线、直线的定义，余角与补角，周角的定义，以及线段的性质，是基础题，熟记相关概念与性质是解题的关键．21. 如图，射线OC，OD在∠AOB内，∠AOB和∠BOC互为补角，．若∠COD比∠BOD大m°（m＜30），则∠AOC＝ °．（用含m的式子表示）【思路点拨】根据补角的定义可求解∴∠COD+4∠BOD＝180°，结合已知条件可得∠COD﹣∠BOD＝m °，进而可求解∠BOC，∠AOB的度数，利用∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC可求解．【解析】解：∵∠AOB和∠BOC互为补角，∴∠AOB+∠BOC＝180°，∵∠BOD＝，∴3∠BOD+∠BOC＝180°，即∠BOC＝180°﹣3∠BOD，∵∠COD+∠BOD＝∠BOC，∴180°﹣3∠BOD＝∠COD+∠BOD，∴∠COD+4∠BOD＝180°，∵∠COD比∠BOD大m°（m＜30），∴∠COD﹣∠BOD＝m°，∴∠BOD＝（）°，∠COD＝（）°∴∠BOC＝（）°，∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝（108﹣）°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝（108﹣）°﹣（）°＝（36﹣m）°．故答案为（36﹣m）．【点睛】本题主要考查角的计算，补角的定义，利用角度的和，差，倍，分知识可求解．22.如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD．（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数．（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数．（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由．【思路点拨】（1）根据互余的意义，即可求出答案；（2）设出未知数，利用题目条件，表示出∠AOB、∠BOC，进而列方程求解即可；（3）利用角度的和与差，反推得出结论，再利用互余得出答案．【解析】解：（1）∵∠AOC＝90°，∠BOD＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°；（2）设∠COD＝x°，则∠BOC＝100°﹣x°，∵∠AOC＝110°，∴∠AOB＝110°﹣（100°﹣x°）＝x°+10°，∵∠AOD＝∠BOC+70°，∴100°+10°+x°＝100°﹣x°+70°，解得：x＝30即，∠COD＝30°；（3）当α＝45°时，∠AOD与∠BOC互余；理由是：要使∠AOD与∠BOC互余，即∠AOD+∠BOC＝90°，∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC＝90°，即∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠AOC＝∠BOD＝α，∴∠AOC＝∠BOD＝45°，即α＝45°，∴当α＝45°时，∠AOD与∠BOC互余．【点睛】考查互为余角的意义，通过图形直观得出角度的和或差，以及各个角之间的关系是得出正确答案的前提．23.已知∠AOB与∠COD互补，射线OE平分∠COD，设∠AOC＝α，∠BOD＝β．（1）如图1，∠COD在∠AOB的内部，①当∠COD＝45°时，求α+β的值．②当α＝3β时，求∠BOE的度数．（2）如图2，∠COD在∠AOB的外部，∠BOE＝45°，求α与β满足的等量关系．【思路点拨】（1）①根据补角的定义以及角的和差关系解答即可；②结合①的结论求出3β，再根据角的和差关系解答即可；（2）根据角平分线的定义以及补角的定义求解即可．【解析】解：（1）①∵∠AOB与∠COD互补，∴∠AOB+∠COD＝180°，∵∠COD＝45°，∴∠AOB＝135°，∵∠AOC+∠BOD+∠COD＝135°，∴α+β+45°＝135°，∴α+β＝90°；②设∠DOE＝∠x，∵∠AOB与∠COD互补，且∠α＝3∠β，∴4∠β+4∠x＝180°，即∠β+∠x＝45°，∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝∠β+∠x＝45°；（2）∵∠BOE＝45°，∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝β﹣45°，∵射线OE平分∠COD，∴∠COD＝2∠DOE＝2β﹣90°，∵∠AOB与∠COD互补，∴∠AOB+∠COD＝180°，∴∠AOB＝180°﹣∠COD＝270°﹣2β，∵∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝β﹣（2β﹣90°）＝90°﹣β，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝270°﹣2β+90°﹣β＝360°﹣3β，∴α＝360°﹣3β，∴α+3β＝360°．【点睛】本题考查了余角和补角以及角平分线的定义，角的计算，正确的识别图形是解题的关键．。

《4．3．3 余角与补角（2）—方位角》的教学设计教学目标知识与能力: 1. 理解方位角的意义；2. 掌握方位角的识别和应用；3. 利用作图工具会画方位角。

过程与方法 : 能通过实际操作，体会方位角在是实际生活中的应用，培养学生的抽象思维.情感、态度、价值观 : 能积极参与数学学习活动，培养学生对数学的好奇心和求知欲教学重难点重点：方位角的表示方法难点：方位角的准确表示教具多媒体、三角板、量角器课时一课时教学过程一．情景导入观看抚顺美景，激发学生学习的兴趣，引出课题二．温故知新1.和学生共同回忆四面八方，“四面”和“八方”分别指哪些方向？“四面”---东、南、西、北，“八方”---东、南、西、北和东北、东南、西北、西南2.想一想：如果我们在点O的位置，那么点O的四面八方怎么表示？3.东北、东南、西北、西南还可以怎样表示？4.引出方位角概念及表示方法。

三. 探索新知，巩固运用1.看图表示方向2.说出点B在点A的什么方向？3.例1. 点O在点A的____________点A在点O的____________4.结合例1引导学生总结互看方位角的规律5.练习强化方位角概念四.动手画图，深入探究1.例2.如图.货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.教师示范画出表示灯塔A的射线，并写出结论。

引导学生画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.找一名学生板演，其余学生练习，鼓励学生合作交流。

2.一个观测点确定了方向，两个观测点能否确定位置呢?练习.如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东600方向上有一艘船，同时从B地发现这艘船在它的北偏东300方向，试在图中确定这艘船的位置。

一名学生板演，其余学生练习，鼓励学生合作交流,互帮互助。

4.3.3 余角与补角（二）——方位角教学目标知识与技能了方位角并能运用解决实际问题过程与方法能通过实际操作，体会方位角在是实际生活中的应用，培养学生的抽象思维. 情感、态度与价值观：能积极参与数学学习活动，培养学生对数学的好奇心和求知欲教学重点：方位角的表示方法教学难点：方位角的准确表示教学过程：一、情景导入1.海上，缉私艇发现离它500海里处停着一艘可疑船只（如图），立即赶往检查．现请你确定缉私艇的航线，画出示意图．并用语言描述出来.A·可疑船B·缉私艇2.实际生活中，在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到上述类似问题，即如何描述一个物体的方位。

有一种角经常用于航空、航海，测绘中领航员常用地图和罗盘进行这种角的测定，这就是方位角，方位角应用比较广泛，什么是方位角呢？二、自学指导（5分钟）1.熟读课本P138.2.方位角是以和方向为基准，描述物体运动方向的角。

设计意图：学生通过自学，体会方位角的意义。

三、自学检测（8分钟）⒈如图，回答下列问题：①射线OA表示的方向是：②射线OB表示的方向是：北A B③射线OC表示的方向是：④射线OD表示的方向是：2.按照上北下南，左东右西的规定，画出表示下列方向的射线①北偏东60°②南偏西30°③北偏东15°④东北方向设计意图：对方位角熟练运用。

教师可巡视对所发现的问题可以加以指正。

注意事项：方位角其实就是表示方向的角，这种角以正北，正南方向为基准描述物体的方向，如“北偏东300”，“南偏西400”等，方位角不能以正东，正西为基准，如不能说成“东偏北600，西偏南500”等，但有时如北偏东450时，我们可以说成东北方向.四、合作探究（10分钟）⒈由B看A是北偏西58°，则有A看B是＿⒉由A看B是南偏东72°，则有B看A是＿⒊正南和西南方向所夹的角是，正西和东南方向所夹的角是＿。

⒋船的航向由正北方向顺时针到东南方向，则它转了＿。

4.3.3 余角和补角（2）————方位角大连市第三十三中学孙丽娜一、内容和内容解析1、内容方位角概念，方位角的表示，方位角的画法，方位角的应用。

2、内容解析方位角是本章重要的基础知识，也是后续学习解直角三角形、平面直角坐标系、极坐标等知识奠定基础。

方位角是表示方位的角，以参照物为顶点，以正北或正南为始边，以参照物与观测物所在射线为终边，所形成的角。

因此本课的重点是理解方位角和利用量角器画出方位角。

二、目标和目标解析1、教学目标（1）认识并理解方位角，从不同的角度认识角，进一步体会数形结合思想。

（2）通过学生动手画图，能画出方位角所表示方向的射线。

（3）能够利用方位角解决一些相关实际问题。

2、目标解析(1)学生通过动手画图、识图，认识方位角，了解与方位角相关的知识。

（2）学生能够运用恰当的文字语言和符号语言描述方位角。

（3）通过方位角在实际生活中的应用，感悟数学来源于生活，并服务于生活。

三、教学问题诊断分析对于七年级学生来说，他们在生活中已有了一定的确定位置的经验，方位角的概念，方位角的表示是学生在小学就有所了解，但根据题意画出方位角以及运用方位角的知识确定点的方位是学生不熟悉的。

特别是图形与文字语言之间的转化，以及从实际问题中抽象出几何图形，对学生来说是有一定难度。

基于学生的以上学情，制定教学难点：运用方位角解决实际问题。

四、教学支持条件分析充分利用实物投影和几何画板进行教学，同时还用到了多媒体教学课件。

让学生动手操作和参与，使他们在观察、操作、想象、交流等活动中认识方位角，并能应用到实际生活中。

准备量角器，有刻度的直尺，进行有关的图形操作。

五、教学过程设计1、创设情境，引入课题教师：请大家欣赏图片，你认识这是哪吗？师生活动：学生观察图片，回答问题问题1、学校在人民广场的什么位置？引入本课课题设计意图：通过学校图片吸引学生的眼球，引起学生兴趣，促使学生思考，使学生认识到数2、自主学习，探究新知教师：结合大屏幕示范讲解表示。

西北西南东南东北北西南东南西北4.3.3余角和补角（2）-----方位角主备：黄海生教学目标1．在具体的现实情境中，认识方位角。

能根据图形指出某射线的方向，会根据方向角画出图形。

2．进一步提高抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力。

教学重点：会根据语言描述准确的画出表示方向的射线；会根据图形中的射线说出其方位。

教学难点：结合实际问题画出表示方向的射线。

教学过程： 一、情境创设提出问题：你能具体的描绘一下你家与学校的方位吗？二、探究新知 1．理解方位角：（1）认识方位（如图）：正东、正南、正西、正北、东南、西南、西北、东北。

（2）如图，写出四条方向线的名称。

指出，在几何中，通常以正北、正南方向为基准，来描述物体运动的方向。

（3）结合实际理解方向：你面向东方站立，你的左手方向是 ，你的背后是 。

2．例题讲解如图，货轮O 在航行过程中，发现灯塔A 在它的南偏东600的方向上，同时，在它的北偏东400、南偏西100、西北方向上又分别发现客轮B 、货轮C 和海岛D 。

仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B 、货轮C 和海岛D 方向的射线。

三、新知应用1.A 看B 的方向是北偏东21°，那么B 看A 的方向（ ） A 、南偏东69° B 、南偏西69° C 、南偏东21° D 、南偏西21°2.在点O 北偏西60°的某处有一点A ，在点O 南偏西20°的某处有一点B ，则∠AOB南西的度数是（ ）A 、100°B 、70°C 、180°D 、140° 3.如图，已知射线OB 的方向是南偏东600，OA 、OC 分别平分∠NOB 和∠NOE 。

（1）请直接写出：OA 的方向是 ，OC 的方向是 ；（2）求∠AOC 的度数，4.学校、公园和商店在平面图上的标点分别是A 、B 、C 三点.若公园B 在学校A 的南偏西42°方向 ，商店C 在学校A 的北偏东50°方向 ，请画出图形，并求∠BAC .5.动手画一画考察队从P 地出发，沿北偏东60°前进5千米到达A 地，再沿东南方向前进到达C 地，C 地恰好在P 地的正东方向。