余角补角方位角

新2024秋季七年级人教版数学上册第四章几何图形初步《角：余角和补角（方位角）》听课记录一、教学目标（核心素养）核心素养目标：1.空间观念：通过余角和补角的概念学习，增强学生的空间想象能力，理解角之间的互补与互余关系。

2.逻辑推理：掌握余角和补角的性质，学会运用这些性质进行角的计算和推理。

3.数学运算：提高学生的数学运算能力，尤其是在处理角的加减运算时能够准确无误。

4.问题解决：能够应用余角和补角的知识解决实际问题，如计算方位角等。

二、导入教师行为：•教师首先展示一个直角，并提问：“同学们，你们知道这个角是多少度吗？”学生回答后，教师继续引导：“如果我们从这个直角中减去一个角，得到的角与原来的角之间有什么关系呢？”•教师引入余角和补角的概念，简要说明它们各自的定义和性质。

学生活动：•学生积极思考并回答教师的问题，对直角有基本的认识。

•认真倾听教师讲解余角和补角的概念，初步理解它们之间的关系。

过程点评：•导入环节通过学生熟悉的直角入手，自然引出余角和补角的概念，激发了学生的学习兴趣和好奇心。

•教师的提问和引导有助于学生建立新旧知识之间的联系，为后续学习打下基础。

三、教学过程（一）余角和补角的概念讲解教师行为：•详细讲解余角和补角的定义，强调“和为90度”与“和为180度”的关键特征。

•通过图示和实例，帮助学生直观理解余角和补角的概念及其在空间几何中的应用。

学生活动：•认真听讲，记录关键信息，尝试用自己的话复述余角和补角的定义。

•观察图示和实例，加深对余角和补角概念的理解。

过程点评：•教师讲解清晰，图文并茂，有助于学生理解和掌握余角和补角的概念。

•学生积极参与，通过复述和观察，进一步巩固了所学知识。

（二）余角和补角的性质应用教师行为：•设计一系列练习题，包括角的加减运算、判断角的余角和补角等，让学生独立完成。

•巡视课堂，及时发现并解决学生在解题过程中遇到的问题。

•邀请学生分享解题思路和答案，进行集体讨论和纠正。

七年级上册数学角的解题技巧
1. 角的比较：
(1)度量法：用度量工具测量两个角的大小，度数大的角大。

(2)叠合法：把两个角的顶点和一边叠合在一起，另一边落在叠合边所在直线上，从而比较角的两边和夹角的大小。

(3)推理法：根据角的定义和性质，通过逻辑推理比较角的大小。

2. 角的和、差、倍、分：
(1)角的和：两个角相加，得到一个新的角，记作∠AOB。

(2)角的差：一个角减去另一个角，得到一个新的角，记作∠AOB - ∠BOC。

(3)角的倍：一个角乘以一个正整数n，得到一个新的角，记作n∠AOB。

(4)角的分：一个角除以一个正整数n，得到一个新的角，记作∠AOB/n。

3. 余角和补角：
(1)余角：如果两个角的和等于90°，则这两个角互为余角。

(2)补角：如果两个角的和等于180°，则这两个角互为补角。

4. 对顶角：
(1)定义：两条直线相交时，相对的两个角叫做对顶角。

(2)性质：对顶角相等。

5. 方位角：
(1)定义：从正北方向顺时针旋转到目标方向的角度叫做方位角。

(2)计算：方位角 = 目标方向与正北方向的夹角。

4.3.3 余角和补角一、余角和补角（1）如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个互为余角)即其中每一个角是另一个角的余角。

（2）如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个互为补角)即其中每一个角是另一个角的补角。

（3）余角、补角的性质。

同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等。

二、方位角；表示方向的角叫方位角。

有时以正北，正南方向为基准，描述物休运动的方向，如“北偏东30°”“南偏东25°”，表示方向的角（方位角）在航行，测绘和工作中经常用到。

概念题二、余角和补角（1）如果两个角的和等于( 角),就说这两个互为角)即其中每一个角是另一个角的角。

（2）如果两个角的和等于( 角),就说这两个互为角)即其中每一个角是另一个角的角。

（3）余角、补角的性质。

同角（等角）的角相等；同角（等角）的角相等。

三、叫方位角。

4.3.3 余角和补角（第一课时）1．探索“互为余角”的概念。

（1）用量角器理出图中的两个角的度数，并求出这两个角的和。

∠1= _ °, ∠2= _°, ∠1+∠2 = °（2）如果两个角的和等于_____度，就说这两个角互为余角。

上题中∠1是∠___的余角，∠2的余角是_____，∠1与∠___互为_____。

（3）说出一副(两块)三角尺中各个角的度数。

一块分别是： °, °, °；另一块分别是: °, °, °.其中：______度的角与______度的角互为余角，______度的角与______度的角互为余角。

（4）一个角是70°39’,那么它的余角的度数是________________。

2.探索“互为补角”的概念。

（1）用量角器理出图中的两个角的度数，并求出这两个角的和。

∠3= °, ∠4= _°, ∠3+∠4 = °（2）如果两个角的和等于_____度，就说这两个角互为补角。

关于余角和补角的知识点1.什么是角度角度是指由两条射线相交形成的图形，一般用字母来表示，如∠A BC。

角度由两条射线的起点A、公共顶点B和终点C确定。

2.角的度量单位角的度量单位有两种常用表示方法：度（°）和弧度（ra d）。

其中，1弧度等于57.3°，1°等于π/180弧度。

在数学中，常用度作为角的度量单位。

3.余角和补角的概念余角指的是两个角的度数之和等于90°时，这两个角互为余角。

补角则是两个角的度数之和等于180°时，这两个角互为补角。

4.余角和补角的计算方法4.1余角的计算方法当已知角度α时，可以通过计算90°减去α得到其余角的度数。

例子：若角α的度数为60°，则其余角的度数为90°-60°=30°。

4.2补角的计算方法已知角度β时，可以通过计算180°减去β得到其补角的度数。

例子：若角β的度数为45°，则其补角的度数为180°-45°=135°。

5.余角和补角的性质5.1余角和补角的和等于90°（或180°）根据余角和补角的定义，两个互为余角的角的度数之和等于90°，而互为补角的角的度数之和等于180°。

例子：若角θ的余角的度数为40°，则角θ的补角的度数为90°-40°=50°。

5.2余角和补角的度数不唯一一个角的余角和补角的度数并不唯一，因为角的度数可以是任意实数。

例子：若角ω的度数为30°，则其余角的度数可以是60°、120°等，其补角的度数可以是150°、210°等。

结论余角和补角是角度的重要概念，它们不仅在几何图形的角度计算中有重要作用，而且在物理和工程问题中也具有广泛应用。

通过理解余角和补角的定义、计算方法和性质，我们能够更好地解决与角度相关的问题，并在实际应用中灵活运用。

七年级下册数学余角和补角知识点在数学的学习中，余角和补角是一些重要而实用的概念。

今天我们就来详细了解七年级下册数学余角和补角知识点。

一、余角的定义和基本概念余角是指一个角的补角与它本身的差，通常用符号“cot”来表示。

在直角三角形中，余角的概念常被用来求出缺少的角度值。

例如，对于一个直角三角形，已知其中一角度为30度，则其余角为60度，这可以通过求其补角30度与90度的差得出。

二、余角的计算方法若一个角度为x度，则其余角为(90-x)度。

举个例子，在一个直角三角形中，已知其中一角度为60度，代入计算公式可得余角为(90-60)度=30度。

但是，在实际应用中，75度和15度的余角都是15度，因此，计算余角还需考虑所在象限。

虽然余角的定义与补角类似，但余角不一定在第一象限内。

三、补角的定义和基本概念补角是指两个角的度数之和等于90度的两个角。

一般用符号“com”表示。

在解决问题时，可以通过此概念来求解缺少的角度。

例如，在等腰直角三角形中，已知其中一角度为45度，则另一个角度也为45度，这可以通过求两个角度之和为90度得出。

四、补角的计算方法若一个角度为x度，则其补角为(90-x)度。

同样，求补角时也需考虑所在象限。

五、余角和补角的应用余角和补角的概念与计算方法在实际应用中非常广泛。

具体应用场景包括但不限于以下几个方面：1. 确定缺少的角度，帮助解决各类几何问题，如三角函数；2. 对于无法直接计算的角度，可以通过求其余角或补角来进行求解；3. 利用余角和补角的特性，可以在科学计算、试验设计等方面发挥作用。

总之，余角和补角在数学的学习中是一个非常重要的基础概念，通过对其定义、计算方法和应用场景的深入了解，可以为我们在解决几何问题时提供更大的帮助和便利。

补角和余角的定义两者是什么意思补角和余角是在几何学中常用的术语，用来描述两角之间的关系。

它们有着不同的定义和含义，下面将详细介绍并比较这两个概念。

一、补角的定义在平面几何中，两个角互为补角是指它们的和等于90度。

换句话说，如果角A和角B是补角，那么A + B = 90°。

具体来说，如果角A的度数为x度，那么角B的度数为90度减去x度，即90° - x°。

同理，如果角B的度数为y度，那么角A的度数为90° - y°。

因此，两个角互为补角时，它们的度数之和等于90度。

例如，如果角A的度数为30°，那么角B的度数为90° - 30° = 60°；反之亦然，如果角B的度数为60°，那么角A的度数为90°- 60°= 30°。

因此，角A和角B互为补角。

二、余角的定义与补角不同，余角是指两个角之间的差等于90度。

换句话说，如果角A和角B是余角，那么A - B = 90°。

具体来说，如果角A的度数为x度，那么角B的度数为x度减去90度，即x° - 90°。

同理，如果角B的度数为y度，那么角A的度数为y度加上90度，即y° + 90°。

因此，两个角互为余角时，它们的度数之差等于90度。

例如，如果角A的度数为60°，那么角B的度数为60°- 90°= -30°；反之亦然，如果角B的度数为-30°，那么角A的度数为-30° + 90° = 60°。

因此，角A和角B互为余角。

补角和余角的区别：1. 补角和余角的定义不同：补角是和为90度，而余角是差为90度。

2. 补角的度数之和始终等于90度，而余角的度数之差始终等于90度。

3. 补角或余角可以是正角，也可以是负角，取决于原始角的度数。

6.3 角6.3.3 余角和补角教学内容 6.3.3 余角和补角课时1核心素养目标1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.教学重点了解余角、补角的概念及性质，了解方位角的概念和表达方式.教学难点运用余角、补角和方位角的相关知识解题.教学准备课件、纸片教学过程主要师生活动设计意图一、复习导入二、探究新知一、复习导入如图，∠1 +∠2 =师生活动：教师提问，引导学生回忆上节课关于角的运算的知识，学生积极发言回答，预测学生能够答出∠1 +∠2 =∠AOB.教师追问：当∠AOB = 90°时，∠3 +∠4 等于多少度？当∠AOB= 180°时，∠3 +∠4 等于多少度？学生独立思考，再由学生代表发言，教师给予评价并引导出今日所学的知识.二、探究新知知识点一：余角定义总结：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.师生活动：教师讲解，学生集体朗读知识.教师强调：余角是两个角之间的关系，可以说∠3与∠4互余；∠3 是∠4 的余角；∠4 是∠3 的余角.设计意图：通过回忆上节课的内容，承上启下引出本节课的内容.设计意图：教师讲解知识，保证知识的有效传达，让学生心中有数.讨论1：此时∠3 与∠4 还互余吗？师生活动：小组讨论，由小组代表发言，教师给予适当的评价与引导，得出结果：∠3与∠4依然互余，并且共同总结：角的数量关系与位置无关.讨论2：钝角有余角吗？师生活动：小组讨论，由小组代表发言，教师引导学生讲述原因，并给予适当的评价，得出结果：钝角没有余角.最后师生共同归纳出结论：只有锐角有余角.几何语言：师生活动：小组讨论，由小组代表发言，教师给予适当的评价与引导，得出结果：钝角没有余角，并且共同总结出结论：只有锐角有余角.知识点二：补角探究1：你能猜猜∠1 与∠2 的数量关系吗？师生活动：通过PPT动画的展示，预测学生可以答出∠1和∠2的和为180°.教师以此引出补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.教师可引导学生将补角和余角进行类比帮助记忆.几何语言：设计意图：通过动画的直观展示帮助学生理解互余是数量关系，与位置无关.设计意图：通过小组讨论，加强学生的自主学习能力与团队合作意识，通过计算或者画图等方法验证，加深对知识的印象与理解，培养学生探索精神.设计意图：规范学生几何语言的书写，为后期几何题目的解答规范做铺垫，养成良好的书写习惯.设计意图：通过动画的直观展示再次让学生明白角的数量关系与位置无关.用类比的方式帮助学生理解补角的知识点，学会举一反三，发展学生自主学习的能力和应用能力.师生活动：教师提示学生类比余角的几何语言，思考补角的定义在题目中应该如何书写运用.学生代表上台板书，教师予以适当的评价与指导，共同得到规范的关于补角的几何语言.判断：下列论述是否正确？①∠1 +∠2 +∠3 = 90°，则∠1、∠2、∠3互余；②∠1 = 20°，∠2 = 100°，∠3 = 180°，则∠1、∠2、∠3 互补；③∠1 +∠2 = 90°，则∠1是余角；∠3 +∠4 = 180°，则∠3是∠4的补角；④如图，∠A不是∠B的余角；⑤如图，∠C是∠A的补角.师生活动：学生独立思考，请学生代表发言，教师引导学生说出判断依据，并给予适当的评价.比一比：看看谁计算得又快又好！师生活动：学生独立思考，教师让先全部算完的小组举手示意，予以适当的表扬奖励.再由小组代表发言，最终计算全部正确的同学举手示意，教师对这些同学予以表扬，并奖励举手最多的小组.知识点三：余角与补角的性质探究2：∠1 与∠2，∠3 都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？师生活动：学生独立思考，由学生代表发言，教师与学生共同完成板书：因为∠1 与∠2，∠3 都互为补角，设计意图：通过判断的方式巩固余角和补角的知识，起到查漏补缺的作用.设计意图：通过比赛的方式提高学生的积极性，提高学生的计算能力，并且帮助学生在解决几何问题中初步形成方程思想.设计意图：让学生通过题目学会补角的性质，脱离图片，让学生体会性质的普遍适用性，帮助学生发展抽象思维.所以∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1.所以∠2 =∠3.教师引导学生总结出补角的性质：同角（等角）的补角相等.探究3：类比探究2，∠1 与∠2，∠3 都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？师生活动：教师提示学生类比补角的性质完成题目，学生先独立思考，由学生代表板书（预测如下）：因为∠1 与∠2，∠3 都互为余角，所以∠2 = 90°-∠1，∠3 = 90°-∠1所以∠2 =∠3.教师及其余同学给出适当评价与鼓励，再由教师引导学生得出余角的性质：同角（等角）的余角相等.例题精析：例1 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？师生活动：学生独立思考，由学生代表发言，教师整理完成板书（如下），并适时提问学生两步转换的原因是什么，引导学生思考其中的原理.练一练：1. 已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠1 = 65°，则∠3 =.2. 一个角是它的余角的1.5倍，则这个角的补角是.师生活动：学生独立思考，由学生代表发言，教师引导学生讲述分析思路并整理板书（如下），并得设计意图：通过类比的形式，帮助学生学习余角的意义，再次练习几何语言的书写，以及这类题目的思考方式.设计意图：让学生熟悉几何语言的书写，并明确每一步的理由，加深对知识的理解与综合运用，强化学生的分析能力和语言规范意识.设计意图：通过练习提高学生的计算能力与应用能力，让学生体会方程思想在几何中的应用，做到数形结合融汇贯通.三、当堂练习到结果.三、当堂练习1. 如果∠AOB +∠BOC = 90°，∠BOC +∠COD = 90°，那么∠AOB与∠COD的关系是() A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 不能确定2. 如图，下列说法中错误的是()A. OA的方向是北偏东30°B. OB的方向是北偏西20°C. OC的方向是西南方向D. OD的方向是南偏东50°设计意图：通过练习巩固余角和补角的知识.设计意图：通过练习检测方位角的知识的掌握情况.板书设计余角和补角一、余角→和为90°二、补角→和为180°三、余角与补角的性质教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善表格.1.培养抽象意识和空间观念。