高三数学选填专题限时训练

限时训练（二十五）答案部分二、填空题：9.{}2,3,4- 10. 92314.2,⎡⎣解析部分1. 解析 解法一: ()()()()i 1i i 12i a b a b a b ++=-++=+，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故选D.解法二: ()()()()12i 1i 12i 12i i 231i i 1i 1i 1i 222a b +-++-++====+++-.故选D. 2.解析 若1a =，则()1f x x =-，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增；若函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数，可得1a …，不一定得出1a =.所以“1a =”是“函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数”的充分不必要条件.故选A. 3.解析 ππtan 2tan 236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据函数图像平移左加右减的规律，将tan 2y x =向右平移π6个单位长度可得πtan 26y x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πtan 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.故选C.4.解析输出()440134710402862s +⨯=+++⋅⋅⋅+==.故选B.5.解析 91x ⎫-⎪⎭的通项为()92191C rr rr r T x x --+=-，令902r r --=，解得3r =，所以91x ⎫⎪⎭的常数项为()3391C 84-=-.故选C.6.解析 解法一（图像法）：函数()f x 的图像如图所示，观察图像可得函数()f x 的零点个数为2. 故选B.解法二：令()()310x x +-=，解得3x =-或1x =（舍去）；令2ln 0x -+=，解得2e x =，所以函数()f x 有2个零点.故选B.7.解析 由于()2y f x =-是由()y f x =向右平移2个单位长度得到的，且()2y f x =-在[]0,2上单调递减，所以()f x 在[]2,0-上单调递减.由题可得()()22b f f ==-，又因为210-<-<，所以()()()210f f f ->->，即b c a >>.故选A.8.解析 由定义的新运算可得()()()()1x y x y x y x y +⊗-=+-+，所以()()11x y x y +-+<，整理得2210x x y y -+++-<.因为此不等式对任意实数x 恒成立，所以()()2214110y y ∆=-⨯-+-<.解得3122y -<<，即y 的取值范围为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选D. 9.解析 解方程得{}2,3A =，{}4,2B =-，所以{}2,3,4AB =-.10.解析 画出不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z x y =+过A 点时，z 有最大值，联立方程105350x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得45x y =⎧⎨=⎩，即()4,5A ，所以max 9z =.1=011.解析 依题意，设抛物线22y bx =的焦点为A ，则,02b A ⎛⎫⎪⎝⎭，因为12:5:3F A F A =， 所以:5:322b b c c ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2c b =，所以c e a ====3=. 12.解析 利用正弦定理将cos cos b c B C =中边的关系转化为角的关系，得sin sin cos cos B CB C=，即tan tan B C =，又因为(),0,πB C ∈，所以B C =.因为cos A =()cos πcos2B C B -+=-=⎡⎤⎣⎦()22cos 1B --，所以222cos 13B -=-，得21cos 6B =，又由题可得cos 0B >，故cos B =. 13.解析 因为2AB =，60ABC ∠=， AD 为BC 边上的高，所以1BD =.又因为3CB =，所以13BD BC =.如图所示，13AD AB BD AB BC =+=+，所以111226AO AD AB BC ==+， 所以11,26λμ==，则23λμ+=.14.解析 设平面1AD Q 与直线BC 交于点P ，则P 为BC 的中点，连接,AP QP ，取1BB 的中点E ，11B C 的中点G ，连接11,,A G A E EG .如图所示.易证QP EG ∥，又因为QP ⊂平面1AD Q ，EG ⊄平面1AD Q ,所以//EG 平面1AD Q .同理1//A G 平面1AD Q ，又因为1AG EG G =，所以平面1A GE ∥平面1AD Q .由已知1A F ∥平面1AD Q ，所以1A F ⊂平面1A GE ，设1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ，因为11A B ⊥平面11BCC B ，所以111tan A B B Fθ=，当点F 与点E 或点G 重合时，1B F 最大，tan θ有最小值，此时1111tan 212A B B F θ===；当点F 为EG 中点，即1B F EG ⊥时，1B F 最小，tan θ有最大值，此时CBPGED1C1B 1A 1DCBAQ111tan4A BB Fθ===所以tanθ的取值范围是2,⎡⎣.。

高三数学选填专题限时训练一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =-<，101x B x x +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则()AB =R（ ）.A.{}01x x << B.{}12x x < C.{}01x x < D.{}12x x <<2.已知12a -<<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）. A.[)1,5B.⎡⎣C.D.()2,53.从正方形4个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点之间的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）. A.35 B.25 C.15 D.3104.直线l ：1y kx =+与圆O ：221x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“OAB △的面积为12”的（ ）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 5.下列命题正确的是（ ）.A.函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增B.函数44cos sin y x x =-的最小正周期为2πC.函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像是关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称的图形D.函数tan 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像是关于直线6x π=成轴对称的图形 6.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）. A.13π B.12π C.2π D.π俯视图侧视图正视图7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）. A.1- B.1 C.2- D.28.已知双曲线M ：22221x y a b -=和双曲线N ：22221y x a b-=，其中0b a >>，且双曲线M 与N 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M 的离心率是（ ）. A.512+ B.512- C.532+ D.352- 9.已知正实数,m n 满足log log a a m n <()01a <<，则以下不等式成立的是（ ）. A.22mn< B.11m n m n <++ C.11ln ln m n< D.33m m n n +<+ 10.已知函数()122,0log ,0x a x f x x x ⎧⋅⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是（ ）. A.()(),00,1-∞ B.(),0-∞ C.()0,1 D.()()0,11,+∞11.点(),Q x y 在不等式组22211220y x x y x y --⎧⎪⎨--+⎪⎩所确定的区域内运动，点()1,0P -为定点，则线段PQ 的长度的最小值是（ ）.A.22 B.173 C.5 D.35512.已知点O 是ABC △的外心， 6AB =， 10AC =.若AO x AB y AC =+， 且2105x y +=，则ABC △的面积为（ ）.A.24B.2023 C.18或2023D.24或202 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填写在题中的横线上.开始i =0,S =1,A =2是 否i =i +1 输出A 结束A =1−1Ai >2015？S =S ×A13. 在ABC △中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若3A π=，1b =，ABC △则a 的值为 .14. 二项式712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是 .15. 若数列{}n a 满足：114a =-，111n n n a a a --⋅=-()1n >，则2015a = . 16. 定义域为[],a b 的函数()y f x =图像的两个端点分别为,A B ，(),M x y 是()f x 图像上任意一点，其中()1x a bλλ=+-[]()0,1λ∈，向量()1ON OA OB λλ=+-，若不等式MNk 恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上“k 阶线性近似”.若函数1y x x=-在[]1,2上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围是 .答 案13.14.84 15.5 16. 32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1. 解析 (0,2)A =，(,1)(1,)B =-∞-+∞，故[]1,1B =-R.由数轴分析可得(]0,1AB =R．故选C.2. 解析 根据题意可设i z a =+，则z =因为12a -<<，则204a <，所以z ⎡∈⎣．故选B ．3. 解析 如图所示，从图中5个点中任意选出2个点组成一条线段，有25C 10=（种）不同的选择方案，其中距离小于正方形边长的有4种， 则距离大于或等于正方形边长的有6种，其概率为P =63105=.故选A.4. 解析 当1k =时，易推知OAB △的面积为12，充分性成立； 当OAB △的面积为12时，由题可得1OA OB ==， 且11sin 22S OA OB AOB =∠=，所以2AOB π∠=，由图形性质转化到直线l 到圆心O 的距离d 为2，即d ==1k =±，必要性不成立.故选A. 5. 解析 当,36x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，22,333x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故不在sin y x =的某一单调增区间内，故A 错误；44cos sin y x x =-()()2222cos sin cos sin x x x x =-+22cos sin x x =-cos2x =，即T =π，故B 错误； 把6x π=代入cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0y =，故C 正确；正切函数没有对称轴，仅有对称中心，故D 错误.故选C.6. 解析 分析知该几何体为圆柱的一半，故体积为()2122V =⨯π⨯1⨯=π.故选D.2015，继续2015，继续2015，继续2015，继续2015，继续……为周期的循环， 故当20166723i ==⨯时，退出循环，因此2A =.故选D.8. 解析 如图所示，易知2a c +=，即212c e a ===.故选A.9. 解析 由题意得0n m <<，故根据2xy =在R 上单调递增，A 错误；作差比较或根据函数1xy x =+在()1,-+∞上单调递增，B 错误； 由题意得110m n<<，根据ln y x =在()0,+∞上单调递增，C 正确； 根据3y x x =+在R 上单调递增，D 错误.故选C. 评注 问题的本质就是研究函数的单调性.10. 解析 在()0f f x =⎡⎤⎣⎦中令()t f x =，则()0f t =. 若0a =，验证易知此时不符合题意；若0a ≠，分0a >，0a <讨论其图像大致如图所示．由()0f t =知，()1t f x ==，问题转化为()1t f x ==有且仅有一个实数解. 因此当0a <时，此式恒成立；当0a >时，()f x 与y 轴的交点()0,a 必须在1y =的下方，故01a <<. 综上所述：()(),00,1a ∈-∞.故选A.11. 解析 分解问题，211y x --21,123,1y x x y x x -+<⎧⇔⎨-⎩；xyaaa <0a >0123–1–2–3123–1–2–3OxO yc2a +c 2c22220x y x y--+⇔()()22110x y ---⇔()()20x y x y +-⇔- 020x y x y -⎧⎨+-⎩或020x y x y -⎧⎨+-⎩. 画出可行域，如图所示，分析知点P 到直线21y x =-+的距离为PQ 的最小值，故min 5PQ ==.故选D. 评注 ()()22110x y ---也可以等价为11x y --，采用分类讨论解决.12. 解析 解法一：以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 设()00A ，，BAC θ∠=，则()6cos ,6sin B θθ，()10,0C . 取AC 的中点D ，连接OD ，则OD AC ⊥. 因为OD OA AD =+12AC xAB y AC =--=12y AC x AB ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故OD AC ⋅12y AC xA AC B =⎡⎤⎛⎫--⋅⎪⎢⎥⎝=⎭⎣⎦212A C C y A xAB ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⋅=110060cos 2y x θ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭0=，即c 0106os 5x y θ-=-，把2105x y +=代入化简得6cos 02x x θ-=，得0x =或1cos 3θ=. ①当0x =时，12y =， 所以12AO AC =，所以O 点与D 点重合， 即ABC △为直角三角形，故168242S =⨯⨯=；y =②当1cos 3θ=时，sin 3θ=，故1sin 2S AB AC θ=⨯⨯⨯=. 综上所述，ABC △的面积为24或故选D.解法二（构造法）：延长AB 到点E ，使52AE AB =，取AC 中点D . 因为2512522x AO AB y AC ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225AE xy AD =+， 又因为2105x y +=，即2215xy +=，因此O ，E ，D 三点在一条直线上. 若O 与E 重合，则与O 在AB 的垂直平分线上矛盾；若O 与D 重合，即DA DB DC ==，所以ABC △为直角三角形， 且2B π∠=，故168242S =⨯⨯=； 若O 不与D ，E 重合，则由三点共线知ED AC ⊥. 因为5AD =，15AE =，故1cos 3A =，此时sin A =1sin 2S AB AC A =⨯⨯⨯=综上所述，ABC △的面积为24或故选D.E13. 解析1sin 2S bc A ===，故2c =. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-11421232=+-⨯⨯⨯=，故a =14. 解析 展开式的第1r +项为()7171C 2rrrr T x x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭7727C 2r r rx --=， 故令723r -=-，即5r =，所以31x的系数为5757C 221484-=⨯=． 15. 分析 通过常规的配凑无法实现，故尝试计算几个观察规律. 解析 因为111n n n a a a --⋅=-，且10n a -≠，故111n n n a a a ---=， 因此25a =，345a =，414a =-，55a =，…， 故数列{}n a 是以3为周期的数列．又因为201536712=⨯+，因此20155a =． 16.解析 由题意得()122M x λλλ=+-⨯=-+， 故12,22M λλλ⎛⎫---⎪-⎝⎭，[]0,1λ∈. ()1ON OA OB λλ=+-()()31,012,2λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭332,22λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.3312222MN λλλ=--++-111222λλ=--+-()1132222λλ=-+--．令2t λ=-，则[]1,2t ∈，问题转化为1322t kt +-在[]1,2t ∈恒成立时，求k 的取值范围． 令13()22t g t t =+-，因为()1322t g t t =+-在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，0故()min 32g t g==，()10g =，()20g =，故()max 0g t =，因此1330,222t t ⎡+-∈-⎢⎣，故32k ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.。

限时训练（三十三）答案部分一、选择题二、填空题13. 2 14.32- 15. 2316. 22π解析部分（1） 解析 依题{}02A x x =＜＜，{}3B y y =…画图 .故选C .评注 集合的交集、并集、补集等运算，集合间的关系以及集合的子集都是考查的热点，集合的考查属于基础题，它常与方程，不等式结合起来考，一般都属于送分题.解决集合的基本运算问题，还可以根据选项之间的差异利用特殊值法，数轴法进行排除确定正确选项.（2）解析 依题有：222=05+60a a a a ⎧--⎨-≠⎩⇒2123a a a a ==-⎧⎨==⎩或或.故选D . （3）解析 由向量模的公式可得a ，再由向量投影的概念可得a 在b 上的投影等于cos120︒a ． 故选B.（4）解析 依题()()67867890a a a a a a a +++++＜，即()()()7787783260a a a a a a +=+＜，又因为P ，所以70a ＜，80a ＞，且78a a ＜.故选B. （5） 解析 因为()()2fx f x =-，所以函数关于1x =对称，()()2f x f x -=，()()222f x f x --=+，即()()2f x f x -=+，又因()f x 是奇函数，所以()()()2f x f x f x ==-+-，所以()()()24f x f x f x -+=+=，即()f x 是周期为4的奇函数，()00f =，()()112f f --=-=，()()200f f ==，()()231f f =-=()()400f f ==，()()()()()120175041420172f f f f f +⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅++=-⎡⎤⎣⎦.故选C.（6）解析 依题有：设AC x =，则BC =则1114233B A ACC V x -=⨯=，即224x x=-.x =值，所以1111222ABC A B C V Sh -===.故选C. （7）解析 依题，因为π2π2<<，所以0sin 21＜＜，213log 0b =＜，11321122log log c =＞，即c a b >>.故选B.（8）解析 6n=，3sin 60S =︒=；12n =，6sin303S =︒=； 24n =，12sin15120.2588 3.1086 3.10S =︒=⨯=＞.所以24n =.故选C. （9）解析 ()()2x g x f x =+有三个零点，即()()02x g x f x =+=，()2xf x =-，即函数()y f x =与2x y =-有3个交点，当0x <时，有1个交点，当0x ≥时，22xx ax -=-在[)0,+∞上有2个交点，即方程有2个正根，121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩，得12a >，故选A ．（10）解析 由俯视图知，底面积12222S =⨯⨯=，高3h ==， 所以1123233V Sh ==⨯⨯=.故选B. （11）解析 依题()cos f x x x '=，()cos f t t t '=，即()cos k g t t t ==，可知()g t 为奇函数，根据题中图像可排除B ，C ，又因为当0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π，()0g t >.故选A ． （12）解析 由()10f =得2e 10a b -+-=，又()22e 2xf x ax b '=-+，令()()222e21e xg x f x ax a '==-++-，即()0g x =在()0,1内有２个零点，所以()22212e e 1xa x -=-+，当12x =时，222e e 10x -+<，所以只需()()0010g g >⎧⎪⎨>⎪⎩．故选A ．（13）解析 作出可行域：目标函数从而变形为y kx z =-由题可知06z 剟，即函数y kx z =-的截距范围是[]6,0-，根据线性规划的知识则有可知2k =.评注 本题的关键是求出不等式组表示的可行域，理解代数式是表示直线的意义，然后在进行求解，此类题先画出不等式组表示的可行域，然后理解代数式的意义来求解.（14）解析 由题知，圆心21x k y k =⎧⎨=-⎩即圆心轨迹为21y x =-，又因为圆心与直线l 距离与tan()3πα-无关，即圆心轨迹与l 平行，所以32t -=，即32t =-. （15）解析 以E 为原点，AD 的垂直平分线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立坐标系，可得24y x =.隐影部分面积为：10823=⎰，矩形的面积为4：，所求概率为82343=.（16）解析 由题只()()222015201722201620142018201620142016201420152017π22a a aa a a a a a aa++=⋅+⋅=+=…，故答案为2π2.32。

限时训练（四）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1•在复平面内表示复数i 1 - 2i 的点位于（ ）. A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2•对任意等比数列fa n ?,下列说法一定正确的是（）•A. a 1,a 3,a 9成等比数列B. a 2,a s ,a 6成等比数列C. a 2,a 4,a 8成等比数列D. a 3,a e ,a 9成等比数列3.下列函数中，最小正周期为n 且图像关于原点对称的函数是（A . y =cos 2xnI 2丿B . y 二 sin 2x -I 2丿C . y =sin2x+cos2(D . y = sinx + cosx4.已知向量 a =：i k,3 , b =]1,4 , c =]2,1 ，且 2 a- 3b _ c ,则实数 k 二( A . 9B. 0C.D .155.执行如图所示的程序框图，若输出 的值为6 ，则判断框内可填入的条件是（4 D. s56.已知命题8.设F 1,F 2分别为双曲线2 2-2 -^y ^ = 1 （a > 0,b > 0 ）的左、右焦点，双曲线上存在一点 a bP 使得PF 』+ PF ? =3b, PF 1PF 2=9ab ，则该双曲线的离心率为（）.49•某次联欢会要安排 3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不 相邻的排法种数是（ ）• A. 72B. 120C. 144D. 16810.已知点A -2,3在抛物线C : y 2 = 2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点 B ， 记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（）•1 2 3 4_ xp :对-X 三R ，总有2 0 ；q ： X .1”是’X2 ”的充分不必要条件•则下列命题为真命题的是（）•A . p qB . 一p 一qc. 一pq D . p 一q7•某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 54B. 60C. 66D. 72面积S满足1剟S 2，记a,b,c分别为A, B,C所对的边，则下列不等式成立的是（)A. 2B. 3C. 4D. 3 11.已知△ ABC 的内角A,B,C 满足sin 2A sin A-B C 二sin C-A-B -,A. bc b c .8B. ab a >16,2C. 6剟abc 12D. 12剟abc 24xB. 3 3IL 2e‘412.设函数f x二e 2x -1 -ax a，其中a ：；： 1，若存在唯一的整数X o使得f x° ::: 0，则a的取值范围是（）•二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.设全集U ={ N 1 剟n 10〉, A」1,2,3,5,8 },B = {1,3,5,7,9 }，则（euAf]B= ______________14. 函数f （x ）=log 2仮log 2（2x ）的最小值为_________ .2 215. 设点M X0,1，若在圆O : x y =1上存在点N，使得• OMN =45，则x0的取值范围是____________ .16.如图所示，在正方体ABCD - AB1GD1中，点E是边BC的中点.点P在直线BD1（除B，D1两点）上运动的过程中，平面DEP可能经过的该正方体的顶点是 ______________ （写出满足条件的所有顶点）.。

2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(1)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1对两个具有线性相关关系的变量x 和y 进行统计时，得到一组数据1,0.3 ,2,4.7 ,3,m ,4,8 ，通过这组数据求得回归直线方程为y=2.4x -2，则m 的值为()A.3B.5C.5.2D.6【答案】A【解析】易知x =1+2+3+44=52,y =13+m4，代入y =2.4x -2得13+m 4=2.4×52-2⇒m =3.故选：A2已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m ⎳α,n ⎳α,则m ⎳nB.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⎳αD.若m ⎳α，m ⊥n ，则n ⊥α【答案】B【解析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.故选：B3已知向量a ，b 满足a =3，b =23，且a ⊥a +b，则b 在a 方向上的投影向量为()A.3B.-3C.-3aD.-a【答案】D【解析】a ⊥a +b ，则a ⋅a +b =a 2+a ⋅b =9+a ⋅b =0，故a ⋅b=-9，b 在a 方向上的投影向量a ⋅b a 2⋅a =-99⋅a =-a.故选：D .4若n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式3x +12xn的展开式的常数项是()A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】因为n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，6×60%=3.6，所以n =8，二项式3x +12x8的通项公式为T r +1=C r 8⋅3x 8-r ⋅12x r =C r 8⋅12 r⋅x8-r 3-r，令8-r 3-r =0⇒r =2，所以常数项为C 28×12 2=8×72×14=7，故选：A5折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE ，AC 所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC =120°，则该圆台的体积为()A.5023π B.9π C.7π D.1423π【答案】D【解析】设圆台上下底面的半径分别为r 1,r 2，由题意可知13×2π×3=2πr 1，解得r 1=1，13×2π×6=2πr 2，解得：r 2=2，作出圆台的轴截面，如图所示：图中OD =r 1=1,O A =r 2=2，AD =6-3=3，过点D 向AP 作垂线，垂足为T ，则AT =r 2-r 1=1，所以圆台的高h =AD 2-AT 2=32-1=22，则上底面面积S 1=π×12=π，S 2=π×22=4π，由圆台的体积计算公式可得：V =13×(S 1+S 2+S 1⋅S 2)×h =13×7π×22=142π3，故选：D .6已知函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，若x 1,x 2,-1三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式x -bx -c≤0的解集为()A.1,52B.1,52C.-∞,1 ∪52,+∞D.-∞,1 ∪52,+∞ 【答案】A【解析】由函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，即x 1,x 2是x 2-bx +c =0的两个实数根据，则x 1+x 2=b ,x 1x 2=c 因为b >0,c >0，可得x 1>0,x 2>0，又因为x 1,x 2,-1适当调整可以是等差数列和等比数列，不妨设x 1<x 2，可得x 1x 2=-1 2=1-1+x 2=2x 1 ，解得x 1=12,x 2=2，所以x 1+x 2=52,x 1x 2=1，所以b =52,c =1，则不等式x -b x -c ≤0，即为x -52x -1≤0，解得1<x ≤52，所以不等式的解集为1,52.故选：A .7已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为双曲线一条渐近线上的两点，A 为双曲线的右顶点，若四边形MF 1NF 2为矩形，且∠MAN =2π3，则双曲线C 的离心率为()A.3B.7C.213D.13【答案】C【解析】如图，因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以MN =F 1F 2 =2c (矩形的对角线相等)，所以以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2.直线MN 为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为y =bax ，由y =b a x ,x 2+y 2=c 2,解得x =a y =b ，或x =-a ,y =-b , 所以N a ,b ，M -a ,-b 或N -a ,-b ，M a ,b .不妨设N a ,b ，M -a , -b ，又A a ,0 ，所以AM =a +a 2+b 2=4a 2+b 2，AN =a -a 2+b 2=b .在△AMN 中，∠MAN =2π3，由余弦定理得MN 2=AM 2+AN 2-2AM AN ⋅cos 2π3，即4c 2=4a 2+b 2+b 2+4a 2+b 2×b ，则2b =4a 2+b 2，所以4b 2=4a 2+b 2，则b 2=43a 2，所以e =1+b 2a2=213.故选:C .8已知a =ln 1.2e ,b =e 0.2,c =1.2e 0.2，则有()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a【答案】C【解析】令f x =e x -ln x +1 -1,x >0，则f x =e x -1x +1.当x >0时，有e x >1,1x +1<1，所以1x +1<1，所以，f (x )>0在0,+∞ 上恒成立，所以，f (x )在0,+∞ 上单调递增，所以，f (x )>f (0)=1-1=0，所以，f (0.2)>0，即e 0.2-ln1.2-1>0，所以a <b令g x =e x -x +1 ,x >0，则g x =e x -1在x >0时恒大于零，故g x 为增函数，所以x +1ex <1,x >0，而a =ln 1.2e =1+ln1.2>1，所以c <a ，所以c <a <b ，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知函数f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4，则()A.函数f x -π4 为偶函数 B.曲线y =f x 对称轴为x =k π,k ∈ZC.f x 在区间π3,π2单调递增D.f x 的最小值为-2【答案】AC【解析】f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4=sin2x cos 3π4+sin 3π4cos2x +cos2x cos 3π4-sin2x sin3π4=-22sin2x +22cos2x -22cos2x -22sin2x =-2sin2x ，即f x =-2sin2x ，对于A ，f x -π4 =-2sin 2x -π2=2cos2x ，易知为偶函数，所以A 正确；对于B ，f x =-2sin2x 对称轴为2x =π2+k π,k ∈Z ⇒x =π4+k π2,k ∈Z ，故B 错误；对于C ，x ∈π3,π2 ,2x ∈2π3,π ，y =sin2x 单调递减，则f x =-2sin2x 单调递增，故C 正确；对于D ，f x =-2sin2x ，则sin2x ∈-1,1 ，所以f x ∈-2,2 ，故D 错误；故选：AC10设z 为复数，则下列命题中正确的是()A.z 2=zz B.若z =(1-2i )2，则复平面内z对应的点位于第二象限C.z 2=z 2D.若z =1，则z +i 的最大值为2【答案】ABD【解析】对于A ，设z =a +bi ，故z =a -bi ，则z 2=a 2+b 2，zz =(a +bi )(a -bi )=a 2+b 2，故z 2=zz成立，故A 正确，对于B ，z =(1-2i )2=-4i -3，z =4i -3，显然复平面内z对应的点位于第二象限，故B 正确，对于C ，易知z 2=a 2+b 2，z 2=a 2+b 2+2abi ，当ab ≠0时，z 2≠z 2，故C 错误，对于D ，若z =1，则a 2+b 2=1，而z +i =a 2+(b +1)2=2b +2，易得当b =1时，z +i 最大，此时z +i =2，故D 正确.故选：ABD11已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC =π3．将△DAC 沿着对角线AC 折起至△D AC ，连结BD ．设二面角D -AC -B 的大小为θ，则下列说法正确的是()A.若四面体D ABC 为正四面体，则θ=π3B.四面体D ABC 的体积最大值为1C.四面体D ABC 的表面积最大值为23+2D.当θ=2π3时，四面体D ABC 的外接球的半径为213【答案】BCD【解析】如图，取AC 中点O ，连接OB ,OD ，则OB =OD ，OB ⊥AC ,OD ⊥AC ，∠BOC 为二面角D AC -B 的平面角，即∠BOC =θ．若D ABC 是正四面体，则BD =BC ≠BO ，△OBD 不是正三角形，θ≠π3，A 错；四面体D ABC 的体积最大时，BO ⊥平面ACD ，此时B 到平面ACD 的距离最大为BO =3，而S △ACD=34×22=3，所以V =13×3×3=1，B 正确；S △ABC =S △DAC =3，易得△BAD ≅△BCD ，S △BAD=S △BCD=12×22sin ∠BCD =2sin ∠BCD ，未折叠时BD =BD =23，折叠到B ,D 重合时，BD =0，中间存在一个位置，使得BD =22，则BC 2+D C 2=BD 2，∠BCD =π2，此时S △BAD=S △BCD=2sin ∠BCD 取得最大值2，所以四面体D ABC 的表面积最大值为23+2 ，C 正确；当θ=2π3时，如图，设M ,N 分别是△ACD 和△BAC 的外心，在平面AOD 内作PM ⊥OD ，作PN ⊥OB ，PM ∩PN =P ，则P 是三棱锥外接球的球心，由上面证明过程知平面OBD 与平面ABC 、平面D AC 垂直，即P ,N ,O ,M 四点共面，θ=2π3，则∠PON =π3，ON =13×32×2=33，PN =ON tan π3=33×3=1，PB =PN 2+BN 2=12+233 2=213为球半径，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12设集合M =x log 2x <1 ，N =x 2x -1<0 ，则M ∩N =．【答案】x 0<x <12【解析】因为log 2x <1=log 22，所以0<x <2，即M =x log 2x <1 =x 0<x <2 ，因为2x -1<0，解得x <12，所以N =x 2x -1<0 =x x <12，所以，M ∩N =x 0<x <12 .故答案为：x 0<x <12 13已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且S 8-2S 4=6，则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为.【答案】24【解析】设正项等比数列a n 的公比为q ，则q >0，所以，S 8=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=a 1+a 2+a 3+a 4+q 4a 1+a 2+a 3+a 4 =S 41+q 4 ，则S 8-2S 4=S 4q 4-1 =6，则q 4>1，可得q >1，则S 4=6q 4-1，所以，a 9+a 10+a 11+a 12=q 8a 1+a 2+a 3+a 4 =S 4q 8=6q 8q 4-1=6q 4-1+1 2q 4-1=6q 4-1 2+1+2q 4-1 q 4+1=6q 4-1 +1q 4-1+2 ≥62q 4-1 ⋅1q 4-1+2 =24，当且仅当q 4-1=1q 4-1q >1 时，即当q =42时，等号成立，故a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为24.故答案为：2414已知F 为拋物线C :y =14x 2的焦点，过点F 的直线l 与拋物线C 交于不同的两点A ，B ，拋物线在点A ,B 处的切线分别为l 1和l 2，若l 1和l 2交于点P ，则|PF |2+25AB的最小值为.【答案】10【解析】C :x 2=4y 的焦点为0,1 ，设直线AB 方程为y =kx +1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立直线与抛物线方程有x 2-4kx -4=0，则AB =y 1+y 2+2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4.又y =14x 2求导可得y =12x ，故直线AP 方程为y -y 1=12x 1x -x 1 .又y 1=14x 21，故AP :y =12x 1x -14x 21，同理BP :y =12x 2x -14x 22.联立y =12x 1x -14x 21y =12x 2x -14x 22可得12x 1-x 2 x =14x 21-x 22 ，解得x =x 1+x 22，代入可得P x 1+x 22,x 1x 24 ，代入韦达定理可得P 2k ,-1 ，故PF =4k 2+4.故|PF |2+25AB=4k 2+4+254k 2+4≥24k 2+4 ×254k 2+4=10，当且仅当4k 2+4=254k 2+4，即k =±12时取等号.故答案为：102024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(2)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1抛物线y =12x 2的焦点坐标为()A.18,0B.12,0 C.0,18D.0,12【答案】D 【解析】由y =12x 2可得抛物线标准方程为：x 2=2y ，∴其焦点坐标为0,12 .故选：D .2二项式3x 2-1x 47的展开式中常数项为()A.-7B.-21C.7D.21【答案】A 【解析】二项式3x 2-1x47的通项公式为Tr +1=C r 7⋅3x 27-r⋅-1x4r=Cr 7⋅-1 r⋅x14-14r 3，令14-14r 3=0⇒r =1，所以常数项为C 17⋅-1 =-7，故选：A3已知集合A =x log 2x ≤1 ，B =y y =2x ,x ≤2 ，则()A.A ∪B =BB.A ∪B =AC.A ∩B =BD.A ∪(C R B )=R【答案】A【解析】由log 2x ≤1，则log 2x ≤log 22，所以0<x ≤2，所以A =x log 2x ≤1 =x 0<x ≤2 ，又B =y y =2x ,x ≤2 =y 0<y ≤4 ，所以A ⊆B ，则A ∪B =B ，A ∩B =A .故选：A ．4若古典概型的样本空间Ω=1,2,3,4 ，事件A =1,2 ，甲：事件B =Ω，乙：事件A ,B 相互独立，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若B =Ω，A ∩B =1,2 ，则P A ∩B =24=12，而P A =24=12，P B =1，所以P A P B =P A ∩B ，所以事件A ,B 相互独立，反过来，当B =1,3 ，A ∩B =1 ，此时P A ∩B =14，P A =P B =12，满足P A P B =P A ∩B ，事件A ,B 相互独立，所以不一定B =Ω，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A5若函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，则实数m =()A.1B.-1C.12D.-12【答案】C【解析】由函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，可得f -1 =f 1 ，即ln e -1-1 +m =ln e -1 -m ，解之得m =12，则f x =ln e x -1 -12x (x ≠0)，f -x =ln e -x -1 +12x =ln e x -1 -x +12x =ln e x -1 -12x =f x故f x =ln e x -1 -12x 为偶函数，符合题意.故选：C6已知函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，若f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()A.线段(不包含端点) B.椭圆一部分C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分【答案】A【解析】因为函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，所以y =f (x )=b ⋅1-x 2a2(-a <x <a )，因为f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，所以有f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )，且有-a <s <a ,-a <s -t <a ,-a <s +t <a 成立，即-a <s <a ,-a <t <a 成立，由f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )⇒b ⋅1-s 2a 22=b ⋅1-(s -t )2a 2⋅b ⋅1-(s +t )2a 2，化简得：t 4=2a 2t 2+2s 2t 2⇒t 2(t 2-2a 2-2s 2)=0⇒t 2=0，或t 2-2a 2-2s 2=0，当t 2=0时，即t =0，因为-a <s <a ，所以平面上点(s ，t )的轨迹是线段(不包含端点)；当t 2-2a 2-2s 2=0时，即t 2=2a 2+2s 2，因为-a <t <a ，所以t 2<a 2，而2a 2+2s 2>a 2，所以t 2=2a 2+2s 2不成立，故选：A7若tan α+π4=-2，则sin α1-sin2α cos α-sin α=()A.65B.35C.-35D.-65【答案】C【解析】因为tan α+π4 =tan α+tan π41-tan αtan π4=tan α+11-tan α=-2，解得tan α=3，所以，sin α1-sin2αcos α-sin α=sin αsin 2α+cos 2α-2sin αcos α cos α-sin α=sin αcos α-sin α 2cos α-sin α=sin αcos α-sin 2α=sin αcos α-sin 2αcos 2α+sin 2α=tan α-tan 2α1+tan 2α=3-91+9=-35.故选：C .8函数f x =2ln xx,x >0sin ωx +π6,-π≤x ≤0，若2f 2(x )-3f (x )+1=0恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为()A.103,4B.103,4 C.2,103D.2,103【答案】D【解析】由题知，2f 2x -3f x +1=0的实数解可转化为f (x )=12或f (x )=1的实数解，即y =f (x )与y =1或y =12的交点，当x >0时，f x =2ln xx ⇒f (x )=21-ln x x 2所以x ∈0,e 时，f (x )>0，f x 单调递增，x ∈e ,+∞ 时，f (x )<0，f x 单调递减，如图所示：所以x =e 时f x 有最大值：12<f (x )max =2e<1所以x >0时，由图可知y =f (x )与y =1无交点，即方程f (x )=1无解，y =f (x )与y =12有两个不同交点，即方程f (x )=12有2解当x <0时，因为ω>0，-π≤x ≤0，所以-ωπ+π6≤ωx +π6≤π6，令t =ωx +π6，则t ∈-ωπ+π6,π6则有y =sin t 且t ∈-ωπ+π6,π6，如图所示：因为x >0时，已有两个交点，所以只需保证y =sin t 与y =12及与y =1有四个交点即可，所以只需-19π6<-ωπ+π6≤-11π6，解得2≤ω<103．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知复数z 1,z 2是关于x 的方程x 2+bx +1=0(-2<b <2,b ∈R )的两根，则下列说法中正确的是()A.z 1=z 2B.z 1z 2∈R C.z 1 =z 2 =1D.若b =1，则z 31=z 32=1【答案】ACD【解析】Δ=b 2-4<0，∴x =-b ±4-b 2i 2，不妨设z 1=-b 2+4-b 22i ，z 2=-b2-4-b 22i ，z 1=z 2，A 正确；z 1 =z 2 =-b 22+4-b 222=1，C 正确；z 1z 2=1，∴z 1z 2=z 21z 1z 2=z 21=b 2-22-b 4-b 22i ，b ≠0时，z 1z 2∉R ，B 错；b =1时，z 1=-12+32i ，z 2=-12-32i ，计算得z 21=-12-32i =z 2=z 1 ，z 22=z 1=z 2 ，z 31=z 1z 2=1，同理z 32=1，D 正确．故选：ACD ．10四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，P A 与底面垂直，P A =2，AB =1，动点M 在线段PC 上，则()A.不存在点M ，使得AC ⊥BMB.MB +MD 的最小值为303C.四棱锥P -ABCD 的外接球表面积为5πD.点M 到直线AB 的距离的最小值为255【答案】BD【解析】对于A ：连接BD ，且AC ∩BD =O ，如图所示，当M 在PC 中点时，因为点O 为AC 的中点，所以OM ⎳P A ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，所以OM ⊥AC ，因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD .又因为BD ∩OM =O ，且BD ，OM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥平面BDM ，因为BM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥BM ，所以A 错误；对于B ：将△PBC 和△PCD 所在的平面沿着PC 展开在一个平面上，如图所示，则MB +MD 的最小值为BD ，直角△PBC 斜边PC 上高为1×56，即306，直角△PCD 斜边PC 上高也为1×56，所以MB +MD 的最小值为303，所以B 正确；对于C ：易知四棱锥P -ABCD 的外接球直径为PC ，半径R =12PC =1222+12+12=62，表面积S =4πR 2=6π，所以C 错误；对于D ：点M 到直线AB 距离的最小值即为异面直线PC 与AB 的距离，因为AB ⎳CD ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB ⎳平面PCD ，所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，过点A 作AF ⊥PD ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ,又AD ⊥CD ,且P A ∩AD =A ,故CD ⊥平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，所以AF ⊥CD ，因为PD ∩CD =D ，且PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离，即为AF 的长，如图所示，在Rt △P AD 中，P A =2，AD =1，可得PD =5，所以由等面积得AF =255，即直线AB 到平面PCD 的距离等于255，所以D 正确，故选：BCD .11今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则()A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【解析】设A 红，A 黄，A 绿，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设B 红表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：P B 红∣A 黄 =P B 红A 黄 P A 黄=27×4727=47，故A 正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：P B 红 ∣A 红 =P A 红 B 红 P A 红 =P A 黄B 红 +P A 绿B 红 P A 红 =27×37+27×1247=1328，故B 错误；由题意可知，P A 红 =37,P A 黄 =27,P A 绿 =27,P B 红∣A 红 =37,P B 红∣A 黄 =47，P B 红∣A 绿 =12，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：P =P A 红 P B 红∣A 红 +P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄 +P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 =37×37+27×47+27×12=2449，故C 正确；因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，则P A 红∣B 红 =P A 红 ⋅P B 红∣A 红 P B 红=37×37×4924=38，P A 黄∣B 红 =P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄P B 红=27×47×4924=13，P A 绿∣B 红 =P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 P B 红 =27×12×4924=724，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球机会最小，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点E 在△ABC 所在平面内，且CD =3CE -2CA ，若AC =xAB +yBE，则x +y =．【答案】11【解析】因为CD =3CE -2CA ，边BC 的中点为D ，所以12CB=3BE -BC +2AC ，因为12CB =3BE -3BC +2AC ，所以52BC =3BE +2AC ，所以52BC =52AC -AB =3BE +2AC ，所以5AC -5AB =6BE +4AC ，即5AB +6BE =AC ，因为AC =xAB +yBE ，所以x =5，y =6，故x +y =11.故答案为：1113已知圆锥母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．【答案】①.63②.16327π【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线与底面所成的角为θ,θ∈0,π2 ，易知cos θ=r 2.圆锥的体积为V =13πr 2⋅4-r 2=43πcos 2θ⋅2sin θ=8π3cos 2θ⋅sin θ=8π31-sin 2θ sin θ令x =sin θ,x ∈0,1 ，则y =1-sin 2θ sin θ=-x 3+x ，y =-3x 2+1当y >0时，x ∈0,33，当y<0时，x ∈33,1 ，即函数y =-x 3+x 在0,33 上单调递增，在33,1上单调递减，即V max =8π333-33 3 =163π27，此时cos θ=1-323 =62.故答案为：62；163π2714已知双曲线C ：x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为E ，过F 2的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点(其中点A 在第一象限内)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则当F 1A ⊥AB 时，AF 1=；△ABF 1内切圆的半径为．【答案】①.7+1##1+7②.7-1##-1+7【解析】由双曲线方程知a =1,b =3,c =2，如下图所示：由F 1A ⊥AB ，则AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2=16，故AF 1 -AF 2 2+2AF 1 AF 2 =16，而AF 1 -AF 2 =2a =2，所以AF 1 AF 2 =6，故AF 2 2+2AF 2 -6=0，解得AF 2 =7-1，所以AF 1 =7+1，若G 为△ABF 1内切圆圆心且F 1A ⊥AB 可知，以直角边切点和G ,A 为顶点的四边形为正方形，结合双曲线定义内切圆半径r =12AF 1 +AB -BF 1 =12AF 1 +AF 2 +BF 2 -BF 1所以r =1227+BF 2 -BF 1 =1227-2 =7-1；故答案为：7+1，7-1；2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(3)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1有一组按从小到大顺序排列数据：3，5，x ，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为()A.7B.7.5C.8D.6.5【答案】B【解析】依题意可得极差为10-3=7，平均数为163+5+x +8+9+10 =1635+x ，所以1635+x =7，解得x =7，所以中位线为7+82=7.5.故选：B .2已知集合A =x x -1 >2 ，B =x log 4x <1 ，则A ∩B =()A.3,4B.-∞,-1 ∪3,4C.1,4D.-∞,4【答案】A【解析】由x -1 >2，得x <-1或x >3，所以A =x x <-1或x >3 ，由log 4x <1，得0<x <4，所以B =x 0<x <4 ，所以A ∩B =x 3<x <4 .故选：A .3已知向量a =(2,0)，b =sin α,32，若向量b 在向量a 上的投影向量c =12,0 ，则|a +b |=()A.3B.7C.3D.7【答案】B【解析】由已知可得，b 在a 上的投影向量为a ⋅b |a |⋅a |a |=2sin α2×2(2,0)=(sin α,0)，又b 在a 上的投影向量c =12,0 ，所以sin α=12，所以b =12,32，所以a +b =52,32 ，所以|a +b |=52 2+322=7.故选：B .4如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，AP ⊥AQ ，则PQ =()A.74B.262C.52D.3【答案】C【解析】设两圆锥的高OP =x ，OQ =y ，则AP =x 2+1，AQ =y 2+1，由AP ⊥AQ ，有AP 2+AQ 2=PQ 2，可得x 2+1+y 2+1=x +y 2，可得xy =1，又由上下圆锥侧面积之比为2:1，即π×1×P A =2×π×1×QA ，可得P A =2QA ，则有x 2+1=2y 2+1，即x 2=4y 2+3，代入y =1x整理为x 4-3x 2-4=0，解得x =2(负值舍)，可得y =12，OP =x +y =2+12=52．故选：C ．5已知Q 为直线l :x +2y +1=0上的动点，点P 满足QP=1,-3 ，记P 的轨迹为E ，则()A.E 是一个半径为5的圆B.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到l 的距离均为5D.E 是两条平行直线【答案】C【解析】设P x ,y ，由QP=1,-3 ，则Q x -1,y +3 ，由Q 在直线l :x +2y +1=0上，故x -1+2y +3 +1=0，化简得x +2y +6=0，即P 轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l 的距离d =6-112+22=5，故A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .6已知x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6，则a 1+a 3的值为()A.-1B.1C.4D.-2【答案】C【解析】在x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6中，而x +1 x -1 5=x x -1 5+x -1 5，由二项式定理知x -1 5展开式的通项为T r +1=C r 5x 5-r (-1)r ，令5-r =2，解得r =3，令5-r =3，r =2，故a 3=C 35(-1)3+C 25(-1)2=0，同理令5-r =1，解得r =4，令5-r =0，解得r =5，故a 1=C 45(-1)4+C 55(-1)5=4，故a 1+a 3=4.故选：C7已知P 为抛物线x 2=4y 上一点，过P 作圆x 2+(y -3)2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则cos ∠APB 的最小值为()A.12B.23C.34D.78【答案】C【解析】如图所示：因为∠APB =2∠APC ，sin ∠APC =AC PC=1PC，设P t ,t 24，则PC 2=t 2+t 24-3 2=t 416-t 22+9=116t 2-4 2+8，当t 2=4时，PC 取得最小值22，此时∠APB 最大，cos ∠APB 最小，且cos ∠APB min =1-2sin 2∠APC =1-21222=34，故C 正确.故选：C8已知函数f x ,g x 的定义域为R ,g x 为g x 的导函数且f x +g x =3,f x -g 4-x =3，若g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是()A.f -1 =f -3B.f 1 +f 3 =65C.g 2 =3D.f 4 =3【答案】D【解析】对于D ，∵g x 为偶函数，则g x =g -x ，两边求导可得g x =-g -x ，则g x 为奇函数，则g 0 =0，令x =4，则f 4 -g 0 =3，f 4 =3，D 对；对于C ，令x =2，可得f 2 +g 2 =3f 2 -g 2 =3 ，则f 2 =3g 2 =0 ，C 错；对于B ，∵f x +g x =3，可得f 2+x +g 2+x =3，f x -g 4-x =3可得f 2-x -g 2+x =3，两式相加可得f 2+x +f 2-x =6，令x =1，即可得f 1 +f 3 =6，B 错；又∵f x +g x =3，则f x -4 +g x -4 =f x -4 -g 4-x =3，f x -g 4-x =3，可得f x =f x -4 ，所以f x 是以4为周期的函数，所以根据以上性质不能推出f -1 =f -3 ，A 不一定成立.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9下列结论正确的是()A.若a <b <0，则a 2>ab >b 2B.若x ∈R ，则x 2+2+1x 2+2的最小值为2C.若a +b =2，则a 2+b 2的最大值为2D.若x ∈(0,2)，则1x +12-x ≥2【答案】AD【解析】因为a 2-ab =a (a -b )>0，所以a 2>ab ，因为ab -b 2=b (a -b )>0，所以ab >b 2，所以a 2>ab >b 2，故A 正确；因为x 2+2+1x 2+2≥2的等号成立条件x 2+2=1x 2+2不成立，所以B 错误；因为a 2+b 22≥a +b 2 2=1，所以a 2+b 2≥2，故C 错误；因为1x +12-x =12(x +2-x )1x +12-x =122+2-x x +x 2-x ≥12(2+2)=2，当且仅当1x =12-x，即x =1时，等号成立，所以D 正确.故选：AD10若函数f x =2sin 2x ⋅log 2sin x +2cos 2x ⋅log 2cos x ，则()A.f x 的最小正周期为πB.f x 的图像关于直线x =π4对称C.f x 的最小值为-1D.f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z【答案】BCD【解析】由sin x >0,cos x >0得f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z .对于A ：当x ∈0,π2时，x +π∈π,32π 不在定义域内，故f x +π =f x 不成立，易知f x 的最小正周期为2π，故选项A 错误；对于B ：又f π2-x =2cos 2x ⋅log 2cos x +2sin 2x ⋅log 2sin x =f x ，所以f x 的图像关于直线x =π4对称，所以选项B 正确；对于C ：因为f x =sin 2x ⋅log 2sin 2x +cos 2x ⋅log 2cos 2x ，设t =sin 2x ，所以函数转化为g t =t ⋅log 2t +1-t ⋅log 21-t ,t ∈0,1 ,g t =log 2t -log 21-t ，由g t >0得，12<t <1.g t <0得0<t <12.所以g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，故g (t )min =g 12=-1，即f (x )min =-1，故选项C 正确；对于D ：因为g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，由t =sin 2x ，令0<sin 2x <12得0<sin x <22，又f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，解得2k π<x <π4+2k π,k ∈Z ，因为t =sin 2x 在2k π,π4+2k π 上单调递增，所以f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z ，同理函数的递增区间为π4+2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，所以选项D 正确.故选：BCD .11已知数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n S n +1+S n +1=3，a 1=α0<α<1 ，则()A.当0<α<13-14时，a 2>a 1B.a 3>a 2C.数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减D.当α=34时，恒有nk =1S k -1 <54【答案】ACD【解析】由题意可得：S n +1=32S n +1，a 1=α，由S n +1=32S n +1可知：S n +1=1⇔S n =1，但S 1=α∈0,1 ，可知对任意的n ∈N *，都有S n ≠1，对于选项A ：若0<α<13-14，则a 2-a 1=S 2-2a 1=32α+1-2α=3-2α-4α22α+1=4α+1+13 13-14-α2α+1>0，即a 2>a 1，故A 正确；对于选项B ：a 3-a 2=S 3-2S 2+S 1=6α+32α+7-62α+1+α=α-1 4α2+32α+39 2α+1 2α+7<0，即a 3<a 2，故B 错误.对于选项C ：因为S n +1-1=-2S n -1 2S n +1，S n +1+32=3S n +32 2S n +1，则S n +1-1S n +1+32=-23⋅S n -1S n +32，且S 1-1S 1+32=α-1α+32<0，可知S n -1S n+32是等比数列，则S n -1S n +32=α-1α+32⋅-23n -1，设A =α-1α+32<0，t =232n -2，可得S 2n =3-3At 3+2At =3253+2At -1 ，S 2n -1=1+32At 1-At =521-At-32，因为At =A 232n -2，可知A 23 2n -2 为递增数列，所以数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减，故C 正确；对于选项D ：因为S n +1=32S n +1，S n +1-34=32S n +1-34=33-2S n 42S n +1，由S 1=α=34，可得S 2-34>0，即S 2>34，则S 2≤65，即34<S 2≤65；由34<S 2≤65，可得S 3-34>0，即S 3>34，则S 3<65，即34<S 3<65；以此类推，可得对任意的n ∈N *，都有S n ≥S 1=α=34，又因为S n +1-1S n -1=22S n +1，则S n +1-1 ≤22α+1S n -1 =45S n -1 ，所以∑nk =1S k -1 ≤541-45 n <54，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在(1+ax )n (其中n ∈N *,a ≠0)的展开式中，x 的系数为-10，各项系数之和为-1，则n =.【答案】5【解析】由题意得(1+ax )n 的展开式中x 的系数为aC 1n =-10，即an =-10，令x =1，得各项系数之和为(1+a )n =-1，则n 为奇数，且1+a =-1，即得a =-2,n =5，故答案为：513已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别F 1，F 2，椭圆的长轴长为22，短轴长为2，P 为直线x =2b 上的任意一点，则∠F 1PF 2的最大值为.【答案】π6【解析】由题意有a =2，b =1，c =1，设直线x =2与x 轴的交点为Q ，设PQ =t ，有tan ∠PF 1Q =PQ F 1Q=t3，tan ∠PF 2Q =PQ F 2Q=t ，可得tan ∠F 1PF 2=tan ∠PF 2Q -∠PF 1Q =t -t31+t23=2t t 2+3=2t +3t ≤2t 23t =33，当且仅当t =3时取等号，可得∠F 1PF 2的最大值为π6.故答案为：π614已知四棱锥P -ABCD 的底面为矩形，AB =23，BC =4，侧面P AB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P -ABCD 内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为.【答案】10-1【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r ，取AB 的中点为H ，CD 的中点为N ，连接PH ，PN ，HN ，球O为四棱锥P-ABCD的内切球，底面ABCD为矩形，侧面P AB为正三角形且垂直于底面ABCD，则平面PHN截四棱锥P-ABCD的内切球O所得的截面为大圆，此圆为△PHN的内切圆，半径为r，与HN，PH分别相切于点E，F，平面P AB⊥平面ABCD，交线为AB，PH⊂平面P AB，△P AB为正三角形，有PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，HN⊂平面ABCD，∴PH⊥HN，AB=23，BC=4，则有PH=3，HN=4，PN=5，则△PHN中，S△PHN=12×3×4=12r3+4+5，解得r=1.所以，四棱锥P-ABCD内切球半径为1，连接ON.∵PH⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PH，又CD⊥HN，PH,HN⊂平面PHN，PH∩HN=H，∴CD⊥平面PHN，∵ON⊂平面PHN，可得ON⊥CD，所以内切球表面上一点M到直线CD的距离的最小值即为线段ON的长减去球的半径，又ON=OE2+EN2=10.所以四棱锥P-ABCD内切球表面上的一点M到直线CD的距离的最小值为10-1.故答案为：10-12024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(4)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知双曲线的标准方程为x 2k -4+y 2k -5=1，则该双曲线的焦距是()A.1B.3C.2D.4【答案】C【解析】由双曲线方程可知a 2=k -4,b 2=5-k ，所以c 2=k -4+5-k =1，c =1，2c =2．故选：C2在等比数列a n 中，a 1+a x =82，a 3a x -2=81，前x 项和S x =121，则此数列的项数x 等于()A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】由已知条件可得a 1+a x =82a 3a x -2=a 1a x =81，解得a 1=1a x =81 或a 1=81a x =1 .设等比数列a n 的公比为q .①当a 1=1，a x =81时，由S x =a 1-a x q 1-q =1-81q1-q=121，解得q =3，∵a x =a 1q x -1=3x -1=81，解得x =5；②当a 1=81，a x =1时，由S x =a 1-a x q 1-q =81-q 1-q =121，解得q =13，∵a x =a 1q x -1=81×13x -1=35-x =1，解得x =5.综上所述，x =5.故选：B .3对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是()A.“ac 2>bc 2”是“a >b ”的必要条件B.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件C.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的充分条件D.“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件【答案】B【解析】对于A ，若c =0，则由a >b ⇏ac 2>bc 2，∴“ac 2>bc 2”不是“a >b ”的必要条件，A 错．对于B ，a =b ⇒ac 2=bc 2，∴“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件，B 对，对于C ，若c =0，则由ac 2=bc 2，推不出a =b ，“ac 2=bc 2”不是“a =b ”的充分条件对于D ，当c =0时，ac 2=bc 2，即ac 2≥bc 2成立，此时不一定有a ≥b 成立，故“ac 2≥bc 2”不是“a ≥b ”的充分条件，D 错误，故选：B ．4已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是()A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB.若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC.若m ∥α，m ∥β，则α∥βD.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n【答案】D【解析】A选项：令平面ABCD为平面α，A1B1为直线m，B1C1为直线n，有：m∥α，n∥α，但m∩n=B1，A错误；B选项：令平面ABCD为平面β，令平面B1BCC1为平面α，令平面A1ABB1为平面γ，有：α⊥β，β⊥γ，而α⊥β，B错误；C选项：令平面ABCD为平面α，令平面A1ABB1为平面β，C1D1为直线m，有：m∥α，m∥β，则α∥β，而α⊥β，C错误；D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.故选：D5将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有()A.2720B.3160C.3000D.2940【答案】D【解析】共有两种分配方式，一种是4:2:2，一种是3:3:2，故不同的安排方法有C48C24C222!+C38C35C222!A33=2940.故选：D6若抛物线y2=4x与椭圆E:x2a2+y2a2-1=1的交点在x轴上的射影恰好是E的焦点，则E的离心率为()A.2-12 B.3-12 C.2-1 D.3-1【答案】C【解析】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为A，椭圆E右焦点为F，则根据题意得AF⊥x轴，c2=a2-a2-1=1，则c=1，则F1,0，当x=1时，y2=4×1，则y A=2，则A1,2，代入椭圆方程得12a2+22a2-1=1，结合a2-1>0，不妨令a>0；解得a=2+1，则其离心率e=ca=12+1=2-1，故选：C.7已知等边△ABC 的边长为3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|P A |=1，则PB ⋅PC 的取值范围是()A.-32,92B.-12,112C.[1,4]D.[1,7]【答案】B【解析】如下图构建平面直角坐标系，且A -32,0 ，B 32,0 ，C 0,32，所以P (x ,y )在以A 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为x +322+y 2=1，而PB =32-x ,-y ,PC =-x ,32-y ，故PB ⋅PC =x 2-32x +y 2-32y =x -34 2+y -34 2-34，综上，只需求出定点34,34 与圆x +322+y 2=1上点距离平方范围即可，而圆心A 与34,34 的距离d =34+32 2+34 2=32，故定点34,34与圆上点的距离范围为12,52，所以PB ⋅PC ∈-12,112.故选：B 8设a 、b 、c ∈0,1 满足a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则()A.a +c <2b ，ac <b 2B.a +c <2b ，ac >b 2C.a +c >2b ，ac <b 2D.a +c >2b ，ac >b 2【答案】A【解析】∵a 、b 、c ∈0,1 且a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则c =tan a =tan sin b ，先比较a +c =sin b +tan sin b 与2b 的大小关系，构造函数f x =sin x +tan sin x -2x ，其中0<x <1，则0<sin x <1，所以，cos1<cos sin x <1，则f x =cos x +cos xcos 2sin x -2=cos x -2 cos 2sin x +cos x cos 2sin x，令g x =cos x -1-12x 2 ，其中x ∈0,1 ，则g x =x -sin x ，令p x =x -sin x ，其中0<x <1，所以，p x =1-cos x >0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，故g x >g 0 =0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，则g x =cos x -1-12x 2 >0，即cos x >1-12x 2，因为x ∈0,1 ，则0<sin x <sin1，所以，cos sin x >1-12sin 2x =1-121-cos 2x =121+cos 2x ，所以，cos 2sin x >141+cos 2x 2，因为cos x -2<0，所以，cos x -2 cos 2sin x +cos x <14cos x -2 1+cos 2x 2+cos x=14cos 5x -2cos 4x +2cos 3x -4cos 2x +5cos x -2 =14cos x -1 3cos 2x +cos x +2 <0，所以，对任意的x ∈0,1 ，f x =cos x -2 cos 2sin x +cos xcos 2sin x <0，故函数f x 在0,1 上单调递减，因为b ∈0,1 ，则f b =sin b +tan sin b -2b <f 0 =0，故a +c <2b ，由基本不等式可得0<2ac ≤a +c <2b (a ≠c ，故取不了等号)，所以，ac <b 2，故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9某大学生做社会实践调查，随机抽取6名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：88、89、90、90、91、92，则下列关于该样本数据的说法中正确的是()A.均值为90B.中位数为90C.方差为2D.第80百分位数为91【答案】ABD【解析】由题意可知，该组数据的均值为x =88+89+90+90+91+926=90，故A 正确；中位数为90+902=90，故B 正确；方差为s 2=1688-90 2+89-90 2+90-90 2×2+91-90 2+92-90 2 =53，故C 错误；因为6×80%=4.8，第80百分位数为91，故D 正确.故选：ABD .10设M ，N ，P 为函数f x =A sin ωx +φ 图象上三点，其中A >0，ω>0，ϕ <π2，已知M ，N 是函数f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M ，N 之间的最高点，若MP 2+2MN ⋅NP=0，△MNP 的面积是3，M 点的坐标是-12,0 ，则()A.A =2B.ω=π2C.φ=π4D.函数f x 在M ，N 间的图象上存在点Q ，使得QM ⋅QN <0【答案】BCD【解析】MP 2+2MN ⋅NP =MP 2-2NM ⋅NP =MP 2-2NM ⋅12NM =T 4 2+A 2 -T 22=A 2-3T 216=0，而S △MNP =AT 4=3，故A =3，T =4=2πω，ω=π2，A 错误、B 正确；-12⋅π2+φ=k π，φ=k π+π4(k ∈Z )，而ϕ <π2，故φ=π4，C 正确；显然，函数f x 的图象有一部分位于以MN 为直径的圆内，当Q 位于以MN 为直径的圆内时，QM⋅QN<0，D 正确，故选:BCD .11设a 为常数，f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )，则()．A .f (a )=12B .f (x )=12成立C f (x +y )=2f (x )f (y )D .满足条件的f (x )不止一个【答案】ABC 【解析】f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )对A ：对原式令x =y =0，则12=12f a +12f a =f a ，即f a =12，故A 正确；对B ：对原式令y =0，则f x =f x f a +f 0 f a -x =12f x +12f a -x ，故f x =f a -x ，对原式令x =y ，则f 2x =f x f y +f y f x =2f x f y =2f 2x ≥0，故f x 非负；对原式令y =a -x ，则f a =f 2x +f 2a -x =2f 2x =12，解得f x =±12，又f x 非负，故可得f x =12，故B 正确；对C ：由B 分析可得：f x +y =2f x f y ，故C 正确；对D ：由B 分析可得：满足条件的f x 只有一个，故D 错误.故选：ABC .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在复平面内，复数z =-12+32i 对应的向量为OA ，复数z +1对应的向量为OB ，那么向量AB 对应的复数是．。

限时训练（四十）答案部分一、选择题二、填空题13. 5-3解析部分1.解析{}1A x x=<，{}{}310xB x x x=<=<，所以{}0A B x x=<，{}1A B x x=<.故选A.2. 解析设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则正方形的面积为224⨯=，圆的面积为2π1π⨯=，图中黑色部分的面积为π2，则此点取自黑色部分的概率为ππ248=.故选B.3. 解析1:p设iz a b=+，则2211iia bz a b a b-==∈++R，得到0b=，所以z∈R.故1p正确；2:p若z1=-2，满足2z∈R，而z i=，不满足2z∈R，故2p不正确；3:p若1z1=，2z2=，则12z z2=，满足12z z∈R，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p不正确；4:p实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p正确.故选B.4.解析45113424a a a d a d+=+++=，61656482S a d⨯=+=，联立11272461548a da d+=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②3⨯-①②，得()211524-=d，即624d=，所以4d=.故选C.5. 解析因为()f x为奇函数，所以()()111f f-=-=，于是()121f x--剟等价于()()()121f f x f--剟，又()f x在()-∞+∞，单调递减，所以121x--剟，所以3x1剟.故选D. 6. 解析()()()66622111+1111x x xx x⎛⎫+=⋅++⋅+⎪⎝⎭，对()61x+二项式展开中2x项的系数为2665C152⨯==，对()6211xx⋅+二项式展开中2x项的系数为46C=15，所以2x的系数为151530+=.故选C.7. 解析由三视图可画出立体图，如图所示，该多面体只有两个相同的梯形的面，()24226S=+⨯÷=梯，6212S=⨯=全梯.故选B.第2页/共5页8. 解析 因为要求A 大于1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”中不能输入1000A >，排除A ，B.又要求n 为偶数，且n 的初始值为0，所以“”中n 依次加2可保证其为偶.故选D.9. 解析 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x .首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−−→=+=+→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 10. 解析 解法一：设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，设()11,A x y ，()22,B x y ， ()33,D x y ，()44,E x y ，直线()11l k x =-，直线()21:1l y x k =--.联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，所以2122224424k AB x x p k k+=++=+=+，同理 22342124441k DE x x p k k+=++==+，从而22184+16AB DE k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当1k =± 时等号成立.故选A.解法二：设AB 的倾斜角为θ，抛物线的准焦距为p ．作1AK 垂直准线于点1K ，2AK 垂直x 轴于点2K ，如图所示.易知11cos 22AF GF AK AK AF p p GP pθ⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩（几何关系）（抛物线定义），所以cos AF p AF θ⋅+=， 即1cos p AF θ=-，同理1cos p BF θ=+，所以22221cos sin p pAB θθ==-.又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+，2222πcos sin 2p pDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 而24y x =，即2p =，所以22112sin cos AB DE p θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24θ== 21616sin 2θ≥，当π4θ=时取等号，即AB DE +的最小值为16.故选A. 11. 解析 设235x y z t ===，两边取对数得ln 2ln3ln5ln x y z t ===，则2ln 2ln 2tx =3ln 3ln 3t y =，5ln 5ln 5t z =，ln 0t >.设()ln x f x x=，()()2ln 1ln x f x x -'=，当()0,e x ∈时， ()0f x '<，()f x 单调递减；当()e,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.而()24ln x f t =， ()33ln y f t =，()55ln z f t =.由e<3<4<5，得325y x z <<.故选D.12. 解析 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推． 设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12n n +，由题意得，100N >，令()11002n n +>，得14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后，第n 组的和为122112nn -=--，n 组总共的和为 ()12122212n n n n +--=---，若要使前N 项和为2的整数幂，则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数，即()*21214k n k n -=+∈N ，≥，()2log 3k n =+，得n 的最小值为295n k ==，， 则()2912954402N ⨯+=+=.故选A.13. 解析 ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+a b a b a a b b 221222222=+⨯⨯⨯+=444++=12，所以2+==a b第4页/共5页14. 解析 不等式组21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………表示的平面区域如图所示，由32z x y =-，得322zy x =-，求z 的最小值，即求直线322z y x =-的纵截距的最大值，当直线322zy x =-过图中点A 时，纵截距最大， 由2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得点A 的坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-. 15. 解析 如图所示，OA a =，AN AM b ==.因为60MAN ∠=，所以AP =，OP =tan AP OP θ==.又因为tan b a θ=，所以b a =，解得223a b =，则e ===.16. 解析 由题意，联结OD ，交BC 于点G ，如图所示，则OD BC ⊥，OG =， 即OG 的长度与BC 的长度成正比.设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h =，2132ABC S x =⋅⋅=△，则13ABC V S h =⋅△令()452510f x x x =-，50,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3410050f x x x '=-，令()0f x '>，即4320x x -<，2x <，当()0f x '<，得522x <<，所以()f x在()0,2上单调递增，在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.故()()280f x f =≤，则V =，所以体积的最大值为3.。

选择填空限时练(二)(推荐时间：45分钟)一、选择题1． 设两集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{y |y ＝x 2}，则用阴影部分表示A ∩B 正确的是( )答案 A解析 A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝(－∞，1)， B ＝{y |y ＝x 2}＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,1)，故选A. 2． i 为虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1答案 B解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝i 2 014＝i 2＝－1.3． 设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，若a 1<a 2<a 3，则q >0，且a 1<a 1q <a 1q 2，解得a 1>0，q >1，或a 1<0,0<q <1，所以数列{a n }为递增数列；反之，若数列{a n }是递增数列，显然有a 1<a 2<a 3，所以a 1<a 2<a 3是数列{a n }是递增数列的充要条件．故选C. 4． 平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |的值为( )A. 3 B ．2 3C ．4D ．12答案 B解析 由已知|a |＝2，|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12， 所以|a ＋2b |＝2 3.5． 已知函数f (x )＝x 2－ln|x |x，则函数y ＝f (x )的大致图象为( )答案 A解析 依题意，①当x >0时， f ′(x )＝2x －1－ln x x 2＝2x 3＋ln x －1x 2，记g (x )＝2x 3＋ln x －1，则函数g (x )在(0，＋∞)上是增函数， 注意到g (e －2)＝2e －6－3<0，g (1)＝1>0， 函数g (x )在(e －2,1)上必存在唯一零点x 0， e －2<x 0<1，g (x 0)＝0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0，x 0)上是减函数，在(x 0，＋∞)上是增函数； ②当x <0时，f (x )＝x 2－ln (－x )x，f (－1)＝1>0，结合各选项知，选A.6． 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 第一次循环，i ＝1，a ＝2； 第二次循环，i ＝2，a ＝5； 第三次循环，i ＝3，a ＝16； 第四次循环，i ＝4，a ＝65>50； ∴输出i ＝4.7． 设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数答案 A解析 由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数．A 项，偶＋偶＝偶；B 项，偶－偶＝偶，错；C 项与D 项分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇，均不恒成立．8． 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB等于( )A.45B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5. ∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二 由方法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴F A →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|F A →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →|·|FB →|＝3×0＋4×(－2)5×2＝－45.9． 已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]答案 C解析 OA →·OM →＝－x ＋y ，令z ＝－x ＋y ，做出可行域，求线性规划问题．10．已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A.65π cm 3 B ．3π cm 3 C.23π cm 3D.73π cm 3 答案 D解析 由三视图可知，此几何体是一个底面半径为1 cm 、高为3 cm 的圆柱的上部去掉一个半径为1 cm 的半球所形成的几何体，所其体积为V ＝πr 2h －23πr 3＝3π－23π＝73π(cm 3)．11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示．为了得到g (x )＝－A cos ωx (A >0，ω>0)的图象，可以将f (x )的图象( ) A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度答案 B解析 由图象知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g (x )＝－cos 2x ，代入B 选项得sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π12＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x . 12．记圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域为D ，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域D 内的概率是( )A.42 B.43 C.22 D.23 答案 B解析 结合图形可得，D 区域面积为2ʃπ0sin x d x＝2() |－cos x π0＝4，由几何概型可得概率为42＝43. 二、填空题13．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 答案 －142解析 将sin α－cos α＝12两边平方，得2sin α·cos α＝34，(sin α＋cos α)2＝74，sin α＋cos α＝72，cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 14．已知各项不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若m ∈N *，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. 答案 10解析 a m －1＋a m ＋1＝2a m ，得2a m －a 2m ＝0，又a m ≠0.所以a m ＝2，则S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m ＝2(2m －1)＝38，所以m ＝10.15．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>2恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 由k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2知f ′(x )＝ax ＋x ≥2，x ∈(0，＋∞)恒成立．即a ≥x (2－x )恒成立，因为x (2－x )的最大值为1.所以a ≥1.16．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)＝________. 答案 49解析 由AP →＝2PM →知，P 为△ABC 的重心， 所以PB →＋PC →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)＝2AP →·PM →＝2|AP →||PM →|cos 0°＝2×23×13×1＝49.。

限时训练（二十四）答案部分二、填空题：9.180 10. 24 11.13 12. 14.1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析部分1.解析 函数lg y x =的定义域为{}0A x x =>，则(]0,1AB =.故选C.2.解析 若复数()()2231i z m m m =+-+-为纯虚数，则2230m m +-=，且10m -≠，解得3m =-.故选A.3.解析 由πsin 222sin 23y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，得最小正周期2ππ2T ==，振幅2A =.故选B. 4.解析 由题意还原几何体，如图所示，则该几何体是圆柱体的16,其体积213π22π6V =⨯⨯⨯=. 故选D.5.解析 由20x …，得x ∈R ，故命题p 为假命题；由向量的三角形法则知，当⊥a b 时， -=+a b a b ，因此充分性成立，将-=+a b a b 平方得40=a b ，则⊥a b ，必要性成立， 故命题q 为真命题，故选项D 中，“p ⌝真，q ⌝假”，所以“()()p q ⌝∧⌝为假命题”.故选D. 6.解析 由函数()f x 的解析式作出函数图像，如图所示.可知()f x 为偶函数，则()()()()()21221f a f a f f a f -+⇔剟，即()()1f a f …，由图像知1a …，得11a -剟. 故选C.7.解析根据上表可得()1202010122012112s +⨯=+++++=+=.故选B.8.解析 当2n =时，将24n =个正整数1,2,3,4任意排成数表，由数表行列的对称性及题意可知，所有数表的特征值均在以下三个数表的特征值中取得.特征值为44min 2,,3,233⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；特征值为434min 2,,4,323⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；特征值为33min 2,3,,422⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.综上所述，数表的所有可能的“特征值”最大值为4433max ,,3322⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.故选D. 9.解析 由题可得总体中每个个体被抽到的概率为19，所以总体中的个体数2018019n ==.10.解析 依题意可得1212142PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1286PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩或1268PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又1210F F =，故2221212PF PF F F +=，所以12PF F △为直角三角形，因此121211682422PF F S PF PF ==⨯⨯=△.11.解析 依题意，可行域如图所示，直线10x ky +-=恒过定点()1,0，若要将可行域分成面积相等的两部分，则直线10x ky +-=必过AB 的中点()0,3，则310k -=，即13k =. 图212.解析 将极坐标方程化成直角坐标方程得，曲线1:1C x =，()222:24C x y -+=.设圆心为()2,0D ， 直线1x =与x 轴交于点C ，连接AD，如图所示，则2AB AC ===2=13.解析 由切割线定理得2AD AB AC =⋅，即23=，解得AB =所以BC AC AB =-=O 到AC=14.分析 对于复合函数零点问题利用图像法与换元法求解. 解析 令()t f x =，则函数()y f t =，其图像如图所示.若()1f t =-，则1e t =或10k t k--=<. 当1k t k--=时，函数()t f x =有两个零点，若使得函数()()1y f f x =+有四个零点， 则当1e t =时，函数()t f x =也要有两个零点，故1e k ….所以实数k 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。

考前特训选择填空题限时训练(一) (满分：80分， 测试时间：50分钟)(见学生用书P 198)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 是虚数单位，则复数z ＝7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：z ＝7－i 3＋i ＝（7－i ）（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝21－7i －3i －110＝2－i.答案：B2．已知条件p ：log 2(x －1)＜1；条件q ：|x －2|＜1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 解析：log 2(x －1)＜1⇒0＜x －1＜2⇒1＜x ＜3；|x －2|＜1⇒－1＜x －2＜1⇒1＜x ＜3.选C.答案：C3．a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则化简cos(a π－θ)的结果是( )A ．cos θB ．－cos θC ．sin θD ．－sin θ解析：由程序框图知，a ＝2，i ＝1；a ＝－1，i ＝2；a ＝12，i ＝3；a ＝2，i ＝4，…，直到i ＝2 014，故a ＝2，cos(a π－θ)＝cos(2π－θ)＝cos θ，选A. 答案：A4．在长为5 cm 的线段AB 上任取一点C ，以AC ，BC 为邻边作一矩形，则矩形面积小于4 cm 2的概率为( )A.15B.25C.35D.45解析：设AC ＝x ，则x (5－x )＜4，解得x ＜1或x ＞4，又0≤x ≤5，所以0≤x ＜1或4＜x ≤5，于是所求的概率为25，选B.答案：B5．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BD →＝12BC →，则AD →·BD →＝( ) A ．－52 B.52 C ．－54 D.54解析：由BD →＝12BC →得D 是BC 的中点， 所以AD →＝12(AB →＋AC →)． AD →·BD →＝12(AB →＋AC →)·12BC →＝12(AB →＋AC →)·12(AC →－AB →)＝14(AC →2－AB→2)＝－54，选C.答案：C6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决了胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次不同视为不同情形)共有( )A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种解析：两人比赛局数为3局、4局或5局．当局数为3时，情况为甲或乙连赢3局，共2种；当局数为4时，若甲胜，则甲第4局胜，且前3局胜2局，有C 23＝3种情况，同理乙胜也有3种情况，共6种；当局数为5时，前四局甲 、乙各胜两局，最后一局赢的人获胜，有2C 24＝12种情况．故总共有20种情况，选C.答案：C7．设函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n ，其中n 是集合{1，2，3}的非空真子集的个数，则f (x )的展开式中常数项是( )A ．－52 B ．－160 C ．160 D ．20解析：n ＝23－2＝6，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，其展开式通项是 C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·26－r C r 6(x )6－2r， 故r ＝3时，通项是常数项(－1)3C 36·23＝－160，选B.答案：B8．如图是函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是( )A.34B.54C.32D.32－34解析：函数的周期T ＝π，π6＋π2＝2π3.阴影部分面积为：∫2π3π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6d x －∫π60cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6dx＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π62π3π6－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6π60＝54.选B. 答案：B9．如图，在由x ＝0，y ＝0，x ＝π2及y ＝cos x 围成区域内任取一点，则该点落在x ＝0，y ＝sin x 及y ＝cos x 围成的区域内(阴影部分)的概率为( )A ．1－22 B.2－1 C.2－12 D ．3－2 2 解析：由x ＝0，y ＝0，x ＝π2及y ＝cos x 所围成区域的区域面积S ＝∫π20cos xdx ＝sin x ⎪⎪⎪π20＝sin π2＝1，由x ＝0，y ＝sin x 及y ＝cos x 所围成的区域面积 S ＝∫π40(cos x －sin x)dx ＝(sin x ＋cos x)π40 ＝22＋22－1＝2－1，∴根据几何概型的概率公式可得所求的概率 P ＝2－11＝2－1. 答案：B10．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．则不等式f (x )＜1的解集是( )A ．(－3，0)B ．(－3，5)C ．(0，5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：依题意得，当x ＞0时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )＜1的解集是(－3，5)，选B. 答案：B11．设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若双曲线的渐近线被圆M ：x 2＋y 2－10x ＝0所截的两条弦长之和为6，则双曲线的离心率为( )A.54B.53C.43D.52解析：由已知得双曲线的渐近线方程为y ＝±ab x ，即ax ±by ＝0.圆x 2＋y 2－10x ＝0可化为(x －5)2＋y 2＝25，故圆心M (5，0)，半径r ＝5.由双曲线及圆的对称性可知，双曲线的两条渐近线被圆M 所截的两条弦长相等，故其中一条渐近线被圆所截弦长为3，所以圆心M 到直线ax ＋by ＝0的距离d ＝|a ×5＋b ×0|a 2＋b 2＝52－32＝4，即5|a |＝4a 2＋b 2，整理得9a 2＝16b 2，故a ＝43b ，所以c ＝a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43b 2＋b 2＝5b 3，故e ＝c a ＝53b 43b＝54.答案：A12．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意的x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤k (k ＞0)，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“k 度和谐函数”，[a ，b ]称为“k 度密切区间”，若函数f (x )＝lnx 与g (x )＝mx －1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e (e 为自然对数的底数)上是“e 度和谐函数”，则m 的取值范围是( )A ．[－e －1，1]B ．[－1，1＋e]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e －e ，1＋e D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ＋1－e ，1＋e 解析：设h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －mx －1x ＝－m ＋1x ＋ln x ， h ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，故当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0，函数h (x )单调递增．所以函数h (x )的最小值为h (1)＝－m ＋1；而h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－m ＋e －1，h (e)＝－m ＋1e ＋1，显然e －1＞1e ＋1，所以h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞h (e)，故函数h (x )的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－m ＋e －1.故函数h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的值域为 [－m ＋1，－m ＋e －1]．由题意，|h (x )|≤e, 即－e ≤h (x )≤e ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1≥－e ，－m ＋e －1≤e ，解得－1≤m ≤1＋e.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知(x ＋1)2＋(y ＋1)2＋(z －1)2＝4，则x ＋2y ＋3z 的最大值是______．解析：由柯西不等式得，x ＋2y ＋3z ＝(x ＋1)＋2(y ＋1)＋3(z －1)≤（12＋22＋32）[（x ＋1）2＋（y ＋1）2＋（z －1）2]＝214，等号当且仅当x ＋1＝y ＋12＝z －13＞0，且(x ＋1)2＋(y ＋1)2＋(z －1)2＝4，即x ＝14－77，y ＝214－77，z ＝314＋77时成立，故所求的最大值为214.答案：21414．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是______．解析：几何体是一个半球和一个圆台的组合体，体积为V ＝12·43π·43＋13π·3(22＋2·4＋42)＝212π3.答案：212π315．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为______．解析：该程序框图运行2次，故输出的T ＝1＋∫10xdx ＋∫10x 2dx＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x22＋x 3310＝116.答案：11616．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ→＝ m ⊗OP→＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值为__________________________________________________________．解析：设Q (x ，y )，P (x ′，y ′)．则由OQ→＝m ⊗OP →＋n ， 得(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ′，12sin x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴⎩⎨⎧x ＝2x ′＋π3，y ＝12sin x ′，消去x ′得y ＝f (x )的解析式为 y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6，x ∈R ，易得y ＝f (x )的最大值为12. 答案：12。

高三数学填空选择专项训练(3)一、选择题：每小题5分，共60分.1．直线032=+-y x 的倾斜角所在的区间是（ B ）A ．)4,0(πB ．)2,4(ππ C ．)43,2(ππD ．),43(ππ 2．不等式0)12(|1|≥-+x x 的解集为（ C ）A ．}21|{≥x xB ．}211|{≥-≤x x x 或 C ．}211|{≥-=x x x 或 D ．}211|{≤≤-x x3．锐角ααααtan ,41cos sin 则满足=⋅的值为（ C ）A ．32-B ．3C ．32±D ．32+4．若双曲线1922=-m y x 的渐近线l 方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离（ C ） A ．2B ．14C ．5D ．25 5．)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 等于（ D ） A ．0B ．32C ．1D ．26．已知二面角βα--l 的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是 （ C ） A ．b ∥α，c ∥βB ．b ∥α，c ⊥βC ．b ⊥α,c ⊥βD ．b ⊥α，c ∥β7．设F 1，F 2是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且21PF ⋅=0，则 ||||21PF PF ⋅的值等于 （ A ） A ．2B ．22C ．4D ．88．已知函数)(1x f y -=的图象过（1，0），则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点（ A ） A ．（1，2） B ．（2，1） C ．（0，2） D ．（2，0） 9．运算机是将信息转换成二进制进行处理的，所谓二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示=1=二进制的数，将它转换成十进制数的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数216)111(位转换成十进制数是（ B ） A.217－2 B.216－1 C.216－2 D.215－110．（理）从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ B ） A ．小 B ．大 C ．相等 D ．大小不能确定 （文）已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点（1，3），则b 的值为（ A ） A ．3B ．－3C ．5D ．－511．(理)如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公 路，图中所标线段为道路， ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似 于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之 比约为5:1:2:3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量 都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ B ） A ．P 点 B ．Q 点 C ．R 点 D ．S 点（文）一位老师让两位学生运算数,,x y z 的算术平均数，学生甲如此求：先求x 与y 的平 均数，再求那个平均值与z 的平均值，学生乙的算法是：先求,,x y z 的和，再求那个和除 以3的商，假如学生甲和乙求出的数据分别为S 和T ，且x y z >>，则S 和T 的大小关系 是（ B ）A ．T S =B ．T S <C ．D ．不确定 12．函数)1(-=x f y 的图象如右图所示，它在R 上单调递减.现有如下结论： ①1)0(>f ； ②1)21(<f ；③0)1(1=-f；④0)21(1>-f其中正确结论的个数是（ C ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共有4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．（理）设(1)()3,(,)i a i bi a b R +-=+∈，则a b +=_____3_______。

限时训练（四十二）答案部分一、选择题题号123456789101112答案B C D A D C C D C C D D 二、填空题13.0.8π15.332321 14.16.310分析部分1.分析A x1剟x3,B1,0,1,则A B1,0,1.应选B.2.分析命题p:xR,2x2x1,则命题p:x R,2x,2x 1.应选C.3.分析画出可行域如下图.设z3x y,得y z3x,平移直线yz3x.由图可知,当直线y z3x 经过点B时,直线y z3x的截距最大.由3x y01,3,此时z最大,z3136,因此3x y的最大值为 6. x y=4,得B应选D.y3x-y=0C(0,4)B(1,3)A(0,0)x 3x+y=z3x+y=0x+y=44.分析复数1010101013i13i,则10的共20173i i3i13i13i13i20173i i i轭复数为1 3i.应选A.5.分析由m,,能够推出m∥或m.因此充足性不建立.由m ∥ ,,推不出m.因此必需性不建立.因此“m”是“m ∥”的既不充足也不用要条件. 应选D.6.分析履行程序框图.若输入m 4,n6，进入循环.i 1 , a 4 1 4,4不可以被6 整除,知足循环条件;i 2 , a 4 28,8不可以被 6整除,知足循环条件;i 3 , a 4 3 12, 12能被 6 整除,不知足循环条件.结束循环.输出a12 .应选C.7.分析 令x2,则yln2 10,清除选项A,D;令x,则lnx, 441 lnx,ylnx 10,清除选项B.应选C.x 28.分析设双曲线C 的标准方程为y 2 x 2 1.a 2b 2已知抛物线x 24y 的焦准距为 p 2, 则双曲线C 的实轴长 2a 2,得a1 .又双曲线C 的一条渐近线方程为y2x ,则b2,得b1 .故双曲线C 的标准方程为a2y 2 4x 21.应选D.9.分析由已知条件,可得PX 1p , PX21 p p ,PX3232,1pp1p1p则EXP X1 2P X2 3PX3p 2 3p 3 1.75 ,解得p5 或2p 1 .又由p0,1,因此p0,1.应选C.2210.分析f x3sin x0,π.22T 2由于B,C 是该图像上相邻的最高点和最低点，且BC 4，因此242,即3222π .由于A 1,0为fx23π42,得图像的对称中心,因此23π1kπ,k Z,又ππx3sinππ.23,因此,因此f x6 262令2kππ剟πxπ2kππ,k Z,得4k2剟x4k4,k Z,故f x的单一递加226233区间是4k 24,k Z.应选C.,4k3311.分析如下图,由P,B,C三点共线,则有x y1,x,y1,2(由于33AP AB BP AB BD DP AB 1BC DE,因此BC AC AB, 3DE 1BC,因此AP AB1BC DE AB1AC AB23AB1AC, 333322,10剟1,由此可得x,y的范围).故xyx1x x11.应选D.2494ABD P EC12.分析由已知3fx xf x ln x1,因此3x2fx x3fx x2lnx10x0.设g x x3f x,则g x x3f x0,即函数g x在0,上单一递加,由x3x2017270,且f31,因此x33 2017f2017f x20173f3,即g x2017g3,因此x20173,解得x2020,因此原不等式的解集为2020,.应选D.13.分析随机变量X听从正态散布N3,4,因此曲线对于x3对称.由于PXm0.2因此PX6mPXm1PXm10.20.8故填,.0.8.14. 分析由于ab cb , 可得 a bc abcbc,整理可得cabcb 2c 2 a 2 bc .由余弦定理b 2c 2 a 2bc 1 0,π ,因此Aπ π ,可得cosA 2bc2bc.又A.故填.23315.分析 如下图,复原该几何体为四棱锥 BACED ,此中CE 底面ABC , AD 底面ABC ,且四边形ACED 为矩形,△ABC 为等腰三角形,AC AB ,EC DABC2, AC AB2.则S=S 四边形ACEDS △ABC S △DAB S△ECBS△EDB121 1 1222226 3 3 23.2222 22 2故填3 3 2 3 .E DCBA16.分析 由tan2,抛物线y 22px p 0 的焦点为F sincos ,0 ,因此F 2,0 ,因此p 4l 与抛物线交于 A,B 两点，AB4 ，设.又直线l 经过点F ,55Ax 1,y 1 ,Bx 2,y 2,则x 1x 2p AB ,即x 14 4 x 1x 28 x 2,因此,则线段525AB 的中点到直线x1 的距离为 81 21 .故填 21.25 2 10 10。

限时训练（三十三）答案部分一、选择题二、填空题13.1214. 5 15. 2 16. 2解析部分1. 解析 集合{}1A x x =-…，{}10B x x =-<<<，()1,0A B =-.故选A .2. 解析 由()11i z z -=+，得()1i 1i z -=+，即1i i 1iz +==-. 故选C .3. 解析 双曲线221kx y -=的渐近线方程为y =.若双曲线的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，()21-=-，所以14k =，故双曲线方程为2214x y -=，此双曲线的离心率2c e a ==.故选A . 4. 解析 5112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第三项2223515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 得第三项的系数为52.故选B. 5. 解析 对于选项A ：若//αβ，m α⊂，n β⊂， 则mn =∅，但不一定//m n ，m 与n 也可能异面；对于选项B ：若,m n α⊂，//m β，//n β，不一定推出//αβ， 如果前提附加mn O =，则//αβ；对于选项D ：若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，因此选项D 错误.故选C. 6. 解析 依题意，当弦AB 取最大值时，直线l 过圆心()2,0C -，则直线l 的斜率34k =，方程为()324y x =+， 即3460x y -+=.故选A. 7. 解析 依题意，函数()2sin 0y x ωω=>的周期2π3T =，即2π2π3ω=，得3ω=.故选C. 8. 解析 据三棱锥的三视图，还原几何体P ABC -，且PA ⊥平面ABC ，底面ABC △为等腰三角形，12222ABC S =⨯⨯=△，1122PAB PAC S S ==⨯=△△，122PBC S =⨯=△，因此三棱锥的表面积为2222PAB PAC ABC PBC S S S S +++=++△△△△. 故选C.9. 解析 依题意，从10个球中任取一球，已知它不是白球的情形下， 则它是黑球的概率为35.故选D. 10. 解析 依题意，当6i =时输出S 的值.则π3π4π5πcoscos πcos cos cos 02222S =++++=.故选C. 11. 解析 由21cos cos 222A b c A c ++==，即11cos b A c +=+，得cos bA c=. 解法一（正弦定理）：由正弦定理，得sin cos sin BA C=，所以()sin sin cos sin πB C A A C ==-+=⎡⎤⎣⎦()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，因此sin cos 0A C =，得cos 0C =，π2C =. 所以ABC △是直角三角形.故选A.2111P CB A解法二（余弦定理）：由余弦定理，得2222b b c a c bc+-=，整理得222c a b =+，所以ABC △为直角三角形.故选A. 12. 解析 设函数()323f x x x =-上任意一点()()00,x f x ，在点()()0,x f x 处的切线方程为()()()0y f x f x x x '-=-， 即()()()3200002363y x x x x x --=--.若过点()1,t ，则()()()()32320000002363146 3 t x x x x x x =-+--=-+-*依题意，方程()*有三个不等实根.令()32463g x x x =-+-，()()212121210g x x x x x '=-+=--=，得10x =，21x =.当()(),0,1,x ∈-∞+∞时，()0g x '<，函数()g x 在()(),0,1,-∞+∞上单调递减； 当()0,1x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在()0,1上单调递增. 因此()g x 的极小值为()03g =-，极大值为()11g =-. 若()t g x =有三个不等实根，则31t -<<-.故选B.13. 解析 由()f x 的反函数为2log y x =，得()2xf x =，则()11122f --==. 14. 解析 不等式组表示的区域，如图所示. 当直线z x y =+过点()2,3A 时，z 取得最大值5.15. 解析 依题意，OA OB =，且OA OB ⊥，得0⋅=⎧⎪⎨=⎪⎩a b a b，12OAB S OA OB =△，又(2OA OB =====a ，所以12222OAB S =⨯⨯=△.16. 解析 设椭圆的左焦点为()1,0F c -，依题意1OF OQ OF ==. 又点O 为12F F 的中点，所以112OQ FF =， 则1QFF △为直角三角形，得1FQ FQ ⊥. 又直线:bl y x c=垂直于FQ ，故1//FQ l ， 所以直线1F Q 的斜率为b c，可得直角顶点()0,Q b ，且π4FQO ∠=，故b c =.所以椭圆的离心率2c e a ===.。

限时训练（二十七）答案部分一、选择题二、填空题9.[)2,+∞ 10. 83 11. 2214y x -= 12. 1 13.6 14. 3;21k -解析部分1.解析 因为集合{}0,1,2,4A =，{}04B x x =∈<R ?.所以{}1,2,4C A B ==.故选C.2.解析 设()()11i 1i 1i 1i 1i 2z ++===--+.故选B. 3.解析 选项A 中函数 ()122xxf x =+，()()112222x xx x f x f x ---=+=+=，所以选项A 的函数()f x 是偶函数；选项B 中的函数的定义域不关于原点对称，所以该函数不是奇函数；选项C 中的函数()sin ,f x x x =有()()()()=sin sin f x x x x x f x ---==，所以选项C 中的函数是偶函数；选项D 中的函数，当0x <时()=1f x ，()()=1=f x f x ---；当0x >时，()1f x =-，()()f x f x -=-；当0x =时，()()0f x f x ==--.综上所述()f x =-()()f x x -∈R ，所以选项D 中函数是奇函数. 故选D.4.解析 当1ω=时，()cos f x x =，它在区间[]0,π上是单调递减的；若()cos f x x ω=在区间[]0,π上是单调递减的，则12ππ2ω⋅…，即01ω<…，所以()1cos f x x ωω=⇒=在[]0,π上单调递减; ()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减1ω⇒=/，所以1ω=是()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减的充分不必要条件.故选A.5.解析 该程序框图的模拟分析如下表.6.解析 412x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为44214411C C 22r rr r r r r r T x x x ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令420r -=，得2r =， 所以常数项为22413C 22⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选C. 7. 解析 抛物线21y x =+与直线1y x =+相交于点(0,1)D ，()1,2B ，由图形得M OABC S S =-矩形()1201341121d 11==2236BCDOABD S S x x -=⨯-+-⨯⨯-⎰△曲面梯形，所以116212M OABC S P S ===矩形. 故选B.8.解析 （1）由直角距离的定义(),1sin 22cos 1sin 22cos d P Q αααα=-+-=-+-=()()3sin 2cos 3αααϕ-+=+（其中tan 2α=）.又因为sin()1,αϕ+-…所以()33αϕ+…，即()(),3,d P Q d P Q …的最大值为3+，故（1）正确.（2）过点P 作x 轴的垂线，过点Q 作y 轴的垂线，两垂线交于点R ，如图所示，设,QR a PR b ==，根据“直角距离”的定义有()1212,d P Q x x y y =-+-=a b +.因为2224a b PQ +=…，所以2a b +a b +…,即(),d P Q …,(),d P Q 的最大值为.故（2）正确.（3）因为点Q 在直线2y x =上运动，所以可设点Q 的坐标为(),2x x .由“直角距离” 定义可得()43,13,1322,12334,2x x d P Q x x x x x x ⎧⎪-<⎪⎪=-+-=-<⎨⎪⎪-⎪⎩……，画出这个函数的图像如图所示.当32x =时函数有最小值为313422⨯-=，即(),d P Q 的最小值为12,故（3）正确.综上可知（1），（2），（3）正确.故选A.9.解析240x -…，即24x …，2x …，所以函数()f x 的定义域为[)2,+∞. 10.解析 符合条件中的三视图的几何体如图所示，图中ABCD 为正方形，边长为2，BE ⊥平面ABCD .且2BE =，所以11824333E ABCD ABCD V BE S -=⋅⋅=⨯⨯=.11.解析 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以22=94=5a b +-,由双曲线的渐近线方程2y x =±，可设双曲线方程为()22104x y λλλ-=>，所以45λλ+=，得1λ=，所以双曲线的方程为2214y x -=.12.解析 将曲线1C 的参数方程转化为普通方程为()2210x y y +=…为一个半圆，将曲线2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程为1y x -=-为一条直线.如图所示，两条曲线有一个交点.E222DCBA13.解析 不等式组所满足的平面区域如图所示，因为∥a b ，所以211x y m-=-， 即2m x y =-+.平移直线20x y -+=可知当2m x y =-+经过点C 时，m 有最大值. 由12100x x y =⎧⎨+-=⎩，解得18x y =⎧⎨=⎩，所以m 的最大值为max 2186m =-⨯+=.14.解析 当2k =时，集合为{}1,2,3，则当x M ∈时，有4x M -∈，则满足条件的集合有{}{}{}21,31,2,3，，，所以()2=3f .因为x M ∈时，2k x M -∈，所以将集合{}1,2,321A k =-，，中的元素分成k 组：1,21;2,22;3,23;k k k k ---；，从这k 组中任取i 组（1,2,,i k =）组成集合M ，则集合M 满足条件，所以满足条件的集合个数是12C C C 21k k k k k +++=-，即()21k f k =-.。

限时训练（一）答案部分一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案ADDAADDDBDCB二、填空题13.16014.33 115.28 16.3832分析部分1. 分析由题意可得M{x| 2x1}，N{x|x ⋯2}，因此MN {x|x ⋯2}.应选A.2. 分析2i2i(1i) i.应选D.1 i (1i)(1 i)13. 分析 当直线与平面有一个交点时，直线也有无数个点不在平面内，因此②错.随机变量 听从正态散布 N(1, 2)，因此P(1) 0.5，由正态散布的图形知P(0 1) P( 2) P(1)0.3,因此③错.应选D.4. 分析 由题意知双曲线的一条渐近线方程为y1x ，即b1；2 a2一个焦点坐标为( 5,0) ，即c 5 .a 2b 225由b 1得b5,a2 5.a 2因此双曲线方程为x 2 y 2 1 .应选A.20 55. 分析 ? 9.4 ，研发花费为6万元时，收益为65.5万元朝入y? ?将bbxa?， ^ x ＝3.5，因此y ＝42，求得m 54.应选A.得a ＝9.1，由统计数据计算得 6. 分析 因为a,b,c 成等比数列，因此 b 2 ac.由正弦定理可得 sinB bsinA ，bsinA a因此bsinBbab 23 应选sinA sinAD. cc2 .ac7. 分析 由三视图可得该几何体是一个直三棱柱，如下图 .解法一:3个侧面的面积为S 侧 2(1 2 5)，由余弦定理能够求得底面的钝角为3，因此一个底面三角形的面积为S 底 1 12sin31，因此总面积为2S 底+424 2S 侧=212(125) 3 2 2 2 5.应选D.2解法二:侧面积同解法一.由左视图中的1 得棱锥的底面三角形的高为 1,因此一个底面三角形的面积为 S 底 111 1 ,因此总面积为 2S 底+S 侧=322 25.应选D.228.分析 解法一：不等式组知足的可行域，如图中所示的暗影部分 .yO x当x ⋯0 时，y1x z表示的是斜率为1，截距为z的平行直线系，2222当过点(1,5)时，截距最大，此时 z max 1 2 5 11 ；当x0时，y1x z表示的是斜率为1，截距为z的平行直线系，2222当过点( 4,5)时，截距最大，此时zmax42 5 14.综上所述，z max14.应选D.解法二：画出知足不等式组的可行域，如下图 .y2x-y+3=0x+y-1=0A y=5O xxy=2联立y5，解得y5，即A4,5. x y1x4目标函数z x2y变形为yx z2，2由图可知当曲线y x z经过点A时，z获得最大值. 222因此z max52414.应选D.9.分析由程序框图可知，第一次循环为：x2,y5,i5；第二次循环为：x1,y4,i4；第三次循环为：x0,y3,i3；第四次循环为：x1,y2,i2；第五次循环为：x2,y1,i1；第六次循环为：x3,y0,i 0.此时循环结束.可得打印点挨次为：3,6，2,5，1,4，0,3，1,2，2,1.可知在x2y210内的打印点有0,3，1,2，2,1，共3个.应选B.10.分析函数f x在x1处获得极大值，因此f10.且当x 时，f x0，因此y xf x0；1当x1时，f x0，因此当1x0时，y xf x0.察看选项可知D正确.应选D.11.分析由e2，可得b b2c2a2213．a a2a2eybxa( pbppbp，，由，求得,)pA2 2aB(,)x22a2因此S △AOB1 bp p3．①2a2将b3代入式①，得 p 2 4，解得p2 ，a因此A(1, 3)，B( 1, 3)，则△AOB 的三边长分别为2，2，23．设△AOB 的内切圆半径为r ，由1(222 3)r3，2解得r 2 3 3．应选C ．12. 分析设x0,2 时，函数为 f 1x ，，x2n 2,2n ，函数为f n x .当x0,2 时，f 1(x)2(x 2 2x)2 x2 2．1可知f 1x 在0,2 上的最大值a 12.由递推式fx2f x2 ，可得 f n x 的最大值a n22n1.因此数列a n是以 2 为首项，1为公比的等比数列，21 n2 121因此S4 ．应选B ．n112n22由题设知n e 61dx e 6lne 6ln16，13. 分析lnx 11x因此(2x1 )6的二项睁开式的通项为：xT r1C 6r (2x)6r (1)r C 6r 26r (1)r x 3r.x当r3时为常数项，故常数项为 C 6323(1)3160.14.15. 分析因为向量a与向量b 的夹角为120，因此b 在a 上的投影为|b|cos1201|b|，问题转变为求2|b|，因为(a b)(a2b)，因此(a b)(a2b)0，即2|b|2|b|40.故|b|331，因此b在a上的投影为331.4815.分析设球心为O，半径为R，O究竟面的距离为h，因为△PDA的高即为四棱柱的高为3，底面正方形外接圆半径为2，则(2)2h2(3h)21，化简得h 3，因此R2(2)2h27，33则P ABCD的外接球表面积为S4R228.316.分析由题意作图，如下图.yBAy=ay=2(x+1)O xy=lnx+x由题意知当ylnx x的切线与y2(x1)平行时AB距离最短．fx11，令f x2，得x1，因此切线的方程为y12(x1).x两直线的距离为d|12|3，因此AB d3.55sin2。

限时训练（二十八）答案部分二、填空题9.160 10.3 12. 281 14.()5,25解析部分1.解析163i422z+====+，所以z在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.2.解析函数()f x的定义域满足2030xx->⎧⎨->⎩，解得23x<<，所以()f x的定义域为()2,3.故选B.3.解析如图所示，因为OA OB OC+=，且OA OB=，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC AB⊥.设OC与AB相交于点D，则(),OD d O AB==，22OC OD====2a=.故选C.4.解析因为ABC△为锐角三角形，所以π2π22ππ22AB AC A A⎧<⎪⎪⎪=<⎨⎪⎪=--<⎪⎩，解得ππ64A<<.由正弦定理得sin sina bA B=，即1sin sin2bA A=，所以sin22cossinAb AA==.又因为ππ64A <<，所以cos 2A <<，b <<，即b 的取值范围是.故选A .5.解析 由已知()111=22x x f x -+-，x ∈R ，则()()111111=2222x x x x f x f x ----++--=-=-，所以()f x 为R 上的奇函数.设()112x f x -=，()2112x f x +=-.易判断()1f x 为R 上的增函数，()2f x 也为R 上的增函数，所以()()()12f x f x f x =+为R 上的增函数.A 选项中的e x y =不是奇函数，排除A ；B 选项中令()(ln f x x =，则()(ln f x x -=-+ln==(()ln x f x -=-，所以()f x 为奇函数.设()u x x =+()u x 为增函数，而ln y u =也为增函数，由复合函数的单调性知(ln y x =为增函数，所以B 选项中的函数的奇偶性、单调性与()111=22x x f x -+-的奇偶性、单调性相同；C 选项中2y x =不是奇函数，排除C ；D 选项中tan y x =在R 上不是单调函数.排除D. 故选B.6.解析 设点Q 的坐标为(),0x ，由已知π4PQR ∠=，且0x >，可得OQ OR =，所以点R 的坐标为()0,x -.由中点坐标公式得,22x x M ⎛⎫-⎪⎝⎭.因为PM =()2,0P ， 所以22202022x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得18x =，240x =-<（舍去），所以8262T PQ ==-=，12T =.所以2π=12ω，π=6ω.从图像可以看出()f x 是由πsin 6xy A =向右平移2个单位得到的， 即()()πsin 26f x A x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.又因为点()0,8R -在图像上，所以()π8sin 26A ⎡⎤-=⨯-⎢⎥⎣⎦.解得A =故选B. 7.解析 设抛物线与直线y kx =相交于点D .过点D 作x 轴的垂线，垂足为C .由2y x x y kx ⎧=-⎨=⎩，得()()1,1D k k k --，又抛物线与x 轴交于()()0,0,1,0C ,所以()12d kA S x xkx x -=--=⎰()231111023k k x x---()()33111123k k =---()3116k =-.因为抛物线与x 轴交于点()()0,0,1,0， 所以()123201111d 0326M S x x x x x ⎡⎤=-=-+=⎢⎥⎣⎦⎰.由已知827A M S P S ==，即()31186=1276k -， 解得13k =.故选A.8. 分析 本题宜采用排除法求解.解析 由题意可知()V x 不是线性函数，所以排除A ，B ；由正方体的对称性可知当2x =时，过点E 且平行于平面1A BD的平面平分正方体，当0,2x ⎛∈ ⎝⎭时，即点E 从点A 处移动到平分正方体处时，()V x逐渐增加，且增加的速度越来越快，当x ∈⎝时，即点E 从平分正方体处平移到点1C 处时，()V x 仍是逐渐增加， 但增加的速度越来越慢，所以()V x 的增加是先快后慢的过程，排除C. 故选D. 9.解析 因为()π30π1sin d cos cos cos0332a x x x π==-=---=⎰，所以6612x x ax x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其展开式中的项是6621662C 2C rrrr r rr T xx x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令620r -=，解得3r =.所以常数项为336C 2160⨯=. 10.解析 解法一：程序框图表示的函数为2,224,251,5⎧⎪⎪=-<⎨⎪>⎪⎩x x y x x x x……. 当2x …时，令2x x =，解得120,1x x ==； 当25x <…时，令24x x =-，解得4x =；当5x >时，令1x x=，解得11x =（舍去），21x =-（舍去）. 所以满足条件的x 值为0,1,4，有3个. 解法二：程序框图表示的函数为2,224,251,5x x y x x x x⎧⎪⎪=-<⎨⎪>⎪⎩…….此函数的图像与y x =的图像如图所示.由图像可知，两图像有3个交点，即满足条件的x 值有3个.11.解析 曲线1C 为一条直线，曲线2C 为一个圆，设它们在极轴上的交点为A ，点A 的极坐标为(),0a ，且点A 在1C上，所以)sin 01a+=，解得2a =.12.解析 由于初二不安排甲值班，所以只能安排乙或丙值班.有两种选择，不妨设初二安排乙值班，初一、初三、初四、初五每天均有两种选择，但由已知每人至少值班一天，所以甲乙甲乙甲和丙乙丙乙丙这两种安排方法不合题意,所以共有()4222⨯-种方案. 13.解析 依题意画图，设双曲线右顶点为A ，由()12OE OF OP =+知点E 为线段FP 的中点.因为0OE EF ⋅=，所以OE EF ⊥.设双曲线的右焦点为F'，连接PF'，由点O 为FF'的中点，点E 为PF 的中点，得OE 为PFF'△的中位线，所以//OE PF'，故PF'PF ⊥.在PFF'△中，30PFF'=∠，则PF'=c，PF =，由双曲线定义知2PF PF'=a -2c =a -，所以1c e a ===.14.解析 由已知()32=f x x bx cx d +++，则()232f x x bx c '=++.因为()0,1x ∈时取极大值，()1,2x ∈时取极小值，则()f x '的图像如图所示.由图像知()()()001020f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩，即032012+40c b c b c >⎧⎪++<⎨⎪+>⎩.画出此不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，设()22132d b c ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，可看作平面区域内的点（不包括边界）与定点1,32D ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离的平方. 则()22min,=5d d D AC ==⎝⎭.联立方程2304120b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得9,62C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()222max91632522d CD ⎡⎤⎛⎫==---+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.又因为平面区域不包括边界，所以d 的取值范围为()5,25.。

限时训练（二）答案部分二、填空题 13. 1- 14.()1312n -15.16 16.32 解析部分1. 解析 解法一：对于集合M .解不等式211x>-，得11x -<<， 则有{}11M x x =-<<.所以有{}11M x x x=-R 或剠ð.对于集合N ，解不等式210x -…，得210x -…，则11x -剟，则有{}11N x x =-剟.用数轴表示可得(){}1,1NM =-Rð.故选C.解法二（特殊值检验法）：因为0M ∈，则有()0M ∉R ð. 由此排除A ，B 选项；又因为1M -∉，则()1M -∈R ð. 且1N -∈，从而有()1NM -∈Rð，排除D 选项. 故选C.2.解析 解法一（用除法公式）：()()()1i i1i 1i 1i 2a a a a ++==--+. 又因为1i 1i a b =+-，所以i i 1i 222a a a ab +=+=+. 所以122a a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，则2i z =+.其共轭复数2i z =-.故选B.解法二（用乘法公式）：由1i 1iab =+-， 得()()()()1i 1i 11i a b b b =+-=++-+，所以110a b b =+⎧⎨-+=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，则2i z =+.其共轭复数2i z =-.故选B.3.解析 解法一：因为33log log a b >，所以0a b >>. 对于A ，则有11a b<.故A 错； 对于B ，0a b ->，但a b -不一定大于1，所以()3log 0a b ->不一定成立. 故B 错；对于C ，因为a b >，则有15a ⎛⎫< ⎪⎝⎭15b ⎛⎫< ⎪⎝⎭13b⎛⎫⎪⎝⎭成立.故C 对；对于D ，因为0a b ->，则31a b ->，所以D 错.故选C.解法二（特殊值法）：取2a =，1b =代入可排除A ，B ，D.故选C.4.解析 因为()()22281cos π2cos212sin 121399ααα⎛⎫-=-=--=-+⨯=-+=- ⎪⎝⎭.故选A.5. 解析 由几何体的三视图，画出其立体图形P ABCD -，如图所示.由题可知，顶点P 在底面上的投影是边CD 的中点，底面是边长为4AB =，2BC =的矩形. PCD △=PCD △的面积为142⨯=两个侧面PAD △，PBC △的面积相等为12332⨯⨯=. 侧面PAB △的面积为1462⨯=.所以四个侧面中的最大面积为6.故选C.6.解析 由程序框图可知逐次循环结果分别为：①3S =，2n =；②9S =，3n =；③18S =，4n =；④30S =，5n =； 当第④次循环后3024S P =>=，此时结束循环.从而输出30S =.故选A. 评注 如果P 的值很大，则要找到S 与循环次数n 的关系即()312n n S +=. 7.解析 解法一(几何法)：根据题意作图，如图所示.2OC =+a b ，2BA =-a b .因为2=a b ，所以四边形AOBC 是一个菱形， 则其对角线OC BA ⊥，即()()22+⊥-a b a b .故选D. 解法二：因为()()()22222224+-=-=-a b a b a b a b ，由已知2=a b ，则22420-=a a .所以()()22+⊥-a b a b .故选D.8.解析 根据题意作图，如图所示.设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，化为标准形式后得()3,0C ，设弦AB 的中点为(),M x y ，由AM BM =，得CM AB ⊥. 取OC 的中点为D ，则1322DM OC ==. 所以M 点在以3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以32为半径的圆上.D C BAP243322B此圆的方程为2230x y x +-=.联立方程组222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩，解得53x =，y =. 故弦AB 的中点M 的轨迹方程为2230x y x +-=533x ⎛⎫⎪⎝⎭剟.故选A. 9.解析 作出满足不等式组的可行域D ，如图中阴影部分所示. 则()()42126112444x y x y y z x x x -+-+--⎛⎫===+ ⎪---⎝⎭.令14y z x -'=-，问题转化为求z '的最大值. z '的几何意义为：区域D 内的点(),x y 与定点()4,1P 连线的斜率，则可得最优解为()3,4A --，得max415347z --'==--.所以264x y z x +-=-的最大值为5127+⨯=177.故选A.10.解析 解法一:连接11A C ，1DC ，如图所示，则11//AC A C . 又因为11A C ⊂平面11DA C ，所以//AC 平面11DA C . 于是AC 与1DA 的距离就转化为AC 与平面11DA C 的距离. 设所求距离为d ，由等体积法知1111A DA C C DA A V V --=. 则有111111133DA C DA A S d S C D ⋅=⋅△△， 所以1111111DA A DA C S C D d S ⨯⋅====△△.故选B.解法一的图 解法二的图解法二：连接11A C ，1DC ，1AB ，1B C ，如图所示. 因为11//AC A C ，11//DA CB ，所以平面111//AC D B AC 平面. 于是AC 与1DA 的距离转化为平面11AC D 与平面1B AC 的距离. 而这两个平面间的距离为体对角线的13，所以3d ==. 故选B. 11.解析 因为()πcos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，其最大值为2， 可知2y =与()f x 两个相邻公共点之间的距离就是一个周期，C BAC 1A 1B 1DD 1C BAC 1A 1B 1DD 1于是2π2πT ω==，即1ω=.所以()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令()ππ3π2π,2π622x k k k ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ， 得()π4π2π,2π33x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z .故选C. 12.解析 对于①，只有12y x =和3y x =在()0,+∞上是增函数.所以①错；对于②，满足题意的情况有三种.如图所示.于是②错；对于③，因为()f x 为奇函数，所以图像关于原点对称， 而()1f x -的图像是()f x 的图像向右平移1个单位得到的， 所以()1f x -的图像关于点()1,0A 对称，所以③对；对于④，因为22132x x -⎧⎪⎨=⎪⎩…有解312log 2x =+，且()321log 12x x >⎧⎪⎨-=⎪⎩有解1x =+所以()12f x =有两个实数根，④对. 综上可知，正确的命题有③和④两个.故选B.评注 对于④的判断也可画出图像，结合函数值域和单调性来判断.画图可得()f x的图像0<n<m<11<n<m与12y =有2个交点，从而④正确. 13.解析 由()()5555551061C 1C n n n n n T ax a x x ---⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令100n -=，得10n =. 所以()55556101C 252252T a a =-=-=.所以1a =-.14.解析 由已知21322121a S a S =+⎧⎪⎨=+⎪⎩①②，由-②①，得()3221222a a S S a -=-=，即323a a =. 得公比323a q a ==，将3q =代入①， 得11321a a =+，得11a =.所以()13131312n n n S ⨯--==-. 15.解析 依题意知()1,1C ，正方形ABCD 的面积为4. 所围成区域（图中阴影部分）的面积为：()121d x x -=⎰3111210333x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， 所以所求概率为21346P ==.16.解析 依题意作图，如图所示.由双曲线的方程，可得抛物线的焦点为()4,0F ， 从而得()4,0E -，8p =，则抛物线方程为216y x =.设A 在准线:4l x =-上的投影为A '，则由抛物线定义有AA AF '=.已知AE =，从而得AE '=. 于是在Rt AA E '△中，得45EAA AEO '∠==∠.所以直线EA 的方程为y =+4x .由2+416y x y x=⎧⎨=⎩，消去x 得216640y y -+=，即()280y -=，得8A y =， 所以11883222AEF A S EF y =⋅=⨯⨯=△.。

2024年武汉外国语学校高三上学期数学限时训练9命题人：一、单选题1．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）A ．2,y x u v ==B ．22,()y x s t ==C ．21,11x y m n x -==+-D ．211,1y x x y x =+⋅-=-2．若复数z 满足()1i 1i z -=+，则4z =（）A ．1B ．-1C ．iD ．163．若ln 10,ln2ln5,ln 4e a b c ==⋅=，则a b c 、、的大小关系是（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a<<D ．b a c<<4．已知向量集合{}(3,4)(1,2),R M a a λλ==+∈ ，{}(4,5)(2,2),R N a a λλ==+--∈，则M N = （）A ．{(4,5)}B ．{(3,4),(4,5)}C ．{(3,4)}D ．∅5．函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则函数()()()cos 0,0g x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上（）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取到最大值AD ．可以取到最小值A-6．已知点P 在抛物线M ：24y x =上，过点P 作圆C ：()2221x y -+=的切线，若切线长为27，则点P 到M 的准线的距离为（）A ．5B ．29C ．6D ．307．设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*N n ∈，2n n a a +<”是“{}n a 为递减数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图，B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30︒方向2km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ．现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物．经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是A ．(272)a -万元B ．5a 万元C ．(271)a +万元D ．(233)a +万元二、多选题9．函数()()3R mf x x m x=-∈的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．有一组样本数据0,1,2,3,4，添加一个数X 形成一组新的数据，且(){}()5C 0,1,2,3,4,532k P X k k ==∈，则新的样本数据（）A ．第25百分位数不变的概率是316B ．极差不变的概率是3132C ．平均值变大的概率是12D ．方差变大的概率是73211．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2），则（）A ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满B ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半C ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PD ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 三、填空题12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '=.13．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，AOC α∠=.若1BC =，则233cos sin cos 2222ααα--的值为.14．对有(4)n n 个元素的总体{1,2,3,,}n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,,}m 和{1,2,,}m m n ++ （m 是给定的正整数，且22m n - ），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P =；所有(1)ij P i j n < 的和等于.限时训练答题卡姓名：______________ 123456789101112._______________13.________________14.________________四、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD-中，AC与BD交于点O，点P在平面ABCD内的投影为点O，若BCD△为正三角形，且12AB AD AC==，PO OC=．(1)证明：AC⊥平面PBD；(2)求直线PB与平面PAD所成角的正弦值．参考答案：题号12345678910答案A ADCCCCBABDBCD题号11答案ACD1．A【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解.【详解】对于A ，y x =和u =的定义域都是R ，对应关系也相同，是同一个函数，故选项A 正确；对于B ，函数y =R ，函数2s =的定义域为[0,)+∞，定义域不同，不是同一个函数，故选项B 错误；对于C ，函数211x y x -=-的定义域为{|1}x x ≠，函数1m n=+的定义域为R ，定义域不同，不是同一个函数，故选项C错误；对于D ，函数y ={|1}x x ≥，函数y =(,1][1,)∞∞--⋃+，定义域不同，不是同一个函数，故选项D 错误，故选：A .2．A【分析】利用复数的运算法则即可得出.【详解】解法一：设()i ,z a b a b =+∈R ，则()()()i 1i i 1i a b a b b a +-=++-=+，解得0,1a b ==，所以i z =，所以41z =，解法二：因为()1i 1i z -=+，所以()()241i (1i)2ii,11i 1i 1i 2z z ++=====--+，解法三：方程两边同时平方，有()22i 2i z ⋅-=，所以241,1z z =-=，故选:A.3．D【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较,ac 的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较,a b 的大小，可得结论.【详解】ln4e ln1022c a ==>==，而(()22222ln2ln5ln104ln2ln5244a b +⋅⎛⎫===>= ⎪⎝⎭，且0,0a b >>．所以a b >，故b a c <<．故选：D.4．C【分析】运用交集概念，结合向量的坐标运算计算即可.【详解】设()(){}(){}1113,41,2,R 342M a a λλλλ==+∈=++，，()(){}(){}22224,52,2,R 42,52N a a λλλλ==+--∈=--，令12123424252λλλλ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12012λλ=⎧⎪⎨=⎪⎩.故(){}3,4.M N ⋂=故选：C.5．C【分析】根据题意计算出当[],x m n ∈时，x ωϕ+的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论.【详解】函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则当[],x m n ∈时，()2,222x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，而函数cos y x =在区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上先增后减，所以，函数()()cos g x A x ωϕ=+在区间[],m n 上先增后减，当()2x k k Z ωϕπ+=∈，该函数取到最大值A .故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出x ωϕ+的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.6．C【分析】根据点P 的位置以及切线长可解得P 点横坐标为5，再由焦半径公式可得结果.【详解】设点2,4P P y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由圆的方程()2221x y -+=可知圆心()2,0C ，半径1r =；又切线长为PC =即2222294P P y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，解得220P y =，可得()5,P P y ；再由抛物线定义可得点P 到M 的准线的距离为516+=.故选：C 7．C【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若()22210n n n n n a a a a a q ++<⇔-=-<，当10a >时，由()2110a q -<得210q -<，解得10q -<<或01q <<，若10q -<<，则120a a q =<，此时()2210a q ->与已知矛盾；若01q <<，则0n a >，此时{}n a 为递减数列.当10a <时，由()2110a q -<得210q ->，解得1q <-或1q >，若1q <-，则210a a q =>，此时()2210a q ->与已知矛盾；若1q >，则0n a <，此时此时{}n a 为递减数列.反之，若{}n a 为递减数列，则2n n a a +<，所以“对于任意的*N n ∈，2n n a a +<”是“{}n a 为递减数列”的充分必要条件.故选：C 8．B【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出曲线PQ 的方程，再结合两点间距离公式求解作答.【详解】以线段AB 的中点O 为原点，射线OB 为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则(2,0),(2,0),A B C -，令点(,)E x y 为曲线PQ 上任意一点，则||||2||EA EB AB -=<，因此曲线PQ 是以点A ，B 为左右焦点，实轴长为2的双曲线右支，其方程为221(0)3y x x -=>，显然点C 在曲线PQ 含焦点B 的区域内，设00(,)M x y ，01x ≥，有220033=-y x ，修建这两条公路的总费用||2||2W a MB a MC =+=+0(212a a x =-+0000(212|3|)[212(3)]5a x x a x x a ≥-+-≥-+-=，当且仅当003y x =≤≤时取等号，由0y =，且220033=-y x ，01x ≥解得0xM 时min 5W a =，所以修建这两条公路的总费用最低是5a 万元.故选：B【点睛】思路点睛：圆锥曲线上的点与一定点和焦点距离和的问题，借助两点间距离公式及点在曲线上进行化简变形即可推理求解.9．ABD【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，当0m >时，()2230mf x x x =+>'，函数()f x 在()(),0,0,∞∞-+上单调递增，故B 正确；当0m =时，()3f x x =，()230f x x ='>，所以在()(),0,0,∞∞-+上单调递增，故D 正确；当0m <时，当0x >时，()30m f x x x =->；当0x <时，()30mf x x x=-<；故A 正确；C 错误.故选：ABD.10．BCD【分析】根据题意得到X 取各个值的概率，结合极差、百分位数、平均数以及方差的概念与计算公式逐一判断即可.【详解】由题意得，()05C 103232P X ===，()15C 513232P X ===，()25C 1023232P X ===，()35C 1033232P X ===，()45C 543232P X ===，()55C 153232P X ===，对于B ，若极差不变，则0,1,2,3,4X =，概率为()215313P X -==，故B 正确；对于A ，由于525% 1.25,625% 1.5⨯=⨯=，所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，所以1,2,3,4,5X =，第25百分位数不变的概率是()311032P X -==，故A 错误；对于C ，原样本平均值为0123425++++=，平均值变大，则3,4,5X =，概率为105113232322++=，故C 正确；对于D ，原样本的方差为()2222212101225⨯++++=，显然，当2X =时，新数据方差变小，当0,4,5X =时，新数据方差变大，当1X =时，新数据的平均数为0112341166+++++=，方差为222111111139001426666216⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-++-=<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，同理，当3X =时，新数据的方差为3902216<，所以方差变大的概率为()()()704532P X P X P X =+=+==，故D 正确.故选：BCD 11．ACD【分析】根据题意，设图1中水的高度为2h ，几何体的高为1h ，底面正方形的边长为b ，利用水的体积，得出1h 与2h 的关系，从而结合选项即可逐一判断．【详解】设图1中水的高度2h ，几何体的高为1h ，底面正方形的边长为b ；则图2中水的体积为2221212()b h b h b h h -=-，即222122()3b h b h h =-，解得1253h h =，所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B 错误．对于A ，往容器内再注入a 升水，水面将升高223h ，则22212533h h h h +==，容器恰好能装满，A 正确；对于C ，当容器侧面水平放置时，P 点在长方体中截面上，占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P 点，C 正确；对于D ，任意摆放该容器，当水面静止时，P 点在长方体中截面上，始终占容器内空间的一半，所以水面都恰好经过点P ，D 正确．故选：ACD ．12．1e-/1e --【分析】对原函数求导，将e x =代入求(e)f '即可.【详解】由题设1()2(e)f x f x ''=+，则11(e)2(e)(e)e ef f f '''=+⇒=-.故答案为：1e-13．352sin sin 22223αααπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，由题意3AOB πα∠=-，再由三角函数的定义即可求sin AOB ∠.【详解】43,,1,55B OB ⎛⎫-∴=∴ ⎪⎝⎭ 圆O 的半径为1.又1BC =，BOC ∴为等边三角形.3AOB πα∴∠=-，且α为锐角.21cos 1sincossin 22222ααααα+-=-1sin sin sin 23AOB πααα⎛⎫=-=-=∠ ⎪⎝⎭.由三角函数的定义可得，3sin 5AOB ∠=.故答案为：35.【点睛】本题考查三角函数的定义，倍角公式和辅助角公式，公式的熟练运用是解决问题的关键.14．4()m n m -6【分析】利用组合的方法求出{1,2,,}m 中随机抽取2个元素所有抽法及从{1,2,,}m m n ++ 总随机抽取2个元素所有的抽法，结合古典概型的概率公式，即可求解.【详解】从{1,2,,}m 中随机抽取2个元素，共有2m C 种不同的抽法，从{1,2,,}m m n ++ 中随机抽取2个元素，共有2n m C -种不同的抽法，所以从每个子总体中个随机抽取2个元素组成样本所有的抽法，共有22m n m C C -⋅，从{1,2,,}m 中随机抽取2个元素，其中抽到1的抽法有1m -种方法，从{1,2,,}m m n ++ 中随机抽取2个元素，其中抽到n 的抽法有1n m --种方法，由古典概型的概率计算公式，可得1nP 22114()m n mm n m C C m n m ----=⋅=-.当,{1,2,,}i j m ∈ 时，21ij mP C =，而从{1,2,,}m 中选两个数的不同方法数为2m C ，则ij P 的和为1；当{1,2,,},i m m n j ++∈ 时，同理可得ij P 的和为1；当{1,2,,},{1,2,,}m n i j m m ∈∈++ 时，4()ij P m n m =-，而从{1,2,,}m 中选取一个数，从{1,2,,}m m n ++ 中选一个数的不同的方法数为()m n m -，则ij P 的和为4，所以1146ij P =++=.故答案为：4()m n m -；6.【点睛】本题主要考查了概率的综合应用，以及排列、组合的应用，其中对于概率的计算的关键是判断出事件所属的概率模型，选择合适的概率公式进行计算，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.15．(1)证明见解析(2)13【分析】（1）分别证明AC 与,BD PO 垂直后可得证线面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．【详解】（1）由题意可得ABC ADC △≌△，π6ACB ACD ∴∠=∠=，CO BD ∴⊥，即AC BD ⊥．又点P 在平面ABCD 内的投影为点O ，即⊥PO 平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，PO AC ∴⊥，又BD PO O = ，BD ，PO ⊂平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD ．（2）由（1）可得OB ，OC ，OP 两两垂直，建立以O为原点如图所示的空间直角坐标系，如图所示，设3CD =，在ACD 中，由sin sin AD AC ACD ADC=∠∠得12sin 30sin ACAC ADC =︒∠，所以sin 1ADC ∠=，因此ACD 中有90ADC ∠=︒，60CAD ∠=︒，所以由2222(2)AD CD AC AD +==得AD =，cos 602OA AD =︒=，所以3,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,0,2P ⎛ ⎝⎭，0,,02A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,22PB ⎛=- ⎝⎭，0,,22PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,22PD ⎛=-- ⎝⎭ ，设平面PAD 的法向量为(,,)m x y z =，则有0,30,2m PA m PD x ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩ 取1z =得(3,1)m =- ，∴直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为|||cos |||||m PB m PB m PB ⋅〈〉=⋅=4．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()2222210,0:x y C m n m n-=>>的左、右焦点相同，分别为1F ，2F ，1C 与2C 在第一象限内交于点M ，且21213MF F F =，1C 与2C 的离心率分别为1e ，2e ．则1211e e -=，12e e 的取值范围是．四、解答题15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2235n S n n =+，数列{}n b 是等比数列，公比1330,6,24q b b a >==+.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足111,221,,2k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩，其中*k ∈N .（i ）求数列{}n c 的前2024项和；（ii ）求()*221i i ni a c n =∈∑N .参考答案：题号12345678910答案D DDBABCBACDABD题号11答案AD1．D【分析】假设函数()()2lg 1f x x ax =-+的值域为R ，借助对数的性质及二次函数的性质可得a 的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解.【详解】若()()2lg 1f x x ax =-+的值域为R ，则对21y x ax =-+有240a ∆=-≥，解得2a ≥或2a ≤-，“22a -<<”是“2a ≥或2a ≤-”的既不充分也不必要条件.故选：D.2．D【分析】根据指数函数图象性质可得01a <<，再由对数函数图象性质可判断出结论.【详解】当1a >时，函数()2xf x a =-单调递增，图象经过第一象限，不合题意；当01a <<时，函数()2xf x a =-单调递减，图象不经过第一象限，合题意；显然此时11a>，则函数()()1log 2a g x x =+为单调递增，又()g x 恒过点()1,0-，因此函数()g x 的图象不过第四象限.故选：D 3．D【分析】以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，过点B 垂直于BA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设s ，则()4,AP x x =- ，(),BP x x =，由数量积计算分析即可得点P 坐标，从而得到点C 的坐标，然后求出AC ，利用正弦定理求解外接圆半径求解面积即可.【详解】以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，过点B 垂直于BA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()4,0A ，∵π4ABC ∠=，∴BC 所在的直线为y x =，设(),P x x ，则()4,AP x x =- ，(),BP x x = ，所以()()224212AP BP x x x x ⋅=-+=-- ，当1x =时，AP BP ⋅最小，此时点()1,1P ，又∵2BP PC = ，所以3BC BP =，∴点C 的坐标为()3,3，∴AC =，设ABC V 外接圆的半径为R，由正弦定理得2πsin 4R ==所以R =2π5πS R ==，故选：D 4．B【分析】根据条件，求出集合,A B ，再利用集合的运算，即可求解.【详解】由202x x -≤+，得到22x -<≤，即{}|22A x x =-<≤，又{}1,0,1,2,3,4,5B =-，所以{}1,0,1,2A B ⋂=-，故选：B.5．A【分析】根据奇函数的定义求出常数a ，再利用对数函数单调性解不等式.【详解】由函数2()ln()1f x a x=+-是奇函数，得该函数定义域内实数x ，恒有()()0f x f x +-=，即222222(2)ln ln 0ln 0111a ax a ax a a x x x x +-+++-+=⇔=-+-恒成立，因此2222(2)11a a x x +-=-，则22(2)11a a ⎧+=⎨=⎩，解得1a =-，1()ln 1x f x x +=-，不等式()0f x <，即1ln01xx +<-，整理得1011x x+<<-，解得10x -<<，所以x 的取值范围是(1,0)-.故选：A 6．B【分析】由交点在两条直线，代入点的坐标得,,A B C 的关系，再将关系变形代入点到直线的距离公式消元求最值可得.【详解】因为两直线交于(1,1)，则110C ++=，即2C =-，且0A B C ++=，则2A B +=；由原点到直线2l的距离d =由()2222111A A A -+=-+≥，则d ≤，当且仅当1A=时，d 1B =.即两直线重合时，原点到直线的距离最大.故选：B.7．C【分析】设()12,0πF AF θθ∠=<<，首先证明122tan2AF F S b θ= ，结合题意算得解得π3θ=，即可得三角形2ABF 为等边三角形，进一步结合椭圆定义可得，21442,2333a a a AF AF a ==-=，11422333a a a BF AF =-==，即1F 是AB 的中点，结合勾股定理、离心率公式即可求解.【详解】我们首先来证明一个引理：若()12,0πF AF θθ∠=<<，则122tan2AF F S b θ= ，证明如下：设12,2AF m AF a m ==-，则由余弦定理有()()2224222cos c m a m m a m θ=+---，即()()()2242221cos c m a m m a m θ⎡⎤=+---+⎣⎦，所以()()222442221cos 1cos a c b m a m θθ--==++，所以()1222222sincos112222sin sin tan 221cos 22cos 2AF F bS m a m b b θθθθθθθ=-=⋅⋅==+ ，从而引理得证；根据题意可得，122222tan222AF F OAF S b S θ===，解得tan 23θ=，因为π022θ<<，所以π26θ=，解得π3θ=，由2AF AB =，2π3BAF ∠=，可得三角形2ABF 为等边三角形，所以22243a BF AF AB AF =++=，所以21442,2333a a a AF AF a ==-=，所以11422333a a a BF AF =-==，所以1F 是AB 的中点，所以12AB F F ⊥，所以()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223a c =，所以c e a ==故选：C.【点睛】关键点点睛：关键在于得出三角形2ABF 为等边三角形，进一步得出,a c 的齐次式关系即可求解.8．B【分析】设正方体的棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出构成二面角的两个半平面的法向量，看两个半平面的法向量夹角的余弦值是否含参数，从而确定二面角是否为常数.【详解】设正方体的棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(),0,0A a ，()1,0,A a a ，()10,0,D a ，,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又F 是侧面11BCC B 上的动点，设()00,,F x a z ，[][]000,,0,x a z a ∈∈，则()100,,A F x a a z a =-- ，设平面1AD E 的法向量为1 =1,1,1，又()1,0,AD a a =- ，,,02a AE a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则11100AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1111002ax az a x ay -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令11x =，则112y =，11z =，即111,,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又1//A F 平面1AD E ，则11A F n ⊥ ，即110A n F ⋅= ，则0002a x a z a -++-=，解得0032a x z =-，因此可得003,,2a F z a z ⎛⎫- ⎪⎝⎭，100,,2a A F z a z a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，设平面1FAD 的法向量为()2222,,n x y z = ，又()1,0,AD a a =- ，00,,2a AF z a z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则21200AF n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即022*******a z x ay z z ax az ⎧⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-+=⎩，令21x =，则212y =-，21z =，即211,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，又1212127cos ,9n n n n n n ⋅==⋅ 因此可得二面角1F AD E --的大小为常数，故①正确；设平面1FD E 的法向量为()3333,,n x y z = ，又1,,2a D E a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()00,0,EF a z z =- ，则31300EF n D E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即()0303333002a z x z z a x ay az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，令31x =，则3012a y z =-，301a z z =-，即30011,,12a a n z z ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，因为3n 中含参数0z ，故13cos ,n n 的值不定，因此二面角1F D E A --的大小不是常数，故②不正确；设平面FAE 的法向量为()4444,,n x y z = ，又,,02a AE a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，00,,2a AF z a z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则4400AE n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即44044040202a x ay a z x ay z z ⎧-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-++= ⎪⎪⎝⎭⎩，令42x =，则41y =，3022a z z =-，即4022,1,2a n z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，因为4n 中含参数0z ，故14cos ,n n 的值不定，因此二面角1F AE D --的大小不是常数，故③不正确；故选：B.【点睛】方法点睛：1.与平行有关的轨迹问题的解题策略（1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹．2.与垂直有关的轨迹问题的解题策略（1）可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹．9．ACD【分析】采用赋值法，利用已知条件，分析函数的有关性质即可判断.【详解】对A,令0,0x y ==，则()()()()00200f f f f +=⋅，化简可得()()()0100f f -=，又因()00f ≠，所以()01f =，故A 正确；对B,令0x y x ==，，则()()()()20f x f x f f x +-=⋅，又因()01f =化简可得−=，所以()f x 是偶函数，故B 错误；对C,令4,2x y ==，则()()()()62242f f f f +=⋅，因()20f =，所以()60f =，故C 正确；对D,令2y =，则()()()()2222f x f x f x f ++-=⋅，因()20f =，所以()()22f x f x +=--，令2x x =+，则()()4f x f x +=-①，再令4x x =+，()()84f x f x +=-+②，由①②知()()8f x f x +=，故D 正确.故选：ACD10．ABD【分析】对于A ，对式子111n n n a a n n ++⎛⎫-= ⎪⎝⎭进行变形得到11111n n a a n n n n++=+++，根据等差数列的定义可以判断A ；对于D ，由A 可以求出数列的通项，进而判断D ；对于B ，先求出数列的通项，再分别求出前5项即可计算；对于C ，根据等比数列的定义判断即可.【详解】对于A ，因为11111,n n n a a a n n ++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，两边同除以1n +得()1111n n a a n n n n +-=++，所以11111n n a a n n n n ++=+++，则1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为0，首项为1121a +=，故A 正确;对于D ，由A 知12n a n+=，所以21n a n =-，所以{}n a 为等差数列，D 正确;对于C ，由B 知()()()()12232232121n n n n n n n b a a n n +--==-+，所以12345242480224,,,,,315356399b b b b b =-====所以1234537842,B 9911b b b b b ++++==正确;对于C ，由D 知121,21,n n a n a n +=-=+所以()()()1211121n n n n a a n n n n ++÷=++-不为常数，故数列n a n ⎧⎫⎨⎩⎭不为等比数列，C 错;故选：ABD .11．AD【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明AM ⊥平面POM ，由此证明AM PM ⊥，再证明点C 为三棱锥M PAO -的外接球球心，判断A ，证明PA ⊥平面OHC ，由此证明PA CH ⊥，判断B ；证明OH ⊥平面PAM ，由此可得OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，解三角形求其正弦，判断C ，证明OH AH ⊥，解三角形求AH HO +，结合基本不等式求其范围，判断D.【详解】连接,,,,,OM AM AH OC CM CH ，对于A ，易知⊥PO 平面AMB ，AM ⊂平面AMB ，所以AM PO ⊥，因为点M 在以AO 为直径的圆上（不含A 、O ），所以AM OM ⊥，OM PO O = ，OM ⊂平面POM ，PO ⊂平面POM ，所以AM ⊥平面POM ，又PM ⊂平面POM ，所以AM PM ⊥，又PO AO ⊥，C 为PA 的中点，2PA =，所以1CO CA CP CM ====，所以点C 为三棱锥M PAO -的外接球的球心，所以三棱锥M PAO -的外接球的半径为=1，所以三棱锥M PAO -的外接球体积为定值，A 正确；由已知，PO AO ⊥，2PA =，AO =，所以PO AO ===，所以POA 为等腰直角三角形，连接OC ，又C 为PA 的中点，故PA OC ⊥，又PA OH ⊥，OH OC O ⋂=，OH ⊂平面OHC ，OC ⊂平面OHC ，则PA ⊥平面OHC ，又CH ⊂平面OHC ，所以PA CH ⊥，故B 错误；因为AM ⊥平面POM ，又OH ⊂平面POM ，所以AM OH ⊥，又PA OH ⊥，PA AM A = ，AM ⊂平面PAM ，PA ⊂平面PAM ，则OH ⊥平面PAM ，所以OA 在平面PAM 上的射影为AH ，所以OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，设OM x =，则PM =OH PM OM PO ⋅=⋅，所以OH =所以sin OH OAH OA ∠==令60OAH ∠=2=，解得x =，即OM =OM OA <矛盾，C 错误；对于D 中，因为OH ⊥平面PAM ，AH ⊂平面PAM ，所以OH AH ⊥，又OH =OA =，所以AH =，所以x AH HO +=0x<由基本不等式可得22222x x ⎛⎫++< ⎪⎪⎝⎭x +<，所以2AH HO+<，D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：解决多面体的外接球问题的关键在于由条件确定其外接球的球心的位置，由此确定外接球的半径.12．9【分析】利用方差的性质直接计算求解即可.【详解】因为随机变量X 的方差()1D X =，随机变量32Y X =+，所以()()()23239D Y D X D X =+==故答案为：913．6【分析】根据球的体积公式可得内切球的半径R =根据正三棱柱结构特征可知R 即为底面正三角形内切圆半径，从而即可得解.【详解】解：设正三棱柱111ABC A B C -的内切球的半径为R ，则有34π3R =，解得R =设正三棱柱的底面边长为a ，则正三棱柱的底面三角形的内切圆半径即为正三棱柱内切球半径，又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径13r ==所以6=解得6a =.故答案为：614．233,35⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】利用椭圆以及双曲线定义联立方程组可得()23c a m =-，因此可求得121123e e -=；求出12e e 的表达式再根据三角形三边关系可求得5,33a m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用函数单调性即可求得结果.【详解】如下图所示：根据椭圆定义以及双曲线定义可得121222MF MF a MF MF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得12MF a m MF a m ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩；显然20MF a m =->，可得a m >；又21213MF F F =且122F F c =，其中222222,c a b c m n =+=-；可得()23c a m =-，所以23a m c c =-，即121123e e -=；所以()()22221292994244a m a am m c c c a m e e a m am am am m a --+⎛⎫=⋅====+- ⎪⎝⎭．令a t m =，则129124e e t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．因为a m >，所以1a t m =>．又1212MF MF F F +>，所以有()223a c a m >=-，所以有3a m <；又1212MF MF F F -<，所以有()223m c a m <=-，所以有35a m >，所以可得5,33a t m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭．设函数12y t t =+-，则2110y t =-'>，函数12y t t =+-在区间5,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以44153y <<，所以12335e e <<．即可得12e e 的取值范围是3,35⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：23；3,35⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】易错点点睛：在求解椭圆以及双曲线离心率问题时，最容易忽略利用它们的定义来求得线段长度表达式，再进行相关问题求解.15．(1)31n a n =+，32n n b =⋅(2)（i ）8152，（ii ）11343218i i ++⋅+⋅-【分析】（1）利用,n n S a 的关系作差结合等比数列的定义计算可求和的通项公式；（2）（i ）根据题意利用等比数列求和公式结合分组求和法计算即可，（ii ）根据题意先得出229432i i i i a c =⋅+⋅，利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可.【详解】（1）当1n =时，1112284S a a ==⇒=，当2n ≥时，()()22123523151n n S n n S n n -⎧=+⎪⎨=-+-⎪⎩，所以131n n n a S S n -=-=+，显然1a 符合上式，所以31n a n =+，由题意()23123314242b b q q =⨯++==⇒=，所以1132n n n b b q -==⋅.（2）（i ）易知101121024,220482024==>，即数列{}n c 的前2024项中有10项分别为21425129102410,,,,c b c b c b c b ==== ，其余项均为1，故数列{}n c 的前2024项和()1012106122024102014815212n G b b b ⨯-=-++++=+=- ；（ii ）由（1）知2321i i a =⋅+，而232i i i c b ==⋅，所以()22323219432i i i i i i a c =⋅⋅+=⋅+⋅，易知()11361494341214i n i i i +=⨯-⋅==⋅--∑，()116123232612i n i i i +=⨯-⋅==⋅--∑，所以12112343218i i i i ni a c +=+=⋅+⋅-∑。

限时训练（四十四）一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的•3 + 2i1•设i 为虚数单位，则复数的虚部为（ ）•i A. 3i B. -3i C. 3 D. -32 ______________________________________ 2.已知条件p: x-m x-m-3]-0，条件q ：x ，3x-4：：：0，若p 是q 的必要不充分条件， 则实 数m 的取值范围是（ ）.A. -：：, -7 U 1, ：：B.」：，-7 1U 〔1, ：：C. -7,13.已知向量 a= (x, y ), b = (-1,2 )，且 a + b = (1,3 )，贝 U a- 2b 等于(x, 0A 中的那部分的面积为（则实数• ■的值为（ ）.7 A.- 4 3 B.- 2 C. 2 5 D.- 4 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（ ）. A. 1 B. 3 C.4 D. 54.若A 为不等式组 y-0y —x,表示的平面区时，动直线A. 1 3B.— 2 3C.— 4 7D.- 45.宋元时期数学名著《算学启蒙》 中有关于 松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两 尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日长等.右图给出的是源于该思想的程序框图, 若输入a,b 的分别为5,2，则输出的n =A. 2B. 3C. 4D. 5 6.函数f x 二sin 「x2亠0的图像向右平移 JI'个单位得到函数y 二g x 的图 12像，并且函数y 二g x 在区间 匸，匸 上单调递增，在区间 _6 3—,—上单调递减， _3 2TtA. 一4B.C.D.8•若x, y满足x —I门丄=0,贝y y关于x的函数图像大致为（9•市一中早上8点开始上课，若学生小青和小明均在早上7:40到8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小青比小明至少早5分钟到校的概率为（9A.321 3 5B. C.D.——2 64 6410.设双曲线2 2x _y_2 ,2a b=1 a 0,b 0的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A，若FA =2AB，则双曲线的离心率为（A. 6B. 4C. 3D.211.已知二棱锥O —ABC中，OA，OB ，OC两两垂直且长度都是6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），则MN 的中点P的轨迹与三棱锥的面围成的几何体的体积为（兀A.—6jr JIB.或36 — 6JIC. 36-6ji JID. 或36 --6 6212.已知函数f X二X6X 1 * . 2 te x ：：：0 , g x = x l n x，a的图像上存在关于y轴对称的两点,2则a的取值范围是（A. | -JJOI veB.eC.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.6 313. 在x 1 2x的展开式中，含x的项的系数为______________________ .14. 现有2个男生，3个女生和1个老师共6人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是___________________ .15. 设直线l:3x，4y，a = 0，圆C : x-2j亠寸=2，若在圆C上存在两点P，Q，在直线上存在一点M，使得.PMQ =90，则a的取值范围为 _______________________ .16. 已知数列匕二的前n项和为S n，S n二n2• 2n,b n二a n a* 1 cos n • 1二，数列'bj的前n项和为「，若「…怕对任意的n・N恒成立，则实数t的取值范围是______________________ .。