2020届高三数学二轮复习备考限时训练(4)

(建议用时：40分钟)1.设集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝______.解析因为N＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，所以M∩N＝{0，1}.答案{0，1}2.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________.解析设应抽取的女运动员人数是x，则x98－56＝2898，易得x＝12.答案123.复数11＋i＝________.解析11＋i＝1－i（1＋i）（1－i）＝1－i2＝12－12i.答案12－12i4.某算法的伪代码如图所示，该算法输出的结果是________.I←1S←1While S≤24S←S×II←I＋1End WhilePrint I解析逐次写出运行结果.该伪代码运行5次，各次S和I的值分别是1和2；2和3；6和4；24和5；120和6，所以该算法输出的I＝6.答案 65.将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数相同的概率是_______ _.＝63×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－33×32＝6＋36. 答案6＋36 9.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________.解析由题知令BD ＝BC ＝AD ＝AC ＝1，AB ＝a ，则DC ＝2，分别取DC ，AB 的中点E ，F ，连接AE 、BE 、EF .由于EF ⊥DC ，EF ⊥AB .而BE ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 1－12＝22，BF ＜BE ，AB ＝2BF ＜2BE ＝2. 答案 (0，2)10.过点P (1，1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分成两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________.解析 当OP 与所求直线垂直时面积之差最大，故所求直线方程为x ＋y －2＝0. 答案 x ＋y －2＝011.两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50m，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________. 解析 在△ACD 中，容易求得AD ＝2010，AC ＝305，又CD ＝50，由余弦定理可得cos∠CAD ＝AD2＋AC2－CD22AD·AC ＝22，所以∠CAD ＝45°， 即从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.答案 45°12.两个半径分别为r 1，r 2的圆M 、N ，公共弦AB 长为3，如图所示，则AM →·AB→＋AN →·AB →＝________.解析连接圆心MN 与公共弦相交于点C ，则C 为公共弦AB 的中点，且MN ⊥AB ，故AM →·AB →＝|AB →||AM →|·cos∠MAC ＝|AB →|·|AC →|＝12|AB →|2＝92，同理AN →·AB →＝|AB →||AN →|·cos∠NAC ＝|AB →||AC →|＝12|AB →|2＝92，故AM →·AB →＋AN →·AB →＝9.答案 9 13.设a ＝2 0110.1，b ＝ln 2 0122 010，c ＝log 122 0112 010，则a ，b ，c 的大小关系是________. 解析 由指数函数、对数函数图象可知a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0，所以a ＞b ＞c . 答案 a ＞b ＞c14.设f (x )＝|lnx |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是________.解析 原问题等价于方程|ln x |＝ax 在区间(0，4)上有三个根，令h (x )＝ln x ⇒h ′(x )＝1x， 由h (x )在(x 0，ln x 0)处切线y －ln x 0＝1x0(x －x 0)过原点得x 0＝e ，即曲线h (x )过原点的切线斜率为1e，而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为ln 22，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1e .。

基础保分强化训练(四)1．集合A ＝{x |x 2－a ≤0}，B ＝{x |x <2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，4) C ．[0,4] D ．(0,4)答案 B解析 当a <0时，集合A ＝∅，满足题意；当a ≥0时，A ＝[－a ，a ]，若A ⊆B ，则a <2，所以0≤a ＜4，所以a ∈(－∞，4)，故选B.2．已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.43－i D.43＋i 答案 D解析 设z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋ a 2＋b 2＝3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z ＝43＋i ，故选D.3．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“∠AOB ＝120°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由题意得圆心(0,0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k2，若∠AOB ＝120°，则有11＋k2＝2×12，得k 2＝1即k ＝±1，若k ＝1时，则∠AOB ＝120°，但∠AOB ＝120°时，k ＝－1或k ＝1，故选A.4．将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，每个方格填上一个数字，则恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率是( )A.25B.35C.12D.34 答案 C解析 将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，其基本事件为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,2,1)，(3,1,2)，共有6个，其中恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的事件有(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，所以恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率P ＝36＝12.故选C.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43 C.43 D.49答案 A解析 如图，∵AP →＝2PM →，∴AP →＝PB →＋PC →，∴PA →·(PB →＋PC →)＝－PA →2，∵AM ＝1且AP →＝2PM →，∴|PA →|＝23，∴PA →·(PB →＋PC →)＝－49，故选A.6．下列函数中，既是奇函数又在(－∞，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝|x |C ．y ＝－x 3D ．y ＝ln (x 2＋1＋x )答案 D解析 sin x 不是单调递增函数，可知A 错误；|－x |＝|x |，则函数y ＝|x |为偶函数，可知B 错误；y ＝－x 3在(－∞，＋∞)上单调递减，可知C 错误；ln (－x2＋1－x )＝ln1x 2＋1＋x＝－ln (x 2＋1＋x )，则y ＝ln (x 2＋1＋x )为奇函数；当x ≥0时， x 2＋1＋x单调递增，由复合函数单调性可知y ＝ln (x 2＋1＋x ) 在[0，＋∞)上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(－∞，＋∞)上单调递增，则D 正确．故选D.7．一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A ．8－2π3B ．4－π3C ．8－π3D ．4－2π3答案 A解析 由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为23－2×13×π×12×1＝8－2π3.故选A.8．已知平面区域Ω1：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0，Ω2：x 2＋y 2≤9，则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 平面区域Ω2：x 2＋y 2≤9，表示圆以及内部部分； Ω1：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0的可行域如图三角形区域：则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的充分不必要条件．故选A.9．若ω>0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A.112 B.52 C.12 D.32答案 B解析 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π3，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＋2k π，k ∈Z 的图象重合，∴－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，∴ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，∴ω的最小值为52，故选B.10．设a ＝log 43，b ＝log 52，c ＝log 85，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <a <b答案 B解析 ∵a ＝log 43＝log 6427＝lg 27lg 64，c ＝log 85＝log 6425＝lg 25lg 64，∴log 43>log 85，即a >c ，∵2<5，5>8，∴c ＝log 85>log 88＝12，b ＝log 52<log 55＝12，∴log 85>log 52，即c >b ，∴log 43>log 85>log 52， 即a >c >b .故选B.11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为3a 2，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±33x D ．y ＝±3x答案 D解析 根据题意，连接AF 1，BF 1，AF 2，BF 2得四边形AF 2BF 1为平行四边形，几何关系如图所示，设|AF 2|＝x ，则|BF 1|＝x ，|BF 2|＝x ＋2a ，△ABF 2的面积为3a 2，∠AF 2B ＝60°，则由三角形面积公式可得3a 2＝12x ·(x ＋2a )·32，化简得x 2＋2ax －4a 2＝0，解得x ＝(5－1)a ，x ＝(－5－1)a (舍去)．所以|BF 2|＝(5＋1)a .在△BF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|·cos120°，即(2c )2＝(5－1)2a 2＋(5＋1)2a 2－2(5－1)a ·(5＋1)a cos120°，化简可得c 2＝4a 2，由双曲线中c 2＝a 2＋b 2，可得b 2＝3a 2，即ba＝±3，所以渐近线方程为y ＝±3x ，所以选D.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________. 答案 1e解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＝－1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (－1)＝e －1＝1e .13．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________ m ．(取2＝1.4，3＝1.7)答案 2650解析 如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21000.又在△ABC 中，BCsin ∠A ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝2100012×sin15°＝10500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10500×(6－2)×22＝10500×(3－1)＝7350.故山顶的海拔高度h ＝10000－7350＝2650(m)．14．将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n＝2b n －1，则a 56＝________.答案 1024解析 当n ≥2时，∵S n ＝2b n －1，∴S n －1＝2b n －1－1，∴b n ＝2b n －2b n －1，∴b n ＝2b n －1(n ≥2且n ∈N *)，∵b 1＝2b 1－1，∴b 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴b n ＝2n －1.设a 1，a 2，a 4，a 7，a 11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{c n }，则c 2－c 1＝1，c 3－c 2＝2，c 4－c 3＝3，c 5－c 4＝4，…，c n －c n －1＝n －1，累加得，c n －c 1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)，∴c n ＝n n －12＋1，由c n ＝n n －12＋1＝56，得n ＝11，∴a 56＝b 11＝210＝1024.。

考前强化练4 客观题12+4标准练D一、选择题1.(2019山西临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三联考,理2)复数的共轭复数在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2019河北邢台二中二模,理1)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B的真子集个数为() A.0 B.1 C.2 D.3=5,则=()3.(2019湖北武汉高三调研,文3)若角α满足-A. B. C.5或 D.54.(2019辽宁丹东高三质检二,文7)据中国古代数学名著《九章算术》中记载,公元前344年,先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),其体积为12.6立方寸.若取圆周率π=3,则图中的x值为()A.1.5B.2C.3D.3.15.若数列{a n}是正项数列,且+…+=n2+n,则a1++…+等于()A.2n2+2nB.n2+2nC.2n2+nD.2(n2+2n)6.将函数f(x)=cos2sin-2cos+(ω>0)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在0,上为增函数,则ω的最大值为()A.2B.4C.6D.87.(2019陕西宝鸡中学高三二模,文6)设D为椭圆x2+=1上任意一点,A(0,-2),B(0,2),延长AD至点P,使得|PD|=|BD|,则点P的轨迹方程为()A.x2+(y-2)2=20B.x2+(y-2)2=5C.x2+(y+2)2=20D.x2+(y+2)2=58.如图是计算函数y=---的值的程序框图,则在①②③处应分别填入的是()A.y=-x,y=0,y=x2B.y=-x,y=x2,y=0C.y=0,y=x2,y=-xD.y=0,y=-x,y=x29.设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=9,a2为整数,且S n≤S5,则数列的前9项和为()A.-B.-C.-9D.810.已知函数f(x)=e x+-ln x的极值点为x1,函数g(x)=e x+x-2的零点为x2,函数h(x)=的最大值为x3,则()A.x1>x2>x3B.x2>x1>x3C.x3>x1>x2D.x3>x2>x111.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线经过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点,点M为这两条曲线的一个交点,且|MF|=p,则双曲线的离心率为()A.B.2C.D.+112.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函数”,若函数f(x)=4x-m·2x-3是定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是()A.[-)B.[-2,+∞)C.(-∞,2)D.[-2)二、填空题13.已知向量m=(1,2),n=(2,3),则m在m-n方向上的投影为.14.长郡中学某次高三文数周测,张老师宣布这次考试的前五名是:邓清、武琳、三喜、建业、梅红,然后让五人分别猜彼此名次.邓清:三喜第二,建业第三;武琳:梅红第二,邓清第四;三喜:邓清第一,武琳第五;建业:梅红第三,武琳第四;梅红:建业第二,三喜第五.张老师说:每人的两句话都是一真一假,已知张老师的话是真的,则五个人从一到五的排名次序为.15.(2019山东济宁高三二模,文16)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在体积为36π的球面上,其中PA⊥平面ABC,底面ABC为正三角形,则三棱锥P-ABC体积的最大值为.16.P为双曲线=1右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且=0,直线PF2交y轴于点A,则△AF1P的内切圆半径为.参考答案考前强化练4客观题12+4标准练D1.A解析因为z=-i,所以i,故选A.2.D解析集合A中,x2+y2=1,表示以原点为圆心,1为半径的圆,集合B中y=x,表示一条直线,在同一个坐标系中画出图象,得到两函数有两个交点,则A∩B真子集的个数是22-1=3.故选D.=5,∴-=5,故选D.3.D解析∵--4.C解析由三视图可知,该几何体是由一个圆柱和一个长方体组合而成,由题意可知,12.6=π×2×1.6+(5.4-1.6)×1×x,解得x=3.5.A解析∵+…+=n2+n,∴n=1时,=2,解得a1=4.=(n-1)2+n-1,n≥ 时,+…+-相减可得=2n,∴a n=4n2.n=1时也满足.∴=4n.则a1++…+=4(1+2+…+n)=4×=2n2+2n.故选A.6.C解析f(x)=cos2sin-2cos+=sinωx-2=sinωx-cosωx=2sinωx-,f(x)的图象向左平移个单位长度,得y=2sinωx+-的图象,∴函数y=g(x)=2sinωx.又y=g(x)在0,上为增函数,∴,即,解得ω≤6 所以ω的最大值为6.7.C解析由题意得|PA|=|PD|+|DA|=|DB|+|DA|,又点D为椭圆x2+=1上任意一点,且A(0,-2),B(0,2)为椭圆的两个焦点,∴|DB|+|DA|=2,∴|PA|=2,故点P的轨迹是以点A为圆心,半径为2 的圆,故点P的轨迹方程为x2+(y+2)2=20.故选C.8.B解析由题意及框图可知,在①应填“y=-x”;在②应填“y=x2”;在③应填“y= ”.9.A解析由题意S n=n2+a1-n=n2+9-n,d<0,d∈Z,对称轴n=,当d=-1时,对称轴n=,不满足S n≤S5,若d=-2,对称轴n=5满足题意,∴d=-2,a n=a1+(n-1)×(-2)=11-2n,而=-,∴前9项和为+…+=-++…+=-=---=-.10.A解析∵f'(x)=e x+x-在(0,+∞)上单调递增,且f'=>0,f'=<0,∴x1∈且 +x1-=0.∵函数g(x)=e x+x-2在(0,+∞)上单调递增,且g=>0,g=-2<0,∴x2∈.又g(x1)=+x1-2=-x1+x1-2=-2>0=g(x2),且g(x)单调递增,∴x1>x2.由h'(x)=-,可得h(x)max=h(e)=,即x3=,∴x1>x2>x3.故选A.11.D解析抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线方程为x=-,∵准线经过双曲线的左焦点,∴c=.∵点M为这两条曲线的一个交点,且|MF|=p,∴M的横坐标为,代入抛物线方程,可得M的纵坐标为±p.将M的坐标代入双曲线方程,可得=1, ∴a=-p,∴e=1+.故选D.12.B解析根据“局部奇函数”的定义可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,即4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),∴4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0,化为(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解,令2-x+2x=t(t≥ 则有t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,设g(t)=t2-mt-8,图象抛物线的对称轴为t=,①若m≥ 则Δ=m2+32>0,满足方程有解;②若m<4,要使t2-mt-8=0在t≥ 时有解,则需:解得- ≤m<4.--综上得实数m的取值范围为[-2,+∞).13.-解析∵向量m=(1,2),n=(2,3),∴m-n=(-1,-1).∴m·(m-n)=-1-2=-3,=-.则m在m-n方向上的投影为·--14.邓清、梅红、建业、武琳、三喜解析假设邓清说话中“三喜第二为真,建业第三为假” 则梅红说话中“建业第二为真,三喜第五为假” 这与邓清说话中“三喜第二为真,建业第三为假”矛盾,所以邓清说话中“三喜第二为假,建业第三为真”.则梅红说话中“建业第二为假,三喜第五为真” 进而三喜说话中“邓清第一为真,武琳第五为假” 从而武琳说话中“梅红第二为真,邓清第四为假” 推出建业说话中“梅红第三为假,武琳第四为真”.15.9解析由球的体积公式可得πR3=36π,解得R=3.不妨设底面正三角形的边长为2a,则S△ABC=·2 ·2 · 6 °=a2.设棱锥的高为h,由三棱锥的性质可得R2=a2+2=9,解得h2=36- 6a2,据此可得:h2-△= ·3a 4·36- 6a 2= 6·12-6≤6·- 63=6 ×64=81.故 -≤ V P-ABC ≤ 当且仅当 =12- 6 a 2,a 2=时等号成立. 综上可得,三棱锥P-ABC 体积的最大值为9. 16.2 解析∵PF 1⊥PF 2,△APF 1的内切圆半径为r ,∴|PF 1|+|PA|-|AF 1|=2r , ∴|PF 2|+2a+|PA|-|AF 1|=2r , ∴|AF 2|-|AF 1|=2r-4,∵由图形的对称性知:|AF 2|=|AF 1|, ∴r=2.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(四)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|1≤x＜3}，N＝{1，2}，则M∩N＝( )A．{1} B．{1，2}C．{2} D．[1，2]2．若复数z满足(z－1)i＝4＋2i，则|z|＝( )A．25 B.17C．5 D．173．某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校2017年自主招生考试的学生人数如下表所示：考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查．则A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为( )A．15，20，10，5 B．15，20，5，10C．20，15，10，5 D．20，15，5，104．等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a2＜0且a5＜0”是“数列{S n}单调递减”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34B.34 C.32D.326．设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c7．若非零向量a 、b 满足|a |＝2|b |＝4，(a －2b )·a ＝0，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．4 B ．8 C.14D.188．执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝7，则输入的整数K 的最大值是( )A ．18B ．50C ．78D ．3069．已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，则铁球的直径最大只能为( )A. 3 B ．2 C.5D ．410．P 为圆C 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，Q 为圆C 2：x 2＋y 2＝25上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在C 2内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.1325B.35C.1225πD.35π 11．已知F 是双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM |＝2a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2＝( )A.1＋172B.1＋174C.2＋52D.2＋5412．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12(a <0)，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，则f （n ）－4a n ＋1(n ∈N *)的最小值为( )A.374B.358C.283D.274题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋2 017，若f (m )＝2，则f (－m )＝________.14．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －5≥0，x ＋y －7≤0，x －2≥0若z ＝x ＋ay 的最小值为4，则实数a的值为________．15．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1，则数列b n ＝a 2n －7a n ＋6的最小值为________．16.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为4，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (23sin x ＋cos x )－sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，不等式f (x )≥m 有解，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．(1)求ξ的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．19．(本小题满分12分)如图1，正方形ABCD 的边长为4，AB ＝AE ＝BF ＝12EF ，AB∥EF ，把四边形ABCD 沿AB 折起，使得AD ⊥底面AEFB ，G 是EF 的中点，如图2.(1)求证：AG⊥平面BCE；(2)求二面角C AE F的余弦值．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝e x，h(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若a＝1，b＝c＝0，求函数F(x)＝f(x)h(x)的单调区间；(2)若a＝c＝0，b>0，且G(x)＝g(x)－h(x)≥m(m∈R)对任意的x∈R都成立，求mb的最大值．21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)在第一象限内的点P(2，t)到焦点F 的距离为52.(1)若N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，过点N ，P 的直线l 1与抛物线相交于另一点Q ，求|QF ||PF |的值；(2)若直线l 2与抛物线C 相交于A ，B 两点，与圆M ：(x －a )2＋y 2＝1相交于D ，E 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，试问：是否存在实数a ，使得|DE |为定值？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q ()5，－3，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R.(1)若a ＝1，解不等式f (x )≥12(x ＋1)；(2)记函数g (x )＝f (x )－|x －2|的值域为A ，若A ⊆[－1，3]，求a 的取值范围．高考仿真模拟卷(四)答案1．解析：选B.因为M ＝{x |1≤x ＜3}，N ＝{1，2}，所以M ∩N ＝{1，2}．故选B. 2．解析：选C.由(z －1)i ＝4＋2i ，得z －1＝4＋2ii ＝2－4i ，所以z ＝3－4i ，所以|z |＝5.3．解析：选D.由题意知，四所中学报名参加某高校2017年自主招生考试的学生总人数为100，抽取的学生人数与学生总人数的比值为50100＝12.所以应从A ，B ，C ，D 四所中学抽取的学生人数分别为20，15，5，10.4．解析：选C.因为a 5＝a 2q 3＜0，a 2＜0，所以q ＞0，所以a n ＜0恒成立，所以S n －S n －1＝a n ＜0，{S n }单调递减，故为充分条件；S n －S n －1＝a n ＜0⇒a 2＜0，a 5＜0，故为必要条件．故选C.5．解析：选B.依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34.6．解析：选A.因为a ＝log 123<log 122＝－1，0<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2<1，c ＝2>1，所以a <b <c .7．解析：选A.由(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，得a ·b ＝a 22＝|a |22＝8，从而a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝82＝4，故选A.8．解析：选C.第一次循环S ＝2，n ＝2，第二次循环S ＝6，n ＝3，第三次循环S ＝2，n ＝4，第四次循环S ＝18，n ＝5，第五次循环S ＝14，n ＝6，第六次循环S ＝78，n ＝7，需满足S ≥K ，此时输出n ＝7，所以18<K ≤78，所以整数K 的最大值为78.9．解析：选B.设长方体三条棱的长分别为a ，b ，c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝6bc ＝8ac ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2c ＝4.再结合题意可得，铁球的直径最大只能为2. 故选B.10．解析：选B.设Q (x 0，y 0)，中点M (x ，y )，则P (2x －x 0，2y －y 0)代入x 2＋y 2＝9，得(2x －x 0)2＋(2y －y 0)2＝9，化简得：⎝⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝94，又x 20＋y 20＝25表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 的轨迹是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 02为圆心，以32为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有x 2＋y 2＝r 2(1≤r ≤4)，那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为16π－π25π＝1525＝35.故选B.11．解析：选A.由题意得，F (c ，0)，该双曲线的一条渐近线为y ＝－bax ，将x ＝c 代入y ＝－b a x 得y ＝－bca，所以bc a＝2a ，即bc ＝2a 2，所以4a 4＝b 2c 2＝c 2(c 2－a 2)，所以e 4－e 2－4＝0，解得e 2＝1＋172，故选A.12．解析：选A.二次函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12图象的对称轴为直线x ＝－a ＋82，由f (a 2－4)＝f (2a －8)及二次函数的图象，可以得出a 2－4＋2a －82＝－a ＋82，解得a ＝－4或a ＝1，又a <0，所以a ＝－4，所以f (x )＝x 2＋4x ，所以f （n ）－4a n ＋1＝n 2＋4n ＋16n ＋1＝（n ＋1）2＋2（n ＋1）＋13n ＋1＝n ＋1＋13n ＋1＋2≥2（n ＋1）·13n ＋1＋2＝213＋2，又n ∈N *，所以当且仅当n ＋1＝13n ＋1，即n ＝13－1时等号成立，当n ＝2时，f （n ）－4a n ＋1＝283，n ＝3时，f （n ）－4a n ＋1＝294＋2＝374<283，所以最小值为374，故选A. 13．解析：因为函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋2 017，所以f (－x )＝－tan x －sin x ＋2 017，从而f (－x )＋f (x )＝4 034，又f (m )＝2，所以f (－m )＝4 032.答案：4 03214．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，假设z ＝x ＋ay 在点C (2，1)处取得最小值，则2＋a ＝4，a ＝2，此时y ＝－12x ＋12z ，其在点C (2，1)处取得最小值，符合题意．假设z ＝x ＋ay 在点B (2，5)处取得最小值，则2＋5a ＝4，a ＝25，此时y ＝－52x ＋52z ，其在点C 处取得最小值，不符合题意．假设z ＝x ＋ay 在点A (8，－1)处取得最小值，则8－a ＝4，a ＝4，此时y ＝－14x ＋14z ，其在点A 处取得最小值，符合题意．所以a 的值为2或4.答案：2或415．解析：由S n ＝2n －1，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －1＋1＝2n －1，a 1＝1适合上式，所以a n ＝2n－1.则b n ＝a 2n－7an ＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －722－254. 所以当n ＝3时(b n )min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722－254＝－6.故答案为－6. 答案：－616．解析：该球形容器最小时，十字立方体与球内接，此时球直径2R 等于由两个正四棱柱组合而成的几何体的对角线，即2R ＝42＋42＋22＝6，球形容器的表面积为4πR 2＝36π. 答案：36π 17．解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋cos 2x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)由题意可知，不等式f (x )≥m 有解，即m ≤f (x )max .因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，故当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值，且最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2.从而可得m ≤2 .18．解：(1)由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30. P (ξ＝0)＝15×14×13＝160，P (ξ＝10)＝45×14×13＋15×34×13＋15×14×23＝960＝320，P (ξ＝20)＝45×34×13＋45×14×23＋15×34×23＝2660＝1330，P (ξ＝30)＝45×34×23＝25.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×160＋10×320＋20×1330＋30×25＝1336.(2)记“甲队得30分，乙队得0分”为事件A ，“甲队得20分，乙队得10分”为事件B ，则A ，B 互斥．又P (A )＝⎝⎛⎭⎫343×160＝91 280， P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫342×14×320＝811 280，故甲、乙两队总得分之和为30分且甲队获胜的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝901 280＝9128. 19．解：(1)证明：连接BG ，因为BC ∥AD ，AD ⊥底面AEFB ，所以BC ⊥底面AEFB ，又AG ⊂底面AEFB ，所以BC ⊥AG ，因为AB ＝12EF ，且AB ∥EF ，所以AB 綊EG ，因为AB＝AE ，所以四边形ABGE 为菱形，所以AG ⊥BE ，又BC ∩BE ＝B ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以AG ⊥平面BCE .(2)由(1)知四边形ABGE 为菱形，AG ⊥BE ，AE ＝EG ＝BG ＝AB ＝4， 设AG ∩BE ＝O ，所以OE ＝OB ＝23，OA ＝OG ＝2， 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (－2，0，0)，E (0，－23，0)，F (4，23，0)，C (0，23，4)，D (－2，0，4)，所以AC →＝(2，23，4)，AE →＝(2，－23，0)，设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AE →·n ＝0，所以⎩⎨⎧2x ＋23y ＋4z ＝0，2x －23y ＝0，令y ＝1，则x ＝3，z ＝－3，即平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，1，－3)，易知平面AEF 的一个法向量为AD →＝(0，0，4)，设二面角C -AE -F 的大小为θ，由图易知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos θ＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝437×4＝217.20．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )h (x )＝x 2ln x ，F ′(x )＝2x ln x ＋x (x >0)． 令F ′(x )>0，得x >1e，故F (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞；令F ′(x )<0，得0<x <1e，故F (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e .(2)由题意知，G (x )＝e x －bx ，故G ′(x )＝e x －b ， 又b >0，令G ′(x )＝e x －b ＝0，得x ＝ln b ，故当x ∈(－∞，ln b )时，G ′(x )<0，此时G (x )单调递减；当x ∈(ln b ，＋∞)时，G ′(x )>0，此时G (x )单调递增．故G (x )min ＝b －b ln b ，所以m ≤b －b ln b ，则mb ≤b 2－b 2ln b . 设r (b )＝b 2－b 2ln b (b >0)，则r ′(b )＝2b －(2b ln b ＋b )＝b －2b ln b ，由于b >0，令r ′(b )＝0，得ln b ＝12，b ＝e ，当b ∈(0，e)时，r ′(b )>0，r (b )单调递增；当b ∈(e ，＋∞)时，r ′(b )<0，r (b )单调递减，所以r (b )max ＝e 2，即当b ＝e ，m ＝12e 时，mb 取得最大值e2.21．解：(1)因为点P (2，t )到焦点F 的距离为52，所以2＋p 2＝52，解得p ＝1，故抛物线C 的方程为y 2＝2x ，P (2，2)，所以l 1的方程为y ＝45x ＋25，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝45x ＋25，y 2＝2x ，可解得x Q ＝18，又|QF |＝x Q ＋12＝58，|PF |＝52，所以|QF ||PF |＝5852＝14.(2)设直线l 2的方程为x ＝ny ＋m (m ≠0)，代入抛物线方程可得y 2－2ny －2m ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2n ，y 1y 2＝－2m ，① 由OA ⊥OB 得，(ny 1＋m )(ny 2＋m )＋y 1y 2＝0， 整理得(n 2＋1)y 1y 2＋nm (y 1＋y 2)＋m 2＝0，②将①代入②解得m ＝2或m ＝0(舍去)，满足Δ＝4n 2＋8m >0， 所以直线l 2：x ＝ny ＋2，因为圆心M (a ，0)到直线l 2的距离d ＝|a －2|1＋n 2， 所以|DE |＝2 12－（a －2）21＋n 2，显然当a ＝2时，|DE |＝2，所以存在实数a ＝2，使得|DE |为定值． 22．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得4＋ρ2－4ρcos(θ－π3)＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3.作图如图所示．(2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos α2y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos αy ＝sin α(α为参数)，所以点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.23．解：(1)由于a ＝1，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x <1.x －1，x ≥1.当x <1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得1－x ≥12(x ＋1)，解得x ≤13；当x ≥1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得x －1≥12(x ＋1)，解得x ≥3.综上，不等式f (x )≥12(x ＋1)的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪[3，＋∞)． (2)当a <2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤a ，2x －2－a ，a <x <2，2－a ，x ≥2，g (x )的值域A ＝[a －2，2－a ]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－1，2－a ≤3，解得a ≥1，又a <2，故1≤a <2； 当a ≥2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤2，－2x ＋2＋a ，2－a ，x ≥a ，2<x <a ，g (x )的值域A ＝[2－a ，a －2]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，a －2≤3，解得a ≤3，又a ≥2，故2≤a ≤3. 综上，a 的取值范围为[1，3]．。

最新高考数学二模试卷（理科）一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}，则A∩B=（）A．（﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[1，2）D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）2．复数=（）A．B．C．D．3．在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C． 4 D．55．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C．D．6．设变量x，y满足约束条件，则23x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且，则的最大值为（）A．B．C．D．8．设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O 到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（）A．B． 2 C． 3 D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上）9．的展开式中含x5的项的系数为（用数字作答）．10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinC= ，△ABC的面积S= ．11．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上的点，且DF=CF=，AF=2BF，若CE与圆相切，且CE=，则BE= ．12．一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则h= m．13．已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．14．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且时，．则函数y=f （x）﹣cosx在[﹣3π，3π]上的零点个数为．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，F为AA1的中点．（I）求证：AD1⊥平面A1B1E；（II）求证：DF∥平面AB1E；（III）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为45°，求AB的长．17．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．18．已知函数，其中a为正实数，e=2.718…．（I）若是y=f（x）的一个极值点，求a的值；（II）求f（x）的单调区间．19．已知椭圆C：的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求的最大值．20．已知函数f（x）=2ae x+1，g（x）=lnx﹣lna+1﹣ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f （x）的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1∥l2．（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式成立，求实数m的取值范围．（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x0）﹣g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．参考答案与试题解析一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}，则A∩B=（）A．（﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[1，2）D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．解答：解：由x2﹣4x+3≥0，得：x≤1或x≥3．所以B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}={x∈R|x≤1或x≥3}，又A={x∈R|﹣3＜x＜2}，所以A∩B={x∈R|﹣3＜x＜2}∩{x∈R|x≤1或x≥3}={x|﹣3＜x≤1}．故选A．点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2．复数=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用复数的除法运算进行化简．解答：解：．故选B．点评：本题考查了复数的除法运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A．B．C．D．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，直接使用点到直线的距离公式求出结果．解答：解：点的直角坐标为（﹣，），直线：l：即ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标方程为x+y﹣1=0．由点到直线的距离公式得d==，故选B．点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，把极坐标方程化为直角坐标方程是解题的突破口．4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C． 4 D．5考点：程序框图．分析：首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解答：解：按照程序框图依次执行为k=1，S=1；S=2×1﹣1=1，k=2；S=2×1﹣2=0，k=3；S=2×0﹣3=﹣3，k=4；S=2×（﹣3）﹣4=﹣10，k=4≥5，退出循环，输出S=﹣10．故选A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C．D．考点：数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n﹣1求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．解答：解：q=a n﹣a n﹣1=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．点评：本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前n项和公式，考查学生的运算能力，属中档题．6．设变量x，y满足约束条件，则23x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，先设出目标函数z=3x﹣y的取值范围，最后根据指数函数的性质即可得出23x﹣y的取值范围．解答：解：∵变量x，y满足约束条件，设目标函数为：z=3x﹣y，直线4x﹣y+1=0与x+2y﹣2=0交于点A（0，1），直线2x+y﹣4=0与x+2y﹣2=0交于点C（2，0），直线4x﹣y+1=0与2x+y﹣4=0交于点B（，3），分析可知z在点B处取得最小值，z min=3×﹣1=﹣，z在点C处取得最大值，z max=3×2﹣0=6，∴﹣≤3x﹣y≤6，∴≤23x﹣y≤64．故选：C．点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义．7．已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且，则的最大值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则和数量积即可化为关于λ的二次函数，利用二次函数的单调性即可得出最大值．解答：解：如图所示，===﹣+（λ﹣1）+=（λ﹣λ2+1）×1×1×cos60°﹣λ+λ﹣1==，（0≤λ≤1）．当时，则的最大值为．故选D．点评：熟练掌握向量的运算法则和数量积的运算性质、二次函数的单调性是解题的关键．8．设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O 到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（）A．B． 2 C． 3 D．4考点：点到直线的距离公式；三角形的面积公式．专题：计算题．分析：由距离公式可得，面积为S=•=，由基本不等式可得答案．解答：解：由坐标原点O到直线l的距离为，可得=，化简可得，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=，故△AOB的面积S=•=≥=3，当且仅当|m|=|n|=时，取等号，故选C点评：本题考查点到直线的距离公式，涉及基本不等式的应用和三角形的面积，属基础题．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上）9．的展开式中含x5的项的系数为36 （用数字作答）．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：先求出的展开式的通项为T r+1==，然后令9﹣2r=5可求r，代入即可求解解答：解：由题意可得，的展开式的通项为T r+1==令9﹣2r=5可得r=2即展开式中含x5的项的系数为=36故答案为：36点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinC= ，△ABC的面积S= ．考点：正弦定理；三角形的面积公式；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用同角三角函数的基本关系求得sinA，利用正弦定理求得a的值，再由余弦定理求出c，再由正弦定理求得sinC的值．从而求得△ABC的面积S=的值．解答：解：△ABC中，由cosA=，可得sinA=．由正弦定理可得，即，解得a=．再由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即=25+c2﹣10c•，解得c=．再由正弦定理可得，即，解得sinC=．故△ABC的面积S===，故答案为，．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．11．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上的点，且DF=CF=，AF=2BF，若CE与圆相切，且CE=，则BE= ．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题．分析：利用相交弦定理可得BF•AF=DF•FC，解出BF；再利用切割线定理可得CE2=BE•EA，解得BE．解答：解：由相交弦定理得BF•AF=DF•FC，∵，∴，解得BF=1，∴AF=2．∵CE与圆相切，∴由切割线定理可得CE2=BE•EA，∴，∵BE＞0，解得BE=．故答案为．点评：熟练掌握相交弦定理和切割线定理是解题的关键．12．一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则h= 4 m．考点：由三视图求面积、体积．分析：由题可知，图形是一个的底面是直角梯形的四棱柱，利用表面积，求出h即可．解答：解：由题可知，三视图复原的几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，几何体的表面积是：两个底面积与侧面积的和，所以：=92，解得h=4．故答案为：4．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．13．已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得椭圆的焦点，求得双曲线的顶点，从而可得几何量，即可求得双曲线的焦点坐标、渐近线方程．解答：解：∵椭圆的焦点为（±，0）∴双曲线的顶点为（±，0），离心率为，∴a=，，∴c=2，∴b==∴该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．故答案为：．点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，属于基础题．14．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且时，．则函数y=f （x）﹣cosx在[﹣3π，3π]上的零点个数为 6 ．考点：根的存在性及根的个数判断；导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：根据x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且时，，确定函数的单调性，再利用函数的图形，即可得到结论．解答：解：∵x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＜0∴x∈（0，），函数单调增，x∈（，π），函数单调减．∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=cosx和y=f（x）草图如下，由图知y=f（x）﹣cosx在[﹣3π，3π]上的零点个数为6个．故答案为：6．点评：本题考查函数的单调性，考查函数的零点，考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）把x=直接代入函数的解析式，化简求得f（）的值．（II）由cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）．化简函数的解析式为sin（2x+），从而求得f（x）的最小正周期．再由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．解答：解：（I）由函数的解析式可得=+=0+=．…（4分）（II）∵cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）故f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，（k∈z ）}．因为=sinx（cosx﹣sinx）+=sin2x﹣sin2x+=sin2x﹣+=sin2x+cos2x=sin（2x+），所以f（x）的最小正周期为T==π．由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，得kπ+≤x≤kπ+，x≠kπ+，k∈z，所以，f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+），（kπ+，kπ+），k∈z．…（13分）点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，F为AA1的中点．（I）求证：AD1⊥平面A1B1E；（II）求证：DF∥平面AB1E；（III）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为45°，求AB的长．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用长方体的性质可得A1B1⊥AD1．由于侧面四边形ADD1A1为正方形，可得对角线A1D⊥AD1，利用线面垂直的判定定理即可证明；（II）取AB1的中点为N，连接NF．利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理即可得到四边形NEDF为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；（III）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出．解答：（I）证明：在长方体体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵A1B1⊥平面A1ADD1，∴A1B1⊥AD1．∵AA1=AD，∴四边形ADD1A1为正方形，∴A1D⊥AD1，又A1B1∩A1D=A1，∴AD1⊥平面A1B1D．又，∴四边形A1B1CD为平行四边形．又E在CD上，∴AD1⊥平面A1B1E；（II）取AB1的中点为N，连接NF．∵F为AA1的中点，∴，∵E为CD的中点，∴，而，∴，因此四边形NEDF为平行四边形，∴DF∥NE，而NE⊂平面AB1E，DF⊄平面AB1E．∴DF∥平面AB1E．（III）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，设AB=a，则A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E，B1（a，0，1）．则，，．由（I）可知AD1⊥平面A1B1E，∴是平面A1B1E的一个法向量．设平面AB1E的一个法向量为，则，得．令x=1，则，z=﹣a，∴．∴==．因为二面角A﹣B1E﹣A1的大小为45°，∴，解得a=1，即AB的长为1．点评：熟练掌握长方体的性质、正方形的性质、线面垂直的判定定理、三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角解决二面角的方法是解题的关键．17．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）利用小矩形的面积等于频率计算即得结论；（II）利用分层抽样的方法从中选取20名，可知X的可能取值为0、1、2、3，进而计算可得结论．解答：解：（I）∵小矩形的面积等于频率，∴除[35，40）外的频率和为0.70，∴，∴500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500=150（人）；（II）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．故X的可能取值为0，1，2，3，∴，，，，故X的分布列为X 0 1 2 3P∴数学期望E（X）=+1•+2•+3•=．点评：本题考查离散型随机变量的期望，注意解题方法的积累，属于中档题．18．已知函数，其中a为正实数，e=2.718…．（I）若是y=f（x）的一个极值点，求a的值；（II）求f（x）的单调区间．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（I）依题意，由f′（）=0，即可求得a的值；（II）求f′（x）=，令f′（x）=0可求得方程ax2﹣2ax+1=0的根，将f′（x）与f（x）的变化情况列表，可求得f（x）的单调区间．解答：解：f′（x）=．（I）因为x=是函数y=f（x）的一个极值点，所以f′（）=0，因此a﹣a+1=0，解得a=．经检验，当a=时，x=是y=f（x）的一个极值点，故所求a的值为．…（4分）（II）f′（x）=（a＞0），令f′（x）=0得ax2﹣2ax+1=0…①（i）当△=（﹣2a）2﹣4a＞0，即a＞1时，方程①两根为x1==，x2=．此时f′（x）与f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，）（，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘极小值↗所以当a＞1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，），（，+∞）；f（x）的单调递减区间为（，）．（ii）当△=4a2﹣4a≤0时，即0＜a≤1时，ax2﹣2ax+1≥0，即f′（x）≥0，此时f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．所以当0＜a≤1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．…（13分）点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的单调性，求得f′（x）=0之后，将f′（x）与f（x）的变化情况列表是关键，属于中档题．19．已知椭圆C：的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用椭圆的定义和焦距的定义可得2c=2，2a+2c=6．解得a，c，再利用b2=a2﹣c2解出即可；（II）设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．与椭圆的方程联立，得到判别式△＞0及根与系数的关系，由中点坐标公式得到中点M的坐标，利用M，O，P三点共线，得到k OM=k OP，解得k，再利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到|AB|2及d2，利用二次函数的单调性即可得出最值解答：解：（I）由题意得2c=2，2a+2c=6．解得a=2，c=1，又b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合，显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件．故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．①则△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，∴，．所以点M的坐标为．∵M，O，P三点共线，∴k OM=k OP，∴，∵m≠0，∴．此时方程①为3x2﹣3mx+m2﹣3=0，则△=3（12﹣m2）＞0，得．x1+x2=m，．∴|AB|2==，又=，∴==，故当时，的最大值为．点评：熟练掌握椭圆的定义和焦距的定义及b2=a2﹣c2、直线与椭圆相交问题转化为把直线l的方程与椭圆的方程联立得到判别式△＞0及根与系数的关系、中点坐标公式、三点共线得到k OM=k OP、弦长公式和点到直线的距离公式、二次函数的单调性是解题的关键．本题需要较强的计算能力．20．已知函数f（x）=2ae x+1，g（x）=lnx﹣lna+1﹣ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f （x）的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1∥l2．（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式成立，求实数m的取值范围．（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x0）﹣g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；其他不等式的解法．专题：新定义．分析：（Ⅰ）分别求得切点处的导数值，可得方程，进而可得a值，不等式可化为m＜x﹣，令h（x）=x﹣，求导数可得函数h（x）在[1，5]上是减函数，从而可得m＜h（5）即可；（Ⅱ）可得a=，进而可得|f（x）﹣g（x）|=|e x﹣lnx|，通过构造函数q（x）=e x﹣x﹣1，可得e x﹣1＞x …①，构造m（x）=lnx﹣x+1，可得lnx+1＜x…②，由①②得e x﹣1＞lnx+1，即e x﹣lnx＞2，还可得e x＞lnx，综合可得结论．解答：解：（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，2a+1），又f′（x）=2ae x，∴f′（0）=2a，函数y=g（x）的图象与直线y=1的交点为（2a，1），又g′（x）=，g′（2a）=由题意可知，2a=，即a2=又a＞0，所以a=…（3分）不等式可化为m＜x﹣f（x）+即m＜x﹣，令h（x）=x﹣，则h′（x）=1﹣（）e x，∵x＞0，∴≥，又x＞0时，e x＞1，∴（）e x＞1，故h′（x）＜0∴h（x）在（0，+∞）上是减函数即h（x）在[1，5]上是减函数因此，在对任意的x∈[1，5]，不等式成立，只需m＜h（5）=5﹣，所以实数m的取值范围是（﹣∞，5﹣）…（8分）（Ⅱ）证明：y=f（x）和y=g（x）公共定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）可知a=，∴|f（x）﹣g（x）|=|e x﹣lnx|令q（x）=e x﹣x﹣1，则q′（x）=e x﹣1＞0，∴q（x）在（0，+∞）上是增函数故q（x）＞q（0）=0，即e x﹣1＞x …①令m（x）=lnx﹣x+1，则m′（x）=，当x＞1时，m′（x）＜0；当0＜x＜1时，m′（x）＞0，∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②由①②得e x﹣1＞lnx+1，即e x﹣lnx＞2又由①得e x＞x+1＞x由②得lnx＜x﹣1＜x，∴e x＞lnx∴|f（x）﹣g（x）|=e x﹣lnx＞2故函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2…（13分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及切线的方程，涉及新定义，属中档题．。

限时练(四)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设A ＝{x |y ＝3－x }，B {x |4x －x 2＞0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |x ≤0} B ．{x |0＜x ≤3} C ．{x |x ≤4}D ．{x |x ∈R}解析：因为A ＝{x |y ＝3－x }＝{x |3－x ≥0}＝{x |x ≤3}，B ＝{x |4x －x 2＞0}＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤3}．答案：B2．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则下列关于复数z 说法正确的是( ) A ．z ＝－1－i B ．|z |＝2 C ．z ·z －＝2D ．z 2＝2解析：由条件知z ＝2i 1－i ＝2i·（1＋i ）2＝－1＋i ，A 错误；|z |＝2，B 错误；z ·z －＝(－1＋i)·(－1－i)＝2，C 正确；z 2＝(－1＋i)2＝－2i ≠2，D 错误．答案：C3．设a ＝20.9，b ＝323，c ＝log 123，则a ，b ，c 的大小为( )A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c解析：0＜a ＝20.9＜2，c ＝log 123＝－log 23＜0，又b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3233＝9＞8，则b ＞2.故b ＞a ＞c .答案：C4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，点D 为BC 边上一点，且BD →＝2DC →，则AB →·AD →＝( )A.13B.23 C ．1D ．2解析：以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A (0，0)，B (3，0)，C (－1，3)，因为BD →＝2DC →，所以BD →＝23BC →＝23(－4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，233.则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，AB →＝(3，0)．所以AB →·AD →＝3×13＋0×233＝1.答案：C5．(2019·湖南师大联考)下面四个推理，不属于演绎推理的是( )A ．因为函数y ＝sin x (x ∈R)的值域为[－1，1]，所以y ＝sin(2x －1)(x ∈R)的值域也是[－1，1]B ．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C ．在平面中，任意三条不同的直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .在空间几何中，该结论仍然如此D ．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论解析：C 中的推理属于合情推理中的类比推理，A ，B ，D 中的推理都是演绎推理． 答案：C6．(2019·浙江卷)若a ＞0，b ＞0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：因为a ＞0，b ＞0，若a ＋b ≤4， 所以2ab ≤a ＋b ≤4， 所以ab ≤4，此时充分性成立．当a ＞0，b ＞0，ab ≤4时，令a ＝4，b ＝1，则a ＋b ＝5＞4， 这与a ＋b ≤4矛盾，因此必要性不成立．综上所述，当a ＞0，b ＞0时，“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件． 答案：A7．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )A.17532里 B ．1 050里 C.22 57532里 D ．2 100里解析：由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{a n }，其中首项为a 1，公比q ＝12，S 7＝700，则700＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12，解得a 1＝350×128127，那么S 14＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12141－12＝22 57532.答案：C8．(2019·全国卷Ⅰ) 下图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入( )A ．A ＝12＋AB ．A ＝2＋1AC ．A ＝11＋2AD ．A ＝1＋12A解析：对于选项A ，A ＝12＋A.当k ＝1时，A ＝12＋12， 当k ＝2时，A ＝12＋12＋12，故A 正确．经验证选项B ，C ，D 均不符合题意． 答案：A9．已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2－cos ωx (0＜ω＜3)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，若要得到一个偶函数图象，则需将函数f (x )的图象( )A ．向左平移2π3个单位长度B ．向右平移2π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6. 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以π3ω－π6＝k π，则ω＝3k ＋12，k ∈Z.由于0＜ω＜3，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6.当将f (x )图象向右平移2π3个单位，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3－π6的图象， 即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π2＝－2cos x 2为偶函数． 答案：B10．在侧棱长为a 的正三棱锥OABC 中，若小球P 在三棱锥内部，则小球P 最大的半径为( )A.3＋36a B.3－36aC.2－36a D.2＋36a 解析：依题意，小球P 是正三棱锥OABC 的内切球时，球的半径最大． 设内切球的半径为r ，所以OA ＝OB ＝OC ＝a ， 所以AB ＝AC ＝BC ＝2a ，则V OABC ＝13×12a 2·a ＝a36.又V P OAB ＋V P OBC ＋V P OAC ＋V PABC ＝3×13×a 22·r ＋13×34(2a )2r ＝3＋36a 2r ，所以3＋36a 2r ＝a 36，则r ＝a 3＋3＝3－36a .答案：B11．(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②¬p ∨q ③p ∧¬q ④¬p ∧¬q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：法1：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z ＝2x ＋y 是一条平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 的纵截距．显然，直线过点A (2，4)时，z min ＝2×2＋4＝8，即z ＝2x ＋y ≥8.所以2x ＋y ∈[8，＋∞)． 由此得命题p ：∃(x ，y )∈D ， 2x ＋y ≥9正确．命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12不正确．所以①③真，②④假．法2：取x ＝4，y ＝5，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0，且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p 真，q 假．所以①③真，②④假．答案：A12．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，|OP |＝|OF |，其中O 为原点，则双曲线C 的离心率为( )A ．5 B. 5 C.53D.54解析：在直线4x －3y ＋20＝0中，令y ＝0，得x ＝－5，所以c ＝5，取右焦点为F ′，由|OF |＝|OP |＝|OF ′|，可得PF ⊥PF ′.由直线4x －3y ＋20＝0，可得tan ∠F ′FP ＝43，|FF ′|＝10，故|PF |＝6，|PF ′|＝8.所以|PF ′|－|PF |＝2＝2a ，所以a ＝1， 又因为c ＝5，故双曲线C 的离心率e ＝c a＝5. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则实数a ＝________． 解析：由已知得C 25·22＋a ·C 35·23＝20， 解得a ＝－14.答案：－1414．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是________．解析：依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1， 4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ×bc＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1，4c b ＝b c，即b ＝2c ＝23时，4b ＋1c 的最小值为9.答案：915.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，当点P 在线段BC 1上运动，则下列判断中正确的是________(把所有正确判断的序号都填上)．①平面PB 1D ⊥平面ACD 1； ②A 1P ∥平面ACD 1；③异面直线A 1P 与AD 1所成角的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π3；④三棱锥D 1APC 的体积不变．解析：在正方体中，B 1D ⊥平面ACD 1，B 1D ⊂平面PB 1D ，所以平面PB 1D ⊥平面ACD 1，所以①正确．连接A 1B ，A 1C 1，如图，容易证明平面A 1BC 1∥平面ACD 1，又A 1P ⊂平面A 1BC 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，所以②正确．因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1P 与AD 1所成的角就是直线A 1P 与BC 1所成的角，在△A 1BC 1中，易知所求角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，所以③错误．VD 1APC ＝VCAD 1P ，因为点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥D 1APC 的体积不变，所以④正确．答案：①②④16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0，ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围是________．解析：当－7≤x ≤0时，f (x )＝|x ＋1|∈[0，6]．当e －2≤x ≤e 时，f (x )＝ln x 是增函数，f (x )∈[－2，1]， 所以f (x )的值域是[－2，6]． 若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0， 则有－2≤2g (a )≤6.所以－1≤a 2－2a ≤3，解之得－1≤a ≤3. 答案：[－1，3]。

高考小题标准练(四)满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设不等式x2-x≤0的解集为M，函数f(x)=lg(1-|x|)的定义域为N，则M∩N=( )A.(-1，0]B.[0，1)C.(0，1)D.[0，1]【解析】选B.由x2-x≤0，得M={x|0≤x≤1}，因为1-|x|>0，所以N={x|-1<x<1}，所以M∩N=[0，1).2.已知复数z满足z=，则z的共轭复数的虚部为( )A.2B.-2C.-1D.1【解析】选D.由题意知z====-1-i.3.设命题p：∃α0，β0∈R，cos(α0+β0)=cosα0+cosβ0；命题q：∀x，y∈R，且x≠+kπ，y≠+kπ，k∈Z，若x>y，则tanx>tany.则下列命题中真命题是( ) A.p∧q B.p∧(非q)C.(非p)∧qD.(非p)∧(非q)【解析】选B.当α0=，β0=-时，命题p成立，所以命题p为真命题；当x，y不在同一个单调区间内时命题q不成立，命题q为假命题.故p∧(非q)为真命题.4.设数列{a n}满足a1+2a2=3，点P n(n，a n)对任意的n∈N*，都有=(1，2)，则数列{a n}的前n项和S n为( )A.nB.nC.nD.n【解析】选A.因为=-=(n+1，a n+1)-(n，a n)=(1，a n+1-a n)=(1，2)，所以a n+1-a n=2.所以{a n}是公差为2的等差数列.由a1+2a2=3，得a1=-，所以S n=-+n(n-1)×2=n.5.若执行如图所示的程序框图，则输出的k值是( )A.4B.5C.6D.7【解析】选A.由题知n=3，k=0；n=10，k=1；n=5，k=2；n=16，k=3；n=8，k=4，满足判断条件，输出的k=4.6.已知函数f(x)是定义在R上的函数，若函数f(x+2016)为偶函数，且f(x)对任意x1，x2∈[2016，+∞)(x1≠x2)，都有<0，则( )A.f(2019)<f(2014)<f(2017)B.f(2017)<f(2014)<f(2019)C.f(2014)<f(2017)<f(2019)D.f(2019)<f(2017)<f(2014)【解析】选A.由于函数f(x+2016)为偶函数，故函数f(x)的图象关于直线x=2016对称，又因为对任意x1，x2∈[2016，+∞)(x1≠x2)，都有<0，所以函数f(x)在[2016，+∞)上单调递减，所以f(2019)<f(2018)<f(2017)，因为函数f(x)的图象关于直线x=2016对称，所以f(2014)=f(2018)，所以f(2019)<f(2014)<f(2017).7.函数f(x)=x+cosx的大致图象为( )【解析】选B.因为f(x)=x+cosx，所以f(-x)=-x+cos(-x)=-x+cosx，即函数f(x)为非奇非偶函数，从而排除A，C.又当x=π时，f(π)=π-1<π，故排除D.8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.4B.6C.7D.【解析】选D.该几何体的直观图如图中多面体ADCEG-A1D1C1F所示，它是由棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1截去一个三棱台而形成的，结合已知得所求体积V=23-×2×(×1×++×2×1)=.9.已知直线l：x+ay-1=0(a∈R)是圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=( )A.2B.4C.6D.8【解析】选C.由于直线x+ay-1=0是圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x+ay-1=0上，所以2+a-1=0，所以a=-1，所以A(-4，-1).所以|AC|2=36+4=40.又r=2，所以|AB|2=40-4=36.所以|AB|=6.10.已知函数f=x-，g=，对任意x3≥e，存在0<x1<x2<x3，使得f=f(x3)=g，则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.函数f=x-，f′=1-=，当0<x<1时，f′<0，此时函数f单调递减；当x>1时，f′>0，此时函数f单调递增.对任意x3≥e，存在0<x1<x2<x3，使得f=f=g，则m>0.问题转化为当x≥e时，f>g恒成立，即x->，m<x2-lnx，即m<，设h=x2-lnx，h′=2x-，当x≥e时，h′>0恒成立，则函数h在[e，+∞)上单调递增，当x=e时，h有最小值e2-1，故m<e2-1，又m>0，所以0<m<e2-1.11.在焦点分别为F1，F2的双曲线上有一点P，若∠F1PF2=，|PF2|=2|PF1|，则该双曲线的离心率等于( )A.2B.C.3D.【解析】选D.在△F1PF2中，由余弦定理可得cos==，解得|PF1|=c，则|PF2|=c，由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=c-c=2a，即=.12.若数列{a n}对于任意的正整数n满足：a n>0且a n a n+1=n+1，则称数列{a n}为“积增数列”.已知“积增数列”{a n}中，a1=1，数列{+}的前n项和为S n，则对于任意的正整数n，有( )A.S n≤2n2+3B.S n≥n2+4nC.S n≤n2+4nD.S n≥n2+3n【解析】选D.因为a n>0，所以+≥2a n a n+1.因为a n a n+1=n+1，所以{a n a n+1}的前n项和为2+3+4+…+(n+1)==，所以数列{+}的前n项和S n≥2×=(n+3)n=n2+3n.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是________.【解析】抛物线y2=4x的焦点为(1，0)，双曲线x2-=1的渐近线为x±y=0，所以抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是=.答案：14.定义符合条件的有序数对(x，y)为“和谐格点”，则当“和谐格点”的个数为4时，实数a的取值范围是__________.【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当“和谐格点”的个数为4时，它们分别是(0，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，所以a的取值范围是[1，2).答案：[1，2)15.已知△ABC中，AB=3，AC=，点G是△ABC的重心，·=________.【解析】延长AG交BC于点D，则D为BC的中点，·=·=×(+)·(-)=(||2-||2)==-2. 答案：-216.已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)=x2.若在区间[-1，3]内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围为__________. 【解析】依题意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数.g(x)=f(x)-kx-k在区间[-1，3]内有4个零点，即函数y=f(x)与y=k(x+1)的图象在区间[-1，3]内有4个不同的交点.在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象(如图所示)，注意到直线y=k(x+1)恒过点(-1，0)，由题及图象可知，当k∈时，相应的直线与函数y=f(x)在区间[-1，3]内有4个不同的交点，故实数k的取值范围是.答案：。

2020年高考数学（理科）二轮复习模拟卷（四）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2<1}，，则A∩B=()A. ⌀B. {x|x<0}C. {x|−1<x<0}D. {x|0<x<1}2.复数z=(−3−4i)i在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a4+a6=−6，则S9=()A. −27B. 27C. −54D. 544.若向量a⃗=(−2,0),b⃗ =(2,1),c⃗=(x,1)满足条件3a⃗+b⃗ 与c⃗共线，则x的值为()A. −2B. −4C. 2D. 45.已知x,y满足约束条件{y≤1x+y+4≥0x−y≤0，则z=x+2y的最小值是()A. −8B. −6C. −3D. 36.己知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. π6+13B. π12+1 C. π12+13D. π4+137.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦(九韶)、李(冶)、杨(辉)、朱(世杰)四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a,b分别为3,1，则输出的n=()A. 3B. 4C. 5D. 68.在三角形ABC中，a，b，c分别为角，A，B，C的对边，BC边上的高AD满足AD=2BC，则bc +cb的取值范围为()A. [2,3]B. [2,√5+1]C. [2,√172] D. [2,2√2]9.下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sin x0+cos x0<1”的否定是“∀x∈R，sin x+cos x≥1”；②若p∧q是真命题，则﹁p可能是真命题；③“a>5且b>−5”是“a+b>0”的充要条件；④当α<0时，幂函数y=xα在区间(0,+∞)上单调递减。

附：4套“12＋4”限时提速练“12＋4”限时提速练(一)(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)6??|∈x N，B＝{0,1,2,3,4}，则A∩B＝(1．已知N是自然数集，设集合A＝)??1x＋??A．{0,2}B．{0,1,2}DC．{2,3}．{0,2,4}6解析：选B∵∈N，∴x＋1应为6的正约数，∴x＋1＝1或x＋1＝2或x＋1＝31＋x或x＋1＝6，解得x＝0或x＝1或x＝2或x＝5，∴集合A＝{0,1,2,5}，又B＝{0,1,2,3,4}，∴A ∩B＝{0,1,2}．故选B.2．若复数z满足(1＋i)z＝2i，则z＝()A．－1＋i B．－1－iDC．1＋i．1－i，z＝2ii)解析：选C因为(1＋?i?1－2i2ii.＝1＋＝所以z＝?－1＋ii?1＋i??1) 1)b＝(m，m＋，若a∥b，则实数m的值为(，3．设向量a＝(1,2)1 A．1 B．－13 C．－D．－3解析：选A因为a＝(1,2)，b＝(m，m＋1)，a∥b，所以2m＝m＋1，解得m＝1.*)，则m＝N() ＝2.若aaaaa(m∈＝．在等比数列4{a}中，a2，公比q＝411mn32A．11 B．10 D．C．98n，2 }的通项公式为a＝解析：选B由题意可得，数列{a nn4610，所以m2＝10.q又a＝a＝1m22yx5．已知圆C的圆心在坐标轴上，且经过点(6,0)及椭圆＋＝1的两个顶点，则该圆164的标准方程为()2222＝72 6)(y－B ．x2)．A(x－＋＋y＝1688100100????2222＋x－xD. ＋y＝C.＝y＋????3399．2)，C由题意得圆C经过点(0，±解析：选222＋y)＝r，设圆C的标准方程为(x－a2222＝r－a 由a)＋4＝r，，(610082 a＝，＝，r解得938100??22－x所以该圆的标准方程为y＋. ＝??39单(年春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额6.据统计，2018元，)的茎叶图如图所示，其中甲群抢得红包金额的平均数是88位：元)(乙群抢得红包金额的中位数是89元，则m，n的等差中项为6 A．5 B．8DC．7 ．，解析：选B因为甲群抢得红包金额的平均数是8892＋?90＋m?＋8878＋86＋84＋＋95 所以＝88，73.m＝解得9. ＝，所以因为乙群抢得红包金额的中位数是89n93＋n＋m6.＝＝的等差中项为所以m，n22的正方形，正．某几何体的三视图如图所示，俯视图是一个圆，其内有一个边长为27视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，它们的底边长和圆的直径相等，它们的内接矩形的长和圆内正方形的对角线长相等，宽和正方形的边长相等，则俯视图中圆的半径是)(2 A．2 B．213C．＋D.2 ，因为正方形的边长为2选解析：D所以正方形的对角线长为2，R，设俯视图中圆的半径为1.＋如图，可得R2＝．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十8，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a)(81 B．A．12149DC．74．a＝16；S＝9，n＝3，，解析：选B第一次循环：S＝1n＝2，a＝8；第二次循环：；＝32＝49，n＝5，a＝第三次循环：S＝25，n＝4，a24；第四次循环：S81. 的值为，退出循环，输出S，a＝40，不满足a≤32第五次循环：S＝81，n＝6π)af(0，|θ|≤的部分图象如图所示，且9.函数f(x)＝Asin(2x＋θ)A＞2，＝3f(x＋x)，有，b]，若f(x)＝f(x)a＝f(b)＝0，对不同的x，x∈[211212)(则π5π??，－在x)上是减函数A．f(??1212π5π??，－在) B．f(x上是增函数??12125ππ??，(x)在上是减函数C．f??635ππ??，(x)在上是增函数D．f??63，＝＝f(0)3(0＋m)＝f(m)f[，设m∈a，b]，且f(0)＝f(m)，则由题图知解析：选B A＝2ππππππ3??＋x22sin)＝f(x＝|≤，∴θ，∴2，令－＋2k∴2sin θsin ＝3，θπ＝≤x＋≤，又|θ??32232235ππ＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递增，所以选项B正确．121210.已知正四棱柱ABCD-ABCD的体积为36，点E，F分别为棱BB，CC上的点(异111111于端点)，且EF∥BC，则四棱锥A-AEFD的体积为()1A．2 B．4DC．6．12解析：选D连接AF，易知四棱锥A-AEFD的体积为三棱锥F-AAD和三棱锥F-AAE1111112的体积之和．设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则V＝××a×h×a＝ah，V263AEADF-AAF-111111222h＝36，所以四棱锥aa的体积为-Aa＝×××＝×ahah，所以四棱锥AEFDh，又13623．A-AEFD的体积为12.12x的图象大致是(x)e)＝(2x)＋3．函数11f(x3解析：选A由f(x)的解析式知，f(x)只有两个零点x＝－与x＝0，排除B、D；22x，由f′(x)＝0知函数有两个极值点，排除C，故选A. f′(x)＝(2x＋＋7x3)e又12＋ax－1(a)x＝ax＞0)的图象有且只有一个公共点，f(x)＝ln x＋x与g(12．已知函数2则a所在的区间为() 122????，，1 B. A.????33233????，21，D.C. ????2212－ax＋1x－ax，－g(x)＝ln x＋)解析：选D设T(x＝f(x)2由题意知，当x＞0时，T(x)有且仅有1个零点．x＋1111??a－＝(x＋1)·T′(x)＝＋1－ax－a＝－a(x＋1)＝(x＋1)··(1－ax)．??xxxx因为a＞0，x＞0，1??，0在)T(x所以上单调递增，??a1??，＋∞上单调递减，如图，在??a当x→0时，T(x)→－∞，x→＋∞时，T(x)→－∞，1111??＝0，即ln ＋－－1所以T＋1＝0，??aaaa211所以ln＋＝0.aa211因为y＝ln ＋在x＞0上单调递减，xx211所以ln ＋＝0在a＞0上最多有1个零点．aa2111当a＝时，ln＋>0，aa22111当a＝1时，ln ＋＝＞0，aa22311当a＝时，ln＋＜0，aa22．11当a＝2时，ln ＋＜0，aa23??，1∈a. 所以??2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)2＋axx13．若函数f(x)＝是奇函数，则常数a＝______.3x解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则由f(x)＋f(－x)＝0，22－xxax＋ax得＋＝0，33xx－即ax＝0，则a＝0.答案：0，≤－1x???，0＋25≥53x－y则目标函数14．已知x，y满足约束条件z＝3x＋y的最大值为??，≥0x＋4y－3 ．________ 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，解析：，平移该直线，作出直线3x＋y＝0当直线经过点A时，z取得最大值．，1x＝－??联立?，＝0－5y＋253x??，＝－1x??722.＝(－解得1)所以z＝3×22max55，＝y??57 答案：52x2轴上，x1有相同渐近线，焦点位于xOy中，与双曲线－y＝15．在平面直角坐标系 3 ________的双曲线的标准方程为．且焦点到渐近线距离为222xx22，y＝λ1解析：与双曲线－y＝有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为－33 2，，又焦点到渐近线的距离为x轴上，故λ＞0因为双曲线焦点在22yx1. ＝，所求方程为－＝所以λ441222yx1＝答案：－412．2，若＝AB＝2，AC＝8，sin∠ACB．如图所示，在△16ABC中，∠ABC为锐角，6BAEsin∠24________. ＝，则，S＝BE＝2DE ADE△3DAEsin∠2 ＝2，AC＝8，sin∠，ACBABC解析：因为在△中，AB＝6ACAB ，由正弦定理得＝ABCsinsin∠∠ACB22.＝∠所以sinABC31.ABC＝又∠ABC为锐角，所以cos∠ 3. 2SDE，所以S＝因为BE＝2ADEABE△△242. 4S，所以又因为S＝＝ABDADE△△316.，所以BD＝AB×BD××sin∠ABC因为S＝ABD△22222. 4，可得ADBD×cos∠由余弦定理AD ＝＝AB＋BDABD－2AB×1 ∠BAE，×AB×AE×sin因为S＝ABE△21 DAE，∠AD×AE×sinS ＝×DAE△2BAEsin∠AD42.＝＝所以2×ABDAE∠sin答案：42“12＋4”限时提速练(二)(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)a＋1为纯虚数，则实数a＝(1．若复数z＝) 1＋i B．－1 A．－2C．1D．2?1－i?aaaa解析：＋＋1＝1＝＋选A因为复数z i1－为纯虚数，＝22?i1＋?1??i－i1＋aa所以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－2.故选A.22．1???x2＜≤2 xA＝＝() 2．设集合，B＝{x|ln x≤0}，则A∩B???2??1??，01,0) －B ．A.[ ??21??1，1,1]C.．[－D??211x＜2，∴－12≤x＜，解析：选A∵≤221??|－1≤x ＜x.∴A＝??2??∵ln x≤0，∴0＜x≤1，∴B＝{x|0＜x≤1}，1??|0＜x＜x.∩B＝∴A??2??x(x＜0)，其值域为D，在区间(2－1,2)上随机取一个数x，则x∈D3．已知函数f(x)＝的概率是()11 B.A. 3221 C. D. 34x是R上的增函数，＝2 解析：选B因为函数y所以函数f(x)的值域是(0,1)，1－01＝＝.由几何概型的概率公式得，所求概率P3?1?2－－4．已知B是以线段AC为直径的圆上的一点(异于点A，C)，其中|AB|＝2，则―→―→AC·AB＝()A．1 B．2D．4C．3解析：选D连接BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，―→―→―→―→―→―→∴AB⊥BC，AC在AB上的投影|AC|cos〈AC，AB〉＝|AB|＝2，―→―→―→―→―→―→∴AC·AB＝|AC||AB|cos〈AC，AB〉＝4.，≤xy???，1＋y≤x则z＝2x．已知，y满足约束条件x＋y的最大值为()5??，1y≥－3 ．－A3 B. 24C．3 ．D解析：选C作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，，＝2y＝1，xx＋????所以取得最大值．由得＝2x＋y平移该直线，当直线过点B时，z??，＝－1y ＝－1，y????B(2，－1)，故z＝2×2－1＝3.max6．执行如图所示的程序框图，若输出的s＝25，则判断框中可填入的条件是()A．i≤4? B．i≥4?≤5?D．i≥5?C．i解析：选C执行程序框图，i＝1，s＝100－5＝95；i＝2，s＝95－10＝85；i＝3，s＝85－15＝70；i＝4，s＝70－20＝50；i＝5，s＝50－25＝25；i＝6，退出循环．此时输出的s＝25.结合选项知，选C.π????＋x＋x2siny将函数＝个单位长度，所得图象对应7．的图象向左平移φ(φ＞cos0) ????33的函数为奇函数，则φ的最小值为()ππ B.A. 612ππ D. C.342π??＋2xsin＝根据题意可得yy解析：选Bφ，将其图象向左平移个单位长度，可得??32π2π??φ22x＋＋因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以＋2φ＝kπ(k∈Z)，sin 的图象，＝??33πππkφ＝－(k∈Z)，又φ＞0，所以当k＝1时，φ取得最小值，且φ＝，故选B.min236中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》8“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂，减上，余四222b－c＋a1????222，－＝c约之，为实．一为从隅，开平方，得积．”即△ABC的面积Sa????42，并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十cb>，c，且a>其中△ABC的三边分别为a，b三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的)(面积为平方里．83平方里BA．82 ．84平方里平方里．85DC里，代入三角形1314里、由题意知三角形沙田的三边长分别为15里、解析：选C22213＋15－141????222×＝13×15－＝84(的面积公式可得三角形沙田的面积S平方????42C.)．故选里，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何19．如图，网格纸上小正方形的边长为)体的表面积为(A．5π＋18 B．6π＋18D．10π＋C．8π＋66解析：选C由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体11122＋2×3＋×2π×1×2××π×13＝8π＋×的表面积为2×4π×16.＋22210．已知f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x －1)≤f(2x)的解集为()21????，－－1，1B. A.????331??，1 D.．C[－1,1]??3解析：选B∵函数f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，∴－2b＋1＋b＝0，∴b＝1，函数f(x)的定义域为[－2,2]，上单调递减，[0,2]在)x(f上单调递增，∴函数2,0]－[在)x(f又函数．，－1≤2≤－2x??1?，2x≤－2≤2.≤解得－1(2x)，∴f(|x－1|)≤f(|2x|)，∴≤xf∵f(x－1)≤3??，||2x|x－1|≥41的最小值是＝81，则＋a＋2aa＋aa11．在各项均为正数的等比数列{a}中，a1291n5114aa86) (79 B．A. 33D．1．C 为等比数列，解析：选C因为{a}n222 aa＋a＝(a＋a)81，＝＋所以aa2aa＋aa＝a2＋84611211685896＝9，a}的各项均为正数，所以a＋a又因为等比数列{8n641aa411411aa4????6868＋1a＋a)，＝5＋＋≥＝＋所以＝(×5＋2??86??aa99aaa9aaa86866886aa468 6时等号成立，3，a＝＝＝，a＋a＝9，即a当且仅当8686aa86411.＋的最小值是所以aa8612上，1C在直线y＝－x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点12．过抛物线y＝4) ABC为正三角形，则其边长为(若△12 ．11 BA．14C．13． D ，由题意可知，焦点F(0,1)解析：选B，k≠0)的直线的斜率存在且不为零，则设该直线方程为y＝kx＋1(易知过焦点F1?2?，xy＝42? 0，－4kx－联立4消去y，得x＝??，＋1y＝kx ＝－xx4，)y，∴x＋x＝4k，)设A(x，y，B(x，211221122 k，＋1)的中点为M，则M(2k,2设线段AB22] x－4?[x＋x?|AB|＝1＋k??x2211222 )．＝4(1＋1＋kk??16k＋16??＝MC，m，－1)，连接设C( 为等边三角形，ABC∵△222k＋13＝||1kxy1)mCkk＝，＝－＝∴km2＋4，点(，－到直线＝＋的距离MC MC km－k2．2||km＋3 ，AB||＝22k1＋2||km＋32，4(1＋k)＝×∴22k1＋242＋＋42kk2 )3(1＋k，即＝221＋k解得k＝±2，2)＝12.4(1＋k∴|AB|＝二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝2x＋1，则f(1)＋f′(1)＝________. 解析：因为f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋1，所以f′(1)＝2，又因为点M(1，f(1))也在直线y＝2x＋1上，所以f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(1)＋f′(1)＝3＋2＝5.答案：514．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．解析：若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．答案：乙22yx15．已知F为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端22ab―→―→点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若AB＝3FA，则此双曲线的离心率为________．解析：由F(－c,0)，A(0，b)，b得直线AF的方程为y＝x＋b.cb根据题意知，直线AF与渐近线y＝相交，x ab?，＋by＝x cbc?. y＝联立得消去x得，B ac－b?，y＝x a→―→―b，由AB＝3FA，得y＝4B bc a所以，＝4b，化简得3c＝4a－c4.＝所以离心率e34答案：3的正三棱柱的侧棱上，则该直角216．一个直角三角形的三个顶点分别在底面边长为．三角形斜边的最小值为________为斜边．解析：记该直角三角形为△ABC，且AC 与正三棱柱的一个顶点重合，法一：如图，不妨令点A 取AC的中点O，连接BO，1 ∴B＝AC， 2 BO取得最小值，即点B到平面ADEF 的距离．∴AC取得最小值即∵△AHD是边长为2的正三角形，的距离为3到平面ADEF，∴点B3.∴AC的最小值为2 与正三棱柱的一个顶点重合，法二：如图，不妨令点A(n≥0)，n设BH＝m(m≥0)，CD＝222222. ＋n－m)4，ACAB∴n＝4＋mBC，＝＝4＋( 的斜边，△ABC∵AC为Rt222∴ABBC＋，＝AC222＝4＋n，4即＋mn＋4＋(－m)2＋2＝0，∴mnm－22＋m2 ，m＋≠∴m0，n＝＝mm22??22＋m＋4 ＝，即m＝2时等号成立，∴AC＝m1284≥＋＝，当且仅当??mm3. 的最小值为2AC3AC∴≥2，故23答案：) 12＋4”限时提速练(三“)(满分80分，限时45分钟) 12小题，每小题5分，共60分一、选择题(本大题共2i) (，则∈R，复数a＋bi＝a＋b＝1．已知a，b i1－1 B．A2．2D．－C．0?i2i2i?1＋i??1＋2i i解析：选C因为a＋b＝，＝＝＝－1＋i2?1＋iii?1－1－??0.b＝＝－1，b＝1，a＋所以a) B＝A，则a的取值范围是(B＜x＜2}，＝{x|x<a}，若A∩{2．设集合A＝x|11] －∞，2] B．(－∞，A．()C．[1，＋∞)D．[2，＋∞2. a≥a}，所以x{|1<x<2}，B＝{x|x<，可得D解析：选由A∩B＝AA?B，又A＝5π5π??cos sin ，．若点) 3(在角α的终边上，则sin α＝??6613 B. A. 2213．－．－C D22πππ5ππ5π1????－ππ－sin 因为解析：选＝－cos ＝C＝sin＝＝＝sin ，cos cos ????66666623 －，21????313??22＝1r的终边上，所以点在角α且该点到角α顶点的距离，＝＋－，－??????22223. ＝－αsin 所以24．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图．)根据该统计图判断，下列结论正确的是(A．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱月的方差小于11月的方差C．从该关键词的搜索指数来看，2017年10 1月的平均值．从该关键词的搜索指数来看，D2017年12月的平均值大于2018年由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，D解析：选；BA排除；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，排除2017月的波动较小，所以由统计图可知，2017年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月该关键词的搜索指月的方差，排除10月的方差大于11C；由统计图可知，2017年12年10 ，该月平均值大于10 000，2018年1月该关键词的搜索指数大多低于10 000数大多高于D.10 000，故选000，该月平均值小于．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，5)的等边三角形，则该几何体的体积等于(侧视图是边长为223 B A.333C.．2由三视图知，该几何体是一个四棱锥，记为四棱解析：选D是边长分别ABCD3，底面锥P＝-ABCD，如图，该四棱锥的高h1132×＝V所以该四棱锥的体积＝S×h×3为2，的矩形，ABCD四边形33D.2.故选×3＝)S＝1，则输出的＝(b1a6．在如图所示的程序框图中，如果输入＝，20．B 7．A．54D．C．22，2＝3；k＝，0，k＝0，k≤4，S＝2a＝2，b，解析：选B执行程序，a＝1，b＝1S＝，退出46，不满足k≤≤4，S＝20，a＝13，b＝21；k＝，，k≤4S＝7，a＝5，b＝8；k＝4k20.＝循环．则输出的S22，°若∠ACB：x＝＋(y－3)120＝6相交于A，Bl7．已知直线：y两点，＝3x＋m与圆C)的值为(则实数m6 2－263或＋6或33－6 B．3＋A．23D．8或－C．9或－，CD，半径为6，取AB的中点为D解析：选A由题知圆C的圆心为C(0,3)，连接6，由点到直线的距离公＝60°，所以|CDAB，在△ACD中，|AC||＝6，∠ACD＝则CD⊥2||－3＋m66. ＝3±，解得m＝式得221＋3??8．若直线x＝aπ(0＜a＜1)与函数y＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x≥2a的解集为()ππ???Z k∈kπ＋，πk＋≤x＜x A.???26??ππ???Z k∈x＜kπ＋，kπ＋≤x B.???24??ππ???Z∈kπ＋，kxkπ＋≤＜xC.???23??ππ???Zπ＋，k∈≤kπ－x≤kx D.???44??解析：选B由正切函数的图象知，直线x＝aπ(0<a<1)与函数y＝tan x的图象没有公ππ??1?Z k∈，x＜kπ＋kπ＋≤. 1，即tan x≥，其解集是x≥共点时，a＝，所以tan x2a???242??11＋，则b＝log a＝项和，若a＝2且S2S，设为数列9．已知S{a}的前nnnn11nnn2＋bbbb32211)＋…＋的值是(bb2 0182 0174 0354 033A.B. 2 0182 0172 0172016C.D.2 0182 017解析：选B由S＝2S可知，数列{S}是首项为S＝a＝2，公比为2的等比数列，1nn1n1＋n.2S＝所以nnn1n1－－，S－＝a2n当≥时，S2＝2－2＝1nnn－，11，n＝??＝b＝loga所以?n2n2.1，n≥n－??1111 ，当n≥2时，＝＝－n1nnbb－?n－1?1nn＋111 ＋＋＋…所以bbbbbb2 0182322 017111111 －＋…＋＝1＋1－＋－ 2 0172 0162234 0331.＝＝2－ 2 0172 0172，x＜1－4x＋a，x??的取值范则实数a(x)＝2有两个解，若方程10．已知函数f(x)＝f?，≥1ln x＋1，x??)(围是2] ．(－∞，(－∞，2) BA．5]．C．(－∞，5)(－∞，D有两个解知，＝2由方程f(x)＋时，由ln x1＝2，得x＝e.解析：选C法一：当x≥1222)(x－6，则2＝(x－2)g＋(x＋a＝2有唯一解．令gx)＝xa－4x＋a－当x＜1时，方程x4－有唯一解，x)＝01)上单调递减，所以当x＜1时，g(，在(－∞C.，故选，得a＜5则g(1)＜0的图象上下平移，作出函数1))(x＜f随着a的变化引起y＝(x法二：f(x)＝2有两个解，则y＝f(x)的大致图象如图所示，由图象知，要使<5.a－3<2，得a22yx交于l与椭圆Eb>0)的左焦点，经过原点O的直线a11．已知F是椭圆＝1(2 ba)，则椭圆E的离心率为(°＝2|Q F|，且∠PF Q＝120，P Q两点，若|PF|11 B.A. 2323 D.C.23解析：选C设F是椭圆E的右焦点，如图，连接PF，Q F.根111据对称性，线段FF与线段P Q在点O处互相平分，所以四边形PF Q F11是平行四边形，|F Q|＝|PF|，∠FPF＝180°－∠PF Q＝60°，根据椭圆11的定义得|PF|＋|PF|＝2a，又|PF|＝2|Q F|，124所以|PF|＝a，|PF|＝a，而|FF|＝2c，在△FPF中，11133．242c412????222aa 由余弦定理，得(2c)＝，，化简得＋＝－2×a×a×cos 60°2????333a33c3.＝＝所以椭圆E的离心率e a3x e的取k)的唯一极值点，则实数x＝2是函数f(xln 12．已知函数f(x)＝＋2kx－kx，若2x)(值范围是2ee????－∞，－∞，B.A. ????24)D．[2C．(0,2] ，＋∞2xx?ex?x－2?k?2－??x－2??ekx－，选解析：A f′(x)＝＋＝(x＞0)33xxx2x．x＞或e0)＝kx(＝令f′(x)＝0，得x22x2x 0)≤kx恒成立，(的唯一极值点知ex ≥kx0)(x＞恒成立或e＞＝由x2是函数f(x)2xx2 (x＞e(x＞0)的图象可知，只能是恒成立．≥kx0)e 由y＝＝(x＞0)和ykx x e2x.≤＞当x0时，由e≥kx，得k2x x e.g)(xg(x)＝，则k≤设2min x x?2xe－?)(x＜x＜2时，g′0时，g′(x)＞，g(x)单调递增，当02′由g(x)＝，得当x＞3x )单调递减，＜0，g(x22ee.≤＝g(2)＝，所以k所以g(x)min44)分4小题，每小题5分，共20二、填空题(本大题共________. ＝，则|bb，|2a＋||＝22a，13．已知向量ab满足a⊥b，||＝1 ，＝22＋解析：法一：因为|2ab|228. ＋b＝4a·＋4ab所以0.＝a·b因为a⊥b，所以22. |＝＝8，所以|b4＝1，所以×1＋4×0＋b|又|a→→――→―ba＋，＝，OB b，OC＝22法二：如图，作出OA＝a，＝22＋1|，因为a|＝，|2ab|OBOA ba因为⊥，所以⊥→――→，22＝|OC|，2＝|OA|所以．→―2.＝＝|b|所以|OB|轴的正方向y的方向分别为x轴，⊥法三：因为ab，所以以O为坐标原点，以a，b，b＝(2(0，y)(y＞0)，则2a＋＝)建立平面直角坐标系(图略，因为|a|＝1，所以a＝(1,0)，设b22.b|y4＋＝＝8，解得y＝2，所以y)，因为|2a＋b|＝|22，所以2答案：，≥0x＋3???，0－xy＋4≥________．则14．已知变量x，y满足约束条件z＝x＋3y的最大值为??，2x＋y－4≤0作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作解析：时，目标4)＋3y＝0，并平移该直线，当直线经过点A(0，出直线x12.＝函数z＝x＋3y取得最大值，且z max12答案：a1，且，若cos C＝，c＝3ABC15．在△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c A4cosb ＝，则△ABC的面积等于________．BcosBAsin absin ，即＝BB，所以A，即解析：由＝及正弦定理，得＝tan A＝tanBAcos cos Acos Bcos1222＝，又＝Ccsin ，得a＝bC＝＝a＝b.由cos C且c＝3，结合余弦定理a＋b6－2abcos 41515132. ＝sin CS，所以△ABC的面积1－cos＝Cab＝424153 答案：4AB分别为PA，，AB＝4，CD ⊥16．如图，等腰三角形PAB所在平面为α，PAPB，所在分成两部分，把点P将△内经过点G 的直线lPAB为的中点，GCD的中点．平面α恰好HP′在平面α内的射影平面P′(P′?α)．若点P的部分沿直线l翻折，使点到达点的长度的取值范围是________．H在翻折前的线段AB 上，则线段P′，4⊥PB，AB＝PAB解析：在等腰三角形中，∵PA2.2＝PA＝PB∴AB的中点，PAC∵，D分别为，.CD⊥PC且2＝CD＝PC∴．G，连接PG，P′10. ＝CD的中点，∴PG＝P′G∵G为2 恰好在翻折前的线段AB上，P′在平面α内的射影H连接HG，∵点10. ＝，∴HG＜P′G⊥∴P′H⊥平面α，∴P′HHG21 易知点G到线段AB的距离为，21011.HG≥，∴≤HG＜∴222??1022，又P′H－＝HG??23∴0＜P′H≤.23??，0答案：??2“12＋4”限时提速练(四)(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)2＋i的共轭复数对应的点在复平面内位于(＝) 1．复数z1－i B．第二象限A．第一象限C ．第三象限D．第四象限3ii?＋12＋i?2＋i??1＋131解析：选D＝＋zi，则复数的共轭复数为z＝－复数z＝＝＝2222???1i＋i1－i?1－133??，－的共轭复数对应的点的坐标是z i，所以复数，该点位于第四象限．??2222??|2{}x－＝1y|y1≥x，则＝M∩N＝(2．已知集合M＝)，N??x??A．(－∞，2] B．(0,1]DC．[0,1]．(0,2]2x－2 0，≥解析：选B由1得≤xx 2，则M；x≤2}＝{x|0<≤解得0<x2，(－∞，1]1函数y＝－x的值域是则N＝{y|y≤1}，因此M∩N＝{x|0<x≤1}＝(0,1]．3．设等差数列{a}的前n项和为S，且a＋a＋a＝24，则S)(＝131272nn78 ．A．52 B208．DC．104?a13?a＋131＝＝24，a＝8，Sa＝13＝104，选C. 解析：选C依题意得3a137772 )＝＝f(x)，当x∈[－2,0]时，f(x是定义在4．已知f(x)R上的偶函数，且满足f(x＋4)x) f(4)等于2－(，则f(1)＋33 B ．－ A.221D．C．－14的周期函数，x)是周期为f(x＋4)＝f(x)知f(解析：选B由，(－1)f(4)＝f(0)＝－1，f(1)＝f R又f(x)是定义在上的偶函数，故3111－.f(4)2＝－＝－，所以f(1)＝－，f(1)＋，所以又－1∈[－2,0]f(－1)＝－222→―→―) ，D(3,4)，则向量CD在AB方向上的投影是((5．已知点A－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)2323 ．－A.B2253 C．35D．－→――→―→―→―→，AB|＝(2,1)·(5,5)＝15，|5＝解析：选C依题意得，AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，AB·CD→――→CD·AB15→――→5. ＝方向上的投影是＝3因此向量CD在AB →―5|AB|6．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是()(注：下表为随机数表的第8行和第9行)63016378591695556719981050?第8行?717512867358074439523879? 33211234297864560782524207?第9行?443815510013429966027954?B．25 A．07C．42 D．52解析：选D依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52.x2≤y满足)y，x(的坐标P则点，P内随机投入一点2}≤y≤1,1≤x≤)|0y，x{(在平面区域．7．)的概率为(23 B.A. 3411 D. C. 42作出不等式表示的平面区域如图所示，D解析：选111××221.＝＝x)故所求概率P(y≤241×1，则其外接球的表面438．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2，，2)(积为32πA．48πB．12π20 πD．C．可将题中的三棱锥补形成一R，解析：选B依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为12222.＝＋432＝22，因此三棱锥外接球的表面积为4π个长方体，则R＝2R＋?23?π222xy的，PBA，B在双曲线－＝1上，直线AB过坐标原点，且直线PA，9．已知点P22ab1) 斜率之积为，则双曲线的离心率为(31523 A. B.3310 ．2D.C2，)，y(Ax，y)，P(x解析：选A根据双曲线的对称性可知点A，B关于原点对称，设211?11，1－＝22ba2222222 y－x x－y yy－b?221121，两式相减得＝，即＝－(则B 222x y－x，y)，所以22222 1122baa －x x yx2122?，－1＝22ba222yy－y－yy－－yb1121 2 2 1 1，＝＝·，PB的斜率之积为，所以k·k＝＝因为直线PA222PBPA33a x－x x－x－xx－21 2 1 1 22b312. ＋所以双曲线的离心率为e ＝＝＋1＝123a3ππ??|<|φ)x＋φsin(2个单位长度后的图象关于原点对的图象向左平移10．将函数f(x)＝??26π??，0在)x) 称，则函数f(上的最小值为(??213 A.B. 2231C．－．－ D 22．ππ??????φ＋x＋2x＋2是奇函数，则解析：选D依题意得，函数＋φy＝sin＝sin ??????63ππππππ??????，02x－φ＋sin.当|<＝0，又|φ，因此＋φ＝0，φ＝－，所以f(x)＝sinx∈时，??????233332πππππ2π??3????????，2x－0－，2x－∈x 上－)＝sin在∈2(，所以fx＝，所以f(x)sin1－，??????????33233323. 的最小值为－2．某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正11) (方形，则其俯视图中椭圆的离心率为21. B.A4232 D. C. 22，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a选C 依题意得，解析：2、2aa因此其俯视图中椭圆的长轴长为、母线长为a则斜边长为2a，，圆锥的底面半径为2a2??2. ＝1－a，其离心率e＝短轴长为??2a23) x)]＝1的实根的个数是((x)＝xf－3x，则方程f[(12．已知函数f7 B．A．93D．5C．，＋1)(x－1)fA依题意得′(x)＝3(x解析：选；′(x)>0x当<－1或x>1时，f)<0.f′(xx当－1<<1时，－1,1)上单调递减，且f((1，＋∞)上单调递增，在(－∞所以函数f(x)在区间(－，－1)，0.(0)＝f，f(±3)＝＝1)f(1)(2)＝2，f＝－2，结合图象可知，它们)图略x)的图象(与函数在平面直角坐标系内画出直线y＝1y＝f( 共有三个不同的交点，x，x，x记这三个交点的横坐标由小到大依次为，312则－3<x<－1<x<0，3<x<2.321再画出直线y＝x，y＝x，y＝x，结合图象可知，直线y＝x，y＝x，y＝xy与函数321321．，且这些交点的横坐标各不相同，x)的图象的交点个数均为3＝f(9.)]x＝1的实根个数是所以方程f[f()5分，共20分二、填空题(本大题共4小题，每小题x________. (log9)2R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝＝，则f．已知13f(x)是定义在4xx－是定义)，故f(－x＝2)，又因为f(x解析：因为当x<0时，f()＝2x，令x>0，则－x<0x－3)3>09＝log，所以f(log9)＝f>0在R上的奇函数，所以当x时，f(x)＝－2(log，又因为log244211.＝－＝－2－log3＝－2log22331 答案：－3ππ????α－0，∈α，则sin 2α＝，cos________. 14．若＝α22cos 2????422 )，sin α)·(cos α＋解析：sin 由已知得)(cos α＋sin αα＝22(cos α－21 ，0或cos α－sin α＝所以cos α＋sin α＝ 4 tan ＝0得α＝－1，由cos α＋sin απ??，0∈因为α0不满足条件；α，所以cos α＋sin ＝??21 α＝，－sin α由cos 4151. ＝sin 2α两边平方得1－sin 2α＝，所以161615 答案：162为半径的FA|F15．已知点A是抛物线y＝2px(p>0)上一点，为其焦点，以F为圆心，|128，则抛物线的方程为ABC圆交准线于B，C两点，若△FBC为正三角形，且△的面积为 3________．p2到准线的距则由抛物线的定义知点|，＝A解析：如图，可得|BF3pp22p21281128，8×＝，解得p＝离也为又△，ABC的面积为，所以×3323332. 16故抛物线的方程为yx＝2x 16答案：y＝2222＋b－a＋b，a＝＝ab，＋＋ba＝＋中，}{}a．在数列16{和baab1，b11n1nnnnnnnnnnn1＋＋11 ．项和为________{c＝＋，则数列c}的前2 018＝1.设nn ba nn2222a＝＋b2(－a＋b，得a ＋b＋ab＋b，b＝a＋a＝解析：由已知a nnnnn1nnnnnn11nn1＋＋＋＋ba＋1nn1＋＋＋b)，所以＝2，n ba ＋nnn，a＋b＝2{所以数列a＋b}是首项为2，公比为2的等比数列，即nnnn ba1nn1＋＋2222－a＋b相乘，得＋＋b，b＝a＋将a＝abb＋a＝2，nnnn1n1nnnnn＋＋ba nn所以数列{ab}是首项为1，公比为2的等比数列，nn11n1－，因为c＝＋，所以ab＝2nnn ba nnn b＋a2nn所以c＝＝＝2，1nn－ba2nn数列{c}的前2 018项和为2×2 018＝4 036. n答案：4 036。

高考二轮复习限时训练（四）（时间：60分钟）班级 姓名 得分一． 填空题(每小题5分共60分，请将答案直填入答题纸中的相应空档内) 1.设集合A={x | y=ln （1－x ）}，集合B={y | y=x 2}，则A ∩B = .2.函数)3(log 5.0x y -=的定义域是___ _ ___.3.方程x x 28lg -=的根Z k k k x ∈+∈),1,(，则=k .4.为了得到函数y =2sin(63π+x ),x ∈R 的图像，只需把函数y =2sin x , x ∈R 的图像上所有的点_________________________ ___________________________.5. 在△ABC 中,已知120,3,5A b c === ,则sin sin B C +的值为 ．6.设数列{}n a 的首项127,5a a =-=，且满足22()n n a a n N ++=+∈，则13518a a a a ++++ =______ ______.7.已知tan()3πα-=则 22sin cos 3cos 2sin αααα=- . 8.给出四个命题，则其中正确命题的序号为_____ _____. ①存在一个△ABC ，使得sin A +cos A =－1; ②△ABC 中,A ＞B 的充要条件为sin A ＞sin B ; ③直线x =8π是函数y =sin(2x +45π)图象的一条对称轴；④△ABC 中，若sin2A =sin2B ,则△ABC 一定是等腰三角形.9.已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是___ _____.10.一蜘蛛沿正北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105︒，爬行10cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135︒爬行回它的出发点，那么x =___ __.11.已知]4,1[,2log )(2∈+=x x x f ，则函数3)()]([)(22++=x f x f x F 的最大值为__12.若数列}{n a 满足12 (01),1 (1).n n n n n a a a a a +≤≤⎧=⎨->⎩且167a =,则2008a =_____ _____.二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共30分）13（15分）.设命题p ：函数3()()2x f x a R =-是上的减函数，命题q ：函数2()43[0,]f x x x a =-+在上的值域为[1,3],""p q -若且为假命题，""p q 或为真命题，求a 的取值范围14（15分）．已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<<>>++=20,00,A 1cos 2πϕωϕωx A x f 的最大值为3，()x f 的图像的相邻两对称轴间的距离为2，在Y 轴上的截距为2.（Ⅰ）求函数()x f 的解析式；（Ⅱ）设数列()n n S n f a ,=为其前n 项和，求100S .高考二轮复习限时训练（四）参考答案 1.)1,0[； 2.)3,2[； 3．(3,4)x ∈；4.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 5.6.126；9. 0＜C ≤π6 ； 11.16 ； 12.5713解：33501222a a <-<<<得...(3分） 2()(2)1,[0,]24,...(10),2 4 (14)f x x a a a a a =--≤≤∴<<≤≤<<≤≤ 在上的值域为[-1,3]得2a 4...(6分)p 且q 为假,p 或q 为真,得p,q 中一真一假...(8分)3若p 真q 假得,2535若p 假q 真得,分综上或分22214.解：（Ⅰ）()()2122cos 2A x A x f +++=ϕω ，依题意 2A,3212=∴=++AA 又 4T , 22==得T ，4 422πωωπ==∴ ()222cos +⎪⎭⎫⎝⎛+=∴ϕπx x f . 令 x=0,得 22 20, 222cos πϕπϕϕ=∴<<=+又所以， 函数()x f 的解析式为 () 2sin 2⎪⎭⎫⎝⎛-=x x f π （Ⅱ）由() 2sin 2⎪⎭⎫⎝⎛-=x x f π 知() 2sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-==n n f a n π当n 为偶数时，()2=n f当n 为奇数时，()()()()()()499977531=+==+=+f f f f f f200254502 100=⨯+⨯=∴S。

限时训练（一）答案部分一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ADDAADDDBDCB二、填空题13. 160- 14.3318+-15. 283π16. 32 解析部分1. 解析 由题意可得{|21}M x x =-<<-，{|2}N x x =-…，所以{|2}MN x x =-….故选A.2. 解析2i 2i (1i )1i 1i (1i)(1i)-==+++-.故选D. 3. 解析 当直线与平面有一个交点时，直线也有无数个点不在平面内，所以②错. 随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，所以(1)0.5P ξ<=，由正态分布的图形知(01)(2)(1)0.3P P P ξξξ<<=<-<=,所以③错.故选D.4. 解析 由题意知双曲线的一条渐近线方程为12y x =-，即12b a =； 一个焦点坐标为(5,0)-，即5c =.由222512a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得5,25b a ==. 所以双曲线方程为221205x y -=.故选A. 5. 解析 将ˆ9.4b=，研发费用为6万元时，利润为65.5万元代入ˆˆˆy bx a =+， 得a ^＝9.1，由统计数据计算得x ＝3.5，所以y ＝42，求得54m =.故选A.6. 解析 因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =.由正弦定理可得sin sin b AB a=，所以sin sin b Abb B ac c=2sin b A ac =3sin 2A ==.故选D. 7. 解析 由三视图可得该几何体是一个直三棱柱，如图所示.解法一:3个侧面的面积为2(125)S =++侧，由余弦定理可以求得底面的钝角为34π，所以一个底面三角形的面积为13112sin 242S π=⨯⨯=底，所以总面积为2S 底+S 侧=122(125)322252⨯+++=++.故选D.解法二:侧面积同解法一.由左视图中的1得棱锥的底面三角形的高为1,所以一个底面三角形的面积为111122S =⨯⨯=底,所以总面积为2S 底+S 侧=32225++.故选D. 8. 解析 解法一：不等式组满足的可行域，如图中所示的阴影部分.当0x …时，122z y x =-+表示的是斜率为12-，截距为2z的平行直线系， 当过点(1,5)时，截距最大，此时max 12511z =+⨯=； 当0x <时，122z y x =+表示的是斜率为12，截距为2z的平行直线系， 当过点(4,5)-时，截距最大，此时max 4z =+25⨯=14. 综上所述，max 14z =.故选D.解法二：画出满足不等式组的可行域，如图所示.Oyx联立510y x y =⎧⎨+-=⎩，解得54y x =⎧⎨=-⎩，即()4,5A -.目标函数2z x y =+变形为22x zy =-+， 由图可知当曲线22x z y =-+经过点A 时，2z取得最大值.所以max 52414z =⨯+=.故选D.9. 解析 由程序框图可知，第一次循环为：2,5,5x y i =-==；第二次循环为：1,4,4x y i =-==；第三次循环为：0,3,3x y i ===； 第四次循环为：1,2,2x y i ===；第五次循环为：2,1,1x y i ===； 第六次循环为：3,0,0x y i ===.此时循环结束.可得打印点依次为：()3,6-，()2,5-，()1,4-，()0,3，()1,2，()2,1.可知在2210x y +=内的打印点有()0,3，()1,2，()2,1，共3个.故选B.10. 解析 函数()x f 在1-=x 处取得极大值，所以()10f '-=.且当1x <-时，()0f x '>，所以()0y xf x '=<；当1x >-时，()0f x '<，所以当10x -<<时，()0y xf x '=>. 观察选项可知D 正确.故选D.Ay=x 2x+y -1=02x-y +3=0y=5yxO11. 解析 由2e =，可得22222213b b c a e a a a-===-=． 由2b y x apx ⎧=±⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，求得(,)22p bp A a -，(,)22p bp B a --， 所以1322AOB bp pS a =⨯⨯=△．① 将3ba=代入式①，得24p =，解得2p =， 所以(1,3)A -，(1,3)B --，则AOB △的三边长分别为2，2，23． 设AOB △的内切圆半径为r ，由1(2223)32r ++=， 解得233r =-．故选C ． 12. 解析 设[)0,2x ∈时，函数为()1f x ，，[)22,2x n n ∈-，函数为()n f x .当[)0,2x ∈时，()221()2(2)212f x x x x =--=--+． 可知()1f x 在[)0,2上的最大值12a =.由递推式()()22f x f x =+，可得()n f x 的最大值122n n a -=.所以数列{}n a 是以2为首项，12为公比的等比数列， 所以21212141212n n n S -⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--．故选B ． 13. 解析 由题设知66e e 6111d ln ln e ln16n x x x===-=⎰， 所以61(2)x x-的二项展开式的通项为： 6161C (2)()rr r r T x x-+=-=636C 2(1)rr r r x --⋅-.当3r =时为常数项，故常数项为3336C 2(1)160-=-.14. 解析 因为向量a 与向量b 的夹角为120，所以b 在a 上的投影为1||cos120||2=-b b ，问题转化为求||b ， 因为()(2)+⊥-a b a b ，所以()(2)0+⋅-=a b a b ，即22||||40--=b b .故331||4+=b ，所以b 在a 上的投影为3318+-. 15. 解析 设球心为O ，半径为R ，O 到底面的距离为h ，由于PDA △的高即为四棱柱的高为3，底面正方形外接圆半径为2，则222(2)(3)1h h +=-+，化简得33h =，所以2227(2)3R h =+=， 则P ABCD -的外接球表面积为24S R =π=283π. 16. 解析 由题意作图，如图所示.由题意知当ln y x x =+的切线与2(1)y x =+平行时AB 距离最短．()11f x x'=+，令()2f x '=，得1x =，所以切线的方程为12(1)y x -=-. 两直线的距离为|12|355d --==，所以3.sin 2d AB θ==限时训练（二）y=2(x+1)y=ln x+xy=ayxBAO答案部分一、选择题 二、填空题 13.1- 14.()1312n -15.16 16.32 解析部分1. 解析 解法一：对于集合M .解不等式211x>-，得11x -<<， 则有{}11M x x =-<<.所以有{}11M x x x=-R 或剠ð.对于集合N ，解不等式210x -…，得210x -…，则11x -剟，则有{}11N x x =-剟.用数轴表示可得(){}1,1NM =-Rð.故选C.解法二（特殊值检验法）：因为0M ∈，则有()0M ∉R ð. 由此排除A ，B 选项；又因为1M -∉，则()1M -∈R ð. 且1N -∈，从而有()1NM -∈Rð，排除D 选项. 故选C.2.解析 解法一（用除法公式）：()()()1i i1i 1i 1i 2a a a a ++==--+. 又因为1i 1i a b =+-，所以i i 1i 222a a a ab +=+=+. 所以122a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，则2i z =+.其共轭复数2i z =-.故选B.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBCACADAABCB解法二（用乘法公式）：由1i 1iab =+-， 得()()()()1i 1i 11i a b b b =+-=++-+，所以110a b b =+⎧⎨-+=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，则2i z =+.其共轭复数2i z =-.故选B.3.解析 解法一：因为33log log a b >，所以0a b >>. 对于A ，则有11a b<.故A 错； 对于B ，0a b ->，但a b -不一定大于1，所以()3log 0a b ->不一定成立. 故B 错；对于C ，因为a b >，则有15a ⎛⎫< ⎪⎝⎭15b ⎛⎫< ⎪⎝⎭13b⎛⎫⎪⎝⎭成立.故C 对；对于D ，因为0a b ->，则31a b ->，所以D 错.故选C.解法二（特殊值法）：取2a =，1b =代入可排除A ，B ，D.故选C.4.解析 因为()()22281cos π2cos212sin 121399ααα⎛⎫-=-=--=-+⨯=-+=- ⎪⎝⎭.故选A.5. 解析 由几何体的三视图，画出其立体图形P ABCD -，如图所示.由题可知，顶点P 在底面上的投影是边CD 的中点，底面是边长为4AB =，2BC =的矩形.PCD △的高为22325-=，所以侧面PCD △的面积为145252⨯⨯=.两个侧面PAD △，PBC △的面积相等为12332⨯⨯=. 侧面PAB △的面积为()22145262⨯⨯+=.所以四个侧面中的最大面积为6.故选C.6.解析 由程序框图可知逐次循环结果分别为：①3S =，2n =；②9S =，3n =；③18S =，4n =；④30S =，5n =； 当第④次循环后3024S P =>=，此时结束循环.从而输出30S =.故选A. 评注 如果P 的值很大，则要找到S 与循环次数n 的关系即()312n n S +=. 7.解析 解法一(几何法)：根据题意作图，如图所示.2OC =+a b ，2BA =-a b .因为2=a b ，所以四边形AOBC 是一个菱形， 则其对角线OC BA ⊥，即()()22+⊥-a b a b .故选D. 解法二：因为()()()22222224+-=-=-a b a b a b a b ，由已知2=a b ，则22420-=a a .所以()()22+⊥-a b a b .故选D.8.解析 根据题意作图，如图所示.设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，化为标准形式后得()3,0C ，设弦AB 的中点为(),M x y ，由AM BM =，得CM AB ⊥. 取OC 的中点为D ，则1322DM OC ==. D C BAP243322Ob2aCBA所以M 点在以3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以32为半径的圆上.此圆的方程为2230x y x +-=.联立方程组222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩，解得53x =，253y =±. 故弦AB 的中点M 的轨迹方程为2230x y x +-=533x ⎛⎫⎪⎝⎭剟.故选A. 9.解析 作出满足不等式组的可行域D ，如图中阴影部分所示. 则()()42126112444x y x y y z x x x -+-+--⎛⎫===+ ⎪---⎝⎭.令14y z x -'=-，问题转化为求z '的最大值. z '的几何意义为：区域D 内的点(),x y 与定点()4,1P 连线的斜率，则可得最优解为()3,4A --，得max415347z --'==--.所以264x y z x +-=-的最大值为5127+⨯=177.故选A.yxMDCBA O10.解析 解法一:连接11A C ，1DC ，如图所示，则11//AC A C . 又因为11A C ⊂平面11DAC ，所以//AC 平面11DAC . 于是AC 与1DA 的距离就转化为AC 与平面11DAC 的距离. 设所求距离为d ，由等体积法知1111A DA C C DA A V V --=. 则有111111133DA C DA A S d S C D ⋅=⋅△△， 所以()1111121113233324DA A DA C S C D d S ⨯⋅====⨯△△.故选B.解法一的图 解法二的图解法二：连接11A C ，1DC ，1AB ，1B C ，如图所示. 因为11//AC A C ，11//DA CB ，所以平面111//AC D B AC 平面. 于是AC 与1DA 的距离转化为平面11AC D 与平面1B AC 的距离.O yxA -3,-4()y =2-11-32x+3=0C BAC 1A 1B 1DD 1C BAC 1A 1B 1DD 1而这两个平面间的距离为体对角线的13，所以2221311133d =++=. 故选B. 11.解析 因为()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，其最大值为2， 可知2y =与()f x 两个相邻公共点之间的距离就是一个周期， 于是2π2πT ω==，即1ω=.所以()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令()ππ3π2π,2π622x k k k ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ， 得()π4π2π,2π33x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z .故选C. 12.解析 对于①，只有12y x =和3y x =在()0,+∞上是增函数.所以①错；对于②，满足题意的情况有三种.如图所示.于是②错；对于③，因为()f x 为奇函数，所以图像关于原点对称， 而()1f x -的图像是()f x 的图像向右平移1个单位得到的， 所以()1f x -的图像关于点()1,0A 对称，所以③对；对于④，因为22132x x -⎧⎪⎨=⎪⎩…有解312log 2x =+，130<n<m<1mn yx O0<m<1<n mn O x y 131<n<mn m31yxO且()321log 12x x >⎧⎪⎨-=⎪⎩有解13x =+，所以()12f x =有两个实数根，④对. 综上可知，正确的命题有③和④两个.故选B.评注 对于④的判断也可画出图像，结合函数值域和单调性来判断.画图可得()f x 的图像与12y =有2个交点，从而④正确.13.解析 由()()5555551061C 1C n n n n n T ax a x x ---⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令100n -=，得10n =. 所以()55556101C 252252T a a =-=-=.所以1a =-.14.解析 由已知21322121a S a S =+⎧⎪⎨=+⎪⎩①②，由-②①，得()3221222a a S S a -=-=，即323a a =. 得公比323a q a ==，将3q =代入①， 得11321a a =+，得11a =.所以()13131312n n n S ⨯--==-. 15.解析 依题意知()1,1C ，正方形ABCD 的面积为4. 所围成区域（图中阴影部分）的面积为：()121d x x -=⎰3111210333x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， 所以所求概率为21346P ==.16.解析 依题意作图，如图所示.由双曲线的方程，可得抛物线的焦点为()4,0F ，从而得()4,0E -，8p =，则抛物线方程为216y x =.设A 在准线:4l x =-上的投影为A '，则由抛物线定义有AA AF '=. 已知2AE AF =，从而得2AE AA '=.于是在Rt AA E '△中，得45EAA AEO '∠==∠. 所以直线EA 的方程为y =+4x .由2+416y x y x=⎧⎨=⎩，消去x 得216640y y -+=， 即()280y -=，得8A y =， 所以11883222AEF A S EF y =⋅=⨯⨯=△.限时训练（三十三）答案部分一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACADCACCDCAB二、填空题13.1214. 5 15. 2 16. 22解析部分1. 解析 集合{}1A x x =-…，{}10B x x =-<<<，()1,0A B =-.故选A .2. 解析 由()11i z z -=+，得()1i 1i z -=+，即1i i 1iz +==-. 故选C .3. 解析 双曲线221kx y -=的渐近线方程为y k x =±.若双曲线的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则()21k ⋅-=-，所以14k =，故双曲线方程为2214x y -=， 4-4A 'FE AOyx此双曲线的离心率52c e a ==.故选A . 4. 解析 5112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第三项2223515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 得第三项的系数为52.故选B. 5. 解析 对于选项A ：若//αβ，m α⊂，n β⊂， 则mn =∅，但不一定//m n ，m 与n 也可能异面；对于选项B ：若,m n α⊂，//m β，//n β，不一定推出//αβ， 如果前提附加mn O =，则//αβ；对于选项D ：若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，因此选项D 错误.故选C. 6. 解析 依题意，当弦AB 取最大值时，直线l 过圆心()2,0C -，则直线l 的斜率34k =，方程为()324y x =+， 即3460x y -+=.故选A.7. 解析 依题意，函数()2sin 0y x ωω=>的周期2π3T =，即2π2π3ω=，得3ω=.故选C. 8. 解析 据三棱锥的三视图，还原几何体P ABC -，且PA ⊥平面ABC ，底面ABC △为等腰三角形，12222ABC S =⨯⨯=△，151522PAB PAC S S ==⨯⨯=△△，12552PBC S =⨯⨯=△， 因此三棱锥的表面积为552525222PAB PAC ABC PBC S S S S +++=+++=+△△△△. 故选C.9. 解析 依题意，从10个球中任取一球，已知它不是白球的情形下，2111P CB A则它是黑球的概率为35.故选D. 10. 解析 依题意，当6i =时输出S 的值.则π3π4π5πcoscos πcos cos cos 02222S =++++=.故选C. 11. 解析 由21cos cos 222A b c A c ++==，即11cos b A c +=+，得cos bA c=. 解法一（正弦定理）：由正弦定理，得sin cos sin BA C=，所以()sin sin cos sin πB C A A C ==-+=⎡⎤⎣⎦()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，因此sin cos 0A C =，得cos 0C =，π2C =. 所以ABC △是直角三角形.故选A.解法二（余弦定理）：由余弦定理，得2222b b c a c bc+-=，整理得222c a b =+，所以ABC △为直角三角形.故选A. 12. 解析 设函数()323f x x x =-上任意一点()()00,x f x ，在点()()0,x f x 处的切线方程为()()()0y f x f x x x '-=-， 即()()()3200002363y x x x x x --=--.若过点()1,t ，则()()()()32320000002363146 3 t x x x x x x =-+--=-+-*依题意，方程()*有三个不等实根.令()32463g x x x =-+-，()()212121210g x x x x x '=-+=--=，得10x =，21x =.当()(),0,1,x ∈-∞+∞时，()0g x '<，函数()g x 在()(),0,1,-∞+∞上单调递减； 当()0,1x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在()0,1上单调递增. 因此()g x 的极小值为()03g =-，极大值为()11g =-. 若()t g x =有三个不等实根，则31t -<<-.故选B.13. 解析 由()f x 的反函数为2log y x =，得()2xf x =，则()11122f --==.14. 解析 不等式组表示的区域，如图所示. 当直线z x y =+过点()2,3A 时，z 取得最大值5.15. 解析 依题意，OA OB =，且OA OB ⊥，得0⋅=⎧⎪⎨=⎪⎩a b a b，12OAB S OA OB =△，又()2222222OA OB ==-=+-==a b a b ab a ，所以12222OAB S =⨯⨯=△.16. 解析 设椭圆的左焦点为()1,0F c -，依题意1OF OQ OF ==. 又点O 为12F F 的中点，所以112OQ FF =， 则1QFF △为直角三角形，得1FQ FQ ⊥. 又直线:bl y x c=垂直于FQ ，故1//FQ l ， 所以直线1F Q 的斜率为b c，可得直角顶点()0,Q b ，且π4FQO ∠=，故b c =. 所以椭圆的离心率2222c c e a b c===+.限时训练（四）答案部分一、选择题题号123456789101112yx O22x+y=7CB A-11答案 A D A C C D B B B D A D二、填空题13. {}7,9 14. 14-15. []1,1- 16.11,,A B D 解析部分1. 解析 由()2i 12i i 2i 2i -=-=+，复数对应的点在第一象限.故选A .2. 解析 因为{}n a 是等比数列，所以()()*10n na q q n a +=≠∈N ， 则369,,a a a 成等比数列. 故选D . 3. 解析 对于选项A ：πcos 2sin 22y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 函数的最小正周期为π且图像关于原点对称； 对于选项B ：πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 函数的最小正周期为π且图像关于y 轴对称； 对于选项C ：πsin 2cos22sin 24y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数的最小正周期为π，但其图像不关于原点对称； 对于选项D ：πsin cos 2sin 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数的最小正周期为2π，且图像不关于原点对称.故选A .4. 解析 由()23-⊥a b c ，且(),3k =a ，()1,4=b ，()2,1c =， 得()22360k --=，解得3k =.故选C.5. 解析 程序框图的执行过程如下：1,9s k ==；9,810s k ==；988,710910s k =⨯==；877,610810s k =⨯==，循环结束.故可填入的条件为710s >.故选C. 6. 解析 p 是真命题，q 为假命题，故p ⌝为假命题，q ⌝为真命题.从而p q ∧为假，p q ⌝∧⌝为假，p q ⌝∧为假，p q ∧⌝为真.故选D.7. 解析 该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面积是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的. 则其表面积()()25525411343535602222S +⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+++⨯=.故选B.8. 解析 设1PF m =，2PF n =，依题意不妨设0m n >>.于是3294m n b m n a mn ab ⎧⎪+=⎪-=⎨⎪⎪=⎩，所以9432m n m nmn +-=⋅⋅，得3m n =或13m n =-（舍）.所以a n =，43b n =，53c n =，故53c e a ==.故选B. 9. 解析 先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有3334A A 144=（种），再剔除小品类节目相邻的情况，共有322322A A A 24⋅⋅=（种），于是符合题意的排法共有14424120-=（种）.故选B.10. 解析 依题意，抛物线()220y px p =>的准线方程为2x =-，2543所以22p-=-，得4p =，因此抛物线的方程为28y x =. 设过点()2,3A -的直线方程为()32y k x -=+，联立直线方程与抛物线方程，得()2328y k x y x⎧-=+⎪⎨=⎪⎩， 消x 建立关于y 的一元二次方程得2328y y k ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即2816240ky y k -++=，()64416240k k ∆=-+=，得22320k k +-=，解得12k =或2-（舍）. 因此直线与抛物线相切于点()8,8B ，则直线BF 的斜率43k =.故选D. 11. 解析 在ABC △中，由πA B C ++=， 得πA C B +=-，πA B C +=-，则()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+， 可变形为()()1sin 2sin π2sin π2A B C C +-=--+⎡⎤⎣⎦， 即1sin 2sin 2sin 22A B C ++=. ()()1sin 2sin 2sin 22sin cos 2sin cos 2A B C A B A B C C ++=+-+=⇒()()12sin cos cos 2C A B A B --+=⎡⎤⎣⎦，即14sin sin sin 2A B C =，得1sin sin sin 8A B C =， 又[]2211sin 2sin sin sin 1,222244ABC c abc R S ab C ab R A B C R R ==⋅===∈△， 故248R剟，得2,22R ⎡⎤∈⎣⎦.所以338sin sin sin 8,162abc R A B C R ⎡⎤==∈⎣⎦，知C ，D 均不正确.()38bc b c abc R +>=…，故A 正确.故选A.12.解析 设()()e21xg x x =-，()h x ax a =-，可转化成存在唯一的整数0x ，使得()()g x h x <． 因为()()'e21xg x x =+，所以当12x <-时，()'0g x <，()g x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减；当12x >-时，()'0g x >，()g x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 因为当0x =时，()01g =-，()01h a =->-，所以()()00g h <． 又因为存在唯一的整数0x ，使得()()g x h x <，所以()()()()1111g h g h ⎧⎪⎨--⎪⎩……，即e 032ea ⎧⎪⎨--⎪⎩……，解得32e a ….又因为1a <，所以312ea <…．故选D ．13. 解析 {}4,6,7,9,10U A =ð，(){}{}{}4,6,7,9,101,3,5,7,97,9U A B ==ð.14. 解析 ()()222log log2log f x x x =⋅+=()221log 22log 2x x += ()222log log x x +.令2log t x =∈R ，则2,y t t t =+∈R ，函数的最小值为14-.因此函数的最小值为14-. 1Oyxy=e x (2x-1)y=ax-a15. 解析 解法一：依题意，若圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=，如图所示.因为OMN OMN '∠∠…，所以45OMN '∠…，因此2sin 2ON OMN OM''∠=…，即122OM …， 得2OM …，故212x +…，解得011x -剟.所以0x 的取值范围是[]1,1-.解法二：在OMN △中，由45OMN ∠=，据正弦定理得sin 45sin ON OM ONM=∠，即sin 2sin sin 45ONMOM ONM ∠==∠.又()0,135ONM ∠∈，所以02OM <…，得2012x +…，解得011x -剟.所以的取值范围是[]1,1-.16. 解析 依题意，平面DEP 可能经过正方体的顶点是1A ，1B ，D .因为平面1A DE 与直线1BD 相交，平面1B DE 与直线1BD 相交.且1//BD 平面1C DE .限时训练（五）答案部分一、选择题题号123456789101112N 'NM O yx答案 D C B A A B D C D A C C二、填空题13. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（或30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ ） 14. 43 15. 8 16.[)1,12,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析部分1. 解析 依题意，A B ⊆，得2a ….故选D .2. 解析 由函数()244xy a a a =-+是指数函数，得244101a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且，得3a =. 故选C . 3. 解析 将α，β理解为两个不同的平面时，其中一个平面（如β）内的两条相交直线()12,l l 分别平行于另一个平面()α内的两条直线（此时m ，n 必为两条相交直线）是这两个平面（α与β）平行的一个判定条件，指出一对直线相交必不可少.由此，故选B . 4. 解析 在等差数列{}n a 中，()()*2121n n S n a n -=-∈N ，故95539951559S a S a ==⨯=.故选A. 5. 解析 不等式组表示的可行域如图所示.yx表示区域内的点(),P x y 与坐标原点()0,0O 所在直线的斜率， 则OC OPOA k k k 剟.联立27y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得59,22C ⎛⎫⎪⎝⎭.联立170x x y =⎧⎨+-=⎩，得()1,6A .所以965OPk 剟.故选A.x+y-7=0yxCB AO1-226. 解析 若A ，B ，D 三点共线，则//AB BD . 又()()121212322BD CD CB =-=--+=-e e e e e e ， 设AB BD λ=，可得()12122k λ-=-e e e e ，得2k =.故选B.7. 解析 由()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 且()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则2ππT ω==，所以2ω=，因此()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令ππ22π+,62x k k +=∈Z ，得ππ6x k =+，k ∈Z . 当0k =时，π6x =为函数()f x 的一条对称轴.故选D. 8. 解析 由正三棱柱的三视图还原几何体，如图所示.据侧视图知，底面正三角形的高为3，则其边长为2，11123234ABC A B C ABC V S h h -=⋅=⨯⨯=△，1h =.故选C.9. 解析 对于选项A ：命题“若0a =，则0ab =”的否命题是： “若0a ≠，则0ab ≠”.所以选项A 是真命题. 对于选项B ：若“p ⌝”是真命题，则p 是假命题.又“p 或q ”是真命题，所以q 是真命题.所以选项B 是真命题.对于选项C ：若命题2:,10p x x x ∃∈-+<R ， 则2:,10p x x x ⌝∀∈-+R ….所以选项C 是真命题.C 1B 1A 1CBA对于选项D ：由1sin 302θθ=⇒=/.反之，若30θ=，则1sin 2θ=. 因此“1sin 2θ=”是“30θ=”的必要不充分条件.故选D. 10. 解析 依题意，函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为π， 得2ππT ω==，故2ω=，()πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 若将函数()f x 的图像通过平移一定长度得到cos2y x =的图像， 则()00ππsin 2sin 22cos244y x x x x x ⎡⎤⎛⎫=++=++= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 则0ππ242x +=，所以0π8x =. 因此将函数()f x 的图像向左平移π8个单位长度后，得到函数()cos2g x x =的图像.故选A. 11. 解析 依题意，函数()f x 的图像关于直线1x =对称. 当1x <时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减. 因此()()02a f f ==，()()2log 83c f f ==. 由223<<，得()()()223ff f >>，所以b a c >>.故选C.12.解析 依题意，MP PQ MP d ++…（P ，平面ABCD ）=MP d +（P ，直线AC ）.本题将MP PQ +的最小值转化为在1AC 上的动点P 到定点M 与动点N ()N AC ∈距离之和的最小值.如图所示，过点M 作MN AC ⊥于点N ，33sin 6024MN ==.故选C ． 13. 解析 依题意，()12log f x x =，则()()22123log 3f x x x x -=-.函数()212log 3y x x =-的单调递减区间，即23y x x =-的单调递增区间是30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（或30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭）. 14. 解析 由πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 121tan αα+=-，故1tan 3α=. ()()()13tan tan 43tan tan 11tan tan 3133αβαβαβααβα-+-=+-===⎡⎤⎣⎦+++⨯. 15. 解析 ()1cos420cos 36060cos602a ==+==，因此()121,02log ,0x x f x x x ⎧⎛⎫<⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎪⎩…，221log 6log 62121111log log 2284642f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.16. 解析 依题意，函数()21xy a x =-<至多有一个零点. 若函数()f x 有两个零点，则有两种情形：①函数2,1xy a x =-<无零点，函数()()()431y x a x a x =--…有两个零点.则满足20131a a a -⎧⎪⎨⎪⎩………，得2a ….②函数2,1xy a x =-<，有1个零点，函数()()()431y x a x a x =--…有一个零点.Q P111M 21D 1DB 1A 1C 1ABCN1133MCAC 1B 1则满足02131a a a <<⎧⎪<⎨⎪⎩<…，得113a <?. 综上，若函数()f x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是[)1,12,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.限时训练（三十六）答案部分一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ABDDDDAABDDD二、填空题13. 240- 14.24 15. 20π 16.8-解析部分1. 解析 {}3,4,5,7,8,9U AB ==，{}4,7,9A B =，则(){}3,5,8U AB =ð.故选A . 2. 解析 由2i 1iz=++，得()()1i 2i 13i z =++=+，所以13i z =-. 故选B . 3. 解析 因为111x x +<-，所以1111x x +-<<-，即111111x x x x +⎧>-⎪⎪-⎨+⎪<⎪-⎩，解得0x <.故选D . 4. 解析 依题意，若选出的1名女同学来自于甲组，则有112536C C C 225=（种）选法； 若选出的1名女同学来自于乙组，则有211562C C C 120=（种）选法.所以选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有225120345+=（种）.故选D. 5. 解析 由()()()22cos ,-⋅-=-⋅++=-++=a cbc ab c a b c c c a b a b c 12cos ,-+a b c .又[]cos ,1,1+∈-a b c ，当cos ,1+=a b c 时，即向量+a b 与c 的夹角为0时，取得最小值12-.故选D. 6. 解析 依题意，不妨设1AA a =，则AB AC BC a ===，32AD a =.又1A D ⊥平面ABC ，所以1A D AD ⊥. 在1Rt AA D △中，1AA a =，32AD a =，则12aA D =，122AB a =. 在1AA B △中，22222211121223cos 224a a a AA +AB A B A AB =AA AB a ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭∠==⋅. 故选D.7. 解析 依题意，8πππ,32k k ϕ+=+∈Z ，得13ππ6k ϕ=-，13ππ6k ϕ=-. 令2k =得，min π6ϕ=.故选A. 8. 解析 如图所示，BCF ACF BC S S AC=△△，过点A 作1AA y ⊥轴于点1A ，过点B 作1BB y ⊥轴于点1B .由11BB C AAC △∽△，得111212pBF BC BB BF p AC AA AF AF --===--.故选A.DC 1B 1A 1CBAB 1A 1FCBAy xO9. 解析 设切点坐标为()00,1P x x +，依题意，()000ln 111x a x x a+=+⎧⎪⎨=⎪+⎩，因此01x =-，所以切点坐标为()1,0-，代入曲线()ln y x a =+，得()0ln 1a =-，解得2a =.故选B.10. 解析 据几何体的三视图还原几何体，被正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1B AB C -后，剩余的几何体，如图所示，则剩余几何体的体积为11511326-⨯⨯=，所以截去的部分体积与剩余体积的比值为1:5.故选D.11. 解析 依题意()1f x +与()1f x -都是奇函数，则()()11f x f x -+=-+， 且()()11f x f x --=--，即()()2f x f x =--+，()()2f x f x =---， 得()()22f x f x -+=--，即函数()f x 的周期4T=.因此()3f x +是奇函数.故选D.12.解析 依题意，双曲线1C 的离心率222121c a b b e a a a+===+，若将a ，b 同时增加()0m m >个单位长度，得到()()2221b m e a m +=++.当a b >时，()0b m b m a m a +>>+；当a b <时，()0b m bm a m a+<>+. 所以当a b >时，21e e >，当a b <时，12e e >.故选D ． 13. 解析 由二项式定理知，()10x y -展开式的通项公式为：()()101011010C 1C rrr r r r rr T x y x y --+=-=-.令3r =，得73x y 的系数为()33101C -；D 1DB 1A 1C 1A BC令7r =，得37x y 的系数为()77101C -，则73x y 的系数与37x y 的系数之和为371010C C 240--=-.14. 解析 由等差数列的性质知()*2121,2,n n S n a n n -=-∈N …，得95972S a ==，所以58a =，则2495324a a a a ++==.15. 解析 若求解球的表面积，则需求解球的半径.球心在直棱柱上、下底面中心连线的中点O 处.在ABC △中，由余弦定理得222cos12023BC AB AC AB AC =+-⋅⋅=，设R 在ABC △外接圆的半径，由正弦定理得2324sin12032BC R ===，故2R =.因此球的半径为22215OB =+=，所以球的表面积为24π20πr =.16. 解析 44332222tan 2tan 2tan 22tan 2tan tan 1tan 1tan 1tan x x x y x x x x x x-+==⋅===--- ()42221tan 1tan x x---()()22222121tan 21tan 1tan tan 1x x x x ⎡⎤=-+=-++=⎢⎥--⎣⎦()2212tan 12tan 1x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦.因为ππ42x <<，所以tan 1x >，故2tan 10x ->， 由基本不等式得()222211tan 12tan 12tan 1tan 1x x x x -+-⋅=--…（当且仅当tan 2x =时取“=”），所以y 的最大值为8-.限时训练（七）参考答案答案部分一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBAACDDACADD二、填空题13.3 14.84 15.5 16. 32,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭解析部分1. 解析 (0,2)A =，(,1)(1,)B =-∞-+∞，故[]1,1B =-R ð.由数轴分析可得(]0,1AB =R ð．故选C.2. 解析 根据题意可设i z a =+，则21z a =+.因为12a -<<，则204a <…，所以)1,5z ⎡∈⎣．故选B ．3. 解析 如图所示，从图中5个点中任意选出2个点组成一条线段，有25C 10=（种）不同的选择方案，其中距离小于正方形边长的有4种， 则距离大于或等于正方形边长的有6种，其概率为P =63105=.故选A.4. 解析 当1k =时，易推知OAB △的面积为12，充分性成立； 当OAB △的面积为12时，由题可得1OA OB ==， 且11sin 22S OA OB AOB =∠=，所以2AOB π∠=， 由图形性质转化到直线l 到圆心O 的距离d 为22， 即21221d k ==+，解得1k =±，必要性不成立.故选A. 5. 解析 当,36x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，22,333x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，EDCAB故不在sin y x =的某一单调增区间内，故A 错误；44cos sin y x x =-()()2222cos sin cos sin x x x x =-+22cos sin x x =-cos2x =，即T =π，故B 错误； 把6x π=代入cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0y =，故C 正确；正切函数没有对称轴，仅有对称中心，故D 错误. 故选C.6. 解析 分析知该几何体为圆柱的一半，故体积为()2122V =⨯π⨯1⨯=π.故选D. 7. 解析 执行程序框图，如表所示.0i = 1S = 2A =2015i …，继续 1i =2S =12A =2015i …，继续 2i = 1S = 1A =-2015i …，继续 3i = 1S =- 2A =2015i …，继续 4i =2S =-12A =2015i …，继续 5i =1S =- 1A =- 2015i …，继续 6i =1S =2A =2015i …，继续……………………因此A 随着i 的变化而变化，且呈现以3为周期的循环， 故当20166723i ==⨯时，退出循环，因此2A =.故选D. 8. 解析 如图所示，易知25a c c +=，即251251c e a +===-.故选A.9. 解析 由题意得0n m <<，故根据2xy =在R 上单调递增，A 错误； 作差比较或根据函数1xy x =+在()1,-+∞上单调递增，B 错误； 由题意得110m n<<，根据ln y x =在()0,+∞上单调递增，C 正确； 根据3y x x =+在R 上单调递增，D 错误.故选C. 评注 问题的本质就是研究函数的单调性.10. 解析 在()0f f x =⎡⎤⎣⎦中令()t f x =，则()0f t =. 若0a =，验证易知此时不符合题意；若0a ≠，分0a >，0a <讨论其图像大致如图所示．由()0f t =知，()1t f x ==，问题转化为()1t f x ==有且仅有一个实数解. 因此当0a <时，此式恒成立；当0a >时，()f x 与y 轴的交点()0,a 必须在1y =的下方，故01a <<. 综上所述：()(),00,1a ∈-∞.故选A.xyaaa <0a >0123–1–2–3123–1–2–3OxO yc2a +c 2c11. 解析 分解问题，211y x --…21,123,1y x x y x x -+<⎧⇔⎨-⎩…厖；22220x y x y --+⇔…()()22110x y ---⇔… ()()20x y x y +-⇔-… 020x y x y -⎧⎨+-⎩……或020x y x y -⎧⎨+-⎩……. 画出可行域，如图所示，分析知点P 到直线21y x =-+的距离为PQ 的最小值，故min 213555PQ --==.故选D. 评注 ()()22110x y ---…也可以等价为11x y --…，采用分类讨论解决.12. 解析 解法一：以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 设()00A ，，BAC θ∠=，则()6cos ,6sin B θθ，()10,0C . 取AC 的中点D ，连接OD ，则OD AC ⊥. 因为OD OA AD =+12AC xAB y AC =--=12y AC xAB ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故OD AC ⋅12y AC xA AC B =⎡⎤⎛⎫--⋅⎪⎢⎥⎝=⎭⎣⎦212A C C y A xAB ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⋅=110060cos 2y x θ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭0=，即c 0106os 5x y θ-=-，把2105x y +=代入化简得6cos 02x x θ-=，得0x =或1cos 3θ=. ①当0x =时，12y =， 所以12AO AC =，所以O 点与D 点重合， xyy =-x +2y =xy =-2x +1y =2x-3123–1–21234–1O PQ即ABC △为直角三角形，故168242S =⨯⨯=； ②当1cos 3θ=时，22sin 3θ=， 故1sin 2022S AB AC θ=⨯⨯⨯=. 综上所述，ABC △的面积为24或202.故选D.解法二（构造法）：延长AB 到点E ，使52AE AB =，取AC 中点D . 因为2512522x AO AB y AC ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225AE xy AD =+， 又因为2105x y +=，即2215xy +=，因此O ，E ，D 三点在一条直线上. 若O 与E 重合，则与O 在AB 的垂直平分线上矛盾；若O 与D 重合，即DA DB DC ==，所以ABC △为直角三角形， 且2B π∠=，故168242S =⨯⨯=； 若O 不与D ，E 重合，则由三点共线知ED AC ⊥. 因为5AD =，15AE =，故1cos 3A =， 此时22sin 3A =，故1sin 2022S AB AC A =⨯⨯⨯=. 综上所述，ABC △的面积为24或202.故选D.xy(10,0)(6cos θ,6sin θ)AB OC D13. 解析 133s i n 242S b c A c ===，故2c =. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-11421232=+-⨯⨯⨯=，故3a =. 14. 解析 展开式的第1r +项为()7171C 2rrrr T x x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭7727C 2r r rx --=， 故令723r -=-，即5r =，所以31x的系数为5757C 221484-=⨯=． 15. 分析 通过常规的配凑无法实现，故尝试计算几个观察规律. 解析 因为111n n n a a a --⋅=-，且10n a -≠，故111n n n a a a ---=， 因此25a =，345a =，414a =-，55a =，…， 故数列{}n a 是以3为周期的数列．又因为201536712=⨯+，因此20155a =． 16.解析 由题意得()122M x λλλ=+-⨯=-+， 故12,22M λλλ⎛⎫---⎪-⎝⎭，[]0,1λ∈. ()1ON OA OB λλ=+-()()31,012,2λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭332,22λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.3312222MN λλλ=--++-111222λλ=--+-()1132222λλ=-+--．令2t λ=-，则[]1,2t ∈，问题转化为1322t k t +-…在[]1,2t ∈恒成立时，求k 的取值范围． A ECBDO令13()22t g t t =+-，因为()1322t g t t =+-在1,2⎡⎤⎣⎦上单调递减，在2,2⎡⎤⎣⎦上单调递增，0故()()min 3222g t g==-，()10g =，()20g =，故()max 0g t =，因此1330,2222t t ⎡⎤+-∈-⎢⎥⎣⎦，故32,2k ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.限时训练（八）答案部分一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案AABBCCBCBABC二、填空题： 13．335 14．2 15.2201516. ①④ 解析部分1.解析 首先，注意到集合A 代表元素为y ，也就是23y x =-+的值域，故(],3A =-∞.集合B 代表元素为x ，故()1,5B =-，则(),5A B =-∞，(]1,3A B =-，所以()(](),13,5ABA B =-∞-ð.故选A.2.解析 利用复数运算性质1122z z z z =和z z =， 可得12015201520151221155z z z z ===.故选A.3.解析 首先，根据奇函数定义可排除C ；又3y x x =-，231y x '=-不是恒大于0，故排除D ；又A 虽是奇函数，但不满足在定义域上始终增（是分两个区间单调递增），故排除A ；B 选项是奇函数，可利用判定奇函数的等价条件()()0f x f x +-=来判断，先求导，再利用对称性判断单调性，只判断0x >部分即可. 故选B.4.解析 通过两相邻对称轴间距为π2，可得π2π2T =⨯=，故2π=2Tω=. 将图像平移后的新函数为πsin 24y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，该函数为偶函数， 则πππ42k ϕ+=+，ππ4k ϕ=+，k ∈Z . 所以ϕ的一个可能取值为π4.故选B. 5.解析 ①无必然联系，原命题为真，则它的逆否命题为真.故①错误； ②转化成逆否命题“若4a =且4b =，则8a b +=”为真命题， 故其逆否命题，即原命题也为真. 故②错误； ③2x >可推出112x <，但112x <未必有2x >（还可以0x <）.故③正确； ④全称命题的否定，先将“任意”变为“存在”，再否定结论，故④正确.综上可得，③④正确.故选C.6.解析 由程序框图可得12345120S =⨯⨯⨯⨯=.故选C.7.解析 11517222828225x ++++==，21618232627225x ++++==，12x x =. 因为()()()()()2222215221722222228222822146-+-+-+-+-=，又()()()()()222221622182223222622272294-+-+-+-+-=， 所以12s s >.故选B.8.解析 先考虑特殊元素.甲、乙放在两端，有22A 种站法. 再考虑丙、丁绑定成一体，有22A 种站法. 将丙、丁整体与剩下人排，有33A 种站法.故由分步乘法计数原理，共有223223A A A 24⋅⋅=（种）站法. 故选C. 9.解析 令1x =，()1001210211a a a a ⨯-=++++ ①令1x =-，()1001210211a a a a ⨯--=-+++⎡⎤⎣⎦②。

说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列。

ξ
8、关于取球的随机变量的值和概率
例：袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色。

确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率。

分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成。

解： 设集合，其中为“取到的球为红色的球”，为“取到的球为白
色的球”，为“取到的球为黑色的球”。

},,{321x x x
M =1x 2x 3x 我们规定：，即当时，，这样，我们确定就是一个随机变量，它的自变是量取值不是一个实数，而是集合中的一个元素，即，而随机变量本身的取值则为1、2、3三个实数，并且我们很容易求得分别取1、
2、3三个值的概率，)3,2,1()(===i i x
i ξ ξ i x x =i x =)(ξ )(x ξ x M 即
说明：确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果。

答案36 712。

设Sn是等比数列{an}的前n项和，an＞0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为________。

解析设等比数列{an}的公比为q，则由an＞0得q＞0，Sn＞0。

又S6－2S3＝(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝S3q3－S3＝5，则S3＝，由S3＞0，得q3＞1，则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝S3q6＝＝，令＝t，t∈(0，1)，则－＝t－t2＝－＋∈，所以当t＝，即q3＝2时，－取得最大值，此时S9－S6取得最小值20。

答案2013。

已知变量x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________。

解析法一由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0，2)，B(2，0)，C(－2，－2)，则zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA＝zB＞zC或zA＝zC＞zB或zB＝zC＞zA即可，解得a＝－1或a＝2。

法二目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意，故a＝－1或a＝2。

答案－1或214。

设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝2x＋，设g(x)＝若函数y＝g(x)－t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是________。

解析 由f(x)是定义在R 上的奇函数可得f(0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，则f(x)＝2x －，f ′(x)＝2xln 2＋＞0，则f(x)在R 上是递增函数。

函数y ＝g(x)－t 有且只有一个零点即函数y ＝g(x)，y ＝t 的图象只有一个交点，作出函数y ＝g(x)，y ＝t 的图象如图所示，由图可知实数t 的取值范围是。

答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32。

第四练一、选择题1.(2019课标全国Ⅲ,11,5分)记不等式组表示的平面区域为D.命题p:∃(x,y){x +y ≥6,2x ‒y ≥0∈D,2x+y ≥9;命题q:∀(x,y)∈D,2x+y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②¬p ∨q ③p ∧¬q ④¬p ∧¬q 这四个命题中,所有真命题的编号是( ) A.①③B.①② C.②③ D.③④答案　A 由不等式组画出平面区域D,如图中阴影部分所示,在图中画出直线2x+y=9,可知命题p 正确,作出直线2x+y=12,2x+y ≤12表示直线及其下方区域,易知命题q 错误.∴¬p 为假,¬q 为真,∴p ∨q 为真,¬p ∨q 为假,p ∧¬q 为真,¬p ∧¬q 为假.故真命题的编号为①③,故选A.2.定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)=其中a ∈R,若f(-5){x +a ,‒1≤x <0,|2‒x |,0≤x <1,=f(4.5),则a=( )A.0.5B.1.5C.2.5D.3.5答案　C 由f(x+1)=f(x-1),得f(x)是周期为2的函数,又f(-5)=f(4.5),所以f(-1)=f(0.5),即-1+a=1.5,所以a=2.5,故选C.3.已知直线l 过点(-2,0)且倾斜角为α,若l 与圆(x-3)2+y 2=20相切,则sin=( )(3π2‒2α)A. B.-C. D.-35354545答案　A 由题意可设直线l 的方程为y=(x+2)tan α,因为l 与圆(x-3)2+y 2=20相切,所以=,所以tan 2α=4,因此sin=-cos 2α=-=-=-=.故选A.|5tanα|1+tan 2α20(3π2‒2α)cos 2α‒sin 2αcos 2α+sin 2α1‒tan 2α1+tan 2α1‒41+4354.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为,若经过F 和P(0,4)两点的直线平行x 2a 2y 2b 22于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A.x 2-y 2=1B.-=1x 22y 22C.-=1D.-=1x 24y 24x 28y 28答案　D 由题意得双曲线的左焦点为F(-c,0).由离心率e==,得c=a,c 2=2a 2=a 2+b 2,即c a 22a=b,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,则经过F 和P(0,4)两点的直线的斜率k==1,得c=4,所4c 以a=b=2,所以双曲线的方程为-=1,故选D.2x 28y 28二、填空题5.已知点A(2,1),O 是坐标原点,点P(x,y)的坐标满足设z=·,则z 的最{2x ‒y ≤0,x ‒2y +3≥0,y ≥0,OP OA 大值是 . 答案　4解析　解法一:由题意,作出可行域,如图中阴影部分所示,z=·=2x+y,作出直线2x+y=0OP OA 并平移,可知当直线过点C 时,z 取得最大值.由得即C(1,2),则z 的最大{2x ‒y =0,x ‒2y +3=0,{x =1,y =2,值是4.解法二:由题意,作出可行域,如图中阴影部分所示,可知可行域是三角形封闭区域.z=·=2x+y,易知目标函数z=2x+y 的最大值在顶点处取得,求出三个顶点的坐标分别为OP OA (0,0),(1,2),(-3,0),分别将(0,0),(1,2),(-3,0)代入z=2x+y,对应z 的值为0,4,-6,故z 的最大值是4.6.在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a 2+b 2-c 2=ab,且acsin B=2sin C,则△33ABC 的面积为 . 答案　32解析　因为a 2+b 2-c 2=ab,所以由余弦定理得cos C===,又0<C<π,所以C=.3a 2+b 2‒c 22ab 3ab 2ab 32π6因为acsin B=2sin C,所以结合正弦定理可得abc=2c,所以ab=2.故S △ABC =absin C=33312×2sin =.123π632三、解答题7.如图,平行四边形ABCD 中,BC=2AB=4,∠ABC=60°,PA ⊥平面ABCD,PA=2,E 为BC 的中点,F 为PE 的中点.(1)求证:AF ⊥平面PED;(2)求点C 到平面PED 的距离.解析　(1)证明:如图,连接AE,在平行四边形ABCD 中,BC=2AB=4,∠ABC=60°,E 为BC 的中点,∴AE=2,ED=2,3∴AE 2+ED 2=AD 2,∴AE ⊥ED.∵PA ⊥平面ABCD,ED ⊂平面ABCD,∴PA ⊥ED,又PA ∩AE=A,PA,AE ⊂平面PAE,∴ED ⊥平面PAE,又AF ⊂平面PAE,∴ED ⊥AF.∵PA=AE=2,F 为PE 的中点,∴AF ⊥PE.又PE ∩ED=E,PE,ED ⊂平面PED,∴AF ⊥平面PED.(2)设点C 到平面PED 的距离为d.由ED ⊥平面PAE,PE ⊂平面PAE,得DE ⊥PE.在Rt △PED 中,PE=2,ED=2,∴S △PED =2.236在△ECD 中,EC=CD=2,∠ECD=120°,∴S △ECD =×2×2×sin 120°=.123连接PC,由V C-PED =V P-ECD 得,S △PED ·d=S △ECD ·PA,1313∴d===,S △ECD ·PAS △PED3×22622故点C 到平面PED 的距离为.228.随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.现从某市使用A 款订餐软件和使用B 款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下.使用A 款订餐软件的100个商家的“平均送达时间”的频率分布直方图使用B 款订餐软件的100个商家的“平均送达时间”的频率分布直方图(1)已知抽取的100个使用A 款订餐软件的商家中,甲商家的“平均送达时间”为18分钟,现从使用A 款订餐软件且“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研,求甲商家被抽到的概率;(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪一款?解析　(1)使用A 款订餐软件且“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有100×0.006×10=6(个),分别记为甲,a,b,c,d,e,从中随机抽取3个商家的所有情况为{甲,a,b},{甲,a,c},{甲,a,d},{甲,a,e},{甲,b,c},{甲,b,d},{甲,b,e},{甲,c,d},{甲,c,e},{甲,d,e},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,d},{a,c,e},{a,d,e},{b,c,d},{b,c,e},{b,d,e},{c,d,e},共20种.甲商家被抽到的情况为{甲,a,b},{甲,a,c},{甲,a,d},{甲,a,e},{甲,b,c},{甲,b,d},{甲,b,e},{甲,c,d},{甲,c,e},{甲,d,e},共10种.记事件A 为甲商家被抽到,则P(A)==.102012(2)依题意可得,使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数为55,平均数为15×0.006×10+25×0.034×10+35×0.012×10+45×0.004×10+55×0.040×10+65×0.004×10=40.(3)使用B 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.004×10+25×0.020×10+35×0.056×10+45×0.014×10+55×0.004×10+65×0.002×10=35<40.所以选择B 款订餐软件.。

A1．已知数列 { a n } 中， a 1＝a 2＝ 1， a n ＋ 2＝a n ＋ 2， n 是奇数，20 和数列 { a n } 的前2a n ， n 是偶数，()A ．1 121B ． 1 122C ．1 123D ． 1 124分析： 由 意可知，数列 { a 2n } 是首 1，公比 2 的等比数列，数列 { a 2n － 1} 是首1，公差1× 1－ 210＋10× 1＋ 10× 9× 2＝1 123.2 的等差数列， 故数列 { a n } 的前 20 和1－ 22C.答案： C2．若数列 { a n } 足 a 1＝ 15，且 3a n ＋1＝ 3a n － 2， 使 a k ·a k ＋ 1＜ 0 的 k( )A ．22B ． 21C ．24D ． 23分析：因 3a n ＋ 1＝ 3a n －2，因此 a n ＋ 1－ a n ＝－ 2，因此数列 { a n } 是首15，公差32的等差数列，因此22 n ＋ 47 ，令 a n ＝－ 2 47 ＞ 0，得 n ＜ 23.5，所 － a n ＝ 15－ ·(n － 1)＝－3 3n ＋ 3333以使 a k ·a k ＋ 1＜ 0 的 k23.答案： D3．(2017 广· 省五校 作体第一次 断考)数列 { a n } 足 a 1＝1，且 a n ＋1＝ a 1＋ a n ＋ n(n∈N *)， 1 ＋ 1＋⋯＋1 等于 ( )a 1 a 2 a 2 0164 0324 028 A.2 017 B ．2 015 2 0152 014C.2 016D ． 2 015分析：由 a 1＝ 1， a n ＋1 ＝a 1 ＋a n ＋n 可得 a n ＋ 1－ a n ＝n ＋ 1，利用累加法可得a n － a 1＝n － 1 n ＋2n 2＋ n1 2 11 1 1 1，因此a n ＝，因此＝ 2＋ n ＝ 2 － ，故 ＋ ＋ ⋯ ＋＝2n n n n ＋ 1 1 a 2 a 2 0162 a a 1 －1 111－ 1 ＝ 21 4 032 ， A.2 1 2 ＋－＋⋯＋2 0161－2 017＝2 017232 017 答案：A4．(2017 湖·北省七市 (州 ) 考 )在各 都 正数的数列{ a n } 中，首 a 1＝ 2，且点 (a n 2，a n 2－ 1)在直 x － 9y ＝ 0 上， 数列 { a n } 的前 n 和 S n 等于 ()nA ．3 －1C.2分析：由点 (a n 2，a n 2－ 1)在直nB ．1－ －33n 2＋ nD ．222x － 9y ＝ 0 上，得 a n － 9a n － 1＝ 0，即 (a n ＋ 3a n －1 )(a n － 3a n － 1)＝ 0，又数列 { a n } 各 均 正数，且 a 1＝ 2，∴ a n ＋ 3a n － 1>0，∴ a n － 3a n －1＝ 0，即a n＝ 3，∴a n － 1n n数列 { a n } 是首 a 1＝ 2，公比a 1 1－ q2× 3－1n q ＝ 3 的等比数列，其前 n 和 S n ＝＝3－ 1＝ 31－ q－1，故 A.答案：A5．已知等比数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若 a 2＝ 12，a 3·a 5 ＝ 4， 以下 法正确的选项是 ()A ． { a n } 是 减数列B ． { S n } 是 减数列C ．{ a 2n } 是 减数列D ． { S 2n } 是 减数列分析：因为 { a n } 是等比数列， a 3 a 5＝a 42＝ 4，又 a 2＝ 12， a 4>0，a 4＝ 2，q 2＝ 1，当6q ＝－6， { a n } 和 { S n } 不拥有 性， A 和 B ； a 2n ＝ a 2q2n － 2＝ 12× 1 n － 166减， C 正确；当 q ＝－6， { S 2n } 不拥有 性， D ．6答案： C6．在数列 { a n } 中， a 1＝ 1， a n ＋ 2＋ (－ 1)n a n ＝ 1. S n是数列 { a n } 的前 n 和，S 100 ＝________.分析：当 n ＝2k ， a 2k ＋ 2＋ a 2k ＝ 1；当 n ＝ 2k － 1 ， a 2k ＋ 1＝ a 2k － 1＋ 1，因此 a 2k － 1＝ 1＋ (k － 1)× 1＝ k.因此 S 100＝ (a 1＋ a 3＋ ⋯ ＋ a 99) ＋ (a 2＋ a 4＋ a 6＋ a 8＋ ⋯ ＋ a 100 )＝ 1＋ 50×50＋ 25 2＝ 1 275＋ 25＝ 1 300.答案：1 3007． (2016 ·国卷乙全 ) 等比数列 { a n } 足 a 1＋ a 3＝ 10，a 2＋a 4＝ 5， a 1 a 2⋯a n 的最大________．分析：等比数列 { a n } 的公比1 q ， 由 a 1＋ a 3＝ 10，a 2＋ a 4＝q(a 1＋ a 3 )＝ 5，知 q ＝ .2又 a 1＋ a 1q 2＝ 10，∴ a 1＝8.故 a 1a 2⋯ a n ＝ a 1n q 1＋ 2＋ ⋯＋(n －1)＝ 23n ·1n － 1 n2 2＝ 23n －n 2＋ n ＝ 2－n 2＋7n.222 22 t ＝－ n＋7n＝－ 1(n 2－ 7n)，2 22合 n∈N*可知 n＝ 3 或 4 ， t 有最大 6.t6又 y＝ 2 增函数，进而a1a2⋯ a n的最大 2 ＝ 64.8．某数列的前n 和 S n，若S n常数，称数列“和数列”．若一个首S2n1，公差 d(d≠ 0)的等差数列 { a n} “和数列”，等差数列的公差d＝ ________.n11S分析：由S2n＝k( k 常数 )，且 a1＝ 1，得 n＋2n(n－ 1)d＝ k 2n＋2×2n2n－ 1 d ，即 2＋( n－ 1)d＝ 4k＋ 2k(2n－ 1)d，整理得， (4k－ 1)dn＋ (2k－ 1)(2－ d)＝ 0.∵ 随意正整数 n，上d 4k－ 1 ＝0，d＝ 2，1∴数列 { a n} 的公差 2.式恒建立，∴得2k－ 1 2－d ＝0，k＝4，答案： 2nn＋1＋ a(n∈N*n，且 6S n＝3)．9．已知等比数列 { a } 的前 n 和S(1)求 a 的及数列 { a n} 的通公式；1(2)若 b n＝ (1－ an)log 3(a n2·a n＋1)，求数列b n的前 n 和 T n.n＋ 1*分析：(1) ∵6S n＝ 3＋a(n∈ N)，当 n≥2 ， 6a n＝ 6(S n－ S n－1)＝ 2× 3n，即 a n＝ 3n－1，∵ { a n} 是等比数列，∴ a1＝ 1， 9＋ a＝ 6，得 a＝－ 3，∴数列 { a n} 的通公式a n＝ 3n－1(n∈N* )．(2)由 (1) 得 b n＝ (1－ an)log 3( a n2·a n＋1)＝ (3n－2)(3 n＋1) ，∴T ＝1＋1＋⋯＋1n b1b2b n＝1＋1＋⋯＋1 1×4 4×73n－ 2 3n＋ 1＝11－1＋1－1＋⋯＋1－1 34473n－ 23n＋ 1＝n.3n＋ 1*3x2x10．数列{ a n } 的前 n 和S n，且点 (n， S n)(n∈N )在函数 y＝2－2的象上．(1)求数列 { a n} 的通公式；(2) b n＝a n＋ 2n＋1 ，求数列{ b n }的前n和T n. 32分析：(1) 因 点 (n ， S n )(n ∈ N * )在函数 y ＝3x－ x的 象上，22因此 3n 2 －n ＝ 2S n ，①因此当 n ≥ 2 ， 3(n － 1)2－ (n － 1)＝ 2S n － 1，② 由①－②，得6n － 4＝ 2a n ，因此 a n ＝ 3n －2.因 n ＝ 1 ， 3×12－1＝ 2a 1，因此 a 1＝ 1，切合上式，因此数列{ a n } 的通 公式a n＝3n － 2.a n ＋ 2 3n n12 3 n(2)因 b n ＝ 3 n ＋ 1 ＝ 3 n ＋ 1＝ 3n ， T n ＝3 ＋ 32＋33＋ ⋯＋ 3n ，③2 3 n 3T n ＝ 1＋3＋ 32＋ ⋯ ＋3n －1，④1 n1 n1 1 1 n 1×1－3n31－3n 由④－③，得2T n ＝ 1＋ 3＋32 ＋⋯ ＋ 3n －1－3n ＝ 1－ 3n ＝2－ 3n ，1－ 33 － 1 n3 2n ＋ 3 .因此 T n ＝n －1－ n ＝ － n4 4·32·3 4 4·3B1． (2017 全·国卷Ⅰ )几位大学生响 国家的 呼吁，开 了一款 用 件． 激 大家学 数学的 趣，他 推出了“解数学 取 件激活 ”的活 ． 款 件的激活下边数学 的答案：已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ，⋯，此中第一 是20，接下来0,10,1, 2N ：N>100的两 是 2 2 ，再接下来的三 是 2 2 2 ，依此 推．求 足以下条件的最小整数且 数列的前N 和 2 的整数 ．那么 款 件的激活 是()A ．440B ． 330C ．220D ． 110分析：首 第1 ，接下来的两 第2 ，再接下来的三 第3 ，依此推， 第 n 的 数 n ，前 n 的 数和n 1＋ n.2由 意知， N>100，令n 1＋ n>100 ? n ≥ 14，且 n ∈ N *，即 N 出 在第 13 以后．2nn第 n 的各 和 1－ 2＝ 2n － 1，前 n 全部 的和2 1－2 － n ＝ 2n ＋1－ 2－n.1－21－2N 是第 n ＋ 1 的第 k ，若要使前 N 和 2 的整数 ， N －n1＋ n的和即2第 n ＋ 1 的前 k 的和 2k －1 与－ 2－ n 互 相反数，即 2k － 1＝2＋ n(k ∈ N * ， n ≥ 14)， k＝log 2(n ＋ 3)? n 最小29，此 k ＝5， N ＝29×1＋ 29＋ 5＝ 440.故 A.2答案： A2． (2017 昆·明市教课 量 )在平面直角坐 系上，有一点列P 1， P 2，⋯， P n ，⋯ (n*)， 点 P n 的坐2 *)， 点 P n ，P n ＋ 1 的直 与两坐 所∈N(n ，a n )，此中 a n ＝ (n ∈Nn成的三角形的面b n ， S n 表示数列 { b n } 的前 n 和， S 5＝ ________.22 － 2n，即分析：由 意得， 点 P n ， P n ＋ 1 的直y － n＝n ＋12x ＋n(n ＋ 1)y － 2(2nx － n n ＋ 1 － n＋1) ＝ 0.令 y ＝ 0，得 x ＝ 2n ＋ 1，令 x ＝ 0，得 y ＝22n ＋1 ，因此 b n ＝ 1× (2n ＋1) ×2 2n ＋ 1＝n n ＋1 2 n n ＋ 14＋ 11 －11 1 1 1 1 125＝ 4＋ n ＋ 1，因此 S 5＝ 4×5＋ 1－ ＋ － ＋ ⋯ ＋ － ＝ .n n ＋ 1 n 2 2 3 5 6 6答案：12563．已知△ ABC 的角 A 、 B 、 C 的 分a 、b 、c ，其面S ＝ 4 3， B ＝ 60°，且 a 2＋ c 2＝2b 2；等差数列 { a n } 中， a 1＝ a ，公差 d ＝b.数列 { b n } 的前 n 和 T n ，且 T n －2b n ＋ 3＝0， n ∈ N * .(1)求数列 { a n } 、 { b n } 的通 公式；a n ， n 奇数(2) c n ＝，求数列 { c n } 的前 2n ＋ 1 和 P 2n ＋ 1.b n ， n 偶数分析：(1) ∵S ＝ 1acsin B ＝4 3，∴ ac ＝ 16，2又 a 2＋ c 2＝ 2b 2，b 2 ＝a 2＋ c 2－ 2accos B ，∴ b 2＝ ac ＝16，∴ b ＝4，进而 (a ＋ c)2＝ a 2＋ c 2＋ 2ac ＝ 64， a ＋ c ＝ 8， ∴ a ＝ c ＝ 4.a 1＝ 4，故可得∴ a n ＝ 4n.d ＝ 4，∵ T n － 2b n ＋ 3＝ 0，∴当 n ＝ 1 ， b 1＝ 3，当 n ≥2 ， T n － 1－ 2b n －1 ＋3＝ 0，两式相减，得 b n ＝ 2b n － 1(n ≥ 2)，n － 1∴数列 { b n } 等比数列，∴b n ＝ 3·2.4n ， n 奇数(2)依 意，c n ＝3·2n － 1， n 偶数 .P 2n ＋ 1＝ (a 1＋ a 3＋ ⋯＋ a 2n ＋ 1)＋ (b 2＋ b 4＋ ⋯ ＋b 2 n )＝[4＋ 4 2n ＋1 ] n ＋ 1 ＋6 1－4n21－4＝ 22n －1＋ 4n 2＋ 8n ＋ 2.4．已知数列 { a n } 足 a n ＋1－ a n ＝ 2[f(n ＋1) －f(n)](n ∈ N * )．(1)若 a 1＝ 1， f(x) ＝3x ＋ 5，求数列 { a n } 的通 公式；(2)若＝ 6， f(x) ＝2x 且 λa n ＋ n ＋ 2λ 全部a 1 n >2n ∈ N * 恒建立，求 数λ的取 范 ．分析：(1) 因 a n ＋ 1－a n ＝ 2[f(n ＋ 1)－ f(n)](n ∈N * )， f(n)＝ 3n ＋ 5，因此 a n ＋ 1－ a n ＝ 2(3n ＋ 8－ 3n － 5)＝ 6， 因此 { a n } 是等差数列，首a 1＝1，公差6，即 a n ＝ 6n － 5.(2)因 f(x)＝ 2x ，因此 f(n ＋ 1)－ f(n)＝ 2n ＋1－ 2n ＝2n ， 因此 a n ＋ 1－ a n ＝ 2·2n ＝ 2n ＋1.当 n ≥2 ， a n ＝ (a n － a n －1)＋ ( a n － 1－ a n －2 )＋ ⋯＋ (a 2－ a 1)＋ a 1＝ 2n ＋ 2n － 1＋ ⋯ ＋ 22＋ 6＝ 2n＋1＋ 2，当 n ＝1 ， a ＝ 6，切合上式，因此a ＝2 n ＋1＋ 2.1n由 λa n2n ＋ n 1 nn ＋ 1n 1－n或 n ＝＋ n ＋ 2λ，得 λ>n ＋ 1 ＝ ＋ n ＋ 1，而n ＋2－ n ＋ 1＝n ＋ 2 ≤ 0，因此当 n ＝ 1n >222 22 22n＋ n 3，故 λ的取 范3，＋∞ .2n ＋1 获得最大2 ， 244。

2019-2020年高三数学二轮复习高考小题专攻练4数列理新人教版一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=( )A.-1B.1C.3D.7【解析】选B.因为a1+a3+a5=105，即3a3=105，所以a3=35.同理可得a4=33，所以公差d=a4-a3=-2，所以a20=a4+(20-4)×d=1.2.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( )A. B.- C. D.-【解析】选C.设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.3.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( )A. B.- C.± D.±3【解析】选A.依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.4.等差数列{a n}中,a1>0,公差d<0,S n为其前n项和,对任意自然数n,若点(n,S n)在以下4条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )【解析】选C.因为S n=na1+d,所以S n=n2+n,又a1>0,公差d<0,所以点(n,S n)所在抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧.5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m等于( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.由S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,得a m=2,a m+1=3,所以d=1,因为S m=0,故ma1+d=0,故a1=-,因为a m+a m+1=5,故a m+a m+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,即m=5.6.已知数列{a n}的通项公式是a n=,其前n项和S n=,则项数n等于( )A.13B.10C.9D.6【解析】选D.因为a n=1-,所以S n=+++…+=n-=n-=n-1+.因为S n=,所以n-1+==5+,所以n=6.7.下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{a n+3nd}是递增数列.其中的真命题为( )A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4【解析】选D.设a n=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以p1为真命题;若a n=3n-12,则满足已知,但na n=3n2-12n并非递增数列,所以p2为假命题;若a n=n+1,则满足已知,但=1+是递减数列,所以p3为假命题;a n+3nd=4dn+a1-d,它是递增数列,所以p4为真命题.8.在等差数列{a n}中,满足3a4=7a7,且a1>0,S n是数列{a n}前n项的和,若S n取得最大值,则n= ( )A.7B.8C.9D.10【解析】选 C.设公差为d,由题设3(a1+3d)=7(a1+6d),所以d=-a1<0.解不等式a n>0,即a1+(n-1)>0,所以n<,则n≤9,当n≤9时,a n>0,同理可得n≥10时,a n<0.故当n=9时,S n取得最大值.9.已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数,数列{a n}是等差数列,a1009>0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a xx)+f(a xx)的值( )A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负【解析】选A.因为{a n}是等差数列,所以a1+a xx=a2+a xx=…=2a1009>0,得a1>-a xx,a2>-a xx,…,又f(x)是定义在R上的单调增函数,且f(-x)=-f(x),所以f(a1)>-f(a xx),即f(a1)+f(a xx)>0,同理,f(a2)+f(a xx)>0,…,所以f(a1)+f(a2)+…+f(a xx)+f(a xx)的值恒为正数.10.已知数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n(2n-1)·cos+1(n∈N*),其前n项和为S n,则S60= ( )A.-30B.-60C.90D.120【解析】选D.由题意可得,当n=4k-3(k∈N*)时,a n=a4k-3=1;当n=4k-2(k∈N*)时,a n=a4k-2=6-8k;当n=4k-1(k∈N*)时,a n=a4k-1=1;当n=4k(k∈N*)时,a n==8k.所以a4k-3+a4k-2+a4k-1+=8,所以S60=8×15=120.11.已知f(x)=x+1,g(x)=2x+1,数列{a n}满足a1=1,a n+1=则a xx= ( )A.2xx-xxB.21007-xxC.2xx-2D.21009-2【解析】选D.a2n+2=a2n+1+1=(2+1)+1=2+2.即a2n+2+2=2(+2),所以{+2}是以2为公比,a2+2=4为首项的等比数列.所以+2=4×2n-1=2n+1.所以=2n+1-2.所以a xx=21009-2.12.设函数f1(x)=x,f2(x)=log xx x,a i=(i=1,2,…,xx),记I k=|f k(a2)-f k(a1)|+|f k(a3)-f k(a2)|+…+|f k(a xx)-f k(a xx)|,k=1,2,则( )A.I1<I2B.I1=I2C.I1>I2D.I1与I2的大小关系无法确定【解析】选A.依题意知,f1(a i+1)-f1(a i)=a i+1-a i=-=,因此I1=|f1(a2)-f1(a1)|+|f1(a3)-f1(a2)|+…+|f1(a xx)-f1(a xx)|=.因为f2(a i+1)-f2(a i)=log xx a i+1-log xx a i=log xx-log xx>0,所以I2=|f2(a2)-f2(a1)|+|f2(a3)-f2(a2)|+…+|f2(a xx)-f2(a xx)|=+(log xx-log xx)+…+=log xx-log xx=1,因此I1<I2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.在等差数列{a n}中,已知log2(a5+a9)=3,则等差数列{a n}的前13项的和S13=________. 【解析】因为log2(a5+a9)=3,所以a5+a9=23=8.所以S13====52.答案:5214.已知等差数列{a n}中,a1,a99是函数f(x)=x2-10x+16的两个零点,则a50+a20+a80=________. 【解析】依题意a1+a99=10,所以a50=5.所以a50+a20+a80=a50+2a50=.答案:15.数列{a n}的通项公式a n=,若{a n}的前n项和为24,则n=________.【解析】a n==-.所以(-1)+(-)+…+(-)=24,所以=25,所以n=624.答案:62416.对正整数n，设曲线y=x n(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则的前n项和是________.【解析】曲线y=x n(1-x)=x n-x n+1，曲线导数为y′=nx n-1-(n+1)x n，所以切线斜率为k=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1，切点为(2，-2n)，所以切线方程为y+2n=-(n+2)2n-1(x-2)，令x=0得，y+2n=(n+2)2n，即y=(n+1)2n，所以a n=(n+1)2n，所以=2n，所以数列是以2为首项，q=2为公比的等比数列，所以S n==2n+1-2.答案：2n+1-2。

（2）设直线的方程：，据题意有，即。

h kx y +=212ak h=+212k ah +=由，得，因为直线与椭圆有公共点，所以，又把代入上式得：。

⎪⎩⎪⎨⎧=++=222499a y x h kx y 04929)41(92222=-+++a h khx x k 1l 222499a y x =+,081)4(9222≥-+=∆h a k 212k ah +=535535,572≤≤-∴≤k k 2、已知椭圆经过点，两个焦点为。

C A（1）求椭圆的方程； C（2）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值。

F E , 解：（1）由题意，可设椭圆方程为，∵在椭圆上，∴，解得，（舍）A∴椭圆的方程为。

C（2）设的方程为：，代入得：AE，设，，EF∵点在椭圆上，∴，A又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式以代，AF AE可得∴直线的斜率，EF即直线的斜率为定值。

3、设、分别是椭圆的左、右焦点。

1422=+y x（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；P 12PF PF ⋅u u u r u u u u r（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。

)2,0(M l B A ,AOB ∠O l k解：（1）依题易知，所以，设，2,1,3a b c ===()()123,0,3,0F F -(),P x y则()()22123,,3,3PF PF x y x y x y ⋅=-----=+-u u u r u u u u r()2221133844x x x =+--=-因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值—2[]2,2x ∈-0=x P12PF PF ⋅u u u r u u u u r当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1。

2±=x P 12PF PF ⋅u u u r u u u u r5、已知椭圆方程为，斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点。

2020届高三数学二轮复习备考限时训练（4）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分． 1. 设集合{1,2}M =，那么满足条件{1,2,3,4}MN =的集合N 的个数是〔 〕A ．1B ．3C ．4D ．8 2. 命题〝假设p 那么q 〞为真，那么以下命题中一定为确实是〔 〕A ．假设p ⌝那么q ⌝B ．假设q ⌝那么p ⌝C ．假设q 那么pD ．假设q ⌝那么p3. 假设π02α-<<，那么点(cos ,sin )Q αα位于〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 在等差数列{}n a 中，5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，那么11S = 〔 〕A ．45B ．50C ．55D ．605. 如下图，一个空间几何体的主视图和左视图差不多上边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么那个几何体的全面积为 〔 〕A ．3π2B ．2πC ．3πD ．4π6. 函数2()2x f x x =-的零点个数是〔 〕A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7. 电流强度I 〔安〕随时刻t 〔秒〕变化的函数πsin 6I A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭〔0A >，0ω≠〕的图像如下图，那么当150t =时，电流强度是 〔 〕A ．5-安B ．5安C ．53D ．10安 8. 假设函数()23k kh x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，那么实数k 的取值范畴是 〔 〕 A ．[2,)-+∞B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞-D ．(,2]-∞9. 甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子〔它们的六个面分不标有数字1,2,3,4,5,6〕，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分不为x 、y ，那么满足复数i x y +的实部大于虚部的概率是〔 〕A ．16B ．512主视图左视图俯视图C ．7 12D．1310.在xOy平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意n*∈N，连接原点O与点(,4)nP n n-，用()g n表示线段nOP上除端点外的整点个数，那么(2008)g=〔〕A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共20分．其中第13题前一空2分，后一空3分；第14、15两小题是选做题，考生只能选做一题，假设两题都做，那么只以第14题的得分为最后得分．11.||3u=，||4v=，以u与v同向，那么u v⋅=．12.准线方程为2x=的抛物线的标准方程是．13.图〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕分不包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物〝福娃迎迎〞，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含()f n个〝福娃迎迎〞，那么(5)f=；()(1)f n f n--=．〔答案用数字或n的解析式表示〕14.〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，直线π3θ=〔ρ∈R〕与圆4cosρθ=+ 43θ交于A、B两点，那么AB=．15.如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，23AD=6AC=，圆O的半径为3，那么圆心O到AC的距离为．B ODC2018备考限时训练〔四〕答案一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个备选项中，有且只有一项为哪一项符合题目要求的．二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共20分．其中第13题前一空2分，后一空3分；第14、15两小题是选做题，考生只能选做一题，假设两题都做，那么只以第14题的得分为最后得分． 11．12 12．28y x =-13．41，4(1)n -14．815。