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弯曲问题的进一步研究与组合变形课件

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弯扭组合变形 PPT

弯扭组合变形 PPT
P=25KN
m 151.4 10 0.6 15KN.m
AB为扭转和平面 弯曲的组合变形。
0.8m
10KN
D
A
B
15KN
C
P
A
m
B
P=25KN m 151.4 10 0.6
15KN.m
画扭矩图和弯矩图
固定端截面为危险截面
T=15KN.m
Mmax 20KN.m
W D3 (1 4)
32
C1
r4 2 3 2
该公式适用于图示的平面应力状态。是危险点的正应力， 是危险点的剪应力。且横截面不限于圆形截面。
可以是由弯曲，拉（压）或弯曲与拉（压）组合变形引起。
是由扭转变形引起
2 对于圆形截面杆有
Wt
2W
π d3 16
弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为
r3
(M
2
)
4(
T
r3
(
M
2
)
4(
T
2
)
1
W
Wt W
T 2 M 2 157.26 [ ]
P
A
m
B
15KN.m
+
20KN.m
-
例题2 直径d=40mm的实心钢圆轴，在某一横截面上的内力分 量为N=100KN，Mx=0.5KN.m，My=0.3KN.m。已知此轴的许 用应力[]=150MPa。试按第四强度理论校核轴的强度。
2
)
W Wt
M 2T2
W
σr4
(
M
2
)
3
(
T
2
)
W
Wt
M2 0.75T2 W

工程力学弯曲变形教学课件

工程力学弯曲变形教学课件

复合弯曲
构件在多个方向上的弯曲，如螺 旋弹簧。
特点
弯曲构件应力状态复杂，难以直 观描述。
弯曲变形的应用领域
建筑结构
如板材、梁、柱等结构的设计。
管道工程
例如油气管道的输送、变形与控制。
车辆工程
比如汽车、火车的车体、悬挂、轮轴等的设计。
机械制造
如转子、齿轮的制造及加工工艺的设计。
工程力Байду номын сангаас弯曲变形的研究方法
工程实例分析：高速铁路钢轨的弯曲变形
1 设计要求
2 轨道变形及寿命
3 分析方法
轨道线形和理论分析准确， 轨道表面平整，满足高速 列车的舒适性要求。
铁路轨道在使用过程中会 发生弯曲变形和垂向变形， 会影响轨道寿命和车辆行 驶安全。
载荷计算、应力分析、变 形分析、疲劳寿命分析、 几何形状优化等方法。
弯曲变形未来发展趋势
2 应用
纯弯曲在平面构件及杆件的弯曲变形分析有广泛应用，而复合弯曲则常见于薄壳结构的 变形分析。
工程力学对弯曲变形的判定准则
1
最大应力准则
理想的弯曲构件上，弯曲应力分布处，最大应力是许容应力的一定倍数。
2
最大应变准则
理想的弯曲构件上弯曲应变分布处，最大应变是许容应变的一定倍数。
3
能量方法
包括弯曲形态能、应变能等计算方法。
2 影响
材料弹性模量越大，弯曲变形的刚度越大；模量越小，刚度越小。
不同材料的弯曲特性
铝合金
木材
弯曲特性良好，重量轻，易加工， 耐腐蚀性能好。
弯曲特性较好，在建筑结构、家 具等领域有广泛应用。
钢材
弯曲特性相对较强，适用于制造 各种构件。
基础理论：欧拉梁理论

第六章弯曲变形ppt课件

第六章弯曲变形ppt课件

2.常见截面对中性轴的惯性矩Iz。
精品课件
弯曲变形/用积分法求弯曲变形
§6.3 用积分法 求弯曲变形
精品课件
d2w M（x） dx2 EI
挠度和转角是弯曲变形的标志，如何 根据挠曲线微分方程求解挠度和转角呢？
精品课件
弯曲变形/用积分法求弯曲变形
由挠曲线的近似微分方程 d 2 w M ( x )
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
例1已知：q、l、EI，
求：wC 和B
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
w
参见188页表6.1
w
w
精品课件
10 8、9
6
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形 w
w
w
精品课件
B1
ql3 24EI
,
5ql4 wC1 384EI
B2
(ql)l2 16EI
q3l , 16EI
(ql)l3 wC2 48EI
B3
(q2l)l q3l , 3EI 3EI
wC3
ql 4 16EI
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
BB1B2B3
ql 3
ql 3
ql 3 11ql 3
24 EI 3 EI 16 EI 48 EI
w Cw C 1w C 2w C 3 5ql 4 384EI
3 ql 4 48 EI
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
例2已知：F、L、a、EI，
求：wC
F
A
B
C
L
a
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形 F 1）考虑AB段(BC段看作刚体)
A
F作用在支座上，不产生变形。

组合变形(工程力学课件)

组合变形(工程力学课件)

偏心压缩（拉伸）
轴向拉伸（压缩）
偏心压缩
F2 F2e
轴向压缩（拉伸）和 弯曲两种基本变形组合
偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
双向偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
外力
内力
平移定理
应力
+
=
弯矩
轴力
max
min
FN A
Mz Wz
【例 1】求横截面上的最大正应力
F 50 kN
e 10 mm
组合变形的概念 及其分析方法
杆件的四种基本变形
轴向拉压 剪切 扭转
F
F
F
F
Me
Me
沿轴线的伸长或缩短 相邻横截面相对错动 横截面绕轴线发生相对转动
Me
弯曲
Me
F
轴线由直线变为曲线 横截面发生相对的转动
两种或两种以上基本变形的组合，称为组合变形
常见的 组合变形
（1）拉（压）弯组合 （2）斜弯曲（弯、弯组合） （3）偏心压缩（拉伸） （4）弯扭组合
24 106 401.88 103
64
4.3 59.7 64 [ ] 满足强度要求
59.7 55.4
斜弯曲
平面弯曲
作用线与截面的 纵向对称轴重合
梁弯曲后挠曲线位于外力F所在的纵向对称平面内
斜弯曲
作用线不与截面 的对称轴重合
梁弯曲后挠曲线不再位于外力F所在的纵向平面内
图示矩形截面梁，应用叠加原理对其进行分析计算：
3、应力分析
( z,y)
横截面上任意一点 （ z, y） 处 的正应力计算公式为
Mz
z
O
x
1.拉伸正应力
N

七弯曲变形ppt课件

七弯曲变形ppt课件

x
挠曲线方程： w f (x)
转角方程： tan f ( x) d w
dx
四、画绕曲线近似外形的方法 1、思索支座的约束特点
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w A= 0,wB = 0
2、思索弯矩的变化
弯矩为正，下凸
A
弯矩为负，上凸
弯矩为O的线段，直线 M 弯矩为O的点，拐点
P
P
B
x
例：
q P
A a Ba
•边境条件 x 1 0 ,w A 0 ;x 2 a ,w B 0 ;
•延续条件 x 1 x 2 a ,w 1 w 2 w B , 1 2 B ;
C
P
a
a
•边境条件 x 1 0 ,w A 0 , A 0 ;
•延续条件 x 1 x 2 a ,w 1 w 2 w C , 1 2 C ;
平面曲线(挠曲线) w f (x)
上恣意点的曲率公式。
对于小挠度情形有
dw
2
d x
1
d2w M (x)
dx2
EI
d2w dx2
M (x) EI
d 2w 0 dx 2
d2w M (x) dx2 EI ——挠曲线的近似微分方程
d 2w dx 2 0
d2w dx2
M (x) EI
d2w dx2
w ma xw 1xx0
Pb(l2b2)3 93EzlI
讨论：
〔1〕
AC段：
EEIww I11E PlbIx11Pl bx212C1
EI1wPl bx613C1x1D1
CB段： Ew I2 Pl b x2P(x2a)
Ew 2 IE2IP l x 2 b 2 2P(x2 2a)2C 2

材料力学 弯曲变形ppt课件

材料力学 弯曲变形ppt课件

由此可见，M
与
d 2w dx2
始终保持同号，（d）式左边取“+”号，即有
6.1 引 言
d2w dx2
M(x) EI
〔6－2〕
式(6－2)称为梁挠曲线的近似微分方程。根据这个近似 微分方程所得的解，在工程中，已足够准确。
对于等截面梁，抗弯刚度EI为常量，式(6－2)可改写为
d2w EI dx2
M(x)
CB段:
E(I x) Fx2 b F (x a )2 F(b b 2 l2)
2 l 2
6 l
(g) 〔h〕
〔i〕
E(I x) w Fx3 b F (x a )3 F(b b 2 l2)x 〔j〕
6 l 6
6 l
6.1 引 言 〔5〕求梁的最大转角与最大挠度。
将x=0代入式〔g〕可得梁左端面的转角为
6.1 引 言
〔3〕分段建立梁的挠曲线近似微分方程。写出挠曲线
的近似微分方程分别为
AC段:
d2w b
EI dx2
l
Fx
CB段:
EIdd2xw 2 bl FxF(xa)
6.1 引 言
〔4〕积分法求变形。分别积分两次，可得
AC段:
EIdwFbx2 dx 2l
C1
(a)
EIwF6lbx3C1xD1
(b)
图6－3
6.1 引 言
解 选取坐标系如图6－3所示。距梁左端为x处截面的弯
矩为
M x W l x W W x l
代入式〔6－3〕，得挠曲线的近似微分方程为
EIdd2xw2 WxWl
将式〔a〕积分一次，得
EIdwW2xWlxC dx 2
再积分一次，得 W3x Wl2x

工程力学-组合变形课程课件


离中性轴最远的点，这就是危险点。
令 y0 , z0 代表中性轴上任一点的坐标，
即得中性轴方程
中性轴
z
1 ez z ey y 0
O
Iy
Iz
中性轴在 y , z 两轴上的截距为 D2
ay
D1
az y
ay
iz2 ey
az
iy2 ez
工程力学
第12章 组合变形
例12.6 螺旋夹紧装置如图所示，已知 F 2kN ，
800
D
C
A
2500
B
1500
F
工程力学
第12章 组合变形
1、先计算出CD 的杆长
800
D
C
A
2500
1500
FCD
FAx A
FCDx
FAy
FCDy
l 25002 8002 2620mm 2.62m
2、取AB为研究对象，画受力简图
B
MA 0
F
FCD
2.5 2.5 2.62
F
(2.5 1.5)
中性轴与y 轴的夹角q 为
tanq z0 I y M z I y tan
y0 I z M y I z
式中， 为合弯矩与轴的夹角。
Iz Iy Iz Iy
q q
斜弯曲 平面弯曲
工程力学
中性轴将横截面分为两部分，一部分受 拉应力，一部分受压应力。作平行于中 性轴的两直线，分别与横截面的周边相 切，这两个切点D1，D2就是该截面上拉应 力和压应力为最大的点。将危险点的坐 标代入（12.1）式，即可求得横截面上的 最大拉应力和最大压应力。危险点的应 力状态为单向应力状态或近似当作单向 应力状态，故其强度条件为

《弯曲变形》课件2


航空航天器中的弯曲变形控制
总结词
航空航天器中，弯曲变形控制对于确保 飞行器的气动性能和结构稳定性至关重 要。
VS
详细描述
在航空航天领域，弯曲变形控制涉及到飞 机和航天器的整体和局部结构的刚度和稳 定性要求。为了减小弯曲变形，需要采取 一系列的设计和控制措施，如优化结构设 计、加强材料和制造工艺的控制等。这有 助于提高飞行器的性能和安全性。
感谢观看
THANKS
弯曲变形的定义
01
02
03
弯曲变形
物体在受到外力作用时， 其形状发生改变的现象。
弯曲变形的程度
与外力的大小、物体的材 料性质和受力方式等因素 有关。
弯曲变形的特点
物体在受力后发生弯曲， 但内部结构并未发生破坏 或永久性变形。
弯曲变形的应用场景
桥梁工程
桥梁在车辆和风载等外力作用下会发 生弯曲变形，但设计合理的桥梁结构 能够保证安全性和稳定性。
几何方程
描述了物体形状的变化和 应变之间的关系。
弯曲变形的能量平衡方程
应变能
物体因弯曲变形而储存的能量， 与应力和应变有关。
外力势能
物体受到的外力与位移有关，可以 转化为势能。
能量平衡方程
描述了物体在弯曲变形过程中能量 的变化和平衡。
弯曲变形的有限元分析
有限元模型
将物体划分为有限个小的单元 ，每个单元有一定的属性和行
分析
对实验结果进行统计分析，研究弯曲变形的规律和特点。通过对比不同材料和规 格的试样，分析其抗弯性能和影响因素。结合理论分析，探讨弯曲变形的本质和 机理。
06
弯曲变形的实际应用案例
桥梁工程中的弯曲变形控制
总结词
桥梁工程中，弯曲变形控制是确保结构安全和稳定的关键因素。

第十二章弯曲变形ppt课件

该挠曲线微分方程是非线性的，适用于弯曲变形的任何情况。
5、挠曲线近似微分方程 在小变形的条件下，
(x) M(x)
12(x)32 EzI
挠曲线是一条光滑平坦的曲线，
转角 较小，
(x)(x)0 12(x)1
故得挠曲线近似微分方程：
'' M(x)
EI
符号规定：
ω M
M0
d 2
dx 2
0
M x
ω
图所示。试求 (x),w(x) A
和 A 。
F Ay
1、求支座反力
FAy
Fb L
,
FBy
Fa L
2、分段列出梁的弯矩方程
AC段 (0xa)
M1(x)FAxFLbx,
x
x a L
F B
C b
x
FBy
BC段 (axL) M2(x)F LbxF(xa),
3
M1(x)
Fbx, L
EI1
Fb x, L
3、转角 截面绕中性轴转过的角度 逆时针为正
弯曲变形的物理量 挠度ω + 转角
§12.2 挠曲线的微分方程
1、建立y坐标系
x
x
2、挠曲线方程：
Xoy平面 就是梁的纵向对称面； 在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内
的一条平面曲线； 该曲线方程为 ： f (x)
3、挠度、转角物理意义
连续条件： xa 1 2 1 2
C1
Fb(L2 6L
b2)
C2
,
D1D20
ω
F
a
x
L
EI1
Fbx2 2L
C1
E I16 FLbx3C1xD1

弯曲问题的进一步研究与组合变形课件


Fz x
y
M x
yy
Fy F
lx y
l
M
cos
Iz
y
M
sin
Iy
z
（11-1）
(4) 危险截面（固定端）上的弯矩及正应力分布
M z,max Fyl F cosl M max cos
其中：M max Fl
M y,max Fzl F sinl M max sin
梁上的最大总弯矩
F
a
cos
Iz
y0
sin
Iy
z0
0
y (11-3) （中性轴方程）
可见斜弯曲时中性轴是一条通过横截面形心的直线。该直线的斜
率（中性轴与y轴的夹角的正切）为
tan a z0 I y cos I y cot
(11-4)
y0
I sin I z
弯曲问题z的进一步研究与组合变形
27
确定了中性轴的位置后，作两条与中性轴 平行而与横截面周边相切的直线，将所得 切点的坐标分别代入（11-1）式，就可求 得指定横截面上的最大拉应力和最大压应 力。而弯矩最大截面上的切点就是梁的危 险点。
Wz 402cm3 Wy 48.3cm3
155106 Pa 155MPa 故此梁满足正应力强度条件
讨论：若F力的作用线与y轴重合，即＝0，则梁的最大正应力为
max
M max Wz
20 103 402 106
弯4曲9问.8题的进10一6步P研a究与组4合9变.8形MPa
远 小 于 155M Pa
M z,max M max cos 20 cos15 =19.3kN.m
M y,max M max sin 20 sin15 =5.18kN.m
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Fz x
y
M x
yy
Fy F
lx y
l
M
cos
Iz
y
M
sin
Iy
z
（11-1）
(4) 危险截面（固定端）上的弯矩及正应力分布
工程中的许多受力构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形，
称为组合变形。
eF
Me
轴向压缩和弯曲
F
（轴向压缩 和弯曲）
轴向拉伸和扭转
偏心压缩
弯曲问题的进一步研究与组合变形
4பைடு நூலகம்
弯曲问题的进一步研究与组合变形
5
弯曲问题的进一步研究与组合变形
6
F q
弯曲问题的进一步研究与组合变形
水坝
7
当组合变形是属于小变形的范畴时，且材料是在线弹性范围内工 作，就可以利用叠加法进行分析。
15
弯曲问题的进一步研究与组合变形
16
开口薄壁截面梁受横向力作用时，其变形形式可归纳为：
（1）若横向力和形心主轴平行或重合，且通过截面的弯心，则梁 产生平面弯曲；
（2）若横向力和形心主轴平行或重合，但不通过截面的弯心，则 梁同时产生平面弯曲和扭转变形；
（3）若横向力不和形心主轴平行或重合，但通过截面的弯心，则 梁产生斜弯曲；
l
A•
y
y
a
b
z
• C A
y
c
平面弯曲和扭转 斜弯曲和扭转 斜弯曲
弯曲问题的进一步研究与组合变形
18
§11-3 斜弯曲
前面讲过只要作用在杆件上的横向力通过弯心，并与一个形心主轴 方向平行，杆件将只发生平面弯曲。但在工程实际中，有时横向力 通过弯心，但不与形心主轴平行。例如屋架上倾斜放置的矩形截面 檩条，它所承受的屋面荷载q就不沿截面的形心主轴方向。
曲。如果横向力与一个形心主轴平行但不通过弯心，则梁不仅发
生平面弯曲，还将发生扭弯曲转问题变的进形一步。研究与组合变形
11
由置于、大Fs小y和无F关sz 在，横故截截面面上弯的心作的用位线置位也置与与外外力力的的位位置、F s z 大小无关，仅与截面的形状和尺寸有关。这就是说，
•A
弯心的位置是横截面的几何特性。
檩条
yq
z
a
试验结果以及后面的分析均表明此时挠曲线不再位于外力所在的纵 向平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
弯曲问题的进一步研究与组合变形
19
z
z
Mz
C y, z
y
M x
yy
lx
l
Fz单独作用：
z x
一. 正应力计算及强度条件
z (1) 将力F沿y、z轴方向分解 Fz x Fy F cos , Fz F sin
其基本步骤是：
（1）将载荷分解，得到与原载荷等效的几组简单载荷，使构 件在每组简单载荷作用下只产生一种基本变形。
（2）分别计算构件在每种基本变形下的应力和位移。
（3）将每种基本变形下的应力和位移叠加，就是组合变形的解。
本章讨论斜弯曲、拉压与弯曲、弯曲与扭转等的组合变形情况
弯曲问题的进一步研究与组合变形
弯曲问题的进一步研究与组合变形
10
二 开口薄壁截面弯曲中心
F R F sy F
F R F sy F
C
z
yx
C
z
y
z1F
z
C
z1F
F F R Fsz C
y e
C
z
y
e
z
y
F sz
•A
F sy
上述两个剪力Fsy和Fsz作用线的交点称为横截面的弯曲中心 （也称剪切中心，简称弯心或剪心）
只要横向力通过弯心并与一个形心主轴平行，则梁只发生平面弯
F sy
常见开口薄壁截面的弯曲中心位置 A位于对称轴上
•
A
z C
•A
z
C
y
y
A和C重合
A
• •C
z
A
•
•C
z
ey
ey
A
•
A
A位于两矩形中
•C
z
• • C z 心线的交点处
y y 弯曲问题的进一步研究与组合变形
12
弯曲问题的进一步研究与组合变形
13
弯曲问题的进一步研究与组合变形
14
弯曲问题的进一步研究与组合变形
弯曲，y轴为中性轴
弯曲问题的进其一中步研：究与M组合变形F (l x) x截面上的总弯矩
20
(3) x截面上任一点C（y,z） 处的正应力
M z y M cos y
Iz
Iz
M y z M sin z
Iy
Iy
上两式弯矩均为绝对值
叠加（代数和）：
z
z
z
Mz
C y, z
纵向对称面
F1
F2
梁变形后的轴线所在平
面与外力所在平面相重
合的这种弯曲称为平面
FB 弯曲。
对称轴
FA
问题：当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但 外力的作用面与该纵向对称平面间有一夹角，则该梁发生什么变 形呢？
弯曲问题的进一步研究与组合变形
3
F
F
F
C
z
z
C
F
z
C
y
y
y
斜弯曲
斜弯曲 平面弯曲与扭转
第十一章
弯曲问题的进一步研究 与组合变形
弯曲问题的进一步研究与组合变形
1
目录
§11-1 概述 §11-2 非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心 §11-3 斜弯曲 §11-4 拉伸(压缩)与弯曲 截面核心 §11-5 弯曲与扭转
§11-6 纵弯曲
弯曲问题的进一步研究与组合变形
2
§11-1 概述 我们曾在第四章介绍过平面弯曲的概念：
Fy单独作用：
Fy F
z
y
x
l x
y
Fy
x
梁在竖直平面xy内发生平面
弯曲，z轴为中性轴
斜弯曲：两个互相垂直方向的平面 弯曲的组合
x
y
lx F z
(2) 任意x截面上的弯矩 M z Fy (l x) F cos(l x) M cos
梁在水平平面xz内发生平面 M y Fz (l x) F sin(l x) M sin
弯曲问题的进一步研究与组合变形
9
2. 非对称截面梁平面弯曲的条件
z
Me
Me
x
y
C
z
I yz 0
y
y、z为形心主轴
My
zdA
A
E
yzdA
A
E
I yz
0
平面弯曲
非对称截面梁产生平面弯曲的条件：当外力（包括外力偶和横 向力）作用在梁的形心主惯性平面内（或作用在与形心主惯性 平面平行的平面内）时，梁将产生平面弯曲。
8
§11-2 非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心
一 非对称截面梁的平面弯曲
1. 对称截面梁的平面弯曲
z
Me
Me
x
C
z
y
挠曲线
y
y、z为形心主轴
Me
M
C
y
z y
z
x dA
静力学条件
My
zdA
A
E
yzdA
A
E
I yz
0
横截面不会绕y轴转动，只会绕z轴转动，梁变形后的轴线一定位
于xy平面内，与外力偶作用面共面，梁产生平面弯曲。
（4）若横向力既不和形心主轴平行或重合，又不通过截面的弯心， 则梁同时产生斜弯曲和扭转变形；
弯曲问题的进一步研究与组合变形
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例11-1 悬臂梁的横截面分别采用如图所示三种截面，在自由 端受集中力F作用，F力均通过这些截面的形心C。试指出这三 种截面梁各产生何种变形形式。
F
F
FA
• •C
z
Fz
•C